文档内容
九年级数学下册·BS
第一章 直角三角形的边角关系
1．1 锐角三角函数
第 1 课时 正切
1．经历探索直角三角形中某锐角确定后其对边与邻边的比值也随之确定的过程，理解正
切的意义．
2．能够用表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度，并能够用正切进行
简单的计算．
理解锐角三角函数正切的意义，用正切表示倾斜程度、坡度．
从现实情境中理解正切的意义．
一、创设情景 明确目标
我们都有过走上坡路的经验，坡面有陡有平，在数学上该如何衡量坡面的倾斜程度呢？
如图所示，哪个坡面更陡一些？
想一想：如图所示的两个坡面，哪个更陡一些？你是怎么做的？
二、自主学习 指向目标
阅读预习教材第2页至第4页的内容；完成《名师学案》 “课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
正切的定义
活动：
1．想一想：当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值会确定的吗？2．如图所示：在锐角 A的一边上任意取点B，B ，B ，过这些点分别作CB⊥AC，
1 2
C B ⊥AC，C B ⊥AC，垂足分别是C，C ，C .
1 1 2 2 1 2
展示点评：证明：△ABC∽△AB C ，从而得出BC∶B C ＝AC∶AC ，进一步转化成
1 1 1 1 1
BC∶AC＝B C ∶AC ，同理可以证明：BC∶AC＝B C ∶AC .
1 1 1 2 2 2
反思小结：
(1)通过以上论证，引导学生总结：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形
的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值．
(2)直角三角形中边与角的关系：在直角三角形中，如果一个锐角确定，那么这个角的对边
与邻边的比便随之确定．在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作
tanA，即tanA＝
例题讲解：见教材例1.
针对训练：教材第4页《课堂练习》第1题．
坡度
活动：阅读教材第4页内容．
反思小结：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(坡比)，可以写成i＝tanα.
针对训练：《名师学案》当堂练习部分．
四、总结梳理 内化目标
本节课从梯子的倾斜程度谈起，通过探索直角三角形中边角关系，得出了直角三角形中
的锐角确定后，它的对边比邻边的比也随之确定，在直角三角形中定义了正切的概念，接着，
了解了坡面的倾斜程度与正切的关系．
五、达标检测 反思目标
1．如图所示，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，指出∠A和∠B的对边，邻边：
(1)tanA＝( )∶AC＝CD∶( )
(2)tanB＝( )∶BC＝CD∶( )
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)AC＝3，AB＝6，求tanA和tanB；
(2)BC＝3，tanA＝，求AC和AB.
3．在等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求tanB.教材第4页习题1，2题．
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第 2 课时 正弦和余弦
1．经历探索知道直角三角形中某锐角确定后，它的对边、邻边和斜边的比值也随之确定，
能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算．
2．能够正确地运用sinA，cosA，tanA表示直角三角形中两边之比．
正确地运用三角函数值表示直角三角形中两边之比．
理解角度与数值之间一一对应的函数关系．
一、创设情景 明确目标
1．锐角∠A的正切符号分别如何表示？
2．它等于哪两边的比？
3．求出如图所示的Rt△ABC中∠A的正切值．
二、自主学习 指向目标
阅读教材第5页至第6页的内容；完成《名师学案》 “课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
正弦和余弦的定义
活动：
(1)如图，当Rt△ABC中的一个锐角A确定时，它的对边与邻边的比随之确定．此时，其他
边之间的比值也确定吗？
(2)可以让学生再画一个Rt△ABC，使之与上图相似，然而再求出对边与斜边，邻边与斜
边，比较与上图所求出对边与斜边，邻边与斜边的比相等吗？
展示点评：两个相似三角形的对边与斜边之比相等，邻边与斜边的比也相等，据相似三角
形的比例而得到的．反思小结：
(1)在Rt△ABC中，如果锐角A确定时，那么∠A的对边与斜边的比，邻边与斜边的比也
随之确定．
(2)在Rt△ABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝
(3)在Rt△ABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝
(4)锐角A的正弦，余弦和正切都是做∠A的三角函数．
例题讲解：见教材例2.
针对练习：教材随堂练习第1，2题．
四、总结梳理 内化目标
1．锐角三角函数定义：
sinA＝
tanA＝
cosA＝
2．定义中应该注意的几个问题：
(1)sinA，cosA，tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角
形)；
(2)sinA，cosA，tanA是一个完整的符号，表示∠A的正弦，余弦，正切，习惯省去“∠”号；
(3)sinA，cosA，tanA是一个比值．注意比的顺序，且sinA，cosA，tanA均﹥0，无单位；
(4)sinA，cosA，tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关；
(5)两个锐角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等．
五、达标检测 反思目标
1．在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值( )
A．扩大100倍 B．缩小100倍
C．不变 D．不能确定
2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)若AC＝4，AB＝5，求sinA与sinB；
(2)若AC＝5，AB＝12，求sinA与sinB；
(3)若BC＝m，AC＝n，求sinB.
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinA＝，求AC和BC.
4．如图：在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6.求：sinB，cosB，tanB.
提示：过点A作AD垂直于BC于D.教材第6页习题1，4题．
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1．2 30°，45°，60°角的三角函数值
1．能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数．
2．能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式．
熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式．
30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程．
一、创设情景 明确目标
1．一个直角三角形中是怎么定义一个锐角的正弦、余弦和正切的？
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinA＝________，cosA＝________．
二、自主学习 指向目标
阅读教材第8页至第9页的内容，完成《名师学案》的“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
30°，45°，60°的特殊值
活动：(1)思考两块三角尺有几个不同的锐角？分别是多少度？(可以通过量角器去度量)
(2)你通过两块直角的各边长分别求出几个锐角的正弦值，余弦值和正切值．
展示点评：如图(1)，∵a＝c，即c＝2a，据勾股定理可得到b＝a，∴sin30°＝＝，cos30°＝
＝；tan30°＝＝，依次可以用45°，60°的三角函数值．
以上均属于特殊角，例如在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半，可以通过
勾股定理求出它的邻边的长，即可求出30°的角所有三角函数值，同理45°，60°也可进行．
反思小结：sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝，cos30°＝，cos45°＝，cos60°＝，tan30°＝，tan45°＝
1，tan60°＝.
讲解例题：教材例1.
针对训练：(1)sin30°＝_______；cos45°＝_______；tan30°＝________；sin60°＝________；
cosA＝，则∠A＝________；tanA＝，则∠A＝________；sinA＝，则∠A＝________．
(2)教材随堂练习1.
特殊值的应用
活动：教材例2例2：一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，
且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到
0.01m)．
展示点评：
解：如图，据题意可知：
∠AOD＝×60°＝30°，OD＝2.5m
∴OC＝OD·cos30°＝2.5×≈2.165(m)，∴AC＝2.5－2.165≈0.34(m)
反思小结：利用通过锐角三角函数在实际中的应用，得到与特殊角的三角函数值，尽量取
值接近准确值．
针对训练：教材随堂练习2.
四、总结梳理 内化目标
(1)熟练30°，45°，60°的特殊三角函数值．
(2)准确应用锐角三角函数在实际生活中，特殊值在实际生活中有很大的用途．
五、达标检测 反思目标
1．已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AB＝15，则AC的长是( )
A．3 B．6 C．9 D．12
2．下列各式中不正确的是( )
A．sin260°＋cos260°＝1 B．sin30°＋cos30°＝1
C．sin35°＝cos55° D．tan45°>sin45°
3．计算2sin30°－2cos60°＋tan45°的结果是( )
A．2 B. C. D．1
4．已知∠A为锐角，且cosA≤，那么( )
A．0°＜∠A≤60° B．60°≤∠A＜90°
C．0°＜∠A≤30° D．30°≤∠A＜90°
5．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
6．如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，BC＝3，AC＝4，设∠BCD＝α，则tanα
的值为( )
A. B.
C. D.
7．当锐角α>60°时，cosα的值( )
A．小于 B．大于
C．大于 D．大于1教材第10页习题1，2题．
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1．3 三角函数的计算
1．熟练运用计算器，求出锐角的三角函数值，或是根据三角函数值求出相应的锐角．
2．能够进行简单的三角函数式的运算，理解正弦值与余弦值都在0与1之间．
学会应用计算器求三角函数值．
能够进行简单的三角函数式的运算．
一、创设情景 明确目标
(1)让学生熟练写出30°，45°，60°的三角函数的特殊值．
(2)如图，∠C＝90°，∠A＝16°，则∠B＝________(74°)．
16°，74°的三角函数值是特殊值吗？可以直接求出来吗？还有16°32′的三角函数值怎么
求？
二、自主学习 指向目标
阅读教材第12页至第14页的内容，完成《名师学案》的“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
用科学计算器求锐角三角函数值
活动：
像这样的问题：如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m.已知缆车
行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝ABsin16°，你知道sin16°等于多少吗？
我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值？
怎样用科学计算器求锐角的三角函数值呢？
请与同伴交流你是怎么做的．
展示点评：
(1)用科学计算器求16°的三角函数值(sin16°)：
(2)操作顺序如下：按键的顺序 显示结果
sin16° 0.275637355
∴据上表则可以求得BC＝AB·sin16°≈200×0.2756≈55.12
反思小结：利用科学计算器求锐角的三角函数值按键的顺序为：第一步按 或或，第二步
按数键，第三步按，即可出来数据；一般题中无特例说明，数据一般精确到万分位．
例题讲解：例：用科学计算器计算cos42°，tan85°和sin72°38′5″的值．(学生动手操作)
针对训练：教材随堂练习1.
用科学计算器求锐角的度数
活动：教材第13页[想一想]
展示点评：已知三角函数值求角度，要用到 键的第二功能 和键．
例 已知三角函数值，用计算器求锐角A：sinA＝0.9816，cosA＝0.8607，tanA＝0.1890，
tanA＝56.78
按键的顺序 显示结果
sinA＝0.9816 78.99184039
cosA＝0.8607 30.60473007
tanA＝0.1890 10.70265749
tanA＝56.78 88.99102049
上表的显示结果是以“度”为单位的，再按键即可显示以“度，分，秒”为单位的结果．
请你求出想一想中∠A的度数．
反思小结：已知三角函数值求角度，要用到科学计算器中的，，键的第二功能键 和键．
针对训练：教材随堂练习4.
四、总结梳理 内化目标
利用科学计算器求已知角的三角函数值和已知三角函数值求角度的步骤．
注意区分以上两种计算方式的步骤；在计算时注意精确值．
五、达标检测 反思目标
1．用计算器求下列各式的值：
(1)sin56°；(2)sin15°49′；(3)cos20°；(4)tan29°；
(5)tan44°59′59″；(6)sin15°＋cos61°＋tan76°
2．根据下列条件求∠θ的大小：
(1)tanθ＝2.9888；(2)sinθ＝0.3957；
(3)cosθ＝0.7850；(4)tanθ＝0.89723．求图中避雷针的长度(结果精确到0.01m)
教材第15页习题2，3，4.
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1．4 解直角三角形
1．熟练掌握直角三角形除直角外五个元素之间的关系．
2．学会根据题目要求正确地选用这些关系式解直角三角形．
会利用已知条件解直角三角形．
根据题目要求正确选用适当的三角关系式解直角三角形．
一、创设情景 明确目标
(1)直角三角形三边的关系：勾股定理a2＋b2＝c2.
直角三角形两锐角的关系：两锐角互余∠A＋∠B＝90°.
*直角三角形边与角之间的关系：锐角三角函数
sinA＝，cosA＝，tanA＝
(2)特殊角30°，45°，60°角的三角函数值．
(3)直角三角形中有6个元素，三个角和三条边，那么至少知道几个元素就可以求其他元
素．
二、自主学习 指向目标
阅读教材第16页至第17页的内容，完成《名师学案》中的“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
解直角三角形
活动：想一想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
(1)根据∠A＝60°，斜边AB＝30，你能求出这个三角形的其他元素吗？
(2)根据AC＝，BC＝，你能求出这个三角形的其他元素吗？
(3)根据∠A＝60°，∠B＝30°，你能求出这个三角形的其他元素吗？
展示点评：
(1)∠B＝90°－∠A＝30°；AC＝sinB·AB；BC＝sinA·AB.
(2)AB＝；tanA＝；∠B＝90°－∠A，以上可以根据所给出的等量关系分别求出(1)(2)中的
未知元素．
(3)不可以求出各边长．
反思小结：(1)在直角三角形中由已知的元素，求出所有未知的元素，叫解直角三角形．
(2)解直角三角形中，除直角外，其他五个元素中需要知道两个元素(至少有一个为边)可以
求到其他三个元素．
例题讲解：教材例1，例2
针对训练：
(1)教材随堂练习．
(2)《名师学案》中“当堂练习”部分．
四、总结梳理 内化目标
本节课主要学习了如何利用已知条件，选用合适的三角关系式解直角三角形，这是需要
我们熟练掌握的，为后面学习解决实际问题提供打下基础．
五、达标检测 反思目标
1．在下列直角三角形中不能求解的是( )
A．已知一直角边一锐角
B．已知一斜边一锐角
C．已知两边
D．已知两角
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
(1)已知∠B＝45°，c＝解这个直角三角形
(2)已知∠A＝30°，b＋c＝30解这个直角三角形
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠BAC的平分线AD＝4，解此直角三角形．
教材习题1.5第1，2题．
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1．5 三角函数的应用
第 1 课时 与方位角有关的实际问题
1．理解航海方位角的概念，并学会画航行方位图，将航海问题转化成数学问题．
2．通过航海问题的解决让学生体会船只在海上航行的实际情景，从而培养空间想象力．
学会画航行的方位图，将航海问题转化成数学问题．
将航海的实际情景用航行方位图表现出来．
一、创设情景 明确目标
(1)回顾直角三角形边与角之间的关系．
(2)让学生画出方位角的示意图，并给出定义．
学生画图：
二、自主学习 指向目标
阅读教材第19页图1－13有关的内容，并完成《名师学案》中的“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
方位角的实际问题
活动：出示幻灯片动画，动画内容如下：
一渔船以20海里/小时的速度跟踪鱼群由西向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°
方向上，继续航行1小时到达B点，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知灯塔C的周围
10海里范围内有暗礁，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
展示点评：根据题中船的路径可以把它画成平面图，如图所示，根据实际问题，作
CD⊥AD，在Rt△ACD中，求出CD的长度，然后比较CD与10海里的大小就可以确定此船有
没有触礁的危险．
解答如下：根据题意可知，∠BAC＝30°，∠CBD＝60°，
AB＝20×1＝20(海里)．
则∠BAC＝∠ACB＝30°，
故AB＝BC＝20海里．
在直角三角形CBD中，
∵sin60°＝CD∶CB＝，
∴CD＝20×＝10＞10
所以，货轮继续向东航行途中没有触礁的危险．
反思小结：(1)在这种航海问题上，首先通过方位角的定位画出平面示意图，用辅助线的方
法把实际问题转化成数学问题(解直角三角形)
(2)方位角的位置要精确．
针对训练：《名师学案》中“当堂练习”部分．
四、总结梳理 内化目标
本节课我们学习了航海方位角的概念，并学会根据航海实际情景来画航行方位图，将航
海问题转化成数学问题来解决．
五、达标检测 反思目标
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航
行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔
P有多远？(精确到0.01海里)
教材习题1.6第4题．
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第 2 课时 与仰角、俯角有关的实际问题
1．了解仰角、俯角的概念，并弄清它们的意义．
2．将实际问题转化成数学问题，并由实际问题画出平面图形，也能由平面图形想象出实
际情景，再根据解直角三角形的方法来解决实际问题．将实际问题转化成数学问题且了解仰角、俯角的概念．
实际情景和平面图形之间的转化．
一、创设情景 明确目标
(1)让学生熟练写出直角三角形中的边与角之间的关系：(①三边之间，②角之间，③锐角
三角函数)
(2)仰角与俯角
①如图：
②定义：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角
叫俯角．
二、自主学习 指向目标
阅读教材第19页中想一想的内容，完成《名师学案》中“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
仰角、俯角的实际问题
活动：出示幻灯动画，动画内容如下：
小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m
至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到1m)．
(1)你能完成这个任务吗？
(2)请与同伴交流你是怎么想的？
(3)准备怎么去做？
展示点评：实物图可以建立成两个直角三角形模型，已知在 Rt△ACD 中，AC＝
CD·tan30°，同理BC＝CD·tan60°，于是AC－BC＝AB，可以得到关于CD与已知量的关系，即
可求出CD的长．
解答如下：
解：如图，根据题意可知，∠A＝30°，∠DBC＝60°，AB＝50m.求CD的长设CD＝x m，则
∠ADC＝60°，∠BDC＝30°，∵tan∠ADC＝，tan∠BDC＝，∴AC＝xtan60°，BC＝xtan30°，
∴xtan60°－xtan30°＝50.∴x＝＝＝25≈43(m)
所以，该塔约有43m高．
反思小结：仰角、俯角的问题上的类型题，首先要据题意建立直角三角形模型，充分利用
三角函数来解决此类实际问题．针对训练：《名师学案》中的“当堂练习”部分．
四、总结梳理 内化目标
本节课学习了解决实际问题的重要方法：实际问题数学化，由实际问题画出平面图形，也
能由平面图形想象出实际情景，再根据解直角三角形的方法来解决实际问题．并且了解了仰
角，俯角的概念．
五、达标检测 反思目标
两座建筑AB及CD，其地面距离AC为50.4米，从AB的顶点B测得CD的顶部D的仰
角β＝25°，测得其底部C的俯角α＝50°，求两座建筑物AB及CD的高．(精确到0.1米)
教材第21页习题2.
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第 3 课时 与坡角有关的实际问题
1．加强对坡度、坡角、坡面概念的理解，了解坡度与坡面陡峭程度的关系．
2．能解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的能力．
对堤坝等关于斜坡的实际问题的解决．
对坡度、坡角、坡面概念的理解．
一、创设情景 明确目标
1．修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．什么叫坡度(坡比)?
2．坡度等于什么？用什么表示？
3．坡度和坡角之间有什么关系？
坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面坡度(或坡比)．记作i，即i＝.坡度通常写
成l∶m的形式，如i＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝tanα＝显然，坡度越
大，坡角α就越大，坡面就越陡．4．利用解直角三角形的方法解决实际问题时应注意什么？
二、自主学习 指向目标
阅读教材第19页做一做内容，完成《名师学案》“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
倾斜角有关的实际问题
活动：出示幻灯动画，动画内容如下：
如图，水库大坝的截面是梯形ABCD，坝顶AD＝6m，坡长CD＝8m.坡底BC＝30m，
∠ADC＝135°.
(1)求坡角∠ABC的大小；
(2)如果坝长100m，那么修建这个大坝共需多少土石料(结果精确到0.01m3)．
展示点评：作AF⊥BC，DE⊥BC建立直角三角形模型，首先在Rt△DCE中，EC＝DE＝
DC·tan45°，又可以得到四边形AFED为矩形，即AF＝DE，再解Rt△ABF，其中BF＝BC－
CF，tan∠ABC＝.
解：略
反思小结：有关坡度(坡角)或倾斜角的实际问题，首先要通过作垂线把平面几何图形转化
一个或者几个直角三角形来解．在解直角三角形中中主要利用公式i＝tanα＝求题目中未知条
件．
针对训练：
《名师学案》中“当堂练习”部分．
四、总结梳理 内化目标
本节课从对坡度、坡角、坡面概念的复习，了解坡度与坡面陡峭程度的关系．学会解决堤
坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的能力．
五、达标检测 反思目标
1．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD(图中i＝1∶3是指坡面的铅直高度DE与水平宽
度CE的比)，根据图中数据求：
(1)坡角α和β；
(2)斜坡AB的长(精确到0.1m)
2．如图，燕尾槽的横断面是一个等腰梯形，其中燕尾角∠B＝55°，外口宽AD＝180mm，
燕尾槽的深度是70mm，求它的里口宽BC(结果精确到1mm)．教材第21页习题3.
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第二章 二次函数
2．1 二次函数
1．能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围．
2．注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯．
能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围．
根据实际问题，列出二次函数关系式．
一、创设情景 明确目标
(1)什么叫一次函数？什么叫反比例函数，它们的一般形式各有什么特点？有定义中分别
要注意什么？
(2)下列关系式中：y＝2x＋1，y＝－x－4，y＝，y＝5x2，y＝－4x，y＝ax＋1，其中一次函数
有哪些？反比例函数有哪些？
二、自主学习 指向目标
阅读教材第29页至30页内容，完成《名师学案》中的“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
二次函数的定义
活动：
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量y与x之间的关系：
(1)圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)________．
(2)正方形的边长为a，如果边长增加2，新图形的面积S与a之间的函数关系式为
________．
(3)果园里有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现在准备多种一些果树以提高
果园产量，但多种果树，那么树之间的距离和每棵树所接受的阳光就会减少，根据经验估计，
每多种1棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园增种x棵果树，那么果园共有_______
棵橙子树，这时平均每颗橙子树结_______个橙子，如果用y表示橙子的总产量，那么y与x之
间的关系式是：________．
展示点评：(1)y＝πx2；(2)S＝(a＋2)2；
(3)y＝－5x2＋100x＋60000
思考：上面第(1)(2)(3)题中函数表达式有什么共同点？
展示点评：归纳：二次函数定义：一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y
＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数．
能否抛开“a≠0”理解二次函数的概念？为什么？对于b，c它们可否等于0?
反思小结：判断一个函数是否为二次函数，关键是看它是否符合二次函数的特征，若形式
比较复杂，则要先化简，再作出判断．具体地可从如下几点进行：(1)自变量的最高次数是2；(2)
二次项系数不为0；(3)右边是整式；(4)判断时首先将右边化成一般式，不要看表面形式．
针对训练：(1)教材随堂练习1.
(2)《名师学案》中“当堂练习”有关部分．
列出实际问题中的二次函数表达式
活动：某小区要修建一块矩形绿地，设矩形的边长为x米，宽为y米，面积为S平方米，
(x>y)．
(1)如果用18米的建筑材料来修建绿地的边框(即周长)，求S与x的函数关系，并求出x
的了取值范围．
(2)根据小区的规划要求，所修建的绿地面积必须是18平方米，在满足(1)的条件下，矩形
的长和宽各为多少米？
展示点评：题目中蕴涵的公式是什么？(S＝·x＝(9－x)·x＝－x2＋9x)第(2)问就是已知
S(函数值)，求x(自变量)的问题；即当S＝18时，求x的值．
反思：根据实际问题列二次函数关系式的一般步骤有哪些？求自变量的值或二次函数值
与以前学过的哪些知识相关？
反思小结：一般地，列实际问题中的二次函数关系式可以按如下步骤进行：(1)审清题意，
找出实际问题中的已知量，并分析它们之间的关系，将文字或图形语言转化成数字符号语言；
(2)根据实际问题中存在的等
量关系或客观存在的某种数量关系(如学过的公式等)，建立二次函数关系式，并将之整理
成一般形式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(3)联系实际，写出需要标明的自变量的取值范围．已知二
次函数值求自变量的值可以化为解一元二次方程，而已知自变量的值求二次函数值实际上就
是求代数式的值．
针对训练：
(1)教材第30页随堂练习2.
(2)《名师学案》中“当堂练习”有关部分．
四、总结梳理 内化目标
(1)一次函数与二次函数的区别与联系．
(2)二次函数的定义？在定义中需注意些什么？
二次函数的一般形式是：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)其中ax2是二次项，bx为一次项，c为常数项．
五、达标检测 反思目标
1．圆面积公式S＝πr2，S与r之间的关系是( )
A．正比例函数 B．一次函数
C．二次函数 D．以上答案都不对
2．二次函数y＝3x2＋2x＋1中，二次项系数是______，一次项系数是________，常数项是
________．
3．某农机厂第一个月水泵的产量为50台，若每个月的平均增长率为x，则第三个月的产
量y(台)与月平均增长率x之间的函数解析式为________．4．若y＋2与x2成正比例，当x＝－3时，y＝1，则y与x的函数关系式为________．
5．若y＝(m2＋m)xm2－2m－1是二次函数，求m的值．
教材第31页习题1，2，4.
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2．2 二次函数的图象与性质
第 1 课时 二次函数 y＝ax2的图象与性质
1．使学生会用描点法画出y＝x2的图象，理解抛物线的有关概念．
2．使学生经历、探索二次函数y＝x2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好
思维习惯．
使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y＝x2的图象是教学的重点．
用描点法画出二次函数y＝x2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点．
一、创设情景 明确目标
1．同学们可以回想一下，我们是如何画一次函数的图象的？一次函数图象的性质有哪些？
2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢？如果可以，应先研究
什么？
(可以用研究一次函数图象性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图
象)
二、自主学习 指向目标
阅读教材第32页至33页的内容，完成《名师学案》中“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
二次函数y＝x2的图象
活动：
在坐标系中画二次函数y＝x2的图象．(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表(列表时要注意什么？)
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … 9 4 1 0 1 4 9 …
(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描
点．
(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y＝x2的图象，如图所示．
展示点评：画二次函数y＝x2的图象分为三步：列表，描点，连线．其中列表在取值时自变
量x以0为分界点向左右两边按相同的单位递增(递减)；依次对表中各对x，y的数据用点描
出来；用平滑的曲线把描出的点连接起来，而可以无限延伸．
反思小结：(1)画函数y＝x2的图象需三个步骤，列表，描点，连线．
(2)函数y＝x2的图象是一条抛物线；它是一条关于y轴对称的抛物线；它的开口向上；且
抛物线与对称轴(y轴)的交点是图象的顶点，它是图象的最低点．
针对训练：(1)抛物线y＝x2的顶点坐标为：________对称轴为________．
(2)用描点方法画出函数y＝－x2的图象．
函数y＝x2的性质
活动：(1)结合抛物线y＝x2的图象和列表的数据分析当x>0时，y的值随x的增大而怎么
变化的？当x<0时呢？
(2)当x取什么值时，y的值最小，对称轴有什么特点？
展示点评：结合上图可知：(1)函数y＝x2的图象是抛物线开口向上；对称轴为y轴(即直线
x＝0)；当x>0时，y值随x的值增大而增大，x<0时，y的值随x的值增大而减小；顶点坐标为
(0，0)，y有最小值， y＝0.
反思小结：抛物线y＝x2与抛物线y＝－x2的图象完全相同，开口相反，它们之间存在相同
点，其他性质是相反的．
针对训练：(1)下列关于抛物线x2和y＝－x2的异同点说法错误的是( )
A．抛物线y＝x2和y＝－x2有共同的顶点和对称轴
B．抛物线y＝x2和y＝－x2关于x轴成对称．
C．抛物线y＝x2和y＝－x2的开口方向相反
D．点A(－3，9)在抛物线y＝x2上，也在抛物线y＝－x2上
(2)点(x，y)，(x，y)都在y＝－x2的图象上，如果xy>0 D．y>y>0
1 2 2 1
(3)直线y＝2x－1与抛物线y＝x2的交点是( )
A．(0，0)，(1，1) B．(1，1)
C．(0，1)，(1，0) D．(0，2)，(2，0)
四、总结梳理 内化目标
(1)二次函数y＝x2的图象是抛物线，关于y轴对称的轴对称图形，顶点为原点，坐标为(0，
0)．
(2)
二次函数y＝x2
图象开口方向 向上
对称轴 y轴(或直线x＝0)
顶点坐标 (0，0)
当x<0时，y的值随x值的增大而减小；
增减性 当x>0时，y的值随x值的增大而增大．
最值 当x＝0时，y ＝0
最小值
二次函数y＝－x2
图象
开口方向 向下
对称轴 y轴(或直线x＝0)
顶点坐标 (0，0)
当x<0时，y的值随x值的增大而增大；
增减性 当x>0时，y的值随x值的增大而减小．
最值 当x＝0时，y ＝0
最大值
五、达标检测 反思目标
1．抛物线y＝x2开口向________，对称轴是________，顶点坐标为________，抛物线y＝
－x2，开口向________，对称轴为________，顶点坐标为________．
2．已知抛物线y＝－x2与直线y＝3x＋m都经过点(2，n)．
(1)求m，n的值；
(2)是否存在一个交点？若存在，请求出这个点的坐标．
教材第34页习题2.2.
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第 2 课时 二次函数 y＝ax2＋k 的图象与性质
1．使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2，y＝ax2＋c的图象．
2．让学生经历二次函数y＝ax2，y＝ax2＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋c的
性质及它与函数y＝ax2的关系．
会用描点法画出二次函数y＝ax2＋c的图象，理解二次函数y＝ax2＋c的性质，理解函数
y＝ax2＋c与函数y＝ax2的相互关系．正确理解二次函数y＝ax2＋c的性质，理解抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝ax2的关系是教
学的难点．
一、创设情景 明确目标
1．画函数y＝x2和y＝－x2的图象有哪些步骤，各步中需注意些什么？
2．函数y＝x2和y＝－x2的图象有什么异同点．
3．抛物线y＝x2和y＝－x2的性质各是什么？
4．在上一节研究函数y＝x2和y＝－x2中a的值为1和－1，当a不为1或－1时，函数y＝
ax2的图象与性质，又会是什么样的呢？
二、自主学习 指向目标
教材第35页至36页的内容，完成《名师学案》中的“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
函数y＝ax2的图象与性质
活动：画函数y＝2x2的图象
(1)完成下表
x － －1 － 0 1
y 2 － 0 2
(2)在图中画出y＝2x2的图象；
(3)二次函数y＝2x2的图象是什么形状？它与二次函数y＝x2的图象有什么相同和不同？
它的开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？
展示点评：(1)画二次函数y＝ax2的图象分三步：列表，描写，连线，一般描点在5～7个点，
用平滑的曲线连接各点，而且两点是无限延伸的．
(2)二次函数y＝2x2的图象的画法与y＝x2图象画法完全相同；以x的值为0开始取值，然
后向两边逐步以0.5个单位逐步增减．
(3)二次函数y＝2x2的图象是一条抛物线，开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为(0，0)．
(4)二次函数y＝2x2的性质与y＝x2的性质完全一样．
反思小结：(1)函数y＝ax2的图象是一条抛物线，对称轴是y轴，顶点是原点，坐标为(0，
0)．
(2)抛物线y＝ax2中，当a>0时，开口向上，顶点为最低点，y有最小值为0；它的性质与y
＝x2的性质完全相同；当a<0时，开口向下，顶点为最高点，y有最大值为0；它的性质与y＝－
x2的性质完全相同．
例题讲解：
例：在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2和y＝－2x2的图象，并根据图象回答下列问题．
(1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标．
(2)抛物线y＝x2，当x________时，抛物线上的点都在x轴上方；当x>0时，曲线自左向右
逐渐________，它的顶点是图象的最________点．
(3)函数y＝－2x2，对于一切x的值，总有函数值y________0；当x<0时，y的值随x值的增大而________；当x________时，y有最________值，是________．
分析：因为抛物线是轴对称图形，以原点O为中心，向两边对称取点，描出点后用平滑的
曲线连接起来．再对照函数的图象，就能轻松解决上面的问题．
解：函数y＝x2和y＝－2x2的图象如图所示．
(1)抛物线y＝x2的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，0)；抛物线y＝－2x2的开口向
下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，0)．
(2)≠0，上升，低
(3)<，增大，＝0，大，0
针对训练：做孝科书第35页想一想．
函数y＝ax2＋c的图象与性质
活动：(1)画出函数y＝3x2－1的图象，相互交流，并在同一坐标中画出y＝3x2；
(2)议一议y＝3x2＋1的图象与一次函数y＝3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？
它的开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？
展示点评：(1)列表
x －2 － －1 0 1 2
y＝3x2 12 6 3 0 3 6 12
y＝3x2－1 11 5 2 －1 2 5 11
(2)在同一直角坐标系内描点、连线，图象如图所示．观察y＝3x2与y＝3x2－1的图象发现，
二次函数y＝3x2－1与y＝3x2的图象形状相同，位置不同，开口方向都向上，都是轴对称图形，
对称轴都是y轴，但顶点坐标不同，y＝3x2的图象的顶点
坐标是(0，0)，而y＝3x2－1的图象的顶点坐标是(0，－1)．实际上，只要将y＝3x2的图象
向下平移1个单位，就可以得到y＝3x2－1的图象．
(3)可以由(2)得y＝3x2＋1的图象可由y＝3x2的图象向上平移1个单位而得到．
反思小结：(1)二次函数y＝ax2＋c的图象是一条抛物线，对称轴是y轴的轴对称图形，顶
点坐标为(0，c)．
(2)抛物线y＝ax2＋c(a≠0)可由抛物线y＝ax2(a≠0)通过上下平移|c|个单位得到的．(3)函数y＝ax2＋c的性质与y＝ax2的性质相同．
针对训练：
试说出函数y＝ax2＋c(a，c是常数，a≠0)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写
下表．
开口方向 对称轴 顶点
y＝ax2＋c a＞0
y＝ax2＋c a＜0
(1)|a|越大开口越________，反之开口越________．
(2)a﹥0时，当x________时，函数值y随x的增大而减小；当x________时，函数值y随x
的增大而增大，当x________时，函数取得最________值，最________值y＝________．
a﹤0时，当x________时，函数值y随x的增大而减小；当x________时，函数值y随x的
增大而增大，当x________时，函数取得最________值，最________值y＝________
五、达标检测 反思目标
教材第36页随堂练习1，2题．
教材第36页习题2，3题．
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________________________________________________________________________第 3 课时 二次函数 y＝a(x－h)2的图象与性质
1．使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象．
2．让学生经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2的性质，理解
二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系．
会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2性质，理解二次
函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象与关系是教学的重点．
理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2
的图象的相互关系是教学的难点．
一、创设情景 明确目标
1．二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c的图象是什么形状？
2．二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c的图象与性质是什么？
3．说出下列二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标；
(1)y＝5x2；(2)y＝－3x2＋2；
(3)y＝8x2＋6；(4)y＝－x2－4.
4．二次函数y＝x2与y＝(x－2)2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗？这两
个函数的图象之间有什么关系？
二、自主学习 指向目标
阅读教材第37页至38页的内容，完成《名师学案》中“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
函数y＝a(x－h)2的图象
活动：
问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题？
(画出二次函数y＝x2与y＝(x－2)2的图象，并加以观察)
问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2与y＝(x－2)2的图象吗？
教学要点
1．让学生完成下表填空．
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝x2 … …
y＝(x－2)2 ……
2.让学生在直角坐标系中画出图来：
3．教师巡视、指导．
问题3：现在你能回答前面提出的问题吗？
展示点评：通过学生画出的两函数的图象观察图象可知：(1)抛物线y＝(x－2)2开口向上，
对称轴经过点(2，0)且与x垂直的直线，我们把它记作直线x＝2.
反思小结：让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y＝(x－2)2与y＝x2的图象、开口方向相同，对称轴和顶点坐标不同；函数y＝(x－2)2的图象可以看作
是函数y＝x2的图象向右平移2个单位得到的，它的对称轴是直线x＝2，顶点坐标是(2，0)．
针对训练：画出函数y＝(x＋2)2的图象，比较它与抛物线y＝x2的异同点．
函数y＝a(x－h)2的性质
活动：
问题4：你可以由函数y＝x2的增减性，得到函数y＝(x－2)2的增减性吗？
教学要点
1．教师引导学生回顾二次函数y＝x2的性质，并观察二次函数y＝(x－2)2的图象；
归纳：抛物线y＝(x－2)2的开口向上，当x<2时，函数值y随x的增大而减小；当x>2时，
函数值y随x的增大而增大；当x＝2时，函数y值最小为0.
反思小结：(1)函数y＝a(x－h)2的图象是由抛物线y＝ax2向左(向右)平移|h|个单位得到的．
(2)二次函数y＝a(x－h)2的性质
①开口方向：当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下；
②对称轴：对称轴直线x＝h；
③顶点坐标：顶点坐标是(h，0)
④函数的增减性：当a＞0时，对称轴左侧(x﹤h时)y随x增大而减小，对称轴右侧(x>h
时)y随x增大而增大；当a＜0时，对称轴左侧y随x增大而增大，对称轴右侧y随x增大而减
小．
(5)最值：当x＝h时，有最值0
四、总结梳理 内化目标
1．在同一直角坐标系中，函数y＝a(x－h)2的图象与函数y＝ax2的图象联系和区别．
2．函数y＝a(x－h)2图象的性质．
3．谈谈本节课的收获和体会．
五、达标检测 反思目标
练习：(1)函数y＝4(x＋5)2的图象可由y＝4x2的图象向________平移________个单位得
到；y＝4(x－11)2的图象可由y＝4x2的图象向________平移________个单位得到．
(2)将抛物线y＝4x2向左平移3个单位，所得的抛物线的函数式是________．将抛物线y
＝－5(x＋1)2向右平移5个单位，所得的抛物线的函数式是________．
(3)抛物线y＝－3(x＋5)2的开口________，对称轴是________，顶点坐标是________，在
对称轴的左侧，y随x的增大而________，在对称轴的右侧，y随x的增大而________，当x＝
______时，取得最______值，这个值等于________．
教材第38页随堂练习．
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________________________________________________________________________第 4 课时 二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象与性质
1．使学生理解函数y＝a(x－h)2＋k的图象与函数y＝ax2的图象之间的关系．
2．会确定函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3．让学生经历函数y＝a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y＝a(x－h)2＋k的性质．
确定函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y＝a(x－h)2
＋k的图象与函数y＝ax2的图象之间的关系，理解函数y＝a(x－h)2＋k的性质是教学的重点．
正确理解函数y＝a(x－h)2＋k的图象与函数y＝ax2的图象之间的关系以及函数y＝a(x－
h)2＋k的性质是教学的难点．
一、创设情景 明确目标
1．函数y＝2x2＋1的图象与函数y＝2x2的图象有什么关系？
(函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的)
2．函数y＝2(x－1)2的图象与函数y＝2x2的图象有什么关系？
(函数y＝2(x－1)2的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的)
3．函数y＝2(x－1)2＋1图象与函数y＝2(x－1)2图象有什么关系？函数y＝2(x－1)2＋1
有哪些性质？
二、自主学习 指向目标
阅读教材第38页议一议的内容，并完成《名师学案》中的“课堂预习”部分．
三、合作探究 达成目标
函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
活动：
画出函数y＝－(x＋1)2－1的图象．指出它的开口方向、顶点与对称轴．
解：先列表
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 …
y＝－
(x＋1)2－
… － －3 － －1 － －3 － …
1
再描点画图．
问题1：你能发现y＝－(x＋1)2－1的开口方向、顶点与对称轴及增减性吗？
问题2：你能发现函数y＝－(x＋1)2－1的图象与y＝－0.5x2图象之间有怎样的关系吗？
展示点评：函数y＝－(x＋1)2－1中a＝－<0，开口向下；顶点坐标(－1，－1)；对称轴为直
线x＝－1；函数y＝－(x＋1)2－1的图象可以看成将函数y＝－(x＋1)2的图象向下平移1个单
位得到的，也可以看成是将函数y＝－x2的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到
的；增减性分为x>1和x<1两种情况．
反思小结：(1)抛物线y＝a(x－h)2＋k可由抛物线y＝ax2平移得到，它们的形状相同，只是
位置不同，把y＝ax2的图象先向左或向右平移|h|个单位，得到y＝a(x－h)2的图象，再向上或向
下平移|k|个单位，即得y＝a(x－h)2＋k的图象．具体方法如下所示：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象是抛物线，顶点坐标是(h，k)，对称轴是直线x＝h.
a>0时，开口向上，顶点是最低点，x＝h时y ＝k.在对称轴左侧，y的值随x值的增大
最小值
而减小；在对
称轴右侧，y的值随x值的增大而增大．
a<0时，开口向下，顶点是最高点，x＝h时y ＝k.在对称轴左侧，y的值随x值的增大
最大值
而增大；在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小．
提示：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以看作是二次函数y＝a(x－h)2的图象向上(或向
下)平移|k|个单位得到的．
四、总结梳理 内化目标
函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质，与函数y＝ax2的图象与性质密切相关，可以通过平移
的方式进行图象的位置变化而相互得到的；性质都具有各自的特殊性．
五、达标检测 反思目标
完成下列表格：
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝2(x＋3)2＋5
y＝－3(x－1)2－2
y＝4(x－3)2＋7
y＝－5(2－x)2－6
1.请回答抛物线y＝4(x－3)2＋7由抛物线y＝4x2怎样平移得到？
2．抛物线y＝－4(x－3)2＋7能够由抛物线y＝4x2平移得到吗？
教材第39页习题2，3题．
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第 5 课时 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与性质
1．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象．
2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3．让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质．
用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐
标是教学的重点．
理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴、顶点坐标是教学的难点．
一、创设情景 明确目标
1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
(函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是(2，1))．
2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系？
(函数y＝－4(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位再
向上平移1个单位得到的)
3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质？
(当x＜2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞2时，函数值y随x的增大而减小；当x＝
2时，函数取得最大值，最大值y＝1)
4．不画出图象，你能直接说出函数y＝3x2－6x＋5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标
吗？
(因为y＝3x2－6x＋5＝3(x－1)2＋2，所以这个函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为(1，2))
5．你能画出函数y＝3x2－6x＋5的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗？
二、自主学习 指向目标
阅读教材第39页至40页的内容，完成《名师学案》的“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
活动1：让学生动手操作，据列表，描点，连线画出函数y＝3x2－6x＋5的图象．
首先：把函数y＝3x2－6x＋5用配方法转化成y＝a(x－h)2＋k的形式(学生分组讨论进行)；
过程：[y＝3x2－6x＋5＝3(x2－2x)＋5
＝3(x2－2x＋1)＋5－3
＝3(x－1)2＋2]
所以x＝1为对称轴
作出函数y＝3x2－6x＋5的图象，进而观察得到这个函数的性质．
解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表；
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y＝3(x－1)2＋2 … 29 14 5 2 5 14 29 …
(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．
(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y＝3x2－6x＋5的图象．
展示点评：(1)列表时，应根据对称轴是x＝1，以1为中心，对称地选取自变量的值，求出
相应的函数值．相应的函数值是相等的．
(2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单位不
同．所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观．
让学生观察函数图象，发表意见，互相补充，得到这个函数的性质；
当x＜1时，函数值y随x的增大而减小；当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x＝1时，函数取得最小值，最小值y＝2
反思小结：画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，在列表之前要把函数y＝ax2＋bx＋c转
化成y＝a(x－h)2＋k的形式来确定，对称轴直线x＝h，然后在向左右以相同单位延伸求出对
应y的值，从而描点，连线．
针对训练：教材第41页随堂练习(1)(2)．
活动2：以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质．那么，对于任
意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？
你能把结果写出来吗？
教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识；
y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋x)＋c＝a[x2＋x＋()2]＋c－＝a(x＋)2＋
当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下．
对称轴是x＝－，顶点坐标是(－，)
展示点评：对于函数一般式y＝ax2＋bx＋c分析的它的图象与性质，首先通过配方法，把
它写成顶点式的形式y＝a(x＋)2＋，可以根据a的符号写出有关性质．
反思小结：
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，
函数
a≠0)
图象
a>0 a<0
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x＝－ 直线x＝－
顶点坐标 (－，) (－，)
在对称轴的左侧，即当x<－时，y 在对称轴的左侧，即当x<－时，y
的值随x值的增大而减小；在对 的值随x值的增大而增大；在对
增减性
称轴的右侧，即当x>－时，y的值 称轴的右侧，即当x>－时，y的值
随x值的增大而增大 随x值的增大而减小
抛物线有最低点，当x＝－时，y 抛物线有最高点，当x＝－时，y
最值
有最小值，y ＝ 有最大值，y ＝
最小值 最大值
针对训练：教材第40页做一做．
四、总结梳理 内化目标
1．用配方法把二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c写成顶点式y＝a(x＋)2＋
2．利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质解决实际中遇到的问题，例如求最大值或最小值
问题．
五、达标检测 反思目标
1．填空：
(1)抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标是________；
(2)抛物线y＝2x2－2x－的开口________，对称轴是________；
(3)抛物线y＝－2x2－4x＋8的开口________，顶点坐标是________；
(4)抛物线y＝－x2＋2x＋4的对称轴是________；
(5)二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝________．
2．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)y＝3x2＋2x；
(2)y＝－x2－2x；(3)y＝－2x2＋8x－8；
(4)y＝x2－4x＋3.
3．求二次函数y＝mx2＋2mx＋3(m＞0)的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质．
教材第41页习题1(1)(2)(3)．
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2．3 确定二次函数的表达式
1．会用待定系数法求二次函数的解析式；
2．实际问题中求二次函数解析式．
用待定系数法求二次函数的解析式．
用待定系数法求二次函数的解析式．
一、创设情景 明确目标
1．已知二次函数y＝x2＋x＋m的图象过点(1，2)，则m的值为________．
2．已知点A(2，5)，B(4，5)是抛物线y＝4x2＋bx＋c上的两点，则这条抛物线的对称轴为
________．
3．将抛物线y＝－(x－1)2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线
的解析式为________．
4．抛物线的形状、开口方向都与抛物线y＝－x2相同，顶点在(1，－2)，则抛物线的解析式
为________．
二、自主学习 指向目标
阅读教材第42页至45页的内容，并完成《名师学案》中的“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
已知两个点求二次函数的表达式
活动1：已知二次函数y＝ax2＋c的图象经过点(2，3)和(－1，－3)，请确定这个二次函数的
表达式．展示点评：将点(2，3)和(－1，－3)的坐标分别代入表达式y＝ax2＋c，得解这个方程组，得，
所以，所求二次函数的表达式y＝2x2＋5.
反思小结：二次函数y＝ax2＋bx＋c中已知一个系数或者常数项的值，则只需两个点就可
以确定二次函数的表达式．
针对训练：教材第42页做一做．
活动2：已知二次函数的顶点为A(1，－4)且经过点B(3，0)，求二次函数解析式．
思考：运用顶点式求二次函数解析式的抛物线特征是什么？求解如何进行？
展示点评：抛物线解析式为y＝a(x－1)2－4，将(3，0)代入得a＝1，所以y＝x2－2x－3.
反思小结：例题是已知抛物线的顶点及另一点的坐标求二次函数的解析式问题，还有哪
些抛物线可以运用顶点式求解其解析式？
针对训练：已知二次函数的图象的顶点坐标为(－1，1)且经过点(1，－3)，求这个二次函数
的表达式．
反思小结：若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点的坐标时，通常设函数的解析式
为顶点式y＝a(x－h)2＋k来求解．特别地，当抛物线的顶点是原点，即h＝0，k＝0时，可设函
数的解析式为y＝ax2；当抛物线的对称轴为y轴，即h＝0时，可设函数的解析式为y＝ax2＋k；
当抛物线的顶点在x轴上(或与x轴只有一个交点)，即k＝0时，可设函数的解析式为y＝a(x－
h)2.
已知三个点来确定二次函数的表达式
活动：
思考：(1)运用一般式求二次函数解析式的抛物线特征是什么？求解如何进行？
(2)用待定系数法求二次函数的解析式的实质是什么？如何进行？
反思小结：若已知条件是抛物线上任意三点，通常设函数的解析式为一般式y＝ax2＋bx
＋c，将三点的坐标代入，列出含有a，b，c的三元一次方程组求解即可．可见，用待定系数法求
二次函数的解析式的实质就是根据题意列出方程组，并通过解方程组求出问题的解．其一般
步骤为：一设，二代，三解，四代．
例题：已知二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点，求这个二次函数的表达式，
并写出它的对称轴和顶点坐标．
解：设所求二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c
将三点(－1，10)，(1，4)，(2，7)的坐标分别代入表达式，得
解这个方程组得
所以，所求的二次函数表达式为y＝2x2－3x＋5，因为y＝2x2－3x＋5＝2(x－)2＋，
所以二次函数的图象的对称轴为直线x＝，顶点坐标为(，)
针对训练：教材第45页议一议．
反思：运用交点式来求二次函数解析式的抛物线特征是什么？求解如何进行？
当抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点为(x，0)，(x，0)时，二次函数y＝ax2＋bx＋c
1 2
可转化为交点式y＝a(x－x)(x－x)．因此，当已知抛物线与x轴的两个交点坐标为(x，0)，(x，
1 2 1 2
0)和另一点的坐标时，可设函数的解析式y＝a(x－x)(x－x)，再把另一点坐标代入其中，即可
1 2
解得a，求出抛物线的解析式．
四、总结梳理 内化目标
三种常用二次函数解析式的形式：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常
数，a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)；(3)交点式：y＝
方法、
a(x－x)(x－x)(a≠0)．在求二次函数解析式时，根据不同的已知条件，灵活
规律 1 2
设二次函数解析式，可以很简捷地求出其解析式．
对于解析几何问题，由点的坐标求距离由于加绝对值取正值．反过来，由距
易错点
离得坐标时，由于位置的不确定导致坐标可为正数也可为负数，需要运用分类讨论的数学思想方法来分析.
五、达标检测 反思目标
1．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)，B(0，2)，C(1，3)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)画出二次函数的图象．
2．已知抛物线过点A(－1，0)，B(2，0)，且与y轴交于点C(0，－2)．
(1)求此抛物线的解析式，并求顶点坐标；
(2)当x为何值时，y随x的增大而减小？
1．教材第43页习题1，2.
2．教材第45习题2.
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2．4 二次函数的应用
第 1 课时 与面积有关的实际问题
1．掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．学会分
析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．
2．体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值．
本节的重点是应用二次函数解决与图形有关的最值问题，这是二次函数综合题目中常见
的一种类型．在二次函数的应用中占有重要的地位，是经常考查的题型，根据图形中的线段之
间的关系，与二次函数结合，可解决此类问题．
由图中找到二次函数表达式是本节的难点，它常用的有三角形相似，对应线段成比例，面
积公式等，应用这些等式往往可以找到二次函数的表达式．
一、创设情景 明确目标
如图，在一个直角三角形FAE的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边
上．
(1)如果设矩形一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大，最大值为多少？
二、自主学习 指向目标
阅读教材第46页至47页的内容，并完成《名师学案》中的“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
二次函数应用(有关面积问题)
活动1：请同学们相互讨论完成上题的两个问题．
展示点评：(1)要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以
用三角形相似求出BC.
(2)要求面积y的最大值，即求函数y＝AB·AD的最大值，就转化为数学问题了．
(1)∵BC∥AD，∴△EBC∽△EAF.
∴＝.
又AB＝x m，BE＝40－x(m)，
∴＝.
∴BC＝(40－x)．
∴AD＝BC＝(40－x)＝30－x.
(2)y＝AB·AD＝x(30－x)＝－x2＋30x＝－(x2－40x＋400－400)＝－(x2－40x＋400)＋300
＝－(x－20)2＋300.
当x＝20时，y ＝300.
最大
即当x取20m时，y的值最大，最大值是300m2.
反思小结：此类题目通过三角形相似建立问题中未知量与已知量之间的等量关系，求出
有关自变量x与y的二次函数表达式，利用二次函数的性质(用顶点式)去求面积的最大值．
活动2：将上述题目中的问题一变式，设AD的边长为x m，则问题会出现怎样的情况呢？
展示点评：∵DC∥AB，∴△FDC∽△FAE.
∴＝.∵AD＝x m，FD＝30－x(m)．∴＝.
∴DC＝(30－x)．
∴AB＝DC＝(30－x)．
y＝AB·AD＝x·(30－x)＝－x2＋40x＝－(x2－30x＋225－225)＝－(x－15)2＋300.
当x＝15时，y ＝300.即当AD的长为15m时，长方形的面积最大，最大面积是300m2.
最大
针对训练：教材中第46页议一议．
例题讲解：教材中第46页例1.
反思小结：在上述这些实际问题都根据题目的背景建立二次函数模型，利用二次函数的
图象与性质进行解题．
四、总结梳理 内化目标
在讨论交流后，学生通过前面例题的学习和感受，在教师的帮助下归纳出：
解决此类问题的基本思路是：
(1)理解问题；
(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；
(3)用数学的方式表示它们之间的关系；
(4)用函数求解；
(5)检验结果的合理性，拓展等．
五、达标检测 反思目标
1．如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边
上，BC在斜边上．
(1)设矩形的一边BC＝x m，那么AB边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y的最大值是多少？
2．用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场，养鸡场一面用砖砌成，另三面用竹篱笆围成，
并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆)，问养鸡场的边长为多少米时，养鸡场占地
面积最大？最大面积是多少？
教材第47页习题1，2.
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________________________________________________________________________第 2 课时 与利润有关的实际问题
1．经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数
学模型，并感受数学的应用价值．
2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实
际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力．
能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际
问题的最值．
能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际
问题的最值．
一、创设情景 明确目标
在商品销售中如何求一件商品的利润和总利润？
例如：某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元．根据市场调查，销售量与销售单
价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可
以多售出200件．
请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？
设销售单价为x(x≤13.5)元，那么
(1)销售量可以表示为________；
(2)销售额可以表示为________；
(3)所获利润可以表示为________；
(4)当销售单价是________元时，可以获得最大利润，最大利润是________．
这是一个有实际意义的问题，要想解决它，就必须寻找出问题本身所隐含的一些关系，并
把这些关系用数学的语言表示出来．
二、自主学习 指向目标
阅读教材第48页至49页内容，并完成《名师学案》中的“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
有关利润的问题
活动：完成上面题目中的问题．
展示点评：设销售单价为x元，则与原先的单价相比，降低了(13.5－x)元，而每降低1元，
可多售出200件，降低了(13.5－x)元，则可多售出200(13.5－x)件，因此共售出500＋200(13.5
－x)件，若所获利润用y(元)表示，则y＝(x－2.5)[500＋200(13.5－x)]．
(1)销售量可以表示为500＋200(13.5－x)＝3200－200x.
(2)销售额可以表示为x(3200－200x)＝3200x－200x2.
(3)所获利润可以表示为(3200x－200x2)－2.5(3200－200x)＝－200x2＋3700x－8000.
(4)设总利润为y元，则y＝－200x2＋3700x－8000＝－200(x－)2＋.
∵－200＜0∴抛物线有最高点，函数有最大值．
当x＝＝9.25元时，y ＝＝9112.5元．
最大
即当销售单价是9.25元时，可以获得最大利润，最大利润是9112.5元．反思：要熟练掌握销售问题中的等量关系，如本题中“利润＝(售价－进价)×销售量”最
大利润实际上就是求函数的最大值．
针对训练：《名师学案》中的“当堂练习”部分．
例题讲解：教材中第48页的例2.
反思小结：利用二次函数的最值解答商品销售中的“最大利润”问题时，可采用以下步
骤：
(1)设出自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入．
(2)用含自变量的代数式表示销售商品的成本．
(3)用因变量及含自变量的代数式分别表示销售利润，即可得到函数表达式．
(4)根据函数表达式求出最值及取得最值时自变量的值．
四、总结梳理 内化目标
本节课经历了探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会了二次函数是一类最优化
问题的数学模型，并感受了数学的应用价值．
学会了分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实
际问题中的最大(小)值，提高解决问题的能力．
五、达标检测 反思目标
1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售
出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售
量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？
2．《名师学案》中“课后作业”部分．
教材第50页习题1，2.
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2．5 二次函数与一元二次方程
第 1 课时 二次函数与一元二次方程
1．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培
养学生的数形结合思想．
2．理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝h的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝h(h是实数)图象交点的横坐标．
理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什
么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根．
理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝h的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝h(h是实
数)图象交点的横坐标．
一、创设情景 明确目标
1．y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，y叫做x的________．它的图象是一条抛物线．它
的对称轴是直线x＝________，顶点坐标是( ， )．
2．二次函数的解析式中的一般式是：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)顶点式：y＝a(x－h)2＋k交点式：
y＝a(x－x)(x－x)
1 2
3．抛物线y＝x2＋2x－4的对称轴是________，开口方向________，顶点坐标是________．
4．抛物线y＝2(x－2)(x－3)与x轴的交点为________，与y轴的交点为________．
5．已知抛物线与轴交于A(－1，0)和(1，0)，并经过点M(0，1)，则此抛物线的解析式为
________．
二、自主学习 指向目标
阅读教材第51页至52页的内容，并完成《名师学案》中的“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
二次函数与一元二次方程的关系
活动：
我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h＝－5t2＋vt
0
＋h 表示，其中h(m)是抛出时的高度，v(m/s)是抛出时的速度．一个小球从地面以40m/s的速
0 0 0
度竖直向上抛出起，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，那么
(1)图象上每个点的横、纵坐标含义是什么？
(2)h和t的关系式是什么？
(3)小球经过多少秒后落地？
你有几种求解方法？与同伴进行交流．
在交流过程中发现当抛物线与x轴相交时纵坐标为0，即y＝ax2＋bx＋c转化成了ax2＋
bx＋c＝0，此时与一元二次方程的根有密切相关．
分别求出二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象与x轴的交点坐标，并
快速作出草图．
思路点评：与x轴交点就是求当y＝0时，这个方程的解，然后写出点的坐标．① ② ③
(1)观察下列二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象，每个图象与x轴
有几个交点？
①有两个交点；②有唯一交点；③没有交点．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的
根有什么关系？
归纳小结：
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况：
(1)有两个交点；
(2)有一个交点；
(3)没有交点．
例题讲解：一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)可以用公式h＝－4.9t2＋
19.6t来表示．其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间．
(1)当t＝1时，足球的高度是多少？
(2)t为何值时，h最大？
(3)经过多长时间球落地？
(4)方程－4.9t2＋19.6t＝0的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗？
(5)方程14.7＝－4.9t2＋19.6t的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗？
解：(1)t＝1时，h＝14.7
(2)∵h＝－4.9(t－2)2＋19.6
∴当t＝2时，h
最大
(3)对于h＝－4.9t2＋19.6t球落地表示h＝0
即－4.9t2＋19.6t＝0，
解得t＝0(舍去)，t＝4.
1 2
即足球被踢出后经过4s后球落地．
(4)方法一：解方程0＝－4.9t2＋19.6t得t＝0，t＝4
1 2
根t＝0，t＝4分别表示足球离开地面和落地的时刻
1 2
方法二：直接观察抛物线与直线x轴的交点(0，0)，(4，0)即可图形表示方程的根就是抛物
线与x轴的两个交点
(5)方法一：解方程14.7＝－4.9t2＋19.6t得t＝1，t＝3
方法二：图象法，过点(0，14.7)作一条与y轴垂直的直线，找到它与抛物线的交点，再分别
过交点作x轴的垂线，找出两个垂足的横坐标即可．表明球被踢出1秒和3秒时，离地面的高
度都是14.7m.
针对训练：《名师学案》中的“当堂练习”部分．
四、总结梳理 内化目标
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：
(1)b2－4ac>0，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x，x，抛物线y＝ax2＋bx＋c
1 2
与x轴有两个交点(x，0)，(x，0)；
1 2(2)当b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x＝x＝－，抛物线y＝ax2
1 2
＋bx＋c与x轴有一个交点恰好就是抛物线的顶点(－，0)；
(3)当b2－4ac<0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，抛物线与x轴没有交点，二次函数
与一元二次方程之间的关系如下表：
b2－4ac
图象
a>0 a<0
y＝ax2＋bx＋
c(a≠0)
方程ax2＋bx
＋c＝0
与x轴交点 与y轴交点
(a≠0)根的情
况
(x，0)，
b2－4ac>0 1 (0，c) x ＝
(x，0) 1，2
2
b2－4ac＝0 (－，0) (0，c) x＝x＝－
1 2
b2－4ac<0 无交点 (0，c) 没有实数根
五、达标检测 反思目标
1．抛物线y＝－3(x－2)(x＋5)与x轴的交点坐标为________．
2．抛物线y＝x2－2x＋3与两坐标轴交点的个数为________个．
3．抛物线y＝2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m＝________．
4．二次函数y＝kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围________．
5．已知二次函数y＝kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为什么？
教材第53页习题3，4.
第 2 课时 利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似根
1．巩固理解二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根．
2．巩固理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝h的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝
h(h是实数)图象交点的横坐标．
理解二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根．
理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝h的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝h(h是实
数)图象交点的横坐标．一、创设情景 明确目标
1．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(0，0)与(12，0)，最高点纵坐标是3，求这条抛物线的表达
式________．
2．若a＜0，b＞0，c＜0，Δ＜0，那么抛物线y＝ax2＋bx＋c经过________象限．
3．在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)与飞行时间x(s)的关系满足y
＝－x2＋10x.
(1)经过________s，炮弹达到它的最高点，最高点的高度是________m.
(2)经过________s，炮弹落在地上爆炸．
4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c与________交点的
________坐标．
5．一元二次方程ax2＋bx＋c＝h的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线________交点
的________坐标．
二、自主学习 指向目标
阅读教材第53页至54页，并完成《名师学案》中的“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
用图象估计一元二次方程近似根
活动：
分析解答：
(1)用描点法作二次函数y＝x2＋2x－10的图象；
(2)观察估计二次函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴的交点的横坐标；
展示点评：由图象可知：图象与x轴有两个交点，其横坐标一个在－5与－4之间，另一个
在2与3之间，可以利用计算器探求如下表：
x －4.1 －4.2 －4.3 －4.4
y －1.39 －0.76 －0.11 0.56
由表可知：x＝－4.3是方程的一个根，另外一个表如下：
x 2.1 2.2 2.3 2.4
y －1.39 －0.76 －0.11 0.56
由表可知：x＝2.3是方程的一个根．
反思：上述方程x2＋2x－10＝0也可以用求根公式来解，看看是否与图象来估计近似值是
否相同．
例题讲解：利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根．方法一：(1)用描点法作二次函数y＝x2＋2x－10的图象；
(2)作直线y＝3；
(3)观察估计抛物线y＝x2＋2x－10和直线y＝3的交点的横坐标；由图象可知，它们有两
个交点，其横坐标一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间，分别约为－4.7和2.7.
(4)确定方程x2＋2x－10＝3的解；
由此可知，方程x2＋2x－10＝3的近似根为：x≈－4.7，x≈2.7
1 2
方法二：(1)原方程可变形为x2＋2x－13＝0；
(2)用描点法作二次函数y＝x2＋2x－13的图象；
(3)观察估计抛物线y＝x2＋2x－13和x轴的交点的横坐标；
由图象可知，它们有两个交点，其横坐标一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间，分
别约为－4.7和2.7.
(4)确定方程x2＋2x－10＝3的解；
由此可知，方程x2＋2x－10＝3的近似根为：
x≈－4.7，x≈2.7
1 2
针对训练：
(1)教材第54页做一做；
(2)教材第55页随堂练习．
四、总结梳理 内化目标
1．既可以用求根公式求一元二次方程的根，也可以通过画二次函数图象来估计一元二次
方程的根．
2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝h的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝h(h是实数)
图象交点的横坐标．
五、达标检测 反思目标
1．利用二次函数的图象求一元二次方程－2x2＋4x＋1＝0的近似根．
2．利用二次函数的图象求一元二次方程3x2－x＝1的近似根．
教材第57页习题1.________________________________________________________________________
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第三章 圆
3．1 圆
1．明确圆的定义、弦、弧等概念，澄清“圆是圆周而非圆面”、“等弧不是长度相等的弧”
等模糊概念．
2．理解点和圆的位置关系，并能根据条件画出符合条件的图形．
圆的有关概念及点和圆的位置关系．
“圆是圆周而非圆面”、“等弧不是长度相等的弧”等模糊概念．
一、创设情景 明确目标
(1)展示几种车子的图形，留心观察，车轮的形状，以及一幅游戏的画面，这几幅图从不同
的角度去选用，从离自己较远的方面到涉及自己有关的方面，逐渐引入．
(2)如图，前面我们已经学习了圆，圆还可以看成________的所有点组成的图形，其中
________是圆心，________是半径．
二、自主学习 指向目标
阅读教材第65页至67页的内容，完成《名师学案》中的“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
圆的定义
1．圆的定义
(1)从旋转的角度理解：如图1，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O________，
另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做________，线段OA叫做________．
思考：①线段OA所形成的图形叫做圆面，而圆是一个封闭的曲线图形，指的是圆周．
②在平面内画出圆，必须明确圆心和半径两个要素，________确定位置，________确定大
小．
③以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．那么以点A为圆心的圆，记作
________，读作________．
(2)从集合的观点理解：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有________的点的集合．2．如何证明几个点在同一个圆上？
反思小结：证明几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到一个定点的距离________．
针对训练：见《名师学案》“当堂练习”部分．
圆的相关概念
1．连接圆上任意两点的________叫做弦，经过圆心的弦叫做________，如图，________是
⊙O的直径；在⊙O中，线段________是弦．
思考：“直径是弦，弦是直径”这种说法正确吗？直径是圆中最长的弦吗？
结论：________，________．
2．圆弧是圆上________，简称弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条
弧都叫做________．大于________的弧叫做优弧，小于________的弧叫做劣弧．
思考：(1)“半圆是弧，弧是半圆”这种说法正确吗？
结 论 ：
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(2)以A，B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”，那么以M，N为端点的
弧记作________，读作________．如图，弦AC所对的弧有两条，其中优弧记作________，劣弧
记作________．
3．能够________的两个圆叫做等圆．“半径相等的两个圆是等圆”．
思考：面积相等的两个圆是等圆吗？周长相等的两个圆呢？
结论：________，________．
在同圆或等圆中，能够互相________的弧叫做等弧．
反思小结：在理解圆的相关概念时要结合图形．
针对训练：见《名师学案》“当堂练习”部分．
点与圆的位置关系
1．如图是一个圆形靶的示意图，O为圆心，小明向上投了5枝飞镖，它们分别落到了A、
B、C、D、E点．观察A、B、C、D、E这5个点与⊙O的位置关系？
在学生思考交流展示后小结点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点
在圆上、点在圆内．
展示点评：点与圆的位置关系及点到圆心的距离d与半径r之间的数量关系让学生动手
画圆，分别在圆外、圆内、圆上找一些点，测量这些点到圆心的距离，分析它们有什么共同特征？
反之知道一个点到圆心的距离和圆的半径，你会判断这个点和圆的位置关系吗？怎么样判断？
在学生操作、思考、交流、展示后教师总结：
①点在圆外⇔d＞r
②点在圆上⇔d＝r
③点在圆内⇔d＜r
针对训练：
1．已知⊙O的面积为9π，判断点P与⊙O的位置关系：
(1)若PO＝4.5，则点P在________；(2)若PO＝2，则点P在________；
(3)若PO＝________，则点P在圆上
2．如图：已知Rt△ABC，AB＜BC，∠B＝90°，试以点B为圆心，BA为半径画圆．
反思小结：对于圆的定义有几种定义的方法，可以以点运动的轨迹来定义，也可以以集合
的观点来定义；判断点与圆的位置关系，必须比较d与r之间的大小．
四、总结梳理 内化目标
1．圆
2．应用：同圆的半径相等，圆心是任一直径的中点．
3．点与圆的位置关系．
五、达标检测 反思目标
1．下列命题正确的有( )
①弦是圆上任意两点之间的部分 ②半径是弦 ③直径是最长的弦 ④弦是半圆，半圆
是弦
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．一个点到圆上的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则圆的半径是( )
A．2.5cm或6.5cm B．2.5cm
C．6.5cm D．5cm或13cm
3．如图，已知在⊙O中，AB，CD为直径，则AD与BC的关系是( )
A．AD＝BC
B．AD∥BC
C．AD∥BC且AD＝BC
D．不能确定
4．⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是__________．
5．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是BC的中点，若AC＝10cm，则OD
＝________cm.
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，求证：A，B，C三点共在同一圆
上．教材第68页习题1，2，3.
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3．2 圆的对称性
1．理解圆的旋转不变性．
2．利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．
利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．
理解相关定理中“同圆”或“等圆”的前提条件．
一、创设情景 明确目标
(1)圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？你能找出多少条对称轴？
(2)你可以用什么方法来解决上述问题？
二、自主学习 指向目标
阅读教材第70至71页的内容，并完成《名师学案》中的“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
圆的对称性
(1)圆是轴对称图形
活动1：把一个圆用折叠的方法把圆折叠数次，看看能不能使折叠的两部分完全重合．
展示点评：如上面三个图，只要折线经过圆心，则所折的两部分半圆可以完全重合，可以
确定出圆是轴对称图形，对称轴即为过圆心的直线，有无数条这样的对称轴．
反思：圆有无数条对称轴，而以前学习的正多边形的对称轴是有限的．
活动2：把一个圆以圆心为固定点任意旋转一个角度，旋转前后都能重合吗？展示点评：把上述两个圆形以圆心O为固定点随意旋转任意一个角度，旋转前后的图形
都是重合的；所以圆是中心对称图形，而对称中心就是圆心．
反思：圆是中心对称图形，而它绕中心旋转的角度可以是任意角，区别于其他中心对称图
形，一般地需要旋转90°，180°或360°等等．
针对训练：教材72页随堂练习1，2.
(2)圆心角，弧，弦之间的关系．
活动3：在等圆⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′(如图)，将两圆重
叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合，你还能发现哪
些等量关系？说一说你的理由．
展示点评：可以很容易得到AB＝A′B′，AB＝A′B′，∠AOB＝∠A′O′B′，
归纳：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
②在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦有一组量相等，那么它们所对应的
其余各组量都分别相等．
反思小结：(1)上述①②必要条件为同圆或等圆；另外弦所对的弧特别指出为劣弧．
(2)如果①∠AOB＝∠A′O′B′，则有：AB＝A′B′，AB＝A′B′；
②若AB＝A′B′，则有AB＝A′B′，∠AOB＝∠A′O′B′；
③若AB＝A′B′，则有∠AOB＝∠A′O′B′，AB＝A′B′.
例题讲解：教材71页例题．
针对训练：
如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
(1)如果AB＝CD，那么________，________．
(2)如果AB＝CD，那么________，________．
(3)如果∠AOB＝∠COD，那么________，________．
(4)如果AB＝CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
四、总结梳理 内化目标
1．圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的直线．
2．圆具有旋转不变性，把圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的圆形重合．圆
是中心对称图形，对称中心是圆心．
3．圆心角、弧、弦之间的关系定理及推论．
五、达标检测 反思目标1．如图，AB是⊙O的直径，BC＝CD＝ED，∠COD＝35°，求∠AOE的度数．
2．如图，已知OA、OB是⊙O的半径，点C为弧AB的中点，M、N分别为OA、OB的中点，
求证：MC＝NC.
教材第72页习题1，2题．
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*3.3 垂径定理
1．掌握垂径定理及其推论的内容．
2．学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算．
垂径定理及其推论的发现、记忆与证明．
垂径定理及其推论的运用．
一、创设情景 明确目标
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.
(1)此图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？(2)你能发现图中有哪些等量关系？说说你的理由？
二、自主学习 指向目标
阅读教材第74页至75页内容，并完成《名师学案》中的“课前预习”．
三、合作探究 达成目标
垂径定理及其推论
(1)垂径定理
活动：
(思考)如图：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E.
①这个图形是轴对称图形吗？
②你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由．
③你能用一句话概括这些结论吗？
④你能用几何方法证明这些结论吗？
⑤你能用符号语言表达这个结论吗？
展示点评：如图，根据图的对称性，直线CD是对称轴，所以AE＝BE，AD＝DB，
OE⊥AB，AC＝BC.
归纳：垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，平分弦所对的两条弧．
如图，∵CD⊥AB，CD为直径，
∴AE＝BE，
AD＝DB，AC＝BC.
反思小结：垂径定理是利用了圆是轴对称图形的性质而得到的；垂径定理在圆的解题中
应用十分广泛．
例题讲解：教材第74页例题．
针对训练：《名师学案》“当堂练习”部分．
(2)垂径定理的推论．
思考：AB是圆O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD交AB于E，此图是轴对称
图形吗？
你能发现哪些结论？和你的同桌交流一下，说说你的理由．
在学生思考、讨论、交流后师生共同总结：
平分弦(不是直径)的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
思考：为什么强调这里的弦不是直径？如图，∵CD为直径，AE＝BE，
∴CD⊥AB，AC＝BC，AD＝BD.
例题讲解：教材第75页例题．
针对训练：《名师学案》中的“当堂练习”部分．
(3)垂径定理的应用．
思考：从数学的角度分析已知什么几何图形，画出它，分析已知哪些量，要求什么量，为了
解决问题，教材添加了什么辅助线？它有何作用？
反思小结：在圆中解决有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线．实
际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段即可．这样，把垂径定理和勾股定理结合起来，
容易得到圆的半径R，圆心到弦的距离d，弦长a之间的关系式：R2＝d2＋()2.
针对训练：(1)教材第76页随堂练习．
(2)见《名师学案》“课后作业”部分．
四、总结梳理 内化目标
(1)垂径定理及其推论的推理过程．
(2)垂径定理及其推论的应用；在实际问题中常常需要添加一些辅助线，利用勾股定理来
解决．
五、达标检测 反思目标
1．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC，垂足为D，已知OD＝5，则弦AC＝
________．
2．若圆的半径为2cm，圆中一条弦长为2cm，则此弦中点到此弦所对劣弧中点的距离是
________cm.
3．如图，⊙O的半径为5，P为圆内一点，P到圆心O的距离为4，则过P点的弦长的最小
值是________．
,第4题图)
4．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
5．在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，则AB和CD的距离是( )
A．7cm B．1cm
C．7cm或4cm D．7cm或1cm
教材第76页习题1，2，3.
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3．4 圆周角和圆心角的关系
第 1 课时 圆周角及定理
1．了解圆周角的概念．
2．理解圆周角定理的证明．
3．经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一
般性问题的方法，渗透分类的数学思想．
圆周角概念及圆周角定理．
认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性．
一、创设情景 明确目标
在射门游戏中如图，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角
(∠ABC)有关，当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角
∠ABC，∠ADC，∠AEC，这三个角的大小有什么关系？
二、自主学习 指向目标
阅读教材第78页至79页的内容，并完成《名师学案》中的“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
圆周角定义
活动：完成上面题目背景下提出的问题？
结论：∠ABC＝∠ADC＝∠AEC.
展示点评：可以发现∠ABC，∠ADC，∠AEC它们有共同的特点：角的顶点都在圆上，两
边分别与圆还有另一个交点，像这样的角叫它圆周角．
反思小组：(1)圆周角定义，顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角叫做
圆周角．
(2)圆周角与圆心角的区别在于一个顶点在圆上，一个顶点在圆心．
针对训练：《名师学案》“当堂练习”部分有关题目．
圆周角定理活动：如图，∠AOB＝80°
(1)请你画出几个AB所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流．
(2)这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同学交流．
展示点评：图(1)可知：∠C＋∠A＝∠AOB，∠A＝∠C，∴2∠C＝∠AOB，即：∠C＝
∠AOB＝×80°＝40°；图(2)连接OC并延长，由图(1)可知∠1＝2∠3，∠2＝2∠4，∴∠1＋∠2
＝2(∠3＋∠4)，即∠AOB＝2∠ACB(∠C＝∠AOB＝×80°＝40°)；图(3)连接OC并延长交⊙O
于D，同理可知∠AOD＝2∠ACO，∠BOD＝2∠BCO，∴∠AOD－∠BOD＝2(∠ACO－
∠BCO)，即∠AOB＝∠2ACB(∠ACB＝∠AOB＝×80°＝40°)
归纳：在学生小组交流后得到结论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
反思小结：(1)探索同一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间关系分三种图形进行讨
论．
(2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
针对训练：
(1)学生完成教材第79页(2)(3)问．
(2)《名师学案》中“当堂练习”有关部分．
圆周角定理的推论
观察图①，∠ABC，∠ADC和∠AEC各是什么角？它们有什么共同的特征？它们的大小
有什么关系？为什么？由此你得到什么结论？
在学生思考讨论交流后学生总结：
在同圆中，同弧所对的圆周角相等．
思考：如果把上面的同弧改成等弧，结论成立吗？
归纳小结：圆周角定理的推论是在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
针对训练：
①教材第80页随堂练习．
②《名师学案》中的“当堂练习”部分．
四、总结梳理 内化目标
(1)圆周角的定义
(2)圆周角定理及其推论1.
五、达标检测 反思目标1．如图，在⊙O中，∠BOC＝50°，则∠BAC＝________．
变化题1：
如图，点A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC＝40°，则∠BOC＝________．
变化题2：
如图，∠BAC＝40°，则∠OBC＝________．
2．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什
么关系？为什么？
3．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BCD＝100°，求∠BOD(BCD所对的圆心角)和
∠BAD
的大小．
教材第80页习题1，3.
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第 2 课时 圆周角及推论
1．掌握圆周角定理推论的内容，会熟练运用定理及推论解决问题．
2．掌握圆内接四边形的概念及性质，会运用性质解决问题．
圆周角定理的推论及圆内接四边形的性质．
圆周角定理的推论及圆内接四边形的性质的运用．一、创设情景 明确目标
1．如图，∠BOC是_______角，∠BAC是_______角，若∠BOC＝80°，∠BAC＝________．
第1题图 第2题图
2．如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠ABO＝65°，则∠BCA＝( )
A．25° B．32.5°
C．30° D．45°
二、自主学习 指向目标
阅读教材第81页至82页内容，并完成《名师学案》中“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
圆周角定理的推论
活动：
1．探究圆周角定理的推论；
观察图①，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角、还是钝角？你是如何判断的？
观察图②，圆周角∠BAC＝90°，弦BC经过圆心吗？为什么？
展示点评：利用圆周角定理可知：
∵∠BOC＝180°，∴∠A＝∠BOC＝×180°＝90°(图1)；图(2)可以判断BC为直径．
小组讨论：
在学生思考，小组交流后师生共同总结：圆周角定理的推论是直径所对的圆周角是直角，
90°的圆周角所对的弦是直径．
运用：∵BC是直径，点A在圆上，∴∠BAC＝90°
∵圆周角∠BAC＝90°，∴BC是直径
反思小结：定理的推论实际上是在定理基础上的一种拓展；可以通过圆周角定理得到：直
径所对的圆周角为直角，反之也成立．
针对训练：(1)《名师学案》中“当堂练习”部分．
(2)练习：小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形．根据下图，你能判断哪个是半
圆形？为什么？
图(1) 图(2)
(3)教材第83页随堂练习1.
圆内接四边形
活动：(1)如图(1)A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，∠BAD与∠BCD之间有
什么关系？为什么？图(1) 图(2)
(2)如图(2)，若AC不为直径，则∠BAD与∠BCD之间的关系还成立吗？为什么？
展示点评：(1)由推论可得：∠D＝∠B＝90°，∠B＋∠D＝180°，则∠BAD＋∠BCD＝360°
－(∠B＋∠D)＝180°；图(2)中∠BOD＋∠BOD(大于平角)＝360°，而∠C＝∠BOD，∠A＝
∠BOD(大于平角)，则∠C＋∠A＝180°.所以∠BAD与∠BCD之间关系仍然成立．
小组讨论：(1)什么是圆内接四边形？
(2)推论的归纳与推理过程．
①四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫圆内接四边形，这个圆叫做四
边形的外接圆．
②推论：圆内接四边形的对角互补．
针对训练：(1)《名师学案》中的“当堂练习”部分．
(2)教材随堂练习3.
四、总结梳理 内化目标
(1)推论：同弧或等弧所对的圆周角相等．
(2)圆内接四边形，四边形的外接圆的概念．
(3)推论：圆内接四边形的对角互补．
五、达标检测 反思目标
1．如图：∠EDC是圆内接四边形ABCD的一个外角，你知道∠B与∠EDC的关系吗？
第1，2题图
2．四边形ABCD内接于⊙O，则∠A＋∠C＝______，∠B＋∠ADC＝________；若∠B＝
80°，则∠ADC＝________，∠CDE＝________．
3．四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC＝100°，则∠B＝________∠D＝________．
4．四边形ABCD内接于⊙O，∠A∶∠C＝1∶3，则∠A＝________．
教材第83页习题1，2，3题．________________________________________________________________________
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3．5 确定圆的条件
1．了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方
法．
2．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
确定圆的条件．
确定圆的条件．
一、创设情景 明确目标
1．某地区在一空地上新建了三个居住小区A、B、C，现要规划一所学校，使学校到三个小
区的距离相等．你如何选取这所学校的地点？
2．经过一点可以作无数条直线，经过两点可以确定一条直线，那么经过几个点可以确定
一个圆呢？
二、自主学习 指向目标
阅读教材第85页至87页的内容，并完成《名师学案》中的“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
经过不在同一直线上的三点作圆
活动：
1．经过一个点作圆
作圆，使它过已知点A.你能作出几个这样的圆？
在学生操作思考后总结：经过一个点可以作无数个圆．
反思：经过点A可以有无数个圆，它们没有固定的半径和圆心．
2．经过两个点作圆．
过已知点A，B作圆，
(1)你准备如何(确定圆心，半径)作圆？(2)其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？
在学生思考操作后总结：
(1)经过两点A，B的圆有无数个，这些的圆心在线段AB的垂直平分线上；
(2)作法：以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心，这点到A或B的距离为半径作
圆．
展示点评：过两点A，B的圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上．
反思：圆心是不固定的．
3．经过不在同一直线上的三个点作圆．
作圆，使它过已知点A，B，C(A，B，C三点不在同一条直线上)，你能作出几个这样的圆？
(1)你准备如何(确定圆心，半径)作圆？
(2)其圆心的位置有什么特点？与A，B，C有什么关系？
展示点评：1.能否转化为2的情况——经过两点A，B的圆的圆心在线段AB的垂直平分
线上；
2．经过两点B，C的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上；
3．经过三点A，B，C的圆的圆心应该在两条垂直平分线的交点O的位置．
反思：经过不在同一直线上的三个点的圆是唯一的．
归纳：
定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆
1．三角形的三个顶点确定一个圆，这圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接
三角形．
2．外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
思考：(1)如果三个点在同一直线时可以作圆吗？为什么？
(2)你现在能解决课前的问题了吗？动手做一做？
针对训练：
(1)教材第86页做一做．
(2)教材第86页随堂练习．
四、总结梳理 内化目标
(1)经过一点，可以作无数个圆，其圆心，半径不定，经过两点可以作无数个圆，其圆心在
线段的垂直平分线上．
(2)经过不在同一直线上的三点可以作唯一一个圆，其圆心，半径均是固定的．
五、达标检测 反思目标
见《名师学案》“课后作业”部分．
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________________________________________________________________________3．6 直线和圆的位置关系
第 1 课时 直线和圆的位置关系及切线的性质
1．理解直线与圆有三种位置关系，并能利用公共点的个数、圆心到直线的距离与半径之
间关系来判断它．
2．直线与圆相切的判断方法，并能利用公共点的个数、圆心到直线的距离与半径之间关
系来判定它．
3．理解并掌握圆的切线的性质，会利用性质解决问题．
理解直线与圆的三种位置关系的定义，并能准确地判定．
1．理解“切线”定义中的：“唯一”；2.灵活准确应用相关性质解决问题．
一、创设情景 明确目标
1．观察三幅太阳升起的照片，地平线与太阳的位置关系是怎样的？
这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种？
2．观察三幅太阳落山的照片，地平线与太阳的位置关系是怎样的？
这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种？
3．作一个圆，把直尺边缘看成一条直线．固定圆，平移直尺．
观察直线和圆有哪几种位置关系？
二、自主学习 指向目标
阅读教材第89页至91页内容，并完成《名师学案》中“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
切线的定义
活动：作一个圆，将直尺的边缘看成一条直线，固定圆，平移尺，直线和圆有几种位置关系？展示点评：图(1)中可以观察发现直线l与圆有两个交点；图(2)中直线l与⊙O只有一个交
点，图(3)中直线l与⊙O无交点．
小组讨论：(1)直线与圆有三种位置关系：相交，相切和相离．
a．相交：直线与圆有两个交点时，叫直线与圆相交；
b．相切：直线与圆有唯一的公共点时，叫直线与圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公
共点叫切点．
c．相离：直线与圆没有交点时，叫直线与圆相离．
反思：上述定义是通过直线与圆有无公共点的角度来考虑，还可以利用其他关系来定义
上述概念吗？
活动：画出圆分别作出三种位置关系中圆心到直线的距离d和半径R.
直线和圆的位置关系与半径和圆心到直线的距离之间的转化
展示点评：
(1)根据直线与圆的三种位置关系，让学生画出圆心到直线的距离d，并比较d与半径r的
大小，从而得到三种位置关系下d与r之间的数量关系；
(2)反过来，知道圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小，我们怎样判断直线与圆的位置
关系？
(3)你知道怎样判断直线与圆相切吗？
讨论归纳：
在学生操作、思考、小组交流后师生共同总结：
直线和圆相交⇔0≤d＜r
直线与圆相切⇔d＝r
直线与圆相离⇔d＞r
判断直线与圆相切的方法有两种：(1)根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断；
(2)根据性质，由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断．
针对训练：
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm
以A为圆心，3cm为半径的圆与直线BC的位置关系是________；
以A为圆心，2cm为半径的圆与直线BC的位置关系是________；
以A为圆心，3.5cm为半径的圆与直线BC的位置关系是________．
2．设⊙O的半径为r，直径为m，圆心O到直线a的距离为d.
(1)若r＝15，d＝15，则直线a和⊙O的位置关系是________；
若m＝6，d＝2，则直线a和⊙O的位置关系是________；
若m＝7，d＝5，则直线a和⊙O的位置关系是________；
(2)若直线a和⊙O相切，⊙O半径为3，则d＝________；(3)若直线a和⊙O相离，d＝4.5，则⊙O半径r的取值范围是________；
切线的性质
活动：
(1)下面的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对称轴吗？你能由此悟出
点什么？
(2)如图，直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD有怎样的位置关系？说说你的
理由．
利用对称性或反证法解决后总结：
圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
运用：∵CD切圆O于A，∴OA⊥CD
例题讲解：教材第90页例1.
针对训练：(1)教材第91页随堂练习．
(2)《名师学案》中的“当堂练习”部分．
四、总结梳理 内化目标
1．直线与圆的三种位置关系的相交，相切，相离．
2．切线的性质及应用．
五、达标检测 反思目标
1．如图，已知∠AOB＝30°，M为OB上一点，且OM＝5cm，以M为圆心、r为半径的圆与
直线OA有怎样的位置关系？为什么？
(1)r＝2cm
(2)r＝4cm
(3)r＝2.5cm
2．在平面直角坐标系中，圆A的圆心坐标为(1，－2)，半径为1.(1)⊙A与y轴的位置关系是________；
(2)⊙A向上平移的距离为______时，⊙A与x轴相切．
教材第91页习题1，2，3.
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第 2 课时 切线的判定和三角形的内切圆
1．能判定一条直线是否为圆的切线．
2．会过圆上一点画圆的切线．
3．会作三角形的内切圆．
探索圆的切线的判定方法，并能运用．
作三角形内切圆的方法．
探索圆的切线的判定方法．
一、创设情景 明确目标
(1)直线与圆的位置关系有几种？哪几种？
(2)什么叫做圆的切线？切线的性质是什么？
(3)如图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角为∠α，当l绕点A旋转时：
①随着∠α的变化，点O到l距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？②当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置
关系？为什么？
二、自主学习 指向目标
阅读教材第92页至第93页的内容，并完成《名师学案》中的“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
切线的判定
活动1：完成上述背景中的两个问题．
结果：(1)随着∠α的增大，点D到l的距离d越来越大．
(2)当∠α＝90°时，点O到l的距离d等于半径r，此时直线l与⊙O的位置关系是相切．
展示点评：问题2中的依据是直线与圆相切⇔d＝r，反之也成立．
讨论小结：在学生操作、思考、小组交流后师生共同总结得出圆的切线的判定——经过半
径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
运用：∵直线l⊥OA，OA是半径，∴直线l是圆的切线
针对训练：①教材第93页随堂练习．
②已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．
分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过半径的外端，并且垂直于这
条半径的直线是圆的切线，而现在已知圆心O和圆上一点A，那么过A点的半径就可以作出
来，再作半径的垂线即可．
如右图：
(1)连接OA；
(2)过点A作OA的垂线l，l即为所求的切线．
活动2：如图，在△ABC中，作一个圆使它与这个三角形三边都相切．
展示点评：(1)作∠B，∠C的平分线BE和CF，交点为I(如图)．
(2)过I作BC的垂线，垂足为D.
(3)以I为圆心，以ID为半径作⊙I，⊙I就是所求的圆．
反思小结：因此和三角形三边都相切的圆可以作出一个，因为三角形三个内角的平分线
交于一点，这点
为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆只有一
个，并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的
交点，叫做三角形的内心．
四、总结梳理 内化目标
1．如何判定一条直线是已知圆的切线？
(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
(2)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
(3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线．
2．三角形内切圆、三角形的内心的有关概念，内心是三角形三个角的平分线的交点，它到三角形三边的距离相等．
五、达标检测 反思目标
1．判断题．
(1)垂直于圆的半径的直线一定是这个圆的切线．( )
(2)过圆的半径的外端的直线一定是这个圆的切线．( )
2．以三角形的一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是________三角形．
3．以边长为3，4，5的三角形的三个顶点为圆心，分别作圆与对边相切，则这三个圆的半
径分别是多少？
4．分别作出锐角三角形，直角三角形，钝角三角形的内切圆，并说明与它们内心的位置情
况．
5．如下图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB.
求证：AT是⊙O的切线．
教材第93页习题1，2.
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*3.7 切线长定理
1．了解切线长的概念．
2．理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明(重点)．
切线长定理及其运用．
切线长的概念的理解．
一、创设情景 明确目标
1．如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？
2．这样的切线能画出几条？
3．如果∠P＝50°，求∠AOB的度数．
思考：已画出切线PA、PB，A、B为切点，则∠OAP＝90°，连接OP，可知A、B除了在⊙O
上，还可以有怎样的等量关系？师生共同探究用尺规过圆外一点画圆的切线的方法．
二、自主学习 指向目标
阅读教材第94页至95页的内容，并完成《名师学案》中“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
切线长及切线长定理
1．切线长的概念：
(1)如图，过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段的长叫这点到圆的切线长．
(2)切线和切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系？
反思小结：
根据图形师生共同分析、总结：
切线和切线长是两个不同的概念：
(1)切线是一条与圆相切的直线，不能度量；
(2)切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
2．切线长定理：
活动：如上图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．
(1)这个图形是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？
(2)在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由．
展示点评：(1)上面图形是一个轴对称图形，且对称轴是连接OP的直线．
(2)如图可以连接OP，OA，OB.根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB；由条件可证明
Rt△PAO≌Rt△PBO，则有PA＝PB，∠1＝∠2.
在学生思考、小组交流后师生共同总结
切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等．
运用：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴PA＝PB
总结反思：圆是一个轴对称图形，在许多时候都利用它的这种特征来解决问题，为证明一
些结论提供依据．
例题讲解：教材第94页的定理推导过程
针对训练：(1)《名师学案》中“当堂练习部分．
(2)教材第95页随堂练习．
四、总结梳理 内化目标
1．切线长的概念；
2．切线长定理的内容及推导过程．
五、达标检测 反思目标
1．已知，如图PA，PB分别切圆O于A，B两点，AC是直径，PO交圆O于M.
(1)若PA＝4，PM＝2，求圆O的半径OA________；
(2)已知OA＝3cm，OP＝6cm，求∠APB的度数________．(3)若∠P＝70°，则∠AOB＝________°.
(4)OP交⊙O于M，则________＝________，AB________OP.
第1题图
第2题图
2．已知：如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的
切线，交PA、PB于E、F点，已知PA＝12cm，求△PEF的周长．
3．如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC是切线，点A、E、B为切点．
(1)求证：OD⊥OC；
(2)若BC＝9，AD＝4，求OB的长．
教材第96页习题1，2.
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3．8 圆内接正多边形
1．了解圆的内接正多边形有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之
间的关系，会应用正多边形的知识进行有关的计算．
2．会利用等分圆的方法画简单的圆内接正多边形．
理清圆内接正多边形的中心，正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系．
通过例题使学生理解四者：圆内接正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．一、创设情景 明确目标
请同学们回答：
(1)什么叫正多边形？正多边形的有关概念．
(2)举出几个正多边形在生活中的实例．
二、自主学习 指向目标
阅读教材第97页到98页的内容，并完成《名师学案》中“课前预习”部分．
三、合作探究 达成目标
圆内接正多边形的概念
(1)圆内接正多边形：顶点都在圆上的正多边形叫做圆的内接正多边形，这个圆叫做该正
多边形的外接圆．
(2)把圆分成n(n≥3)，依次连接各等分点，我们就可以作出一个圆的内接正多边形．
(3)正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心．
正多边形的半径：外接圆的半径；
正多边形的中心角：正多边形的每一条边所对的圆心角；
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离．
如图：OC，OD是正五边形的半径，∠COD是正五边形的中心角，OM是正五边形的边心
距．
正多边形的中心角＝360°÷n
菱形的定义
活动：如图，在圆内接正六边形ABCDEF中半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正
六边形的中心角，边长和边心距．
展示点评：利用公式求中心角；连接OD利用正六边形的特殊性得到△OCD为等边三角
形即可求得CD；求OG只需解直角三角形OGC.
连接OD
∵六边形ABCDEF为正六边形
∴∠COD＝＝60°
∴△COD为等边三角形
∴CD＝OC＝4
在Rt△COG中，OC＝4，CG＝BC＝×4＝2
∴OG＝＝＝2
∴正六边形ABCDEF的中心角为60°，边长为4，边心距为2.反思小结：圆内接正多边形的有关计算主要是利用特殊角以及解直角三角形，三角函数
等等．
针对训练：(1)教材第98页做一做．
(2)教材第98页随堂练习．
四、总结梳理 内化目标
1．圆内接正多边形的定义及有关的概念．
2．在圆内接正多边形的计算中需要注意利用特殊角以及解直角三角形．
3．正多边形的画法：
(1)用量角器等分圆；
(2)尺规作图等分圆．
五、达标检测 反思目标
1．如图：O是正三角形的中心，
(1)则O是△ABC的________的圆心．
(2)OB叫正△ABC________，它是正△ABC的________圆的半径．
(3)OD叫做正△ABC的________，若OB＝4，则OD＝________．
2．画圆O的内接正六边形．
教材第99页习题1，2.
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3．9 弧长及扇形面积
1．经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程．
2．了解弧长计算公式和扇形面积计算公式，并运用公式解决问题．
经历探索弧长和扇形面积计算公式的过程．
了解弧长和扇形面积计算公式．
会运用公式解决问题．
一、创设情景 明确目标
生活里有好多物品或者建筑都呈现出流畅的圆弧形，小学已经学过了有关圆的周长和面
积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆
的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？让我们来探索吧．
二、自主学习 指向目标
阅读教材第100页至101页的内容，并完成《名师学案》中“课前预习”部分．三、合作探究 达成目标
弧长的公式
1．复习圆的周长与面积公式：
我们上体育课掷铅球练习时，要在指定的圆圈内进行，这个圆的直径是2.135m.这个圆的
周长与面积是多少？
2．复习圆心角的概念．
3．想一想
如教材图3－37，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？
(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
展示点评：
探究弧长公式：
(1)已知⊙O的半径为R，1°的圆心角所对的弧长是多少？
(2)n°的圆心角所对的弧长是多少？
根据上面的计算，你能想到解决的方法了吗？请大家互相交流．
总结出计算弧长的公式：
若⊙O的半径为R，n°的圆心角所对的弧长l是l＝n·＝.
例题讲解：
例 制作弯形管道需要先按中心线计算“展直长度”再下料．试计算如图所示的管道的
展直长度，即弧AB的长度(精确到0.1mm)
解：∵R＝40mm，n＝110°，
∴lAB＝＝×40π≈76.8(mm)
因此，所求管道展直长度为76.8mm.
针对练习：
(1)1°的弧长是________．半径为10厘米的圆中，60°的圆心角所对的弧长是________．
(2)如图，同心圆中，大圆半径OA、OB交小圆于C、D，且OC∶OA＝1∶2，则弧CD与弧
AB长度之比为( )
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶1 D．1∶4
扇形的面积
探究扇形面积公式：
1．引例在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的一端拴着
一只狗．
(1)这只狗的最大活动区域有多大？
(2)若这只狗只能绕柱子转过n°的角，那么它的最大活动区域有多大？这个活动区域是一个什么图形呢？
2．扇形的概念学习；
3．扇形面积公式的探究
若⊙O的半径为R，圆的面积是πR2
1°圆心角所对的扇形的面积是，n°圆心角所对的扇形的面积是弧长公式与扇形的面积公
式之间的联系：
弧长和扇形的面积都和圆心角n，半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能
猜出来吗？请大家互相交流．
弧长l＝，
扇形的面积是S ＝＝·＝lR
扇形
4．解决引例
5．例题学习
例 已知扇形AOB的半径为12cm，∠AOB＝120°，求AB的长(结果精确到0.1cm)和扇形
AOB的面积(结果精确到0.1cm2)
解：lAB＝π×12≈25.1(cm)
S ＝π×122≈150.7(cm2)
扇形
因此，AB的长约为25.1cm，
扇形AOB的面积约为150.7cm2.
针对训练：教材第101页随堂练习．
四、总结梳理 内化目标
1．弧长公式l＝；S ＝；S ＝lR
扇形 扇形
2．弧长及扇形面积的有关计算．
五、达标检测 反思目标
1．钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是( )
A.cm B.cm
C.cm D．6πcm
2．已知弧所对的圆心角为90°，半径是4，则弧长为________．
3．已知一条弧的半径为9，弧长为8，那么这条弧所对的圆心角为________．
4．已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积为________．
5．已知扇形的圆心角为30°，面积为3πcm2，则这个扇形的半径R＝________．
6．已知扇形的圆心角为150°，弧长为20πcm，则扇形的面积为________
教材第102页习题1，2.
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