文档内容
第 04 讲 线段的垂直平分线和角平分线
课程标准 学习目标
1.理解线段垂直平分线，角平分线的概念；并掌握线段垂直平分线
①线段的垂直平分线 的性质定理及逆定理；
②角平分线 2.能运用线段的垂直平分线、角平分线的性质与判定有关知识进行
③尺规作图 证明或计算；
3.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线和角平分线；
知识点01 线段的垂直平分线
【即学即练1】如图，在 中， ， 分别垂直平分 和 ，交 于 ， 两点， 与
相交于点 ．(1)若 的周长为 ，求 的长；
(2)若 ，求 的度数．
【即学即练2】如图， 为等边三角形， ， ， 相交于点E．
(1)求证： 垂直平分 ；
(2)求 的长；
(3)若点F为 的中点，点P在 上，则 的最小值为______．（直接写出结果）．
知识点02 角的平分线
【即学即练1】如图， ，点E是 的中点． 平分 ．
(1)求证： 是 的平分线；
(2)已知 ， ，求四边形 的面积．
【即学即练2】如图， 的角平分线与 的垂直平分线相交于点D， ， ，，垂足
分别为E、F．(1)求证： ；
(2)若 ，则 的周长 ______．
题型01 利用线段垂直平分线的性质求解
例题：（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在 中， 边的垂直平分线 ，分别交 ，
于点D，E两点，连接 ， ， ，则 的度数是 ．
【变式训练】
1．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在 中， 是 的垂直平分线，若 ， ，则
的周长是 ．
2．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在等腰 中， ， 的垂直平分线交 于
点 ，交 于点 ，若 的周长为50，则底边 的长为 ．3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点 ，边 的
垂直平分线 交 于点 ．已知 的周长为 ，则 的长为 ；
题型02 线段垂直平分线的判定定理
例题：（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在 中， ， 的垂直平分线分别交 ，
于点E，F， 的垂直平分线分别交 ， 于点M，N，直线 ， 交于点P．
(1)求证：点P在线段 的垂直平分线上；
(2)已知 ，求 的度数．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，四边形 的对角线 与 相交于点 ，
， ．
求证：
(1) ；
(2) 垂直平分 ．2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知 中， ，点 ， 分别为 ， 上的点，
．
(1) 与 全等吗？为什么？
(2)连接 ，求证： 垂直平分 ．
3．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图， 是 的角平分线， 分别是 和 的
高．
(1)试说明 垂直平分 ；
(2)若 ，求 的长．
题型03 作垂线（尺规作图）
例题：（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）如图所示，七年级和八年级有两个班的学生在M、N处参加
植树活动，要在道路 的交叉区域内设 一个茶水供应点P，使P到 两条道路的距离相等，
而且要使 ，请你用尺规作图的方法找出P点． （不写作法，但保留作图痕迹）
【变式训练】
1．（23-24八年级上·广西桂林·期中）要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．
已知：如图， 和A，B两点．(1)作 的平分线 ；
(2)求作一点Q，使Q点在 上，且 ．
2．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在 中，
(1)作 的垂直平分线 ， 交 于E，交 于点D，连接AD（保留作图痕迹，不用写作法）；
(2)若 ， 的周长为15，求 的周长．
3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图， 是 的角平分线．
(1)尺规作图：作线段 的垂直平分线 ，分别交 、 于点E、F；（标明字母，保留作图痕迹，不
写作法．）
(2)连接 、 ，求证： ．
题型04 角平分线性质定理
例题：（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，在 中， ， ，按如图所示
的方式作射线 交 于点 ，若 ，则 ．
【变式训练】
1.（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在 中， 平分 ， 于点 ，连接 ，
若 ， ，则 的面积是 ．2.（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，在四边形 中， 平分 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)如图2，其余条件不变，若 ______ ．
(3)如图3，其余条件不变，若 ，判断 的数量关系，并说明理由．
题型05 角平分线的判定定理
例题：（23-24八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，在 中， ，D是 上一点，
于E，且 ．
(1)求证： 平分 ；
(2)若 ，求 的度数．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图， 于E， 于F，若 ．
(1)求证： 平分 ；(2)已知 ，求 的长．
2．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）如图， 平分 ， 于点 ， 于点 ，连接
．
(1)试说明 ；
(2) 与 相等吗？请说明理由；
(3) 是否垂直平分 ，请说明理由．
题型06 角平分线性质的实际应用
例题：（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）在三条公路 围成的一块平地上修建一个物流服务中心
（如图），若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在（ ）
A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处
C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处
【变式训练】
1．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休
息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A． 三条中线的交点 B． 内任意一点
C． 三条高所在直线的交点 D． 三条角平分线的交点
2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，三条公路 、 、 两两相交，计划建一座加油站，满足到三
条公路的距离相等，则可供选址的地方有（ ）A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
题型07 作角平分线（尺规作图）
例题：（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，在 中， ， ．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出 的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若（1）中所作的角平分线与边 交于点 ，过点 作 于点 ．若 ， ，求
的长．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在 中， ．
(1)作 的平分线 ，交 于点 ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）
(2)在（1）的条件下， 是边 上的一点，且 ， ，连接 ．若 ，求 的度
数．
2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图， ， ．
(1)尺规作图：作 的平分线交 于点 （保留作图痕迹，不写作法）；
(2)试判断 与 的关系，并证明．题型08 线段的垂直平分线与角平分线的综合问题
例题：（23-24八年级下·山东威海·期末）如图， 中， 的角平分线 和 边的中垂线
交于点D， 的延长线于点M， 于点N．若， ， ，则 的长为？
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图， 中， 的平分线 与边 的垂直平分线 交
于点D， ，垂足为点G，H．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图， 的外角 的平分线交 边的垂直平分线于P点，
于D， 于E．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．一、单选题
1．（24-25八年级上·四川凉山·阶段练习）点 在 的角平分线上，点 到 边的距离等于 ，点Q
是 边上的任意一点，则 的长度不可能是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．
2．（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）到三角形各顶点距离相等的点是（ ）
A．三条高交点 B．三个内角平分线交
C．三条中线交点 D．三条边垂直平分线交点
3．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在 中， ，分别以 、 为圆心，大于
长为半径画弧，两弧交于点 、 ，作直线 分别交AB、 于点 、 ，连接CD、 ．若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，点P是 边 上一点，且到 的距离相等，
则线段 一定是（ ）
A． 的角平分线
B． 的中线
C． 的高
D． 所在直线是 的中垂线
5．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知等腰 中， ， ，
于点 ，点 是 延长线上一点，点 是线段 上一点， ，下面的结论：①
；② 是等边三角形；③ ；④ ．其中正确的为
（ ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
6．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图， 平分 ， ， ， ，若
，则 ．
7．（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）如图， 中， 垂直平分 交 于点E，
，则 ．
8．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图， 是 的角平分线．若 ， ， 的
面积为 ，则 的长为 ．
9．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，点P是 的角平分线上一点， 于点D，
垂直平分 ，若 ， ，则 ．
10．（24-25八年级上·全国·期末）如图，等腰 的底边 ，面积为18，直线 是腰 的垂直
平分线，若点D在 上运动，点F在边 上运动，则 的最小值为 ．三、解答题
11．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：如图， ，点 在 上．
(1)在射线 上找一点 ，使 ；
(2)在 的内部找一点 ，使 到 的两边距离相等，且 （保留作图痕迹，不需要写
出作图步骤）
12．（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）某海岛海域争端持续，我国海监船加大该岛附近海域的巡航维权力
度．如图， 海里， 海里，海岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍
的渔船，自A点出发沿着 方向匀速驶向海岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿
某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．
(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；
(2)求我国海监船行驶的航程 的长．
13．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）在 中，点D在 的平分线所在的直线上．过
点D作 于E，作 交 的延长线于F，且 ．(1)求证：点D在 的垂直平分线上：
(2)若 ， ．求 的长度是多少？
14．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在 中， ， 的垂直平分线分别交
， 于点 ， ， 的垂直平分线分别交 ， 于点 ， ，直线 与直线 交于点 ．
(1)求证：点 在线段 的垂直平分线上．
(2)已知 ，求 的度数．
15．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在 中， ， 的垂直平分线 交 于
点 ，垂足是 ， 是 上一点， 平分 ， 于点 ．
(1)试判断 与 是否相等，并说明理由．
(2)求证： ．
16．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在 中，已知 ，AB和垂直平分线交AB于点 ，交
于点 ，连接 ．
(1)若 则 的度数是 度．
(2)若 ， 的周长是 ．
①求 的长度．
②若点 为直线 上一点，请你直接写出 周长的最小值．
17．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）（1）【问题】如图1， 平分 ， ，
，根据教材中一个重要性质直接可得 ，这个性质是________________________；
（2）【探究】如图2， 平分 ， ， ，求证： ；（3）【应用】如图3，四边形 中， ， ， ， ，若 ，求
的值．
18．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，在 的两边 ， 上分别取点M，N，连接 ．若
平分 ， 平分 ．
(1)求证： 平分 ；
(2)若 ，且 与 的面积分别是16和24，求线段 与 的长度之和．
19．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图1，在四边形 中， ，
， ，点E是射线 上一动点，点C沿直线 翻折得到点 ．
(1)如图2，点E运动到点D，连接 交 于点F，
①判断 的形状，并说明理由；
②此时 的长度为______；
(2)连接 和 ，当点E在射线 上移动时，是否存在某个位置，使得 是直角三角形，若存在，
请直接写出线段 的长；若不存在，请说明理由．
