文档内容
第 4 章 三角形（单元基础卷）
（满分100分，完卷时间90分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共24题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的
主要步骤．
一、仔细选一选（本题共10题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一个是
正确的，请选出正确的选项。注意可以用多种不同的方法来选取正确的答案）
1．（2015春•宿州期末）下列说法正确的是（ ）
A．一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形
B．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形
C．一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形
【分析】根据钝角三角形、锐角三角形、直角三角形、等边三角形和等腰三角形之间的关系，
分别进行判断，即可求出答案．
【解答】解：A、一个钝角三角形不一定不是等腰三角形，一定不是等边三角形，故本选项错
误；
B、一个等腰三角形不一定是锐角三角形，或直角三角形，故本选项错误；
C、一个直角三角形不一定不是等腰三角形，一定不是等边三角形，故本选项错误；
D、一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形，故本选项正确；
故选：D．
【点评】此题考查了三角形，此题利用等边三角形和等腰三角形的定义和性质分别进行判断．
2．若三角形中的一条边是另一条边的2倍，且有一个角为30°，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对
【分析】如图，分AB是30°角所对的边AC的2倍和AB是30°角相邻的边AC的2倍两种情况
求解．
【解答】解：如图：
（1）当AB是30°角所对的边AC的2倍时，△ABC是直角三角形；
（2）当AB是30°角相邻的边AC的2倍时，△ABC是钝角三角形．
所以三角形的形状不能确定．
故选：D．【点评】解答本题关键在于已知30°的角与边的关系不明确，需要讨论求解，所以三角形的形
状不能确定．
3．（2020春•未央区期末）如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，BA：CA＝2：
3，AD与BE相交于点O，若△OAE的面积比△BOD的面积大1，则△ABC的面积是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．首先证明BD：DC＝2：3，设△ABC的面积为S．
则S△ADC ＝ S，S△BEC ＝ S，构建方程即可解决问题；
【解答】解：作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．
∵AD平分∠BAC，DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，
∴DM＝DN，
∴S△ABD ：S△ADC ＝BD：DC＝ •AB•DN： •AC•DM＝AB：AC＝2：3，
设△ABC的面积为S．则S△ADC ＝ S，S△BEC ＝ S，
∵△OAE的面积比△BOD的面积大1，
∴△ADC的面积比△BEC的面积大1，
∴ S﹣ S＝1，
∴S＝10，
故选：C．
【点评】本题考查三角形的面积、角平分线的性质定理、三角形的中线等知识，解题的关键
是学会利用参数构建方程解决问题．
4．（2018春•乐亭县期末）如图，A、B、C分别是线段A B、B C、C A的中点，若△A B C 的
1 1 1 1 1 1
面积是14，那么△ABC的面积是（ ）A．2 B． C．3 D．
【分析】连接AB ，BC ，CA ，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB ，△A AB 的面
1 1 1 1 1 1
积，从而求出△A BB 的面积，同理可求△B CC 的面积，△A AC 的面积，于是得到结论．
1 1 1 1 1 1
【解答】解：如图，连接AB ，BC ，CA ，
1 1 1
∵A、B分别是线段A B，B C的中点，
1 1
∴ ＝S△ABC ，
＝ ＝S△ABC ，
∴ ＝ + ＝2S△ABC ，
同理： ＝2S△ABC ， ＝2S△ABC ，
∴△A
1
B
1
C
1
的面积＝ + + +S△ABC ＝7S△ABC ＝14．
∴S△ABC ＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把
三角形进行分割是解题的关键．
5．（2010•荆门）给出以下判断：（1）线段的中点是线段的重心
（2）三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心
（3）平行四边形的重心是它的两条对角线的交点
（4）三角形的重心是它的中线的一个三等分点
那么以上判断中正确的有（ ）A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
【分析】重心指几何体的几何中心．
【解答】解：（1）线段的中点到线段两个端点的距离相等，为线段的重心，正确；
（2）三角形的中线平分三角形的三条边，所以三条中线的交点为三角形的重心，正确；
（3）平行四边形对角线的交点到平行四边形对角顶点的距离相等，为平行四边形的中心，正
确；
（4）利用平行可得三角形的重心把中线分为1：2两部分，所以是它的中线的一个三等分点，
正确；
故选：D．
【点评】主要考查了常见图形的重心．
6．（2019秋•辛集市期末）一个三角形的两边长分别为3和4，且第三边长为整数，这样的三角
形的周长最大值是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的
取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长的最大值．
【解答】解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：4﹣3＜a＜3+4，
即1＜a＜7，
∵a为整数，
∴a的最大整数值为6，
则三角形的最大周长为3+4+6＝13．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问
题．
7．（2021春•长安区期末）如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，
AG⊥BG，下列结论：①∠BAG＝2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；
④∠CFB＝135°．其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】由已知条件可知∠ABC+∠ACB＝90°，又因为CD、BE分别是△ABC的角平分线，所
以得到∠FBC+∠FCB＝45°，所以求出∠CFB＝135°；由平行线的性质可得到：∠ABG＝
∠ACB，∠BAG＝2∠ABF．所以选项①③④正确．
【解答】解：∵AB⊥AC．
∴∠BAC＝90°，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°
∵CD、BE分别是△ABC的角平分线，
∴2∠FBC+2∠FCB＝90°
∴∠FBC+∠FCB＝45°
∴∠BFC＝135°故④正确．
∵AG∥BC，
∴∠BAG＝∠ABC
∵∠ABC＝2∠ABF
∴∠BAG＝2∠ABF 故①正确．
∵AB⊥AC，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∵AG⊥BG，
∴∠ABG+∠GAB＝90°
∵∠BAG＝∠ABC，
∴∠ABG＝∠ACB 故③正确．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理以及平行线的性质，角平分线的性质，具有一定的
综合性．
8．（2019秋•武邑县校级月考）已知△ABC的三个内角为A，B，C且 ＝A+B， ＝C+A， ＝
C+B，则 ， ， 中，锐角的个数最多为（ ）
α β γ
A．1 B．2 C．3 D．0
α β γ
【分析】已知△ABC的三个内角为A，B，C且 ＝A+B， ＝C+A， ＝C+B，则 ， ， 可能
都是锐角也可能有两个是锐角或一个是锐角，所以结合已知利用三角形内角和定理分情况进
α β γ α β γ
行分析，从而得到结论．
【解答】解：∵ ， ， 的度数不能确定，
∴ ， ， 可能都是锐角也可能有两个是锐角或一个是锐角，
α β γ
①假设 、 、 三个角都是锐角，即 ＜90°， ＜90°， ＜90°，
α β γ
∵ ＝A+B， ＝C+A， ＝C+B，
α β γ α β γ
∴A+B＜90°，B+C＜90°，C+A＜90°．
α β γ
∴2（A+B+C）＜270°，
∴A+B+C＜135°与A+B+C＝180°矛盾．
∴ 、 、 不可能都是锐角．
②假设 、 、 中有两个锐角，不妨设 、 是锐角，那么有A+B＜90°，C+A＜90°，
α β γ
∴A+（A+B+C）＜180°，
α β γ α β
∴A+180°＜180°，
∵A＜0°不可能，∴ 、 、 中至多只有一个锐角，如A＝20°，B＝30°，C＝130°， ＝50°，
故选：A．
α β γ α
【点评】此题主要考查三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
9．（2018秋•十堰期末）如图△ABC中，∠A＝96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相
交于点A ，∠A BC与∠A CD的平分线相交于点A ，依此类推，∠A BC与∠A CD的平分线
1 1 1 2 4 4
相交于点A ，则∠A 的度数为（ ）
5 5
A．19.2° B．8° C．6° D．3°
【分析】利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质计算．
【解答】解：∵∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A ，
1
∴∠ABC＝2∠A BC，∠A CD＝ ∠ACD
1 1
根据三角形的外角的性质得，∠A CD＝ （∠ABC+∠A）＝ （2∠A BC+∠A）＝∠A BC+
1 1 1
∠A，
根据三角形的外角的性质得，∠A CD＝∠A BC+∠A ，
1 1 1
∴∠A ＝ ∠A
1
同理：∠A ＝ ∠A ，
2 1
∴∠A ＝ ∠A ＝ × ∠A＝ ∠A
2 1
同理：∠A ＝ ∠A
3
∠A ＝ ∠A，
4
∠A ＝ ∠A＝ ×96°＝3°，
5
故选：D．【点评】此题主要考查角平分线的定义和三角形内角与外角的性质，有点难度．
10．（2019•金牛区校级模拟）如图，在△ABC中，点P，Q分别在BC，AC上，AQ＝PQ，PR＝
PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下面结论错误的是（ ）
A．∠BAP＝∠CAP B．AS＝AR C．QP∥AB D．△BPR≌△QPS
【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC，从而判断出A
正确，然后根据等边对等角的性质可得∠APQ＝∠PAQ，然后得到∠APQ＝∠PAR，然后根据
内错角相等两直线平行可得QP∥AB，从而判断出C正确，然后证明出△APR与△APS全等，
根据全等三角形对应边相等即可得到B正确，C中两三角形只能确定一直角边相等，已知角
相等，其他条件都无法确定，所以不一定正确．
【解答】解：∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，且PR＝PS，
∴点P在∠BAC的平分线上，
即AP平分∠BAC，故A正确；
∴∠PAR＝∠PAQ，
∵AQ＝PQ，
∴∠APQ＝∠PAQ，
∴∠APQ＝∠PAR，
∴QP∥AB，故C正确；
在Rt△APR与Rt△APS中， ，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AR＝AS，故B正确；
△BPR和△QSP只能知道PR＝PS，∠BRP＝∠QSP＝90°，其他条件不容易得到，所以，不一
定全等．
故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等
三角形的判定方法与性质是解题的关键．
二、认真填一填（本题有8个小题，每小题3分，共24分。注意认真看清题目的条件和要填写
的内容，尽量完整地填写答案）
11．如图，有6个条形方格图，在由实线围成的图形中，全等图形有：（1）与 （ 6 ） ；
（2）与 （ 5 ）（ 3 ） ．【分析】利用全等图形的概念可得答案．
【解答】解：（1）与（6）是全等图形，
（2）与（5）（3）是全等图形，
故答案为：（6），（5）（3）．
【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．
12．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为 三角形具有稳定性 ．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，
如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三
角形而获得．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边是 AB ，∠A+∠B＝ 9 0 °．
【分析】根据直角三角形的概念和性质可得出答案．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴斜边是AB，∠A+∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣90°＝90°，
故答案为：AB，90．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．
14．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于点E，∠BAC＝60°，
∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是 20 ° ．【分析】利用角平分线的定义可求出∠ABC的大小，在△ABD中，利用三角形内角和定理可
求出∠BAD的大小，再结合∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD，即可求出∠DAC的大小．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE＝2×25°＝50°．
在△ABD中，∠ABD+∠BAD+∠ADB＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝180°﹣50°﹣90°＝40°．
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，利用角平分线的定义结合三角
形内角和定理，求出∠BAD的大小是解题的关键．
15．（2021秋•天河区期末）在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周
长多3cm，已知AB＝4cm，则AC的长为 7 cm．
【分析】利用三角形的中线定义可得CD＝BD，再根据△ADC的周长比△ABD的周长多3cm
可得AC﹣AB＝3cm，进而可得AC的长．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD，
∵△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，
∴（AC+CD+AD）﹣（AD+DB+AB）＝3cm，
∴AC﹣AB＝3cm，
∵AB＝4cm，
∴AC＝7cm，
故答案为：7．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高．三角形一边的中点与此边所对顶点的连
线叫做三角形的中线．
16．如图，已知AB＝AD，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，还需添加一个
条件，这个条件可以是 DC ＝ BC 或 ∠ DAC ＝∠ BAC ．【分析】添加DC＝BC，利用SSS即可得到两三角形全等；添加∠DAC＝∠BAC，利用SAS即
可得到两三角形全等．
【解答】解：添加条件为DC＝BC，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
若添加条件为∠DAC＝∠BAC，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
故答案为：DC＝BC或∠DAC＝∠BAC．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
17．如图，为测量B点到河对面的目标A之间的距离，他们在B点同侧选择了一点C，测得
∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝70°，∠BCM＝40°，那么只需
要测量 BM ，才能测得A、B之间的距离，依据是： 全等三角形的对应边相等 ．
【分析】直接利用全等三角形的判定方法进而得出答案．
【解答】解：在△ABC和△MBC中
，
∴△ABC≌△MBC（ASA），
∴AB＝BM（全等三角形的对应边相等），
故答案为：BM；全等三角形的对应边相等．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．18．如图，已知∠1＝∠2，∠CAB＝∠DBA，若∠C＝58°，则∠D＝ 58 ° ．
【分析】由“ASA”可证△ABC≌△BAD，可得∠C＝∠D＝58°．
【解答】解：在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（ASA），
∴∠C＝∠D＝58°，
故答案为58°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABC≌△BAD是本题的关键．
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。如
果觉得有的题目有点难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以）
19．（2020秋•濉溪县期中）已知在△ABC中，∠B＝2∠A，∠C﹣∠A＝20°，求∠A的度数．
【分析】利用三角形内角和定理，构建方程求解即可．
【解答】解：∵∠C﹣∠A＝20°，
∴∠C＝20°+∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝2∠A，
∴∠A+2∠A+20°+∠A＝180°，
∴∠A＝40°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于
中考常考题型．
20．（2020秋•南召县期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AB＝DE，要使
△ABC≌△DEF，还需要添加一些条件；请你结合图形补充已知条件（不添加其他字母），并
完成证明；
已知：点A、D、C、F在同一条直线上，AB＝DE， AC ＝ DF ，∠ A ＝∠ EDF （答案不唯一）
．
求证：△ABC≌△DEF．
证明：【分析】利用全等三角形的判定方法，结合条件证明即可．
【解答】解：可添加AC＝DF，∠A＝∠EDF，利用SAS来证明三角形全等，
证明：在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
故答案为：AC＝DF，∠A＝∠EDF（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法，即SSS、SAS、
ASA、AAS和HL是解题的关键．
21．（2020秋•云梦县期中）如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高．
（1）若AE＝5cm，S△ABC ＝30cm2．求DC的长．
（2）若∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的大小．
【分析】（1）利用三角形的中线平分三角形面积得出S△ADC ＝15cm2，进而利用三角形面积得
出CD的长．
（2）依据∠B＝40°，∠C＝50°，可知△ABC为直角三角形，再根据AD为中线，即可得到
△ABD为等腰三角形，即可得到∠ADE的度数，进而得出∠DAE的度数．
【解答】解：（1）∵AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE＝5cm，S△ABC ＝30cm2，
∴S△ADC ＝15cm2，
∴ ×AE×CD＝15，
∴ ×5×CD＝15，
解得：CD＝6（cm）；
（2）∵∠B＝40°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝90°，
又∵AD为中线，
∴AD＝ BC＝BD，
∴∠ADE＝2∠B＝80°，
又∵AE⊥BC，
∴∠DAE＝10°．【点评】此题主要考查了三角形的面积以及三角形中线以及高线的性质，根据已知得出S△ADC
是解题关键．
22．（2020秋•河池期中）已知△ABC的三边长分别为a，b，c．
（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状；
（2）若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长．
【分析】（1）直接根据非负数的性质即可得出结论；
（2）根据三角形的三边关系可得出c的取值范围，进而可得出结论．
【解答】解：（1）∵（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形；
（2）∵a＝5，b＝2，且c为整数，
∴5﹣2＜c＜5+2，即3＜c＜7，
∴c＝4，5，6，
∴△ABC周长为11或12或13．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第
三边是解答此题的关键．
23．（2006•贵阳）两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；
①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；
②符合①要求的线段必须全部画出；
图1展示了当n＝1时的情况，此时图中三角形的个数为0；
图2展示了当n＝2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；
（1）当n＝3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为 4
个；
（2）试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
（3）当n＝2006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
【分析】（1）根据题意，作图可得答案；（2）分析可得，当n＝1时的情况，此时图中三角形的个数为0，有0＝2（1﹣1）；当n＝2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2，有2＝
2（2﹣1）；…故当有n对点时，最少可以画2（n﹣1）个三角形；（3）当n＝2006时，按上
述规则画出的图形中，最少有2×（2006﹣1）＝4010个三角形．
【解答】解：（1）
4个；
（2）当有n对点时，最少可以画2（n﹣1）个三角形；
（3）2×（2006﹣1）＝4010个．
答：当n＝2006时，最少可以画4010个三角形．
【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中
的规律，并应用规律解决问题．
24．（2008•黔东南州）如图，学校有一块三角形空地（即△ABC），现准备将它分成面积相等
的两块地，栽种不同的花草，请你把它分出来．（作图题要求：尺规作图，保留作图痕迹，
不写作法，不要求证明）．
【分析】作BC边上的中线，即可把△ABC分成面积相等的两块地．
【解答】解：作图如下：
．
【点评】此题主要考查三角形中线的作法以及等底等高的知识点．
