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专练 09 几何题（20 题）
1．（2022·全国·八年级期末）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P．
(1)求证：△ABE≌△CAD；
(2)求∠BPD的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠BPD＝60°
【解析】
(1)
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，
又∵AE＝CD，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
(2)
解：由（1）得△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠BPD＝∠BAD＋∠ABE＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝60°．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各性质及判定定理是解题的关键．
2．（2021·云南红河·八年级期末）如图，在△ABC中， ，点 为 的中点，边 的垂直平分
线交 、 、 于点 、 、 ，连接OA、OB．(1)求证：△OBC为等腰三角形；
(2)若∠ACF=23°，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
证明；：∵AC=BC，点F为AB的中点，
∴CF⊥AB，
∴CF垂直平分AB，
∴OA=OB，
∵DE垂直平分AC，
∴OA=OC，
∴OB=OC，
∴△OBC为等腰三角形；
(2)
解：∵CA=CB，CF⊥AB，
∴CF平分∠ACB，
∴∠BCF=∠ACF=23°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=23°，
∵∠EDC=90°，
∴∠DEC=180°-90°-∠DCE=90°-23°-23°=44°，
∵∠OEC=∠OBE+∠BOE，
∴∠BOE=44°-23°=21°.
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识；
掌握相关性质和定理是解题关键．
3．（2022·河南·永城市教育体育局教研室八年级期末）已知M是等边△ABC的边BC上的点．
(1)如图①，过点M作MN∥CA，交AB于点N，求证：BM = BN；
(2)如图②，连接AM，过点M作∠AMH = 60°，MH与∠ACB的邻补角的平分线交于点H，过点H作
HD⊥BC，交BC延长线于点D．
（ⅰ）求证：MA = MH；
（ⅱ）直接写出CB，CM，CD之间的数量关系式．
【答案】(1)见解析
(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）BC CM 2CD
【解析】
(1)
证明：∵ ，
∴∠BMN=∠C=60°，∠BNM=∠B=60°，
∴∠BMN=∠BNM，
∴BM=BN；
(2)
（ⅰ）证明：如图2，过M点作 交AB于N，则BM=BN，∠ANM=120°
∵AB=BC，
∴AN=MC，
∵CH是∠ACB外角平分线，所以∠ACH=60°，
∴∠MCH=∠ACB+∠ACH=120°，
又∵∠NMC=120°，∠AMH=60°，
∴∠HMC+∠AMN=60° ，
又∵∠NAM+∠AMN=∠BNM=60°，
∴∠HMC=∠MAN，
在△ANM和△MCH中
∵ ，
∴△AMN≌△MHC（ASA），
∴MA=MH；
（ⅱ）CB=CM+2CD；理由如下：
证明：如图2，过M点作MG⊥AB于G，
∵△AMN≌△MHC，
∴MN=HC，
∵△BMN为等边三角形，MG⊥AB
∴MN=MB，BM=2BG，
∴HC=BM，
在△BMG和△CHD中
，
∴△BMG≌△CHD（AAS），
∴CD=BG，
∴BM=2CD，
所以BC=MC+2CD．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线，熟练掌握证
明三角形全等的方法．
4．（2022·江苏盐城·八年级期末）已知：∠AOB＝120°，OC平分∠AOB．
(1)把三角尺的60°角的顶点落在射线OC上的任意一点P处，绕点P转动三角尺，某一时刻，恰好使得OE
＝OF（图1），此时PE与PF相等吗？为什么？
(2)把三角尺继续绕点P转动，两边分别交OA、OB于点E、F（图2），求证：△PEF为等边三角形．
【答案】(1)相等，理由见解析
(2)见解析
【解析】
(1)
解： ，
理由如下：
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
(2)
证明：在OB上取OD=OP，连接PD，
∵OC平分 ，，
是等边三角形，
， ，
，
，
即： ，
，
，
，
，
是等边三角形．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定
与性质是解题的关键．
5．（2022·河南信阳·八年级期末）如图，ΔABC，ΔADE均是等边三角形，点B，D，E三点共线，连按
CD，CE；且CD⊥BE．
(1)求证：BD=CE；
(2)若线段DE=3，求线段BD的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【解析】
(1)
证明：∵△ABC、△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
(2)
解：∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∵点B，D，E三点共线
∴∠ADB=120°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠AEC=∠ADB=120°，
∴∠CED=∠AEC-∠AED=60°，
∵CD⊥BE，
∴∠CDE=90°，
∴∠DCE=30°，
∴BD=CE=2DE=6．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是本题
的关键．
6．（2021·重庆市黔江区教育科学研究所八年级期末）如图，在 中， ， ，
平分 ， 交 于点 ．
(1)求作 的垂直平分线 ；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若 交 于点 ，连接 ．求证： ．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
(1)
解：以点A，B为圆心，适当长度为半径画弧，交于两点，过这两点作直线MN，则MN为所求，如图，
即为所求；
(2)
证明： ，且 ， ，
，
是 的平分线，
，
是 的垂直平分线，
，
，
，
又 是 的一个外角，
，
，
．
【点睛】
本题考查了尺规作图—作线段的垂直平分线，三角形的内角和定理及外角的性质，线段垂直平分线的性质，
等腰三角形的性质，结合题意和图形准确找到相关角的关系是解决本题的关键．7．（2022·广西百色·八年级期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD
的高，AD与EF相交于点M．
(1)求证：△ADE≌△ADF；
(2)求证：AD垂直平分EF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
(1)
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∴在Rt△ADE和Rt△ADF中， ，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）；
(2)
证明：∵Rt△ADE≌Rt△ADF
∴AE＝AF
又∵AD是△ABC的角平分线
∴AD是线段EF的垂直平分线．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质定理、“HL”及等腰三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质定理、“HL”
及等腰三角形的性质是解题的关键．
8．（2022·河北唐山·八年级期末）已知：如图，在 中， ， ， ，垂足分
别为D、E， 与 交于点O．发现： 与 有何数量关系？并说明理由；
探索：判断 的形状，并说明理由；
拓展：连接 并延长，交 于点F，请你直接写出一条关于 的结论．
【答案】发现：BD=CE，理由见详解；
探索：△BOC是等腰三角形，理由见详解；
拓展：AF⊥BC，理由见详解（或者AF平分∠BAC，证明过程同AF⊥BC的证明过程）
【解析】
发现：BD=CE，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠CEB=∠BDC=90°，
又有BC=CB，
∴ ，
∴BD=CE，
得证；
探索：△BOC是等腰三角形，理由如下：
在“发现”中已经证得 ，
∴∠DBC=∠ECB，
∴有OC=OB，即△BOC是等腰三角形，
得证；
拓展：AF⊥BC，
理由如下：
如图：在“探索”中已经证得BO=CO，
又∵AB=AC，AO=AO，
∴ ，
∴∠EAO=∠DAO，
∴AF平分∠BAC，
又 AB=AC，AF=AF，
∴∵ ，
∴∠AFB=∠AFC=90°，
∴AF⊥BC．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识，掌握全等
三角形的判定和性质是解答本题的关键．
9．（2022·湖北襄阳·八年级期末）已知四边形 中， ， ， ，
， ，将 绕点 旋转．
(1)当 旋转到 如图 的位置，此时 的两边分别交 ， 于 ， ，且 ，求证：
；
(2)当 旋转到 如图 的位置，此时 的两边分别交 ， 于 ， ，且 时，小颖猜想 中的 仍然成立，并尝试作出了延长 至点 ，使 ，连接 ，请你证明小
颖的猜想；
(3)当 旋转到 如图 的位置，此时 的两边分别交 ， 于 ， ，猜想线段 、 、
之间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) ，见解析
【解析】
(1)
证明：①在 和 中，
，
≌ ．
；
②由 知 ≌ ，
．
， ，
∴ 是等边三角形．
．
；
(2)
解：延长 至 点使得 ，如图．在 和 .中，
≌ ．
， ，
，
，
即 ，
，
．
在 和 中，
，
≌ ．
．
．
；
(3)
解：如图 ，猜想 ．
证明如下：在 的延长线上取点 ，
使 ，连接 ．
在 和 中，
≌ ．
， ，
，
，
即 ．
，
．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，作出辅助线和理解相关知识是解答
关键．
10．（2022·云南红河·八年级期末）如图，已知 中， ， 于点 ， 的平
分线分别交 ， 于点 ．
(1)试说明 是等腰三角形；
(2)若点 恰好在线段 的垂直平分线上，猜想：线段 与线段 的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若 ， ，求 的面积．【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
(3)4
【解析】
(1)
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴ ．
∴ 是等腰三角形；
(2)
理由如下：
∵点 恰好在线段 的垂直平分线上，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴
∴ ．
(3)过点 作 于点 ，
由（2）得， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线， ，
∴
∴ ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形的面积，三角形
的内角和定理，三角形的外角性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
11．（2022·上海·八年级期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点
D，BE⊥MN于点E．
(1)当直线MN绕点C旋转到图1所示位置时，求证：DE=AD-BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2、图3所示位置时，补全图形，并探索线段DE、AD、BE之间的数量关系
（直接写出答案）．
【答案】(1)见解析；
(2)如图2所示：DE=BE-AD；如图3所示：DE=BE+AD【解析】
(1)
证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90，
在Rt△CEB中，∠CBE+∠BCE=90，
又∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90，
∴∠CBE=∠ACD，
在△ADC与△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴CD=BE，AD=CE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；
(2)
如图2所示：DE=BE-AD；如图3所示：DE=BE+AD，
理由：如图2，∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90，
在Rt△CEB中，∠CBE+∠BCE=90，
又∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90，
∴∠CBE=∠ACD，
在△ADC与△CEB中，，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴CD=BE，AD=CE，
∴DE=CD-CE=BE-AD；
图3的证明方法与图2相同，均是通过证明△ADC≌△CEB(AAS)来得到结论．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质以及旋转的性质，证明△ADC≌△CEB(AAS)是解答本题的关键．
12．（2022·河南南阳·八年级期末）解决问题
(1)感知：
如图1，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝x，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，过点
D作DE⊥CB交CB的延长线于点E，连接CD．则线段BC与DE的数量关系是_____，△BCD的面积为
______（用含x的式子表示）；
(2)应用：
如图2，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝x，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接
CD，用含x的式子表示△BCD的面积，并说明理由．
(3)拓展：
如图3所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，将边AB绕点B顺时针旋转，当AB⊥BD，连接CD，若
△BCD的面积为9，则CD的长为_______.
【答案】(1)BC=DE， x2；
(2)S BCD= x2，理由见解析；
△
(3)【解析】
(1)
解：由题意得： BDE≌△ABC，
∴DE=BC=x， △
∴S BCD= BC •DE= x2，
△
故答案是：BC=DE， x2；
(2)
解：如图1，
S BCD= x2，理由如下：
△
作DE⊥CB于E，
∴∠E=∠ACE=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵∠ABD=90°，
∴∠ABC+∠DBE=90°，
∴∠A=∠DBE，
在Rt ABC和 BDE中，
△ △
，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴DE=BC=x，∴S BCD= BC•DE= x2；
△
(3)
解：如图2，
作AF⊥BC于F，作DE⊥CB于E，
由（2）知： ABF≌△BDE，
∴DE=BF，B△E=AF，
∵AC=AB，
∴BF= BC，
∴S BCD= BC•DE，
△
∴BF2=9，
∴BF=3，
∴AF= =4，BC=2BF=6，
在Rt CDE中，CE=BC+BE=6+4=10，DE=3，
△
∴CD= ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握
“一线三等角”模型．
13．（2022·湖北武汉·八年级期末）如图，在等边 ABC中，D为BC上一点，DE AB，且DE＝BD．
△(1)如图1，若点E在AC边上，求证：AE＝CE；
(2)如图2，若点E在 ABC内，连接CE，F为CE的中点，连接AF、DF，求证：AF⊥DF；
(3)如图3，点N为AB△边上一点，连接BE，AN＝BE．若CN＋CE的值最小时，∠NCE的度数为
___________°（直接写出结果）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)30
【解析】
(1)
证明：连接 ，
在等边 中，∠ABC=60°，
∵ ，
∴∠EDC=∠ABC=60°，
且 ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∴ ；
(2)
证明：连接 ，延长 到点 ，使 ，连接 ， ，∵ 为 的中点，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴∠ABC+∠BCG=180°，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ACG=60°，
∴∠ABC=∠ACB=∠ACG=60°，
又 ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ， ；
(3)
将 CAN绕点C逆时针旋转60°，到 CBM，点N的对应点为点M，连接ME，MN，EN，则
∠△A=∠CMB=60°,AN=BM， △
∴∠EBM=∠EBC+∠CBM=30°+60°=90°，
∵AN=BE，
∴BM=BE，
∴ BEM是等腰直角三角形，
∵△∠MCN=∠ACB=60°，CM=CN，
∴ CMN是等边三角形，
∴△CM=CN，∴CE+CN=CE+CM，
当 CEM是直角三角形，∠MCE==90°时，CE+CM的值最小，CE+CN的值就最小，
此△时∠ECN=∠MCE-∠MCN=30°，
故当CE+CN的值最小时，∠ECN= ．
故答案为30
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形，等边三角形，全等三角形，旋转．熟练掌握等腰三角形的判定和性质，等边
三角形性质，全等三角形的判定和性质，旋转性质，是解决此类问题的关键．
14．（2022·江苏宿迁·八年级期末）问题背景：如图1，在等边 中，点 为边 上一个动点（点
不与 ， 重合），连接 ，把 绕点 顺时针旋转60°到 ，连接 ．探究 、 、 之间的
数量关系．小明同学的探究思路是：过点 作 ，交边 于点 （如图2），易证 是等边三
角形，并且 ，所以 ，从而 ．
(1)结论应用：
①在图1中，若 ， ，则 ______cm；
②在图1中，若 ，点 为 的中点，则 的最小值为______cm；
(2)类比探究：如图3，若点 为等边 边 延长线上一点，连接 ，把 绕点 顺时针旋转60°到
，连接 ．若 ， ，求 的长．(3)拓展延伸：如图4， 是等腰直角三角形， ， ，点 为边 上一个动点（点
不与 、 重合），连接 ，把 绕点 顺时针旋转90°到 ，连接 ．直接写出 、 、
之间的数量关系．
【答案】(1)①3；②
(2)
(3)
【解析】
(1)
解：①作PE∥AB，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠PEC=∠CPE=∠B=60°
∴△PEC为等边三角形
∴PE=PC
又∵∠APE+∠EPD=∠EPD+∠DPC=60°
∴∠APE=∠DPC
在△PEA与△PCD中，
∴△PEA≌△PCD(SAS)
∴CD=AE
∵PC=CE
∴AC=AE+EC=CD+PC
∵AC=5，CD=2
∴PC=AC-CD=3故答案为：3；
②∵O为AC的中点
∴AO=CO= =2（cm）
由①知，∠AEP=∠PCD=120°
∵∠ACB=60°
∴∠ACD=60°为定角，∵OC=2
∴当OD⊥CD时，OD最小
∴此时∠DOC=30°
∴CD= OC=1
∴OD= （cm）
故答案为： ．
(2)
解：如图，过点 作 ，交边 延长线于点 ，
则∠CPE=∠B=60°，∠E=∠BAC=60°
∴ 是等边三角形，
∴PC=PE=CE
∵ 绕点 顺时针旋转60°到
∴∠APD=∠CPE=60°
∴∠CPD=∠APE
在△PCD和△PEA中∴ （SAS）
∴ ，
∴
(3)
解：作PM⊥AB交AC于M．如图，
∵△ABC是等腰直角三角形
∴△PMC是等腰直角三角形
∴MC=
∵∠PMC=45°
∴∠AMP=135°
又∵∠APM+∠MPD=∠MPD+∠DPC=90°
∴∠APM=∠DPC
在△AMP和△DCP中，
∴△AMP≌△DCP（SAS）
∴AM=CD
∵AC=AM+MC，AM=CD，MC=
∴
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性
质，全等三角形的判定与性质等知识，采取类比的方法是解题的关键．
15．（2022·上海·八年级期末）已知□ ， 是对角线 与 的交点， 是 的中位线，联
结 并延长与 的延长线交于点 ，联结 ．求证：四边形 是平行四边形．
【答案】证明见解析
【解析】
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ 且 ，
∵ 是 的中位线，
∴点 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 即 ，
∴四边形 是平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线的定义等知识．注意证得
是解此题的关键．
16．（2022·上海·八年级期末）如图，在 中， ， 是 上一点， 交 于点 ，且 ， 是 上一点， ，连接 ．
(1)试判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)求证： ．
【答案】(1)四边形 是等腰梯形；证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
(1)
解：结论：四边形 是等腰梯形．
理由：∵ 、 是 的两边，
∴ 与 不平行，即 与 不平行，
∵ ，
∴四边形 是梯形，
∵ ，
∴ ，
∴梯形 是等腰梯形．
(2)
证明：∵梯形 是等腰梯形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、等腰梯形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识．解题的关键是掌
握等腰梯形的判定方法，平行四边形的判定方法．
17．（2022·上海·八年级期末）如图，平行四边形 的对角线 、 交于 点， ，
，连接 ．
(1)求证： ；
(2)求证：四边形 是平行四边形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
(1)
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ．
(2)
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵四边形 是平行四边形，∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质和判定、平行线的性质和判定等知识．解题的关键是首先证明四边形 是
平行四边形．
18．（2022·上海·八年级期末）在等边 中，点 是线段BC的中点， 与线段AB相
交于点 与射线AC相交于点F．
(1)如图，若 ，垂足为 求BE的长；
(2)如图，将（1）中的 绕点 顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：
．
(3)如图，将（2）中的 继续绕点 顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交于点F作
于点N，若 设 ，写出y关于x的函数关系式．【答案】(1)BE＝1
(2)见解析
(3)y=
【解析】
(1)
如图1，∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AC＝AB＝4．
∵点D是线段BC的中点，
∴BD＝DC＝ BC＝2．
∵DF⊥AC，即∠AFD＝90°，
∴∠AED＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，
∴∠BED＝90°，∴∠BDE=30°，
∴BE＝ BD＝1；
(2)
过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，
则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．
∵∠A＝60°，
∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．
∵∠EDF＝120°，
∴∠MDE＝∠NDF．
在△MBD和△NCD中，
∵∠BMD＝∠CND，∠B＝∠C，BD=CD，
∴△MBD≌△NCD（AAS），∴BM＝CN，DM＝DN．
在△EMD和△FND中，
∵∠EMD＝∠FND，DM＝DN，∠MDE＝∠NDF，
∴△EMD≌△FND（ASA），
∴EM＝FN，
∴BE+CF＝BM+EM+CN－FN＝BM+CN＝2BM＝BD＝ BC＝ AB；
(3)
过点D作DM⊥AB于M，如图3，同（2）的方法可得：BM＝CN，DM＝DN，EM＝FN．
∵DN＝FN，
∴DM＝DN＝FN＝EM，
∴BE+CF＝BM+EM+FN－CN＝NF+EM＝2DM=x+y，
BE﹣CF＝BM+EM﹣（FN－CN）＝BM+NC＝2BM=x－y，
在Rt△BMD中，∵∠BDM=30°，∴BD=2BM，
∴DM＝ ，
∴ ，整理，得 ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性
质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．19．（2022·湖南永州·八年级期末）△ACB和△DCE是共顶点C的两个大小不一样的等边三角形．
(1)问题发现：
如图1，若点A，D，E在同一直线上，连接AE，BE．
①求证：△ACD≌△BCE；
②求∠AEB的度数．
(2)类比探究：如图2，点B、D、E在同一直线上，连接AE，AD，BE，CM为△DCE中DE边上的高，请
求∠ADB的度数及线段DB，AD，DM之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸：如图3，若设AD（或其延长线）与BE的所夹锐角为α，则你认为α为多少度，并证明．
【答案】(1)①见解析；②∠AEB=60°；
(2)∠ADB=60°，2DM+BD=AD，理由见解析；
(3)α=60°，证明见解析
【解析】
(1)
①证明：∵△ACB和△DCE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°-∠DCB=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC=180°-∠CDE=120°，
又∵∠CED=60°，
∴∠AEB=60°；
(2)
解：∠ADB=60°，2DM +BD=AD，理由如下；
∵AC=BC，CD=CE，∠ACD=60°+∠DCB=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CDA=∠CED=60°；
∵∠ADB+∠CDA=∠DCE+∠CED，
∴∠ADB=60°；
又∵CM⊥BE，且△CDE为等边三角形，
∴DE=2DM，
∴2DM +BD=BE=AD；
(3)
解：α=60°，理由如下：
同理可证△ACD≌△BCE，
∴∠BEC=∠ADC，
∴∠CDF+∠CEF=180°，
∴∠ECD+∠DFE=180°，而α+∠DFE=180°，
∴α=∠ECD=60°．
【点睛】
本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识点．
20．（2021·云南丽江·八年级期末）如图，在 中，∠ =90°，∠ =45°， =10 ，点 从点
△
出发沿 方向以1 / 的速度向点 匀速运动，同时点 从点 出发沿 以 / 的速度向点
匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 、 运动时间为 （0≤ ≤10）
．过点 作 ⊥ 于点 ，连接 、 ．
(1)用含 的式子填空： = , = ；
(2)试说明，无论 为何值，四边形 都是平行四边形；
(3)当 为何值时，以 、 、 为顶点的三角形是直角三角形．【答案】(1)
(2)见解析
(3)5或
【解析】
(1)
根据题意表示： = ， =
(2)
∵ = ,∠ =90°
∴∠ =∠ =45°
∵ ⊥
∴∠ =∠ =45°
∴ =
∵ =
∴ = =
∴ =
∵∠ =∠ =90°
∴ ∥
∴四边形 是平行四边形.
(3)
如图，①当∠ =90°时
∵ = =
∴ =
∴ =
解得： =5
②如图，当∠ =90°时
∵ ∥
∴∠ = =90°
∵∠A=45°
∴ =∴
解得：
③∠ =90°时，△ 不存在．
【点睛】
本题主要三角形的动点问题，等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质，掌握等腰直角三角形的性质，
并结合题目要求，列出正确的关系式是解题的关键．
