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专练 09 几何题（20 题）
1．（2022·全国·八年级期末）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P．
(1)求证：△ABE≌△CAD；
(2)求∠BPD的度数．
2．（2021·云南红河·八年级期末）如图，在△ABC中， ，点 为 的中点，边 的垂直平分
线交 、 、 于点 、 、 ，连接OA、OB．
(1)求证：△OBC为等腰三角形；
(2)若∠ACF=23°，求 的度数．
3．（2022·河南·永城市教育体育局教研室八年级期末）已知M是等边△ABC的边BC上的点．
(1)如图①，过点M作MN∥CA，交AB于点N，求证：BM = BN；
(2)如图②，连接AM，过点M作∠AMH = 60°，MH与∠ACB的邻补角的平分线交于点H，过点H作HD⊥BC，交BC延长线于点D．
（ⅰ）求证：MA = MH；
（ⅱ）直接写出CB，CM，CD之间的数量关系式．
4．（2022·江苏盐城·八年级期末）已知：∠AOB＝120°，OC平分∠AOB．
(1)把三角尺的60°角的顶点落在射线OC上的任意一点P处，绕点P转动三角尺，某一时刻，恰好使得OE
＝OF（图1），此时PE与PF相等吗？为什么？
(2)把三角尺继续绕点P转动，两边分别交OA、OB于点E、F（图2），求证：△PEF为等边三角形．
5．（2022·河南信阳·八年级期末）如图，ΔABC，ΔADE均是等边三角形，点B，D，E三点共线，连按
CD，CE；且CD⊥BE．
(1)求证：BD=CE；
(2)若线段DE=3，求线段BD的长．
6．（2021·重庆市黔江区教育科学研究所八年级期末）如图，在 中， ， ，
平分 ， 交 于点 ．
(1)求作 的垂直平分线 ；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若 交 于点 ，连接 ．求证： ．7．（2022·广西百色·八年级期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD
的高，AD与EF相交于点M．
(1)求证：△ADE≌△ADF；
(2)求证：AD垂直平分EF．
8．（2022·河北唐山·八年级期末）已知：如图，在 中， ， ， ，垂足分
别为D、E， 与 交于点O．
发现： 与 有何数量关系？并说明理由；
探索：判断 的形状，并说明理由；
拓展：连接 并延长，交 于点F，请你直接写出一条关于 的结论．
9．（2022·湖北襄阳·八年级期末）已知四边形 中， ， ， ，
， ，将 绕点 旋转．
(1)当 旋转到 如图 的位置，此时 的两边分别交 ， 于 ， ，且 ，求证：
；
(2)当 旋转到 如图 的位置，此时 的两边分别交 ， 于 ， ，且 时，小颖猜想 中的 仍然成立，并尝试作出了延长 至点 ，使 ，连接 ，请你证明小
颖的猜想；
(3)当 旋转到 如图 的位置，此时 的两边分别交 ， 于 ， ，猜想线段 、 、
之间的数量关系，并证明你的猜想．
10．（2022·云南红河·八年级期末）如图，已知 中， ， 于点 ， 的平
分线分别交 ， 于点 ．
(1)试说明 是等腰三角形；
(2)若点 恰好在线段 的垂直平分线上，猜想：线段 与线段 的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若 ， ，求 的面积．
11．（2022·上海·八年级期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点
D，BE⊥MN于点E．
(1)当直线MN绕点C旋转到图1所示位置时，求证：DE=AD-BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2、图3所示位置时，补全图形，并探索线段DE、AD、BE之间的数量关系
（直接写出答案）．
12．（2022·河南南阳·八年级期末）解决问题(1)感知：
如图1，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝x，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，过点
D作DE⊥CB交CB的延长线于点E，连接CD．则线段BC与DE的数量关系是_____，△BCD的面积为
______（用含x的式子表示）；
(2)应用：
如图2，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝x，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接
CD，用含x的式子表示△BCD的面积，并说明理由．
(3)拓展：
如图3所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，将边AB绕点B顺时针旋转，当AB⊥BD，连接CD，若
△BCD的面积为9，则CD的长为_______.
13．（2022·湖北武汉·八年级期末）如图，在等边 ABC中，D为BC上一点，DE AB，且DE＝BD．
△
(1)如图1，若点E在AC边上，求证：AE＝CE；
(2)如图2，若点E在 ABC内，连接CE，F为CE的中点，连接AF、DF，求证：AF⊥DF；
(3)如图3，点N为AB△边上一点，连接BE，AN＝BE．若CN＋CE的值最小时，∠NCE的度数为
___________°（直接写出结果）．
14．（2022·江苏宿迁·八年级期末）问题背景：如图1，在等边 中，点 为边 上一个动点（点
不与 ， 重合），连接 ，把 绕点 顺时针旋转60°到 ，连接 ．探究 、 、 之间的
数量关系．小明同学的探究思路是：过点 作 ，交边 于点 （如图2），易证 是等边三
角形，并且 ，所以 ，从而 ．(1)结论应用：
①在图1中，若 ， ，则 ______cm；
②在图1中，若 ，点 为 的中点，则 的最小值为______cm；
(2)类比探究：如图3，若点 为等边 边 延长线上一点，连接 ，把 绕点 顺时针旋转60°到
，连接 ．若 ， ，求 的长．
(3)拓展延伸：如图4， 是等腰直角三角形， ， ，点 为边 上一个动点（点
不与 、 重合），连接 ，把 绕点 顺时针旋转90°到 ，连接 ．直接写出 、 、
之间的数量关系．
15．（2022·上海·八年级期末）已知□ ， 是对角线 与 的交点， 是 的中位线，联
结 并延长与 的延长线交于点 ，联结 ．求证：四边形 是平行四边形．
16．（2022·上海·八年级期末）如图，在 中， ， 是 上一点， 交 于点 ，
且 ， 是 上一点， ，连接 ．
(1)试判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)求证： ．17．（2022·上海·八年级期末）如图，平行四边形 的对角线 、 交于 点， ，
，连接 ．
(1)求证： ；
(2)求证：四边形 是平行四边形．
18．（2022·上海·八年级期末）在等边 中，点 是线段BC的中点， 与线段AB相
交于点 与射线AC相交于点F．
(1)如图，若 ，垂足为 求BE的长；
(2)如图，将（1）中的 绕点 顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：
．
(3)如图，将（2）中的 继续绕点 顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交于点F作
于点N，若 设 ，写出y关于x的函数关系式．19．（2022·湖南永州·八年级期末）△ACB和△DCE是共顶点C的两个大小不一样的等边三角形．
(1)问题发现：
如图1，若点A，D，E在同一直线上，连接AE，BE．
①求证：△ACD≌△BCE；
②求∠AEB的度数．
(2)类比探究：如图2，点B、D、E在同一直线上，连接AE，AD，BE，CM为△DCE中DE边上的高，请
求∠ADB的度数及线段DB，AD，DM之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸：如图3，若设AD（或其延长线）与BE的所夹锐角为α，则你认为α为多少度，并证明．
20．（2021·云南丽江·八年级期末）如图，在 中，∠ =90°，∠ =45°， =10 ，点 从点
△
出发沿 方向以1 / 的速度向点 匀速运动，同时点 从点 出发沿 以 / 的速度向点
匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 、 运动时间为 （0≤ ≤10）
．过点 作 ⊥ 于点 ，连接 、 ．(1)用含 的式子填空： = , = ；
(2)试说明，无论 为何值，四边形 都是平行四边形；
(3)当 为何值时，以 、 、 为顶点的三角形是直角三角形．
