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13.3.2 等边三角形
等边三角形定义：
三边都相等的三角形叫等边三角形.
等边三角形的性质：
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
注意：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等
边三角形．
题型1：等边三角形的性质-求角度
1.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，若
∠BEC＝90°，则∠ACE的度数（ ）
A．60° B．45° C．30° D．15°
【变式1-1】如图， △ABC 是等边三角形， BD 是中线，延长 BC 至E，使
CE=CD ，则下列结论错误的是（ ）
A．∠CED=30° B．∠BDE=120° C．DE=BD D．DE=AB
【变式1-2】如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠BAE=20°，则∠DCE等于(
)
A．30° B．40° C．50° D．60°
题型2：等边三角形的性质-证明问题
2.如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．求证：
DB＝DE．
【变式2-1】如图，已知等边 ΔABC，D，E 分别在 BC、AC 上，且 BD=CE
，连接 BE、AD 交 F 点．求证： ∠AFE=60°
【变式2-2】如图，△ABC是等边三角形，点D为BC上一点（与点B不重合），过
点C作∠ACE＝60°，且CE=BD（点E与点A在射线BC同侧），连接AD，ED.求
证：AD=DE.等边三角形的判定：
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
题型3：等边三角形的判定
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC
于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．
【变式3-1】如图，△ABC ≌△ADE，∠BAD ＝60°．求证：△ACE是等边三角形．
【变式3-2】如图，在△ABC中，∠B＝60°，过点C作CD∥AB，若∠ACD＝60°，
求证：△ABC是等边三角形.
题型4：等边三角形与多选项问题4.如图所示，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于
S，则四个结论正确的是( )
①点 P 在∠A 的平分线上； ②AS=AR； ③QP // AR； ④△BRP≌△QSP．
A．全部正确 B．①②正确 C．①②③正确 D．①③
正确
【变式4-1】已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD
于点P，下列说法：①∠APE=∠C，②AQ=BQ，③BP=2PQ，④AE+BD=AB，其正
确的个数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4-2】如图点A，B，C在同一条直线上，△CBE，△ADC都是等边三角形，
AE，BD相交于点O，且分别与CD，CE交于点M，N，连接M，N，有如下结
论：①△DCB≅△ACE；②AM=DN；③△CMN为等边三角形；④∠EOB=60°.
其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型5：等边三角形的判定与性质综合
5.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一
点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．
【变式5-1】如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，连接CD，BE交于点F．
求证：
（1）∠BFC＝120°；
（2）FA平分∠DFE．
【变式5-2】如图，点O是等边△ABC内一点，点D是△ABC外一点，∠AOB＝
110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当α＝∠AOB，AO＝8cm时，求OC的长度．
题型6：等边三角形动点问题
6.如图，等边 △ABC ，点 P 在 △ABC 内，点 Q 在 △ABC 外，分别连结
AP 、 BP 、 AQ 、 CQ ， ∠ABP=∠ACQ ， BP=CQ .（1）求证： △ABP≅△ACQ ；
（2）连结 PQ ，说明 △APQ 是等边三角形；
【变式6-1】如图，在△ABC中，∠B＝60°，点M从点B出发沿线段BC方向，在线
段BC上运动．在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在线段BC上方，作
等边△AMN，连结CN．
（1）当∠BAM＝ °时，AB＝2BM；
（2）请添加一个条件： ▲ ，使得△ABC为等边三角形；当
△ABC为等边三角形时，求证：CN+CM＝AC．
【变式6-2】三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它的三个角都是60°．△ABC
是等边三角形，点D在BC所在直线上运动，连接AD，在AD所在直线的右侧作
∠DAE=60°，交△ABC的外角∠ACF的角平分线所在直线于点E．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，请你猜想AD与AE的大小关系，并给出
证明；
（2）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，依据题意补全图形，请问上
述结论还成立吗？请说明理由．题型7：等边三角形探究性问题（提升）
7.问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD
平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．
（1）特例探究：
如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ；
如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝
；这两个图中，∠D与∠A度数的比是 ；
（2）猜想证明：
如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？
若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．
【变式7-1】“魅力数学”社团活动时，张老师出示了如下问题：
如图①，已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=120°，∠B与∠D互
补，试探究线段AB，AD，AC之间的数量关系；
小敏反复探索，不得其解，张老师提示道：“数学中常通过把一个问题特殊化来
找到解题思路”，于是，小敏想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决问题：
（1）特殊情况入手
添加条件：“∠B=∠D”，如图②易知在Rt△CDA中，∠DCA=30°，所以，写出
边AD与AC之间的数量关系，同理可得AB与AC的数量关系，由此得AB，AD，
AC之间的数量关系；
（2）解决原来问题
受到（1）的启发，在原问题上，添加辅助线，过点C分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E、F，如图③，请写出探究过程；
（3）解后反思
“一题多解”是数学解题的魅力之一，小敏在张老师的引导下，受探究结论的启
发，结合图中的60°角，通过构造等边三角形，利用三角形全等同样解决了该问题，
请在图①中作出辅助线，并简述你的探究过程．
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．所有的等边三角形都是全等三角形
B．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点
C．已知两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
D．三角形的任意一条中线一定将这个三角形的面积等分
2．下列命题正确的是（ ）
A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
B．在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
C．有一个角是60°的三角形是等边三角形
D．有两边及一边的对角对应相等的两个三角形全等
3．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．不等边三角形 D．不能确定
4．如图，△ABC是等边三角形，BC⊥CD，且AC=CD，则∠BAD的度数为（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
5．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长
线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）1 1 2
A． B． C． D．不能确
3 2 3
定
6．如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点
A，点Q从顶点B同时出发，且速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，下面四个结
论:①△ABQ≌△CAP；；②∠CMQ的度数不变，始终等于60°③BP＝CM；正确的有
几个( )
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
7．如图矩形ABCD中，AD= √2 ，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，
∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB= ．
8．如图，已知 O 是等边△ ABC 内一点， D 是线段 BO 延长线上一点，且
OD=OA ， ∠AOB =120°，那么 ∠BDC= ．
9．如图，将边长为4个单位的等边ΔABC沿边BC向右平移3个单位得到ΔA'B'C'，则B'C的长度为 .
三、解答题
10．如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横
梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？
11．如图，在等边 ΔABC 中， D,E 分别是 BC,AC 上的点，且 AE=CD,AD 与
BE 相交于点 F,CF⊥BE ，求 AF:BF 的值.
12．已知:在 ΔABC 中, AB=AC , D 为 AC 的中点, DE⊥AB , DF⊥BC ,垂足
分别为点 E,F ,且 DE=DF .求证: ΔABC 是等边三角形.
13．如图，等边三角形ABC内有一点P，PE⊥AB，PF⊥AC，PD⊥BC，垂足分别为E，
F，D，且AH⊥BC于H，试用三角形面积公式证明：PE+PF+PD=AH．四、综合题
14．如图,△ABC是等边三角形,CD⊥AB于点D,∠AEB=90°,CD=AE.
求证:
（1）△BCD≌△BAE;
（2）△EBD是等边三角形.
15．如图
（1）如图①，点D，E分别在等边△ABC的边BC，AB上，且AE=BD，连接
AD，CE交于点F.找出图中与△ABD全等的三角形，证明并求出∠AFE的度数；
（2）如图②，若（1）中的点D，E分别在等边△ABC的边BC，AB延长线上，
（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由.
