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13.3.2 等边三角形
等边三角形定义：
三边都相等的三角形叫等边三角形.
等边三角形的性质：
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
注意：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等
边三角形．
题型1：等边三角形的性质-求角度
1.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，若
∠BEC＝90°，则∠ACE的度数（ ）
A．60° B．45° C．30° D．15°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，∠ACB=60°，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠BEC=90°，
∴∠EBC=∠ECB=45°，
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，故答案为：D.
【分析】根据等边三角形的性质和线段垂直平分线的性质得出BE=CE，
∠ACB=60°，再根据等腰直角三角形的性质得出∠EBC=∠ECB=45°，利用
∠ACE=∠ACB-∠ECB即可得出答案.
【变式1-1】如图， △ABC 是等边三角形， BD 是中线，延长 BC 至E，使
CE=CD ，则下列结论错误的是（ ）
A．∠CED=30° B．∠BDE=120° C．DE=BD D．
DE=AB
【答案】D
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB＝60°，
∵BD是AC上的中线，
∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，
又CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED＝30°，
∴∠CBD＝∠DEC，
∴DE=BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°，
故A、B、C均正确．
故答案为：D．
【分析】利用等边三角形性质得∠ABC=∠ACB＝60°，∠ADB＝∠CDB＝90°；
∠ABD＝∠CBD＝30°，再利用三角形的外角的性质及等腰三角形的性质可得到
∠CDE＝∠CED＝30°，可对A作出判断；由此可推出∠CBD=∠DEC，同时可求出
∠BDE的度数，可对B作出判断；利用等角对等边可证得DE=DB，可对C作出判
断；不能证明DE=AB，可对D作出判断.
【变式1-2】如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠BAE=20°，则∠DCE等于(
)A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵△ACE为等边三角形，
∴∠ECA=∠EAC=60°，
∵AB//CD，
∴∠DCA+∠BAC=180°，
∴∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB=180°，
∵∠EAB=20°，
∴40°+60°+60°+∠EAB=180°，
解得∠DCE=40°，
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质可得∠DCA+∠BAC=180°，再利用等边三角形的性质
可得∠ECA=∠EAC=60°，最后利用角的运算可得∠DCE=40°。
题型2：等边三角形的性质-证明问题
2.如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．求证：
DB＝DE．
【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED．
又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，
1
∴∠CDE＝∠CED＝ ∠BCD＝30°．
2∴∠DBC＝∠DEC．
∴DB＝DE（等角对等边）．
【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝
30°，由 CE＝CD，可得∠CDE＝∠CED，根据三角形外角的性质可得∠CDE＝
1
∠CED＝ ∠BCD＝30°，即得∠DBC＝∠DEC，根据等角对等边即得结论.
2
【变式2-1】如图，已知等边 ΔABC，D，E 分别在 BC、AC 上，且 BD=CE
，连接 BE、AD 交 F 点．求证： ∠AFE=60°
【答案】∵△ABC 是等边三角形
∴∠ABC=∠C=60° ， AB=BC
在△ABD和△BCE中
{
AB=BC
∠ABC=∠C
BD=CE
∴△ABD≌△BCE
∴∠BAD=∠CBE
∴∠AFE=∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60° ．
【解析】【分析】根据△ABC 是等边三角形得出∠ABC=∠C=60° ， AB=BC，
利用SAS证明△ABD≌△BCE，得出∠BAD=∠CBE，即可得出结论。
【变式2-2】如图，△ABC是等边三角形，点D为BC上一点（与点B不重合），过
点C作∠ACE＝60°，且CE=BD（点E与点A在射线BC同侧），连接AD，ED.求
证：AD=DE.【答案】证明：如图，在AB上截取AF=DC，连接FD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，
又∵AF=DC，
∴BF=BD，
∴△BDF是等边三角形，
∴∠BFD=60°，BD=DF，
∴∠AFD=120°，
∵∠ACE＝60°，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°，
∴∠DCE=∠AFD，
∵CE=BD，
∴CE=DF，
在△ADF和△DEC中，
∵CE=DF，∠DCE=∠AFD，DC = AF，
∴△ADF≌△DEC（SAS），
∴AD=DE.
【解析】【分析】 在AB上截取AF=DC，连接FD，证出△ADF≌△DEC，即可得出
AD=DE.
等边三角形的判定：
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
题型3：等边三角形的判定
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC
于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．【答案】证明：∵D为AB的中点，
∴AD=BD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED=∠BFD=90°．
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
{AD=BD
，
DE=DF
∴Rt△ADE≌Rt△BDF(HL)，
∴∠A=∠B，
∴CA=CB，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC
∴ΔABC是等边三角形．
【解析】【分析】先利用“HL”证明Rt△ADE≌Rt△BDF，再利用全等三角形的性
质可得∠A=∠B，再利用等角对等边的性质可得 CA=CB，再结合AB=AC，可得
AB=BC=AC，即可证明△ABC是等边三角形。
【变式3-1】如图，△ABC ≌△ADE，∠BAD ＝60°．求证：△ACE是等边三角形．
【答案】解：∵ △ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，AC＝AE．
∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC．即 ∠BAD＝∠CAE．
∵∠BAD＝60°，
∴∠CAE＝60°．
又∵ AC＝AE，
∴△ACE是等边三角形
【解析】【分析】根据全等三角形的性质可得∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，进而可得
∠BAD＝∠CAE，然后根据有一个角为60°的等腰三角形即可判断△ACE是等边三角形.
【变式3-2】如图，在△ABC中，∠B＝60°，过点C作CD∥AB，若∠ACD＝60°，
求证：△ABC是等边三角形.
【答案】证明:
证法一： ∵ CD∥AB，
∴∠A＝∠ACD＝60°.
∵∠B＝60°，
在△ABC中，
∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.
∴∠A＝∠B＝∠ACB.
∴△ABC是等边三角形.
证法二：∵CD∥AB，
∴∠B＋∠BCD＝180°.
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝120°.
∴∠ACB＝∠BCD－∠ACB＝60°.
在△ABC中，
∠A＝180°－∠B－∠ACB＝60°.
∴ ∠A＝∠B＝∠ACB.
∴ △ABC是等边三角形.
【解析】【分析】证法一：根据平行线的性质可知，∠A＝60°，所以∠ACB＝60°，
即可证明△ABC是等边三角形.
证法二：根据平行线的性质可知，∠B＝60°，所以∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，即
可证明△ABC是等边三角形.
题型4：等边三角形与多选项问题
4.如图所示，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于
S，则四个结论正确的是( )①点 P 在∠A 的平分线上； ②AS=AR； ③QP // AR； ④△BRP≌△QSP．
A．全部正确 B．①②正确 C．①②③正确 D．①③
正确
【答案】A
【解析】【解答】解：∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S
∴∠ARP＝∠ASP＝90°
∵PR＝PS，AP＝AP
∴Rt△ARP≌Rt△ASP
∴AR＝AS，故②正确，∠BAP＝∠CAP
∴AP是等边三角形的顶角的平分线，故①正确
∴AP是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点
∵AQ＝PQ
∴点Q是AC的中点
∴PQ是边AB对的中位线
∴PQ∥AB，故③正确
∵Q是AC的中点，
∴QC=QP，
∵∠C=60°，
∴△QPC是等边三角形，
∴PB=PC=PQ，
∵PR＝PS，∠BRP＝∠QSP＝90°，
∴△BRP≌△QSP，故④正确
∴全部正确．
故答案为：A．
【分析】利用等边三角形的性质及角平分线的性质、三角形全等的判定及性质逐项
判断即可。
【变式4-1】已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD
于点P，下列说法：①∠APE=∠C，②AQ=BQ，③BP=2PQ，④AE+BD=AB，其正确的个数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ △ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，
∵ AE=CD，
∴△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，
∴∠APE=∠BPQ=60°，
∴ ∠APE=∠C， 故①正确；
②无法证明AQ=BQ，故②错误；
③∵ BQ⊥AD于Q，
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=90°-∠APE=90°-60°=30°，
∴ BP=2PQ， 故③正确；
④∵△ABE≌△CAD，
∴AE=CD，
∴ AE+BD=CD+BD=BC=AB，故④正确，
∴正确的个数由3个.
故答案为：C.
【分析】①根据等边三角形的性质得出∠C=60°，再证出△ABE≌△CAD，得出
∠ABE=∠CAD，从而得出∠APE=∠BPQ=60°，即可判断①正确；
②无法证明AQ=BQ，即可判断②错误；
③证出∠PBQ=30°，从而得出BP=2PQ， 即可判断③正确；
④根据全等三角形的性质得出AE=CD，从而得出AE+BD=CD+BD=BC=AB，即可
判断④正确.
【变式4-2】如图点A，B，C在同一条直线上，△CBE，△ADC都是等边三角形，
AE，BD相交于点O，且分别与CD，CE交于点M，N，连接M，N，有如下结
论：①△DCB≅△ACE；②AM=DN；③△CMN为等边三角形；④∠EOB=60°.
其中正确的结论个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，
∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD，∠MCN=180°-∠ACD-
∠BCE=60°，
在△ACE和△DCB中，
{
AC=CD
∠ACE=∠BCD，
BC=CE
∴△ACE≌△DCB（SAS），则①符合题意；
∴AE=BD，∠CAE=∠CDB，
在ACM和△DCN中，
{∠ACM=∠DCN
AC=CD ，
∠CAM=∠CDN
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN，AM=DN；则②符合题意；
∵∠MCN=60°，
∴ΔCMN为等边三角形；则③符合题意；
∵∠DAC=∠ECB=60°，
∴AD∥CE，
∴∠DAO=∠NEO=∠CBN，
∴∠EOB=∠OAC+∠CBN=∠OAC+∠DAO=60°；则④符合题意；
∴正确的结论由4个；故答案为：D．
【分析】根据三角形全等的判定以及等边三角形的性质判断即可。
题型5：等边三角形的判定与性质综合
5.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一
点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．
【答案】（1）解：△DEF是等边三角形．
理由是：∵AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形．
∴∠ABD=∠ADB=60°．
∵CE∥AB，
∴∠CED=∠A=60°，∠DFE=∠ABD=60°，
∴∠CED=∠ADB=∠DFE，
∴△DEF是等边三角形；
（2）连接AC交BD于点O，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AC是BD的垂直平分线，
即AC⊥BD．
∵AB=AD，∠BAD=60°，∴∠BAC=∠DAC=30°．
∵CE∥AB，
∴∠BAC=∠ACE=∠CAD=30°，
∴AE=CE=8，
∴DE=AD-AE=12-8=4．
∵△DEF是等边三角形，
∴EF=DE=4，
∴CF=CE-EF=8-4=4．
【解析】【分析】（1）先求出 △ABD是等边三角形，再求出
∠CED=∠ADB=∠DFE， 最后证明求解即可；
（2）先求出 ∠BAC=∠DAC=30° ，再求出 EF=DE=4， 最后计算求解即可。
【变式5-1】如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，连接CD，BE交于点F．
求证：
（1）∠BFC＝120°；
（2）FA平分∠DFE．
【答案】（1）解：∵△ABD、△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAC+60°，∠BAE=∠BAC+60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
{
AD=AB
∠DAC=∠BAE ，
AE=AC
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ABE=∠ADC，
令AB与DC的交点为G，
∵∠BGD=∠ABE+∠BFG，∠BGD=∠ADC+∠DAG，
∴∠ABE+∠BFG=∠ADC+∠DAG，
∴∠BFG=∠DAG=60°，∴∠BFC=180°-∠BFG=120°；
（2）解：过点A作AH⊥DC，AG⊥BE，垂足分别为H、G．
∵AH⊥DC，AG⊥BE，
∴∠DHA=∠BGA=90°．
∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE．
{∠ADC=∠ABE
在△DAH和△BAG中 ∠DHA=∠BGA ，
AD=AB
∴△DAH≌△BAG．
∴AH=AG．
又∵AH⊥DC，AG⊥BE，
∴FA为∠DFE的角平分线．
【解析】【分析】（1）先可利用“SAS”证明△DAC≌△BAE，再利用全等三角形的
性质可得∠ABE=∠ADC，再结合∠BGD=∠ABE+∠BFG，∠BGD=∠ADC+∠DAG，
可得∠BFG=∠DAG=60°，即可得到∠BFC=180°-∠BFG=120°；
（2）先利用“AAS”证明△DAH≌△BAG，再利用全等三角形的性质可得AH=AG，
再利用角平分线的判定结合AH⊥DC，AG⊥BE，即可证明FA为∠DFE的角平分
线．
【变式5-2】如图，点O是等边△ABC内一点，点D是△ABC外一点，∠AOB＝
110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）当α＝∠AOB，AO＝8cm时，求OC的长度．
【答案】（1）解：∵△BOC≌△ADC，
∴OC=OD，∠OCB=∠ACD，
∴∠OCD=∠ACB，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形；
（2）解：△AOD是直角三角形，理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=∠COD=60°，
∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
∴∠ADO=90°，
∴△AOD是直角三角形；
（3）解：∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=∠COD=60°，OC=OD，
∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=110°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=50°，
∵∠BOC=∠AOB=110°，
∴∠AOD =360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=80°，
∴∠OAD=180°-∠ADO- ∠AOD=50°，
∴∠OAD=∠ADO，
∴AO=OD，
∵AO＝8cm，
∴OC=OD＝8cm．
【解析】【分析】（1）根据△BOC≌△ADC，得出∠OCD=∠ACB，再根据△ABC为
等边三角形，得出∠OCD=60°，∠ACB=60°，即可得出结论；
（2）根据△OCD是等边三角形，得出∠ODC=∠COD=60°，再根据△BOC≌△ADC，
得出∠ADC=∠BOC=150°，由此得出结论；
（3）根据△OCD 是等边三角形，得出∠ODC=∠COD=60°，OC=OD，再根据
△BOC≌△ADC，得出∠ADC=∠BOC=110°，从而得出∠OAD=∠ADO，AO=OD，计
算即可。
题型6：等边三角形动点问题
6.如图，等边 △ABC ，点 P 在 △ABC 内，点 Q 在 △ABC 外，分别连结（1）求证： △ABP≅△ACQ ；
（2）连结 PQ ，说明 △APQ 是等边三角形；
【答案】（1）证明：如图，
∵△ABC 是等边三角形（已知），
∴AB=AC ， ∠BAC=60° （等边三角形的性质）.
在 △ABP 和 △ACQ 中，
{
AB=AC
∠ABP=∠ACQ ，
BP=CQ
∴△ABP≅△ACQ(SAS) ；
（2）解：∵△ABP≅△ACQ ，
∴AP=AQ ， ∠1=∠2 （全等三角形的对应边、对应角相等）.
∵∠1+∠3=60° ，
∴∠2+∠3=60° .
即 ∠PAQ=60° .
∴△APQ 是等边三角形（有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形）.
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB=AC，用边角边可证
△ABP≌△ACQ；
（2）由（1）中的全等三角形可得AP=AQ，∠1=∠2，结合已知易证
∠2+∠3=∠PAQ=60°，再根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可求解.【变式6-1】如图，在△ABC中，∠B＝60°，点M从点B出发沿线段BC方向，在线
段BC上运动．在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在线段BC上方，作
等边△AMN，连结CN．
（1）当∠BAM＝ °时，AB＝2BM；
（2）请添加一个条件： ▲ ，使得△ABC为等边三角形；当
△ABC为等边三角形时，求证：CN+CM＝AC．
【答案】（1）30
（2）解：AB＝AC；证明：如图1中，
∵△ABC与△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，
即∠BAM＝∠CAN，
在△BAM与△CAN中，
{
AB=AC
∠BAM=∠CAN，
AM=AN
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴BM＝CN，
∴AC＝BC＝CN+MC．
【解析】【解答】解：（1）当∠BAM＝30°时，
∴∠AMB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AB＝2BM；
故答案为：30；【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质解答即可；
（2）利用等边三角形的判定即可解答；利用等边三角形的性质和可证
△BAM≌△CAN（SAS），可得BM＝CN，即AC＝BC＝CN+MC．
【变式6-2】三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它的三个角都是60°．△ABC
是等边三角形，点D在BC所在直线上运动，连接AD，在AD所在直线的右侧作
∠DAE=60°，交△ABC的外角∠ACF的角平分线所在直线于点E．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，请你猜想AD与AE的大小关系，并给出
证明；
（2）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，依据题意补全图形，请问上
述结论还成立吗？请说明理由．
【答案】（1）结论：AD=AE．
理由：如图，在AB上取一点M，使BM=BD，连接MD．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，BA=BC．
∴△BMD是等边三角形，∠BMD=60°．∠AMD=120°．
∵CE是外角∠ACF的平分线，
∴∠ECA=60°，∠DCE=120°．
∴∠AMD=∠DCE．
∵∠ADE=∠B=60°，∠ADC=∠2+∠ADE=∠1+∠B
∴∠1=∠2．
又∵BA-BM=BC-BD，即MA=CD．
在△AMD和△DCE中，{ ∠1＝∠2
MA＝CD ，
∠AMD＝∠DCE
∴△AMD≌△DCE（ASA）．
∴AD=DE．
（2）正确．
证明：延长BA到M，使AM=CD，
与（1）相同，可证△BDM是等边三角形，
∵∠CDE=∠ADB+∠ADE=∠ADB+60°，
∠MAD=∠B+∠ADB=∠ADB+60°，
∴∠CDE=∠MAD，
同理可证，△AMD≌△DCE，
∴AD=DE．
【解析】【分析】（1）在AB上取一点M，使BM=BD，连接MD．则△BDM是等
边三角形，则易证AM=DC，根据ASA即可证得△AMD≌△DCE（ASA），根据全等
三角形的对应边相等，即可证得；（2）延长BA到M，使AM=CD，与（1）相同，
可证△BDM是等边三角形，然后证明△AMD≌△DCE（ASA），根据全等三角形的
对应边相等，即可证得．
题型7：等边三角形探究性问题（提升）
7.问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD
平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．
（1）特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ；
如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝
；这两个图中，∠D与∠A度数的比是 ；
（2）猜想证明：
如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？
若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．
【答案】（1）30°；50°；1：2
（2）解：成立.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD=∠DCE，
∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠ABC＋∠A， 即2∠DCE =2∠DBC+∠A，
∵∠DCE是△BCD的外角，∴∠DCE＝∠DBC＋∠D，∵2∠DBC+∠A＝2（∠DBC
＋∠D），
1
∴∠D＝ ∠A，即∠D：∠A＝1：2
2
【解析】【解答】解：(1)、30；50；1：2；
【分析】 （1）①根据角平分线的定义得出∠ABD=∠DBC=30°，
∠ACD=∠DCE=60°，根据三角形的外角定理得出∠DCE=∠DBC+∠D ，从而得出
∠D=30° ；②根据等腰三角形的性质得出∠ABC=40° ，根据角平分线的定义得出
∠ABD=∠DBC=20°，根据三角形的外角定理得出∠ACE=∠A＋∠ABC＝140° ，
∠ACD=∠DCE=70° ，根据三角形的外角定理得出∠DCE=∠DBC+∠D ，从而得出
∠D=50° ；
（2）根据角平分线的定义得出∠ABD=∠DBC，∠ACD=∠DCE，根据三角形的外
角定理得出∠ACE=∠ABC＋∠A， 即2∠DCE =2∠DBC+∠A，∠DCE＝∠DBC＋
∠D，从而得出2∠DBC+∠A＝2（∠DBC＋∠D），即∠D：∠A＝1：2 。
【变式7-1】“魅力数学”社团活动时，张老师出示了如下问题：
如图①，已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=120°，∠B与∠D互
补，试探究线段AB，AD，AC之间的数量关系；
小敏反复探索，不得其解，张老师提示道：“数学中常通过把一个问题特殊化来
找到解题思路”，于是，小敏想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决问题：（1）特殊情况入手
添加条件：“∠B=∠D”，如图②易知在Rt△CDA中，∠DCA=30°，所以，写出
边AD与AC之间的数量关系，同理可得AB与AC的数量关系，由此得AB，AD，
AC之间的数量关系；
（2）解决原来问题
受到（1）的启发，在原问题上，添加辅助线，过点C分别作AB，AD的垂线，
垂足分别为E、F，如图③，请写出探究过程；
（3）解后反思
“一题多解”是数学解题的魅力之一，小敏在张老师的引导下，受探究结论的启
发，结合图中的60°角，通过构造等边三角形，利用三角形全等同样解决了该问题，
请在图①中作出辅助线，并简述你的探究过程．
【答案】（1）解：∵∠B+∠D=180°，且∠B=∠D，
∴∠B=∠D=90°，
又∵AC平分∠DAB，∠DAB=120°，
∴∠DAC=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠ACB=30°，
1 1
则AD= AC，AB= AC，
2 2
1 1
∴AD+AB= AC+ AC=AC
2 2
（2）解：∵AC为∠DAB的平分线，CF⊥AD，CE⊥AB，
∴CF=CE．
∵∠B与∠ADC互补，∠ADC与∠CDF互补，
∴∠CDF=∠B．
又∵∠F=∠CEB=90°，
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴DF=BE．
∴AB+AD
=AE+BE+AD=AE+DF+AD
=AE+AF
=AC，
即AB+AD=AC
（3）解：如图，延长AB到点E，使得AE=AC．
1
∵∠CAB= ∠BAD=60°，
2
∴△ACE为等边三角形．
∴AC=EC，∠DAC=∠E=60°．
又∵∠ABC与∠D互补，
∴∠D=∠CBE．
∴△ADC≌△EBC（AAS），
∴AD=EB．
∴AC=AE=AB+EB=AB+AD
【解析】【分析】（1） 由 ∠B+∠D=180°，且∠B=∠D，可得∠B=∠D=90°，根据
角平分线的性质可得∠DAC=∠BAC=60°，进而可得∠ACD=∠ACB=30°，由30°的角
1 1
所对的直角边等于斜边的一半可得AD= AC，AB= AC，进而可得AD+AB=
2 2
1 1
AC+ AC=AC。（2）由角平分线的性质定理可得CF=CE．由等角的补角相等
2 2
可得∠CDF=∠B．根据角角边判定△CDF≌△CBE，进而可得DF=BE．由等量代换即
可求出AB+AD=AC.（3）延长AB到点E，使得AE=AC．
先根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断△ACE为等边三角形．由
等边三角形的性质可得 AC=EC，∠DAC=∠E=60°．由等角的补角相等可得
∠D=∠CBE．根据角角边判定△ADC≌△EBC，由全等三角形的性质可得AD=EB．根
据等量代换可得AC=AE=AB+EB=AB+AD。
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．所有的等边三角形都是全等三角形
B．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点
C．已知两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等D．三角形的任意一条中线一定将这个三角形的面积等分
【答案】D
【解析】【解答】解：AAA不能判定两个三角形全等，所以所有的等边三角形不都是
全等三角形，故A选项错误；
三角形的三条高的交点不一定在三角形的内部，故B选项错误；
SSA不能判定两个三角形全等，故C选项错误；
三角形的任意一条中线将三角形的面积分成两个相等的部分，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据AAA和SSA不能判断两个三角形全等；三角形的三条高的交点可能在
三角形内、可能在三角形上或三角形外；三角形的中线将这个三角形的面积分成两个
相等的部分等知识点即可求解.
2．下列命题正确的是（ ）
A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
B．在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
C．有一个角是60°的三角形是等边三角形
D．有两边及一边的对角对应相等的两个三角形全等
【答案】B
【解析】【解答】解：A、 等腰三角形底边上的高、中线、顶角的角平分线互相重合，
原说法错误；
B、 在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，原说法正确；
C、 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，原说法错误；
D、 有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，原说法错误.
故答案为：B.
【分析】由等腰三角形的三线合一的条件可知A选项不正确，由三角形角平分线的性
质可知B选项正确，由等边三角形的判定可知C选项错误，根据全等三角形的判定判
断D选项错误.
3．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．不等边三角形 D．不能确定
【答案】B
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠A=∠C，
∴∠A=∠B=∠C，
△ABC是等边三角形.故答案为：B.
【分析】根据等边对等角得出∠B=∠C，又∠A=∠C，故∠A=∠B=∠C，根据三个角都
相等的三角形是等边三角形即可得出结论：△ABC是等边三角形.
4．如图，△ABC是等边三角形，BC⊥CD，且AC=CD，则∠BAD的度数为（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
【答案】B
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∵BC⊥CD，
∴∠BCD=90°，
∴∠ACD=60°+90°=150°，
∵AC=CD，
180°-150°
∴∠DAC= =15°，
2
∴∠BAD=60°-15°=45°．
故选B．
【分析】先根据等边三角形的性质得出∠BAC=∠ACB=60°，再由BC⊥CD可知
∠BCD=90°，进而可得出∠ACD的度数，根据AC=CD即可得出∠DAC的度数，进而
得出结论．本题考查的是等边三角形的性质及等腰三角形的性质，熟知等边三角形的
各内角是60°是解答此题的关键．
5．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长
线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
1 1 2
A． B． C． D．不能确
3 2 3
定【答案】B
【解析】【解答】解：过P作PM∥BC，交AC于M；
∵△ABC是等边三角形，且PM∥BC，
∴△APM是等边三角形；
又∵PE⊥AM，
1
∴AE=EM= AM；（等边三角形三线合一）
2
∵PM∥CQ，
∴∠PMD=∠QCD，∠MPD=∠Q；
又∵PA=PM=CQ，
在△PMD和△QCD中
{∠PDM=∠CDQ
∠PMD=∠DCQ
PM=CQ
∴△PMD≌△QCD（AAS）；
1
∴CD=DM= CM；
2
1 1 1
∴DE=DM+ME= （AM+MC）= AC= ，故选B．
2 2 2
【分析】过P作BC的平行线，交AC于M；则△APM也是等边三角形，在等边三角
形APM中，PE是AM上的高，根据等边三角形三线合一的性质知AE=EM；易证得
△PMD≌△QCD，则DM=CD；此时发现DE的长正好是AC的一半，由此得解．
6．如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点
A，点Q从顶点B同时出发，且速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，下面四个结
论:①△ABQ≌△CAP；；②∠CMQ的度数不变，始终等于60°③BP＝CM；正确的有
几个( )A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
根据题意得：AP=BQ，
在△ABQ和△CAP中，
∵AB=AC，∠B=∠CAP，BQ=AP，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），①正确；
②∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠AMP=∠ACP+∠CAQ=∠BAQ+∠CAQ =∠BAC=60°，
∴∠QMC=60°，②正确；
③∵∠QMC=60°，∠QCM≠60°，
∴∠CQM≠60°，
∴CQ≠CM，
∵BP=CQ，
∴CM≠BP，③错误.
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质得出AB=BC=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，根据题
意得出AP=BQ，从而可以利用SAS判断出△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的对应角
相等得出∠BAQ=∠ACP，从而根据三角形外角定理及等量代换得出
∠AMP=∠ACP+∠CAQ=∠BAQ+∠CAQ =∠BAC=60°，再根据对顶角相等得出
∠QMC=60°，根据题意可知∠QMC=60°≠∠CQM，故CQ≠CM，又BP=CQ，故
CM≠BP，综上所述即可得出答案。
二、填空题
7．如图矩形ABCD中，AD= √2 ，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，
∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB= ．
【答案】√6
【解析】【解答】解：由三角形的外角性质得，∠AGC=∠GAF+∠F=20°+20°=40°，
∵∠ACG=∠AGC，
∴∠CAG=180°-∠ACG-∠AGC=180°-2×40°=100°，∴∠CAF=∠CAG+∠GAF=100°+20°=120°，
∴∠BAC=∠CAF-∠BAF=30°，
在Rt△ABC中，AC=2BC=2AD=2 √2 ，
由勾股定理，AB= √AB2-BC2=√ (2√2) 2-(√2) 2=√6 ．
【分析】由三角形外角的性质知∠AGC=∠ACG=∠GAF+∠F，从而根据三角形的内角
和为180°得到∠CAF=120°，继而∠CAB=∠CAF-∠BAF，在Rt△ABC中根据30°所对
的直角边等于斜边的一般得到AC，然后用勾股定理得到AB.
8．如图，已知 O 是等边△ ABC 内一点， D 是线段 BO 延长线上一点，且
OD=OA ， ∠AOB =120°，那么 ∠BDC= ．
【答案】60°
【解析】【解答】解： ∵ΔABC 为等边三角形，
∴AB=AC ， ∠BAC=60° ．
∵∠AOB=120° ， ∠AOD+∠AOB=180° ，
∴∠AOD=60° ．
又 ∵OD=OA ，
∴ΔAOD 为等边三角形，
∴AO=AD ， ∠OAD=60° ， ∠ADO=60° ．
∵∠BAO+∠OAC=∠OAC+∠CAD=60° ，
∴∠BAO=∠CAD ．
在 ΔBAO 和 ΔCAD 中，
{
AB=AC
∠BAO=∠CAD ，
AO=AD
∴ΔBAO≅ΔCAD(SAS) ，
∴∠ADC=∠AOB=120° ，
∴∠BDC=∠ADC-∠ADO=60° ．
故答案为：60．
【分析】先利用“SAS”证明ΔBAO≅ΔCAD，得到∠ADC=∠AOB=120°，再利用邻补角求出∠AOD=60°，得到ΔAOD 为等边三角形，即可得到∠AOD=60°，再用
∠ADC-∠ADO即可。
9．如图，将边长为4个单位的等边ΔABC沿边BC向右平移3个单位得到ΔA'B'C'，则
B'C的长度为 .
【答案】1
【解析】【解答】解：∵ 等边ΔABC的边长为4，
∴AB=BC=AC=4，
由平移可得：A'B'=B'C'=A'C'=4，
A A'=BB'=CC'=3，
∴B'C=BC-BB'=1.
故答案为：1.
【分析】根据等边三角形的性质可得AB=BC=AC=4，根据平移的性质可得
A′B′=B′C′=A′C′=4，AA′=BB′=CC′=3，然后根据B′C=BC-BB′进行计算.
三、解答题
10．如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横
梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？
【答案】解：∵DE⊥AB，BC⊥AC，∠A=30°，
1 1
BC= AB，DE= AD
2 2
1
∴BC= X7.4=3.7(m)
2
1
又AD= AB
2
1 1
∴DE= XAD= X3.7=1.85(m)
2 2答：立柱BC的长是3.7 m,DE的长是1.85 m
【解析】【分析】根据“在直角三角形中30°角所对的直角边时斜边的一半”，可得
1 1
BC= AB，DE= AD，结合条件，即可得到答案.
2 2
11．如图，在等边 ΔABC 中， D,E 分别是 BC,AC 上的点，且 AE=CD,AD 与
BE 相交于点 F,CF⊥BE ，求 AF:BF 的值.
【答案】解： ∵ΔABC 是等边三角形， AE=CD ，
则有 ΔDAC≅ΔEBA ， ∠DAC=∠EBA ， ∠EBA+∠BAF=60° .
∵CF⊥BE ， ∠BFD=∠FBA+∠BAF ， ∴∠CFD=30° .
在 BF 上取 BM=AF ，连接 AM ，
可证 ΔBMA≅ΔAFC ，可得 ∠AMF=∠CFD=30° ，
又
∠MAF=∠BAC-∠BAM-∠FAC=∠BAC-(∠ACF+∠FAC)=∠BAC-∠DFC ，
还可得 ∠MAF=30° ， ∴MF=AF=BM ， ∴AF:BF=1:2 .
【解析】【分析】由△ABE≌△CAD得∠ABE=∠CAD，则∠BAD=∠CBE，
∠BFK=∠BAF+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°，由CF⊥BE可得∠FBK=30°，所以
1
FK= BF，再根据“AAS”可判断△ABK≌△BCF，则AK=BF，即AF+FK=BF，所以
2
有BF=2AF.
12．已知:在 ΔABC 中, AB=AC , D 为 AC 的中点, DE⊥AB , DF⊥BC ,垂足
分别为点 E,F ,且 DE=DF .求证: ΔABC 是等边三角形.【答案】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.
∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEA=∠DFC=90°.
∵D为的AC中点，∴DA=DC.
又∵DE=DF，∴RtΔAED≌RtΔCDF(HL)，
∴∠A=∠C，
∴∠A=∠B=∠C，
∴ΔABC是等边三角形.
【解析】【分析】首先利用HL判断出 RtΔAED≌RtΔCDF ，根据全等三角形的对应角
相等得出 ∠A=∠C， 根据等边对等角，由AB=AC得出 ∠B=∠C ，故
∠A=∠B=∠C， 根据三个内角都相等的三角形是等边三角形得出结论。
13．如图，等边三角形ABC内有一点P，PE⊥AB，PF⊥AC，PD⊥BC，垂足分别为E，
F，D，且AH⊥BC于H，试用三角形面积公式证明：PE+PF+PD=AH．
【答案】证明：连接AP，BP，CP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，PD⊥BC，AH⊥BC于H，
1 1 1 1
∴S = BC•AH，S = AB•PE，S = AC•PF，S = BC•PD
△ABC 2 △APB 2 △APC 2 △BPC 2
∵S =S +S +S
△ABC △APB △APC △BPC
1 1 1 1
∴ BC•AH= AB•PE+ AC•PF+ BC•PD，且AB=BC=AC，
2 2 2 2
即PE+PF+PD=AH．
【解析】【分析】本题可通过三角形的面积来求证，连接AP，BP，CP后，分别表示
出三角形APB，BPC，APC和三角形ABC的面积，根据三角形ABC的面积等于这三个小三角形的面积和，我们将三个三角形的面积表达式相加后就会得出
PE+PF+PD=AH．
四、综合题
14．如图,△ABC是等边三角形,CD⊥AB于点D,∠AEB=90°,CD=AE.
求证:
（1）△BCD≌△BAE;
（2）△EBD是等边三角形.
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC
∵CD⊥AB,∠AEB=90°
∴∠CDB=∠AEB=90°
在Rt△BCD和Rt△BAE中，
{AB=BC
CD=AE
∴△BCD≌△BAE
（2）证明：∵△ABC是等边三角形,CD⊥AB
∴D为AB中点
1
∴ED= AB=DB
2
∵△BCD≌△BAE
∴∠EBD=∠DBC=60°
∴△EBD是等边三角形
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得 AB=BC， 用HL定理可证
△BCD≌△BAE；
（2）由等边三角形的性质可得D为AB中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的
1
一半可得ED= AB=DB，由（1）中的全等三角形可得 ∠EBD=∠DBC=60° ，根据一
2
个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可求解.
15．如图（1）如图①，点D，E分别在等边△ABC的边BC，AB上，且AE=BD，连接
AD，CE交于点F.找出图中与△ABD全等的三角形，证明并求出∠AFE的度数；
（2）如图②，若（1）中的点D，E分别在等边△ABC的边BC，AB延长线上，
（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由.
【答案】（1）解：△ABD≌△CAE.
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=60°，
在△ABD和△CAE中，
{
BD=AE
∠ABD=∠CAE ，
AB=AC
∴△ABD≌△CAE（SAS）；
∴∠BAD=∠ACE，
∴∠AFE=∠ACE+∠FAC=∠BAD+∠FAC=∠BAC=60°.
（2）解：（1）中的结论是否仍然成立.
理由：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，
在△ABD和△CAE中，
{ AB＝CA
∠ABD＝∠CAE ，
BD＝AE
∴△ABD≌△CAE（SAS）；
∴∠D=∠E，
∵∠ABC=∠E+∠BCE，∠AFE=∠D+∠DCF，∠BCE=∠DCF，
∴∠AFE=∠E+∠BCE=∠ABC=60°.
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=∠B=60°，证明
△ABD≌△CAE，得到∠BAD=∠ACE，然后根据角的和差关系进行计算；
（2）同理证明△ABD≌△CAE，得到∠D=∠E，由外角的性质可得∠ABC=∠E+∠BCE，
∠AFE=∠D+∠DCF，由对顶角的性质可得∠BCE=∠DCF，据此解答.
