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13.3.3 最短路径问题专项五大模型
模型1：异侧两定一动模型
1．如图，在直线l上找一点O，使OA+OB的和最短，并给出相应的理由．（不写作图过
程，但保留作图痕迹）
2．如图，在直线l上找一点P，使得PA+PB的和最小．（不写作法，保留作图痕迹）
3．如图，在l上找一点P，使|PA﹣PB|最大．
模型2：同侧两定一动模型4．著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途中要到水边喂马
喝一次水，则将军怎样走最近？
5．如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 E，若△ABC 为等边三角形，
AD⊥AB，AD＝DC＝4．
（1）求证：BD垂直平分AC；
（2）求BE的长；
（3）若点F为BC的中点，请在BD上找出一点P，使PC+PF取得最小值；PC+PF的
最小值为 6 （直接写出结果）．
6．如图，ABC在直角坐标系中，
（1）请写出ABC三个顶点的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请在图中表示出点P的位置并写出点P
的坐标．7．在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，E为AC的中点，P为AD上一动点，若
AD＝12，试求PC+PE的最小值．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D
作AC的垂线，垂足为F，延长DF交AB于点E，连接CE．
（1）求证：CE＝BE．
（2）若AB＝15cm，P是直线DE上的一点．则当P在何处时，PB+PC最小？并求出此
时PB+PC的值．
9．如图，A、B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．
（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址P应选在哪个位置；
（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址 Q应选在哪个位置？（分别在图
上找出点P、点Q，并保留作图痕迹）模型3：两动一定模型
11．（1）已知：如图（1），点M在锐角∠AOB的内部，在边OA上求作一点P，在边OB
上求作一点Q，使得△PMQ的周长最小；
（2）已知：如图（2），点M在锐角∠AOB的内部，在边OB上求作一点P，使得点P
到点M的距离与点P到边OA的距离之和最小．
12．如图，BA、BC是两条公路，在两条公路夹角内部的点 P处有一油库，若在两公路上
分别建个加油站，并使运油的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后
回到油库的路程最短，则加油站应如何选址？
13．如图，已知∠AOB和∠AOB内一点P，你能在OA和OB边上各找一点Q和R，使得由
P，Q、R三点组成的三角形周长最小吗？14．如图，点A位于∠MON的内一点，点P，Q分别为OM，ON上的动点，若∠MON＝
30°，且OA＝2，当△APQ 的周长最小时，求△APQ周长的最小值．
模型4：两定两动模型
15．在射线OM、ON分别找两点P、Q，使得四边形PQBA的周长最短．
16．如图：要求在l 、l 上找出M，N两点．使四边形PQNM的周长最小，在图上画出
1 2
M，N的位置．（不写画法，保留作图痕迹）
17．如图，C为马，D为帐篷，牧马人牵马，先到草地边牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线．
18．如图，为了做好元旦期间的交通安全工作，自贡市交警执勤小队从A处出发，先到公
路m上设卡检查，再到公路n上设卡检查，最后再到达B地执行任务，他们应如何走才
能使总路程最短？画出图形并说明做法．
模型5：造桥选址模型
19．如图，A和B两地之间有两条平行的河流，现要在两条河上各造一座桥MN和EF，桥
分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂
直）
20．如图直线l ，l 表示一条河的两岸，且l ∥l ，现要在这条河上建一座桥（桥与河的两
1 2 1 2
岸相互垂直），桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，
并说明理由．21．如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：
DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西
方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD′E′EB的路程最短，
这个最短路程是多少米？
22．如图，在一条河的同岸有两个村庄A和B，两村要在河上合修一座便民桥，桥修在什
么地方可以使桥到两村的距离之和最短？
23．如图，荆州护城河在CC'处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经两座桥（桥
宽不计），设护城河以及两座桥都是东西南北方向的，试问：桥架在何处，才能使从 A
到B的距离最短？24．如图，河两岸有甲、乙两村庄，现准备建一座桥，桥必须与河岸垂直，问桥应建在何
处才能使由甲到乙的路程最短？请作出图形，并说明理由．
25．如图，在平面直角坐标系中，两个村庄M、N的坐标分别是（4，6）、（1，0），两
村庄之间有一条河，河的两岸线的纵坐标分别是 2和3，现准备在河上建一座桥（桥近
似看成一条线段），桥垂直于河岸线，再在桥的两端向两个村庄铺建直线型路段，当两
路段之和最小时，完成下列问题．
（1）请画出桥的位置．（用虚线画出必要的辅助线）
（2）你所画的桥的位置的数学依据是 ．
（3）直接写出B的横坐标．
