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第 02 讲 等边三角形的性质与判定 (4 类热点题型讲练)
1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力；
2.经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推
理的能力；
3.在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力.知识点01 等边三角形的性质
（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等；
（2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于 ；
（3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
知识点02 等边三角形的判定
（1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形；
（2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形；
（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于 的等腰三角形是等边三角形.
题型01 等边三角形的性质
【例题】（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级呼市四中校考期中）如图， 是等边三角形 的中线，
，则 的度数为 ．
【变式训练】
1．（2022下·上海浦东新·七年级校考期末）如图，在 中，D，E是 的三等分点，且 是等边
三角形，则 ．
2．（2023上·河北沧州·八年级校联考阶段练习）如图， 和 均为等边三角形，点 分别
在 上．
（1）若 ，则 度；
（2） 是否与 全等？ ．（填“是”或“否”）题型02 等边三角形的判定
【例题】（2023上·甘肃庆阳·八年级统考期中）如图，在 中， ，点 在边 上，连接
．若 ，求证： 是等边三角形．
【变式训练】
1．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，点 在 的外部，点 在边 上， 交 于点
，若 ， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，判断 的形状，并说明理由．
2．（2023上·广东惠州·八年级校考期中）如图， 中，D为 边上一点， 的延长线交 的延长
线于F，且 ， ．
(1)求证： 是等腰三角形；(2)当 等于多少度时， 是等边三角形？请证明你的结论．
题型03 等边三角形的判定和性质
【例题】（2023上·山东淄博·八年级校考期中）如图，已知 和 均是等边三角形，点B，C，D
在同一条直线上， 与 交于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 与 交于点N， 与 交于点 ，连接 ，求证： 为等边三角形．
【变式训练】
1．（2023上·安徽芜湖·八年级校联考阶段练习）如图，在等边 中，点 在 内， ，且
， ．
(1)试判定 的形状，并说明理由；
(2)判断线段 ， 的数量关系，并说明理由．
2．（2023上·河北石家庄·八年级校考期末）如图，在 中， ，点D在 内部， ，
，点E在 外部， ．(1)求 的度数；
(2)判断 的形状并加以证明；
(3)连接 ，若 ，求 的长．
题型04 含30°角的直角三角形三边的数量关系
【例题】（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至点
E，使 ．
(1)求证： ；
(2)过点D作 垂直于 ，垂足为F，若 ，求 的周长．
【变式训练】
1．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）如图，在 中， ，点 是
上一点，若 ，则 ．
2．（2023上·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考期中）已知：如图，在等边 中，点D是 上
任意一点，点E在BC延长线上，连接 ，使得 ．(1)如图1：求证： ；
(2)如图2，取 的中点F，连接 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作 于点H，求证： ．
一、单选题
1．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，在等边三角形 中， 平分 ，若
，则 的长为（）
A． B． C． D．
2．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）如图，在 中， ， ， ，则 的长
为（ ）A．1 B． C．2 D．
3．（2023上·河南商丘·八年级统考期中）如图，在正 中，点D是 边上任意一点，过点D作
于F， 交 于点E，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·山西大同·八年级统考期中）如图， ，点 是射线 上一点，且 ，点 ，
在射线 上，且 ， ．则 的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023上·湖南永州·八年级统考期中）如图所示，在等边三角形 中，D，E分别在边 ， 上，
且 ， 与 交于点F， ，垂足为点G.下列结论：① ；② ；③
是等边三角形；④ ，其中正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题
6．（2023上·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考期中）已知等边三角形的周长为18，则边长为
．
7．（2023上·福建龙岩·八年级校联考期中）如图，在 中， ，那么
．若P是 边上一动点，连接 ，则 的长的取值范围为 ．8．（2023上·安徽淮北·八年级统考期末）如图， 是等边三角形，点 是 延长线上一点，
于点 ， 于点 ．
（1） ；
（2）若 ， ，则 的长为 ．
9．（2023上·吉林长春·八年级吉林省实验校考期中）两个大小不同的等边三角形三角板按图 所示摆放．
将两个三角板抽象成如图 所示的 和 ，点 依次在同一条直线上，连接 ．若 ，
，则点 到直线 的距离为 ．
10．（2023上·浙江温州·八年级统考期中）如图1是由四片大小一样的门扇连接成的折叠门，该门的轨道
装在天花板上，图2是其示意图．已知轨道 ，在推拉合页 或 时，滚轮 ， 在轨道上移
动，已知每小片门扇宽度均相等( )．门完全关上时，门扇恰好贴合整条轨道．刚开始
门扇叠合在左边，第一次向右拉开门扇，位置如图2时， ， ，此时门被关上部分 的
长是 ；接着继续向右拉门扇，位置如图3时， ， ，相比第一
次，门又拉伸了 ．
三、解答题11．（2023上·陕西延安·八年级校联考阶段练习）如图，在 中， ， ， 平分
，交 于点 ，过点 作 于点 ，连接 ．
(1)若 ，求 的长；
(2)判断 的形状，并说明理由．
12．（2023上·浙江温州·八年级温州市第十二中学校联考期中）如图，将等边 放在含有30°角的直角
三角板 上（ ， ），使 落在线段 上， 与 分别交边 于点H、G，其
中 ．
(1)证明： ；
(2)求 的长．
13．（2023上·山东日照·八年级校考期中）如图, 为等边三角形, , 相交于点 ,
于 , , ．
(1)求证: ;
(2)求 的度数;(3)求 的长．
14．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）如图， 为等边三角形，
分别是 上的点，连接 和 相交于点 ．
(1)如图1，若 分别为 的中点，求证：
(2)如图2，若 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接 ，若 ，求 的长．
15．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在 中， ，点 在 上，点 在
的延长线上，连接 、 ， ．
(1)求证： ；
(2)如图2，若 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，点 是 外一点，连接 ， ， ，且 平分 ，若 ，
，求 的长．
16．（2023上·湖北鄂州·八年级统考期中）【问题原型】如图1、图2，已知点 为线段 上一点，分别以 为边在线段 同侧作 和 ，且 ， ， ，直线 与
交于点 ．
(1)如图1，若 ，则 的度数为________；
(2)【初步探究】如图2，若 ，连接 ，求 的度数；
(3)【简单应用】将图1中的等边 绕点 顺时针旋转（如图3），连接 ，若 ，
则 的度数为________．
