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第 02 讲 等边三角形的性质与判定 (4 类热点题型讲练)
1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力；
2.经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推
理的能力；
3.在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力.知识点01 等边三角形的性质
（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等；
（2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于 ；
（3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
知识点02 等边三角形的判定
（1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形；
（2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形；
（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于 的等腰三角形是等边三角形.
题型01 等边三角形的性质
【例题】（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级呼市四中校考期中）如图， 是等边三角形 的中线，
，则 的度数为 ．
【答案】 / 度
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理；根据等边三角形的
性质可得 ，再由 ，可得 ，即可求
解．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是等边三角形 的中线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
故答案为：
【变式训练】
1．（2022下·上海浦东新·七年级校考期末）如图，在 中，D，E是 的三等分点，且 是等边
三角形，则 ．
【答案】 /120度
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质．利用等边三角形的性质以及等腰三角形
的性质得出 ，进而利用三角形内角和定理求出即可．
【详解】解： 是 的三等分点，且 是等边三角形，
， ，
，
．
故答案为： ．
2．（2023上·河北沧州·八年级校联考阶段练习）如图， 和 均为等边三角形，点 分别
在 上．
（1）若 ，则 度；
（2） 是否与 全等？ ．（填“是”或“否”）
【答案】 88 是
【分析】本题考查了等边三角形的性质，利用三角形全等的判定和性质解答即可．
（1）根据等边三角形的性质，结合三角形内角和定理计算即可．
(2)根据(1)的结论，结合等边三角形的性质，运用三角形全等的判定可以证明 ．
【详解】（1）∵ 和 均为等边三角形，
∴∠B=∠C=∠EFD=60°，∵ ，
∴∠BFE=180°-∠B-∠BEF=32°，
∴ ，
故答案为：88．
（2）∵ 和 均为等边三角形，
∴∠B=∠C=∠EFD=60°， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：是．
题型02 等边三角形的判定
【例题】（2023上·甘肃庆阳·八年级统考期中）如图，在 中， ，点 在边 上，连接
．若 ，求证： 是等边三角形．
【答案】详见解析
【分析】本题考查了等边三角形的判定，根据有一角是 的等腰三角形是等边三角形即可求证．
【详解】证明： ，
为等腰三角形，
又 ，
，
是等边三角形．
【变式训练】
1．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，点 在 的外部，点 在边 上， 交 于点
，若 ， ， ．(1)求证： ；
(2)若 ，判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) 是等边三角形．理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理以及等边三角形的判定等知识．
（1）根据三角形内角和定理得到 ，再根据 ，判定
，即可得到 ．
（2）根据等腰三角形的性质以及全等三角形的性质，可得 ，进而得出
，可得 是等边三角形．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2） 是等边三角形．理由：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
2．（2023上·广东惠州·八年级校考期中）如图， 中，D为 边上一点， 的延长线交 的延长线于F，且 ， ．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)当 等于多少度时， 是等边三角形？请证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)当 时， 是等边三角形，证明见解析
【分析】（1）先根据等边对等角和三角形外角的性质证明 ，再由对顶角相等得到
，由垂线的定义和三角形内角和定理推出 ，再由
，得到 ，推出 ，由此即可证明 是等腰三角形；
（2）根据（1）所求，只需要满足 即可，再由三角形外角的性质即可得到 的度数，据此可
得答案．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）解：当 时， 是等边三角形，证明如下：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，证明 是解题的关键．
题型03 等边三角形的判定和性质
【例题】（2023上·山东淄博·八年级校考期中）如图，已知 和 均是等边三角形，点B，C，D
在同一条直线上， 与 交于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 与 交于点N， 与 交于点 ，连接 ，求证： 为等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质：
（1）根据已知条件证明 即可得证；
（2）证明 ，再证明 可得 ，进而证明 为等边三角形；
【详解】（1）证明： 和 均是等边三角形，
， ， ，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
；
（2）证明：由（1）得 ，
，
由（1）得 ，
，即 ，
在 和 中，，
，
，
又 ，
为等边三角形．
【变式训练】
1．（2023上·安徽芜湖·八年级校联考阶段练习）如图，在等边 中，点 在 内， ，且
， ．
(1)试判定 的形状，并说明理由；
(2)判断线段 ， 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1) 是等边三角形，理由见解析；
(2) ，理由见解析．
【分析】本题考查的是等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质：
（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到 是等边三角形；
（2）证明 ，即可．
【详解】（1）解： 是等边三角形．
理由： 是等边三角形，
．
又 ， ，
，
，
是等边三角形．
（2）解： ．
理由：由（1）知 是等边三角形，
，
．
，．
在 和 中，
，
．
2．（2023上·河北石家庄·八年级校考期末）如图，在 中， ，点D在 内部， ，
，点E在 外部， ．
(1)求 的度数；
(2)判断 的形状并加以证明；
(3)连接 ，若 ，求 的长．
【答案】(1)
(2) 是等边三角形，证明见解析
(3)
【分析】（1）首先证明 是等边三角形，推出 ，再证明 ，推出
即可解决问题．
（2）只要证明 得到 即可证明 是等边三角形；
（3）首先证明 是含有30度角的直角三角形，求出 的长，进而利用勾股定理求出 的长，则由
等边三角形的性质可得答案．
【详解】（1）解： ， ，
是等边三角形，
∴ ，
在 和 中，
，
，，
．
（2）解： 是等边三角形，证明如下：
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
是等边三角形．
（3）解：如图所示，连接 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
，
，
∵ ，即 ， ，
，
，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直
角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
题型04 含30°角的直角三角形三边的数量关系【例题】（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至点
E，使 ．
(1)求证： ；
(2)过点D作 垂直于 ，垂足为F，若 ，求 的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）等边三角形三线合一，得到 ，等边对等角结合三角形的外角，推出
，进而得到 ，即可；
（2）易得 是含30度角的直角三角形，进而得到 ，中线得到 ，求出 的长，
即可．
【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形， 是中线，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（2）∵ ，
∴
∴在 中， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，含30度角的直角三角形．
熟练掌握三线合一，等边对等角，等角对等边，以及30度的角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．
【变式训练】1．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）如图，在 中， ，点 是
上一点，若 ，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查含 角的直角三角形，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，由等腰三角形的
性质得到 ，由三角形外角的性质推出 ，由含 角的直角
三角形得到 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：4．
2．（2023上·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考期中）已知：如图，在等边 中，点D是 上
任意一点，点E在BC延长线上，连接 ，使得 ．
(1)如图1：求证： ；
(2)如图2，取 的中点F，连接 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作 于点H，求证： ．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)证明过程见详解
(3)证明过程见详解
【分析】本题主要考查三角形的综合，主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含 角
的直角三角形的性质，解题的关键是构造 ．
（1）作 ，证明 ，可得 ，再证 即可求证；
（2）构造 得出 ，再判定 即可求解；
（3）根据含 角的性质求出 ， 的值，再用 即可求解．【详解】（1）证明：如图所示，作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 ， 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图所示，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
在 ， 中，，
∴ ，
∴ ，
由（1）可知， ，
∴ ，
在 ， 中，
，
∴ ，
∴ ；
（3）证明：由（2）可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
一、单选题
1．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，在等边三角形 中， 平分 ，若
，则 的长为（）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查等边三角形的性质和直角三角形性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等边三
角形边角之间的关系．
先根据等边三角形的性质得出 ， ，再由 平分 ，可得出
，根据直角三角形性质即可得出结论．
【详解】解：∵ 是等边三角形， ，
∴ ．
又∵ 平分 ，
，
故选：B．
2．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）如图，在 中， ， ， ，则 的长
为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，含 的直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，含 的直角
三角形的性质是解题的关键．
由题意知， ，根据 ，计算求解即可．
【详解】解：由题意知， ，
∴ ，故选：C．
3．（2023上·河南商丘·八年级统考期中）如图，在正 中，点D是 边上任意一点，过点D作
于F， 交 于点E，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
先根据等边三角形的性质得出 ，根据直角三角形的性质求出 ，再根据平角定
义求解即可．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 于F， 交 于点E，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
4．（2023上·山西大同·八年级统考期中）如图， ，点 是射线 上一点，且 ，点 ，
在射线 上，且 ， ．则 的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，过点 作 ，垂足为 ，根据题意得出
，进而根据含 度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：过点 作 ，垂足为 ，，
，
，
，
，
， ，
，
，
故选：A．
5．（2023上·湖南永州·八年级统考期中）如图所示，在等边三角形 中，D，E分别在边 ， 上，
且 ， 与 交于点F， ，垂足为点G.下列结论：① ；② ；③
是等边三角形；④ ，其中正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】根据等边三角形的性质可得 ，然后利用“边角边”证明 和
全等，根据全等三角形对应边相等可得 ，判定①正确；根据全等三角形对应角相等可得
，求出 ，然后利用三角形的内角和定理求出 ，判定②正
确；求出 ， ， ，判定 不是等腰三角形；求出 ，再
求出 ，然后根据直角三角形 角所对的直角边等于斜边的一半可得 ，然后判断④．
【详解】解：∵等边 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∴ ，
∴ ，在 中，
，故②正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ 不是等腰三角形，故③错误；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④正确，
综上所述，正确的有①②④．
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形 角所对的直角边等于
斜边的一半的性质，熟练掌握等边三角形和全等三角形的判定与性质，并准确识图是解题的关键．
二、填空题
6．（2023上·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考期中）已知等边三角形的周长为18，则边长为
．
【答案】6
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等边三角形的三边相等，除以3即可．
【详解】∵等边三角形的三边相等，
∴边长为 ，
故答案为：6．
7．（2023上·福建龙岩·八年级校联考期中）如图，在 中， ，那么
．若P是 边上一动点，连接 ，则 的长的取值范围为 ．
【答案】 6
【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，由直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜
边的一半，求出AB的长，即可解决问题．
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ AP的长的取值范围是 ．故答案为： ．
8．（2023上·安徽淮北·八年级统考期末）如图， 是等边三角形，点 是 延长线上一点，
于点 ， 于点 ．
（1） ；
（2）若 ， ，则 的长为 ．
【答案】 /30度
【分析】本题考查了等边三角形的性质、含 的直角三角形、等腰三角形的判定等知识点．掌握相关知
识点进行几何推理是解题关键．
由等边三角形的性质，结合垂直的定义即可求解；
设 ，由已知可得等边三角形的边长为 ，根据含 的直角三角形建立方程，即可求解．
【详解】解： 由题意得： ，
，
，
故答案为： ；
设 与 相交于点 ，如图所示，
， ，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
， ，
在 中， ，
即 ，解得： ，
．
故答案为： ．
9．（2023上·吉林长春·八年级吉林省实验校考期中）两个大小不同的等边三角形三角板按图 所示摆放．
将两个三角板抽象成如图 所示的 和 ，点 依次在同一条直线上，连接 ．若 ，
，则点 到直线 的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，首先根据等边三角形的性
质得 ， ， ，得到 ，据此可依据“ ”判定
和 全等，从而得出 ， ，然后过点 作 于点 ，在 中，
利用勾股定理可求出 的长，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ 和 均为等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 ，垂足为 ，∵ 是等边三角形，
∴ , ，
在 中， , ，
由勾股定理得： ，
∴点 到直线 的距离为 ，
故答案为： ．
10．（2023上·浙江温州·八年级统考期中）如图1是由四片大小一样的门扇连接成的折叠门，该门的轨道
装在天花板上，图2是其示意图．已知轨道 ，在推拉合页 或 时，滚轮 ， 在轨道上移
动，已知每小片门扇宽度均相等( )．门完全关上时，门扇恰好贴合整条轨道．刚开始
门扇叠合在左边，第一次向右拉开门扇，位置如图2时， ， ，此时门被关上部分 的
长是 ；接着继续向右拉门扇，位置如图3时， ， ，相比第一
次，门又拉伸了 ．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知
识，先判定 与 是两个全等的等边三角形，从而求出 与 ，从而得到 ，过点 分
别作 的垂线，垂足为 ，则垂足出 与 的中点，先证明 ，从而得
到 ，再根据 得出 ，运用勾股定理列方程求出 与 ，继而
得解，掌握一线三直角的全等模型和等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，门完全关上时，门扇恰好贴合整条轨道，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ 与 是两个全等的等边三角形，
∴ ，
∴ ，
过点 分别作 的垂线，垂足为 ，即
由题意可知： ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，即， ，
解得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴相比第一次，门拉伸的长度为： ，
故答案为： ； ．
三、解答题
11．（2023上·陕西延安·八年级校联考阶段练习）如图，在 中， ， ， 平分
，交 于点 ，过点 作 于点 ，连接 ．(1)若 ，求 的长；
(2)判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2) 是等边三角形，理由见解析
【分析】（1）先求出 ，再根据角平分的定义得出 ，再根据等
角对等边得出 ，根据含30度的直角三角形的性质即可得出答案；
（2）根据三线合一得出 ， 再根据含30度的直角三角形的性质得出 ，进而可得
出结论．
【详解】（1）解： ， ，
，
平分 ，
，
，
，
；
（2） 是等边三角形，
理由： ， ，
，
在 中， ，
， ，
是等边三角形．
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，等边三角
形的判定，掌握这些知识点是解题的关键．
12．（2023上·浙江温州·八年级温州市第十二中学校联考期中）如图，将等边 放在含有30°角的直角
三角板 上（ ， ），使 落在线段 上， 与 分别交边 于点H、G，其中 ．
(1)证明： ；
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用三角形的外角性质求得 ，再利用等边对等角可证得 ；
（2）过点F作 于 ，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：过点F作 于 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴由三线合一得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角性质，直角三角形的性质以及勾股定理，正确引出
辅助线解决问题是解题的关键．
13．（2023上·山东日照·八年级校考期中）如图, 为等边三角形, , 相交于点 ,
于 , , ．(1)求证: ;
(2)求 的度数;
(3)求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查全等三角形判定及性质,等边三角形性质,含30°角的直角三角形三边关系．
（1）根据 证明 即可,
（2）根据全等三角形性质得出 ,继而得到本题答案,
（3）根据含 角的直角三角形三边关系即可得到本题答案．
【详解】（1）解:证明:∵ 为等边三角形,
∴ , ,
在 和 中,
,
∴ ,
（2）解:由（1）知 ,
∴ , ,
∴ ,
故答案为: ．
（3）解:∵ , ,
∴ ,
∴ ,
∴ ．
14．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）如图， 为等边三角形，分别是 上的点，连接 和 相交于点 ．
(1)如图1，若 分别为 的中点，求证：
(2)如图2，若 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接 ，若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3) ．
【分析】本题考查了三角形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外角的性质，
掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质得到 ，再根据 角对的直角边是斜边的一半即可证明；
（2）根据等边三角形的性质得到 ， ，证明 ，根
据全等三角形的性质、三角形内角和定理即可证明；
（3）连接 ，由 ，可得 、 、 、 四点共圆，即有 ，再用30度角
所对的边等于斜边的一半求解即可．
【详解】（1）证明：∵ 为等边三角形， 分别为 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ．
（2）证明：∵ 为等边三角形,
∴ ， ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3）连接 ，如图，
是等边三角形，
， ，
，
，即 ，
在 和 中，
，
；
，
，
，
、 、 、 四点共圆，
，
，
在 中， ，
，
15．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在 中， ，点 在 上，点 在的延长线上，连接 、 ， ．
(1)求证： ；
(2)如图2，若 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，点 是 外一点，连接 ， ， ，且 平分 ，若 ，
，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据 ，得到 ，由三角形外角的性质及角的关系即可得出结论；
（2）过点D作 ，交 于点H，根据已知证明 为等边三角形，再证明
，即可得出结论；
（3）过点 作 于点 ，过点 作 的延长线于点 ，先证明 ，再证
明 ，推出 ，设 ，则 ，建立关于m的一元一
次方程，求出m即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（2）证明：过点D作 ，交 于点H，， ，
为等边三角形；
，
，
,
为等边三角形；
，
由（1）知 ，
，
，
在 与 中，
，
；
，
；
（3）解：过点 作 于点 ，过点 作 的延长线于点 ，
平分 ，
，
， ，
，
；， ，
由（2）知 为等边三角形，
，
；
， ，
，
，
，
，
，
，
，
；
设 ，则 ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形综合问题，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定
与性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线，灵活运用三角形全等的性质是解题的关键．
16．（2023上·湖北鄂州·八年级统考期中）【问题原型】如图1、图2，已知点 为线段 上一点，分别
以 为边在线段 同侧作 和 ，且 ， ， ，直线 与
交于点 ．
(1)如图1，若 ，则 的度数为________；
(2)【初步探究】如图2，若 ，连接 ，求 的度数；
(3)【简单应用】将图1中的等边 绕点 顺时针旋转（如图3），连接 ，若 ，
则 的度数为________．
【答案】(1)(2)
(3)
【分析】（1）证明 得到 ，由三角形外角的定义及性质得出
，推出 ，最后由三角形内角和定理计算即可；
（2）证明 得到 ，由三角形外角的定义及性质得出
，推出 ，由三角形内角和定理计算出 ，作
于 ， 于 ，证明出 平分 ，由此即可得出 ，此题得
解；
（3）证明 得到 ，由三角形内角和定
理得出 ，最后由
进行计算即可．
【详解】（1）解： ，
，即 ，
在 和 中，
，
，
，
，
，即 ，
，
，
故答案为： ；
（2）解： ，
，即 ，
在 和 中，
，
，
，，
，即 ，
，
，
如图，作 于 ， 于 ，
，
，
， ，
， ，
，
， ，
平分 ，
；
（3）解： ，
，即 ，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角
的定义及性质、角平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键．
