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第 02 讲 等边三角形的性质与判定
课程标准 学习目标
1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方
法，发展推理能力；
①等边三角形的性质
2.经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展
②等边三角形的判定
合情推理能力和初步的演绎推理的能力；
③30°角的直角三角形
3.在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高
学生的能力.
知识点01 等边三角形及其性质
等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ．
【注意】
（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．【即学即练1】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，在等边三角形 中 ，BD是 边
上的高，延长 至点 ，使 ，则 的长为 ．
【即学即练2】（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图， 是等边三角形，点 、 、 分别在 、
、 上， ， ，则 ．
【即学即练3】（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，已知 ， 分别是等边三角形 中 ，
边上的点，且 ，连接 ， ，交于点 ．请判断 与 之间有怎样的数量关系，并
说明理由．
知识点02 等边三角形的判定
定等边三角形的方法：
（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【即学即练1】（广东省汕头市八校联考2024-2025学年八年级上学期11月数学试卷）如图， ，
， ， ．(1)求 的度数；
(2)判断 的形状，并说明理由．
【即学即练2】（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在 中， 是高，点 是 边的中点，点
在 边的延长线上， 的延长线交 于点 ，且 ，若 ．
(1)求证： 是等边三角形；
(2)若 ，求 长．
【即学即练3】（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，点D在线段 上， ，
．
(1)求证： ；
(2)判断 是什么特殊三角形，并说明理由．
知识点03 含30°角的直角三角形的性质
一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【注意】
（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更
不能应用．
（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．
（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的
角转化后，再利用这个性质解决问题．
【即学即练1】（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，在 中， ， 交 于
点 ， ，则 ．【即学即练2】（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图， 是等边三角形， ， 是 边上一
点， 于点 ．若 ，则 的长为 ．
【即学即练3】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形 中， ， ，
， ， ，则 ．
题型01 利用等边三角形的性质求角
例题：（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图， 是等边三角形 的中线，以点 为圆心， 的长
为半径画弧，交 边于点 ，连接 ，则 的度数是 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·甘肃临夏·期中）如图，已知等边 ，直线 ，则 的度数为 ．2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图， 是等边三角形， ， ，则 的度
数为 ．
3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图， 是等边三角形，D为 边上一点，以 为边作
等边 ，连接 ．若 ，则 的度数是 ．
题型02 利用等边三角形的性质求边
例题：（23-24八年级下·江西抚州·阶段练习）如图， 是等边三角形， 平分 ，若 ，
则 的长为 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图， 是周长为 的等边三角形，D是 上一点，
， 交 于点E，则线段 ．2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在等边 中， 于点D， 于点E，若
，那么 的长是 ．
3．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图， 是等边三角形，点 是边 的中点，过点 作
于点 ，延长 交 的反向延长线于点 ．若 ，则 BD的长为 ．
题型03 利用等边三角形的性质求动点问题
例题：（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在 中， ， ，点D在 上，
，点P、E分别是 、AB上动点，当 的值最小时， ，则AB的长为 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， ，C为AB边上一动点（不与点A、点B重合），
以 为边在AB的上方作等边三角形 ，过点C作CD的垂线，E为垂线上任意一点，连接DE，F为
DE的中点，连接 ，则 的最小值是 ．
2．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，过边长为2的等边 的顶点C作直线 ，然后
作 关于直线l对称的 ，P为线段 上一动点，连接 ， ，则 的最小值是
．题型04 利用等边三角形的性质证明
例题：（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在等边 中，D为 边的中点，过点D作
， ，垂足分别为E，F．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的周长．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）已知：在等边三角形 中，点 为边 上一点， 为 延长线
上一点， ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，延长 交 于点 ，若点 为 中点，且 ，求 的长．
2．（24-25八年级上·全国·期末）如图 是等边三角形， ， ，点E，F分别在
， 上，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 的边长为1，求 的周长．(3)探究 与 的数量关系，并说明理由．
题型05 含30°角的直角三角形
例题：（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若 ， 长
为 米，则乘电梯从点 到点 上升的高度 米．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在 中， ， ， 于
，则 ．
2．（24-25八年级上·重庆綦江·期中）如图， 平分 ， ， ， 于点
D， ，则 的面积是= ．
题型06 等边三角形的判定
例题：（24-25八年级上·陕西延安·期中）如图，在 中，D是 上一点， 于点E， 的
延长线与 的延长线交于点F， ，试判断 的形状，并说明理由．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知 和 ，点C在线段 上，．
(1)求证 ；
(2)若 ，连接 ，求证 是等边三角形．
2．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在 中， ， ， 交 于点
，且 ， ，其两边分别交边 ， 于点 ， ．
(1)求证： 是等边三角形；
(2)若 ， ，求四边形 的周长．
题型07 等边三角形的性质和判定多结论题
例题：（24-25八年级上·河北保定·期中）如图， 和 都是等边三角形，AD、 相交于点O，
交 于点M，AD交CE于点N，连接 ，则下列结论不一定成立的（ ）
A． B．
C． 是等边三角形 D．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，等腰 ， ， ， 于点
D．点P是 延长线上一点，点O是线段 上一点， ，下面的结论：① ；
② ；③ 是等边三角形；④ ；其中正确的是（）A．①③④ B．①③ C．②④ D．①②③④
2．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，C为线段 上一动点（不与A，E重合），在 同侧分别作
等边 和等边 ， 与 交于点O， 与 交于点P， 与 交于点Q，连接 ，则有
以下五个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的有
（ ）
A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
题型08 等边三角形的性质和判定综合题
例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知：如图， 和 都是等边三角形， 是 延长线上一
点，AD与 相交于点 ， 、 相交于点 ，AD，CE相交于点 ．求证：
(1) ；
(2) 是等边三角形．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，在 中， ， ， 是边 的中点，
以点 为直角顶点向 上方作等腰直角三角形 ，边 经过点C， 与 交于点G．
(1)求证： 是等边三角形；(2)若 ， 为 的中点，求 的长．
2．（24-25九年级上·湖北·阶段练习）在等边 中，点D，E分别是 上的动点，且 ，
AD交CE于点F．
(1)如图1，填空：D，E在运动过程中，AD与CE的数量关系为：______； 的度数为______；
(2)如图2，过C作 于P， ；
①求CF之长；
②若 ，求AB之长；
(3)如图3， 于P，连接 ，若 ，求证： ．
一、单选题
1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知等边 的一边长为2，则它的周长是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
2．（24-25八年级上·湖北·阶段练习）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，已知 是等边三角形， ， 是 上的点，，与 交于点 ．若 ，则 的度数为( )
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知， ，点 、 、 在射线 上，点
、 、 在射线 上， 、 、 、…均为等边三角形，若 ，则
的边长为（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
5．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，在等边三角形 内有一点D，连接 、 ，以
为边做一个等边三角形 ，连接 ，下列结论：① ；② ；③若 ，
则 ；④若B、D、C三点共线，则 ，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，等边 的边长为6， 的角平分线交于
点D，过点D作 ，交AB、 于点E、F，则 的周长为 ．7．（2024·浙江温州·模拟预测）如图， 为等边三角形，点D为 延长线上一点．若 ，
，则 的长为 ．
8．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在等边 中，已知 ， ，将 沿
折叠，点 与点 对应，且 ，则等边 的边长 ．
9．（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，已知等边三角形 的边长为 ， ，点 为
边 上一点，且 ．若点 在线段 上以 的速度由点 向点 运动，同时，点 在线段
上由点 向点 运动．若 与 全等，则点 的运动速度是 ．
10．（2024·河南濮阳·一模）等边 中， ，D是 上一点， 沿 折叠得到 ．
当 时， 的长为
三、解答题
11．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，在 中， ， 是 上的一点，过点 作
于点 ，延长 和 ，交于点 ．(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
12．（24-25八年级上·北京·期中）如图， 是等边三角形， 于D， 为 边中线， ，
相交于点O，连接 ．
(1)判断 的形状，并说明理由
(2)若 ，求 的长．
13．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在等边三角形 中，点D，E分别在边 ， 上，且
，过点E作 ，交 的延长线于点F．
(1)求 的度数；
(2)求证： 是等腰三角形；
(3)若 ，求 的长．
14．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，点O是等边 内一点， ，
，连接 ．(1)求证： 是等边三角形；
(2)当 时，α为多少度？
15．（24-25八年级上·河南新乡·期中）已知定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对
的直角边等于斜边的一半，”下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，
完成证明．
已知：如图1，在 中， ．求证： ，
方法一：如图2，延长 到点D，使得 ，连接 ．
方法二：如图3，在线段 上取一点D，使 得 ，连接CD．
16．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在 中， ， 是中线，延长 至E，使
，若 ．
(1)求证： ；
(2)求证： 是等边三角形；
(3)在 中，点P是边 上的定点，点M、N分别是边 、 上的动点．当 的周长取最小
值时，直接写出此时 的度数．
17．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图， 是边长为6的等边三角形， 是 边上一动点，由
点 向点 运动（与 ， 不重合）， 是 延长线上一点，与点 同时以相同的速度由点 向 延长
线方向运动（点 不与点 重合），过点 作 于点 ，连接 交 于点 ．
(1)若设 ，则 ______， ______；（用含 的式子表示）(2) 时，求 的长；
(3)在运动过程中，线段 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 的长；如果变化，请说明理由．
18．（24-25八年级上·浙江·期中）如图， 是等边三角形，点 沿 的边从点 运动到点 ，再
从点 运动到点 ，点 是边 上一点，运动过程中始终满足 ．
(1)如图1，当点 在 边上时，连接 相交于点 ．
①求证： ．
②求 的度数．
(2)如图2，当点 在 边上时，延长 至点 ，使 ，连接 ．判断 与 是否相等？
并说明理由．
