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第 02 讲 等边三角形的性质与判定
课程标准 学习目标
1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方
法，发展推理能力；
①等边三角形的性质
2.经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展
②等边三角形的判定
合情推理能力和初步的演绎推理的能力；
③30°角的直角三角形
3.在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高
学生的能力.
知识点01 等边三角形及其性质
等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ．
【注意】
（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．【即学即练1】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，在等边三角形 中 ，BD是 边
上的高，延长 至点 ，使 ，则 的长为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质
【分析】本题考查了等边三角形的性质，根据题意可得 ，进而根据 ，
即可求解．
【详解】解：∵在等边三角形 中 ，BD是 边上的高，
∴ ，
又∵ ，
∴
∴
故答案为： ．
【即学即练2】（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图， 是等边三角形，点 、 、 分别在 、
、 上， ， ，则 ．
【答案】50
【知识点】等边三角形的性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，证明
，可得结论．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．故答案为：50．
【即学即练3】（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，已知 ， 分别是等边三角形 中 ，
边上的点，且 ，连接 ， ，交于点 ．请判断 与 之间有怎样的数量关系，并
说明理由．
【答案】 ，理由见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识点，由
等边三角形的性质得 ， ，进而可得 ，再利用外角的性质即可得
解，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决此题的关键．
【详解】解： ，理由如下，
是等边三角形，
， ，
在 和 中，
，
，
是 的一个外角，
．
知识点02 等边三角形的判定
定等边三角形的方法：
（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【即学即练1】（广东省汕头市八校联考2024-2025学年八年级上学期11月数学试卷）如图， ，
， ， ．(1)求 的度数；
(2)判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)等边三角形，见解析
【知识点】等边对等角、等边三角形的判定、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，关键是掌握等腰三
角形的两个底角相等，等边三角形的判定方法．
（1）由等腰三角形的性质推出 ，由三角形内角和定理即可求出 ；
（2）由垂直的定义得到 ，由直角三角形三角形的性质求出 ，得
到 ，判定 是等边三角形．
【详解】（1）解： ，
，
，
；
（2）解： 是等边三角形，理由如下：
， ，
，
由（1）知 ，
，
，
，
是等边三角形．
【即学即练2】（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在 中， 是高，点 是 边的中点，点
在 边的延长线上， 的延长线交 于点 ，且 ，若 ．
(1)求证： 是等边三角形；(2)若 ，求 长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】等边三角形的判定、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出 ，根据直角三角形的性质求出 ，根据
“有一个角是 的等腰三角形是等边三角形”即可得解；
（2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出 ，根据等腰三角形的判定定理即可
得解．
【详解】（1）证明：∵ ，点 是 边的中点，
∴ 垂直平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
（2）解：由（1）得， ，
∴在 中， ．
∵ ，
∴ ．
∵在 中， 是高，点 是 边的中点，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【即学即练3】（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，点D在线段 上， ，
．
(1)求证： ；
(2)判断 是什么特殊三角形，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2) 是等边三角形，见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定、三角形的外角的定义及
性质
【分析】本题考查了三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，证明
是解答本题的关键．
（1）先证明，然后根据 可证 ；
（2）由全等三角形的性质得 ，结合 可证 是等边三角形．
【详解】（1）∵ ，
，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）答： 是等边三角形．
理由：∵
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形．
知识点03 含30°角的直角三角形的性质
一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【注意】
（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更
不能应用．
（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．
（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的
角转化后，再利用这个性质解决问题．
【即学即练1】（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，在 中， ， 交 于
点 ， ，则 ．【答案】
【知识点】根据等角对等边求边长、含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，含30°角的直角三角形的性质，由
，根据三角形的内角和定理得 ，由垂直定义得 ，则
，由30°角的直角三角形的性质得 ，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是
解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【即学即练2】（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图， 是等边三角形， ， 是 边上一
点， 于点 ．若 ，则 的长为 ．
【答案】2
【知识点】等边三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含 的直角三角形的性质，掌
握“直角三角形中， 所对的直角边等于斜边的一半”是解本题的关键．
首先根据等边三角形的性质得到 ， ，求出 可得 ，从而可
得答案．
【详解】解： 是等边三角形，
，
，
，
∴∴ ．
故答案为：2．
【即学即练3】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形 中， ， ，
， ， ，则 ．
【答案】3
【知识点】根据等角对等边证明边相等、含30度角的直角三角形
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，含 角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的
三角形是解题的关键．延长 交于点E，利用等角对等边得 ，再利用含 角的直角三角
形的性质可得答案．
【详解】解：延长 交于点E，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
题型01 利用等边三角形的性质求角
例题：（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图， 是等边三角形 的中线，以点 为圆心， 的长为半径画弧，交 边于点 ，连接 ，则 的度数是 ．
【答案】 /75度
【知识点】等边对等角、等边三角形的性质
【分析】本题考查了等边三角形的性质．根据等边三角形的性质可得 ，然后利用等腰三角形的
三线合一性质可得 ，再利用等腰三角形的性质可得 ,即可解答．
【详解】解： 是等边三角形，
，
是 的中线，
，
由题意得： ，
，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·甘肃临夏·期中）如图，已知等边 ，直线 ，则 的度数为 ．
【答案】 /70度
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边三角形的性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，等边三角形的性质，先求解
，再证明 即可．
【详解】解：如图，∵等边 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：
2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图， 是等边三角形， ， ，则 的度
数为 ．
【答案】30°/ 度
【知识点】等边对等角、等边三角形的性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等边三角形的性
质可得出 ，由 可得出 为等腰直角三角形，进而可得出
及 ，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出 的度数即可得
出结论．
【详解】解：∵ 为等边三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图， 是等边三角形，D为 边上一点，以 为边作等边 ，连接 ．若 ，则 的度数是 ．
【答案】 /100度
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，根据 证明
得 ，从而可得结论．
【详解】解：∵ 和 均为等边三角形，
∴
∴
∴
在 和 中，
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
题型02 利用等边三角形的性质求边
例题：（23-24八年级下·江西抚州·阶段练习）如图， 是等边三角形， 平分 ，若 ，
则 的长为 ．
【答案】
【知识点】根据三角形中线求长度、三线合一、等边三角形的性质【分析】本题考查等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得 ，再根据等腰三角形的三
线合一的性质得出 是 边上的中线，即可得解．解题的关键是掌握：等腰三角形顶角的平分线、底边
上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”．
【详解】解：∵ 是等边三角形， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ 是 边上的中线，
∴ ，
∴ 的长为 ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图， 是周长为 的等边三角形，D是 上一点，
， 交 于点E，则线段 ．
【答案】2
【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌
握基本知识．
先求出等边 得边长，再在 中，由 可得 ，从而求出 即可解决问
题．
【详解】解：∵ 是等边三角形，周长为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2．
2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在等边 中， 于点D， 于点E，若
，那么 的长是 ．【答案】2
【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形
【分析】此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形
结合思想的应用．由在等边三角形 中， ，可求得 ，则可求得 ，又
由 ，由三线合一的知识，得出 ，即可求得答案．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2．
3．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图， 是等边三角形，点 是边 的中点，过点 作
于点 ，延长 交 的反向延长线于点 ．若 ，则 BD的长为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查等边三角形的性质及应用，含30度角的直角三角形的性质；由 是等边三角形，点
E是 的中点，得 ， ，根据 ，得 ，得到 ，在
中，求得 ，在 中，可得 ，进而求得 ，在 中，根据含30度角的直角
三角形的性质，即可得答案．
【详解】解：连接 ，∵ 是等边三角形，点E是 的中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，即 ，
∴ ，
在 中， ，
∴
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
故答案为： ．
题型03 利用等边三角形的性质求动点问题
例题：（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在 中， ， ，点D在 上，
，点P、E分别是 、AB上动点，当 的值最小时， ，则AB的长为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解、含30度角的直角三角形
【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形和直角三角形等知识点，当点 、 、 （
关于 的对称点）三点共线且 于点 时， 的值最小，再根据等边三角形的性
质，即可求出答案，熟练掌握轴对称最短路径问题，等边三角形的性质和直角三角形中，所对的直角边是
斜边的一半是解决此题的关键．
【详解】如图所示，以 为对称轴作 ， 的对称点为 ，，
当 三点共线时，且 时， 的值最小，
∵ ， ， ，
∴ ，
，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：14．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， ，C为AB边上一动点（不与点A、点B重合），
以 为边在AB的上方作等边三角形 ，过点C作CD的垂线，E为垂线上任意一点，连接DE，F为
DE的中点，连接 ，则 的最小值是 ．
【答案】6
【知识点】垂线段最短、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质
【分析】本题考查垂线段最短，含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，解题的关键是利用垂线段最
短解决最值问题．
连接 ， ，设交 于点H，根据垂线的性质及直角三角形斜边中线的性质得出 ，利用等边
三角的性质证明 得出 ，再运用垂线段最短及含30度角的直角三角形的性
质可得答案．
【详解】连接 ，如图，连接 ， ，设交 于点H，
，
F为DE的中点，
，
为等边三角形，，
在 和 中
，
，
，
当 时， 的值最小，如图所示，设点 为垂足，
在 中 ， ，
，
故答案为：6．
2．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，过边长为2的等边 的顶点C作直线 ，然后
作 关于直线l对称的 ，P为线段 上一动点，连接 ， ，则 的最小值是
．
【答案】4
【知识点】等边三角形的性质、等边三角形的判定和性质、画轴对称图形
【分析】本题考查轴对称的性质及等边三角形的性质，连接 ，利用全等三角形将 的长转化为 的
长即可解决问题．
【详解】解：连接 ，
∵ 与 关于直线l对称，且 是边长为2的等边三角形，
∴又∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
根据“两点之间，线段最短”可知，
当点P在点C位置时， 取得最小值为 的长度4，
所以 的最小值是4．
故答案为：4．
题型04 利用等边三角形的性质证明
例题：（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在等边 中，D为 边的中点，过点D作
， ，垂足分别为E，F．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的周长．
【答案】(1)见解析
(2) 的周长为60
【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质， 所对的直角边是斜边的一半，正
确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先得 ，然后结合等边三角形的性质，证明 ，即可作答．
（2）由等边三角形的性质得 ，再结合 所对的直角边是斜边的一半，则 ，即可作答．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ．
∵ 是等边三角形，∴ ．
∵D是 的中点，
∴ ．
在 和 中
∴
∴ ．
（2）解：∵ 为等边三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为60．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）已知：在等边三角形 中，点 为边 上一点， 为 延长线
上一点， ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，延长 交 于点 ，若点 为 中点，且 ，求 的长．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质、含30度角的直角三角
形
【分析】（1）如图所示，过点 作 ，可得 是等边三角形， ， ，
，证明 ，即可求解；（2）如图所示，过点 作 ，由（1）的证明可得， 是等边三角形， ，由等边三角
形的性质，外角和的性质，对顶角相等的知识可得 ， ，
，则有 ，根据 ，得到 ，由
此即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，过点 作 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图所示，过点 作 ，
由（1）的证明可得， 是等边三角形，
∵点 为 中点，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
由（1）可得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得， ．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角和的性质，含
30°角的直角三角形的性质等知识的综合，掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含
30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
2．（24-25八年级上·全国·期末）如图 是等边三角形， ， ，点E，F分别在
， 上，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 的边长为1，求 的周长．
(3)探究 与 的数量关系，并说明理由．【答案】(1)证明过程见详解；
(2)2
(3) ，理由见详解．
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、等边对等角
【分析】本题是三角形的综合题，考查了等边三角形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定
的综合运用．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
（1）延长 到 ，使 ，连接 ，求出 ，根据 证
，推出 ， ，求出 ，根据 证明 ，推
出 ，即可得出答案；
（2）由（1）得 的周长等于 ，即可解答；
（3）根据（1）中的 即可解答．
【详解】（1）证明：延长 到 ，使 ，连接 ，
是等边三角形，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
，
即 ，
在 和 中，，
，
，
；
（2）解： 是边长为1的等边三角形，
，
，
的周长为： ；
（3）解： ，
理由如下：由（1）知： ，
．
题型05 含30°角的直角三角形
例题：（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若 ， 长
为 米，则乘电梯从点 到点 上升的高度 米．
【答案】4
【知识点】含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，掌握添加合理的辅助线，构造直角三角形，运用含
30°角的直角三角形的性质是解题解题的关键．
根据题意，过点 作 延长线于点 ，则 ，可得 ，运用运用含30°角的直
角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 延长线于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， （米），∴点 到点 上升的高度 米，
故答案为：4 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在 中， ， ， 于
，则 ．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形
【分析】本题考查含30度角的直角三角形，根据含30 度角的直角三角形的性质，推出 ，即可
得出结果．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·重庆綦江·期中）如图， 平分 ， ， ， 于点
D， ，则 的面积是= ．
【答案】
【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、含30度角的直角三角形
【分析】本题主要考查平行线的性质、等腰三角形的判定及含30度直角三角形的性质，熟练掌握平行线的
性质、等腰三角形的判定及含30度直角三角形的性质是解题的关键；过点P作 于点E，由题意易
得 ， ，然后根据三角形面积公式可进行求解．
【详解】解：过点P作 于点E，如图所示：∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为 ．
题型06 等边三角形的判定
例题：（24-25八年级上·陕西延安·期中）如图，在 中，D是 上一点， 于点E， 的
延长线与 的延长线交于点F， ，试判断 的形状，并说明理由．
【答案】等边三角形，见解析
【知识点】等边三角形的判定
【分析】本题考查了等边三角形的判定、直角三角形的性质，由角的互余关系、等腰三角形的性质以及对
顶角相等证出 ，再由 ，得出 ，即可得出结论．
【详解】解： 是等边三角形，理由如下：
，
，
，
，，
，
，
，
又 ，
，
∴ 是等边三角形．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知 和 ，点C在线段 上，
．
(1)求证 ；
(2)若 ，连接 ，求证 是等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、等边三角形的判定、全等三角形的性质
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定．
（1）由 ， ， ，根据 证明 ；
（2）由全等三角形的性质得 ， ，则可得出结论．
【详解】（1）证明：在 和 中，
，
；
（2）解：由（1）得 ，
，
是等边三角形．
2．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在 中， ， ， 交 于点
，且 ， ，其两边分别交边 ， 于点 ， ．(1)求证： 是等边三角形；
(2)若 ， ，求四边形 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)16
【知识点】等边三角形的性质、等边三角形的判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根
据三线合一证明
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识
点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
（1）由等腰三角形三线合一的性质可得 ，再结合 即可证明结论；
（2）由等边三角形的性质可得 ，再结合 可得 ，易证
可得 ，再根据等边三角形的性质可得 ，即
；最后根据四边形的周长公式以及等量代换即可解答．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ 是等边三角形．
（2）解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，∵ 交 于点 ， 是等边三角形，
∴ ，即
∴四边形 的周长为
．
题型07 等边三角形的性质和判定多结论题
例题：（24-25八年级上·河北保定·期中）如图， 和 都是等边三角形，AD、 相交于点O，
交 于点M，AD交CE于点N，连接 ，则下列结论不一定成立的（ ）
A． B．
C． 是等边三角形 D．
【答案】C
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，先根据等边三角形的性质得到
，判断A；然后根据全等三角形的性质判断D；再根据三角形的内角和定理判断B；然后根
据 的情况判断C即可解题．
【详解】解：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，故A正确，不符合题意；
∴ ， ，故D正确，不符合题意；
∴ ，
∴ ，故B正确，不符合题意；
∵ 不一定是60°，
∴ 不一定是等边三角形，故C错误，符合题意；故选：C．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，等腰 ， ， ， 于点
D．点P是 延长线上一点，点O是线段 上一点， ，下面的结论：① ；
② ；③ 是等边三角形；④ ；其中正确的是（）
A．①③④ B．①③ C．②④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、等边三
角形的判定和性质
【分析】①利用等边对等角，即可证得： ， ，则
，据此即可求解；②因为点 是线段 上一点，所以 不一
定是 的角平分线，可作判断；③证明 且 ，即可证得 是等边三角形；④
首先证明 ，则 ， ．
【详解】解：①如图1，连接 ，
， ，
， ，
，
，
，
， ，
；故①正确；
②由①知： ， ，
点 是线段 上一点，
与 不一定相等，则 与 不一定相等，故②不正确；
③ ，
，，
，
，
，
是等边三角形；故③正确；
④如图2，在 上截取 ，连接 ，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
；故④正确；
本题正确的结论有：①③④，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及全
等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
2．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，C为线段 上一动点（不与A，E重合），在 同侧分别作
等边 和等边 ， 与 交于点O， 与 交于点P， 与 交于点Q，连接 ，则有
以下五个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的有
（ ）A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定和性质、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等
的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】通过证明 ，可判断①正确；通过证明 ，推出 ，
，可判断③正确；通过证明 为等边三角形，可判断②正确；通过 ，可判断
④错误；在 上取点H，令 ，构造等边三角形 ，证明 ，推出
，可判断⑤正确．
【详解】解： 和 均为等边三角形，
， ， ， ，
，
，
又 ， ，
，
，故①正确；
，
，即 ，
又 ， ，
，
， ，故③正确；
， ，
为等边三角形，
，
，故②正确；
，
，
，
，，故④错误；
如图，在 上取点H，令 ，
，
，
又 ，
是等边三角形，
， ，
，
，
又 ， ，
，
，
，
故⑤正确，
综上可知，正确的有①②③⑤，
故选C．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的定义和性质等，通
过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
题型08 等边三角形的性质和判定综合题
例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知：如图， 和 都是等边三角形， 是 延长线上一
点，AD与 相交于点 ， 、 相交于点 ，AD，CE相交于点 ．求证：
(1) ；
(2) 是等边三角形．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合
（ASA或者AAS）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握并应
用相关性质及判定定理．
（1）根据等边三角形的性质和题意，证明 ，可得 ，从而进一步得出结论；
（2）利用（2）中的结论，根据全等三角形的判定可得 ，进一步根据全等三角形的性质得
证，从而根据等边三角形的判定可以证明 是等边三角形．
【详解】（1）证明： 和 都是等边三角形，
， ， ，
， ，
，
在 和 中，
≌ ，
， ，
即 ，
，
；
（2）证明：由 知， ≌ ，
则 ，
， ，
，
在 和 中，
≌ ，
，
，
是等边三角形
【变式训练】
1．（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，在 中， ， ， 是边 的中点，
以点 为直角顶点向 上方作等腰直角三角形 ，边 经过点C， 与 交于点G．(1)求证： 是等边三角形；
(2)若 ， 为 的中点，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【知识点】等边三角形的性质、等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】（ ）由 角所对直角边是斜边的一半得 ，根据直角三角形斜边上的中线性质得出
，则 ，最后等边三角形的判定即可求证；
（ ）由 是等边三角形，则 ，从而得出 ， ，由 角
所对直角边是斜边的一半得 ，然后根据等腰三角形的判定得 ，则 ，
再由 是等腰直角三角形，且 ，则 ，求出 即可；
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是边 中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形；
（2）解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ．
2．（24-25九年级上·湖北·阶段练习）在等边 中，点D，E分别是 上的动点，且 ，
AD交CE于点F．
(1)如图1，填空：D，E在运动过程中，AD与CE的数量关系为：______； 的度数为______；
(2)如图2，过C作 于P， ；
①求CF之长；
②若 ，求AB之长；
(3)如图3， 于P，连接 ，若 ，求证： ．
【答案】(1)相等，
(2)① ；②
(3)见解析
【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角
形
【分析】（1）证 即可求解；
（2）①由（1）可得 ，即可求解 ；②由题意得 ，进一步推出
，求得 ，即可求解；
（3）作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，证 得 ，再证
得 ，推出 是等边三角形，证 ，即可求证；
【详解】（1）解：由题意得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
故答案为：相等，
（2）解：①∵ ，
∴ ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由①可求得： ，
∴ ，
∴
（3）证明：作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，如图所示：
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及含 度角的直角
三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
一、单选题
1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知等边 的一边长为2，则它的周长是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键；因此此题可根据等
边三角形的三条边都相等进行求解即可．
【详解】解：由等边 的一边长为2，可知：该等边三角形的三条边都为2，所以它的周长为6；
故选C．
2．（24-25八年级上·湖北·阶段练习）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边三角形的性质
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，角度和差，由 ，， ，根据三角形的内角和定理得 ，最后由线段和差
即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选： ．
3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，已知 是等边三角形， ， 是 上的点，
，与 交于点 ．若 ，则 的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边三角形的性质、两直线平行同位角相等
【分析】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质，三角形的外角的性质；由等边三角形的性质求出
，由 得 ，进而可得 ，再根据三角形外角性
质求出 的度数即可．
【详解】解： 是等边三角形，
，
，
，
又 ， ，，
，
，
故选：B．
4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知， ，点 、 、 在射线 上，点
、 、 在射线 上， 、 、 、…均为等边三角形，若 ，则
的边长为（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出 ，
， 进而发现规律是解题关键．根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出
，以及 ，得出 ， ， 进而得
出答案．
【详解】解： 是等边三角形，
，
，
，
，
、 是等边三角形，
∴ ，
∴ ， ，
， ，
，
，
，以此类推： 的边长为 ，
故选：C．
5．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，在等边三角形 内有一点D，连接 、 ，以
为边做一个等边三角形 ，连接 ，下列结论：① ；② ；③若 ，
则 ；④若B、D、C三点共线，则 ，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的性质
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明 ，即可得到
， ， 判断①②，结合等边三角形的性质判断③④，即可得出结论．
【详解】解：∵ ， 均为等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，故①②正确；
若 ，则： ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
当B、D、C三点共线时，则点D在线段 上，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故 不可能等于 ，故④错误；综上：正确的有3个；
故选：C．
二、填空题
6．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，等边 的边长为6， 的角平分线交于
点D，过点D作 ，交AB、 于点E、F，则 的周长为 ．
【答案】
【知识点】两直线平行内错角相等、等边三角形的性质、角平分线的有关计算
【分析】本题考查等边三角形的性质，角平分线的定义和平行线的性质，根据BD和CD分别平分 和
，和 ，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出 ， ．然后即可
得出答案．
【详解】解：解：∵在 中，BD和CD分别平分 和 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 的周长为 ，
故答案为： ．
7．（2024·浙江温州·模拟预测）如图， 为等边三角形，点D为 延长线上一点．若 ，
，则 的长为 ．
【答案】2
【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质．过点A作
于点E，根据等边三角形的性质，可得 ，从而得到 ，进而得到
是等腰直角三角形，再由勾股定理可得 ，然后在 中，根据勾股定理，即可求解．【详解】解：如图，过点A作 于点E，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2
8．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在等边 中，已知 ， ，将 沿
折叠，点 与点 对应，且 ，则等边 的边长 ．
【答案】 /
【知识点】三角形折叠中的角度问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形
【分析】设 于G, 交 于H，由等边三角形的性质可得 ，根据折叠的性
质可得 ，根据垂直的定义得到 ，根据勾股定理得到，设 ，根据等边三角形的性质列方程求解即可．
【详解】解：设 于G， 交 于H，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵将 沿 折叠，点 与点 对应，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
设 ,
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）、等边三角形的性质、直角三角形的性质，勾股定理等知
识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
9．（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，已知等边三角形 的边长为 ， ，点 为
边 上一点，且 ．若点 在线段 上以 的速度由点 向点 运动，同时，点 在线段
上由点 向点 运动．若 与 全等，则点 的运动速度是 ．【答案】2或
【知识点】全等三角形的性质、等边三角形的性质
【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边三角形的性质．由于 ，所以当
与 全等时，分两种情况：① ；② ．根据全等三角形的对应边
相等求出 ，再根据速度 路程 时间即可．
【详解】解：设点 、 的运动时间为 ，则 ．
三角形 是等边三角形，
，
当 与 全等时，分两种情况：
①如果 ，那么 ，
点 的运动速度是 ；
②如果 ，那么 ，
，
点 的运动时间为： ，
点 的运动速度是 ．
综上可知，点 的运动速度是2或 ．
故答案为：2或 ．
10．（2024·河南濮阳·一模）等边 中， ，D是 上一点， 沿 折叠得到 ．
当 时， 的长为
【答案】 或
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、折叠问题
【分析】根据折叠性质可知： ，分两种情况：当 在 外部，当 在内部时，由
、 ，求出 的度数，进而利用含 度、 度直角三角形的性质求出
即可.
【详解】解：折叠性质可知： ，当 在 外部时，如图1，
∵在等边 中， ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 ，垂足为H，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
当 在内部时，如图2，
∵在等边 中， ，
∴ ，∴ ，
∴
过点 作 ，垂足为 ，同理可求 ，
故 ，
故答案为： 或 .
【点睛】本题考查等边三角形的性质，轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键
是利用分类讨论的思想的原则做到不遗漏、不重复．
三、解答题
11．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，在 中， ， 是 上的一点，过点 作
于点 ，延长 和 ，交于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【知识点】等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握
以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由等边对等角得出 ，证明 ，即可得证；
（2）证明 为等边三角形．得出 ，由直角三角形的性质可得 ，求出
，即可得解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形．
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ．
12．（24-25八年级上·北京·期中）如图， 是等边三角形， 于D， 为 边中线， ，
相交于点O，连接 ．
(1)判断 的形状，并说明理由
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)等边三角形，理由见解析
(2)4
【知识点】等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形
【分析】该题主要考查了等边三角形的判定及其性质，直角三角形的性质；解决本题的关键是熟练掌握等
边三角形的判定及其性质，直角三角形的性质．
（1）由等边三角形的性质可得 ， ，可得出 ，由 为 边上的中线，得出
，从而得出 ，再由等边三角形的判定可得结论；
（2）先证明 ，再由 可得 ，再求解即可．
【详解】（1）解：等边三角形，理由如下：
在等边 中， ， ，
， ，
，又 为 边上的中线，
，
，
又 ，
是等边三角形；
（2）解：由（1）知： 、 分别是 的中线，
， ，
，
，
，
．
13．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在等边三角形 中，点D，E分别在边 ， 上，且
，过点E作 ，交 的延长线于点F．
(1)求 的度数；
(2)求证： 是等腰三角形；
(3)若 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【知识点】等边三角形的判定和性质、根据平行线判定与性质证明、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和，等腰三角形的判定与性质，比较基
础，难度不大．
（1）根据是等边三角形和平行线的性质，可证 ，再根据三角形内角和为 ，即可求
得 ．
（2）根据题意易证 ，从而可得到 ，故此可证 为等
腰三角形．
（3）根据等边三角形的性质可得 ，再根据 ，可得 ，然后由 进行
求解即可．
【详解】（1）解：∵ 是等边三角形，∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形．
（3）解：由（1）可知 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
14．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，点O是等边 内一点， ，
，连接 ．
(1)求证： 是等边三角形；
(2)当 时，α为多少度？
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】等边三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的性质
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟记等边三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质、等边三角形的性质求出 ，根据等边三角形的判定推
出即可；
（2）根据全等三角形的性质及等边三角形的性质求出 ， ，则
， ，再根据等腰三角形的性质求解即可．【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
15．（24-25八年级上·河南新乡·期中）已知定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对
的直角边等于斜边的一半，”下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，
完成证明．
已知：如图1，在 中， ．求证： ，
方法一：如图2，延长 到点D，使得 ，连接 ．
方法二：如图3，在线段 上取一点D，使 得 ，连接CD．
【答案】见解析．
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟练
掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
若选择方法一：先根据直角三角形的两个锐角互余求出 ，再利用平角定义求出 ，从而
可得 ，然后利用 证明 ，从而可得 ，进而可得 是
等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得 ，即可解答；若选择方法二：先根据直角三角形的两个锐角互余求出 ，从而可得 是等边三角形，然后利
用等边三角形的性质可得 ，从而可得 ，进而可得 ，
最后利用等量代换可得 ，即可解答．
【详解】解：选择方法一：
如图：延长 到点D，使得 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
选择方法二：
如图，在线段 上取一点D，使得 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
即 ．
16．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在 中， ， 是中线，延长 至E，使
，若 ．
(1)求证： ；
(2)求证： 是等边三角形；
(3)在 中，点P是边 上的定点，点M、N分别是边 、 上的动点．当 的周长取最小
值时，直接写出此时 的度数．
【答案】(1)见解答
(2)见解答
(3)
【知识点】等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解、三角形内角和定理的应用、三
角形的外角的定义及性质
【分析】（1）利用等边对等角和三角形外角的性质证明即可；
（2）先求出 ，再利用有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形证明即可；
（3）作出 的周长取最小值时， 的位置，再利用三角形内角和定理及其推论即可求出
的度数．
【详解】（1）证明：∵ ，
，
，
．
（2）证明：∵ 是中线，
，
，
，
，
，，
，
解得： ，
，
∴ 是等边三角形；
（3）解： ．
理由：作点 关于 的对称点 ，连接 ，分别交 于点 ，连接 ，此时
则 的周长取最小值，
如图，当点 共线时， 的周长 取最小值，
由题意知 ，
则 ，
，
．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称-最短路线问题，两点之间线段最
短，三角形内角和定理及其推论，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键．
17．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图， 是边长为6的等边三角形， 是 边上一动点，由
点 向点 运动（与 ， 不重合）， 是 延长线上一点，与点 同时以相同的速度由点 向 延长
线方向运动（点 不与点 重合），过点 作 于点 ，连接 交 于点 ．
(1)若设 ，则 ______， ______；（用含 的式子表示）
(2) 时，求 的长；
(3)在运动过程中，线段 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 的长；如果变化，请说明理由．
【答案】(1) ，(2) ；
(3)当点P、Q运动时，线段 的长度不会改变， ．
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角
三角形
【分析】（1）根据题意得 ，然后得到 ， ；
（2）在 中利用 角直角三角形的性质列方程求解即可；
（3）过点P作 的平行线交AB于点M，首先证明出 是等边三角形，然后得到 ，
然后证明出 ，得到 ，进而求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可得， ，
∵ 是边长为6的等边三角形，
∴ ， ，
∴ ， ；
故答案为： ， ；
（2）解：在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
（3）解：当点P、Q运动时，线段 的长度不会改变， ，
理由如下：
如图：过点P作 的平行线交AB于点M，
∵ ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定， 角直角三角形的性质，一
元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
18．（24-25八年级上·浙江·期中）如图， 是等边三角形，点 沿 的边从点 运动到点 ，再
从点 运动到点 ，点 是边 上一点，运动过程中始终满足 ．
(1)如图1，当点 在 边上时，连接 相交于点 ．
①求证： ．
②求 的度数．
(2)如图2，当点 在 边上时，延长 至点 ，使 ，连接 ．判断 与 是否相等？
并说明理由．
【答案】(1)①见解析；②
(2) ，见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质和判定，
（1）①根据等边三角形的性质得 ，再根据 ，可得 ，
然后根据全等三角形对应边相等得出答案；
②根据全等三角形的对应角相等得 ，再根据 得出答案；
（2）在 上截取 ，连接 ，可得 ，再根据等边三角形的性质证明 ，
进而得出答案.
【详解】（1）证明：①如图1， 是等边三角形，
．，
，
．
②解： ，
．
，
．
（2）解： ．
理由如下：如图，在 上截取 ，连接 ，
则 ．
又 是等边三角形，
．
．
是等边三角形．
，
，
．
