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专练 06 填空题-压轴（15 题）
1．（2022·湖北十堰·八年级期末）如图，等边 中， ，M是高 所在直线上的一个动点，连
接 ，将线段 点B逆时针旋转60°得到 ，连接 ．在点M运动过程中，线段 长度的最小值
是___________．
【答案】3
【解析】
解:如图，取BC的中点G，连接MG
∴BG=CG= =6
由旋转的性质可得BN=BM，∠MBN=60°
∵等边 中，CH为AB边上的高
∴AB=BC=12，BH= ，∠ABC=60°，∠BCH=
∴BH=BG，∠MBN=∠ABC
∴∠MBN－∠MBA=∠ABC－∠MBA
∴∠NBH=∠MBG
在△NBH和△MBG中
∴△NBH≌△MBG(SAS)∴HN=GM
∴ 长度的最小值即为GM长度的最小值
根据垂线段最短，当GM⊥CH时，GM最小
此时在Rt△CGM中，∠GCM=30°
∴GM=
即 长度的最小值为3．
故答案为：3．
【点睛】
此题考查的是旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、求线段的最小值和直角三角形
的性质，掌握旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、垂线段最短和30°所对的直角
边是斜边的一半是解决此题的关键．
2．（2022·贵州铜仁·八年级期末）如图，已知∠MON=30点A，A，A，…在射线ON上，点B，B，
1 2 3 1 2
B，…在射线OM上，△ABA，△ABA，△ABA，…均为等边三角形，若OA=1，则△A B A 的
3 1 1 2 2 2 3 3 3 4 1 2021 2021 2022
边长为______．
【答案】
【解析】
解：∵△ABA 为等边三角形，
1 1 2
∴∠ABA=60°，AB= A A，
1 1 2 1 1 1 2
∵∠MON=30°，
∴∠ABO=30°，
1 1
∴△OAB 为等腰三角形，
1 1
∴AB= OA ，
1 1 1
∴AB= A A= OA ，
1 1 1 2 1
∵OA=1 ，
1
同理可知△OAB 为等腰三角形，
2 2∴OA =AB= A A=2，
2 2 2 2 3
同理可知△OAB 为等腰三角形，
3 3
∴OA =AB= A A= ，
3 3 3 3 4
同理可知△OAB 为等腰三角形，
4 4
∴OA =AB= A A= ，
4 4 4 4 5
依次类推：OAn=AnBn= AnAn = ,
+1
∴△A B A 的边长为： = ，
2021 2021 2022
故答案为： ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，归纳，总结，验证，应用的能力，能够发现规律
并应用规律是解决本题的关键．
3．（2022·黑龙江鸡西·八年级期末）如图，△ABC，△DCE都是等边三角形，则①AE＝BD，
②△ABD≌△BCD，③∠BAE＝∠ACE，④△BCD≌△ACE，⑤∠BDC＝∠AEC，以上正确的序号是_______
【答案】①④⑤
【解析】
解： ， 都是等边三角形，
， ， ，
，
在 和 中，
，
，故④正确，
， ，故①，⑤正确，
∵AB=CB，BD=BD，AD与CD不一定相等，故△ABD与△BCD不一定全等；故②错误，
∵ ，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BAE=∠BAC+∠ACE，
与 不一定相等，故③错误．故答案为：①④⑤．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明三角形全等是本题的关键．
4．（2022·山东德州·八年级期末）如图， 中， 平分 ， 、 分别是
的两外角的平分线，射线 的反向延长线交 于点P，下列结论中：① ；② ；③
；④ ；⑤ ．其中正确的结论是___________（直接填写序号）．
【答案】①②④⑤
【解析】
解：∵∠BCA+∠BCF=180°，CP平分∠ACB，CD平分∠FCB，
∴∠PCB= ，∠DCB= ，
∴∠PCD=∠PCB+∠DCB = + ，
∴CP⊥CD；
故①正确；
延长CB到G，如图，∵BD平分∠CBE，
∴∠EBD=∠DBC，
∵∠EBD=∠PBA，∠CBD=∠PBG，
∴∠PBA =∠PBG，
∴∠ABG=2∠GBP，
∵∠ABG=∠A+∠ACB，即2∠PBG=∠A+2∠PCB，∠PBG=∠P+∠PCB，
∴∠PBG= ∠A+∠PCB，
∴∠P= ∠A，
故②正确；
∵CD平分∠BCF，BD平分∠CBE，
∴∠BCD= ，∠DBC= ，
∴∠BCD+∠CBD= + ，
= ，
= ，
= ，
∴∠D=180°-（∠BCD+∠CBD）= ，
故④正确；∵∠BAC=∠ACB，
∴2∠DBC=∠EBC=∠A+∠ACB=2∠A，
∴∠DBC=∠A，
∴∠D=90° ，
∴2∠D+∠DBC=180°，
只有当∠A=60°时，∠D=∠DBC=60°，
∴BC=CD，
故③不正确，
∵∠DBC=∠A=∠ACB，
∴PD∥AC，
故⑤正确；
故答案为：①②④⑤．
【点睛】
本题考查三角形内角与外角平分线，等腰三角形性质与判定，三角形外角性质，三角形内角和，平行线判
定，掌握三角形内角与外角平分线定义，三角形外角性质，三角形内角和，平行线判定是解题关键．
5．（2022·四川宜宾·八年级期末）已知：Rt ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一个动
点（其中0°＜∠BAD＜45°），以AD为直角边作Rt ADE，其中∠DAE＝90°，且AD＝AE，DE交AC于点
F，过点A作AH⊥DE于点G，交BC于H，在D点的运动过程中，有下列结论：① ABD≌ ACE：
②BD2+DC2＝2AD2；③BD2+HC2＝DH2；④当BD 1时，AC平分∠HAE；⑤当∠BAD＝22.5°时，
，其中正确的有 _____．（将所有正确结论的番号填在答题卡对应题号的横线上）
【答案】①②③④
【解析】解：在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，
∵AB=AC，∠BAC=∠DAE=90°，AD=AE．
∴∠BAD=∠CAE．
∴△ABD≌△ACE． 故①符合题意；
在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，
△ABD≌△ACE，
故②符合题意，
如图，连接 则
等腰直角三角形ADE，
故③符合题意；
而
解得：即 平分 故④符合题意，
如图，过 作 于
而
而
而
故⑤不符合题意；
综上：符合题意的有：①②③④.
故答案为：①②③④
【点睛】
本题考查的是等腰直角三角形的性质，利用 证明三角形全等，勾股定理的应用，线段的垂直平分线的
定义与性质，角平分线的性质的应用，二次根式的乘法运算，掌握以上知识是解本题的关键.
6．（2022·广东广州·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，我们把这种两组邻边分
别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．已知∠ADC＝120°，∠ABC＝
60°，小婵同学得到如下结论：①△ABC是等边三角形；②BD＝2AD；③S ABCD＝AC•BD；④点M、
四边形
N分别在线段AB、BC上，且∠MDN＝60°，则MN＝AM+CN，其中正确的结论有 _____．（填写所有正确
结论的序号）【答案】①②④
【解析】
解：∵四边形ABCD是“筝形”四边形，
∴AB=BC，AD=CD，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，故①正确；
∴∠BAC=∠BCA=60°，
∵AD=CD，∠ADC=120°，
∴∠DAC=∠DCA=30°，
∴∠DAB=90°，
∵AD=CD，AB=BC，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=∠BDC=60°，
∴BD=2AD，故②正确；
∵∠DOC=∠DAC+∠ADB=60°+30°=90°，
∴AC⊥BD，
∵S ABCD=S ACD+S ACB，
四边形
△ △
∴S ABCD= ×AC×OD+ ×AC×OB= ×AC×BD，故③错误；
四边形
延长BC到E，使CE=AM，连接DE，如图所示：∵∠DAB=∠DCB=90°，
∴∠DAB=∠DCE=90°，
又∵AM=CE，AD=CD，
∴△ADM≌△CDE（SAS），
∴∠ADM=∠CDE，DM=DE，
∵∠ADC=120°，
∵∠MDN=60°，
∴∠ADM+∠CDN=∠ADC-∠MDN=60°，
∴∠CDE+∠CDN=∠EDN=60°，
∴∠EDN=∠MDN，
又∵DN=DN，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=EN，
∵EN=CE+CN=AM+CN，
∴AM+CN=MN，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解“筝形”的性质
和添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
7．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，点C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别
作等边 和等边 ，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ、
OC．现给出以下结论：① ；② ；③CO平分 ；④ ．其中正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】
解：∵等边 ABC和等边 CDE，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，
即∠ACD＝∠BCE，
在 ACD与 BCE中，
，
∴ ACD≌ BCE（SAS），
∴AD＝BE，故①正确；
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠APC=∠BPO，
∴∠AOB=180°-∠CBE-∠BPO=180°-∠CAD-∠APC=∠ACP=60°，
∴ ，故②正确；
∵ ACD≌ BCE（已证），
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证），
∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，
∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，
在 ACP与 BCQ中，
，
∴ ACP≌ BCQ（ASA），∴AP＝BQ，CP=CQ，
∴△CPQ为等边三角形
∴∠CPQ＝60°，
∴∠ACB＝∠CPQ，
∴PQ∥AE，
假设OC平分
∴∠PCO=∠QCO=30°，
∵CP=CQ，
∴OC⊥PQ，OC平分PQ，
∴OP=OQ，
∴CO平分∠POQ，
∵∠AOB=60°，
∴∠POQ=180°-∠AOB=120°
∴∠POC=∠QOC=60°，
∵∠BCA=∠DCE=60°，∠OCA=∠BCA+∠OCP=∠DCE+∠OCQ=90°，
在 AOC和 EOC中，
△ △
，
∴ AOC≌ EOC（ASA），
∴△AC=EC，△
∵题中没有AC=EC条件，
为此只有AC=EC时CO平分 ，
故③不正确；
在OA上截取OH=OC，连结CH，过C作CF⊥OA于F，CG⊥BE于G，
∴∠AFC=∠BGC=90°，∵ ACP≌ BCQ，
∴∠CAP=∠CBQ，
在 AFC和 BGC中，
△ △
，
∴ AFC≌ BGC（AAS），
∴△CF=CG，△
∵CF⊥OA，CG⊥BE，
∴CO平分∠AOE，
∵∠AOB=60°，
∴∠AOE=180°-∠AOB=180°-60°=120°，
∴∠HOC=∠EOC= 60°，
∴ OHC为等边三角形，
∴△CH=CO，∠HCO=60°，
∴∠ACH+∠HCB=60°，∠HCB+∠BCO=60°，
∴∠ACH=∠BCO，
在△AHC和△BOC中，
，
∴△AHC≌△BOC（SAS），
∴AH=BO，
∴AO=AH+HO=BO+OC，
故④正确．
综上所述，正确的是①②④．故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定，需要多次证明三角形全等，
反证法，综合性较强，但难度不是很大，是热点题目，仔细分析图形是解题的关键．
8．（2022·江苏·泰州市海陵学校八年级期末）根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：如
图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝
2，点D是AB边上的动点，则CD+ AD的最小值为_____．
【答案】
【解析】
解：作射线AG，使得∠BAG＝30°，
过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，∴DE＝ AD，
∴CD+ AD＝CD+DE≥CF，
∵∠CAG＝∠CAB+∠BAG＝60°，AC＝2，
∴∠ACF＝30°，
∴AF＝1，
∴CF＝ ，
∴CD+ AD的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查勾股定理，含30°直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边一半，作出射线AG，使得
∠BAG=30°是解答本题的关键．
9．（2021·辽宁沈阳·八年级期末）如图，在 中， ， ， ，点 为 的中
点，若直角 绕点 旋转，分别交 于点 ，交 于点 ，则下列说法：
① ；
② ；
③ ；
④若 的面积为一个定值，则 的长也是一个定值．
其中正确的有______．
【答案】①②③④
【解析】
解：①连接 ．在 中， ， ，点 为 的中点，
， ，
在 与 中， ， ， ，
，
．说法正确；
②在 中， ， ， ，
．
由①知 ，
．说法正确；
③由①知 ，
．说法正确；
④ 的面积 ，如果这是一个定值，则 是一个定值，
又 ，
，
的面积为一个定值，则 的长也是一个定值，故说法正确．
故答案为①②③④．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是证
明 ．
10．（2019·四川成都·八年级期末）如图，等边△ABC内有一点O，OA＝3，OB＝4，OC＝5，以点B为
旋转中心将BO逆时针旋转60°得到线段 ，连接 ，下列结论：① 可以看成是△BOC绕点B
逆时针旋转60°得到的；②点O与 的距离为5；③∠AOB＝150°；④S ＝6+4 ；⑤
四边形AOBO′＝6+ ．其中正确的结论有_____．（填正确序号）
【答案】①③⑤
【解析】
解：如下图，连接OO′，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝CB；
由题意得：∠OBO′＝60°，OB＝O′B，
∴△OBO′为等边三角形，∠ABO′＝∠CBO，
∴OO′＝OB＝4；∠BOO′＝60°，
∴选项②错误；
在△ABO′与△CBO中， ，
∴△ABO′≌△CBO（SAS），
∴AO′＝OC＝5，
可以看成是△BOC绕点B逆时针旋转60°得到的，
∴选项①正确；
在△AOO′中，∵32+42＝52，
∴△AOO′为直角三角形，
∴∠AOO′＝90°，∠AOB＝90°+60°＝150°，
∴选项③正确；∵S ＝ ×42×sin60°+ ×3×4＝4 +6，
四边形AOBO′
∴选项④错误；
如下图，将△AOB绕A点逆时针旋转60°至△AO″C，连接OO″，
同理可得，△AOO″是边长为3的等边三角形，
△COO″是边长为3，4，5的直角三角形，
∴S +S
AOC AOB
△ △
＝S
四边形AOCO″
＝S +S
COO″ AOO″
△ △
＝ ×3×4+ ×32×sin60°
＝6+ ．
故⑤正确；
故答案为：①③⑤．
【点睛】
本题考查旋转的性质、三角形全等的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，熟练掌
握旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理的应用是解题的关键．
11．（2022·福建·泉州五中八年级期末）如图，在 中，∠ACB＝90°，DE BC，DE＝AC，若AC＝
2， AD＝DB＝4，∠ADC＝30°．以下四个结论：①四边形ACED是平行四边形；②∠ABE＝ ；③AB
＝ ；④点F是AD中点，点G、H分别是线段BC、AB上的动点，则FG＋GH的最小值为 ．
正确的是_____．（填序号）【答案】①③④
【解析】
解：∵∠ACB＝90°，DE BC，
∴∠CDE＝∠ACB＝90°，
∴
又∵DE＝AC，
∴四边形ACED是平行四边形；故结论①正确．
∵AD＝DB＝4，∠ADC＝30°，
∴∠ABC＝∠DAB＝ ，
假设∠ABE＝ ，则 ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴假设不成立；故结论②错误．
在 中， ， ，
∴ ，
∴
∴在 中， ， ，
∴ ，
即AB＝ ；故结论③正确．
如图所示，作点F关于BC对称的点F’，作 于点H，与BC相交于点G，则 ，，根据“直线外一点到直线的距离，垂线段最短”可知，此时FG＋GH有最小
值．
连接AG， 与BC相交于点M，
∵ ，∠ABC＝ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴
又∵点F是AD中点，点F与点F’关于BC对称，AD＝4，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
又∵∠DAB＝ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∵点F是AD中点，点F与点F’关于BC对称， ,∴ ， ,
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
即FG＋GH的最小值为 ；故结论④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用．其中涉及平行线的判定，平行四边形的判定和性质，直角三角形中 角所对
的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，“一定两动”求线段最小值等问题．综合性较
强．
12．（2021·内蒙古乌海·八年级期末）如图， 中， ， 于点 ， 于点
， ， 相交于点 ， 与 的延长线相交于点 ．下面给出四个结论：① ；②
；③ ；④ ，其中正确的结论是______．
【答案】①②③
【解析】
解：∵∠DBC=45゜，DB⊥BC
∴∠DBE=∠BDE=45°
∴BE= DE∴BD= BE
故①正确
∵DE⊥BC，BF⊥CD
∴∠BEH=∠DEC=90°
∴∠BHE+∠HBE=90°=∠HBE+∠C
∴∠C=∠BHE
∵四边形ABCD是平行四边形，
.∴∠A=∠C=∠BHE
故②正确
∵∠C+∠CDE=90
∠CDB=∠HBE
在△BHE和△DCB中
∴△BHE≌△DCE(ASA)
∴BH=CD
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD
∴AB=BH
故③正确
在△BCF和△GDF中，只有三个角相等，没有边相等，则这两个三角形不全等
故④错误
故正确的有①②③
故答案为：①②③
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知
识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
13．（2021·四川成都·八年级期末）如图，四边形 是平行四边形， ， ，点 在上，且 ，点 为边 上的一动点，连接 ， ，将 沿直线 翻折，点 的对应点
为点 ，连接 ，若点 ，点 ，点 在同条直线上，则 的值为______．
【答案】
【解析】
解：在平行四边形 中，
，
设 ， ，
，
， ，
由翻折可得， ， ， ，
过点 任 于 ，
，
， ，
，
，设 ，过 作 于 ，
则 ， ，
在直角三角形 中， ， ，
，
，
，
延长 、 交于点 ，
， ，
， ，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】
此题考查的是翻折变换、平行四边形的性质、直角三角形性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决
此题关键．
14．（2021·山东济南·八年级期末）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，
四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中：
①CE＝DB；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④CD＝EF；⑤S BCDE＝ BD·CE；
四边形
⑥BC2＋DE2＝BE2＋CD2；其中一定正确的是________（把所有正确结论的序号填在模线上）【答案】①②③⑤⑥
【解析】
解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，
即：∠BAD＝∠CAE，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AE＝AD，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴CE＝BD，
∴故①正确；
②∵四边形ACDE是平行四边形，
∴∠EAD＝∠ADC＝90°，AE＝CD，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝AD，
∴AD＝CD，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴故②正确；
③∵△ADC是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝45°，
∴∠BAD＝90°＋45°＝135°，
∵∠EAD＝∠BAC＝90°，∠CAD＝45°，
∴∠BAE＝360°−90°−90°−45°＝135°，
又AB＝AB，AD＝AE，
∴△BAE≌△BAD（SAS），∴∠ADB＝∠AEB；
故③正确；
④∵四边形ACDE是平行四边形，
∴EF＝CF，AF＝DF，
又由②得：△ADC是等腰直角三角形，
∴△CFD为直角三角形且∠CDF＝90°，
∴CD≠CF，即CD≠EF，
故④CD＝EF错误；
⑤∵△BAD≌△CAE，△BAE≌△BAD，
∴△CAE≌△BAE，
∴∠BEA＝∠CEA＝∠BDA，
∵∠AEF＋∠AFE＝90°，
∴∠AFE＋∠BEA＝90°，
∵∠GFD＝∠AFE，∠ADB＝∠AEB，
∴∠ADB＋∠GFD＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴BD⊥CE，
∴S BCDE＝ BD·CE，
四边形
故⑤正确；
⑥∵∠CGD＝90°，
∴BC2＝CG2＋BG2，DE2＝GD2＋GE2，CD2＝CG2＋DG2，BE2＝BG2＋GE2，
∴BC2＋DE2＝BE2＋CD2．
故⑥正确；
故答案为：①②③⑤⑥．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质及等腰三角形的判定与性质，注意细心分析，
熟练应用全等三角形的判定以及平行四边形的性质及等腰三角形的判定与性质，是解决问题的关键．
15．（2021·浙江·八年级期末）如图，在▱ABCD中， 分别为CD，AB上的动点，DE＝
BF，分别以AE，CF为对称轴翻折△ADE，△BCF，点D，B的对称点分别为G，H．若E、G、H、F恰好
在同一直线上，∠GAF＝45°，且GH＝5.5，则AB的长是_____．【答案】
【解析】
解：过G点作GM⊥AF于点M，
由折叠知AG＝AD＝4 ，
∵∠GAF＝45°，
∴∠AGM＝45°，
∴AM＝GM＝ ＝4，
∵DE＝BF，
∴设DE＝BF＝x，则由折叠性质知，EG＝DE＝BF＝FH＝x，
∵GH＝5.5
∴EF＝2x+5.5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠AED＝∠BAE，
∵∠AED＝∠AEG，
∴∠FAE＝∠FEA，
∴AF＝EF＝2x+5.5，
∴AB＝AF+BF＝3x+5.5，MF＝AF﹣AM＝2x+1.5，
由勾股定理得，FG2﹣FM2＝MG2，
即（x+5.5）2﹣（2x+1.5）2＝42，
解得，x＝3，或x＝﹣ （舍），
∴AB＝3x+5.5＝14.5，故答案为：14.5．
【点睛】
本题考查勾股定理，平行四边形性质，方程思想的运用，属于综合提高题．
16．（2020·山东济南·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD，AD＝2AB，F是AD的中点，作
CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：①∠BCD＝2∠DCF；②EF＝CF；③S CDF
△
＝S CEF；④∠DFE＝3∠AEF，－定成立的是_________．(把所有正确结论的序号都填在横线上)
△
【答案】①②④
【解析】
①∵点F是AD的中点，
∴ ．
∵在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，
，
，
，
∴∠BCD＝2∠DCF，故①正确；
②延长EF，交CD延长线于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
，，
∵点F是AD的中点，
∴ ．
在 和 中，
．
，
，
，
，故②正确；
③∵ ，
∴ ．
，故③错误；
④设 ，则 ，
，
，
．
，
，故④正确；
综上所述，正确的有①②④，
故答案为 ：①②④．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握这些性质和定理是
解题的关键．17．（2019·河南三门峡·八年级期末）如图，直线 ， 分别经过点 和 且平行于 轴．
的顶点 ， 分别在直线 和 上， 是坐标原点，则对角线 长的最小值为_________．
【答案】5
【解析】
解：过点B作BD⊥l，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线l 与OC交于点M，与
2 1
x轴交于点F，直线l 与AB交于点N．
2
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC，
∵直线l 与直线l 均垂直于x轴，
1 2
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM，
∴∠OAF=∠BCD，
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC，
在△OAF和△BCD中，
，
∴△OAF≌△BCD（ASA），∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴OB= ．
由于OE的长不变，所以当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB=OE=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识；熟练
掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
18．（2019·四川达州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为
斜边作Rt△ADC，若∠CAD＝∠BAC＝45°，则下列结论：①CD∥EF；②EF＝DF；③DE平分∠CDF；
④∠DEC＝30°；⑤AB＝ CD；其中正确的是_____（填序号）
【答案】①②③⑤
【解析】
∵E，F分别是BC，AC的中点，∴EF＝ AB，EF∥AB，
∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴EF∥CD，故①正确；
∵∠ADC＝90°，F是AC的中点，
∴DF＝CF= AC，
∵AB=AC，EF＝ AB，
∴EF＝DF，故②正确；
∵∠CAD=∠ACD=45°，点F是AC中点，
∴△ACD是等腰直角三角形，DF⊥AC，∠FDC=45°，
∴∠DFC=90°，
∵EF//AB，
∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°，
∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=135°，
∴∠FED＝∠FDE＝22.5°，
∵∠FDC＝45°，
∴∠CDE=∠FDC-∠FDE=22.5°，
∴∠FDE=∠CDE，
∴DE平分∠FDC，故③正确；
∵AB＝AC，∠CAB＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝67.5°，
∴∠DEC＝∠FEC﹣∠FED＝45°，故④错误；
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴AC2=2CD2，
∴AC= CD，
∵AB=AC，∴AB＝ CD，故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定
理等知识．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
19．（2018·上海宝山·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2，∠DAB＝60°，E在AB
上，如果AE：EB＝1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，那么DP：DC等于
_____．
【答案】
【解析】
连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠CBN＝∠DAB＝60°，
∴∠BFN＝∠MCB＝30°，
∵AB：BC＝3：2，
∴设AB＝3a，BC＝2a，
∴CD＝3a，
∵AE：EB＝1：2，F是BC的中点，
∴BF＝a，BE＝2a，
∵∠FNB＝∠CMB＝90°，∠BFN＝∠BCM＝30°，
∴BM＝ BC＝a，BN＝ BF＝ a，FN＝ a，CM＝ a，∴AF＝ ，
∵F是BC的中点，
∴S DFA＝ S ABCD，
平行四边形
△
即 AF×DP＝ CD×CM，
∴PD＝ ，
∴DP：DC＝ ．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，平行四边形面积，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等知
识点的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．
20．（2016·浙江杭州·八年级期末）如图，四边形 中， ， ， ，点 、 分
别线段 、 上的动点，（含端点，但点 不与点 重合），点 、 分别为 、 的中点，则
长度的最大值为__________．
【答案】2.5
【解析】【详解】
∵ ， ，
∴ ，
∴ 最大时， 最大，
∵因为 与 重合时 最大，
此时 ，
∴ 的最大值为 ．
故答案为 ．
点睛：本题考查三角形中位线定理、勾股定理等知识.解题的关键是中位线定理的灵活应用，学会转化的思
想，属于中考常考题型.
