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2022-2023 学年北师大版数学九年级上册压轴题专题精选汇编
专题 09 用树状图或表格求概率
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021九上·南海期末）在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2张卡片，
分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解：画树状图如下
共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之和为奇数的结果有2种
两次摸出的数字之和为奇数的概率为
故答案为：C．
【思路引导】利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
2．（2分）（2021九上·包头期末）小亮有两件上衣，分别为蓝色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白
色，他随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，恰好是白色上衣和白色裤子的有1种情况，
∴恰好是白色上衣和白色裤子的概率是 ，
故答案为：B．
【思路引导】先画树状图，再求出共有4种等可能的结果，恰好是白色上衣和白色裤子的有1种情况，最
后求概率即可。
3．（2分）（2021九上·广饶期末）不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“-1”除数字外两
个小球无其他差别从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其
数字，那么两次记录的数字之和为0的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【完整解答】根据题意，如下图，总共有四种结果，其中两次记录的数字之和为0的情况有两种
∴两次记录的数字之和为0的概率是：
故答案为：C．
【思路引导】先画树状图，再求概率即可。
4．（2分）（2021九上·秦都期末）笼子里关着一只小松鼠（如图）.笼子主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先过第一道门（A或B），再过第二道门（C，D或E）才能出去，则松鼠
走出笼子的路线是“先经过A门、再经过D门”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【完整解答】解：画树状图：
由图可知，一共有6种等可能的结果，其中先经过A门、再经过D门有1种结果，所以松鼠走出笼子的路
线是“先经过A门、再经过D门”的概率为 ，
故答案为：D.
【思路引导】画出树状图，找出总情况数以及先经过A门、再经过D门的情况数，然后利用概率公式进行
计算.
5．（2分）（2021九上·毕节期末）有4张背面相同的卡片，正面分别印有平行四边形、矩形、菱形、正
方形，现将4张卡片正面朝下一字摆开，从中随机抽取两张，抽到的两张卡片上都恰好印的既是中心对称
又是轴对称的图形的概率为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【完整解答】解：根据题意得列出表格如下：
平行四边形 矩形 菱形 正方形平行四边形 矩形、平行四边形 菱形、平行四边形 正方形、平行四边形
矩形 平行四边形、矩形 菱形、矩形 正方形、矩形
菱形 平行四边形、菱形 矩形、菱形 正方形、菱形
正方形 平行四边形、正方形 矩形、正方形 菱形、正方形
∵平行四边形是中心对称图形，矩形、菱形、正方形既是中心对称又是轴对称的图形，
∴共有12种等可能结果，抽到的两张卡片上都恰好印的既是中心对称又是轴对称的图形的有6种，
∴抽到的两张卡片上都恰好印的既是中心对称又是轴对称的图形的概率为 .
故答案为：D.
【思路引导】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称
图形；把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，据此判断出四
个图形中既是中心对称又是轴对称的图形的图象；利用列表法列举出共有12种等可能结果，其中抽到的两
张卡片上都恰好印的既是中心对称又是轴对称的图形的有6种，然后利用概率公式计算即可.
6．（2分）（2021九上·燕山期末）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这
三种可能性大小相同，甲、乙两辆汽车经过这个十字路口时，一辆车向左转，一辆车向右转的概率是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解：画“树形图”如图所示：
∵这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有2种，
∴一辆向右转，一辆向左转的概率为 ；
故答案为：Ｃ．【思路引导】画出树状图，得出所有等可能结果，再得出一辆向右转，一辆向左转的情况数，再根据概率
公式求解即可。
7．（2分）（2021九上·沈北新期末）将分别标有“中”“国”“加”“油”汉字的四个小球装在一个不
透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀随机摸出一球，不放回；再随机摸出
一球．两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】解：根据题意可列表如下：
中 国 加 油
中 中、国 中、加 中、油
国 国、中 国、加 国、油
加 加、中 加、国 加、油
油 油、中 油、国 油、加
一共有4×3=12种可能，其中能组成“加油”的有2种，
∴两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率是 ．
故答案为：B．
【思路引导】先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
8．（2分）（2021九上·淮南月考）如图在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线
都可以构成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点P的概率是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【完整解答】解：如图，将从左到右的三条竖线分别记作a、b、c，将从上到下的三条横线分别记作m、
n、l，
列表如下，
ab bc ac
mn ab、mn bc、mn ac、mn
nl ab、nl bc、nl ac、nl
ml ab、ml bc、ml ac、ml
由表可知共有9种等可能结果，其中所选矩形含点P的有ab、ml；ab、nl；ac、nl；ac、ml这4种结果，
∴所选矩形含点P的概率 ，
故答案为：D．
【思路引导】先列表，再求出共有9种等可能结果，其中所选矩形含点P的有ab、ml；ab、nl；ac、nl；
ac、ml这4种结果，最后求概率即可。
9．（2分）（2021九上·禹城月考）一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分
别是-2，-1，0，1．卡片除数字不同外其他均相同，从中随机抽取一张卡片，不放回，再另外抽取一张，
抽取的两张卡片上数字之积为0的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解：画树状图如下：由图知，共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为0的有6种结果，
抽取的两张卡片上数字之积为0的概率为 ，
故答案为：C．
【思路引导】利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
10．（2分）（2021九上·永城月考）某市教委高度重视自然灾害中的安全教育，要求各级各类学校从认识
安全警告标志入手开展安全教育活动.某数学兴趣小组准备了4张印有安全图标的卡片，正面图案如图所示，
它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案中有
一张是轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【完整解答】解：由题意知，当心低温的图片为轴对称图形，
列表为：
当心水灾1 当心山体滑坡2 当心低温3 当心雷击4
当心水灾1 1，2 1，3 1，4
当心山体滑坡2 2，1 2，3 2，4当心低温3 3，1 3，2 3，4
当心雷击4 4，1 4，2 4，3
共有12种等可能的情况，其中两张卡片的正面图案中有一张是轴对称图形的有6种，
∴两张卡片的正面图案中有一张是轴对称图形的概率是 = ，
故答案为：A.
【思路引导】把一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图
形；此题是抽取不放回类型，根据题意列表，可得到所有的可能的结果数及两张卡片的正面图案中有一张
是轴对称图形的情况数，然后利用概率公式进行计算.
二．填空题（共10小题，每题2分，满分20分）
11．（2分）（2021九上·历城期末）某中学举办庆祝中国共产党建党100周年党史知识竞赛．某班有5名
学生报名，其中2男3女，计划从这5名学生中随机抽选两名学生参加知识竞赛，所选两名学生中恰好1
男1女的概率为 ．
【答案】
【完整解答】解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，选出的2名学生恰好是1男1女的有12种情况，
∴选出的2名学生恰好是1男1女的概率是： ．
故答案为： ．
【思路引导】利用树状图可得，选出的2名学生恰好是1男1女的概率是 。12．（2分）（2021九上·高州期末）有4张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几
何图形（如图）．将这4张纸牌背面朝上洗匀后先由小明从中任意摸出一张，放回洗匀后再由小敏从中任
意摸出一张，则“小明所摸纸牌是中心对称图形，小敏所摸纸牌是轴对称图形”的概率为 ．
【答案】
【完整解答】解：画树状图如下：
共有16种情况，小明所摸纸牌是中心对称图形，小敏所摸纸牌是轴对称图形的情况有6种，
所以概率为 ．
故答案为 ．
【思路引导】利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
13．（2分）（2021九上·济宁期末）现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4
张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是
．
【答案】【完整解答】解：把4张卡片分别记为：A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的结果有2种，
∴两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率为 ．
故答案为：
【思路引导】先画树状图，再求出共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”
的结果有2种，最后求概率即可。
14．（2分）（2021九上·长清期末）一个布袋里装有2个只有颜色不同的球，其中1个红球，1个白球，
从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球是一白一红的概率是
．
【答案】
【完整解答】解：列表如下：
白 红
白 白，白 白，红
红 红，白 红，红
所有的等可能的结果数由4种，一红一白的结果数有2种，
所有两次摸到的球是一白一红的概率是
故答案为：
【思路引导】先列表求出所有的等可能的结果数由4种，一红一白的结果数有2种，再求概率即可。15．（2分）（2021九上·燕山期末）时隔十三年，奥运圣火再次在北京点燃．北京将首次举办冬奥会，成
为国际上唯一举办过夏季和冬季奥运会的“双奥之城”．墩墩和融融积极参加雪上项目的训练，现有三辆
车按照1，2，3编号，两人可以任选坐一辆车去训练，则两人同坐2号车的概率是 ．
【答案】
【完整解答】解：列树状图如下：
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两人同坐2号车的结果数为1种，
∴两人同坐2号车的概率 ，
故答案为： ．
【思路引导】画出树状图得出所有灯可能结果数，再得出两人同坐2号车的结果数，再根据概率公式计算
即可。
16．（2分）（2021九上·运城期末）一个盒子中装有标号为 ， ， ， 的四个小球，这些球除标号外
都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于 的概率为 ．
【答案】
【完整解答】解：根据题意画图如下：共有12种等可能的情况数，其中摸出的小球标号之和大于5的有4种，
则摸出的小球标号之和大于5的概率为 ．
故答案为： ．
【思路引导】利用树状图求出求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
17．（2分）（2021九上·金塔期末）在-1，3，5，7中随机选取一个数记为 ，再从余下的数中随机取
一个数记为 ，则一次函数 经过一、三、四象限的概率为 .
【答案】
【完整解答】解：根据题意，画树状图如下：
共有12种等可能性，
∵一次函数 经过一、三、四象限，
∴a＞0，b＜0，
符合条件的有3种等可能性，
∴一次函数 经过一、三、四象限的概率为 ；故答案为： .
【思路引导】画出树状图，据此可得总的情况数，根据一次函数y=ax+b经过一、三、四象限可知a＞0，b
＜0，找出符合条件的情况数，然后利用概率公式进行计算.
18．（2分）（2021九上·虎林期末）小华为学校“赓续百年初心，庆祝建党百年”活动布置会场，在—个
不透明的口袋里有4根除颜色以外完全相同的缎带，其中2根为红色，2根为黄色，从口袋中随机摸出根
缎带，则恰好摸出1根红色缎带1根黄色缎带的概率是 ．
【答案】
【完整解答】解：根据题意画出树状图，得：
共有12种等可能的结果，其中摸出1根红色缎带1根黄色缎带的结果数为8，
所以摸出1根红色缎带1根黄色缎带的概率= ．
【思路引导】先利用树状图求出所有的等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
19．（2分）（2021九上·重庆月考）有4张正面分别标有数字﹣3、1、2、3的卡片，它们除数字不同外其
余完全相同，现将它们背面朝上，从中随机抽出2张卡片，则抽出的两张卡片上的数字之积为奇数的概率
是 .
【答案】
【完整解答】解：列表如下
-3 1 2 3
-3 ---------- -3 -6 -91 -3 ---------- 2 3
2 -6 2 ---------- 6
3 -9 3 6 ----------
由表可知，随机抽出2张卡片总共有12种可能，“抽出的两张卡片上的数字之积为奇数”的有6中可能
所以“抽出的两张卡片上的数字之积为奇数”的概率为
故答案为： .
【思路引导】利用表格列举出共有12种等可能结果，其中“抽出的两张卡片上的数字之积为奇数”的有6
种，然后利用概率公式计算即可.
20．（2分）（2021九上·绵阳月考）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D
或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是 .
【答案】
【完整解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，
∴小灯泡发光的概率为： .
故答案为： .【思路引导】此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，树状图列举出共有12种等可能的结果，现任
意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，然后利用概率公式计算即可.
三．解答题（共8题，满分60分）
21．（5分）（2021九上·商河期末）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1、2、3、4的小球，
它们的形状、大小、质地等完全相同，小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子摇匀
后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y．请用列表法或画树状图法求出点（x，y）落在反比例函
数 的图象上的概率．
【答案】解：由题意，可列表：
第一次\第二次 1 2 3 4
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4）
由已知，共有16种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中满足要求的有3种，
∴P（点落在双曲线 的图象上）= .
【思路引导】利用列表法求出所有点，找出满足要求的点，即可求出。
22．（5分）（2021九上·崂山期末）甲、乙两同学只有一张乒乓球比赛的门票，谁都想去，最后商定通过
转盘游戏决定，游戏规则是：转动下面平均分成三个扇形且标有不同颜色的转盘，转盘连续转动两次，若
指针前后所指颜色相同，则甲去；否则乙去．（如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指
向一种颜色为止）．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】解：依题意，列表如下，第一次\第二次 黄 红 蓝
黄 黄黄 黄红 黄蓝
红 红黄 红红 红蓝
蓝 蓝黄 蓝红 蓝蓝
共有9种等可能结果，颜色相同时的概率为
则甲去的概率为 ，乙去的概率为 ，
所以这个游戏不公平．
【思路引导】 利用列表法列举出共有9种等可能结果，其中颜色相同的有3种，颜色不相同的有6种，分
别求出其概率，若概率相等游戏就公平，否则就不公平.
23．（7分）（2021九上·镇平县期末）在一个不透明的袋中装有5个只有颜色不同的球，其中3个黄球，
2个黑球.
（1）（3分）用画树状图或列表的方法求从袋中同时摸出的两个球都是黄球的概率；
（2）（4分）再往袋中放入若干个黑球，搅匀后，若从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ，求放入袋
中的黑球的个数.
【答案】（1）解：画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中从袋中同时摸出的两个球都是黄球的结果数为6，
所以从袋中同时摸出的两个球都是黄球的概率＝ ＝ ；
（2）解：设放入袋中的黑球的个数为x，
根据题意得
解得x＝4，所以放入袋中的黑球的个数为4.
【思路引导】（1）此题是抽取不放回类型，由题意画出树状图，由树状图的信息可知：共有20种等可能
的结果数，其中从袋中同时摸出的两个球都是黄球的结果数为6，再用概率公式可求解；
（2）设放入袋中的黑球的个数为x，由概率公式可得关于x的方程，解方程可求解.
24．（8分）（2021九上·宜宾期末）为了引导青少年学党史，某中学举行了“献礼建党百年”党史知识竞
赛活动，将成绩划分为四个等级：A（优秀）、B（优良）、C（合格）、D（不合格）.小李随机调查了部
分同学的竞赛成绩，绘制成了如下统计图（部分信息未给出）：
（1）（2分）小李共抽取了 名学生的成绩进行统计分析，扇形统计图中“优秀”等级
对应的扇形圆心角度数为 ，请补全条形统计图；
（2）（2分）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数；
（3）（4分）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格
的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率.
【答案】（1）100；
126°；
补全条形统计图如下所示：（2）解： （名），
∴该校竞赛成绩“优秀”的学生人数为700名；
（3）解：∵抽取不及格的人数有5名，其中有2名女生，
∴有3名男生，
设3名男生分别为 ， ， ，2名女生分别为 ， ，列表格如下所示：
∴总的结果有20种，一男一女的有12种，
∴回访到一男一女的概率为 .
【完整解答】解：（1）C等级的人数和所占比可得抽取的总人数为： （名），
∴“优秀”等级对应的扇形圆心角度数为： ，B等级的人数为： （名），
D等级的人数为： （名），
∴补全条形统计图如下所示：
【思路引导】（1）利用C等级的人数除以所占的比例可得总人数，利用优秀的人数除以总人数，然后乘
以360°可得“优秀”等级对应的扇形圆心角的度数，利用B等级的人数所占的比例乘以总人数可得对应的
人数，进而求出D等级的人数，据此补全条形统计图；
（2）利用优秀的人数除以总人数，然后乘以2000即可；
（3）设3名男生分别为b、b、b，2名女生分别为g、g，列出表格，找出总情况数以及一男一女的情
1 2 3 1 2
况数，然后利用概率公式进行计算.
25．（12分）在阳光大课间活动中，某校开展了立定跳远、实心球、长跑等体育活动，为了了解九年一班
学生的立定跳远成绩的情况，对全班学生的立定跳远测试成绩进行统计，并绘制了以下不完整的频数分布
直方图和扇形图，根据图中信息解答下列问题.
（1）（3分）求九年一班学生总人数，并补全频数分布直方图（标注频数）；
（2）（3分）求2.05≤a＜2.25成绩段在扇形统计图中对应的圆心角度数；
（3）（3分）直接写出九年一班学生立定跳远成绩的中位数所在的成绩段；
（4）（3分）九年一班在2.25≤a＜2.45成绩段中有男生3人，女生2人，现要从这5人中随机抽取2人参加学校运动会，请用列表法或树状图法求出恰好抽到一男一女的概率.
【答案】（1）解：结合直方图和扇形统计图，全班总人数为：15÷30％=50（人），
2.05≤a＜2.25成绩段中的人数：50-(2+10+15+5)=50-22=18（人）.
补全频数分布直方图，如下图所示：
（2）解：2.05≤a＜2.25成绩段在扇形统计图中对应的圆心角度数：360°× =129.6°
（3）解：全班50人，按从小到大排列第25-26名在1.85≤a＜2.05组，所以中位数所在的成绩段在1.85≤a
＜2.05
（4）解：用A、A、A 分别表示3个男生，B 、B 分别表示两个女生，可列表如下：
1 2 3 1 2
A A A B B
1 2 3 1 2
A （A，A） （A，A） （A，B ） （A，B ）
1 1 2 1 3 1 1 1 2
A （A，A） （A，A） （A，B ） （A，B ）
2 2 1 2 3 2 1 2 2
A （A，A） （A，A） （A，B ） （A，B ）
3 3 1 3 2 3 1 3 2
B （B ，A） （B ，A） （B ，A） （B ，B ）
1 1 1 1 2 1 3 1 2
B （B ，A） （B ，A） （B ，A） （B ，B ）
2 2 1 2 2 2 3 2 1
由表格可知，所有可能出现的情况一共有20种，恰好抽到一男一女的情况有12种，
所以恰好抽到一男一女的概率为 =0.6【思路引导】（1）由直方图和扇形图可知，第三小组的频数和百分数，根据样本容量=频数÷百分数可求
得九年级一班学生总数；再根据样本容量等于各小组频数之和可求得第四小组的频数，然后可补全直方图；
（2）根据百分数=频数÷样本容量可求得第四小组的百分数，再根据圆心角=相对应组的百分数×360°可求
解；
（3）由（1）的结论可知中位数是第25和26这两个对应的数的平均数；
（4）由题意列出表格，由表格中的信息可知， 所有可能出现的情况一共有20种，恰好抽到一男一女的
情况有12种，然后根据概率公式计算即可求解。
26．（6分）（2018九上·运城月考）有甲乙两个不透明的布袋，甲布袋装有2个形状和重量完全相同的小
球，分别标有数字1和2；乙布袋装有3个形状和重量完全相同的小球，分别标有数字﹣3，﹣1和0．先从
甲布袋中随机取出一个小球，将小球上标有的数字记作x；再从乙布袋中随机取出一个小球，再将小球标
有的数字记作y．
（1）（3分）用画树状图或列表法写出两次摸球的数字可能出现的所有结果；
（2）（3分）若从甲、乙两布袋中取出的小球上面的数记作点的坐标（x，y），求点（x，y）在一次
函数y=﹣2x+1图象上的概率是多少？
【答案】（1）解: 画树状图得：
则点可能出现的所有坐标：（1，﹣1），（1，0），（1，﹣3），（2，﹣1），（2，0），（2，﹣3）
（2）解: ∵在所有的6种等可能结果中，落在y=﹣2x+1图象上的有（1，﹣1）、（2，﹣3）两种结果，
∴点（x，y）在一次函数y=﹣2x+1图象上的概率是 ．
【思路引导】（1）、根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）、根据（1）可得 （x，y） 在一次函数 y=﹣2x+1 图像上的情况，利用概率公式求解即可
27．（9分）海珠区某学校为进一步加强和改进学校体育工作，切实提高学生体质健康水平，决定推进
“一人一球”活动计划. 学生可根据自己的喜好选修一门球类项目（A ：足球，B：篮球，C：排球，
D：羽毛球，E：乒乓球），陈老师对某班全班同学的
选课情况进行统计后，制成了两幅不完整的统计图 （如图）.（1）（3分）求出该班的总人数，并将条形统计图补充完整；
（2）（3分）若该校共有学生 2500 名，请估计约有多少人选修足球？
（3）（3分）该班班委 4 人中，1 人选修足球，1 人选修篮球，2 人选修羽毛球，陈老师要从这
4 人中任选 2 人了解他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求 选出的 2 人中至
少有 1 人选修羽毛球的概率.
【答案】（1）解：该班总人数是：该班人数为12÷24%=50(人)，答：该班总人数是50人.则E类人数是：
10%×50=5(人)，
A类人数为：50−7−12−9−5=17(人)，
补全条形统计图如图所示：
（2）解：选修足球的人数： （人），
答：该校约有850人选修足球.
（3）解：用“ ”代表选修足球的1人，用“B ”代表选修篮球的1人，用“D、D”代表选修足球的2
1 2
人，根据题意画出树状图如下：由图可以看出，可能出现的结果有12种，并且它们出现的可能性相等．
其中至少1人选修羽毛球的结果有10种，
所以至少有 1 人选修羽毛球的概率
答：选出的2人至少1人选修羽毛球的概率为
【思路引导】（1）由题意，根据C类的百分数和频数可得总人数=频数 百分数=12÷24%=50(人)；E类人
数=E类的百分数 总人数=10%×50=5(人)；A类人数=总人数-其余各类人数=50−7−12−9−5=17(人)；根据计
算既可补充条形统计图；
（2）根据用样本估计总体即可求解，即选修足球的人数=学校总人数 样本中喜好足球的百分数；
（3）用“ A ”代表选修足球的1人，用“B ”代表选修篮球的1人，用“D、D”代表选修足球的2人，
1 2
根据题意画出树状图，根据树状图中的信息可知，可能出现的结果有12种，并且它们出现的可能性相等，
其中至少1人选修羽毛球的结果有10种，则至少有 1 人选修羽毛球的概率 P= = .
28．（8分）有A、B、C三把锁，其中A锁配了一把钥匙a，B锁配了一把钥匙b，C锁配了一把钥匙c，
对于每把锁，只有用所配的钥匙才能打开，请根据题意，解决下列问题．
（1）（4分）从三把钥匙中，随机选取一把，求所选钥匙恰好能打开C锁的概率．
（2）（4分）从三把锁和三把钥匙中，随机选取两边锁和两把钥匙，若用选取的钥匙开选取的锁，求
只能打开一把锁的概率．
【答案】解：从三把钥匙中，随机选取一把，所得的结果有3个，分别为a、b、c，其中能打开c锁的结果
有1种，所以所选钥匙恰好能打开c锁的概率为 从三把锁和三把钥匙中，随机选取两边锁和两把
钥匙，若用选取的钥匙开选取的锁，求只能打开一把锁的概率．解：从三把锁和三把钥匙中，随机选取两把锁和两把钥匙，所得结果共有9种，分别为：ABab，ABac，ABbc，ACab，ACac，ACbc，BCab，
BCac，BCbc；其中只能打开一把锁的有6种结果，分别为：ABac，ABbc，ACab，ACbc，BCab，BCbc所
以只能打开一把锁的概率为
（1）解：从三把钥匙中，随机选取一把，所得的结果有3个，分别为a、b、c，其中能打开c锁的结果有
1种，
所以所选钥匙恰好能打开c锁的概率为 .
（2）解：从三把锁和三把钥匙中，随机选取两把锁和两把钥匙，所得结果共有9种，分别为：ABab，
ABac，ABbc，ACab，ACac，ACbc，BCab，BCac，BCbc；
其中只能打开一把锁的有6种结果，分别为：ABac，ABbc，ACab，ACbc，BCab，BCbc
所以只能打开一把锁的概率为
【思路引导】（1）直接利用概率公式可解答。
（2）先根据题意列举出所有等可能的结果，就可求出只能打开一把锁的情况数，再利用概率公式求解即
可。
