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专题 11 四边形压轴
目 录
考情分析
考点 四边形压轴
题型01 与四边形有关的多结论问题（选/填）
题型02 与四边形有关的平移问题
题型03 与四边形有关的翻折问题
题型04 与四边形有关的旋转问题
题型05 与四边形有关的最值问题
题型06 与四边形有关的动点问题
题型07 与四边形有关的新定义问题
题型08 与四边形有关的阅读理解问题
题型09 与四边形有关的存在性问题
题型10 四边形与圆综合
题型11 四边形与函数综合
【核心提炼 · 查漏补缺】
【好题必刷 · 强化落实】
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考点要求 命题预测
在中考中，涉及四边形压轴题的相关题目单独出题的可能性还是比较大的，多
四边形压轴 以选择、填空题型出现，但是四边形结合其它几何图形、函数出成压轴题的几率特
别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点.
考点 四边形压轴
题型01 与四边形有关的多结论问题（选/填）
1．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC上的动点，且AF⊥DE，
垂足为 G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF,AM交DE于点 P，对角线BD交AF于点 H，连接
HM,CM,DM,BM，下列结论正确的是：① AF=DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形
BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF=2√2；⑤EP⋅DH=2AG⋅BH．（ ）
A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤
2．（2022·湖北黄冈·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大
1
于 AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，
2
F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC•EF＝CF•CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．
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其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2021·四川南充·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=15，BC=20，把边AB沿对角线BD平移，
点A'，B'分别对应点A，B．给出下列结论：①顺次连接点A'，B'，C，D的图形是平行四边形；②点C
到它关于直线AA'的对称点的距离为48；③A'C−B'C的最大值为15；④A'C+B'C的最小值为9√17．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023·山东日照·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在对角线BD上，过点P
作MN⊥BD，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥ AD交BD于点E，连接EN，BM，DN．
96
下列结论：①EM=EN；②四边形MBND的面积不变；③当AM:MD=1:2时，S = ；④
△MPE 25
BM+MN+ND的最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ．
题型02 与四边形有关的平移问题
1．（2023·吉林·中考真题）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合
的部分构成一个四边形EFMN．转动其中一张纸条，发现四边形EFMN总是平行四边形其中判定的依据
是__________．
【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条ABCD和EFGH（AB<BC，FG≤BC），其中
AB=EF，∠B=∠FEH，将它们按图②放置，EF落在边BC上，FG，EH与边AD分别交于点M，N．
求证：▱EFMN是菱形．
【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条ABCD不动，将平行四边形纸条EFGH沿BC或CB平移，且
EF始终在边BC上．当MD=MG时，延长CD，HG交于点P，得到图③．若四边形ECPH的周长为
4
40，sin∠EFG= （∠EFG为锐角），则四边形ECPH的面积为_________．
5
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2．（2023·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形ABCD的顶点
( 1) ( 1) ( 3)
A(√3,0),B(0,1),D(2√3,1)，矩形EFGH的顶点E 0, ,F −√3, ,H 0, ．
2 2 2
(1)填空：如图①，点C的坐标为________，点G的坐标为________；
(2)将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形E'F'G'H'，点E，F，G，H的对应点分别为E'，F'，G'，
H'．设EE'=t，矩形E'F'G'H'与菱形ABCD重叠部分的面积为S．
①如图②，当边E'F'与AB相交于点M、边G'H'与BC相交于点N，且矩形E'F'G'H'与菱形ABCD重叠部
分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围：
2√3 11√3
②当 ≤t≤ 时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
3 4
3．（2021·山东淄博·中考真题）已知：在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF垂直
的直线l（垂足为点P）沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E．
（1）当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图1所示．求证：AE=BF；
（2）当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图2所示．求∠AFQ的度数；
（3）直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图3所示．设
AB=2,BF=x,DG= y，求y与x之间的关系式．
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题型03 与四边形有关的翻折问题
1．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，将矩形ABCD (AD>AB)沿对角线BD翻折，C的对应点为点C'，
以矩形ABCD的顶点A为圆心、r为半径画圆，⊙A与BC'相切于点E，延长DA交⊙A于点F，连接EF
交AB于点G．
(1)求证：BE=BG．
(2)当r=1，AB=2时，求BC的长．
2．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A=60°，点Q为CD的中点，
P为线段AB上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB'C'Q．
(1)当∠QPB=45°时，求四边形BB'C'C的面积；
(2)当点P在线段AB上移动时，设BP=x，四边形BB'C'C的面积为S，求S关于x的函数表达式．
3．（2023·山东烟台·中考真题）【问题背景】
如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点
1
B,C为圆心，以大于 BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；
2
②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q．
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【问题提出】
在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，求线段CQ的长．
【问题解决】
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接OQ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ的长；
方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ的长．
请你任选其中一种方案求线段CQ的长．
4．（2023·四川达州·中考真题）（1）如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将△ADE沿DE翻折，
AE
使点A落在BC上A'处，若AB=6,BC=10，求 的值；
EB
（2）如图②，在矩形ABCD的BC边上取一点E，将四边形ABED沿DE翻折，使点B落在DC的延长线上
B'处，若BC⋅CE=24,AB=6，求BE的值；
（3）如图③，在△ABC中，∠BAC=45°,AD⊥BC，垂足为点D,AD=10,AE=6，过点E作
5
EF⊥ AD交AC于点F，连接DF，且满足∠DFE=2∠DAC，直接写出BD+ EF的值．
3
题型04 与四边形有关的旋转问题
1．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，在正方形ABCD中，线段CD绕点C逆时针旋转到CE处，旋转角
为α，点F在直线DE上，且AD=AF，连接BF．
(1)如图1，当0°<α<90°时，
①求∠BAF的大小（用含α的式子表示）．
②求证：EF=√2BF．
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(2)如图2，取线段EF的中点G，连接AG，已知AB=2，请直接写出在线段CE旋转过程中（0°<α<360°
）△ADG面积的最大值．
2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角
尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两
边CM，CN始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN．
【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上．求证：
∠CNM=∠CNH；
【探究二】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F．求证：△CEF∽△CNM；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别交于点E，F．
EF
连接AC交BD于点O，求 的值．
NM
3．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平行四边形 ABCD中（顶点A,B,C,D按逆时针方向排列），
4
AB=12,AD=10,∠B为锐角，且sinB= ．
5
(1)如图1，求AB边上的高CH的长．
(2)P是边AB上的一动点，点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C',D'．
①如图2，当点C'落在射线CA上时，求BP的长．
②当△AC'D'是直角三角形时，求BP的长．
4．（2022·辽宁阜新·中考真题）已知，四边形ABCD是正方形，△≝¿绕点D旋转（DE<AB），
∠EDF=90°，DE=DF，连接AE，CF．
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(1)如图1，求证：△ADE≌△CDF；
(2)直线AE与CF相交于点G．
①如图2，BM⊥ AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；
②如图3，连接BG，若AB=4，DE=2，直接写出在△≝¿旋转的过程中，线段BG长度的最小值．
题型05 与四边形有关的最值问题
1．（2023·山东济南·中考真题）在矩形ABCD中，AB=2，AD=2√3，点E在边BC上，将射线AE绕点
A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．
DG
(1)如图1，连接BD，求∠BDC的度数和 的值；
BE
(2)如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；
(3)如图3，当EA=EC时，在平面内有一动点P，满足PE=EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值．
2．（2023·江苏徐州·中考真题）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，
得AC2=a2+b2，同理BD2=a2+b2，故AC2+BD2=2(a2+b2)．
【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB=a,BC=b，则上述结论是否依然成立？请加
以判断，并说明理由．
a2+b2 c2
【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c．求证：BO2= − ．
2 4
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【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为
_______．
3．（2023·重庆·中考真题）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一动点（不与A，
D重合），连接BE，CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF．
(1)如图1，求证：∠CBE=∠CAF；
(2)如图2，连接BF交AC于点G，连接DG，EF，EF与DG所在直线交于点H，求证：EH=FH；
(3)如图3，连接BF交AC于点G，连接DG，EG，将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得
到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG，连接PQ，QF．若AB=4，
直接写出PQ+QF的最小值．
4．（2023·山东淄博·中考真题）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．
(1)操作判断
小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①．
试判断：△ACF的形状为________．
(2)深入探究
小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB=2，AD=4．
探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②．求△CMF的面积．
探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③．
求线段DH长度的最大值和最小值．
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5．（2022·江苏镇江·中考真题）已知，点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边AB、BC、CD、AD上．
(1)如图1，当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH=AB；
(2)如图2，已知AE=AH，CF=CG，当AE、CF的大小有_________关系时，四边形EFGH是矩形；
(3)如图3，AE=DG，EG、FH相交于点O，OE:OF=4:5，已知正方形ABCD的边长为16，FH长为
20，当△OEH的面积取最大值时，判断四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论．
题型06 与四边形有关的动点问题
1．（2023·海南·中考真题）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=6，
∠ABC=60°，点P为线段BO上的动点（不与点B，O重合），连接CP并延长交边AB于点G，交DA的
延长线于点H．
(1)当点G恰好为AB的中点时，求证：△AGH≌△BGC；
(2)求线段BD的长；
HP
(3)当△APH为直角三角形时，求 的值；
PC
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(4)如图2，作线段CG的垂直平分线，交BD于点N，交CG于点M，连接NG，在点P的运动过程中，
∠CGN的度数是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
2．（2023·广东广州·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是边AD上一动点（不与点A，D重合）．
边BC关于BE对称的线段为BF，连接AF．
(1)若∠ABE=15°，求证：△ABF是等边三角形；
(2)延长FA，交射线BE于点G；
①△BGF能否为等腰三角形？如果能，求此时∠ABE的度数；如果不能，请说明理由；
②若AB=√3+√6，求△BGF面积的最大值，并求此时AE的长．
3．（2023·吉林·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=4cm，点O是对角线AC的中点，动点P，Q
分别从点A，B同时出发，点P以1cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动，点Q以2cm/s的速度沿折线
BC−CD向终点D匀速运动．连接PO并延长交边CD于点M，连接QO并延长交折线DA−AB于点N，连
接PQ，QM，MN，NP，得到四边形PQMN．设点P的运动时间为x（s）（0<x<4），四边形PQMN
的面积为y（cm2）
(1)BP的长为__________cm，CM的长为_________cm．（用含x的代数式表示）
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当四边形PQMN是轴对称图形时，直接写出x的值．
4．（2022·四川资阳·中考真题）如图，平行四边形ABCD中，AB=5,BC=10,BC边上的高AM=4，点
E为BC边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF．
(1)求证：△ABM∽△EBF；
(2)当点E为BC的中点时，求DE的长；
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(3)设BE=x,△≝¿的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多
少？
题型07与四边形有关的新定义问题
1．（2023·江苏·中考真题）综合与实践
√22n+1−1
定义：将宽与长的比值为 （n为正整数）的矩形称为n阶奇妙矩形．
2n
（1）概念理解：
当n=1时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（AD）与长
(CD)的比值是_________．
（2）操作验证：
用正方形纸片ABCD进行如下操作（如图（2））：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为EF，连接CE；
第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H，展开，折痕为CG；
第三步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边AD、BC上，展开，折痕为GK．
试说明：矩形GDCK是1阶奇妙矩形．
（3）方法迁移：
用正方形纸片ABCD折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．
（4）探究发现：
小明操作发现任一个n阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点E为正方形ABCD边
AB上（不与端点重合）任意一点，连接CE，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形AGHE的周长
与矩形GDCK的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．
2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形
M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
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(1)如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A(−1,2)，B(−1,−1)，C(3,−1)，D(3,2)，在点M (1,1)，
1
M (2,2)，M (3,3)中，是矩形ABCD“梦之点”的是___________；
2 3
k
(2)点G(2,2)是反比例函数y = 图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标
1 x
是___________，直线GH的解析式是y = ___________．当y >y 时，x的取值范围是___________．
2 1 2
1 9
(3)如图②，已知点A，B是抛物线y=− x2+x+ 上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接AC，
2 2
AB，BC，判断△ABC的形状，并说明理由．
3．（2020·湖南益阳·中考真题）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直
角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：
（1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将ΔBCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对
应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？
（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5，CD=1，AD>AB，点B到直线AD
的距离为BE．
①求BE的长．
②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求ΔMNC周长的最小值．
题型08 与四边形有关的阅读理解问题
1．（2023·山西·中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形
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我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD，DA的中点，顺次连接
E,F,G,H，得到的四边形EFGH是平行四边形．
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁
(Varingnon，Pierre1654－1722)是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接AC，分别交EH,FG于点P,Q，过点D作DM⊥ AC于点M，交HG于点N．
1
∵H,G分别为AD,CD的中点，∴HG∥AC,HG= AC．（依据1）
2
DN DG 1
∴ = ．∵DG=GC，∴DN=NM= DM．
NM GC 2
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．
∵HG∥AC，即HG∥PQ，
1
∴四边形HPQG是平行四边形．（依据2）∴S =HG⋅MN= HG⋅DM．
▱HPQG 2
1 1
∵S = AC⋅DM=HG⋅DM，∴S = S ．同理，…
△ADC 2 ▱HPQG 2 △ADC
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．
依据2是指：_____________．
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(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形
EFGH为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线）
(3)在图1中，分别连接AC,BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD长
度的关系，并证明你的结论．
2．（2022·贵州黔东南·中考真题）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：
如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上．
求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．
(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC=AE，∠ADC=120°，从
而得出△ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．
请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．
(2)【拓展迁移】如图，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上．
①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由．
②若AE2+AG2=10，试求出正方形ABCD的面积．
3．（2020·湖南湘潭·中考真题）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．
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（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积．
OD S
（2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点O，请判断 、 △OBC 是否都为定值？如果是，分
OA S
△ABC
别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．
①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；
②若S =1，求正方形ABCD的面积．
△CME
题型09 与四边形有关的存在性问题
1．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在x轴上，∠AOC=60°，
OC的长是一元二次方程x2−4x−12=0的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线AD分别
交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OD向终点D运动，动点N从点
F以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．
(1)求直线AD的解析式．
(2)连接MN，求△MDN的面积S与运动时间t的函数关系式．
(3)点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q．使得以A，C，N，Q为项点的四边形是矩形．若
存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
2．（2022·四川资阳·中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4)，且与x轴交于点B(−1,0)．
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(1)求二次函数的表达式；
(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P(m,0)旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、
D．
①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；
②在①的条件下，若点M是直线x=m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、
Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2022·贵州安顺·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，AB=10，AD=8，E是AD边上的一点，连接
CE，将矩形ABCD沿CE折叠，顶点D恰好落在AB边上的点F处，延长CE交BA的延长线于点G．
(1)求线段AE的长；
(2)求证四边形DGFC为菱形；
(3)如图2，M，N分别是线段CG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN=∠DCM，设DN=x，
是否存在这样的点N，使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
4．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”
中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
(1)【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A B C O的一个顶点，OA
1 1 1 1
交AB于点E，OC 交BC于点F，则AE与BF的数量关系为_________；
1
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(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分
别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且m⊥n，若正方形ABCD边长为8，
求四边形OEAG的面积；
(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶
点E在BC的延长线上，且BC=6，CE=2．在直线BE上是否存在点P，使△APF为直角三角形？若存在，
求出BP的长度；若不存在，说明理由．
题型10 四边形与圆综合
1．（2023·广东·中考真题）综合探究
如图1，在矩形ABCD中(AB>AD)，对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A'，连接
AA'交BD于点E，连接CA'．
(1)求证：AA'⊥CA'；
(2)以点O为圆心，OE为半径作圆．
①如图2，⊙O与CD相切，求证：AA'=√3CA'；
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②如图3，⊙O与CA'相切，AD=1，求⊙O的面积．
2．（2023·上海·中考真题）如图（1）所示，已知在△ABC中，AB=AC，O在边AB上，点F为边OB中
点，为以O为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，联结EF交OD于点G．
(1)如果OG=DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；
(2)如图（2）所示，联结OE，如果∠BAC=90°,∠OFE=∠DOE,AO=4，求边OB的长；
OG
(3)联结BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO=OF，求 的值．
OD
3．（2022·浙江舟山·中考真题）如图1．在正方形ABCD中，点F，H分别在边AD，AB上，连结AC，
FH交于点E，已知CF=CH．
(1)线段AC与FH垂直吗？请说明理由．
KH AK
(2)如图2，过点A，H，F的圆交CF于点P，连结PH交AC于点K．求证： = ．
CH AC
CP
(3)如图3，在（2）的条件下，当点K是线段AC的中点时，求 的值．
PF
题型11 四边形与函数综合
1．（2023·江苏泰州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点A(m，0)，B(m−a，0)(a>m>0)的位
m m−a
置和函数y = (x>0)、y = (x<0)的图像如图所示．以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，AD
1 x 2 x
边与函数y 的图像相交于点E，CD边与函数y 、y 的图像分别相交于点G、H，一次函数y 的图像经过点
1 1 2 3
E、G，与y轴相交于点P，连接PH．
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(1)m=2，a=4，求函数y 的表达式及△PGH的面积；
3
(2)当a、m在满足a>m>0的条件下任意变化时，△PGH的面积是否变化？请说明理由；
(3)试判断直线PH与BC边的交点是否在函数y 的图像上？并说明理由．
2
2．（2023·江苏连云港·中考真题）【问题情境 建构函数】
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=4,M是CD的中点，AE⊥BM，垂足为E．设BC=x,AE= y，试
用含x的代数式表示y．
【由数想形 新知初探】
（2）在上述表达式中，y与x成函数关系，其图像如图2所示．若x取任意实数，此时的函数图像是否具有
对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像．
【数形结合 深度探究】
（3）在“x取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值y随x的增大而增大；
②函数值y的取值范围是−4√2<y<4√2；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在四
点A、B、C、D，使得四边形ABCD是平行四边形．其中正确的是__________．（写出所有正确结论
的序号）
【抽象回归 拓展总结】
（4）若将（1）中的“AB=4”改成“AB=2k”，此时y关于x的函数表达式是__________；一般地，当
k≠0,x取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直
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接写出3条即可）．
3．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数y=x2+mx+n的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；
(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度
的最大值；
(4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点
C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
形
+一一一
+边
+一一一+边
形
四边形
+边 +一一一
形
2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质
四边形 边 角 对角线 对称性
平行四边形 对边平行且相等 对角相等 两条对角线互相平分 中心对称
矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称、中心对称
菱形 对边平行且四条 对角相等 两条对角线互相垂直平分，且每 轴对称、中心对称
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边都相等 一条对角线平分一组对角
正方形 对边平行且四条 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分，且每 轴对称、中心对称
边都相等 一条对角线平分一组对角
3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
四边形 边 角 对角线
平行四边形 1）两组对边分别平行 两组对角分别相等 两组对角线互相平分
2) 两组对边分别相等
3) 一组对边平行且相等
矩形 1）平行四边形+ 一直角 平行四边形+两条对角线相等
2）四边形+三直角
菱形 1）平行四边形+一组邻边相等 平行四边形+两条对角线互相垂
直
2）四边形+四条边都相等
正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 两条对角线互相垂直平分且相等
的四边形
一、单选题
k 1
1．（2023·广西·中考真题）如图，过y= (x>0)的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交y=− 的图
x x
象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S ，S ，S ，
1 2 3
5
S ，若S +S +S = ，则k的值为（ ）
4 2 3 4 2
A．4 B．3 C．2 D．1
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2．（2023·山东泰安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A
的坐标为(−6，4)；Rt△COD中，∠COD=90°，OD=4√3，∠D=30°，连接BC，点M是BC中
点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是
（ ）
A．3 B．6√2−4 C．2√13−2 D．2
3．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，点P为线段AB上的动
点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥ AC于点M、作
PN⊥BC于点N，连接MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数
图象最低点E的坐标为（ ）
( 24) (32 24) (32 )
A．(5，5) B． 6, C． , D． ,5
5 5 5 5
二、填空题
4．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E在边CD上，BE交对角线AC于点F，
CM⊥BE于M，∠CME的平分线所在直线分别交CD，AC于点N，P，连接FN．下列结论：①
S :S =FM:MC；②CM=PN；③EN⋅CD=EC⋅CF；④若EM=1，MB=4，则PM=√2，
△NPF △NPC
其中正确的是 ．
5．（2023·浙江台州·中考真题）如图，点C，D在线段AB上（点C在点A，D之间），分别以
AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b．CF与DE交于点H，延
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长AE，BF交于点G，AG长为c．
（1）若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b，c之间的等量关系为 ．
（2）若四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为 ．
三、解答题
6．（2023·广东深圳·中考真题）（1）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，
①若BE=BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌△FCB；
②若S =20时，则BE⋅CF=______．
矩形ABCD
1
（2）如图，在菱形ABCD中，cosA= ，过C作CE⊥ AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥ AD交
3
AD于点F，若S =24时，求EF⋅BC的值．
菱形ABCD
（3）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6，AD=5，点E在CD上，且CE=2，点F为BC
上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF⋅EG=7√3时，请直接写出
AG的长．
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7．（2023·湖南·中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在
正方形ABCD的边BC上任意取一点G，以BG为边长向外作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针
旋转．
特例感知：
（1）当BG在BC上时，连接DF，AC相交于点P，小红发现点P恰为DF的中点，如图①．针对小红发
现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点恰好也是DF中点P，如图②，根据小红发现的结论，
请判断△APE的形状，并说明理由；
规律探究：
（3）如图③，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α，连接DF，点P是DF中点，连接AP，EP，AE，
△APE的形状是否发生改变？请说明理由．
8．（2023·吉林长春·中考真题）如图①．在矩形ABCD．AB=3，AD=5，点E在边BC上，且BE=2．
动点P从点E出发，沿折线EB−BA−AD以每秒1个单位长度的速度运动，作∠PEQ=90°，EQ交边AD
或边DC于点Q，连续PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．（t>0）
(1)当点P和点B重合时，线段PQ的长为__________；
(2)当点Q和点D重合时，求tan∠PQE；
(3)当点P在边AD上运动时，△PQE的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；
(4)作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF、QF，当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称
四边形时，直接写出t的取值范围．
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9．（2023·湖北襄阳·中考真题）【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，
点O又是正方形A B C O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形A B C O绕点O怎样
1 1 1 1 1 1
1
转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的 .想一想，这是为什么？（此问题不需要作
4
答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形ABCD的对角线相交于点O，点
PA
P落在线段OC上， =k（k为常数）．
PC
【特例证明】
（1）如图1，将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边AB，BC相交于点M，N.
①填空：k=______；
②求证：PM=PN．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明△PAM≅△PBN；也可
过点P分别作AB，BC的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的△PEF沿OC方向平移，判断PM与PN的数量关系（用含k的式子表示），并说
明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点N在边BC上，∠BPN=45°，延长NP交边CD于点E，若EN=kPN，求k的值．
10．（2023·山东潍坊·中考真题）［材料阅读]
用数形结合的方法，可以探究q+q2+q3+...+qn+…的值，其中0<q<1．
1 (1) 2 (1) 3 (1) n
例求 + + +⋯+ +⋯的值．
2 2 2 2
方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知
1 (1) 2 (1) 3 (1) n
+ + +⋯+ +⋯的结果等于该正方形的面积，
2 2 2 2
1 (1) 2 (1) 3 (1) n
即 + + +⋯+ +⋯=1．
2 2 2 2
1 1
方法2：借助函数y= x+ 和y=x的图象，观察图②可知
2 2
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1 (1) 2 (1) 3 (1) n
+ + +⋯+ +⋯的结果等于a ，a ，a ，…，a …等各条竖直线段的长度之和，
2 2 2 2 1 2 3 n
即两个函数图象的交点到x轴的距离．因为两个函数图象的交点(1,1)到x轴的距为1，
1 (1) 2 (1) 3 (1) n
所以， + + +⋯+ +⋯=1．
2 2 2 2
【实践应用】
2 (2) 2 (2) 3 (2) n
任务一 完善 + + +⋯+ +⋯的求值过程．
3 3 3 3
2 (2) 2 (2) 3 (2) n
方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知 + + +⋯+ +⋯=______．
3 3 3 3
2 2
方法2：借助函数y= x+ 和y=x的图象，观察图④可知
3 3
因为两个函数图象的交点的坐标为______，
2 (2) 2 (2) 3 (2) n
所以， + + +⋯+ +⋯= ______．
3 3 3 3
3 (3) 2 (3) 3 (3) 2
任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求 + + +⋯+ +⋯的值．
4 4 4 4
任务三 用方法2，求q+q2+q3+⋯+qn+⋯的值（结果用q表示）．
【迁移拓展】
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√5+1
长宽之比为 :1的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形．
2
2 4 6 2n
(√5−1) (√5−1) (√5−1) (√5−1)
观察图⑤，直接写出 + + +⋯+ +⋯的值．
2 2 2 2
11．（2023·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=−x2+bx+2（b是常
数）经过点(2,2)．点A的坐标为(m,0)，点B在该抛物线上，横坐标为1−m．其中m<0．
(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
(2)当点B在x轴上时，求点A的坐标；
(3)该抛物线与x轴的左交点为P，当抛物线在点P和点B之间的部分（包括P、B两点）的最高点与最低点
的纵坐标之差为2−m时，求m的值．
(4)当点B在x轴上方时，过点B作BC⊥ y轴于点C，连结AC、BO．若四边形AOBC的边和抛物线有两个
交点（不包括四边形AOBC的顶点），设这两个交点分别为点E、点F，线段BO的中点为D．当以点C、
E、O、D（或以点C、F、O、D）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半时，直接写出所有
满足条件的m的值．
28
