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重难点 06 四边形综合应用题型总结（平行四边形综合
应用、菱形综合应用、矩形综合应用、正方形综合应
用）
题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
本专题主要通过上一专题三角形知识的学习路径，类比学习平行四边形，构建知识树；掌握平行四边
形、矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定。清楚平行四边形、特殊平行四边形（矩形、菱形、正方
形）的特征以及彼此之间的关系。经历从平行四边形到矩形、菱形、正方形的研究过程，体验“从一般到
特殊”的研究方法；通过猜想、验证、归纳的过程，掌握矩形、菱形、正方形的性质定理，感悟类比思想；
在考试中能利用它们的性质和判定进行推理和计算，提高主动探究的习惯和意识。
模型01 平行四边形综合应用
考｜向｜预｜测
平行四边形的性质与判定该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，在各类考试中得分率较
高。掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定。清楚平行四边形、特殊平行四边形
（矩形、菱形、正方形）的特征以及彼此之间的关系。能用平行四边形的判定定理和性质定理进行几
何证明和计算是考试的重点。
答｜题｜技｜巧
1. 认真分析题目，理解题意；
2. 根据题意，利用平行四边形的判定定理和性质定理进行几何证明和计算；
3. 注意是否引入其它知识点，例如三角形、平面直角坐标系、函数等；
4. 利用相关的性质和判定进行推理和计算。
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ABCD BD ∠1=56°
1．如图，将平行四边形 沿对角线 折叠，使点 A 落在点 E 处．若 ，
∠2=40°，则∠A的度数为（ ）
A．68° B．70° C．110°D．112°
【答案】D
【详解】解：根据折叠可知，∠EDB=∠2=40°，∠EBD=∠ABD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CDB=∠ABD，
∴∠EBD=∠CDB=∠ABD，
∵∠1=∠EBD+∠CDB，
∴2∠EBD=56°，
∴∠EBD=28°，
∴∠ABD=28°，
∴∠A=180°−∠ABD−∠2=180°−28°−40°=112°，
故选：D．
1．下列四个命题中，假命题是（ ）
A．顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形
B．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【分析】此题考查了中点四边形、特殊四边形的判定等知识．根据相关知识进行逐项判断即可．
【详解】解：A. 顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；
B. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意；
C. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，选项是假命题，符合题意；
D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；
故选：C
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2．如图所示，在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点 ， ，若 ， ，
则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行四边形
的对角线互相平分得 ， ，再在 中利用勾股定理求出 ，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
3．如图，在平行四边形 中，对角线 相交于点 为 的四等分点， 为 的中点．若
，则 的长是（ ）
A．8 B．10 C．14 D．16
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是
解题关键．先根据平行四边形的性质可得 ， ，再证出 ，根据相似三角
形的性质可得 ，求出 的长，由此即可得．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ 为 的四等分点，
∴ ，
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∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
4．如图，已知平行四边形 ．
(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作出 的平分线 ．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)E为 上一点，设（1）中 的平分线 交 于点F，连接 ，若 ，判断四边形
的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)菱形，理由见解析
【分析】（1）按照作角平分线的步骤即可作图；
（2）先证明四边形 是平行四边形，然后证明 ，即可证明为菱形．
【详解】（1）解：如图： 即为所作：
（2）解：四边形 是菱形，理由如下，
证明：如图，∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，即 ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
5．如图， 与 的边 ， 在同一条直线上， ， 且 ，求证：四
边形 是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质．根据平行线的性质推出
，再证出 ，由 即可得出 ，由全等三角形的性质得
出 ，结合 ，即可得出结论．
【详解】证明：∵ ， ，
∴ ，
，
，
，
在 和 中，
；
，
，
四边形 是平行四边形．
6．如图，在 中，点 ， 分别是 ， 的中点，且 于 ， 于 ．
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求证：
(1) ；
(2)四边形 是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本
题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得到 ， ，由平行线的性质得到 ，根据全等三
角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到 ，再根据 ， 得到 ，即可得证．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
点 ， 分别是 ， 的中点，
， ，
，
， ，
，
在 和和 中，
，
；
（2）因为 ，
所以 ，
因为 ， （或因为 ，所以 ），
所以 ，
四边形 是平行四边形．
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模型02 菱形综合应用
考｜向｜预｜测
菱形的性质与判定该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在与圆结合或者利用
相似求长度、类比探究题型，具有一定的综合性和难度。掌握菱形的性质与判定，菱形的面积公式，
及一些特殊的菱形是解答本题的关键。注意菱形与平行四边形的区别，菱形与正方形的联系与区别，
利用数形结合及方程的思想解题。
答｜题｜技｜巧
1. 理解题意；
2. 根据题意，利用菱形的判定定理和性质定理进行几何证明和计算；
3. 注意菱形面积的求解，菱形与动点问题、圆及平面直角坐标系的结合；
4. 利用相关的性质和判定进行推理和计算。
1．（2023·湖南）如图，菱形 中，连接 ，若 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵四边形 是菱形
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
故选：C．
1．如图，在菱形 中， 于点E， ，则菱形 的周长是（ ）
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A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线的性质，直角三角形的性质，连接 ，根据题意可得
是直角三角形，结合菱形的性质可得 点是 的中点，求出 ，由 ，易得
点是 的中点，易证 是 的中位线，推出 ，再根据菱形的性质即可求解．
【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴
∴ 是直角三角形，
∵四边形 为菱形，
∴ 点是 的中点， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 点是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴菱形 的周长是 ．
故选：B．
2．如图， 是四边形 的对角线，点 分别是 的中点，点 分别是 的中
点．下列说法中不正确的是（ ）
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A．四边形 一定是平行四边形
B．若 ，则四边形 是矩形
C．若 ，则四边形 是菱形
D．若 ，则四边形 是矩形
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的性质以及三角形中位线定理；根据中位线的
性质得出 ， ，即可判断A，C，根据平
行线的性质以及三角形的外角的性质得出 ，即可判断D选项，B选项条件不能得出四边形
是矩形，即可求解．
【详解】解：∵点 分别是 的中点，点 分别是 的中点
∴ ，
∴四边形 一定是平行四边形，故A正确；
若 ，不能得出四边形 是矩形，故B不正确；
若 ，则 ，则四边形 是菱形，故C正确；
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵
若 ，
∴ ，
即 ，则四边形 是矩形，故D正确；
故选：B．
3．如图，四边形 是菱形， ， ，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了坐标与图形、勾股定理、菱形的性质，由勾股定理可得 ，结合菱
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形的性质可得 ， ，即可得解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵四边形 为菱形，
∴ ， ，
∴点C的坐标为 ，
故选：C．
4．如图，在 中，F是 的中点，E是线段 的延长线上一动点，连接 ，过点C作 ，
与线段 的延长线交于点D，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 ，则在点E的运动过程中，
①当 为何值时，四边形 是矩形；
②当 为何值时，四边形 是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)①2；②4
【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形的性质和菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形
的判定和性质，掌握相关判定方法和性质是解题的关键：
（1）证明 ，得到 ，即可得证；
（2）①根据四边形 是矩形，推出 ，根据含30度角的直角三角形即可得出结果；②根据
菱形的性质，推出 是等边三角形，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ．
∵F是 的中点，
∴ ．
在 和 中，
，
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∴ ．
∴ ．
又 ，即 ，
∴四边形 是平行四边形．
（2）解：①当四边形 是矩形时， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ；
②当四边形 是菱形时， ．
∵ ，
∴ ．
∴ 是等边三角形．
∴ ．
5．（1）【提出问题】数学课上，老师提出问题：如图1，在等腰 中， ，点E在
边上，以 为边作正方形 ，点F在 边上，连接 ，点P为线段 的中点，连接 ．以
点P为对称中心，画出 关于点P对称的图形，并直接写出 与 的位置及大小关系_____；
（2）【类比探究】在等边 中，D、E分别是 边上一点，且 ，以 、 为邻边作
菱形 ，再将菱形 绕C点顺时针旋转一定角度后得到新的菱形 如图2，连接 ，点P
为线段 的中点，连接 、 ，判断 与 的位置及大小关系，并证明你的结论；
（3）【迁移运用】在（2）的条件下，若 ， ，菱形 在旋转过程中，当 最小时，直接
写出 的值_________．
【答案】（1） ， ；（2） ， ；见解析；（3）
【分析】（1）延长 至G，使 ，连接 ，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，
可得 ， ，得出 ，再证得 ，即可得出答案；
（2）作 关于点P成中心对称的 ，连接 、 ，延长 交于点 ，则 ，
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， ，进而可得 ，再结合等边三角形的性质、勾股定理和全等三角形的
判定和性质即可求得答案；
（3）过点A作 于点H，连接 ， 交 于点L，利用三角形中位线定理可得
，又点H是定点，得出点P在以H为圆心， 为半径的圆上运动，可求得 的最小值，
再利用三角形面积公式即可求得答案．
【详解】解：（1）如图1，延长 至G，使 ，连接 ，
则 与 关于点P对称， 即为所求作的图形．
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵点P为线段 的中点， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）结论： ， ；证明如下：
如图2，作 关于点P成中心对称的 ，连接 、 ，延长 交于点 ，则
，
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则 ， ， ，
∴ ，
由题意可知：四边形 是菱形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ；
（3）如图3，过点A作 于点H，连接 ， 交 于点L，
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由旋转得 ， ，
∵四边形 是菱形， ，
∴ 是等边三角形， ，
∴ ，
∵ 是等边三角形， ， ，
∴同理可知：H是 的中点， ，
又∵点P为线段 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵点H是定点，
∴点P在以H为圆心， 为半径的圆上运动，
设 交 于点 ，当点P与点 重合时，
为最小值，
此时， ，
故答案为： ．
模型03 矩形综合应用
考｜向｜预｜测
矩形的性质与判定该题型近年主要以填空及综合性大题的形式出现，一般属于多解型问题，难度系数
较大。矩形或其它特殊平行四边形的折叠问题注意折叠前后对应边相等、对应角相等，在多解题型中，
准确画出折叠后的图形是我们解题的关键。结合矩形的相关性质及判定定理与推论和其它几何的相关
知识点进行解题。
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答｜题｜技｜巧
1. 确定试题考点方向，折叠、旋转、判定等；
2. 应用矩形相关的性质与判定进行解题；
3. 注意矩形的折叠、旋转、矩形与坐标系结合等题型的解法；
4. 进行相关计算解决问题.
1.（2023•安徽）如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：AF＝
CE．
【答案】过程见详解；
【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF．
又BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°．
在△ABE与△CDF中，
{∠AEB=∠CFD
∠BAE=∠DCF，
AB=CD
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE．
1．如图，矩形 中， 为 中点，连接 ．点 为点 关于 的对称点，连接 ， ，
．设 ， 的面积为 ，则 与 的函数图象大致为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 交于点 ，根据对称性，得到 垂直平分 ，进而得到 为 的中位线，得
到 ，解 ，求出 ，利用面积公式求出 关于 的表达式，进行判断即可．
【详解】解：设 交于点 ，
∵点 为点 关于 的对称点，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ 为 中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴设 ，
则： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，当 时， ，
∴ 与 的函数图象大致为：
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故选D．
2．如图，矩形 中， 是 边上一动点， ， ，若 ，那么 的长
度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是
解题的关键．连接 ，可得 ，得到 ， ，进而得 ，即
得 ，据此解答即可求解．
【详解】解：连接 ，如下图，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴可设 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选： ．
3．如图，在矩形 中， ，点 分别在边 上，将矩形 沿 折叠，
得到四边形 ，且点 恰好为边 的中点，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查折叠的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及定理是解题关键．
设 ，则 ，进而得出 ，进而在 中，
，根据勾股定理建立方程解方程，得出 ，进而根据折叠的性质以及平行线的性质
得出 则 ，进而即可求解．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
依题意， ，
设 ，则 ，
∴ ，
在 中， ，
即 ，
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解得： ，
∴ ，
∵折叠，
∴
∵
∴ ，
∴
∴ ，
∴
故选：C．
4．已知，矩形 中，点 为 边上一点．
(1)如图1，将 沿直线 翻折，点 落在点 处，当 ，且 时，求 的度数；
(2)如图2，将 沿直线 翻折，点 落在点 处，连接 ， ，若 ，且 平分
，判断 的形状，并证明；
(3)如图3， 点为 上一点，将 沿直线 翻折，点 落在点 处，若 ， ，且
，直接写出 的最短距离．
【答案】(1)
(2) 是等腰直角三角形，见解析
(3) 的最短距离是10
【分析】（1）首先由矩形得到 ，求出 ，然后由折叠得到 ，
进而求解即可；
（2）延长 交 于 ，过 作 于 ，首先由矩形得到 ，然后
得到 ，求出 ，由折叠的性质得到 ，
，得到 是等边三角形，进而求解即可；
（3）如图，连接 ，勾股定理求出 ，由折叠的性质得到： ，进而求解即
可．
【详解】（1）解：如图1， 四边形 是矩形，
，
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，
，
由折叠的性质得到： ，
，
，
，
；
（2）解： 是等腰直角三角形，理由如下：
如图所示，延长 交 于 ，过 作 于 ，
四边形 是矩形，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
由折叠的性质得到： ， ，
，
，
是等边三角形，
，
，
， ， ，
，
∴ ，
，
垂直平分 ，
，
，
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，
△ 是等腰直角三角形；
（3）解：如图，连接 ，
， ，
，
， ，
，
由折叠的性质得到： ，
，
的最短距离是10．
5．如图，在 中，过点D作 于点E，点F在边 上， ，连接 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)已知 ， 平分 ，若 ，求 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证四边形 是平行四边形，再结合 证明为矩形；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质求出 ，再用勾股定理求出 ，结合矩形的性质可得
， ，再解 求出 即可．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形
∴ ， ，
∵ ，
∴ 且
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是矩形；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形
∴ ， ，
∵ 是 的平分线， ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
模型04 正方形综合应用
考｜向｜预｜测
正方形的性质与判定该题型主要以解答题的形式出现，综合性较强，有一定难度，本专题重点分析正
方形与平面直角坐标系相结合、正方形的折叠等题型。结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合
经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题
能力。
答｜题｜技｜巧
1. 确定正方形所考查知识点；
2. 利用正方形的特殊性分析题目信息，根据已知条件得出相关结论；
3. 结合各类模型中解题技巧和方法，综合运用；
4. 结合其它几何的相关知识点进行解题；
1．（2023•湖南）如图，点 、 为正方形 边的点， ，点 、 分别为
线段 、 的中点，连接 ，若 ， ，则 的长为 ．
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【答案】8
【详解】解：连接 并延长交 于 ，连接 ，
四边形 是正方形，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
点 为线段 的中点，
，
，
，
，
在 与 中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：8．
1．如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形 ，其
中 ，连结 ，若 ，则正方形 的
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边长是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理．根据等
腰三角形的判定可得 ，再由全等三角形的性质以及等腰三角形的性质可得 是等腰直角三
角形，根据勾股定理可得 ，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
故选：A
2．如图，点 是正方形 的边 上一点，把 绕点 顺时针旋转 到 的位置．若四边
形 的面积为 ， ，则 的长为（ ）
A．6 B． C．8 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，勾股定理；正确利用旋转的性质是解题的关键．
利用旋转的性质得出四边形 的面积等于正方形 的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾
股定理得出答案．
【详解】解： 把 顺时针旋转 的位置，
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，
，四边形 的面积等于正方形 的面积等于 ，
，
，
在 中，
，
故选： ．
3．小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形 ，
点E、F、G、H分别在边 上，若 ，则 ．”为了解决这个问题，经过
思考，大家给出了以下两个方案：
方案一：过点A作 交 于点M，过点B作 交 于点N；
方案二：过点A作 交 于点M，过点A作 交边 的延长线于点N．…
(1)对小曼遇到的问题，请在两个方案中任选一个加以证明（如图（1））．
(2)如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设 （如图（2）），试探究 之间
有怎样的数量关系，并证明你的结论．
(3)如果把条件中的“ ”改为“ 与 的夹角为 ”，并假设正方形 的边长为2，
的长为 （如图（3）），试求 的长度．
【答案】(1)见解析
(2) ，见解析
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质与判定，解题关键是熟记相关性质定理
和判定定理，熟练运用它们进行推理证明和计算．
（1）画出辅助线，证明两个三角形全等即可；
（2）画出辅助线，证明两个三角形相似，再根据比例式得出关系即可；
（3）仿照（1）的方法，构建全等三角形，再根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：方案一：过点A作 交 于点M，过点B作 交 于点N；
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由正方形性质可知， ， ， ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，设交点为P，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
方案二：过点A作 交 于点M，过点A作 交边 的延长线于点N．
同方案一可知， ， ，
由平行可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
∴ ．
（2）解： ；理由如下：过点A作 交 于点M，过点B作 交 于点N；
由（1）可知，四边形 是平行四边形，
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∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：过点A作 交 于点M，过点A作 交 于点N；
∵ 与 的夹角为 ，
∴ ，
在 延长线是截取 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
解得， ，
∴ ．
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4．点 是正方形 所在平面内一点．
(1)如图 ，若 为 边上一点， 为 延长线上一点，且 ，判断 与 之间的关系，说明理
由；
(2)如图 ，若点 在边 下方，当 时，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，猜想线段
， ， 之间的数量关系，并证明；
(3)在（ ）的条件下，连接 ，延长 交 于点 .当 ， 时，求 的面积．
【答案】(1) ， ，理由见解析；
(2) ，理由见解析；
(3) 的面积为 ．
【分析】（ ）根据正方形的性质可得 ， ，然后利用“边角边”证明
和 全等，得出 ，延长 交 于点 ，进而求出 ，从而证明
即可；
（ ）设 ， 交于 ，设 ，求得 ，得到 ，求得
，根据全等三角形的性质得到 ， ，根据等腰直角三角形的性质得到
；
（ ）由（ ）知 ， ，根据相似三角形的性质得到 ，求得
，根据三角形的面积公式即可得到结论．
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【详解】（1）解： ， ，理由：
延长 交 于点 ，如图，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴
∴ ， ；
（2）解： ，理由：
设 ， 交于 ，
∵ ， ，
∴ ，
设 ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即： ；
（3）解：如图，由（ ）知 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （负值舍去），
∴ ，
∴ 的面积 ．
5．已知正方形 中， ，点 是正方形 内动点，且始终保持 ．
(1)如图1， 绕 顺时针旋转 得 ，请在图中画出 并求 的长；
(2)在（1）的条件下，如图2，当 、 、 三点共线时，求 的度数及 的长；
(3)在（1）的条件下，是否存在某时刻使得 ，请求出 的长；若不存在，请说明理由．
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【答案】(1)图见解析，
(2) ，
(3)存在，
【分析】（1）根据旋转的性质画出图形，然后根据勾股定理求解即可；
（2）首先得出 ，即可求出 的度数；过 作 于 ，得到
，然后利用勾股定理求出 ，进而求解即可；
（3）作 ，交 延长线于 ，解直角三角形求出 ， ，然后利用勾股定理求出 ，
进而求解即可．
【详解】（1）如图：
由题意得： ，
∴由勾股定理得 ；
（2）如图，过 作 于
，
∴ 是等腰直角三角形
∴
∵ ，
∴ ，
在 中，
；
（3）存在．
如图，作 ，交 延长线于 ，
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∴ ，
∴在 中，由勾股定理得，
．
1．如图，在平行四边形 中， ， ．按下列步骤作图：
①以点 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 于点 ；
②分别以点 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点 ；
③连接 并延长交 于点 ．则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的画法，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，由作图可知 是
的平分线，得 ，由平行四边形的性质得 ， ，即得 ，
得到 ，即可得 ，进而根据线段的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的
关键．
【详解】解：由题可得， 是 的平分线，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
故选： .
2．如图，点 是平行四边形 内一点， 与 轴平行， 与 轴平行 ， ，
．若反比例函数 的图象经过 、 两点，则 的值是（ ）
A．3 B．6 C． D．12
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数与几何图形的综合．作 交 的延长线于点E，作 轴于点
F，计算出 长度，证明 ，得出 长度，设出点 的坐标，表示出点 的坐标，据此计
算出 值．
【详解】解：作 交 的延长线于点E，作 轴于点F，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
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又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设点 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故选：B．
3．如图，将菱形纸片 折叠，使点 落在 边的点 处，折痕为 ，若 ， 为 的中点，
，则四边形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定；连接 ，根据菱
形的性质得出 ，则 是等边三角形，根据等边三角形的性质，勾股定理求得 的长，进而
求得 ，根据折叠的性质可得 ，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵四边形 是菱形， ，
∴ ，则 是等边三角形，
∵ ， 为 的中点，
∴ ， ，
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∴ ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
∴四边形 的面积是 ，
故选：B．
4．如图（1），在正方形 中，点 是对角线 上 一动点，点 是 上的点，且 ． 设
， ，已知 与 之间的函数关系图象如图（2）所示，点 是图象的最低点，
那么 的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握利用轴对称
得到最短距离是解题的关键．连接 ， ，则 ，得到 ，推出
，即当点 在 上时， 的值最小，此时 的值最小，根据 可
得 ，由 可设 ，则 ， ，在 中，由勾股定理求出 ，
得到 ， ， ，然后证明 ，根据相似三角形的性质解题即可．
【详解】解：由正方形的性质可知点 ， 关于直线 对称，连接 ， ，
四边形 是正方形，
， ，
又 ，
，
，
，
当点 在 上时， 的值最小，此时 的值最小，
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点 ，
，
，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理可得： ，
即 ，
解得： （负值已舍去），
， ，
，
，
，
，
，
故选：A．
5．如图， 是 的外接圆， 是 的直径，点D在 上， ，过点D作 的切线并交
的延长线于点E，且 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2) ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
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【分析】本题考查了切线的性质，弧长公式，平行四边形的判定和性质；
（1）先证明 ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得到四边形 是平行四边
形；
（2）连接 ，设 ，由切线的性质求得 ，由三角形内角和定理得到
，解得 ，利用弧长公式即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：连接 ，设 ，
由（1）得四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的长度为 ．
6．如图，在正方形 中， 为对角线 上一点（不与 、 重合），连接 ，过点 作
交边 于点 ，连接 、 ．
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(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)若 ，直接写出 的取值范围是________；
(3)延长 交射线 于点 ，请将图形补充完整，猜想线段 和线段 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)等腰直角三角形，见解析
(2)
(3)见解析， ，见解析
【分析】（1）根据四边形 是正方形，得出 ，证明 ，得
出 ．在四边形 中，证明点 四点共圆，结合 ，
根据圆周角定理得出 ，即可证明．
（2）根据 是等腰直角三角形，得出 ．当 时， 取得最小值，根据勾股定
理求出 ，此时 ．当点 与点 （或点 ）无限接近时，
趋近于 ，求出 ，即可求解．
（3）过点 作 交 于点 ，则 ，得出 ，根据平行线的性质得出
，再证明 ，从而证明 ，得出 ，再根据等腰三角形得出
，即可证明 ．
【详解】（1）解： 为等腰直角三角形，
理由如下：
四边形 是正方形，
．
，
．
．
，
．
在四边形 中， ，
点 四点共圆．
在正方形 中， ，
．
．
为等腰直角三角形．
（2）解： 是等腰直角三角形，
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．
当 时， 取得最小值．
正方形 中， ，
根据勾股定理可得 ，
此时 ．
当点 与点 （或点 ）无限接近时， 趋近于 ，
．
但 不与 、 重合，所以 ．
故答案为： ．
（3）解： ，
理由如下：
过点 作 交 于点 ，则 ，
四边形 是正方形，
．
．
．
．
又 ，
．
又 ，
．
．
．
．
又 ，
．
．
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又 ，
．
．
．
7．综合与实践
在综合实践课上，老师组织同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动，下面是同学们进行相关问题的
研究：
如图1，已知△ABC是等腰直角三角形， ，点D是 的中点，作正方形 ，使点A，C
分别在 和 上，连接 ， ．
(1)试猜想线段 与 的关系为 ；
(2)将正方形 绕点D逆时针方向旋转一定角度（旋转角度大于 ，小于或等于 ）．如图2，在旋
转过程中，请判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
(3)若 ， ．
①将正方形 绕点Ｄ逆时针方向旋转到如图3位置，即A、B、G三点在一条直线上，且点B在A、G
之间，求 的长；
②在图2中，若 ，过点G作 中 边的高线，与 的延长线交于点P，请直接写出
的长．
【答案】(1) ，
(2)成立，见解析
(3)① ，②10
【分析】（1）如图1，延长 交 于 ，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出
，进而利用全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理得出结论；
（2）如图2，连接 ，延长 交 于点K，交 于点O，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质
可以得出 ，进而利用全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理得出结论；
（3）①如图3，连接 ，先利用等腰直角三角形的性质得到 ，利用勾股
定理列方程 ，进而解方程即可；
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②如图2，过点G作 中 边的高线，与 的延长线交于点P，过A作 于 ，先根据等
腰直角三角形和正方形的性质得到 ， ，设 ，由勾股定理可得
，然后解方程得到 ， ，证明 ，得 ，
进而求得 即可求解．
【详解】（1）解： ， ．
理由：如图1，延长 交 于 ．
是等腰直角三角形， ，点 是 的中点，
， ，
．
四边形 是正方形，
．
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
．
故答案为： ， ；
（2）解：成立，连接 ，延长 交 于点K，交 于点O，
在 中， ，点D是 的中点，
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∴ ， ，
∴ ，
又∵四边形 是正方形，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：①如图，连接 ，
∵ 是等腰直角三角形， ，点 是 的中点， ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ， ，
∴ ，
由（2）得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
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②如图，过点G作 中 边的高线，与 的延长线交于点P，过A作 于 ，
∵ 是等腰直角三角形， ，点 是 的中点， ，
∴ ，
∵四边形 是正方形， ，
∴ ，
设 ，则 ，
由勾股定理可得： ，
∴ ，
解得： ，即 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
1．如图，矩形 的对角线相交于点 ，点 分别是边 上的点，且 ．若 ，
，则 的值是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，同弧或等弧所对圆周角相等，掌握相似三角
形的判定和性质是解题的关键．
根据矩形的性质得到 ，根据 ，得到点 四点共圆，则
，可证 ，得到 ，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点 四点共圆，
如图所示，连接 ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C ．
2．如图， 是矩形 的对角线， 是 边上的中点，连接 ， 于点 ，连接 ，分
析下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的结论有
（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握学生三
角形的判定和性质是解题的关键．
过点 作 ，交 于 ，得到 ， ，可证明 ；
由 得到 ，得到 ，即可得到 ；由四边形 是平行四边
形得到 垂直平分 ，继而得到 ，条件不足以证明 ；设 ， ，由
得到 ，即 ，得到 ．即可得到答案．
【详解】解：如图过点 作 ，交 于 ，
四边形 是矩形，
， ， ，
，
于点 ，
，
，
故①正确；
，
，
，
，
，
，
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故②正确；
， ，
四边形 是平行四边形， ，
，
，
，
于点 ， ，
，
垂直平分 ，
，
条件不足以证明 ，
故③错误；
设 ， ，则 ，
四边形 是矩形，
,
,
于点 ，
,
,
，
，即 ，
，
，
即 ，
故④正确；
综上正确的是①②④，有 个．
故选：C．
3．如图，在正方形 中，E，F是对角线 上两点， ， 的延长线分别交
于点G，H，则 的值为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质，结合正方形的
性质、全等三角形的判定与性质求出 ，进而判定 ，再根据相似三角形的性质及平
行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
3．如图，在边长为3的正方形 的外侧，作等腰三角形 ， ．若F为 的中点，连
接 并延长，与 相交于点G，则 的长为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了正方形的性质，作 ，由边长为3的正方形 ，等腰三角形 ，
．F为 的中点，得 ． ， ，得
，H是 的中点，得 ， ， ，即可得
．
【详解】解：作 交 于I，
边长为3的正方形 ，等腰三角形 ， ．F为 的中点，
． ， ，
，
， ，
H是 的中点，
，
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， ， ，
．
故选：C
4．【问题初探】
（1）李老师给出如下问题：如图1，在平行四边形 中， ，且 ，点E是 的中点，
点F为对角线 上的点，且 ，连接线段 ，若 ，求 的长．
小鹏同学考虑到点E是 的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以
想到连接 ，与 交于点O．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题．
【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答．
（2）如图2，在 中， 平分 ，过点A作 延长线的垂线，垂足为点D， ，求证：
．
【学以致用】
（3）如图3，在 中， ，点D在 上， ，点E，F分别是 ， 的中点，连接
并延长，与 的延长线交于点G，连接 ，若 ，求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）连接 ，交 于点O，易得 为 的中位线，根据平行四边形的性质，结合勾股定
理求出 的长，即可求出 的长；
（2）延长 交 的延长线于点G，证明 ，得到 ，取 的中点F，连接
，证明 ，得到 ，进而得到 ，即可得证；
（3）连接 ，取 中点H，连接 ，根据三角形的中位线定理，推出 是等边三角形，进
而推出 是等边三角形，得到 ，进而得到 ，等边对等角求出 ，进而推
出 ，即可得证．
【详解】解：（1）连接 ，交 于点O，
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∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图，延长 交 的延长线于点G，
∵ 平分 ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
取 的中点F，连接 ，则有 ，且 ，
∴ ，
∵ ，
在 和 中，
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∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（3）如图，连接 ，取 中点H，连接 ，
∵E，F分别为 和 中点，
∴ 和 分别为 和 的中位线，
∴ 且 ， 且 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
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5．如图，菱形 的对角线 与 相交于点 ， 的中点为 ，连接 并延长至点 ，使得
，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ，求菱形 的面积．
【答案】(1)见解析．
(2)96．
【分析】（1）根据对角线互相平分可得到四边形 四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相
垂直，可得到一个角是直角，即可证明；
（2）由 易得 ，由勾股定理可得 的长度，再根据菱形的面积等于对角线之积的一半即可
得到答案．
【详解】（1）证明：∵ 的中点为 ，
∴ ，
又 ，
∴四边形 是平行四边形，
在菱形 中， ，
∴ ，
又四边形 是平行四边形，
∴四边形 是矩形．
（2）解：由（1）可知四边形 是矩形，
∴
∵ ， ，
∴ ，
在菱形 中， ，
又 ，
∴ ，
在 中，
∴ ，
即 ，
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∴ ，
∴ ．
即菱形 的面积为96．
6．如图，菱形 的边长为5， ， ，垂足分别为点 ，连接 ，已知 ．
(1)求证： ；
(2)求 的长；
(3)连接 ，与 相交于点 ，将图1中的 绕点 旋转，当点 落在线段 上时，如图2，点
在线段 上，连接 ，与 相交于点 ， ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由垂直得到 ，由四边形 是菱形得到 ，
，即可证明 ；
（2）连接 ， 相交于点O，求出 ，由（1）可知， ，得到 则
，证明 ，则 ，即可得到答案；
（3）作 交 于点V，作 于点W，作 于点Q，则 ，得到
， ，由 ， ，由
得到 ，则 ,得到 ，即可
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得到 ．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴
（2）如图，连接 ， 相交于点O，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ,
∵
∴
∴在 中，
在 中， ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）可知，
∴
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∴ ，
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∴ ，
∴
（3）如图，作 交 于点V，作 于点W，作 于点Q，
∴ ，
∴ ， ，
由（2）可知， ，
∴ ，
∴
由 得到，
，
∴ ,
∴ ，
∴ ,
∴ ，
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∴
6．【特例感知】
（1）如图1，在正方形 中，点E是 边上一点，将 E沿 翻折，点 的对应点为 ，延长
交 边于点 ，连接 ．求证： ．
【类比迁移】
（2）如图2，在矩形 中， ，点 是 边上一点，将 沿 翻折，点 的对应点
恰好落在 边上，求 的度数．
【拓展应用】
（3）在菱形 中， ，边长为 ，点 是 边上一点，点 是 边上一点，将 沿
翻折，点 的对应点 恰好落在菱形 的一条边上，且 ．
①如图3，当点 落在 边上时，求 的长；
②当点 落在 边上时，请直接写出 的长．
【答案】（1）见解析，（2） ，（3）①4；② ．
【分析】（1）运用翻折变换的性质、正方形的性质及全等三角形的判定即可证得结论；
（2）过点 作 于点 ，利用矩形的性质和判定及翻折变换的性质即可求得答案；
（3）①利用等边三角形的判定和性质即可求得答案；
②过点 作 于点M，过点 作 于点 ，运用勾股定理可得 ，
根据菱形性质及翻折可得： ， ， ，再运用勾股定理即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵将 沿 翻折到 处，四边形 是正方形，
∴ ，
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∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
（2）解：过点 作 于点 ，如图，
则 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
由翻折得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：①当点 落在 边上时，如图，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
②当点 落在 边上时，如图，过点 作 于点 ，
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∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
由翻折得： ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
即 ．
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