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第 23 讲 特殊四边形-矩形
目 录
题型01 利用矩形的性质求角度
题型02 利用矩形的性质求线段长
题型03 利用矩形的性质求面积
题型04 求矩形在坐标系中的坐标
题型05 根据矩形的性质证明
题型06 矩形的判定定理的理解
题型07 添加一个条件使四边形是矩形
题型08 证明四边形是矩形
题型09 根据矩形的性质与判定求角度
题型10 根据矩形的性质与判定求线段长
题型11 根据矩形的性质与判定求面积
题型12 根据矩形的性质与判定解决多结论问题
题型13 与矩形有关的新定义问题
题型14 与矩形有关的规律探究问题
题型15 与矩形有关的动点问题
题型16 矩形与一次函数综合
题型17 矩形与反比例函数综合
题型18 矩形与二次函数综合
题型19 与矩形有关的折叠问题
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题型 01 利用矩形的性质求角度
1．（2023·山东临沂·统考二模）两个矩形的位置如图所示，若∠1=α，则∠2=（ ）
A．α−90° B．α−45° C．180°−α D．270°−α
2．（2023·广东深圳·校考一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知
∠ACB=25°，则∠AOB的大小是（ ）
A．130° B．65° C．50° D．25°
3．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）如图，在矩形ABCD中，E、F为AC上一点，AE=AD，
AF=CE，连接DE、BF，若∠CAD=α，则∠BFE的度数为（ ）
3 1
A．90°− α B．90°− α C．α D．90°−α
2 2
4．（2023·重庆九龙坡·重庆市杨家坪中学校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，以AB为
边在矩形内作等边△ABE，延长BE交AD于点F，连接CF，则∠DFC的度数为（ ）
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A．60° B．70° C．75° D．80°
题型 02 利用矩形的性质求线段长
5．（2022·广东广州·执信中学校考二模）如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC、
BC于点E、O、F，若AB=12，BC=16，则EF的长为（ ）
A．8 B．15 C．16 D．24
6．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，两点E，F分别在矩形ABCD的AD和CD边上，AB=6，AD=8，
∠BEF=90°，且BE=EF，点M为BF的中点，则ME的长为（ ）
9 3
A． B．2√5 C．3√2 D． √10
2 2
7．（2022·江西·模拟预测）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE//AC，CE//BD．若
AC=10，则四边形OCED的周长是 ．
8．（2023·山东枣庄·校联考二模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动
点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 ．
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题型 03 利用矩形的性质求面积
9．（2023·浙江温州·模拟预测）如图是一个由5张纸片拼成的 ▱ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，
其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S ，另两张直角三角形纸片的面积都为S ，中间一张矩形纸片
1 2
EFGH的面积为S ，FH与GE相交于点O．当△AEO,△BFO,△CGO,△DHO的面积相等时，下列结论
3
一定成立的是（ ）
A．S =S B．S =S C．AB=AD D．EH=GH
1 2 1 3
10．（2022·内蒙古包头·包头市第二十九中学校考三模）如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边
AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，△APC的面积S（cm2）随运动时间t
（s）变化的函数图象如图2所示，则AB的长是（ ）
3
A． cm B．3cm C．4cm D．6cm
2
11．（2022·广东广州·统考二模）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作OE⊥BD，交
AB于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F，AC=10，EF=1.05，OE=3.75，则矩形ABCD的面积为
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．
12．（2022·四川成都·统考二模）已知矩形的长和宽分别为a和b，如果存在另外一个矩形，它的周长和面
积分别是已知矩形的三分之一，则a，b应该满足的条件为 ．
13．（2022·广东阳江·统考一模）已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，
BE，CE的中点．
（1）求证：△BGF≌△FHC；
（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．
题型 04 求矩形在坐标系中的坐标
14．（2023·天津·模拟预测）在平面直角坐标系中，长方形ABCD如图所示，
A(−6,2),B(2,2),C(2,−3)，则点D的坐标为（ ）
A．(−6,3) B．(3,−6) C．(−6,−3) D．(−3,−6)
15．（2022·河南安阳·统考一模）如图，矩形ABCD的顶点A(1,0)，D(0,2)，B(5,2)，将矩形以原点为旋
转中心，顺时针旋转75°之后点C的坐标为（ ）
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A．(4,−2) B．(4√2,−2√2) C．(4√2,−2) D．(2√6,−2√2)
16．（2020·吉林·统考一模）如图，矩形OABC的顶点A在x轴上，点B的坐标为（1，2）．固定边OA，
向左“推”矩形OABC，使点B落在y轴的点B'的位置，则点C的对应点C'的坐标为（ ）
A．（﹣1，√3） B．（√3，﹣1） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1）
17．（2022·辽宁铁岭·统考一模）如图，点D是矩形ABCO的对称中心，点A(6,0)，C(0,4)，经过点D的
反比例函数的图象交AB于点P，则点P的坐标为 ．
题型 05 根据矩形的性质证明
18．（2023·山东德州·统考三模）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE=BE，AC与BD相交于点
O．BE与AC相交于点F．
(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；
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(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由;
(3)若OF=3，EF=2，求DE的长度．
19．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：
尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），
(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
20．（2022·湖南株洲·统考一模）如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE∥
BD，交CB的延长线于点E．
(1)求证：AE=AC；
3
(2)若cos∠E= ，CE=12，求矩形ABCD的面积．
5
21．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）如图，四边形ABCD为矩形，AC为矩形的一条对角线．
(1)用尺规完成以下基本作图：在AB的左侧作∠EAB=∠ACD，射线AE与CB的延长线交于点E．连接
DE与AB交于点F；（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）
(2)小亮判断点F为线段DE的中点．他的证明思路是：利用矩形的性质，先证明△AEC为等腰三角形，从
而得到点B为EC的中点，再利用三角形全等，得到点F为DE的中点．请根据小亮的思路完成下面的填空：
证明：∵四边形ABCD为矩形
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∴AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，AB∥DC，
∵AB∥DC，
∴①___________，
∵∠EAB=∠ACD，
∴∠EAB=∠BAC，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°，∠EAB+∠AEB=90°，
∴②___________，
∴AE=AC，
∵∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴③___________，
∵AD=BC，
∴AD=BE，
∵∠BAD=∠ABE=90°，∠AFD=∠BFE，
∴④___________(AAS)，
∴EF=FD，
∴点F为ED的中点．
题型 06 矩形的判定定理的理解
22．（2023·山东德州·统考二模）要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（ ）
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是否是90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
23．（2022·河南新乡·校考一模）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形
的对角线一定满足的条件是（ ）
A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直平分
24．（2022·江苏南京·南京市第一中学校考一模）已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列命
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题：
①若AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形；
②若OA＝OC，∠ABC＝∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形；
③若AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，则四边形ABCD是矩形；
④若AB＝CD，OA＝OC，∠ABC＝90°，则四边形ABCD是矩形．
其中所有真命题的序号是 ．
题型 07 添加一个条件使四边形是矩形
25．（2023·河北沧州·校考一模）在下列条件中，能够判定 ▱ABCD为矩形的是（ ）
A．AB=AC B．AC⊥BD C．AB=AD D．AC=BD
26．（2022·北京西城·统考一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，
且DG=EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 ．（写出一个即
可）
27．（2022·北京海淀·北京市十一学校校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC中点O
作直线分别交BC，AD于点E，F，只需添加一个条件即可证明四边形AECF是矩形，这个条件可以是
（写出一个即可）．
题型 08 证明四边形是矩形
28．（2023·广东汕头·校考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的
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中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．
(1)求证：△AOE≌△DFE；
(2)判定四边形AODF的形状并说明理由．
29．（2023·湖北鄂州·校考模拟预测）如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC
的中点．
(1)求证：BE=DF；
AC
(2)设 =k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．
BD
30．（2023·山东青岛·一模）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点
F，延长EC至点G，使CG=CE，连接DG、DE、FG．
(1)求证： ABE≌ FCE；
(2)若AD=△2AB，求△证：四边形DEFG是矩形．
31．（2022·河南郑州·校联考一模）如图，在 ▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的
延长线于点F，延长ED至点G，使DG=DE，分别连接AE，AG，FG．
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（1）求证：△BCE≅△FDE；
（2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．
题型 09 根据矩形的性质与判定求角度
32．（2021·陕西西安·西北工业大学附属中学校考二模）如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形
ABCDE和矩形ABFG，则∠EAG＝ ．
33．（2020·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED．
（1）求证：BE=BC．
（2）若BE=DC+DE，求∠BEC的度数．
34．（2023·广东珠海·珠海市九洲中学校考一模）已知：以O为圆心的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C
为A´B上一动点，射线AC交射线OB于点D，过点D作OD的垂线交射线OC于点E，连接AE．
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(1)如图1，当四边形AODE为矩形时，求∠ADO的度数；
(2)当扇形的半径长为10，且AC=12时，求线段DE的长；
(3)连接BC，试问：在点C运动的过程中，∠BCD的大小是否确定？若是，请求出它的度数；若不是，请
说明理由．
题型 10 根据矩形的性质与判定求线段长
35．（2022·河南商丘·校考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=√2，点E为射线AD上的动点
（不与点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为A'，连接A'B，A'D，A'C，当△A'BC是以BC为
底边的等腰三角形时，AE的长为 ．
36．（2022·陕西西安·校联考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，E在AD边上，将△ABE沿BE折叠，点
A恰好落在矩形ABCD的对称中心O处，若AB=4，则BC的长为 ．
37．（2020·四川南充·统考一模）如图， ▱ABCD的对角线AC,BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，
延长CB到点F，使BF=CE，连接AF,OF．
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(1)求证：四边形AFED是矩形．
(2)若AD=7,BE=2,∠ABF=45°，试求OF的长．
题型 11 根据矩形的性质与判定求面积
38．（2022·内蒙古赤峰·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，
AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
39．（2023·江苏徐州·统考一模）如图， ABC的边BC长为4cm．将 ABC平移2cm得到 A′B′C′，且
BB′⊥BC，则阴影部分的面积为 cm△2． △ △
40．（2023·江苏常州·常州实验初中校考一模）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的
中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90°
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(1)求证：四边形ABDF是矩形；
(2)若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S．
41．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，
BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE=15°，求∠DOE；
（3）在（2）的条件下，若AB=2，求△BOE的面积．
题型 12 根据矩形的性质与判定解决多结论问题
42．（2019·广东·统考一模）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点
落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP
交AD于Q点．给出以下结论：
①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；
③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC；
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
43．（2018·山东临沂·校联考三模）如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°
，则下面的结论：①ΔODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S =S ，其中正确
ΔAOE ΔCOE
结论有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
44．（2021·广东东莞·校考一模）如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四
边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：
①AC＝FG；②S FAB：S CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ•AC，其中正确的是（ ）
四边形
△
A．①② B．①③④ C．①②③ D．①②③④
45．（2019·广东深圳·统考二模）如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，
点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、
AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为
15；③当P在运动过程中，CD的最小值为2√34﹣6；④当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
46．（2023·湖北黄冈·三模）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点
O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：
4√3
①GF∥EC；②AB= AD；③GE=√6DF；④OC=2√2OF；⑤ COF∽ CEG．其中正确的是（ ）
5
△ △
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A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
题型 13 与矩形有关的新定义问题
47．（2020·广东深圳·统考二模）定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴
围成的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点，这个矩形叫做和谐矩形．已知点P(m，n)是抛物线y＝x2+k
上的和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（ ）
A．﹣12 B．0 C．4 D．16
48．（2023·陕西咸阳·统考二模）【定义新知】
如图1，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，点A的对称点F落在BC边上，再将纸片沿CE折叠，点D的对称
点也与F重合，折叠后的两个三角形拼合成一个三角形(△BCE)，这个三角形称为叠合三角形．类似地，
对多边形进行折叠，若折叠后的图形恰好可以拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，则这样的矩形称为叠合
矩形．
(1)图1中叠合△BCE的底边BC与高EF的长度之比为_______；
(2)将▱ABCD纸片按图2中的方式折叠成一个叠合矩形MNPQ，若AD=13，MN=5，求叠合矩形MNPQ
的面积；
【问题解决】
(3)已知四边形ABCD纸片是一个直角梯形，满足AB∥CD，AB⊥BC，AB 点F为BC的中点，
EF⊥BC，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．
①如图3，若线段EF是其中的一条折痕，请你在图中画出叠合正方形的示意图，并求出AB和CD的长；
②如图4，若线段EF是叠合正方形的其中一条对角线，请你在图中画出叠合正方形的示意图，并求出此时
AB和CD的长．
49．（2023·广东广州·校考一模）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M
上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
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(1)如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A(−1,2)，B(−1,−1)，C(3,−1)，D(3,2)，在点M (1,1)，
1
M (2,2)，M (3,3)中，是矩形ABCD“梦之点”的是___________；
2 3
k
(2)点G(2,2)是反比例函数y = 图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标
1 x
是___________，直线GH的解析式是y =___________．当y >y 时，x的取值范围是___________．
2 1 2
1 9
(3)如图②，已知点A，B是抛物线y=− x2+x+ 上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接AC，
2 2
AB，BC，判断△ABC的形状，并说明理由．
50．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图①，在矩形ABCD中，点F是矩形边上一动点，将线
段BF绕点F顺时针旋转一定的角度，使得BF与矩形的边交于点E（含端点），连接BE，把△BEF定义为
“转角三角形”．
(1)由“转角三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“转角△BEF”一定是一个___三角形；
(2)如图②，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，当点F与点C重合时，画出这个“转角△BEF″，并求出
点E的坐标；
(3)如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，当“转角△BEF″面积最大时，求点F的坐标．
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题型 14 与矩形有关的规律探究问题
51．（2022·河北唐山·统考二模）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP B的顶点A、B分别
1
k
在x轴、y轴上，点P 在反比例函数y= (x>0)的图象上，过P A的中点B 作矩形B A A P ，使顶点P
1 x 1 1 1 1 2 2
落在反比例函数的图象上，再过P A 的中点B 作矩形B A A P ，使顶点P 落在反比例函数的图象上，
2 1 2 2 1 2 3 3
…，依此规律可得：
（1）点P 的坐标为
2
（2）作出矩形B A A P 时，落在反比例函数图象上的顶点P 的坐标为 ．
18 17 18 19 19
52．（2018·广东深圳·统考一模）如图：顺次连接矩形AB C D 四边的中点得到四边形AB C D，再顺次
1 1 1 1 2 2 2 2
连接四边形AB C D 四边的中点得四边形AB C D，…，按此规律得到四边形AB C D．若矩形
2 2 2 2 3 3 3 3 n n n n
AB C D 的面积为24，那么四边形AB C D 的面积为 ．
1 1 1 1 n n n n
题型 15 与矩形有关的动点问题
53．（2023·江苏徐州·校考三模）如图，矩形ABCD的宽为10，长为12，E是矩形内的动点，AE⊥BE，
则CE最小值为（ ）
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A．9 B．8 C．7 D．6
54．（2022·江苏无锡·统考二模）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别AD、DC边上
的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为 ．
55．（2022·安徽·校联考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E为线段CD的中点，
动点F从点C出发，沿C→B→A的方向在CB和BA上运动，将矩形沿直线EF折叠，使得点C的对应点
为点C'．则：
（1）点F在运动过程中，BC'的最小值为 ；
（2）点F在BA上运动，点C'恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），点F运动的路程为
．
56．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知：如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P是AD的中
点，点F是AB上的动点，连接FP并延长交CD的延长线于点M，过点P作PE⊥FM，交直线BC于点E，
连接EF．
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(1)求tan∠PEF的值；
(2)如图2，连接EM，点Q是EM的中点．
①当∠AFP=2∠BEF时，求PQ的长；
②点F从A点运动到B点的过程中，求点Q经过的路径长．
57．（2022·广东湛江·岭师附中校联考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，AD=5cm，动点
P、Q分别从点A、C 同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速
度向点D移动．设移动的时间为ts．
(1)当t为何值时，P、Q两点的距离最小？最小距离是多少？
(2)当t为何值时，P、Q两点的距离是10cm ？
题型 16 矩形与一次函数综合
58．（2022下·贵州安顺·八年级统考期末）如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(−4，0)，
与y轴交于点B(0，3)，若点P为线段AB上一动点，过P分别作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，则
线段EF的最小值为（ ）
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A．√5 B．2.4 C．2.5 D．3
59．（2020·江苏无锡·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图像经过点A（-2，
0），B（0，-2√3）、过D（1，0）作平行于y轴的直线l；
（1） 求一次函数y＝kx+b的表达式；
1
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则 PB+PD的最小值为____ ____.
2
（3）M（s，t）为直线l上的一个动点，若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，
则求M，N点的坐标；
60．（2021上·陕西铜川·八年级统考期末）如图1．在平面直角坐标系中，一次函数y=−√3x+2√3的图
象与x轴，y轴分别交于点A和点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A；过点C作CB⊥y轴，垂足为点
C，两条垂线相交于点B．
（1）线段AC的长为______，∠ACO=______度．
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（2）将图2中的△ABC折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交
AC于点E，连接CD，如图②，求线段AD的长；
（3）点M是直线AC上一个动点（不与点A、点C重合）．过点M的另一条直线MN与y轴相交于点N．
是否存在点M，使△AOC与△MCN全等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
题型 17 矩形与反比例函数综合
61．（2023·山东威海·统考一模）如图，矩形OABC的两边OA,OC在坐标轴上，且OC=2OA，M，N分
别为OA,OC的中点，AN与BM交于点E，且四边形EMON的面积为1，则经过点B的反比例函数的解析
式为 ．
62．（2023·河南周口·校联考二模）如图，一次函数y=mx+n的图象与y轴交于点B(0,−2)，与x轴交于
(3 ) k
点E ,0 ，与反比例函数y= （x>0）的图象交于点D．以BD为对角线作矩形ABCD，使顶点A，C
2 x
落在x轴上（点A在点C的左边）．
(1)求一次函数的表达式及反比例函数的表达式．
(2)求点C的坐标．
k
63．（2023·四川成都·统考一模）在平面直角坐标系中，点A坐标为(4,3)，反比例函数y= (k>0)的图象
x
分别交矩形ABOC的两边AC，AB于点E，F（点E，F不与点A重合），沿着EF将△AEF折叠，点A落
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在点D处．
(1)如图1，当点E为AC中点时，求点F的坐标，并直接写出EF与对角线BC的关系；
(2)如图2，当点E位置发生改变时，EF与BC是否存在（1）中的位置关系，请说明理由；
(3)如图3，连接CD，当CD平分∠ACO时，求出此时反比例函数的表达式．
3
64．（2022·广东广州·华南师大附中校考三模）如图，已知直线y=- x上一点B，由点B分别向x轴、y轴
4
作垂线，垂足为A、C，若A点的坐标为(0，5)．
(1)若点B也在一反比例函数的图象上，求出此反比例函数的表达式．
(2)若将 ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，求点E的坐标．
65．（2△022·黑龙江绥化·校考一模）如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反
k
比例函数y＝ （k＞0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在y轴的右侧，且满足S PCO＝
x
△
3
S OABC．
8 矩形
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(1)若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
(2)连接PO、PC，求PO+PC的最小值；
(3)若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q
的坐标．
66．（2022·河南濮阳·统考一模）如图，矩形ABCD放置在平面直角坐标系中，点A、点B在x轴的正半轴
k
上，且AB=2单位长，BC=6单位长（单位长指坐标长度），反比例函数y= (x>0)与AD、BC分别相交
x
于点E、F．
(1)若点A的横坐标为2，且E是AD的中点，求k；
(2)在（1）确定的反比例函数关系式下，推动矩形ABCD在x轴的正半轴上移动，当
S =S 时，求点A的坐标．
四边形ABFE 四边形CDEF
题型 18 矩形与二次函数综合
67．（2023·广东汕尾·统考二模）如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(3，0)，点C的坐标为
(0，6)，点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB
以每秒2单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止，设运动时间为t秒．
(1)当t=2时，填空：线段AP= ，BQ= ；
(2)当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；
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(3)当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问
1
该抛物线上是否存在点D，使∠MQD= ∠MEQ？若存在，求出抛物线的解析式并直接写出所有满足条
2
件的D的坐标；若不存在，说明理由．
2√3
68．（2023·广东河源·统考三模）如图1，抛物线y= x2+bx+c过B(3,0)，C(0,−3√3)两点，动点
3
M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC方向运动，设运动的时间为t秒．
2√3
(1)求抛物线y= x2+bx+c的表达式；
3
(2)如图1，过点M作DE⊥x轴于点D，交抛物线于点E，当t=1时，求四边形OBEC的面积；
(3)如图2，动点N同时从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OB方向运动，将△BMN绕点M逆时针
旋转180°得到△GMF．
①当点N运动到多少秒时，四边形NBFG是菱形；
②当四边形NBFG是矩形时，将矩形NBFG沿x轴方向平移使得点F落在抛物线上时，直接写出此时点F
的坐标．
69．（2022·福建福州·校考模拟预测）如图，矩形ABCD中，点P在边CD上，并且与C、D不重合，过点
A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ的中点．
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(1)求证：△ADP∽△ABQ；
(2)若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，
①点M恰好在线段AB上时，试求x的值；
②设MB2= y，试求y与x的函数关系式，并求线段BM长的最小值．
70．（2023·吉林长春·吉林省第二实验学校校考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+ax+b经
过点A(−1,0)、B(3,0)．点P是该抛物线上一点，横坐标为m．
(1)求a，b的值；
(2)当m≠0时，设抛物线与y轴交于点C，求满足S =S 的所有点P的坐标；
△PAB △ABC
(m )
(3)以E ,−1 为对称中心构造矩形PQMN,PQ⊥x轴．
2
①当点P在抛物线对称轴右侧且矩形PQMN的边与抛物线有且仅有两个交点时，求抛物线在矩形内部的图
象（包括边界）最高点与最低点纵坐标的差h(h>0)与m的函数关系式；
( m)
②已知点F 0,− ，以P、Q、M、F为顶点的四边形面积记作S ，以P、Q、N，F为顶点的四边形面积
2 1
记作S ，矩形PQMN的面积记作S，当抛物线在矩形内部的图象（不包括边界）从左至右逐渐上升或逐渐
2
3
下降且S +S = S时，直接写出m的取值范围．
1 2 2
71．（2023·安徽宿州·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）
经过点(0,−4)，其对称轴是直线x=1．点A在拋物线的图象上，其横坐标为m，点B，C的坐标分别为
(m,2−m)，(1−m,2−m)，点C在点B左侧，点D在坐标平面内，且四边形ABCD为矩形．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点A，B重合时，求m的值；
(3)当该抛物线在矩形ABCD内部的部分图象对应的函数值y随x的增大而减小时，求出m的取值范围．
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题型 19 与矩形有关的折叠问题
72．（2023·山西吕梁·统考三模）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，点E是AB上一点，点F
是BC上一点，将矩形沿EF折叠，使点B的对应点G正好落在AD的中点处，则AE的长为（ ）
5 5
A． B． C．2 D．3
6 3
73．（2020·河南·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是BC的中点，连结AE，P是
边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上，且对应点为D'，当△APD'是直角三角
形时，PD的长为 ．
74．（2023·安徽·校联考二模）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点B，C分别落在点B ,C 的位置．
1 1
若∠1=α，则∠2=（ ）
A．α B．α−30° C．30°−2α D．2α−90°
75．（2023·陕西榆林·校考三模）如图是一张矩形纸片ABCD,AB=4cm，点E为边BC上一点，且EC=2，
连接AE，若将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B 处，则AD的长为（ ）
1
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A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
76．（2023·广东河源·二模）如图，矩形ABCD中，BC<2AB，点M是BC的中点，连接AM．将
△ABM沿着AM折叠后得△APM，延长AP交CD于E，连接ME．
(1)求证：△EMC∽△ABM；
CE 3
(2)设 =λ，若sin∠EAM= ，求λ的值．
DE 5
77．（2022·上海浦东新·校考模拟预测）如图1，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为
(−4，0)，点C的坐标为(0，m)(m>0)，点D(−1，m)在边BC上，将△ABD沿AD折叠压平，使点B
落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．
(1)如图2，当m=3时，抛物线过点A、E、C，求抛物线解析式；
(2)如图3，随着m的变化，点E正好落在y轴上，求∠BAD的余切值；
(3)若点E横坐标坐标为1，抛物线y=ax2+2ax+10(a≠0且a为常数)的顶点落在△ADE的内部，求a的取
值范围．
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78．（2023·广东深圳·深圳市龙岗区坪地中学校考一模）综合与探究
在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处．
(1)如图①，若BC=2BA，求∠CBE的度数；
(2)如图②，当AB=5，且AF·FD=10时，求EF的长；
(3)如图③，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，请直接写
AB
出 的值．
BC
79．（2023·河南周口·校联考三模）综合与实践
【问题背景】
数学活动课上，老师将矩形ABCD 按如图①所示方式折叠，使点A与点C重合，点B的对应点为B'，折痕
为EF，若△CEF为等边三角形．
(1)请解答老师提出的问题：
试猜想AB与AD的数量关系，并加以证明．
【实践探究】
(2)小明受到此问题启发，将△ABC纸片按如图②所示方式折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若
∠A=45°,AC=2，
①试判断重叠部分△CEF的形状，并说明理由；
②若点D为EF的中点，连接CD，求CD的长；
【问题解决】
(3)小亮深入研究小明提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图③，在△ABC中，将△ABC折叠，
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使点A与点C重合，点D为折痕所在直线上一点，若AB=AC=√5，BC=2，∠ACD=45°，请直接写出
线段BD的长．
80．（2023·吉林长春·校联考二模）【实践操作】：
第一步：如图①，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的A'处，得到折痕DE，然
后把纸片展平．
第二步：如图②，将图中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落
在B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，C'F交DE于点N，再把纸片展平．
【问题解决】：
(1)如图①，四边形AE A'D的形状是 ；
(2)如图②，线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由；
DN
(3)如图②，若AC'=3cm，DC'=6cm，则MC'= ， ＝ ．
EN
一、单选题
1．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，下列结论一定正确的是
（ ）
A．AC平分∠BAD B．AB=BC C．AC=BD D．AC⊥BD
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2．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，有一张矩形纸片ABCD．先对折矩形ABCD，使AD与BC重
合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM
﹐同时得到线段BN，MN．观察所得的线段，若AE=1，则MN=（ ）
√3 2√3
A． B．1 C． D．2
2 3
3．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交
AD，BC于点M，N．若AM=1，BN=2，则BD的长为（ ）
A．2√3 B．3 C．2√5 D．3√2
4．（2023·上海·统考中考真题）在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=CD．下列说法能使四边形ABCD为
矩形的是（ ）
A．AB∥CD B．AD=BC C．∠A=∠B D．∠A=∠D
5．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边AD=5,OA:OD=1:4，
将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD 恰好经过点B，点C落在y轴的点C 位置，点E
1 1
的坐标是（ ）
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A．(1,2) B．(−1,2) C．(√5−1,2) D．(1−√5,2)
6．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D
1 k
在AB上，且AD= AB，反比例函数y= (k>0)的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接
4 x
OD,OM,DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O．若∠AOB=60°，
AB
则 =（ ）
BC
1 √3−1 √3 √3
A． B． C． D．
2 2 2 3
8．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，在矩形ABCD中，AB>AD，AC与BD相交于点O，下列说
法正确的是（ ）
A．点O为矩形ABCD的对称中心 B．点O为线段AB的对称中心
C．直线BD为矩形ABCD的对称轴 D．直线AC为线段BD的对称轴
9．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，将矩形ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展
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开后得到四边形EFGH．若AB=2，BC=4，则四边形EFGH的面积为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
二、填空题
10．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边OB，OA分别在x轴、
y轴正半轴上，点D在BC边上，将矩形AOBC沿AD折叠，点C恰好落在边OB上的点E处．若OA=8，
OB=10，则点D的坐标是 ．
11．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，
AB=8,AD=DE=10，则BF的长为 ．
12．（2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰
4
好落在边BC上的点F处，若BC=10．sin∠AFB= ，则DE= ．
5
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13．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩
形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数
y=(x−2) 2(0≤x≤3)的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数
1
y= x2+bx+c(0≤x≤3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b= ．
4
三、解答题
14．（2023·青海西宁·统考中考真题）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质
解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图1，在矩形ABCD中，点M在边AD上，将矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，使点D
落在点D'处，M D'与BC交于点N．
【猜想】】MN=CN
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【验证】请将下列证明过程补充完整：
∵矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠
∴∠CMD=
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC（矩形的对边平行）
∴∠CMD= （ ）
∴ = （等量代换）
∴MN=CN（ ）
【应用】
如图2，继续将矩形纸片ABCD折叠，使AM恰好落在直线M D'上，点A落在点A'处，点B落在点B'处，
折痕为ME．
（1）猜想MN与EC的数量关系，并说明理由；
（2）若CD=2，MD=4，求EC的长．
15．（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图1，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=4，AD=8，点E为
AD边上一点(0AB)沿对角线BD翻折，C的对应点为
点C'，以矩形ABCD的顶点A为圆心、r为半径画圆，⊙A与BC'相切于点E，延长DA交⊙A于点F，连
接EF交AB于点G．
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(1)求证：BE=BG．
(2)当r=1，AB=2时，求BC的长．
18．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、
F．求证：AF=CE．
19．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将矩形ABCD沿BE所
在的直线折叠，C，D的对应点分别为C'，D'，连接AD'交BC'于点F．
(1)若∠DED'=70°，求∠DAD'的度数；
(2)连接EF，试判断四边形C'D'EF的形状，并说明理由．
20．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，
AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF=90°．
(1)求证：四边形ACFD是矩形；
(2)若CD=13，CF=5，求四边形ABCE的面积．
21．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，点M在 ▱ABCD的边AD上，BM=CM，请从以下三个选项
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中①∠1=∠2；②AM=DM；③∠3=∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使 ▱ABCD为矩形．
(1)你添加的条件是_________（填序号）；
(2)添加条件后，请证明 ▱ABCD为矩形．
22．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB边上任意一点（不与
点A、B重合），过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC、BC于点E、F，连接EF．
(1)求证：四边形ECFD是矩形；
(2)若CF=2，CE=4，求点C到EF的距离．
23．（2023·山东潍坊·统考中考真题）工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中，裁出一块矩形铁皮制作
工件，如图所示．经测量，AB∥DE，AB与DE之间的距离为2米，AB=3米，AF=BC=1米，
∠A=∠B=90°，∠C=∠F=135°．MH，HG，GN是工匠师傅画出的裁剪虚线．当MH的长度为多
少时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积是多少？
24．（2023·江苏连云港·统考中考真题）【问题情境 建构函数】
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=4,M是CD的中点，AE⊥BM，垂足为E．设BC=x,AE= y，试
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用含x的代数式表示y．
【由数想形 新知初探】
（2）在上述表达式中，y与x成函数关系，其图像如图2所示．若x取任意实数，此时的函数图像是否具有
对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像．
【数形结合 深度探究】
（3）在“x取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值y随x的增大而增大；
②函数值y的取值范围是−4√2
