文档内容
专题 01 数列求通项（ 法、 法）(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................2
题型一： 法：角度1：用 ，得到 ................................2
题型二： 法：角度2：将题意中的 用 替换.................4
题型三： 法：角度3：已知等式中左侧含有： ................6
题型四： 法：角度1：已知 和 的关系...................................8
题型五： 法：角度2：已知 和 的关系................................12
三、数列求通项（ 法、 法）专项训练........................................13
一、必备秘籍
1对于数列 ，前 项和记为 ；
① ；②
①-②：
法归类
角度1：已知 与 的关
用 ，得到 例子：已知 ，求
系；或 与 的关系
角度 2：已知 与 替换题目中 例子：已知 ；
的 关 系 ； 或 与 的 已知
的关系
角度3：已知等式中左侧含 作 差 法 （ 类 似
例子：已知 求
）
有：2对于数列 ，前 项积记为 ；
① ；②
① ②：
法归类
角度1：已知
例子： 的前 项之积 .
角度 1：用 ，得到
和 的关系
角度2：已知 例子：已知数列 的前 n 项积为 ，且
角度 1：用 替换题
和 的关系
.
目中
二、典型题型
题型一： 法：角度1：用 ，得到
1．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知数列 的前 项和为 ，且 为等差
数列．
(1)证明： 为等差数列；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）因为 为等差数列，可设出 的通项公式，然后由前 项和求数列
的通项公式，再由等差数列的概念判断数列 是等差数列.
【详解】（1）因为 为等差数列，设其公差为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ．
当 时， ，
又因为 适合上式，所以 ．
所以 ，所以 为等差数列．2．（2024·四川·模拟预测）已知 为正项数列 的前 项和， 且
．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）已知 与 的关系求通项公式，用退位作差，再利用平方差公式进行化
简，最后对 时进行检验，得到数列 是等差数列，从而写出通项公式；
【详解】（1）由题意知： ，即 ，
当 时， ，
两式相减，可得 ，
因为 ，可得 ．
又因为 ，当 时， ，即 ，
解得 或 （舍去），所以 （符合），
从而 ，所以数列 表示首项为3，公差为2的等差数列．
所以数列 的通项公式为 ．
3．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且满足
．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据题意结合 与 之间的关系可得 ，利用等差中项可
得数列 为等差数列，进而求 ；
【详解】（1）因为 ，即 ，则 ，
两式相减并整理得 ，则 ，
两式相减整理得 ，
所以数列 为等差数列．
当 时， ，所以 ．
设等差数列 的公差为 ，因为 ，解得 ，
所以 ．
4．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知数列 的前n项和为
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由 与 的关系，求数列 的通项公式；
【详解】（1）数列 的前n项和为 ，
时， ，
时， ，
不符合 ，
所以 .
题型二： 法：角度2：将题意中的 用 替换
1．（2024·山西晋中·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， ，且当
时， ，
(1)证明：数列 是等差数列；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）由题意可得 ，两边同时除以 （ ），得
，从而得证；
【详解】（1）因为 ，所以 ，则 ，
因为 ，易知 ，所以 ，
又 ，所以数列 是首项与公差都为2的等差数列；
2．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列 的前 项和为 ， ，且当 时．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由 时， ，及条件可得 ，再由累加法可求
出 ，再由 求出 .
【详解】（1）因为 时
，
数列 为正项数列，所以 ．
由累加法得 ，
又 ，所以 ，即 ，
故当 时， ，
因此 ．
3．（2023·云南昭通·模拟预测）已知各项均为正数的数列 的首项 ，其前 项和为
，从① ；② ， ；③
中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.
(1)求数列 的通项公式；
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.
【答案】(1)条件选择见解析，
【分析】（1）选择条件①②③，利用给定条件并作变形，再结合 求解
作答.
【详解】（1）选择①：因为 ，则
，
两式相减得 ，即 ，
而 ， ，则 ，因此数列 是以 为首项，2为公差的等
差数列，
所以 .选择②：因为 ，则 ，
于是当 时， ，即 ，由 ，得 ，
即有 ，因此 ， ，即数列 是以 为首项，2为公差
的等差数列，
所以 .
选择③：因为 ，又 ，
则 ，即 ，
显然 ，于是 ，即 是以1为首项，1为公差的
等差数列，
从而 ，即 ，因此 ，而 满足上式，
所以 .
4．（2023·江西南昌·三模）已知 是数列 的前 项和，满足 ，且
.
(1)求 ；
【答案】(1)
【分析】（1）利用 化简式子得到 ，利用累加法即可求
解；
【详解】（1）因为 ，显然 ，
所以 ，即 ，
所以
，
所以 ，又当 时， 也满足，所以 .题型三： 法：角度3：已知等式中左侧含有：
1．（2024·河北沧州·一模）在数列 中，已知 ．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据数列的前 项和求数列的通项公式，一定要分 和 讨论.
【详解】（1）当 时， ；
当 时， ，
所以 ， .
当 时，上式亦成立，
所以： .
2．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知数列 满足
．
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由已知求得数列首项，再根据数列递推式，采用两式相减的方法，即可求得
答案；
【详解】（1）当 时，由 ，得 ，
当 时， ，
则 ，
也适合该式，故 ；
3．（2024·浙江温州·二模）数列 满足： 是等比数列， ，且
．
(1)求 ；
【答案】(1) ，
【分析】（1）根据已知及等比数列的定义求出 的通项公式，由已知和求通项可得
的通项公式，【详解】（1） ，
又 ， ，解得：
因为 是等比数列，所以 的公比 ，
又当 时， ，
作差得：
将 代入，化简： ，
得：
是公差 的等差数列，
4．（2024·广西柳州·三模）已知数列 满足： ， ．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据 的关系，作差即可求解，
【详解】（1）当 时，由 ，得
当 时，
两式相减，得
当 时，
综上可知，
5．（2024·福建漳州·模拟预测）已知数列 满足， ．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】
（1）作差法，计算得到 ，验证 是否成立，进而得到数列 的通项公式；
【详解】（1）因为 ，①
当 时， ，②① ②得 ，
即 ．
当 时， 也符合上式，
所以 ．
题型四： 法：角度1：已知 和 的关系
1．（2023·全国·模拟预测）已知 是等比数列，其前 项之积 ，
(1)求 的通项公式，并求 的解集；
【答案】(1) ， ，
【分析】（1）分 和 两种情况，结合题意分析求 的通项公式，代入 运
算求解即可；
【详解】（1）当 时， ；
当 时， ．
当 时， 也符合上式，综上， ， ．
令 ，即 ，整理得 ，解得 或4，
所以 的解集为 ．
2．（2023·四川·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ,且满足 ,数
列 的前 项积 .
(1)求数列 和 的通项公式;
【答案】(1) ,
【分析】（1）对于数列 ,根据 ,利用 和 的关系求解;对于数列
,因为其前 项积 ,根据 即可求解;【详解】（1）当 时, ,
∴ ,
当 时, ,
化简得 ,
∵ ,∴ ,
∴数列 是首项为 ,公差为 的等差数列,
∴ .
当 时, ,
当 时, ，当 时也满足，
所以 .
3．（2023·浙江·模拟预测）已知正项等比数列 和数列 ，满足 是 和 的等
差中项， .
(1)证明：数列 是等差数列，
(2)若数列 的前 项积 满足 ，记 ，求数列 的前20项
和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等差数列的定义法判断即可.
（2）由（1）和 ，求得 ， ，然后表示出 的前20项和即可
得出答案.
【详解】（1）由题知， 是等比数列，
设其公比为 ，
由 ，
可得：当 时， ，
两式相减得， ，故数列 是等差数列.
（2）由 知：
当 时， ，
又 ，所以 ，
由（1）设 的公差为 ，
则 ，
由 ，
则 ， ，
所以
.
即数列 的前20项和为 .
4．（2023·辽宁·三模）已知数列 的前 项的积
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）当 时， ，即可求出答案；
【详解】（1） ，
当 时， .
当 时， ，满足上式，
.
5．（2023·湖北·模拟预测）已知数列 前 项和 ， 的前 项之积.
(1)求 与 的通项公式.
【答案】(1) ，
【分析】（1）根据 ， ，即可得出答案；
【详解】（1）解：（1）由 ，
当 时，
当 时， ，
当 时，上式也成立，
所以 ，
由 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时，上式也成立，
所以 ；
题型五： 法：角度2：已知 和 的关系
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列 的前 项的积记为 ，且满足 .
(1)证明：数列 为等差数列；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）分类讨论 与 两种情况，利用递推式求得 与 ，从而得
证；
【详解】（1）因为 ，
当 时， ，即 ，易知 ，则 ，
当 时， ，所以 ，即 ，故数列 是以3为首项，2为公差的等差数列.
2．（23-24高三上·福建宁德·期末）已知 为数列 的前 项积，且 .
(1)证明：数列 是等差数列；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）利用 将条件整理变形可得 ，即可证明数列 是等差数
列；
【详解】（1） 为数列 的前 项积，
当 时， ，
，等式两边同时乘以 可得 ，
即 ，
又当 时， ，得 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列；
3．（23-24高一下·贵州遵义·期末）设 是数列 的前 项之积，并满足：
.
（1）求 ；
（2）证明数列 等差数列；
【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析，（3）证明见解析
【分析】（1）由题意结合递推关系可得 ， ；
（2）根据题意利用等差数列的定义证明即可
【详解】（1）由 ，且 ，得 ，
当 时， ，即 ， ，得 ，
当 时， ，即 ， ，得
（2）证明：因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以
因为
所以数列 是以2为首项，公差为1的等差数列
三、数列求通项（ 法、 法）专项训练
1．（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）记 为数列 的前n项积，已知
(1)证明: 数列 是等差数列；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件先确定 ，得出 为等差数列，进而求出
通项公式 ，进而求出 ，由定义法即可判断数列 是等差数列；
【详解】（1）因为 ， 时，有 ， 为数列 的前n项积，
所以 ，代入上式有 ；又由 ，有 ，
所以 ，即 ， ，
所以 ，所以 为首项为 ，公差为 的等差数列，所以 ， ，代入 ，
解得： ， ，
所以数列 是等差数列.
2．（2023·全国·模拟预测）已知数列 ，满足 ．
(1)若 是数列 的前n项积，求 的最大值；
【答案】(1)
【分析】（1）先根据前n项和与通项的关系求出 的通项公式，表示出 ，结
合二次函数的性质，即可得出答案；
【详解】（1）当 时， ．
当 时，
，解得 ①．
因为 满足①式，
所以 ，
则 ，所以 为等比数列，公比为 ，
所以 ．
又因为当 或 时， 取最大值55，
所以 的最大值为 ．
3．（2023·福建南平·模拟预测）设 为数列 的前n项积．已知 ．
(1)求 的通项公式；
【答案】(1) ；
【分析】（1）利用给定的递推公式，结合前n项积的意义求解作答.
【详解】（1）依题意， 是以1为首项，2为公差的等差数列，则
，
即 ，当 时，有 ，两式相除得， ，显然 ，即 ，因此当 时， ，即 ，
所以数列 的通项公式 .
4．（22-23高二上·山东威海·期末）设 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项
积，已知 ．
(1)求 ， ；
(2)求证：数列 为等差数列；
(3)求数列 的通项公式．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）直接令 中的 ， 可得答案；
（2）通过 得到 ，两式相除整理后可证明数列 为等差数
列；
（3）当 时，通过 可得数列 的通项公式，注意验证 时是否符合.
【详解】（1）由 ， 且 ，
当 时， ，得 ，
当 时， ，得 ；
（2）对于 ①，
当 时， ②，
① ②得 ，即 ， ，
又 ，
数列 是以1为首项，1为公差的等差数列；
（3）由（2）得 ，
，
当 时， ，
又 时， ，不符合 ，
.
5．（22-23高三上·江苏南通·阶段练习） 为数列 的前n项积，且 ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求 的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由 与 的关系，把已知式中 换成 的关系式，然后可配出等比数列的
比值；
（2）由（1）求得 后，代入已知可得 或由 与 的关系求解．
【详解】（1）证明： 由已知条件知 ①,
于是 ． ②,
由①②得 ． ③ ，
又 ④，
由③④得 ，所以 ，令 ，由 ，得 ， ，
所以数列 是以4为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）可得数列 是以4为首项，2为公比的等比数列．
，
法1： 时， ，
又 符合上式，所以 ；
法2：将 代回 得： ．
6．（22-23高三上·河北邢台·开学考试）数列 的前n项积 .数列 的前n项和
.
(1)求数列 、 的通项公式.
【答案】(1) ， ，
【分析】（1）利用 求 ，利用 求 ，注意 的求
法；
【详解】（1） 前n项积为 ，
①n＝1时， ，
② 时， ， ，
符合上式，∴ ， ， .
的前n项和为 ，
①n＝1时， ，
② 时， ，
，
符合上式，∴ ， ；
7．（2024·浙江宁波·二模）已知等差数列 的公差为2，记数列 的前 项和为
且满足 .(1)证明：数列 是等比数列；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）根据通项与前 项和之间的关系，作差可得 ，即可利用等比数
列的定义求解，
【详解】（1） 时， ，即 .
又 ，也符合 ，
所以 时， ，即 .
又 ，所以 ，
所以 ，所以数列 成等比数列.
8．（2024·四川·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ， ，且当
时， .
(1)求 ；
【答案】(1)
【分析】（1）由 代入已知等式化简得 ，再由累加法求
通项即可；
【详解】（1）由 ， ，得 ，
当 时， ，故 ，
即 ，
所以 ， ， ， ，…， ，
将各等式左、右两边分别相加得，
.
， 符合上式，
所以 .
9．（2024·河北·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)【分析】（1）根据 求解即可；
【详解】（1）由 ，①
当 时， ，所以 ，
当 时， ，②
由① ②得 ，
所以 ，
当 时，上式也成立，
所以 ；
10．（2024·云南昆明·模拟预测）已知各项均为正数的数列 的首项 ，其前 项和
为 ，从① ；② ，且 ；③
中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.
(1)求数列 的通项公式；
（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
【答案】(1)选择①②③都是
【分析】
（1）若选择①②：由 与 的关系，再结合等差数列的定义，即可得到结果；若选择
③：由 与 的关系可得 为等差数列，再由 即可求得 ；
【详解】（1）选择①：因为 ，
所以 ，
，
两式相减得 ，
即
因为 ，所以
所以数列 是以 为首项，2为公差的等差数列，
故 .
选择②：因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，又因为 ，所以 ，
所以数列 是以 为首项，2为公差的等差数列，
所以 .
选择③：因为 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以 ，
所以 ，所以 ，检验 时也满足，
所以 .
11．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知正项数列 的前n项和为 ，且
.
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据题意得 ，再因式分解为
，即可得到 ，根据等差数列的定义，可知 为等差数列，易得其通项公式；
【详解】（1）因为 ，
所以当 时， ，
所以 ，
整理，得 ，
因为 ，
所以 ，
所以数列 是公差为2的等差数列.
当 时， ，
解得 ，
所以数列 的通项公式为 ；
12．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知数列 满足 ．(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据题意，当 时，用 替换 ，然后代入计算，即可得到结果；
【详解】（1）当 时， ．
当 时，由 ，得 ，
则 ，则 ，
因为 也符合上式，所以 ．
13．（2022·全国·模拟预测）已知数列 满足
.
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1) ；
【分析】（1）根据给定条件，利用 求解即得.
【详解】（1） ， ，
当 时， ，
两式相减得 ，即 ，而 满足上式，
所以数列 的通项公式为 .
