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第 21 讲 相似三角形及其应用
目 录
题型01 添加条件使两个三角形相似
题型02 证明两个三角形相似
题型03 确定相似三角形的对数
题型04 在网格中判断相似三角形
题型05 利用相似的性质求解
题型06 利用相似的性质求点的坐标
题型07 在网格中画与已知三角形相似的三角形
题型08 证明三角形的对应线段成比例
题型09 利用相似三角形的性质求解决折叠问题
题型10 利用相似三角形的性质判断函数图象
题型11 尺规作图与相似三角形综合应用
题型12 三角板与相似三角形综合应用
题型13 平移与相似三角形综合应用
题型14 利用相似三角形的性质与判定求线段比值
题型15 利用相似三角形的性质与判定求最值
题型16 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题
题型17 利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题
题型18 A字模型
题型19 8字模型
题型20 一线三垂直模型
题型21 三角形内接矩形模型
题型22 旋转相似模型
题型23 相似三角形的应用
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题型 01 添加条件使两个三角形相似
1．（2022·陕西宝鸡·统考二模）如图，已知△ABC与△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在AB上，那
么添加下列一个条件后，仍然不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
AC DE BC AD
A．∠CAB=∠D B． = C．AD∥BC D． =
BC AE AC AE
2．（2023·广东广州·统考一模）已知：如图，点D在边AB上，若∠1=∠ 时，则△ADC∼△ACB．
3．（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）如图，要使图中的两个三角形相似，需要添加一个条件，这
个条件可以是 ．（写一个即可）
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题型 02 证明两个三角形相似
4．（2023·广东广州·广州市第二中学校考二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上的点（不
与点B，点C重合），连接DE并延长，交AB的延长线于点F．求证：△CDE∽△AFD．
5．（2023·湖北武汉·统考二模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在AC上，且
∠EAD=∠ADE．
(1)求证：△DCE∽△BCA；
BD
(2)若AB=6，AC=8，求 的值．
CD
6．（2023·浙江宁波·校考三模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=4，CD=2，
BC=m，P为线段BC上一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．
(1)请找出一对相似三角形，并说明理由；
(2)若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．
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题型 03 确定相似三角形的对数
7．（2023·山西晋中·统考一模）在三边都不相等的△ABC的边AB上有一点D，过点D画一条直线，与三
角形的另一边相交所截得的三角形与△ABC相似，这样的直线最多可以画（ ）
A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
8．（2023·广东江门·校考一模）如图，BD和CE是△ABC的高，则图中相似三角形共有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
9．（2020·陕西西安·高新一中校考一模）如图，点E是平行四边形ABCD中BC的延长线上的一点，连接
AE交CD于F，交BD于M，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．
A．4 B．5 C．6 D．7
题型 04 在网格中判断相似三角形
10．（2022·广东湛江·岭师附中校联考三模）如图，在小正方形的边长为1的网格中，三角形的顶点都在
格点上，与△ABC相似的是（ ）
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A． B． C． D．
11．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，在正方形网格中：①△CEB；②△CDB；③△DEB；这3个斜三
角形中，能与△ABC相似的是 ．（点A、B、C、D、E均在格点上）
12．（2017·天津和平·统考二模）如图，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC，②△CDB，
③△DEB，④△FBG，⑤△HGF，⑥△EKF．在②~⑥中，与①相似的三角形的个数是 ．
题型 05 利用相似的性质求解
13．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，△ABC∽△≝¿，若AB=2，DE=3，则BC:EF的值等于
（ ）
A．1∶2 B．1∶3 C．2∶3 D．4∶9
14．（2023·江西南昌·统考一模）如图，△≝¿的顶点D,E在△ABC的边BC上，EF∥AC,DF∥AB，
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若∠F=55°，则∠A=（ ）
A．45° B．55° C．60° D．65°
AB 1
15．（2023·四川成都·统考一模）若△ABC∽△≝¿，且 = ，若△ABC的周长为2，则△≝¿的周长为
DE 3
（ ）
2 2
A． B． C．6 D．18
9 3
16．（2023·甘肃张掖·校联考一模）已知△ABC∽△≝¿，相似比为2，且△ABC的面积为12，则△≝¿的
面积为 ．
题型 06 利用相似的性质求点的坐标
17．（2022·广东汕头·林百欣中学校考一模）如图，矩形ABCD的顶点B，C分别在x轴，y轴上，OB＝
4，OC＝3，AB＝10，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点A的
坐标为（ ）
A．（10，8） B．（8，－10） C．（－10，8） D．（－8，10）
18．（2023·湖南邵阳·统考一模）在平面直角坐标系内，一束光线从点P(4,4)射向x轴上的点M，经x轴反
射后反射光线经过点Q(0,2)，则点M的坐标为 ．
19．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在x轴、y
轴的正半轴上，点A的坐标为(8，6)，点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足
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△PBE∽△CBO，当 APC是等腰三角形时，点P的坐标为 ．
△
20．（2022·江苏南京·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB是等边三角形，点B在x轴上，C，
D分别是边AO，AB上的点，且CD∥OB，OC＝2AC，若CD＝2，则点A的坐标是 ．
21．（2023·上海长宁·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，B(0,2)，点C为图示中正方
形网格交点之一（点O除外），如果以A、B、C为顶点的三角形与△OAB相似，那么点C的坐标是 ．
题型 07 在网格中画与已知三角形相似的三角形
22．（2021·浙江宁波·统考一模）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，△ABC是格点三角形
（顶点在方格顶点处）．
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(1)在图1中画出一个格点△A B C ，使得△A B C 与△ABC相似，周长之比为2：1；
1 1 1 1 1 1
(2)在图2中画出一个格点△A B C ，使得△A B C 与△ABC相似，面积之比为2：1．
2 2 2 2 2 2
23．（2022·湖北武汉·校联考二模）如图是由小正方形组成的8×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，
△ABC的三个顶点都是格点，边AC上的D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画
图过程用虚线表示．
(1)在图（1）中，先将线段CB绕点C顺时针旋转90°，画出对应线段CE，再在CE上画点F，使
△BCF∽△BDA；
(2)在图（2）中，先在边AB上画点G，使DG∥BC，再在边BC上画点H，使AH＋DH值最小．
24．（2020·新疆·三模）如图1，在6×6的方格纸中，有格点△ABC（三个顶点都在方格顶点上的三角形）
（1）请在图2中作一个格点三角形，使它与△ABC相似（不全等），且相似比为有理数；
（2）请在图3中作一个格点三角形，使它与△ABC相似，且相似比为无理数．
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题型 08 证明三角形的对应线段成比例
25．（2023·广东惠州·统考二模）如图，把矩形ABCD沿AC折叠，使点D与点E重合，AE交BC于点
F，过点E作EG∥CD交AC于点G，交CF于点H，连接DG．
(1)试判断四边形ECDG的形状，并加以证明；
(2)连接ED交AC于点O，求证：DC2=OC⋅AC；
14
(3)在（2）的条件下，若DG=6，AG= ，求CG的值．
5
26．（2023·广东珠海·珠海市紫荆中学校考三模）操作与研究：如图，△ABC被平行于CD的光线照射，
CD⊥AB于D，AB在投影面上．
(1)指出图中线段AC的投影是______，线段BC的投影是______．
(2)问题情景：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证
明AC2=AD×AB，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理．
(3)拓展运用如图2，正方形ABCD的边长为15，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作
CF⊥BE，垂足为F，连接OF：
① 试利用射影定理证明△BOF∽△BED；
② 若DE=CE，求OF的长．
27．（2022·海南海口·海口市第九中学校考二模）如图①，在菱形ABCD中，∠A=60°，BD是对角线，
点E、F分别是AB、AD上两个动点（不与端点重合），且AF=BE，BF与DE交于点G．
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(1)求证：△AED≌△DFB；
(2)如图②，连接CG，若CG⊥BD于点H，求证：EF2=GH⋅HC；
(3)若AF=nFD，试探究BF与GF的数量关系，并证明．
题型 09 利用相似三角形的性质求解决折叠问题
28．（2023·江苏泰州·校考三模）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6,AB=9，E是AB上的一点，
BE=5，点D是线段BC上的一个动点，沿AD折叠△ACD，点C与C'重合，连接BC'．
(1)求证：△AEC'∽△AC'B；
2
(2)若点F是BC上一点，且BF=√5，求FC'+ BC'
的最小值．
3
29．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）综合与实践
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC>AC ．
猜想证明：（1）如图1，点D在BC边上∠DAC=45° ．将△ABC沿AD所在直线折叠，点C的对应点
为E ．试猜想四边形ACDE的形状并加以证明 ．
实践探究：（2）如图2，拓展小组受此问题启发，将△ABC沿过点C的直线CF折叠 ．点B的对应点为
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G ．且CG⊥AB于点H ．若AC=2√5，BC=4√5，求BF的长 ．
问题解决：（3）如图3 ．探究小组突发奇想，将△ABC沿过点A的直线AM折叠，若∠BAM=45°，
AC=4，CM=3，直接写出BM的长 ．
30．（2023·河南驻马店·驻马店市第二初级中学校考二模）如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在AC
上，且CD=2，点E在AB上（不与点A、B重合），连接DE，把△ADE沿DE折叠，当点A的对应点F落
在等边△ABC的边上时，AE的长为 ．
31．（2023·江西吉安·校考三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，D为AB的
中点，F为线段AC上的动点，将AD沿过点D的射线DF折叠得到DE，若AB下方的DE与△ABC的边垂
直，则AF的长度可能是 ．
题型 10 利用相似三角形的性质判断函数图象
32．（2023·湖南长沙·统考三模）如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，点E是线段BC上一个动点，
AE⊥EF于点E，射线EF交射线CD于点F，BC=2AB=8，设BE=x，CF= y，当点E从点B运动到
点C时，y与x的函数图象大致是（ ）
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A． B． C． D．
33．（2023·广东揭阳·模拟预测）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点E是边AC上一
动点，过点E作EF∥BC，交AB边于点F，点D为BC上任一点，连接DE、DF，设EC的长为x，则
△≝¿的面积y关于x的函数图象大致为（ ）．
A． B． C． D．
34．（2021·甘肃·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P由点A出发，沿A→B→C的
路径匀速运动，过点P向对角线AC作垂线，垂足为Q，设AQ＝x，△APQ的面积为y，则下列图象中，能
表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
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题型 11 尺规作图与相似三角形综合应用
35．（2023·广东深圳·统考二模）在△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°．由尺规作图得射线BM交AC
于点F．则AF的长是 ．
36．（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(6,0)，B是y轴上
一点．
(1)B上求作点M，使得△AMO∽△AOB(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在（1）的条件下，AB=4 AM，OC是△AOB的中线，过点M的直线交OC于点D，交x轴于点F，当
MO=MF时，求点D的坐标．
37．（2023·福建宁德·统考模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB>BC．
(1)尺规作图：在AC和AB上分别确定点D，E的位置，使得△BDE是以BD为底边的等腰直角三角形；
（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若AB=6,BC=4，求BE的长．
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题型 12 三角板与相似三角形综合应用
38．（2023·河北保定·统考模拟预测）如图，把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板
DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，DF经过点B，其中∠ABC=∠≝=90∘，
∠C=∠F=45∘，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O逆时针旋转，旋转角为α．
其中0∘<α<90∘．设射线DE与射线AB相交于点P，线段DF与线段BC相交于点Q．给出下面三个结论：
①△APD∽△CDQ；
②AP⋅CQ的值不变，为8；
8−4x
③当45°≤α<90°时，设CQ=x，两块三角板重叠部分的面积为y=4−x− ．
4−x
其中正确的是（ ）
A．只有①与② B．只有①与③ C．只有②与③ D．①②③
39．（2022·广东深圳·校联考二模）一副三角板按如图1放置，图2为简图，D为AB中点，E、F分别是一
个三角板与另一个三角板直角边AC、BC的交点，已知AE=2，CE=5，连接DE，M为BC上一点，且满足
∠CME=2∠ADE，EM= ．
40．（2023·安徽合肥·校考一模）如图（1），直线L上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中较小直
角边长为6cm，较小锐角度数为30度．
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(1)将△ECD沿直线AC翻折到图（2）的位置，ED'与AB相交于点F，请证明：AF=FD'
(2)将△ECD沿直线L向左平移到图（3）的位置，使E点落在AB上，你可以求出平移距离，试试看；
(3)将△ECD绕点C逆时针旋转到图（4）的位置，使E点落在AB上，请求出旋转角的度数．
41．（2022·河南平顶山·平顶山市第十六中学校考模拟预测）问题发现．【发现】如图①，已知等边
△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上(点D不与点B、C重合)，使两边分别交线段AB、
AC于点E、F．
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(1)若AB=6，AE=4，BD=2，则CF=______；
(2)求证：△EBD∽△DCF．
(3)【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都
存在，连接EF，如图②所示，问：点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存
BD
在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
BC
(4)【探索】如图③，在等腰△ABC中，AB=AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放
在点O处(其中∠MON=∠B)，使两条边分别交边AB、AC于点E、F(点E、F均不与△ABC的顶点重
合)，连接EF.设∠B=α，则△AEF与△ABC的周长之比为______(用含α的表达式表示)．
题型 13 平移与相似三角形综合应用
42．（2023·安徽六安·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为√5，点A在y轴
1
正半轴上，点B在x轴负半轴上，B(−1,0)，C、D两点在抛物线y= x2+bx+c上．
2
(1)求此抛物线的表达式；
(2)正方形ABCD沿射线BC以每秒√5个单位长度平移，1秒后停止，此时B点运动到B 点，试判断B 点是
1 1
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否在抛物线上，并说明理由；
(3)正方形ABCD沿射线BC平移，得到正方形A B C D ，A 点在x轴正半轴上，求正方形ABCD的平移
2 2 2 2 2
距离．
43．（2023·吉林长春·东北师大附中校考三模）正方形ABCD与正方形EFGH的AD边和EF边在直线MN
上，起始状态如图①所示，点F与点D重合，点G在CD边上．已知EF=2cm，AB=4cm．正方形
EFGH沿MN方向以2cm/s的速度运动，两个正方形重叠部分图形的面积为S(cm2)．
(1)在正方形EFGH平移过程中，若S=2cm2，求t的值．
(2)在1≤t≤3这段时间内，求S与t的函数关系式．
(3)当直线BG平分线段AH时，如图②，t=______s．
44．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，将y=−x函数图象向上平移b个单位后，
4 k
恰好与y= (x>0)有唯一公共点B，并交y= (x<0)于点A，交x轴于点C．
x x
(1)求b的值．
3
(2)若AB= AC，求k的值．
5
题型 14 利用相似三角形的性质与判定求线段比值
45．（2022·河南安阳·统考一模）兴趣小组探索等腰三角形中线段比值问题，部分探索活动如下：
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BE
(1)如图1，在 ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，D，E分别是BC，AC边上的点，∠AFE=∠ABC，则 的
AD
△
值为______．
(2)如图2，在 ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，D，E分别是BC，AC边上的点，∠AFE=∠ABC，请你猜想
△
BE
的值，并给出证明；
AD
5
(3)如图3，在 ABC中，AB=AC，cos∠ABC= ，D，E分别是BC，CA边延长线上的点，∠DFB=∠ABC，
12
△
BE
请直接写出 的值．
AD
46．（2020·江苏扬州·统考二模）定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是4:5，那么称这
个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．
（1）如图，在△ABC中，AC=8，BC=5，∠ACB=30°，试判断△ABC是否是“准黄金”三角形，请说明
理由．
（2）如图，△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，把△ABC沿BC翻折得到△DBC，AD交BC的
AB
延长线于点E，若点C恰好是△ABD的重心，求 的值．
BC
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（3）如图，l //l ，且直线l 与l 之间的距离为4，“准黄金”△ABC的“金底”BC在直线l 上，点A在
1 2 1 2 2
AB 2√5
直线l 上， = ，若∠ABC是钝角，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△A'B'C，线段A'C交
1 BC 5
AD
l 于点D．当点B'落在直线l 上时，则 的值为____．
1 1 CD
47．（2020·山东东营·统考一模）【问题情境】在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝ （0°＜ ＜180°），点
P为直线BC上一动点（不与点B、C重合），连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋α 转得到线α 段PQ旋转角
为 ，连接CQ．
α
【特例分析】（1）当 ＝90°，点P在线段BC上时，过P作PF∥AC交直线AB于点F，如图 ，易得
图中与△APF全等的一α个三角形是 ，∠ACQ＝ °． ①
【拓展探究】（2）当点P在BC延长线上，AB：AC＝m：n时，如图 ，试求线段BP与CQ的比值；
【问题解决】（3）当点P在直线BC上， ＝60°，∠APB＝30°，C②P＝4时，请直接写出线段CQ的长．
48．（2022·湖北武汉·校考一模）（1）如图
α
1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC上，DE⊥BC交AB
于点E，证明：BE•BA=BD•BC；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，D是BC上一点，AD⊥DE，且DE=√3AD，连接
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BE，AC=5，CD=6，求BE的长；
1
（3）拓展探究：在△BCD中，∠BAC=∠AEC=90°，CA平分∠BCD，若tan∠ABC= ，则AG：GE的比值
2
为____．（直接写出答案）
题型 15 利用相似三角形的性质与判定求最值
49．（2023上·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）在等边三角形ABC中，点M、N分别边AB、AC上．
(1)如图1，若将等边三角形ABC沿MN翻折，点A恰好落在边BC上的点D处，
①求证：△MBD∽△DCN；
②若BC=6，CN=2，若设BM= y，DC=x，求y与x的函数关系式及y的最值．
(2)尺规作图：在BC边上求作一点P使∠MPN=60°，（不写作法，保留作图痕迹，请在图2中找出所有
符合条件的点P）
(3)若AB=9，BM=5，设CN=a，若要使得（2）中只能作出唯一的点P，则a的值应该满足什么条件，
请通过计算说明
50．（2021上·河北保定·九年级校考期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有
其他重要应用．
例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x−1的最值．
解：x2+6x−1=x2+2×3⋅x+32−32−1
=(x+3) 2−10
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∵无论x取何实数，总有(x+3) 2≥0．
∴(x+3) 2−10≥−10，即无论x取何实数，x2+6x−1有最小值，是−10．
(1)问题：已知y=−x2−4x+7，试求y的最值．
(2)【知识迁移】在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点
Q、M在边BC上，
探究一：AD=12,BC=6，求出矩形PQMN的最大面积的值；（提示：由矩形PQMN我们很容易证明
△APN∽△ABC，可以设PN=x，经过推导，用含有x的代数式表示出该矩形的面积，从而求得答
案．）
(3)探究二：AD=h,BC=a，则矩形PQMN面积S的最大值___________．（用含a，h的代数式表示）
题型 16 利用相似三角形的性质与判定解决动点问题
51．（2023·广东茂名·三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，点E为BC上的动点，
将△BDE沿DE翻折得到△FDE，EF与AC相交于点G，若AB=3AD，AC=3，BC=6，CG=0.8，则
CE的值为 ．
4
52．（2023·广东深圳·深圳市东湖中学校考模拟预测）如图，在反比例函数y= 的图象上有一动点A，
3x
连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始
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k
终在函数y= 的图象上运动，若tan∠CAB=3，则k的值为 ．
x
53．（2022·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）问题背景
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点D为边AB上一动点，点E为边AC上一动点，沿直线
DE把△ADE翻折，得到△A'DE，
问题解决
(1)如图1，当A'与B重合时，求线段BE的长；
(2)如图2，当A'E与边AB相交于点F，且A'E⊥AB时，连接A'B．
①求五边形A'DECB面积的最大值；
②连接C A'，则△C A'B的周长的最小值为___________（直接写出答案）．
题型 17 利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题
54．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y=ax2+bx+2交x轴于
A(−1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C．
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(1)求抛物线的函数解析式；
DE
(2)如图1，D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AD，交BC于E，求 的最大值；
AE
(3)如图2，连接AC，BC过点O作直线l∥BC，点P、Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第四象
限是否存在这样的点P、Q，使△BPQ~△ACB．若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不
存在，请说明理由．
55．（2023·山东菏泽·统考三模）如图，抛物线y=ax2+bx+3经过A(−3,0)，B(1,0)两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标；
(3)如图2，D为抛物线的顶点，试说明∠DAB=∠ACB；在线段AD上存在点M，使得以M，A，O为顶
点的三角形与△ABC相似，请直接写出符合条件的点M的坐标；
56．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，抛物线与x轴交于点O和点B，顶点为A(1，1)，直线y=x−2经
过点B，且与抛物线交于点C．
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(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，是否存在以O，M，N为顶点的
△ONM，使得△ONM∽△ABC，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
题型 18 A 字模型
57．（2023·广东云浮·统考一模）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，以点B为圆心任意长为半
1
径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于
2
点O，连接BO，并延长交AC于点D，若AB=2，则CD的长为（ ）
A．√5−1 B．3−√5 C．√5+1 D．3+√5
58．（2021·浙江宁波·统考一模）如图，已知∠A=∠CBD，AC=4，CD=2，则BC的长是（ ）
A．2 B．2√2 C．2√3 D．4
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题型 19 8 字模型
59．（2021·广东广州·统考一模）如图，点E，F分别为平行四边形ABCD的边BC，AD上的点，且
CE=2BE，AF=2DF，AE与BF交于点H，若△BEH的面积为2，则五边形CEHFD的面积是（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
60．（2022·河北邢台·校考三模）如图，嘉嘉在作业本上画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻
两条横格线间的距离都相等），A，B，C，D，O都在横格线上，且线段AD，BC交于点O．若
AB=4cm，则CD的长为（ ）
A．5cm B．6cm C．8cm D．12cm
61．（2023·河南周口·校考三模）如图，在边长为5的正方形ABCD中，点E在AD边上，AE=2,CE交
BD于点F，则DF的长为（ ）
15√2 25√2
A．2√2 B．3√2 C． D．
8 8
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题型 20 一线三垂直模型
62．（2022·河北唐山·校考一模）如图，E为正方形ABCD的边AB的中点，过点E作∠GEF=90°，分别
与边AD，BC交于点G，F．若AG=2，BF=4，则GF的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
63．（2023·河南信阳·校考三模）如图①，已知矩形ABCD，E是BC边上的一个动点，BC=4，
AE⊥EF，EF交DC于F，设点E运动的路程为x，CF运动的路程为y，y与x之间的函数关系图象如图
②所示，则矩形ABCD面积为（ ）
A．8 B．6 C．12 D．1
题型 21 三角形内接矩形模型
64．（2023·广东广州·统考一模）如图，正方形MNPQ内接于△ABC，点M、N在BC上，点P、Q分别
在AC和AB边上，且BC边上的高AD=6，BC=12，则正方形MNPQ的边长为（ ）
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A．6 B．5 C．4 D．3
65．（2022·江苏宿迁·统考一模）如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH=h，AB=c，若内接正方形
DEFG的边长是x，则h、c、x的数量关系为（ ）
1 1 1 1
A．x2+h2=c2 B． x+h=c C．h2=xc D． = +
2 x h c
题型 22 旋转相似模型
66．（2023·安徽黄山·校考一模）已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，△ADE绕点A逆时针旋转一
周．
(1)如图1，连接BD，CE，则BD与CE的数量关系为_______；直线BD与CE所夹角的度数为_______．
MN
(2)当△ADE旋转至如图2所示的位置时，取BC，DE的中点M，N，连接MN，BD．试问： 的值是
BD
否随△ADE的旋转而变化？若不变，请求出该值；若变化，请说明理由．
(3)M，N分别为BC，DE的中点，连接MN．若AB=3√10，AD=6，当△ADE旋转至B，D，E三点在
同一条直线上时，请直接写出MN的值．
67．（2023·安徽滁州·统考一模）已知△ABC和△ADE有公共的顶点A，AB=AC，AD=AE，且
∠BAC=∠DAE．AC与DE相交于点G，连接BE，CD．
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(1)若点B，E，D在一条直线上，如图1，求证：∠BAC=∠BDC；
(2)将△ADE绕点A逆时针方向旋转一定的角度，DE的延长线交BC于点F，如图2
①证明：AE⋅CG=DG⋅CF；
CF
②若∠AEB=∠BAC=90°，求 的值．
AB
68．（2023·安徽亳州·统考二模）如图1，在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE，∠ABD=∠ACE．
(1)①求证：△ABC∽△ADE；
②若AB=AC，试判断△ADE的形状，并说明理由；
(2)如图2，旋转△ADE，使点D落在边BC上，若∠BAC=∠DAE=90°，∠B=∠ADE．求证：
CE⊥BC．
题型 23 相似三角形的应用
69．（2023·山西晋中·校联考模拟预测）如图1，滹沱河是山西地区一条途经了舟山和太行山的知名河流，
这条河流的流域面积达到了2.73万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在
《山海经》中就有出现过，被叫做为虔池．为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标P，在近
岸取点A和C，使点P、A、C共线且与河垂直，接着在过点C且与直线PC垂直的直线上选择适当的点D，
确定PD与过点A且与PC垂直的直线交点B．测得AC=50m，CD=120m，AB=80m，请根据这些数据
求河的宽度PA．
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70．（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在相对的两栋楼CD、EF中间有一堵院墙AB，
甲、乙两个人分别在这两栋楼内观察这堵墙，根据实际情况画出平面图形(CD⊥DF．AB⊥DF．
EF⊥DF)．甲从点C可以看到点G处，乙从点E可以看到点D处．点B是DF的中点．墙AB高5.5米，
DF=120米，BG=10.5米，求甲、乙两人的观察点到地面的距离的差．（结果精确到0.1米）．
71．（2023·陕西渭南·统考二模）如图，某天傍晚，数学兴趣小组的小敏和小芳在公园散步时作了如下探
索：当小芳竖直站立在A处时，她在路灯D下的影子为线段AC，并测得AC=2米，已知DE、AB均与地
面EC垂直，且E、A、C在同一直线上，小芳的身高AB为1.5米，小芳与灯杆底部E的距离为AE为8米．
(1)求路灯的高度DE；
(2)如果要缩短小芳的影子AC的长度，同时不能改变路灯的高度和位置，请你写出一种方法．
72．（2023·陕西西安·统考三模）西安古城墙凝聚了中国古代劳动人民的智慧，它作为古城西安的地标性
建筑，吸引了不少人慕名而来．节假日，乐乐去城墙游玩，看见宏伟的城墙后，他想要测量城墙的高度
DE．如图，他拿着一根笔直的小棍BC，站在距城墙约30米的点N处（即EN=30米），把手臂向前伸直
且让小棍BC竖直，BC∥DE，乐乐看到点B和城墙顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．
已知乐乐的臂长CM约为60厘米，小棍BC的长为24厘米，AN⊥EN，CM⊥AN，DE⊥EN，求城
墙的高度DE．
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73．（2023·陕西西安·统考三模）党的二十大报告提出要“全面推进乡村振兴”，这是对党的十九大报告
所提出的“实施乡村振兴战略”的进一步发展，彰显出新时代新征程在工农城乡关系布局上的深远谋划，
为不断推进乡村振兴、加快农村现代化进程指明了方向某市为了加快城乡发展，保障市民出行方便，在流
经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算
该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出
点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DE∥BC．经测量，BC=120米，
DE=210米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们
计算桥AF的长度．
74．（2023·浙江衢州·校考一模）（1）如图1，若D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，我们把这
样的线段DE称为是三角形的中位线．你知道中位线DE与BC之间有什么关系吗？请同学们大胆地猜想一
下，并证明你的结论．
（2）如示意图2，小华家（点A处）和公路（l）之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌（DE
）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路计为BC．一辆以
60km/h匀速行驶的汽车经过公路段的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距
离（精确到1m）．
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75．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）西安钟楼位于西安市中心，明城墙内东西南北四条大街的交汇处，
为中国现存钟楼中形制最大、保存最完整的一座．如图，小琪想要测出钟楼AB的高度，于是在地面上的C
处放置了一面镜子，当他站在离镜子C处1.2m的E处时，恰好从镜子里看到钟楼顶端A在镜子中的像（即
∠DCE=∠ACB）．已知B，C，E在同一直线上，小琪的眼睛离地面的高度DE=1.5m，BC=28.8m，
求钟楼AB的高度．
76．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，工地上有两根电线杆，分别在高为4m、6m的A、C处用铁丝将两
杆固定，求铁丝AD与铁丝BC的交点M处离地面的高．
77．（2023·陕西铜川·统考一模）已知有一块三角形材料∠ABC，其中BC=120cm，高AD=80cm，现
需要在三角形ABC上裁下一个正方形材料做零件，使得正方形EFGH的顶点E、F分别在边AB，AC上，
H、G在BC上，裁下的正方形EFGH的边长是多少？
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一、单选题
1．（2023·重庆·统考中考真题）如图，已知△ABC∽△EDC，AC:EC=2:3，若AB的长度为6，则DE
的长度为（ ）
A．4 B．9 C．12 D．13.5
2．（2023·陕西·统考中考真题）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF=2BF．连接EF并延
长，与CB的延长线相交于点M．若BC=6，则线段CM的长为（ ）
13 15
A． B．7 C． D．8
2 2
3．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，
∠ADE=60°，若BD=4DC，DE=2.4，则AD的长为（ ）
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
4．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放
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置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．
已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为
10m，则旗杆高度为（ ）
A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m
5．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把
△ADE以A为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点．若AB=√3，AD=1．以下结论：
①BD=CE；②BD⊥CE；
3−√3
③当点E在BA的延长线上时，MC= ；
2
1
④在旋转过程中，当线段MB最短时，△MBC的面积为 ．
2
其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA=OB=3√5，点C为平
3
面内一动点，BC= ，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM:MA=1:2．当线段OM取最大值
2
时，点M的坐标是（ ）
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(3 6) (3 6 ) (6 12) (6 12 )
A． , B． √5, √5 C． , D． √5, √5
5 5 5 5 5 5 5 5
7．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°．以点B为圆心，
1
任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于 FG的长为半径作弧，
2
1
两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于 BD的长为半径作弧，两孤
2
相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①∠AED=∠ABC；②
1
BC=AE；③ED= BC；④当AC=2时，AD=√5−1．其中正确结论的个数是（ ）
2
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2023·江苏·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=√3x+b的图象分别与x轴、y
k CA 1
轴交于A、B两点，且与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点C．若点A坐标为(2,0), = ，则
x AB 2
k的值是（ ）．
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A．√3 B．2√3 C．3√3 D．4√3
9．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，以点A为圆心，以
1
AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于 BD的长为半径作弧，两弧
2
交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是（ ）
S √3
A．BE=DE B．AE=CE C．CE=2BE D． △EDC =
S 3
△ABC
10．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC
于点E，DF∥BC交EP于点F，若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（ ）
A．12 B．14 C．18 D．24
二、填空题
11．（2023·广东·统考中考真题）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线
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上（如图），则图中阴影部分的面积为 ．
12．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE,AC分
别与DF,EF相交于G,H两点．若DG=m,EH=n，用含m,n的式子表示GH的长是 ．
13．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以
MN为对称轴作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比
k 1
例函数y= (x<0)的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为OE的中点，且S = ，则k
x △EAF 4
的值为 ．
14．（2023·上海·统考中考真题）如图，在△ABC中，点D，E在边AB，AC上，2AD=BD,DE∥BC，
联结DE，设向量⃗AB=⃗a，⃗AC=⃗b，那么用⃗a，⃗b表示⃗DE= ．
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15．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在△ABC中，AC=BC=16，点D在AB上，点E在BC上，
点B关于直线DE的轴对称点为点B'，连接DB'，EB'，分别与AC相交于F点，G点，若
AF=8，DF=7,B'F=4，则CG的长度为 ．
16．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E，F分别在边BC，CD上，
AE与BF相交于点G，若BE=CF=5，则BG的长为 ．
三、解答题
17．（2023·四川成都·统考中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探
究．
AD 1
在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC，D是AB边上一点，且 = （n为正整数），E是AC边上的动
BD n
点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．
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【初步感知】
√2
(1)如图1，当n=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF= AB，请写出证明过程．
2
【深入探究】
(2)①如图2，当n=2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论
并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必
证明）
【拓展运用】
(3)如图3，连接EF，设EF的中点为M．若AB=2√2，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的
路径长（用含n的代数式表示）．
18．（2023·安徽·统考中考真题）在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD位
置，点D在直线AB外，连接AD,BD．
(1)如图1，求∠ADB的大小；
(2)已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD,DE∥AB．
（ⅰ）如图2，连接CD，求证：BD=CD；
（ⅱ）如图3，连接BE，若AC=8,BC=6，求tan∠ABE的值．
19．（2023·山西·统考中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形
纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中
∠ACB=∠≝=90°,∠A=∠D．将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为
点B）．当∠ABE=∠A时，延长DE交AC于点G．试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．
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(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；
(2)深入探究：老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新
的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE=∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点
M,BM与AC交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若
BC=9,AC=12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．
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20．（2023·新疆·统考中考真题）【建立模型】(1)如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，
AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB=BE．求证：△ACB≌△BDE；
【类比迁移】(2)如图2，一次函数y=3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段AB绕点B逆
时针旋转90°得到BC、直线AC交x轴于点D．
①求点C的坐标；
②求直线AC的解析式；
【拓展延伸】(3)如图3，抛物线y=x2−3x−4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于C点，
1
已知点Q(0，−1)，连接BQ．抛物线上是否存在点M，使得tan∠MBQ= ，若存在，求出点M的横坐
3
标．
21．（2023·湖南·统考中考真题）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高．
(1)证明：△ABD∽△CBA；
(2)若AB=6，BC=10，求BD的长．
22．（2023·福建·统考中考真题）阅读下列材料，回答问题
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任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽
度，如图1．
工具：一把皮尺（测量长度略小于AB）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的
两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；
测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小，
如图3．
小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB，其测量及求解过程如下：测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点C，如图4，测得AC=am，BC=bm；
a b
（ⅱ）分别在AC，BC，上测得CM= m，CN= m；测得MN=cm．求解过程：
3 3
a b
由测量知，AC=a， BC=b，CM= ，CN= ，
3 3
CM CN 1
∴ = = ，又∵①___________，
CA CB 3
MN 1
∴△CMN∽△CAB，∴ = ．
AB 3
又∵MN=c，∴AB=②___________(m)．
故小水池的最大宽度为___________m．
(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；
(2)小明求得AB用到的几何知识是___________；
(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何
量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的
长度用字母a，b，c ⋯表示，角度用α，β，γ ⋯表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出AB，
且测量的次数最少，才能得满分）．
23．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即
∠CEF=∠AEF）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置
后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离CD=1.7m，
BE=20m，DE=2m，求建筑物AB的高度．
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【活动探究】
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子
移动至E 处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE =2m；再将镜子移动至E 处，恰好通过镜
1 1 2
子看到广告牌的底端A，测出DE =3.4m．经测得，小军的眼睛离地面距离CD=1.7m，BD=10m，求这
2
个广告牌AG的高度．
【应用拓展】
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如
图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离CD=1.7m），小明通过移动镜子（镜子
平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出DE=2.8m；③测出坡长AD=17m；④测
8
出坡比为8:15（即tan∠ADG= ）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整
15
数）．
24．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与实践
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数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知
识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
(1)发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，
CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：______，∠BDC=______°；
(2)类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，
CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，
且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：
______；
(4)实践应用：正方形ABCD中，AB=2，若平面内存在点P满足∠BPD=90°，PD=1，则S =
△ABP
______．
25．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的
同侧分别以A，P，B为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两
边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．
(1)如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请
用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留
作图痕迹；
(2)如图3，在Rt△APC中，∠A=90∘，AC>AP，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角
∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线
于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．
①确定△PCF的形状，并说明理由；
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②若AP:PB=1:2，BF=√2k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．
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