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第 32 讲 锐角三角函数及其应用
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 锐角三角函数
题型01 理解正弦、余弦、正切的概念
题型02 求角的正弦值
题型03 求角的余弦值
题型04 求角的正切值
题型05 已知正弦值求边长
题型06 已知余弦值求边长
题型07 已知正切值求边长
题型08 含特殊角的三角函数值的混合运算
题型09 求特殊角的三角函数值
题型10 由特殊角的三角函数值判断三角形形状
题型11 用计算器求锐角三角函数值
题型12 已知角度比较三角函数值大小
题型13 根据三角函数值判断锐角的取值范围
题型14 利用同角三角函数关系求解
题型15 求证同角三角函数关系式
题型16 互余两角三角函数关系
考点二 解直角三角形
题型01 构造直角三角形解直角三角形
题型02 网格中解直角三角形
题型03 在坐标系中解直角三角形
题型04 解直角三角形的相关计算
题型05 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
考点三 解直角三角形的应用
题型01 仰角、俯角问题
类型一 利用水平距离测量物体高度
类型二 测量底部可以到达的物体高度
类型三 测量底部不可到达的物体的高度
题型02 方位角问题
题型03 坡度坡比问题
题型04 坡度坡比与仰角俯角问题综合
考点要求 新课标要求 命题预测
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利用相似的直角三角形，探索并 锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考
认识锐角三角函数(sinA，cosA，tanA). 点,其考察内容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定
知道 30°，45°，60°角的三角 义，②特殊角的三角函数值，③解直角三角形与其应用
锐角三角函数 函数值. 等.出题时除了会单独出题以外，还常和四边形、圆、网
会使用计算器由已知锐角求它的 格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型.
三角函数值，由已知三角函数值求它的对 预计2024年各地中考还将以选题和综合题的形式出现，
应锐角. 在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用
辅助线构造直角三角形，是得分的关键.
解直角三角形 能用锐角三角函数解直角三角
形，能用相关知识解决一些简单的实际问
解直角三角形
题.
的应用
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考点一 锐角三角函数
1. 锐角三角函数的概念：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（其中：0＜∠A＜90°）
2. 正弦、余弦、正切的概念
定义 表达式 图形
∠A的对边 a A
正弦 sin A= sin A=
斜边 c
∠A的邻边 b c
余弦 cosA= cosA= b
斜边 c
a
∠A的对边 a
正切 tan A= tan A= C B
∠A的邻边 b
3. 锐角三角函数的关系：
在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系：
sinA
1）同角三角函数的关系：tanA= ，sin2A+cos2A=1
cosA
2) 互余两角的三角函数关系：sin A = cos B, sin B = cos A, tanA•tanB=1
4. 特殊角的三角函数值
三角函数 30° 45° 60°
√2 √3
2 2
√3 √2 1
cosα
2 2 2
√3
tanα 1 √3
3
【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角.
5. 锐角三角函数的性质
sin A随∠A的增大而增大
性质 前提：0°＜∠A＜90° cos A随∠A的增大而减小
tan A随∠A的增大而增大
1. 若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省
略角的符号“∠”,如 tan A、sin a、cos A.若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的,则表示
它的正弦、余弦及正切时,不能省略角的符号“∠”,如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1.
2. tan A乘方时,一般写成tannA,它与(tan A) n含义相同(正弦、余弦相同).
3. 锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的. 而且由锐角三角函数的定义可知,其本质特征是
3
两条线段长的比.因此,锐角三角函数只有数值,没有单位，它的大小只与角的大小有关，而与它所在的
三角形的边长无关.
4. 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通1. 若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省
略角的符号“∠”,如 tan A、sin a、cos A.若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的,则表示
它的正弦、余弦及正切时,不能省略角的符号“∠”,如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1.
2. tan A乘方时,一般写成tannA,它与(tan A) n含义相同(正弦、余弦相同).
3. 锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的. 而且由锐角三角函数的定义可知,其本质特征是
两条线段长的比.因此,锐角三角函数只有数值,没有单位，它的大小只与角的大小有关，而与它所在的
三角形的边长无关.
4. 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通
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题型01 理解正弦、余弦、正切的概念
【例1】（2022·湖北·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，BD是斜边AC上的高，AB≠BC，则下列比
值中等于sin A的是（ ）．
AD BD BD DC
A． B． C． D．
AB AD BC BC
BC 3
【变式1-1】（2021·浙江杭州·统考一模）在△ABC中，∠C＝90°， = ，则（ ）
AB 5
3 3 4 4
A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝
5 5 3 3
3
【变式1-2】（2023·福建泉州·统考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则cosA的值是（ ）
5
3 3 4 5√34
A． B． C． D．
5 4 5 34
【变式1-3】（2022·河北唐山·统考二模）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠α，叙述正确的
是（ ）
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A．sinα的值越大，梯子越陡
B．cosα的值越大，梯子越陡
C．tanα的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与∠α的函数值无关
【变式1-4】（2021·浙江杭州·统考三模）在 ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、
c，下列结论正确的是（ ）
△
A．b＝a•sinA B．b＝a•tanA C．c＝a•sinA D．a＝c•cosB
【变式1-5】（2019·湖南邵阳·校联考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值
（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
【变式1-6】（2021·辽宁抚顺·统考一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分
别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
题型02 求角的正弦值
【例2】（2022·江西·模拟预测）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于
点C、D，若CD=12，PA=8，则sin∠ADB的值为（ ）
4 3 3 4
A． B． C． D．
5 5 4 3
【变式2-1】（2020·江苏扬州·统考模拟预测）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C
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都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（ ）
2√13 3√13 2 3
A． B． C． D．
13 13 3 2
【变式2-2】（2020·山东聊城·统考模拟预测）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是
1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（ ）．
3√5 √17 3 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
题型03 求角的余弦值
【例3】（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长
为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是（ ）
√5 √10 2√5 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
【变式3-1】（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的直径．若
CD=10，弦AC=6，则cos∠ABC的值为（ ）
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4 3 4 3
A． B． C． D．
5 5 3 4
【变式3-2】（2023·内蒙古乌兰察布·校考模拟预测）如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形
网格上，则cos∠BAC的值为 ．
【变式3-3】（2022·广东中山·统考一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点
不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若BE＝6，试求cos∠CDA的值．
题型04 求角的正切值
【例4】（2023·江苏扬州·统考二模）北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理
念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE
＝ ．
【变式4-1】（2023·江苏苏州·校考二模）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外
一点，∠BCD=∠BAC，连接OD交BC于点E．
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(1)求证：CD是⊙O的切线．
4
(2)若CE=OA,sin∠BAC= ，求tan∠CEO的值．
5
【变式4-2】（2022·浙江绍兴·一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，
CE=3，连接AF交CG于点K，H是AF的中点，连接CH．
(1)求tan∠GFK的值；
(2)求CH的长．
题型05 已知正弦值求边长
3
【例5】（2022·云南昆明·官渡六中校考一模）在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sin A= ，则
5
AB的长是（ ）
500 503
A． B． C．60 D．80
3 5
【变式5-1】（2023·广东佛山·校联考模拟预测）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部
分示意图，现测得∠A=88°，∠C=42°，AB=60，则点A到BC的距离为（ ）
60
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
sin50°
【变式5-2】（2020·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点
4 k
A(10,0)，sin∠COA= ．若反比例函数y= (k>0,x>0)经过点C，则k的值等于（ ）
5 x
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A．10 B．24 C．48 D．50
题型06 已知余弦值求边长
√3
【例6】（2022·广西南宁·南宁二中校考三模）如图，在△ABC中，∠C=90°,cosA= ,AC=4√3，
2
则AB长为（ ）
A．4 B．8 C．8√3 D．12
【变式6-1】（2016·内蒙古鄂尔多斯·统考二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动
4
点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cosα＝ ，则线段CE的最大值为 ．
5
【变式6-2】（2020·广东广州·统考一模）如图所示，ABCD为平行四边形，AD=13，AB=25，
5
∠DAB=α，且cosα= ，点E为直线CD上一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，连接
13
CF．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）当点C，B，F三点共线时，设EF与AB相交于点G，求线段BG的长；
（3）求线段CF的长度的最小值．
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题型07 已知正切值求边长
1
【例7】（2021·江苏无锡·统考一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝ ，AD＝2，BD＝4，
2
连接CD，则CD长的最大值是（ ）
3 3
A．2√5+ B．2√5+1 C．2√5+ D．2√5＋2
4 2
【变式7-1】（2023·山东日照·校考三模）如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若
1
CD＝a，tan∠CBD＝ ，则AD的长是 ．
3
【变式7-2】（2023·江西萍乡·统考二模）如图，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为C，OA=2√5，
1 k
tan A= ，反比例函数y= 的图像经过OA的中点B，与AC交于点D．
2 x
(1)求k值；
(2)求△OBD的面积．
【变式7-3】（2021·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，已知，在△ABC中，O为AB上一点，CO平分∠ACB，
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以O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O与BC相切于点B，交CO于点D，延长CO交⊙O于点E，连接
BD，BE．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）若tan∠BDE=2，BC=6，求⊙O的半径．
题型08 含特殊角的三角函数值的混合运算
【例8】（2022·贵州·模拟预测）计算√8+|−2|×cos45°的结果，正确的是（ ）
A．√2 B．3√2 C．2√2+√3 D．2√2+2
(1) −1
【变式8-1】（2023·湖南株洲·校考一模）计算： +√12−4sin60°．
2
【变式8-2】（2023·山东济南·模拟预测）计算：√12+(3.14−π) 0−3tan60°+|1−√3|+(−2) −2．
( 3 ) a2+4a+4
【变式8-3】（2023·山东聊城·统考一模）先化简，再求值： a+1− ÷ ，其中
a−1 a−1
1 −1
a=tan45°+( ) −π0
2
题型09 求特殊角的三角函数值
【例9】（2023·山东淄博·统考一模）在实数√2，x0（x≠0），cos30°，√38中，有理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式9-1】（2023·广东潮州·二模）计算|1−tan60°|的值为（ ）
√3
A．1−√3 B．0 C．√3−1 D．1−
3
题型10 由特殊角的三角函数值判断三角形形状
【例10】（2022·湖南衡阳·校考模拟预测）在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且
|tanB−√3|+(2cosA−√3) 2=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
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C．直角三角形 D．等腰直角三角形
√2
【变式10-1】（2021·广东广州·广州大学附属中学校考二模）在△ABC中，sin A=cos(90°−C)= ，
2
则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
| √3| (1 ) 2
【变式10-2】（2020·四川自贡·校考一模）在△ABC中，若 sin A− + −cosB =0，∠A，∠B都
2 2
是锐角，则△ABC是 三角形．
题型11 用计算器求锐角三角函数值
【例11】（2022·山东烟台·统考一模）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin36°18＇，按键顺序
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式11-1】（2023·山东淄博·统考一模）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知
楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，
井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？
（结果精确到1）
（参考数据表）
计算器按键顺序 计算结果（已精确到0.001）
11.310
0.003
14.744
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0.005
题型12 已知角度比较三角函数值大小
【例12】（2022·上海·校考模拟预测）如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（ ）
1 √3
A．0
