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第 32 讲 锐角三角函数及其应用
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 锐角三角函数
题型01 理解正弦、余弦、正切的概念
题型02 求角的正弦值
题型03 求角的余弦值
题型04 求角的正切值
题型05 已知正弦值求边长
题型06 已知余弦值求边长
题型07 已知正切值求边长
题型08 含特殊角的三角函数值的混合运算
题型09 求特殊角的三角函数值
题型10 由特殊角的三角函数值判断三角形形状
题型11 用计算器求锐角三角函数值
题型12 已知角度比较三角函数值大小
题型13 根据三角函数值判断锐角的取值范围
题型14 利用同角三角函数关系求解
题型15 求证同角三角函数关系式
题型16 互余两角三角函数关系
考点二 解直角三角形
题型01 构造直角三角形解直角三角形
题型02 网格中解直角三角形
题型03 在坐标系中解直角三角形
题型04 解直角三角形的相关计算
题型05 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
考点三 解直角三角形的应用
题型01 仰角、俯角问题
类型一 利用水平距离测量物体高度
类型二 测量底部可以到达的物体高度
类型三 测量底部不可到达的物体的高度
题型02 方位角问题
题型03 坡度坡比问题
题型04 坡度坡比与仰角俯角问题综合
考点要求 新课标要求 命题预测
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利用相似的直角三角形，探索并 锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考
认识锐角三角函数(sinA，cosA，tanA). 点,其考察内容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定
知道 30°，45°，60°角的三角 义，②特殊角的三角函数值，③解直角三角形与其应用
锐角三角函数 函数值. 等.出题时除了会单独出题以外，还常和四边形、圆、网
会使用计算器由已知锐角求它的 格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型.
三角函数值，由已知三角函数值求它的对 预计2024年各地中考还将以选题和综合题的形式出现，
应锐角. 在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用
辅助线构造直角三角形，是得分的关键.
解直角三角形 能用锐角三角函数解直角三角
形，能用相关知识解决一些简单的实际问
解直角三角形
题.
的应用
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考点一 锐角三角函数
1. 锐角三角函数的概念：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（其中：0＜∠A＜90°）
2. 正弦、余弦、正切的概念
定义 表达式 图形
∠A的对边 a A
正弦 sin A= sin A=
斜边 c
∠A的邻边 b c
余弦 cosA= cosA= b
斜边 c
a
∠A的对边 a
正切 tan A= tan A= C B
∠A的邻边 b
3. 锐角三角函数的关系：
在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系：
sinA
1）同角三角函数的关系：tanA= ，sin2A+cos2A=1
cosA
2) 互余两角的三角函数关系：sin A = cos B, sin B = cos A, tanA•tanB=1
4. 特殊角的三角函数值
三角函数 30° 45° 60°
√2 √3
2 2
√3 √2 1
cosα
2 2 2
√3
tanα 1 √3
3
【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角.
5. 锐角三角函数的性质
sin A随∠A的增大而增大
性质 前提：0°＜∠A＜90° cos A随∠A的增大而减小
tan A随∠A的增大而增大
1. 若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省
略角的符号“∠”,如 tan A、sin a、cos A.若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的,则表示
它的正弦、余弦及正切时,不能省略角的符号“∠”,如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1.
2. tan A乘方时,一般写成tannA,它与(tan A) n含义相同(正弦、余弦相同).
3. 锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的. 而且由锐角三角函数的定义可知,其本质特征是
3
两条线段长的比.因此,锐角三角函数只有数值,没有单位，它的大小只与角的大小有关，而与它所在的
三角形的边长无关.
4. 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通1. 若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省
略角的符号“∠”,如 tan A、sin a、cos A.若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的,则表示
它的正弦、余弦及正切时,不能省略角的符号“∠”,如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1.
2. tan A乘方时,一般写成tannA,它与(tan A) n含义相同(正弦、余弦相同).
3. 锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的. 而且由锐角三角函数的定义可知,其本质特征是
两条线段长的比.因此,锐角三角函数只有数值,没有单位，它的大小只与角的大小有关，而与它所在的
三角形的边长无关.
4. 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通
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题型01 理解正弦、余弦、正切的概念
【例1】（2022·湖北·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，BD是斜边AC上的高，AB≠BC，则下列比
值中等于sin A的是（ ）．
AD BD BD DC
A． B． C． D．
AB AD BC BC
BC 3
【变式1-1】（2021·浙江杭州·统考一模）在△ABC中，∠C＝90°， = ，则（ ）
AB 5
3 3 4 4
A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝
5 5 3 3
3
【变式1-2】（2023·福建泉州·统考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则cosA的值是（ ）
5
3 3 4 5√34
A． B． C． D．
5 4 5 34
【变式1-3】（2022·河北唐山·统考二模）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠α，叙述正确的
是（ ）
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A．sinα的值越大，梯子越陡
B．cosα的值越大，梯子越陡
C．tanα的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与∠α的函数值无关
【变式1-4】（2021·浙江杭州·统考三模）在 ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、
c，下列结论正确的是（ ）
△
A．b＝a•sinA B．b＝a•tanA C．c＝a•sinA D．a＝c•cosB
【变式1-5】（2019·湖南邵阳·校联考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值
（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
【变式1-6】（2021·辽宁抚顺·统考一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分
别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
题型02 求角的正弦值
【例2】（2022·江西·模拟预测）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于
点C、D，若CD=12，PA=8，则sin∠ADB的值为（ ）
4 3 3 4
A． B． C． D．
5 5 4 3
【变式2-1】（2020·江苏扬州·统考模拟预测）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C
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都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（ ）
2√13 3√13 2 3
A． B． C． D．
13 13 3 2
【变式2-2】（2020·山东聊城·统考模拟预测）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是
1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（ ）．
3√5 √17 3 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
题型03 求角的余弦值
【例3】（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长
为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是（ ）
√5 √10 2√5 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
【变式3-1】（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的直径．若
CD=10，弦AC=6，则cos∠ABC的值为（ ）
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4 3 4 3
A． B． C． D．
5 5 3 4
【变式3-2】（2023·内蒙古乌兰察布·校考模拟预测）如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形
网格上，则cos∠BAC的值为 ．
【变式3-3】（2022·广东中山·统考一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点
不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若BE＝6，试求cos∠CDA的值．
题型04 求角的正切值
【例4】（2023·江苏扬州·统考二模）北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理
念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE
＝ ．
【变式4-1】（2023·江苏苏州·校考二模）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外
一点，∠BCD=∠BAC，连接OD交BC于点E．
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(1)求证：CD是⊙O的切线．
4
(2)若CE=OA,sin∠BAC= ，求tan∠CEO的值．
5
【变式4-2】（2022·浙江绍兴·一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，
CE=3，连接AF交CG于点K，H是AF的中点，连接CH．
(1)求tan∠GFK的值；
(2)求CH的长．
题型05 已知正弦值求边长
3
【例5】（2022·云南昆明·官渡六中校考一模）在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sin A= ，则
5
AB的长是（ ）
500 503
A． B． C．60 D．80
3 5
【变式5-1】（2023·广东佛山·校联考模拟预测）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部
分示意图，现测得∠A=88°，∠C=42°，AB=60，则点A到BC的距离为（ ）
60
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
sin50°
【变式5-2】（2020·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点
4 k
A(10,0)，sin∠COA= ．若反比例函数y= (k>0,x>0)经过点C，则k的值等于（ ）
5 x
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A．10 B．24 C．48 D．50
题型06 已知余弦值求边长
√3
【例6】（2022·广西南宁·南宁二中校考三模）如图，在△ABC中，∠C=90°,cosA= ,AC=4√3，
2
则AB长为（ ）
A．4 B．8 C．8√3 D．12
【变式6-1】（2016·内蒙古鄂尔多斯·统考二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动
4
点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cosα＝ ，则线段CE的最大值为 ．
5
【变式6-2】（2020·广东广州·统考一模）如图所示，ABCD为平行四边形，AD=13，AB=25，
5
∠DAB=α，且cosα= ，点E为直线CD上一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，连接
13
CF．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）当点C，B，F三点共线时，设EF与AB相交于点G，求线段BG的长；
（3）求线段CF的长度的最小值．
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题型07 已知正切值求边长
1
【例7】（2021·江苏无锡·统考一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝ ，AD＝2，BD＝4，
2
连接CD，则CD长的最大值是（ ）
3 3
A．2√5+ B．2√5+1 C．2√5+ D．2√5＋2
4 2
【变式7-1】（2023·山东日照·校考三模）如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若
1
CD＝a，tan∠CBD＝ ，则AD的长是 ．
3
【变式7-2】（2023·江西萍乡·统考二模）如图，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为C，OA=2√5，
1 k
tan A= ，反比例函数y= 的图像经过OA的中点B，与AC交于点D．
2 x
(1)求k值；
(2)求△OBD的面积．
【变式7-3】（2021·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，已知，在△ABC中，O为AB上一点，CO平分∠ACB，
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以O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O与BC相切于点B，交CO于点D，延长CO交⊙O于点E，连接
BD，BE．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）若tan∠BDE=2，BC=6，求⊙O的半径．
题型08 含特殊角的三角函数值的混合运算
【例8】（2022·贵州·模拟预测）计算√8+|−2|×cos45°的结果，正确的是（ ）
A．√2 B．3√2 C．2√2+√3 D．2√2+2
(1) −1
【变式8-1】（2023·湖南株洲·校考一模）计算： +√12−4sin60°．
2
【变式8-2】（2023·山东济南·模拟预测）计算：√12+(3.14−π) 0−3tan60°+|1−√3|+(−2) −2．
( 3 ) a2+4a+4
【变式8-3】（2023·山东聊城·统考一模）先化简，再求值： a+1− ÷ ，其中
a−1 a−1
1 −1
a=tan45°+( ) −π0
2
题型09 求特殊角的三角函数值
【例9】（2023·山东淄博·统考一模）在实数√2，x0（x≠0），cos30°，√38中，有理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式9-1】（2023·广东潮州·二模）计算|1−tan60°|的值为（ ）
√3
A．1−√3 B．0 C．√3−1 D．1−
3
题型10 由特殊角的三角函数值判断三角形形状
【例10】（2022·湖南衡阳·校考模拟预测）在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且
|tanB−√3|+(2cosA−√3) 2=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
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C．直角三角形 D．等腰直角三角形
√2
【变式10-1】（2021·广东广州·广州大学附属中学校考二模）在△ABC中，sin A=cos(90°−C)= ，
2
则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
| √3| (1 ) 2
【变式10-2】（2020·四川自贡·校考一模）在△ABC中，若 sin A− + −cosB =0，∠A，∠B都
2 2
是锐角，则△ABC是 三角形．
题型11 用计算器求锐角三角函数值
【例11】（2022·山东烟台·统考一模）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin36°18＇，按键顺序
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式11-1】（2023·山东淄博·统考一模）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知
楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，
井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？
（结果精确到1）
（参考数据表）
计算器按键顺序 计算结果（已精确到0.001）
11.310
0.003
14.744
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0.005
题型12 已知角度比较三角函数值大小
【例12】（2022·上海·校考模拟预测）如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（ ）
1 √3
A．0<sinA< B．0<cosA<
2 2
√3
C． <tan A<1 D．1<cot A<√3
3
【变式12-1】（2020·江苏扬州·统考一模）比较大小：sin81∘ tan47°(填“<”“=”或“＞”)
【变式12-2】（2020·内蒙古·统考二模）在直角三角形ABC中，角C为直角，锐角A的余弦函数定义为
，写出sin70º、cos40º、cos50º的大小关系 ．
题型13 根据三角函数值判断锐角的取值范围
【例13】（2023·陕西西安·校考三模）若tanA=2，则∠A的度数估计在（ ）
A．在0°和30°之间 B．在30° 和45°之间
C．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间
1
【变式13-1】（2022·浙江金华·校联考一模）若∠A是锐角，且sinA＝ ，则（ ）
3
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
【变式13-2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）若cos∠1=0.8，则∠1的度数在（ ）范围内．
A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°
√2
【变式13-3】（2021·安徽安庆·统考一模）若锐角α满足cosα＜ 且tanα＜√3，则α的范围是( )
2
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°
C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
题型14 利用同角三角函数关系求解
5
【例14】（2021·江苏扬州·统考一模）已知∠α为锐角，且sinα= ，则cosα= ．
13
【变式14-1】（2023·广东东莞·统考三模）如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．
3
已知CF=4，sin∠EFC= ，则BF= ．
5
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题型15 求证同角三角函数关系式
【例15】（2021·北京·统考一模）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO=BO．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
3
（2）∠BDC的平分线DM交BC于点M，当AB=3，tan∠DBC= 时，求CM的长．
4
【变式15-1】（2022·福建福州·福建省福州屏东中学校考模拟预测）求证：若α为锐角，则
sin2α+cos2α=1．要求：
(1)如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，∠ACB为90°的Rt△ABC（保
留作图痕迹，不写作法）．
(2)根据（1）中所画图形证明该命题．
【变式15-2】（2023·河北保定·统考二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，
sin29°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，
sin37°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，
2 2
sin245°+sin245=
(√2)
+
(√2)
=1．
2 2
据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角α，β，若α+β=90°，均有sin2α+sin2β=1．
(1)当α=30°，β=60°时，验证sin2α+sin2β=1是否成立？
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(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示Rt△ABC给予证明，其中∠A所对的边为a，∠B所对
的边为b，斜边为c；若不成立，请举出一个反例；
(3)利用上面的证明方法，直接写出tanα与sinα，cosα之间的关系．
题型16 互余两角三角函数关系
【例16】（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）化简√(sin28°−cos28°) 2等于（ ）
A．sin28°−cos28° B．0
C．cos28°−sin28° D．以上都不对
2
【变式16-1】（2023·四川成都·成都实外校考一模）已知sin42°≈ ，则cos48°的值约为（ ）
3
√5 1 3 2
A． B． C． D．
3 3 2 3
6
【变式16-2】（2023·云南昆明·校考三模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则cosB= ．
7
【变式16-3】（2019·浙江杭州·模拟预测）如图，在Rt ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下
列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ.其中正确的结论有 .
△
考点二 解直角三角形
解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角
形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B
2）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）
A
3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°
4）边角之间的关系：
c
b
a
C B
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∠A所对的边 a ∠B所对的边 b
sin A= = ，sin B= =
斜边 c 斜边 c
∠A所邻的边 b ∠B所邻的边 a
cos A= = ，cosB= =
斜边 c 斜边 c
∠A所对的边 a ∠B所对的边 b
tan A= = ，tanB= =
邻边 b 邻边 a
解直角三角形常见类型及方法：
已知类型 已知条件 解法步骤
斜边和一直角边
(如c,a) ① ② ③∠B=90°－∠A
两边
两直角边
(如a,b) ① ② ③∠B=90°－∠A
斜边和一锐角
（如c，∠A） ①∠B=90°－∠A ②
③
一边和一锐角 一直角边和一锐角
（如a，∠A） ①∠B=90°－∠A ②
③
另一直角边和一锐角
（如b，∠A） ①∠B=90°－∠A ②
③
1. 在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三
个未知元素(知二求三).
2. 已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其
边的大小不确定.
题型01 构造直角三角形解直角三角形
【例1】（2023·陕西渭南·统考一模）如图，AD是△ABC的高，若BD=2CD=6，tan∠C=2，则边AB
的长为（ ）
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A．3√2 B．3√5 C．3√7 D．6√2
1
【变式1-1】（2021·山东聊城·统考一模）如图，在 ABC中，sinB= ， tanC=2，AB=3，则AC的长为
3
（ ） △
√5
A．√2 B． C．√5 D．2
2
【变式1-2】（2022·陕西西安·西安市中铁中学校考三模）如图，在ΔABC中，∠ACB=60°，
∠B=45°，AB=√6，CE平分∠ACB交AB于点E，则线段CE的长为( )
A．√3 +1 B．2 C．√2 D．√6-√2
【变式1-3】（2022·浙江杭州·校考一模）在△ABC中，AC=4√2，BC=6，∠C为锐角且tanC=1．
(1)求△ABC的面积；
(2)求AB的值；
(3)求cos∠ABC的值．
【变式1-4】（2022·河南安阳·模拟预测）公交总站(点A)与B、C两个站点的位置如图所示，已知AC=6
km，∠B=30°，∠C=15°，求B站点离公交总站的距离即AB的长(结果保留根号)．
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题型02 网格中解直角三角形
【例2】（2022·江苏常州·校考二模）已知在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图
所示，则tan(α+β)= ．
【变式2-1】（2022·江苏扬州·统考一模）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C
∠ADC
均在格点上，D是AB与网格线的交点，则sin 的值是 ．
2
【变式2-2】（2022·四川广元·校考一模）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交
于点P，则∠APD的正切值为 ．
【变式2-3】（2021·北京延庆·统考一模）如图所示，∠MON是放置在正方形网格中的一个角，则
tan∠MON的值是 ．
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题型03 在坐标系中解直角三角形
【例3】（2023·上海·一模）平面直角坐标系内有一点P(1,2)，那么OP与x轴正半轴的夹角为α，tanα=
．
【变式3-1】（2022·山东淄博·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB=√5，连结AB并延长至
1
C，连结OC，若满足OC2=BC⋅AC，tanα= ，则点C的坐标为（ ）
2
( 4 2) ( 2 4)
A．(−2,4) B． − , C． − , D．(−1,2)
3 3 3 3
【变式3-2】（2021·山东枣庄·校联考一模）如图，⊙A经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，
0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点．则∠CDO的正弦值是（ ）
3 2 3 4
A． B． C． D．
5 5 4 5
【变式3-3】（2022·山东菏泽·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴
的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB=a,BC=b,∠DAO=x．则点C到x
轴的距离等于（ ）
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A．acosx+bsinx B．acosx+bcosx C．asinx+bcosx D．asinx+bsinx
题型04 解直角三角形的相关计算
【例4】（2023·上海奉贤·统考一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，
另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为
．
【变式4-1】（2020·浙江丽水·统考模拟预测）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹
子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，
OE=OF=1cm，AC=BD=6cm， CE=DF， CE:AE=2:3.按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．
(1)当E，F两点的距离最大值时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是 cm．
(2)当夹子的开口最大（点C与点D重合）时，A，B两点的距离为 cm．
【变式4-2】（2022·上海金山·校考一模）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连
1
接CE，若tan∠ADB= ，则tan∠DEC的值是 ．
2
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【变式4-3】（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口
b=20mm，则边长a为 mm．
题型05 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
【例5】（2022·四川绵阳·统考三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC
＝BD＝2，则这个四边形的面积是（ ）
√3 √3
A． B． C．√3 D．2√3
4 2
【变式5-1】（2020·山西·统考模拟预测）如图，在▱ABCD中，AB=BC=2,∠ABC=60°，过点D作
1
DE//AC，DE= AC，连接AE，则△ADE的周长为 ．
2
【变式5-2】（2021·江西赣州·统考一模）图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图
2，其中点B，E，D均为可转动点．现测得AB=BE=ED=CD=14cm，经多次调试发现当点B，E所在
直线垂直径过CD的中点F时（如图3所示）放置较平稳．
（1）求平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；
（2）为保护视力，写字时眼睛离桌面的距离应保持在30cm，为防止台灯刺眼，点A离桌面的距离应不超
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过30cm，求台灯平稳放置时∠ABE的最大值．（结果精确到0.01°，参考数据：√3≈1.732，
sin16.07°≈0.2768，cos73.93°≈0.2768，tan15.47°≈0.2768）
【变式5-3】（2022·山东烟台·统考二模）一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，ΔBCD为按压柄，CE为伸缩
连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE=∠BEF=108°，BD=6cm，BE=4cm．当按压柄
ΔBCD按压到底时，BD转动到BD'，此时BD'//EF（如图3）．
（1）求点D转动到点D'的路径长；
（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，
tan72°≈3.08）
【变式5-4】（2022·山西吕梁·统考一模）如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为
2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座
垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB=115°，
∠AOM=160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离为10cm，求此时点B到桌面
的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，√2≈1.414）
考点三 解直角三角形的应用
解直角三角形的相关的名词、术语：
1）视角：视线与水平线的夹角叫做视角．
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
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2）方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．
h
3）坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i= .
l
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
解直角三角形实际应用的一般步骤：
1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
测量物体的高度的常见模型：
1）利用水平距离测量物体高度（双直角三角形）
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解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求
边，或通过公共边相等，列方程求解.
2）测量底部可以到达的物体高度
模型 需测量数据 数量关系 原理
测量仪高m， h−m
tanα=
n
h 水平距离n，
α 倾斜角α h= m+n•tanα 矩形的性质与直角三
m
n
角形的边角关系
水平距离n， h h
tana= 1，tanβ= 2
h
1
仰角α， n n
α
β 俯角β h=h 1 +h 2 =n（
h
2 tana+tanaβ）
n
3）测量底部不可到达的物体的高度
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题型01 仰角、俯角问题
类型一 利用水平距离测量物体高度
【例1】（2023·陕西·模拟预测）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰
角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB=16m，则这棵树
CD的高度是（ ）
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A．8(3−√3)m B．8(3+√3)m C．6(3−√3)m D．6(3+√3)m
【变式1-1】（2022·江苏苏州·统考一模）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15
米到达点E即EF=15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（ ）
A．15sin32° B．15tan64° C．15sin64° D．15tan32°
【变式1-2】（2022·云南昆明·云南师范大学实验中学校考三模）某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，
通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头C处
的高度CD为238米，点A，D，B在同一直线上，则通道AB的长度为 米．(结果保留整数，参考
数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)
【变式1-3】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，
使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的
夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数
据：√2≈1.41,√3≈1.73）
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【变式1-4】（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵
树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°，C处测得树顶D的仰角为37°（点A，B，C在
一条水平直线上），已知测量仪高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求树BD的高度（结果保留小数点后一
位．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
类型二 测量底部可以到达的物体高度
【例2】（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为10m，在B处放
置1m高的测角仪BD，测得树顶A的仰角为60°，则树高AC为 m（结果保留根号）．
【变式2-1】（2020·广东梅州·统考模拟预测）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=15√3
米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是
米（结果保留根号）.
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【变式2-2】（2023·广东中山·中山市华侨中学校考一模）周末，王老师布置了一项综合实践作业，要求利
用所学知识测量一栋楼的高度．小希站在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为45°，看这栋楼底部的
俯角为37°，已知两楼之间的水平距离为30m，求这栋楼的高度．（参考数据：
sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75）
【变式2-3】（2021·河北石家庄·校联考一模）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的
高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观
测点与大桥主架的水平距离CM为60米，且AB垂直于桥面．（点A,B,C,M在同一平面内）
（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）
（2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）
（参考数据sin14°≈0.24,cos14°≈0.97,tan14°≈0.25,√3≈1.73）
【变式2-4】（2023·浙江金华·统考二模）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆
AB的长．
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(1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点
的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）
(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2
米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此
时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度
类型三 测量底部不可到达的物体的高度
【例3】（2023·湖北武汉·统考一模）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯
角α为45°，C点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建
筑物的高度AB为 m．（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）．
【变式3-1】（2023·山东东营·校联考一模）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆
底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测
角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求
旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：√3≈1.7）
【变式3-2】（2023·天津·模拟预测）如图，某座山AB的项部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条
直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°．已知通讯塔BC的高度为32m，
求这座山AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90．
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【变式3-3】（2022·浙江绍兴·校考一模）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积
极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知
测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC=33°，在与点A相距3.5米的
测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC=45° （点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面
的高度MN的长．（结果精确到1米；参考数据：sin33°≈0.54,cos33°≈0.84,tan33°≈0.65）
【变式3-4】（2023·四川宜宾·校考一模）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
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(1)探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆
OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径
两端点A,B共线（如图②），此目标P的仰角∠POC=∠GON．请说明两个角相等的理由．
(2)实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点K处测得顶端P的仰角
∠POQ=60∘，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米；求树高PH．（√3≈1.73，
结果精确到0.1米）
(3)拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距离地面高度PH（如图④），同学们讨论，决定
先在水平地面上选取观测点E,F （E,F,H在同一直线上），分别测得点P的仰角α,β，再测得E,F间的
距离m，点O ,O 到地面的距离O E,O F均为1.5米；求PH（用α,β,m表示）．
1 2 1 2
【变式3-5】（2022·湖南湘潭·校考模拟预测）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢
舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的
测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上．已知佛像头部BC为4m，在A处测得佛像头顶部B的仰角为
45°，头底部C的仰角为37.5°，求佛像BD的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin37.5°≈0.61，
cos37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77）
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题型02 方位角问题
【例4】（2023·山东泰安·统考一模）一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它
沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为
3 4 3
海里．（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ）
5 5 4
【变式4-1】（2023·河南洛阳·统考一模）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建
的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正
北方向，BD=100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．
(1)求步道DE的长度（精确到个位）；
(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．
请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）
【变式4-2】（2023·湖南岳阳·校联考一模）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在
河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A
在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：sin37°≈0.60，
cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．
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【变式4-3】（2022·重庆·重庆一中校考一模）3月份，长江重庆段开始进入枯水期，有些航道狭窄的水域
通航压力开始慢慢增加．为及时掌握辖区通航环境实时情况，严防船舶搁浅、触礁等险情事故发生，沿江
海事执法人员持续开展巡航检查，确保近七百公里的长江干线通航安全．如图，巡航船在一段自西向东的
航道上的A处发现，航标B在A处的北偏东45°方向200米处，以航标B为圆心，150米长为半径的圆形区
域内有浅滩，会使过往船舶有危险．
(1)由于水位下降，巡航船还发现在A处北偏西15°方向300米的C处，露出一片礁石，求B、C两地的距离；
（精确到1米）
(2)为保证航道畅通，航道维护项目部会组织挖泥船对该条航道被浅滩影响的航段进行保航施工．请判断该
条航道是否被这片浅滩区域影响？如果有被影响，请求出被影响的航道长度为多少米？如果没有被影响，
请说明理由．（参考数据：√2≈1.414，√7≈2.646）
【变式4-4】（2023·重庆江北·校考一模）如图所示，在一次海上救援演习中，游艇A按计划停泊在搜救艇
B的南偏东30°方向上，同时，在搜救艇B的正南方向，与搜救艇B相距40海里处还设置了另一支搜救艇
C，此时游艇A在搜救艇C的东北方向上，随着演习正式开始，游艇A按计划向搜救艇B与C同时发出求
救信号，并在原地等待救援．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）
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(1)在演习正式开始前，搜救艇B与游艇A相距多少海里？（结果保留根号）
(2)若搜救艇B与C同时收到游艇A的求救信号，它们同时出发实施救援行动，搜救艇B沿BA行驶，搜救
艇C西东沿CA行驶，其中搜救艇B的速度为每小时25海里，搜救艇C的速度为每小时16海里，请通过
计算判断哪支搜救艇先到达游艇A的所在地？
【变式4-5】（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）如图，一条自西向东的道路上有两个公交站点，分别
是B和C，在B的北偏东60°方向上有另一公交站点A．经测量，A在C的北偏西30°方向上，一辆公交车
从B出发，沿BC行驶(1500√3−1500)米到达D处，此时D在A的西南方向．（参考数据：√2≈1.414，
√3≈1.732）
(1)求CD的距离；（结果保留根号）
(2)该公交车原计划由D→C行驶，其平均速度为400米/分，但当行驶到D点时，接到通知，DC段道路正
在维修，需要沿D→A→C绕道行驶，为了尽快到达C站点，绕道时其平均速度提升到500米/分．那么
原计划所用时间和实际所用时间相比，哪个更少？请说明理由．（结果保留1位小数）
题型03 坡度坡比问题
【例5】（2022·江苏南通·校考一模）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB,
BC长为6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD的长为 米 （结果保留根号）
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【变式5-1】（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）拦水坝的横断面如图所示，迎水坡AB
的坡比是1:√3，坝高BC=8m，则坡面AB的长度是 m.
【变式5-2】（2023·上海静安·统考一模）一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC、AD，
且迎水坡AB的坡度为1∶2.5，背水坡CD的坡度为1∶3，则迎水坡AB的坡角 背水坡CD的坡角．
（填“大于”或“小于”）
【变式5-3】（2020·河南周口·统考一模）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，
为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡
AB=200米，坡度为1:√3；将斜坡AB的高度AE降低AC=20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为
1:4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）
题型04 坡度坡比与仰角俯角问题综合
【例6】（2022·山东济南·校考一模）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，
斜坡CD的坡度（或坡比）为i=1:2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE=50米（点A，B，C，D，E在同一
平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：
sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）
A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
【变式6-1】（2023·内蒙古包头·模拟预测）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量
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4
居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD=15m，斜坡的倾斜角为α，cosα= ．小文在C点
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处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．
(1)求C，D两点的高度差；
(2)求居民楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：√3≈1.7）
【变式6-2】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）如图，在小晴家所住的高楼AD的正西方有一座小
山坡，坡面BC与水平面的夹角为30°，在B点处测得楼顶D的仰角为45°，在山顶C处测得楼顶D的仰
角为15°，B和C的水平距离为300米．（A，B，C，D在同一平面内，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73
）
(1)求坡面BC的长度？（结果保留根号）
(2)一天傍晚，小晴从A出发去山顶C散步，已知小晴从A到B的速度为每分钟50米，从B沿着BC上山的
速度为每分钟25米，若她6:00出发，请通过计算说明她在6:20前能否到达山顶C处？（结果精确到
0.1）
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