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专题 12 三角形相似的五大模型
“A”字模型
1．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在 中， ，CD是 的中线，作
于点E．
(1)求证 ；
(2)若 ， ，则CD的长为______．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定
与性质等知识点，证得 是解题的关键．
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 ， 进而可以证明 ；
（2）由（1）得 ， 得 代入值可得AB，进而可以解决问题．
【详解】（1）证明： 在 中， ，
∵CD是 的中线，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
由（1）知： ，
，
，
∴ ，
．
2．（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，D，E分别是 上的点， 于点
G， 于点F， ．
(1)求 的值；
(2)求 与 的周长之比；
(3)若 的面积为4，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握是是解决问题的关键．
（1）由 可证得 ，再根据相似三角形的性质即可求得结果；
（2）由 ，相似三角形的周长比等于相似比，即可证得；
（3）由 ， ．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
又∵ 分别是 和 的高，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ；
故 与 的周长之比为
（3）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故 的面积为 ．
3．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图， 中，AD是边 上的高， ， ，
作矩形EFGH，使它的一边 在 上，顶点 分别在 上，AD与 的交点为 ，且矩形
长 是宽 的 倍．(1)求证： ；
(2)试求矩形EFGH的周长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用矩形的性质证明、根据矩形的性质求线段长
【分析】（ ）由矩形的性质可得 ，即得 ， ，进而可得 ，再
根据相似三角形的性质即可求证；
（ ）设 ， ，则 ，由相似三角形的性质可得 ，解方程求
出 即可求解；
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：设 ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴矩形EFGH的周长 ．
“X”字模型（“8”模型）
1．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，正方形 ，边长为4，点 在边 上，射线 与射线
交于点 ．
(1)若 ，求 的长；
(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质．
（1）通过证明 ，由相似三角形的性质可求解；
（2）通过证明 ，可得 ，可得结论．
【详解】（1）解： 四边形 是边长为4的正方形，
，
，
，
，即
；（2）证明： ，
，
∵在正方形 中， ，
，
，
．
2．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在平行四边形 中， ．
(1)求 与 的周长之比；
(2)若 求 ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是
解题的关键，
（1）由 是平行四边形，得 ， ，进而证明 ，根据相似三角形的性
质即可得解；
（2）根据相似三角形的性质即可得解．
【详解】（1）解：∵
∴ ，
∵ 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ,
，
∴∴ 与 周长的比等于相似比等于 ．
（2）解：由（1）得 ，
∴
∵
∴ ．
3．（23-24八年级下·山东泰安·期末）已知：如图， 中， ， 与 交于点 ， 与
、 分别交于点 、 ．
(1)已知点 是 的中点，求证： ；
(2)已知 ，四边形 的面积为 ，求 的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】（ ）由 可证明 根据相似三角形的性质得 ，同理
，最后由点 是 的中点即可求证；
（ ）证明 ，由性质可得 ，同理 ，再证明 ，
则 ，设 ，则 ，最后代入即可求值；
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理： ，
∴ ，
又∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理， ，
∵ ，
∴ ，
又∵
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴四边形 的面积为 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
4．（23-24九年级上·四川达州·期末）矩形 中，连接 ， 的平分线交 于点E，交 的延长线于点F．在线段 上取点G，使 ．
(1)判断三角形 的形状，并证明；
(2)若 ， ，求 及 的长．
【答案】(1)见解析
(2) ，
【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据等角对
等边证明边相等
【分析】（1）根据 为 的角平分线得 ，根据四边形 是矩形得 ，
可得 ，则 ，即可得；
（2）根据四边形 是矩形得 ， ，在 中，根据勾股定理可求出 ，即
可得 ，根据 ， 可证明 ，根据相似三角形的性
质得 ，即可得 ，在 中，根据勾股定理得 ，根据 ，
可证明 ，即可得 ，进行计算即可得．
【详解】（1）解：三角形 是等腰三角形
证明如下：
∵ 为 的角平分线，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
（2）解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
又∵ ， ，∴在 中， ．
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
；
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性
质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
5．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，等边三角形 的边长为6，在 边上各取一点 ，
连接 相交于点 ，且 ．
(1)求证： ，并求 的度数；
(2)若 ，试求 的值．【答案】(1)
(2)
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）依据等边三角形的性质得到 ， ，然后由 ，依据全等三
角形的性质可得到 ，最后，再依据三角形的外角的性质求解即可；
（2）先证明 ，依据相似三角形的性质得到 ，从而可得到问题的答案，
本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ 为等边三角形，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
6．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）[基础学习]
（1）如图1，在 中， ， ， 分别为 ， ， 上的点， ， 交 于点 ，求
证： ．[尝试应用]
（2）如图2，已知 、 为 的边 上的两点，且满足 ，一条平行于 的直线分
别交 、 和 于点 、 和 ，求 的值．
[拓展提高]
（3）如图3，矩形 中 （ 为常数），点 是矩形 边上的一个动点，延长 至
点 ，使 ，连接 ， ， 与 相交于点 ，连接 ，求 的最小值（用 的代数式
表示）．
【答案】（1）见解析（2） （3）
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．
（1）由题意得： ， ，根据相似三角形的性质得到 ，进而证明出结
论；
（2）过点M作 交 于点H，交 于点N，交 于点G，由（1）中结论可得，
，根据 ，证明 ， ， ，
，根据相似三角形的性质可得 ，整理可得 ；
（3）如图，连接 并延长交 于点H，连接 ，证明 ，求出 ，
由此可得：点H为定点，点G在线段 上运动，当 时， 有最小值，利用勾股定理求出
，由 ，即可求出 的最小值为 ．
【详解】（1）证明： ，
， ，
， ，
，
；
（2）如图，过点M作 交 于点H，交 于点N，交 于点G，
∵ ，
由（1）中结论可得， ，∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
；
（3）解：如图，连接 并延长交 于点H，连接 ，
，
，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
由此可得：点H为定点，点G在线段 上运动，
当 时， 有最小值，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 的最小值为 ．
“母子”模型(共边角模型)
1．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，在 中， 是 的角平分线，点 是边 上一点，
且满足 ．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 的长是4．
【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】此题重点考查三角形的角平分线的定义、相似三角形的判定与性质等知识．
（1）因为 是 的角平分线，所以 ，而 ，即可根据“两角分别相等的
两个三角形相似”证明 ；（2）由相似三角形的性质得 ，而 ， ，则 ．
【详解】（1）证明： 是 的角平分线，
，
，
∴ ；
（2）解：∵ ，
，
， ，
，
∴ 的长是4．
2．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，在平行四边形 中，过点D作 ，垂足为E，连
接 ，F为线段 上一点，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形
【分析】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，
（1）根据平行四边形的性质得到 ， ， ，推出 ，
，由此证明 ，即可得到结论；
（2）根据勾股定理求出 ，利用 ，得到 ，求出 ．【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
3．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图， 是等边三角形，D，B，C，E四点在同一条直线上，
．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的边长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的性质【分析】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质；
（1）利用等边三角形的性质结合三角形的外角的性质证明 ， ，从而可得结论；
（2）利用相似三角形的性质与等边三角形的性质建立方程求解即可；
【详解】（1）证明： 是等边三角形，
，
， ，
，
，
， ，
；
（2）解： ，
，
是等边三角形，
，
．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
4．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知 中， ， 平分 ， ，
．点 分别是边 、 上的点（点D不与点B、C重合），且 ， 、
相交于点F．
(1)求 的长；
(2)如图1，如果 ，求 的值；(3)如果 是以 为腰的等腰三角形，求 长．
【答案】(1)10
(2)
(3) 或1
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合
（ASA或者AAS）、三角形的外角的定义及性质
【分析】（1）根据角平分线的定义，得到 ，进而得出 ，证明 ，
得到 ，求出 ，进而得到 ，即可求出 的长；
（2）由 得到 ，进而得出 ，证明 ，得到
，求出 ， ，过点 作 交 于点 ，得到 ，
，求出 ，即可得出比值；
（3）当 时，根据等腰三角形的性质和相似三角形的性质，得出 ，
,进而得出 ，证明 ， ，得到 ， ，先求出
，再求出 ，即可得到此时 长；当 时，在 上截取点M，使 ，
证明 ，得出 ， ，得出 ，再求出 即
可．
【详解】（1）解： 平分 ，
，
，
，
，
， ，
，
，， ，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
如图，过点 作 交 于点 ，
， ，
， ，，
，
；
（3）解：当 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
， ，
，
，，
．
当 时，在 上截取点M，使 ，如图所示：
则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
综上分析可知： 或1．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等
腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．
5．（23-24七年级下·山东·期末）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点
与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另
一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图1，在 中， 为角平分线， ， ，求证： 为 的完美分割线；
(2)如图2， 中， ， ， 是 的完美分割线，且 是以 为底边的等腰三
角形，求 和 长；
(3)在 中， ， 是 的完美分割线，且 为等腰三角形，请直接写出 的度
数为__________．
【答案】(1)证明见解析
(2) ，
(3) 或
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、解一元
二次方程——配方法
【分析】（1）根据三角形内角和定理求得 ，再根据角平分线的定义可得 ，
再由等角对等边可得 为等腰三角形，再根据相似三角形的判定即可得证；
（2）根据等腰三角形的性质可得 ，从而可得 ，再根据“完美分割线的定义”可
得 ，得 ，即 ，求得 ，再根据相似三角形的性质
可得 ，即可求解；
（3）根据 是 的完美分割线，且 为等腰三角形进行分类讨论： 或 ，根
据等腰三角形的性质、三角形的内角和及相似三角形的性质进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ 不是等腰三角形．
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ 为等腰三角形．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴CD是 的完美分割线；
（2）解：∵ 是以 为底边的等腰三角形，
∴ ，
∴ ．
∵ 是 的完美分割线，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
解得 或 （不合题意，舍去），
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．（3）解：∵ 是 的完美分割线，且 为等腰三角形，
∴ 时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的性质
与判定、解一元二次方程及新定义，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和似三角形的性质与判定，理解
“完美分割线”是解题的关键．
“手拉手”模型(旋转模型)
1．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图①，已知点G在正方形 的对角线 上， ，垂
足为点E， ，垂足为点F．
(1)在图①中，求 的值：
(2)如图②将正方形 绕点C顺时针方向旋转 角 ，探究线段 与 之间的数量关系，
并证明你的结论．【答案】(1)
(2) ，理由见解析
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、根据正方形的性质证明
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似的判定与性质等，解题的关键是利用特殊角作辅助
线构造特殊三角形．
（1）由正方形的性质可得 ， ，可证 ， ，可得 ，
由平行线分线段成比例可得 ；
（2）由正方形的性质可得 ，即可证 ，可得 ，则 ．
【详解】（1） 四边形 是正方形，
， ，
，
， ，
，
，
，
；
（2）
理由如下：
如图②， 四边形 ，四边形 是正方形，
， ，
， ，，
， ，
，且 ，
，
，
即
2．（23-24九年级上·河南信阳·期末）如图 ，在 中， ， ， ，点 ， 分
别为 ， 的中点 绕点 顺时针旋转，设旋转角为 ，记直线AD与直线 的交
点为点 ．
(1)如图 ，当 时，AD与 的数量关系为______ ，AD与 的位置关系为______ ；
(2)当 时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图 的情形进行证明；若不成立，请说明理由；
(3) 绕点 顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中 点运动轨迹的长度和 点到直线 距离的最
大值．
【答案】(1) ，
(2)结论仍然成立，证明见解析
(3) ；
【知识点】求弧长、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、旋转的性质、
锐角三角函数等知识点，灵活应用相关知识是解答本题的关键．
（1）分别求出 的长即可解答；（2）先证明 ，可得 ， 即可解答；
（3）利用锐角三角函数可求 ，由弧长公式可求P点运动轨迹的长度，由直角三角形的性质可
求P点到直线BC距离的最大值即可．
【详解】（1）解： 在 中， ， ， ，
， ， ，
点 ， 分别为 ， 的中点，
， ，
，
故答案为： ， ；
（2）结论仍然成立，
理由如下： ， ， ， ，
， ，
，
绕点 顺时针旋转，
，
，
， ，
，
，
，
，
；
（3） ，
点 在以AB为直径的圆上，如图 ，取AB的中点 ，作 ，以点 为圆心，CE为半径作 ，当 是 切线时，点 到 的
距离最大，过点 作 ，交 的延长线于 ，连接 ，
是 切线，
，
，
，
，
，
，
，
点 的运动轨迹为点 点 点 点 点 ，
点运动轨迹的长度 ，
， ，
， ，
， ，
．
点到直线 距离的最大值 ．
3．（23-24九年级上·广东深圳·期末）【模型发现】如图 1， ，求证： ．
【深入探究】如图2，等边 中， ， 是 上的动点，连接 ，将 绕着点 逆时针旋转
得到 ，连接 ，当点 从 运动到 时，求点 的运动路径长．
【应用拓展】如图3，等腰 中， ， 于 ， 是 上的一点，连接 ，将绕着点 逆时针旋转 得到 ， 交 于点 ，连接 ，若 ，则 的值为_______．
【答案】模型发现：详见解析
深入探究：点E的运动路径长为3
应用拓展：
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、相似三角
形的判定与性质综合
【分析】模型发现：由相似三角形的性质可得 ， ，易得 ，即可证
明 ；
深入探究：连接 ，证明 是等边三角形， ， ，证明 ，得到
，即点 的运动路径与点 的路径等长，即可得到答案；
应用拓展：连接 ，结合等腰直角三角形的性质可得 ， ， ， ，
即可证明 ，结合相似三角形的性质可得 ，证明 ，由相似三角形的
性质并结合已知条件可得 ，然后进行计算即可．
【详解】模型发现：
证明： ，
， ，
，
，
；深入探究：
解：如图，连接 ，
是等边三角形，
， ，
将 绕着点 逆时针旋转 得到 ，
，
是等边三角形，
， ，
，
，即 ，
在 和 中，
，
，
，即点 的运动路径与点 的路径等长，
为等边三角形， ，
，
点 从 运动到 的运动路径长为3，
点 的运动路径长为3；
应用拓展：
解：如图，连接 ，， 为等腰直角三角形， ，
， ，
，
，即 ，
绕着点 逆时针旋转 得到 ，
， ，
为等腰直角三角形，
，
，
，即 ，
，
，即 ，
，
，
，即 ，
， 为等腰直角三角形， ，
， ，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判
定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，综合性强，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握
相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．
4．（23-24九年级上·福建南平·期末）（1）问题发现：如图（1），在 和 中， ，
， ，连接 ，BD交于点M．填空：
① 的值为 ；② 的度数为 ．
（2）类比探究
如图（2），在 和 中， ， ，连接 ，交BD的延长线于
点M．请求出 的值及 的度数，并说明理由．
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将 绕点O在平面内旋转， ，BD所在直线交于点M．若 ， ，
请直接写出当点C与点M重合时 的长．
【答案】（1）① ② （2） （3） 或
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、全等的性质和
SAS综合（SAS）
【分析】（1）①证明 ，得 ，比值为 ；②由 ，得
，根据 即可解题；
（2）根据两边的比相等且夹角相等可得 ，则 ，由相似三角形的性质得
的度数；
（3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图，同理可得： ，则
， ，可得 的长．
【详解】（1）①∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）
理由如下：
∵ ， ，
即 .
∴ .
，
设 交于点N，
∵ ，
∴ .
（3） 的长为 或 ，
由（2）可知， ，
设 ，则分两种情况讨论：
如图 ，当点 在 上侧重合时，
∵
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
，
解得 (不合题意，舍去).
∴ ；
如图 ，当点 在 下侧重合时，
同理可得
在 中， ，
，
解得 (不合题意，舍去)，
；
综上所述， 的长为 或
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关
键是能得出： ，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．
“K”字模型（相似模型）
1．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在正方形 中，点E，F分别在边 上，
于点E；
(1)求证： ．
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，证明相似三角形是解题的关键．
（1）由正方形的性质及 ，易得 ， ，即可得 ；
（2）利用相似三角形的性质及已知 ，即可求解．
【详解】（1）证明：在正方形 中， ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ；∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
2．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，在正方形 中，E、F分别是边 、CD上的点，
， ，连接 并延长交 的延长线于点G．
(1)求证： ；
(2)若正方形的边长为4，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解
题关键．
（1）由正方形的性质可得 ， ，然后根据对应边成比例且夹角相等即可
得到结论；
（2）通过证明 ，可得 ，根据 可得 、 ，由勾股定理可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，则
，
∴ ；
（2）∵四边形 为正方形，
∴ ，
， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，正方形的边长为4，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
3．（23-24八年级下·山东东营·期末）（1）如图①，在矩形 中，E为AB边上一点，连结 过点E
作 交 于点F．
①求证： ．
②若 ， ，E为AB的中点，求 的长．
（2）如图②，在 中， ， ， ， 为AB边上一点（点 不与点A、B重
合），连结CE，过点E作 交 于点F，当 为等腰三角形时， 的长为多少？【答案】（1）①见解析；② ;（2） 或
【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了相似三角形的常见模型-“一线三等角”，熟悉相关模型的构成及求证是解题关键．
（1）①根据 可得 即可求证；②根据 可得
，即可求解；（2）证 得 ，分类讨论 ，
，两种情况即可求解；
【详解】（1）①证明：由题意得：
∴
∴
∴
②解：∵ ，
∴
∵E为AB的中点，
∴
∴
∴
（2）解：∵ ， ，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵ ， ，∴
∵ 为等腰三角形且
∴若 ，则 ；
若 ，则 ，
∴ ；
综上所述： 或
4．（2024·河南周口·三模）在四边形 中， 是边 上一点，在 的右侧作 ，且
，连接CF．
(1)如图，当四边形 是正方形时， ．
(2)如图，当四边形 是菱形时，求 （用含 的式子表示）．
(3)在（2）的条件下，且 如图，连接 交CD于点 ；若 为边CD的三等分点，请直
接写出 的长．
【答案】(1)(2)
(3) 或
【知识点】全等三角形综合问题、利用菱形的性质证明、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性
质综合
【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；
（1）作 交 的延长线于 ，证出 ，得到 ，再根据正四边形的性质得到
，从而计算出 ，即 ，故 ，再根据 ，求出
，从而可得出结论．
（2）方法1：如图，在 的延长线上取点 ，使得 ，证明 ，得
出 ，则 即可求解；
方法2：如图，连接 ， ，证明 ， ，根据相似三角形的性质得出
，进而即可求解；
（3）作 于点 ，则 ， 证明 ，进而根据相似三角形
的性质，即可求解．
【详解】（1）解：当四边形 是正方形时，作 交 的延长线于 ．
，
，
又 ，
，
又 ，且 ，
，
， ，
，，
．
（2）方法1：如图，在 的延长线上取点 ，使得 ，
则 ，
又 ，
∴
∴ ， ，
由 ，得
∴
∴
方法2：如图，连接 ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴（3）由（2）知， ，
∵ ，
∴ ，
如图所示，连接 交于点 ，
∵ ，则
∴
∴
如图，作 于点 ，则 ，
，
得
则当 ， 时，
当 ， 时，
综上所述， 或
5．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）矩形 中， ，（ ），点E是边 的中点，连接
，过点E作 的垂线 ，与矩形的外角平分线 交于点F．
【特例证明】（1）如图（1），当 时，求证： ；
【类比探究】（2）如图（2），当 时，
①求 的值（用含k的代数式表示）．
②连接 交 于点H，连接 ，若 ，求k的值．
【拓展运用】（3）如图（3），当 时，P为边 上一点，连接 、 ，若 时，
，求 的长．
【答案】（1）详见解析；（2）① ；② ；（3） ；
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、等腰三角形的性质和判定、全等的性
质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）由“ ”可证 ，即可求解；
（2）①在 上截取 ，连接 ，证明 ，即可求解；
②根据①中的证明方法解答即可；
（3）由“ ”可证 ，可得 ， ，由“AAS”可证
，可证 ，由（2）①知 ，则得 是中位线，由 的长即可求解．
【详解】（1）证明：如图1，在 上截取 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：①在 上截取 ，连接 ，如图，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，E是 边的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
②如图，设 ，则 ， ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；（3）解：延长 、 交于Q，
当 时，设 ，则 ，
∴ ，则 ，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形
∴ ，
作 交 的延长线于点M，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
作 交于N，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的判
定及性质，等腰直角三角形的判定及性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
6．（23-24九年级上·辽宁锦州·期末）在全等三角形章节学习时，我们曾解决过这样一个问题：“如图，
在正方形 中，E为 边上一点，连接 ，将线段 绕点E顺时针旋转 得线段 ，连接 ，
求证： ．”（无需证明）
解题思路：在 上取点G，使得 ，证 ，则 ，从而可证得：
，得证．
【问题提出】（1）如图1，在等边 中，D为 边上一点，连接 ，将线段 绕点D顺时针旋转
得线段 ，连接 ，求证： ．
【问题探究】（2）如图2，在等腰 中，底角度数为α，腰长与底边长的比 ．D为 边上一
点，连接 ，将线段 绕点D顺时针旋转α得线段l，在线段l上取点E，使 ，连接 ，求证：
．
【解决问题】（3）如图3，在等腰 中，底角度数为α， ．点D为 延长线上
的一点，连接 ，将射线 绕点D顺时针旋转α得射线l，在射线l上取点E，使 ，连接
交 于F，求 的长度．【答案】（ ）证明见解析；（ ）证明见解析；（ ） ．
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、全等三角形综合
问题
【分析】（ ）在 上截取 ，利用 证明 ，得 ，即可证
明结论；
（ ）在 上截取 ，使得 ，根据 ，得 ，进而解决问题；
（ ）延长 至点 ，使得 ，根据 ，得 ， 再证明
，得 ，设 ，则 ， ，过点 作 于点
，过点 作 于点 ，求出 的长，进而解决问题；
【详解】（ ）证明：在 上截取 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
（ ）证明：在 上截取 ，使得 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由同（ ）理得， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（ ）延长 至点 ，使得 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题
的关键是正确添加辅助线及熟练掌握以上知识点的应用．
