文档内容
专题 12 二次函数与几何动点及最值﹑存在性问题
题型1 与线段交点个数问题
题型2 抛物线上的点到某一直线的距离问题
题型3 已知点关于直线对称点问题
题型4 特殊角度存在性问题
题型5 将军饮马模型解决存在性问题
题型6 二次函数中面积存在性问题
题型7 二次函数中等腰三角形存在性问题
题型8 二次函数中直角三角形存在性问题
题型9 二次函数中全等三角形存在性问题
题型10 二次函数中相似三角形存在性问题
题型11 二次函数中平行四边形存在性问题
题型12 二次函数中矩形存在性问题
题型13 二次函数中菱形存在性问题
题型14 二次函数中正方形存在性问题
题型一 与线段交点个数问题（共 3 小题）
1．（25-26九年级上·江西新余·期中）如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(5,0)，与y轴
交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上一点D，满足S =S ，求点D的横坐标；
△DAC △OAC
(3)如图2，已知N(0,1)，将抛物线在点A、B之间部分（含点A、B）沿x轴向上翻折，得到图象T
（虚线部分），点M为图象T的顶点，现将图象T保持其顶点在直线MN上平移，得到的图象T 与线
1
段BC至少有一个交点．求图象T 的顶点横坐标的取值范围．
12．（25-26九年级上·安徽六安·月考）已知抛物线y=ax2-2ax-2(a≠0)与y轴交于点C．
(1)该抛物线经过一个定点D（异于点C），请求出D点的坐标．
(2)若该抛物线与x轴交于点A(-1,0)、B，且点E是该抛物线上位于直线BC下方的点，求出四边形
ACEB的最大面积，并写出面积最大时点E的坐标．
(3)已知点M(4,2)，若该抛物线与线段OM有交点，试求a的取值范围．
3．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数y=-x2+2tx+2（t为常数）．
(1)证明：该二次函数图象与x轴必有两个交点．
(2)已知点M(-1,1)，N(3,1)，若该二次函数图像与线段MN只有一个交点，求t的取值范围．
(3)若图像上有点A(m,a)，B(m+2,a)，C(4,b)，且满足a>b>2，求m的取值范围．
题型二 抛物线上的点到某一直线的距离问题（共 3 小题）
1．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图1，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于
C，已知点B坐标为(4,0)，点C坐标为(0,4)，点P为抛物线上的一个点，其横坐标为m．(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P为直线BC上方抛物线上的一个点，连接PC，PB，当四边形PBOC的面积最大时，求出P
点的坐标；
(3)过点P作PM⊥x轴，交直线BC于M，记PM的长为d，点P到y轴的距离为g，且l=d+g．
①求l与m的函数解析式；
②当l=14时，直接写出m的值．
2．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中；已知抛物线的顶点坐标为(2,0)，且
1
经过点(4,1)，如图，直线y= x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=-1．
4
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使|PA-PB|取得最大值？若存在，求出点P的坐标；若不
存在，请说明理由；
(3)已知F(x ,y )为平面内一定点，M(m,n)为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F
0 0
的距离总是相等，求定点F的坐标．
3．（2025·湖北孝感·三模）在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-3,0)，B(1,0)
两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上不与A、C重合的一动点，过点P作直线AC的平行线交x轴于点D，交y轴于点E，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图①，当点P在第二象限时，若PD=PE，求m的值；
(3)将C，E两点间的距离记为d，当两点重合时其距离为0．
①求d关于m的函数解析式；
②当PD≤AC时，请直接写出m的取值范围及对应的d的取值范围．
题型三 已知点关于直线对称点问题（共 4 小题）
1．（2025·陕西铜川·模拟预测）自古以来，放风筝便是春天不可或缺的乐趣之一．如图是某同学设计的
一只风筝的平面示意图，其外轮廓为三角形，中间有一个抛物线形的装饰图案，抛物线的顶点为P，
抛物线与三角形的一边相交于O、A两点（点O与点A关于抛物线的对称轴对称），以OA所在直线为
x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知OA=8dm，点P到OA
的距离为8dm．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知点H的坐标为(4,2)，该同学准备在抛物线上取两点M、N（点M与点N关于抛物线的对称轴
对称），MN与抛物线对称轴的交点为D，点D在点H的上方，沿MN和DH缝制两条装饰线条，请
你计算MN与DH长度之和的最大值．
1
2．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）抛物线y= x2-x+c与x轴相交于点A和点B(3,0)，与y轴相交于
2点C，D是抛物线的顶点，P，Q是抛物线上动点，P，Q关于抛物线的对称轴对称，设点P的横坐标
为m．
(1)直接写出c的值及点D的坐标；
(2)如图1，若点P在对称轴左侧，PQ交y轴于点E，当EQ=EC时，求m的值；
(3)若点P在第四象限，设此抛物线在点C与点P之间的部分（包括点C和点P）的最高点与最低点的
纵坐标的差为h．求h关于m的函数解析式；
3．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于
A(1,0),B(-6,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求拋物线的函数解析式．
(2)P是直线BC下方抛物线对称轴的左侧拋物线上一动点，过点P分别作PD∥x轴，交抛物线于点D，
作PE⊥BC于点E，求PD+❑√2PE的最大值及此时点P的坐标．
(3)将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，在PD+❑√2PE取得最大值的条件
下，连接AP，交y轴于点M，平移后的抛物线上是否存在一点N，使得∠AMN=90°？若存在，直
接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
1
4．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知，如图，抛物线y=- x2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点，
4
与y轴交于点C，直线y=x-2经过A、C两点．(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)P为抛物线上一点，若点P关于直线AC对称点Q落在y轴上，求P点坐标；
11
(3)现将抛物线平移，保持顶点在直线y=x- ，若平移后的抛物线与直线y=x-2交于M、N两点．
4
①求证：MN的长度为定值；
②结合（2）的条件，求△QMN的周长的最小值．
题型四 特殊角度存在性问题（共 3 小题）
1．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+2与x轴相
交于A(-2,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，点P是该抛物线对称轴l上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当△PAC的周长最小时，在图中标出点P的位置并求出点P的坐标．
(3)抛物线上是否存在点Q，使∠QCB=45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明
理由．
2．（24-25九年级上·重庆·期末）如图1，已知抛物线y=ax2+bx-3的图象与x轴交于A、B两点，与y
轴交于C点，A点的坐标为(-1,0)，且抛物线对称轴为直线x=1．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接BC，P为线段BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴交BC于点M，作
PN⊥y轴交y轴于点N，求PM+PN的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图3，连接AC、BC，在直线BC下方抛物线上是否存在一点Q，使得∠ACO+∠QBC=45°，
若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
1
3．（2023·江苏无锡·三模）如图，抛物线y=- x2+bx与x轴交于点A(5,0)．
2
(1)求抛物线的函数表达式；
OC 5
(2)点B(1,m)是抛物线上一点，点C是线段AB上一点，连接OC并延长交抛物线于点D，若 = ，
CD 4
求点D的坐标；
(3)抛物线上是否存在点P，使得∠OPA=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
题型五 将军饮马模型解决存在性问题（共 3 小题）
1．（25-26九年级上·天津蓟州·月考）已知，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1,0)和C(0,3)．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果
不存在，请说明理由；
(3)设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．
2．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点
y=(x+1) 2+k
C(0,-3)．
(1)抛物线的对称轴是直线 ，k的值是 ；
(2)若抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；
(3)点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，当点M运动到何处时，△AMB的面积最大？求出
△AMB的最大面积及此时点M的坐标．3．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于点A(-1,0)，
B(2,0)，交y轴于点C(0,-2)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P在该二次函数图象的对称轴上，且使|PB-PC|最大，求点P的坐标；
(3)在平面内是否存在一个点M，使点A、点C、点M、点B所围成的图形为平行四边形，若存在求
出M点的坐标；若不存在请说明理由．
题型六 二次函数中面积存在性问题（共 5 小题）
3
1．（25-26九年级上·新疆和田·月考）如图，已知抛物线y=ax2+ x+4的对称轴是直线x=3，与x轴相
2
交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线表达式；
(2)求A，B两点的坐标；
(3)如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使三角
形△BPC的面积最大？若存在，求点P的坐标及三角形BPC的最大面积；若不存在，请说明理由．
2．（25-26九年级上·天津河西·期中）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°,∠BAD=120°,AB=5cm,AD=9cm,BC=16cm．动点M从点B出发，以2cm/s的
速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运
动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t s．
14
(1)当t= s时，判断线段CN与DM的长度是否相等，并说明理由；
3
(2)当点M在边AB上运动时，求△BMN面积的最大值；
(3)是否存在t的值，使得△BMN的面积为39cm2？若存在，直接写出符合条件的t值；若不存在，
请说明理由．
3．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点，
直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数解析式及其对称轴．
(2)设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC最小时，求P点坐标．
(3)在抛物线上存在一点Q，使S =10，求点Q的坐标．
△ABQ
(4)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的
坐标，若不存在，请说明理由．
4．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2相交于A(-2,0),B(3,m)两点，与x轴相交于另一点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线AB上方抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
并求△PAB的面积的最大值；
(3)抛物线上是否存在点M，使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请求出点M的坐
标；若不存在，请说明理由．
5．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0)，
B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,-2)，连接AC，点D是线段AC下方的抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在运动的过程中，△ACD的面积是否存在最大值？若存在，求△ACD面积的最大值；若不
存在，请说明理由．
题型七 二次函数中等腰三角形存在性问题（共 4 小题）
1．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C(0,-3)，点D是抛物线的顶点，连接AD，BC．
(1)求抛物线的解析式与直线BC的解析式；
(2)若点P是直线BC上的一个动点，是否存在点P，使△APD为等腰三角形，若存在，求出点P的
坐标，若不存在，说明理由
2．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x
轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，点P是该函数图象上的动点，过点P作PD⊥x轴于
点D，交直线BC于点E．
(1)求该二次函数的解析式及直线BC的解析式；
(2)当点P在第一象限时，求PE的最大值；
(3)是否存在点P，使△CPE为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点 点A在
y=ax2+bx+3(a≠0) (
点B的左侧)，与y轴交于点C，OA=2，OB=6，D是直线BC上方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，垂足为F，连接CD．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D横坐标为t，
①用含有t的代数式表示线段DE的长度；
②是否存在点D，使△CDE是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，
请说明理由．
4．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x
轴交于点A (-1,0)、B(3,0)，交y轴于点C．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)若点M是该二次函数图象上第一象限内一点，作MD⊥x轴交直线BC于点N，求线段MN长度的
最大值．
(3)在二次函数图象的对称轴上是否存在一点P使△BCP是以BC为腰的等腰三角形，若不存在，请
说明理由；若存在，请直接写出点P的坐标．
题型八 二次函数中直角三角形存在性问题（共 5 小题）
1．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与
y=ax2+bx+3(a≠0) x A B y轴交于点C．已知点A的坐标是(-1，0)，抛物线的对称轴是直线x=1．
(1)求抛物线的解析式
(2)第一象限内的抛物线上有一动点P，使△BCP的面积最大，求点P的坐标和△BCP面积的最大值．
(3)对称轴与x轴交于点N，在对称轴上找一点M，使△MNC为直角三角形，求点M的坐标．
2．（25-26九年级上·云南昭通·期中）已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴的左右交点分别为点A、点B，与
y轴交点为点C，若将此抛物线向下平移4个单位长度后，其顶点坐标为(1,0)．
(1)求该抛物线的顶点坐标；
(2)设点P在该抛物线的对称轴上运动，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P
的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)设点M在该抛物线的对称轴上运动，当△MAC是直角三角形时，求出所有满足条件的点M的坐
标．
3．（25-26九年级上·云南昭通·期中）已知，如图所示，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(-1,0)和B(3,0)，与y轴交于点C．
(1)抛物线的对称轴是____________．
(2)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果
不存在，请说明理由．
(3)设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．
4.（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，直线 与抛物线 相交于 (1 5)
y=x+2 y=ax2+bx+6(a≠0) A ,
2 2
和B(4,m)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在这样的点P，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理
由；
(3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标．1
5．（2023·青海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=- x2+bx+c与x轴交于点A，点B，
2
1
与y轴交于点C，且直线y= x-2经过点B，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一个动点，
2
过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当四边形CDNM为平行四边形时，求P点坐标；
(3)在（2）的条件下探究抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得以点Q, M, N为顶点的三角形是
直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
题型九 二次函数中全等三角形存在性问题（共 4 小题）
1．（25-26九年级上·广东东莞·期中）综合与探究：
在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(-3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点
C，抛物线的顶点为点D．
(1)如图1，分别求这个二次函数和直线AC的表达式；
(2)如图2，连接AD，CD，求四边形AOCD的面积；如图3，若点P是第二象限内抛物线上的一点，且
使△ACP的面积最大．请解答下面问题：
①求出点P的坐标；
②此时平面内是否存在另一点Q，使△ACQ和△ACP全等？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024·宁夏·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于A、B两
点(A在B的左侧)，其中点A(-2,0)，其顶点为P的横坐标为1，对称轴与x轴交于点H．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)连接AP，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点，是
否存在以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等?若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不
存在，请说明理由．
3．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+b的图像与一
次函数 y=-x+1的图像交于A，B两点，已知B(6,-5)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点C是直线AB上方抛物线上的一动点，连接AC,BC．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），
且满足 MN=4，连接CM,BN，当 △ABC的面积取得最大值时，求CM+MN+BN的最小值；
(3)当（2）中CM+MN+BN取得最小值时，将点N向下平移1个单位得到点P，将该抛物线沿直线AB
的方向平移得到新抛物线 y'，Q为新抛物线y'的顶点，在平移过程中，是否存在以A，B，Q为顶点的三
角形和 △ABP全等?若存在，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由4．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+3（a、b为常数，
a≠0）的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0)，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接BD，点P是该二次函数图象上第四象限内的动点，过点P作PG⊥x轴于点G，Q是x轴上的点，
要使以P、Q、G为顶点的三角形与△BDH全等，求满足条件的点P、Q的坐标．
题型十 二次函数中相似三角形存在性问题（共 6 小题）
1．（24-25九年级下·湖南衡阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴相
交于点A(-1,0),B(4,0)．
(1)求抛物线的表达式：
(2)如图1．抛物线的对称轴与直线BC交于点G，与x轴交于点H，若点P是对称轴上的一个动点，是
否存在以P、C、G为顶点的三角形与△GHB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明
理由：
(3)如图2，抛物线与y轴相交于点C，连接AC，BC，点D是直线BC上方抛物线上一动点（不与端
点重合），过动点D作DE∥AC线段BC于点E，连接DA,DB,AE，记△DAE的面积为
S ,△DBE的面积为S ，当S +S 取得最大值时，求点D的坐标并求出S +S 的最大值．
1 2 1 2 1 22．（2024·贵州·三模）如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图像与x轴交于A(-1,0)和B(2,0)两点，与
y轴相交于点C，
(1)求抛物线的解析式．
(2)在BC是否存在一点P，使PA+PO的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点N在第一象限内的抛物线上，在x轴是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与
△OAC相似？若存在，求此点M坐标；若不存在，说明理由．
3．（2025·海南·三模）如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(1,0)、B(-3,0)两点，与y轴交于点C，
点M为抛物线的顶点，直线MC交x轴于点D．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点P(m,n)是第三象限内抛物线上的一个动点，作PQ∥y轴交BC于点Q．
①求线段PQ的最大值及此时点P的坐标；
②是否存在点Q，使得以点Q,B,O为顶点的三角形与△BDM相似？若存在，求出点Q的坐标；若
不存在，请说明理由．4．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c与y轴相交于点C(0,-3)，与x轴相交于点
A(-2,0)，B(6,0)，点D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)在y轴上有一点P，求出PB+PD的值最小时点P的坐标，及此时PB+PD的值．
(3)在第四象限内的抛物线上是否存在一点E，过点E作EF⊥x轴交x轴于点F，使△OEF与
△OBC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（24-25九年级下·海南·阶段练习）如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交
于点C(0,-3)，其对称轴直线x=1与x轴相交于点D，点M为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点F是第四象限内抛物线上的一个动点，点F运动到何处时，△BCF的面积最大？求出此时点F
的坐标；
(3)如图2，延长MC交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点
的三角形与△ABC相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0)，B(3,0)，交y轴于点C(0,3)，点M是该抛物线上第一象限内的一个动点，ME⊥x轴，交x轴于点E，交线段BC于
点D，MN∥x轴，交y轴于点N．
(1)求抛物线y=ax2+bx+c的表达式；
(2)若四边形MNOE是正方形，求该正方形的边长；
(3)连接OD、AC，抛物线上是否存在点M，使得以C、O、D为顶点的三角形与△ABC相似，若
存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
题型十一 二次函数中平行四边形存在性问题（共 5 小题）
1．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接BC，点P是直线BC下方抛物线上的动点，当点P在该抛物线上什么位置时，△PBC面积
最大，并求出此时P点的坐标；
(3)设点D是该抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、D、Q为顶点的
四边形是平行四边形，若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．2．（24-25九年级上·福建龙岩·月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐
标为(2,0)，点B的坐标为(-3,0)，点C的坐标为(0,3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找出一点Q，使AQ+CQ的值最小，并求出点Q的坐标．
(3)点P是抛物线上位于直线BC上方的点，连接PB、PC，P点的横坐标为m，S =S，请写出
△BCP
S与m的函数关系，并求S的最大值．
(4)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形，
若存在，直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2024·湖南·模拟预测）如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B(-1,0)两点（点A 在点B 的右
侧），与y 轴交于点C(0,-3)，且OA=OC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，直线l ：x=x 与抛物线交于点P，与直线AC交于点M，将直线l₁向右平移两个单位得到直
1 0
线l ：x=x +2，直线l 与抛物线交于点Q，与直线AC交于点N．
2 0 2
①当点Q在直线AC下方时，求△MNQ面积的最大值及此时点N的坐标；
②抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，N，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，抛物线y=ax2+bx-3经过点A(2,-3)，与x轴负半轴交于点
B，与y轴交于点C，且OC=3OB．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当-5
