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专题 12 三角形相似的五大模型
“A”字模型
1．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在 中， ，CD是 的中线，作
于点E．
(1)求证 ；
(2)若 ， ，则CD的长为______．
2．（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，D，E分别是 上的点， 于点
G， 于点F， ．
(1)求 的值；
(2)求 与 的周长之比；
(3)若 的面积为4，求 的面积．3．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图， 中，AD是边 上的高， ， ，
作矩形EFGH，使它的一边 在 上，顶点 分别在 上，AD与 的交点为 ，且矩形
长 是宽 的 倍．
(1)求证： ；
(2)试求矩形EFGH的周长．
“X”字模型（“8”模型）
1．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，正方形 ，边长为4，点 在边 上，射线 与射线
交于点 ．
(1)若 ，求 的长；
(2)求证： ．
2．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在平行四边形 中， ．
(1)求 与 的周长之比；(2)若 求 ．
3．（23-24八年级下·山东泰安·期末）已知：如图， 中， ， 与 交于点 ， 与
、 分别交于点 、 ．
(1)已知点 是 的中点，求证： ；
(2)已知 ，四边形 的面积为 ，求 的面积．
4．（23-24九年级上·四川达州·期末）矩形 中，连接 ， 的平分线交 于点E，交 的
延长线于点F．在线段 上取点G，使 ．
(1)判断三角形 的形状，并证明；
(2)若 ， ，求 及 的长．
5．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，等边三角形 的边长为6，在 边上各取一点 ，
连接 相交于点 ，且 ．
(1)求证： ，并求 的度数；
(2)若 ，试求 的值．
6．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）[基础学习]（1）如图1，在 中， ， ， 分别为 ， ， 上的点， ， 交 于点 ，求
证： ．
[尝试应用]
（2）如图2，已知 、 为 的边 上的两点，且满足 ，一条平行于 的直线分
别交 、 和 于点 、 和 ，求 的值．
[拓展提高]
（3）如图3，矩形 中 （ 为常数），点 是矩形 边上的一个动点，延长 至
点 ，使 ，连接 ， ， 与 相交于点 ，连接 ，求 的最小值（用 的代数式
表示）．“母子”模型(共边角模型)
1．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，在 中， 是 的角平分线，点 是边 上一点，
且满足 ．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，求 的长．
2．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，在平行四边形 中，过点D作 ，垂足为E，连
接 ，F为线段 上一点，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
3．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图， 是等边三角形，D，B，C，E四点在同一条直线上，
．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的边长．
4．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知 中， ， 平分 ， ，．点 分别是边 、 上的点（点D不与点B、C重合），且 ， 、
相交于点F．
(1)求 的长；
(2)如图1，如果 ，求 的值；
(3)如果 是以 为腰的等腰三角形，求 长．
5．（23-24七年级下·山东·期末）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点
与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另
一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
(1)如图1，在 中， 为角平分线， ， ，求证： 为 的完美分割线；
(2)如图2， 中， ， ， 是 的完美分割线，且 是以 为底边的等腰三
角形，求 和 长；
(3)在 中， ， 是 的完美分割线，且 为等腰三角形，请直接写出 的度
数为__________．
“手拉手”模型(旋转模型)
1．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图①，已知点G在正方形 的对角线 上， ，垂足为点E， ，垂足为点F．
(1)在图①中，求 的值：
(2)如图②将正方形 绕点C顺时针方向旋转 角 ，探究线段 与 之间的数量关系，
并证明你的结论．
2．（23-24九年级上·河南信阳·期末）如图 ，在 中， ， ， ，点 ， 分
别为 ， 的中点 绕点 顺时针旋转，设旋转角为 ，记直线AD与直线 的交
点为点 ．
(1)如图 ，当 时，AD与 的数量关系为______ ，AD与 的位置关系为______ ；
(2)当 时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图 的情形进行证明；若不成立，请说明理由；
(3) 绕点 顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中 点运动轨迹的长度和 点到直线 距离的最
大值．
3．（23-24九年级上·广东深圳·期末）【模型发现】如图 1， ，求证： ．
【深入探究】如图2，等边 中， ， 是 上的动点，连接 ，将 绕着点 逆时针旋转
得到 ，连接 ，当点 从 运动到 时，求点 的运动路径长．
【应用拓展】如图3，等腰 中， ， 于 ， 是 上的一点，连接 ，将
绕着点 逆时针旋转 得到 ， 交 于点 ，连接 ，若 ，则 的值为_______．4．（23-24九年级上·福建南平·期末）（1）问题发现：如图（1），在 和 中， ，
， ，连接 ，BD交于点M．填空：
① 的值为 ；
② 的度数为 ．
（2）类比探究
如图（2），在 和 中， ， ，连接 ，交BD的延长线于
点M．请求出 的值及 的度数，并说明理由．
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将 绕点O在平面内旋转， ，BD所在直线交于点M．若 ， ，
请直接写出当点C与点M重合时 的长．
“K”字模型（相似模型）
1．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在正方形 中，点E，F分别在边 上，于点E；
(1)求证： ．
(2)若 ，求 的值．
2．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，在正方形 中，E、F分别是边 、CD上的点，
， ，连接 并延长交 的延长线于点G．
(1)求证： ；
(2)若正方形的边长为4，求 的长．
3．（23-24八年级下·山东东营·期末）（1）如图①，在矩形 中，E为AB边上一点，连结 过点E
作 交 于点F．
①求证： ．
②若 ， ，E为AB的中点，求 的长．
（2）如图②，在 中， ， ， ， 为AB边上一点（点 不与点A、B重
合），连结CE，过点E作 交 于点F，当 为等腰三角形时， 的长为多少？
4．（2024·河南周口·三模）在四边形 中， 是边 上一点，在 的右侧作 ，且，连接CF．
(1)如图，当四边形 是正方形时， ．
(2)如图，当四边形 是菱形时，求 （用含 的式子表示）．
(3)在（2）的条件下，且 如图，连接 交CD于点 ；若 为边CD的三等分点，请直
接写出 的长．
5．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）矩形 中， ，（ ），点E是边 的中点，连接
，过点E作 的垂线 ，与矩形的外角平分线 交于点F．
【特例证明】（1）如图（1），当 时，求证： ；
【类比探究】（2）如图（2），当 时，
①求 的值（用含k的代数式表示）．
②连接 交 于点H，连接 ，若 ，求k的值．
【拓展运用】（3）如图（3），当 时，P为边 上一点，连接 、 ，若 时，
，求 的长．6．（23-24九年级上·辽宁锦州·期末）在全等三角形章节学习时，我们曾解决过这样一个问题：“如图，
在正方形 中，E为 边上一点，连接 ，将线段 绕点E顺时针旋转 得线段 ，连接 ，
求证： ．”（无需证明）
解题思路：在 上取点G，使得 ，证 ，则 ，从而可证得：
，得证．
【问题提出】（1）如图1，在等边 中，D为 边上一点，连接 ，将线段 绕点D顺时针旋转
得线段 ，连接 ，求证： ．
【问题探究】（2）如图2，在等腰 中，底角度数为α，腰长与底边长的比 ．D为 边上一
点，连接 ，将线段 绕点D顺时针旋转α得线段l，在线段l上取点E，使 ，连接 ，求证：
．
【解决问题】（3）如图3，在等腰 中，底角度数为α， ．点D为 延长线上
的一点，连接 ，将射线 绕点D顺时针旋转α得射线l，在射线l上取点E，使 ，连接
交 于F，求 的长度．
