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专题 11 平行线成比例、相似三角形、位似
成比例线段
1．（23-24九年级上·湖南常德·期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
【答案】B
【知识点】成比例线段
【分析】此题考查了比例线段，根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的
积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A、∵ ，故不符合题意；
B、∵ ，故符合题意；
C、∵ ，故不符合题意；
D、∵ ，故不符合题意．
故选：B．
2．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）下列各组数中，不成比例的是（ ）A． B．1，2，3，4 C． D．
【答案】B
【知识点】成比例线段
【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段 、 、 、 ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）
与另两条线段的比相等，如 （即 ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，
由此逐项判断即可．
【详解】解：A. ， 成比例，故不符合题意；
B. ， 不成比例，故符合题意；
C. ， 成比例，故不符合题意；
D. ， 成比例，故不符合题意．
故选：B．
3．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】成比例线段
【分析】此题考查了比例线段，根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，
则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．
【详解】解：A、 ，故不符合题意；
B、 ，故不符合题意；
C、 ，故不符合题意；
D、 ，，故符合题意；
故选：D．
4．（23-24九年级上·河南商丘·期末）下列四条线段中，能与 ， ， 这三条线段组成比例线段的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】成比例线段
【分析】本题考查了成比例的线段．熟练掌握若四条线段满足 ，则 是成比例的线段是解
题的关键．
根据成比例的线段的定义进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知， ，故A不符合要求；
，故B不符合要求；
，故C不符合要求；
，故D符合要求；
故选：D．
比例的性质
1．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）若 ，则 ．
【答案】 /
【知识点】比例的性质
【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质可得 ，代入已知条件即可求解，掌握比
例的性质是解题的关键．
【详解】解： ，故答案为： ．
2．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如果 ，那么 ．
【答案】
【知识点】比例的性质、分式的求值
【分析】本题考查利用比例性质求代数式值，涉及比例性质、分式求值等知识，由条件可设 ，
其中 ，代入分式化简求值即可得到答案，熟练掌握由比例性质设出 值是解决问题的关键．
【详解】解： ，
设 ，其中 ，
，
故答案为： ．
3．（23-24九年级上·广东清远·期末）若 ，且 ，则 ．
【答案】6
【知识点】比例的性质
【分析】本题考查了比例的性质，利用了等比性质．根据等比性质，可得答案．
【详解】解： ，
由等比性质，得 ，
所以 ．
故答案为：6．
4．（24-25九年级上·全国·期末）计算：
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)3
(2)【知识点】比例的性质
【分析】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
（1）利用已知条件得到 ，进而代入求出答案．
（2）设 ，代入化简即可．
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ，
所以 ．
（2）解：设 ，
所以 ．
5．（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）已知a，b，c，d，e，f六个数，如果 ，
那么 ．
理由如下：
∵
∴ ， ， （第一步）
∴ （第二步）
(1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中， 应用了______的基
本性质；
(2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题：
①如果 ，则 ______；
②已知 ，求 的值．
【答案】(1)比例，比例
(2)①2，②【知识点】比例的性质
【分析】此题考查了比例的性质，仿照例题方法用同一个字母表示所有未知数是解题的关键：
（1）根据比例的基本性质解答；
（2）①根据比例的性质得到 ，代入计算即可；
②设 ，则 ，代入化简可得答案
【详解】（1）解：解题过程中第一步应用了比例的基本性质；在第二步解题过程中， 应
用了比例的基本性质
（2）①∵ ，
∴ ，
∴
故答案为2；
②设 ，则 ，
∴
由平行判断成比例的线段
1．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图， ，若 ， ，则 等于（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、由平行判断成比例的线段【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理，得到 的关系，再
根据 可得到答案，正确运用定理找准对应关系是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
2．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，直线 ，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，
下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】由平行判断成比例的线段
【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．利用平行
线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】∵ ，
， ， ，
选项A、B、C错误，不符合题意；D正确，符合题意；
故选：D．
3．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图， ， 与 相交于点 ，且 ，
， ，则下列结论错误的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由平行判断成比例的线段
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
【详解】解：A． ，则 ，正确，故本选项不符合题意；
B． ，则 ，正确，故本选项不符合题意；
C． ，则 ，错误，故本选项符合题意；
D． ，则 ，正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
黄金分割
1．（23-24八年级下·河南许昌·期末）如图，已知线段 ，经过点 作 ，使 ，连接
AD，在AD上截取 ；在AB上截取 ，则 ．
【答案】
【知识点】黄金分割、用勾股定理解三角形
【分析】先求得 ，再根据所给作图步骤，分别求出出 和AB即可解决问题．本题主要考查了黄金分割，能根据题中所给作图步骤，理清各线段之间的关系是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
在 中，
．
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为：
2．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在这架小提琴中，点C是线段AB的黄金分割点（ ）．
若 ，则 cm．
【答案】
【知识点】黄金分割
【分析】
本题主要考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割点分成的两线段和原线段之间关系是解决问题的关键，
根据黄金分割点的概念得到 ，再求解即可．
【详解】C是线段AB的黄金分割点（ ）， ，
．
故答案为： ．
3．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图是意大利著名画家达・芬奇（ 年）的名画
《蒙娜丽莎》．画面中脸部被围在矩形 内，图中四边形 为正方形．已知点 为线段 的黄
金分割点，且 ， ．则 ．
【答案】
【知识点】黄金分割
【分析】本题主要考查黄金分割，由点 为线段 的黄金分割点，且 可得 ，代入
数据可求解．
【详解】解：∵点 为线段 的黄金分割点，且 ， ，
∴
故答案为：
4．（23-24八年级下·山东青岛·期末）射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正
方形 的边 取中点 ，以 为圆心，线段 为半径作圆，其与边 的延长线交于点 ，这样就
把正方形 延伸为黄金矩形 ，若 ，则 ．【答案】 /
【知识点】黄金分割、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，设 ，根据正方形的性质可得
，则 ，然后根据黄金矩形的定义可得 ，从而可得 ，最后进
行计算即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.
【详解】解：设 ，
四边形 是正方形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是黄金矩形，
∵
，
∴
，
∴
解得： ，
经检验： 是原方程的解，
，
∴
故答案为： ．
选择或补充条件使两个三角形相似
1．（23-24九年级下·山东烟台·期末）如图，线段 相交于点A，连接 ，请添加一个条件，
使 ，这个条件可以是 ．（写出一个条件即可）【答案】 （答案不唯一）
【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似
【分析】本题考查了相似三角形的判定方法．根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案．
【详解】解：∵ ，且点 的对应点为点 ，
∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以
证明两三角形相似，
∴可以添加 或 或 ，
故答案为： ．
2．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图， 、 分别是 的边 、 上的点，请你添加一个条
件，使 与 相似，你添加的条件是 ．
【答案】 或 或
【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似
【分析】本题的主要考查点是三角形相似的判定．
和 中， 是公共角，再找一组对应角相等，或者夹 的两边对应成比例都可得到两三角
形相似．
【详解】解：
当 或 或 时， ∽ ，故答案为： ．
3．（23-24九年级上·广西崇左·期末）如图，在 中，点 在 上（不与点 ， 重合），连接 ．
只需添加一个条件即可证明 与 相似，这个条件可以是 (写出一个即可) ．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似
【分析】本题考查相似三角形的判定．利用相似三角形的判定方法可求解．
【详解】解：添加的条件为： ，
理由如下： ， ，
，
故答案为： ．
4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知 ，请添加一个条件 ，使得
．
【答案】 或 或 （答案不唯一）
【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．熟练掌握有两组角分别对应相等的三角形相似是解题的关键．
【详解】解：添加 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ；
添加 ，
∵ ，∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ；
添加 ，
∵ ,
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： 或 或 （答案不唯一）．
利用相似三角形的性质求解
1．（23-24九年级下·湖南岳阳·期末）若 ， ， ， 面积为10，则
的面积为 ．
【答案】40
【知识点】利用相似三角形的性质求解
【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 利用
相似三角形的面积的比等于相似比的平方解题即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
又 面积为10，
∴ 的面积为 ，
故答案为：40．
2．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，在 中，点D，E分别在 ， 上，且 ，若
， ， ， ，则 与 之间的距离是 ．【答案】
【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形相似的判定及性质；由勾股定理的逆定理得 为直角
三角形，由三角形的面积可求 ，由相似三角形的判定方法得 ，由相似三角形的性
质得 ，即可求解；掌握勾股定理的逆定理及三角形相似的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：设 到 的距离为 ， 到 的距离为 ，
，
，
为直角三角形，
，
，
解得： ，
，
，
，
，
解得： ；故答案为： ．
3．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）如图 中，点 是 中点，连接 交 于点 ，若
的面积为 ，则 的面积为
【答案】
【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键；
由四边形 是平行四边形，易证得 ，又由点 是 中点， 的面积为 ，即可
根据相似三角形的面积比是相似比的平方，求得 的面积，继而求得答案．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
，
，
点 是 的中点，
，
，
的面积是 ，
，
，，
，
故答案为：
4．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在 中，点 是 的中点，连接 相交于点 ，
则 的周长与 的周长之比 ．
【答案】
【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．由四边形 是平行四边形，点 是
的中点得 且 ，再根据周长比等于相似比即可．
【详解】解： 四边形 是平行四边形
点 是 的中点
．
故答案为： ．由平行截线求相关线段的长或比值
1．（23-24九年级上·广东河源·期末） 是 的中线，E是 上一点， ， 的延长线交
于F，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由平行判断成比例的线段、由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．作
交 于H，根据三角形中位线定理得到 ，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案．
【详解】解：作 交 于H，∵ 是 的中线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，且
∴ ，
∴ ，
故选：C
2．（23-24八年级下·上海·期末）如图，已知直线 、 、 分别交直线 于点A、B、C、交直线 于点
D、E、F，如果 ， ，那么 ．
【答案】 /
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，先由 ，运用平行线分线段成比例的内容可得
，再进行变形，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ．
3．（23-24九年级上·北京顺义·期末）如图，直线 交于点O， ．若 ， ，
．则 的值为 ．
【答案】 /0.75
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例，可得 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
4．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在 中， 是 的中点，点 在 上，连接 并延
长交 于点 ，若 ， ，则 的长为 ．
【答案】【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．过点 作
，交 于 ，根据平行线分线段成比例定理得到等式，计算即可．
【详解】解：过点 作 ，交 于 ，
则 ， ，
，
，
．
故答案为： ．
5．（23-24九年级上·陕西商洛·期末）如图，在 中，F为 的中点，过点F作 于点E，交
的延长线于点D，若 ， ， ，则 的长为 ．
【答案】
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查平行线截对应线段成比例，过 作 ，根据平行线截对应线段成比例直接求解即
可得到答案；
【详解】解：过 作 ，
∵F为 的中点，
∴ ，∵ ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
6．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图， 相交于点E， 在一条直线
上． ．
(1)求 的值；
(2)求 的长．
【答案】(1)
(2)【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题考查了平行线分线段成比例；
（1）由 ，利用平行线分线段成比例，可得出 ，由 ，再利用平行线分线段成比
例，即可求出 的值；
（2）由 ，利用平行线分线段成比例，可得出 ，结合 ， ，即可求出
的长．
【详解】（1）∵ ，
，
又∵ ，
；
（2）∵ ，
，
又 ， ，
．
相似三角形动点多解题
1．（23-24九年级上·河南开封·期末）在 中， ， ， ，动点 从点 开
始沿边 向点 以 的速度移动，动点 从点 开始沿边 向点 以 的速度移动，如果 、
两点分别从 、 两点同时出发，那么当 与 相似时， 的面积是 ．【答案】 或
【知识点】相似三角形——动点问题
【分析】本题考查相似三角形性质．根据题意分情况讨论并列式即可得到本题答案．
【详解】解：根据题意得：设 、 两点的运动时间是 s，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
①当 时， ，
∵ ， ，
∴ ，解得： ，
∴ ， ，
∴ 的面积是： ；
②当 时， ，
∴ ，解得： ，
∴ ， ，
∴ 的面积是： ；
故答案为∶ 或 ．
2．（23-24九年级上·河南南阳·期末）在菱形 中， ，点 是对角线BD的中点，
点 从点 出发沿着边按由 的路径运动，到达终点 停止，当以点 、 、 为顶点的三角
形与 相似时，则线段 的长为 ．
【答案】 或
【知识点】利用菱形的性质求线段长、相似三角形——动点问题、等腰三角形的性质和判定、含30度角的
直角三角形
【分析】本题主要考查菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质的综合，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据菱形的性质可计算出 的长度，根据相似三角形的判定和性质，图形结合，分类讨论：当点
在AD上时；当点 在CD上时；结合相似三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：根据题意，作图如下，连接 ，
∵四边形 是菱形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 是BD的中点，
∴ ，即 ，
在 中， ， ，则 ，
①如图所示，当点 在AD上时，当 时，
∴ ，则 ，
∴ ；
②如图所示，当点 在CD上时，当 时，
连接 ，根据菱形的性质， ，可得 是等边三角形，∴根据上述证明可得，点P 是AD的中点，且 ，
1
∴当 时，点 关于点P 对称，
1
∴ ，
∴点 为CD的中点，且 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
3．（22-23九年级上·山东滨州·期末）如图，在 中， ， ，点P从点A开始沿边
向点B以 的速度移动，点Q从点B开始沿边 向点C以 的速度移动．若点P、Q分别从
点A、B同时出发，问经过 秒钟， 与 相似．
【答案】2或5/5或2
【知识点】利用相似三角形的性质求解、相似三角形——动点问题
【分析】分 和 两种情况解答即可．
【详解】解：设P、Q运动时间为 秒，
根据题意， ， ，则 ，
当 时，则 ，即 ，解得： ；
当 时，则 ，即 ，
解得： ，
综上，当经过2或5秒钟， 与 相似．
故答案为：2或5．
【点睛】本题考查相似三角形的动点问题，理解题意，掌握相似三角形的性质，分类讨论是解答的关键．
相似三角形的判定和性质
1．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，在 中， 为直角， 于D．在
中，E是 的中点． 的延长线与 的延长线交于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、直角三角形的两个锐角互余、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质，
（1）根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半得 ，可知 ，再根据
，可得 ，接下来可根据“两角相等
的两个三角形相似”得出答案；
（2）根据相似三角形对应边成比例可得答案．
【详解】（1）在 中，点E是 的中点，
∴ ，即 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
即 ．
∵ ，
∴ ，
解得 ．
2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在 中， ，点 分别是 边上的点，且
．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，当 时，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解
题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质可得 ，根据角的和差计算可得 ，结合相似三角
形的判定和性质即可求证；（2）根据相似三角形的性质可得 ，由 ，得到 ，则有 ，可得
，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
3．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，在正方形 中，E、F分别是边 、CD上的点，
， ，连接 并延长交 的延长线于点G．(1)求证： ；
(2)若正方形的边长为4，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解
题关键．
（1）由正方形的性质可得 ， ，然后根据对应边成比例且夹角相等即可
得到结论；
（2）通过证明 ，可得 ，根据 可得 、 ，由勾股定理可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，则
，
∴ ；
（2）∵四边形 为正方形，
∴ ，
， ，
∴ ，
∴ ，又∵ ，正方形的边长为4，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
4．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，在矩形 中，点E在 边上，连接 ，过点D作射线
的垂线，垂足为F，连接 ．
(1)如图（1），若 ，求 的长；
(2)如图（2），若E为 中点．
①求证： ；
②当 时，判断 是否正确，如判断正确，无需写出理由；若判断错误，请直接写出正
确结果 等于多少．
【答案】(1)9
(2) 见详解； 判断错误，
① ②
【知识点】全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、利用矩形的性质证明、斜边的中线等于
斜边的一半
【分析】（1）证明 ，据全等三角形的性质得 ，即可求解；
（2）①延长 、 交于点 ，证明 ，根据全等三角形的性质得 ，则
，即 是 的中点，根据直角三角形斜边上的中线即可得出结论；
②延长 、 交于点 ，由①知 ，可得 ，由 得，则 ，证明 ，根据相似三角形的性质
可得出 ．
【详解】（1）解： ，
，
∵四边形 为矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①证明：如图，延长 、 交于点 ，
在矩形 中， ，
，
∴ 点为 的中点，
，
，
，
，
，
∴ 是 的中点，
，，
；
②如图，延长 交于点M，
由①知 ，
，
，
，
，
在矩形 中， ，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中
线，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确作辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常
考题型．
5．（23-24九年级上·广东深圳·期末）【模型发现】如图 1， ，求证： ．
【深入探究】如图2，等边 中， ， 是 上的动点，连接 ，将 绕着点 逆时针旋转
得到 ，连接 ，当点 从 运动到 时，求点 的运动路径长．【应用拓展】如图3，等腰 中， ， 于 ， 是 上的一点，连接 ，将
绕着点 逆时针旋转 得到 ， 交 于点 ，连接 ，若 ，则 的值为_______．
【答案】模型发现：详见解析
深入探究：点E的运动路径长为3
应用拓展：
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的判定和性质、
根据旋转的性质求解
【分析】模型发现：由相似三角形的性质可得 ， ，易得 ，即可证
明 ；
深入探究：连接 ，证明 是等边三角形， ， ，证明 ，得到
，即点 的运动路径与点 的路径等长，即可得到答案；
应用拓展：连接 ，结合等腰直角三角形的性质可得 ， ， ， ，
即可证明 ，结合相似三角形的性质可得 ，证明 ，由相似三角形的
性质并结合已知条件可得 ，然后进行计算即可．
【详解】模型发现：
证明： ，
， ，
，
，；
深入探究：
解：如图，连接 ，
是等边三角形，
， ，
将 绕着点 逆时针旋转 得到 ，
，
是等边三角形，
， ，
，
，即 ，
在 和 中，
，
，
，即点 的运动路径与点 的路径等长，
为等边三角形， ，
，
点 从 运动到 的运动路径长为3，
点 的运动路径长为3；
应用拓展：
解：如图，连接 ，， 为等腰直角三角形， ，
， ，
，
，即 ，
绕着点 逆时针旋转 得到 ，
， ，
为等腰直角三角形，
，
，
，即 ，
，
，即 ，
，
，
，即 ，
， 为等腰直角三角形， ，
， ，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判
定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，综合性强，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握
相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．
在平面直角坐标系中画位似图形1．（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点
及平面直角坐标系 ．
(1)将直接写出 关于x轴对称的 各点的坐标：A ，B ，C ；
1 1 1
(2)以点O为位似中心，位似比为2∶1，在第四象限将 放大为原来的2倍得到 ，请作出
；
(3)在（2）的条件下，若 上的点P(x,y)位似的对应点为点 ，则点 的坐标为 ．
【答案】(1) ， ， ；
(2)见解析
(3)
【知识点】画轴对称图形、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、求位似图形的对应坐标
【分析】本题考查了轴对称作图，位似变换作图及点在坐标系的特征，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）利用网格特点和轴对称的性质找出点 的对应点 ，连接可得 ，再根据坐标轴写
出各点 的坐标即可；
（2）把点 的横纵坐标都乘以2得到对应点 的坐标，连接即可；
（3）根据相似的性质，将点P(x,y)的横纵坐标都乘以2，即可得到对应点 的坐标．
【详解】（1）如图， 即为所作，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 的坐标为 ；故答案为： ， ， ；
（2）如图， 即为所求；
（3）点P(x,y)位似的对应点的坐标为点 ，
故答案为： ．
2．（23-24九年级上·山东德州·期末）已知： 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0,3)、
、 （正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
(1)画出 绕原点 顺时针旋转 得到的 ，点 的坐标是___________；
(2)以点 为位似中心，在网格内画出 ，使 与 位似，且位似比为 ，点 的坐标是
___________；
(3) 的面积是___________平方单位．【答案】(1)作图见解析，
(2)作图见解析，
(3)10
【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、画旋转图形
【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解
题关键．
（1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可；
（3）利用等腰直角三角形的性质得 的面积．
【详解】（1）如图， 即为所求； ；
故答案为： ；
（2）如图 即为所求， ；
故答案为： ；
（3）∵ ， ， ，
，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ 的面积是： （平方单位）．故答案为：10．
3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为
， ，(0,2)．
(1) 与 是位似图形，位似中心是点E，请在图中标出点E的位置，并写出点E的坐标；
(2)以点 为位似中心，将 放大为原来的2倍得到 （其中 与A， 与B， 与C是
对应点，并且每对对应点分别在点D的同侧）．
【答案】(1)图见解析，点E的坐标为 ．
(2)见解析
【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、在坐标系中画位似中心
【分析】本题考查根据位似图形找位似中心，位似作图，掌握位似图形的特征是解题的关键．
（1）由位似中心是对应点连线的交点作图即可，再根据点的位置直接写出点的坐标即可解题；
（2）根据位似比确定 、 、 的位置，再连线即可得到 ．
【详解】（1）解：点E的位置如下图所示：由图知，点E的坐标为 ．
（2）解：得到 如图所示：
4．（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图，已知O是坐标原点，A，B两点的坐标分别为 ．(1)以点O为位似中心，在y轴左侧将 放大为原来的两倍，画出 ；
(2)A点的对应点 的坐标是 ； 的面积是 ；
(3)在 上有一点 ，按（1）的方式得到的对应点 坐标是 ．
【答案】(1)见解析
(2) ，10
(3)
【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、写出直角坐标系中点的坐标、利用网格求三角形面
积
【分析】本题主要考查了作图-位似变换．
（1）利用位似变换的性质分别作出A，B的对应点 即可；
（2）根据点的位置写出坐标，利用分割法求出三角形面积；
（3）利用位似变换的性质求解．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
（2）解：A点的对应点 的坐标是 ，
的面积 ；故答案为： ，10；
（3）解：在 上有一点 ，按（1）的方式得到的对应点 坐标是 ．
故答案为： ．
在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
1．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图， 和 是以点O为位似中心的位似图形，若
， 的面积等于3，则 的面积 ．
【答案】 /
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质．根据位似变换的概念得到 ，
，从而得到得到 ，根据相似三角形的性质求出 ，再根据相似
三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 和 是以点O为位似中心的位似图形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ 的面积等于3，
∴ 的面积为 ．
故答案为：
2．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图， 与 位似，点O为位似中心， ， 的
面积为2，则 的面积为 ．
【答案】18
【知识点】利用相似三角形的性质求解、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
【分析】本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应
边平行（或共线）．利用位似的性质得到 ， ，所以 ，然后根据相
似三角形的性质求解．
【详解】解：∵ 与 位似，点O为位似中心，
∴ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：18．3．（22-23九年级上·甘肃白银·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点坐标分别是
，已知矩形 与矩形 位似，位似中心是原点 ，且知形
的面积等于矩形 面积的 ，则点 的对应点 的坐标是 ．
【答案】 或 / 或
【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
【分析】根据位似图形的概念得到矩形 矩形 ，根据相似多边形的性质求出相似比，根据位
似图形与坐标的关系计算，得到答案．
【详解】解：∵矩形 与矩形 关于点O位似，
∴矩形 矩形 ，
∵矩形 的面积等于矩形 面积的 ，
∴矩形 与矩形 的相似比为 ，
∵ ，
∴点 的坐标为 或 ，即 或 ，
故答案为： 或 ．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形是相似图形以及相似多边形的性质是解题的
关键．相似图形面积比等于相似比的平方．
