专题 12 二次函数与几何动点及最值﹑存在性问题
题型1 与线段交点个数问题
题型2 抛物线上的点到某一直线的距离问题
题型3 已知点关于直线对称点问题
题型4 特殊角度存在性问题
题型5 将军饮马模型解决存在性问题
题型6 二次函数中面积存在性问题
题型7 二次函数中等腰三角形存在性问题
题型8 二次函数中直角三角形存在性问题
题型9 二次函数中全等三角形存在性问题
题型10 二次函数中相似三角形存在性问题
题型11 二次函数中平行四边形存在性问题
题型12 二次函数中矩形存在性问题
题型13 二次函数中菱形存在性问题
题型14 二次函数中正方形存在性问题
题型一 与线段交点个数问题（共 3 小题）
1．（25-26九年级上·江西新余·期中）如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(5,0)，与y轴
交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上一点D，满足S =S ，求点D的横坐标；
△DAC △OAC
(3)如图2，已知N(0,1)，将抛物线在点A、B之间部分（含点A、B）沿x轴向上翻折，得到图象T（虚线部分），点M为图象T的顶点，现将图象T保持其顶点在直线MN上平移，得到的图象T 与线
1
段BC至少有一个交点．求图象T 的顶点横坐标的取值范围．
1
【答案】(1)y=x2-6x+5
(1+❑√21 15-5❑√21) (1-❑√21 15+5❑√21)
(2)D , 或 ,
2 2 2 2
15
(3)图象T 顶点横坐标的取值范围： ≤m≤5
1 8
【分析】（1）将点A、B的坐标分别代入函数解析式，列出关于b、c的方程组，通过解方程组求得它
们的值即可；
（2）满足S =S ，则点D到AC的距离与点O到AC的距离相等；
△DAC △OAC
（3）设抛物线：y=x2-6x+5的顶点为G，则点G(3,-4)关于x轴对称点M的坐标为：(3,4)，由题
意易得直线MN:y=x+1，设图象T 顶点为P(m,m+1)，然后进行分类求解即可．
1
【详解】（1）解：将A(1,0),B(5,0)代入抛物线y=x2+bx+c的解析式得：¿，
解得：¿，
∴抛物线的解析式为：y=x2-6x+5；
（2）解：如图1，
由（1）可知：抛物线的解析式为：y=x2-6x+5，
令x=0时，则有y=5，
∴C(0,5)，
设直线AC的解析式为y=kx+b，则有：
¿，解得：¿，
∴直线AC的解析式为y=-5x+5，当D在直线AC的左侧时，
∵S =S ，
△DAC △OAC
∴OD∥AC，
∴直线OD的解析式为y=-5x，
∴¿，
方程组无解，
∴D不在直线AC的左侧，
当D在直线AC的右侧时，在x轴上取点M，使OA=AM=1，分别过点O、M作
OE⊥AC,MF⊥AC，
∴∠OEA=∠MFA=90°，M(2,0)，
∵∠OAE=∠MAF，
∴△OAE≌△MAF(AAS)，
∴OE=MF，
∴S =S ，
△OAC △ACM
∵S =S ，
△DAC △OAC
∴S =S ，
△DAC △ACM
过点M作直线DM∥AC交抛物线于点D，
同理可求直线DM的解析式为y=-5x+10，
∴¿，
解得¿，¿，
(1+❑√21 15-5❑√21) (1-❑√21 15+5❑√21)
∴D , 或 , ；
2 2 2 2
（3）解：设抛物线：y=x2-6x+5的顶点为G，则点G(3,-4)关于x轴对称点M的坐标为：(3,4)，
又∵N(0,1)，
同理可得直线MN:y=x+1，
∵图象T顶点在直线MN上，
∴设图象T 顶点为P(m,m+1)，
1
如图2，由点A(1,0)与M(3,4)的坐标关系，得到点A的对应点K(m-3+1,m+1-4)，即K(m-2,m-3)，
由B(5,0),C(0,5)可得直线BC:y=-x+5，
当点K在直线BC上时，-(m-2)+5=m-3，
∴m=5，
此时点K的横坐标为3，
∴点K在线段BC上，
如图3，
设图象T 所在抛物线方程为：y=-(x-m) 2+m+1，点L为直线BC与抛物线的交点，则点L的坐标满
1
足下列方程组：
¿，
点L的横坐标是方程：-(x-m) 2+m+1=-x+5的解，整理得：x2-(2m+1)x+m2-m+4=0，
当图象T 与直线BC相切时有：Δ=[-(2m+1)] 2 -4(m2-m+4)=0，
1
15
解得：m= ，
8
19 361
∴方程为x2- x+ =0，
4 64
19
解得：x =x = ，
1 2 8
19
∴x = ，（在线段BC上），
L 8
15
∴图象T 顶点横坐标的取值范围： ≤m≤5．
1 8
【点睛】主要考查了二次函数综合题型，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培
养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用函数图象上点的坐标特征推知点的坐
标的取值范围．
2．（25-26九年级上·安徽六安·月考）已知抛物线y=ax2-2ax-2(a≠0)与y轴交于点C．
(1)该抛物线经过一个定点D（异于点C），请求出D点的坐标．
(2)若该抛物线与x轴交于点A(-1,0)、B，且点E是该抛物线上位于直线BC下方的点，求出四边形
ACEB的最大面积，并写出面积最大时点E的坐标．
(3)已知点M(4,2)，若该抛物线与线段OM有交点，试求a的取值范围．
【答案】(1)D(2,-2)
3 25 (3 5)
(2)当t= 时，四边形ACEB的最大面积为 ，此时E ,-
2 4 2 2
1 5
(3)a≥ 或a≤-
2 2
【分析】（1）先求出点C坐标和对称轴，进而利用相似比对称性求出点D坐标；
（2）先求出抛物线解析式，易得点B坐标，进而求出直线BC解析式，再利用割补法可得
1 1
S =S +S = AB⋅OC+ EF⋅(x -x )，据此求解即可；
四边形ACEB △ABC △BCE 2 2 B C
（3）分两种情况，a>0或a<0，利用数形结合即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线为y=ax2-2ax-2，∴对称轴为直线x=1，
令x=0，得y=-2，
∴C(0,-2)，
∴点C关于直线x=2对称点为(2,-2)，
∴D(2,-2)；
2
（2）解：将A(-1,0)代入得，a+2a-2=0，解得a= ，
3
2 4
∴抛物线解析式为y= x2- x-2，
3 3
根据对称性可知B(3,0)，
设直线BC解析式为y=kx+b，将点B、C坐标代入得，
¿，
解得¿，
2
∴直线BC的解析式为y= x-2，
3
如图，过E作EF∥y轴交BC于点E，
设E ( t, 2 t2- 4 t-2 ) ，则F ( t, 2 t-2 ) ，
3 3 3
∴EF= 2 t-2- (2 t2- 4 t-2 ) =- 2 t2+2t，
3 3 3 3
则S =S +S = 1 AB⋅OC+ 1 EF⋅(x -x )= 1 ×4×2+ 1 × ( - 2 t2+2t ) ×3
四边形ACEB ABC BCE 2 2 B C 2 2 3
=-t2+3t+4=- ( t- 3) 2 + 25 ，
2 43 25 (3 5)
∴当t= 时，四边形ACEB的最大面积为 ，此时E ,- ；
2 4 2 2
（3）解：当a>0时，如图，
只有保证点M在抛物线下方（包括抛物线上），则抛物线与线段OB有交点，
当x=4时，y=8a-2≥2，
1
∴a≥ ；
2
当a<0时，如图，
此时只有保证抛物线顶点在线段OM上方（包括OM上），则抛物线与线段OB有交点，
1
由M(4,2)可得直线OM解析式为y= x，
2
∵对称轴为直线x=1，
( 1)
∴顶点坐标为(1,-a-2)，此时直线OM上的点为 1, ，
2
1 5
∴-a-2≥ ，解得a≤- ；
2 2
1 5
综上，a≥ 或a≤- ．
2 2
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式、二次函数点的坐标特征、坐标与图形面积、二次函数与直线交点问题等内容，数形结合是解题的关键．
3．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数y=-x2+2tx+2（t为常数）．
(1)证明：该二次函数图象与x轴必有两个交点．
(2)已知点M(-1,1)，N(3,1)，若该二次函数图像与线段MN只有一个交点，求t的取值范围．
(3)若图像上有点A(m,a)，B(m+2,a)，C(4,b)，且满足a>b>2，求m的取值范围．
【答案】(1)见解析
4
(2)t> 或t<0.
3
(3)1<m<2或m>4
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，解一元二次不等式组，理解二次函数图像与线段MN只
有一个交点时函数值的特征、解一元二次不等式组方法是解题的关键．
（1）根据Δ=b2-4ac>0可得函数图象与x轴必有两个交点；
（2）根据二次函数图像与线段MN只有一个交点，当x=-1时和当x=3时，函数值与y=1的关系列
出不等式组即可；
2t m+m+2
（3）根据图像上有点A(m,a)，B(m+2,a)，得出二次函数对称轴为x=- = ．由此得出
-2 2
t=m+1，进而可得a=m2+2m+2，b=8m-6，由a>b>2即可列出不等式组求出m的取值范围
【详解】（1）解：∵Δ=b2-4ac=(2t) 2-4×(-1)×2=4t2+8≥8，
∴函数y=-x2+2tx+2的图象与x轴必有两个交点；
（2）解：∵y=-x2+2tx+2，
当x=-1时，y=-(-1) 2-2t+2=1-2t，
当x=3时，y=-32+2×3t+2=6t-7，
∵点M(-1,1)，N(3,1)，二次函数图像与线段MN只有一个交点，
当二次函数图像经过点M(-1,1)时，即y=1-2t=1，解得：t=0，此时抛物线解析式为y=-x2+2，
抛物线与y=1的两个交点是(-1,1)，(1,1)，都在线段MN上，
4
当二次函数图像经过点N(3,1)时，即y=6t-7=1，解得：t= ，此时抛物线解析式为
3
8
y=-x2+ x+2，抛物线与y=1的两个交点是
3
1
(3,1)，(- ,1)，都在线段MN上，
34
当¿时，解得：t> ，
3
当¿时，解得：t<0，
4
综上所述：该二次函数图像与线段MN只有一个交点， t的取值范围为t> 或t<0.
3
（3）点A(m,a)，B(m+2,a)在函数y=-x2+2tx+2图像上，
2t m+m+2
∴对称轴为x=- = ，
-2 2
∴t=m+1，即抛物线解析式为y=-x2+2(m+1)x+2，
∴当x=m时，y=-m2+2(m+1)m+2=m2+2m+2=a，
当x=4时，y=-42+2×4(m+1)+2=8m-6=b，
∵b>2，
∴8m-6>2，解得：m>1，
又∵a>b>2，
∴m2+2m+2>8m-6，整理得：(m-2)(m-4)>0，
解得：m<2或m>4，
综上所述：m的取值范围1<m<2或m>4.
题型二 抛物线上的点到某一直线的距离问题（共 3 小题）
1．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图1，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于
C，已知点B坐标为(4,0)，点C坐标为(0,4)，点P为抛物线上的一个点，其横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P为直线BC上方抛物线上的一个点，连接PC，PB，当四边形PBOC的面积最大时，求出P
点的坐标；
(3)过点P作PM⊥x轴，交直线BC于M，记PM的长为d，点P到y轴的距离为g，且l=d+g．①求l与m的函数解析式；
②当l=14时，直接写出m的值．
【答案】(1)y=-x2+3x+4
(2)P(2,6)
3+❑√65
(3)①l=¿；②m= 或-2
2
【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次
函数的解析式、二次函数与面积综合．
（1）把点B坐标为(4,0)，点C坐标为(0,4)代入y=-x2+bx+c列方程计算即可；
（2）过P作PN⊥x轴交BC于N，设P(m,-m2+3m+4)，则N(m,-m+4)，根据
1 1
S =S +S = OB⋅OC+ PN⋅OB表示出面积，最后求最大值即可；
四边形PBOC △BOC △PBC 2 2
（3）①设P(m,-m2+3m+4)，则M(m,-m+4)， d=PM=|-m2+4m|，点P到y轴的距离为
g=|m|，l=d+g=|-m2+4m|+|m|，再分情况讨论去绝对自即可；
②根据l=14结合①中三种情况列方程求解，再取对应范围之内的值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，已知点B坐标为
(4,0)，点C坐标为(0,4)，
∴¿，
解得¿，
∴抛物线的表达式为y=-x2+3x+4；
（2）解：点B坐标为(4,0)，点C坐标为(0,4)，则OB=OC=4，
设直线BC解析式为y=kx+4，把B(4,0)代入0=4k+4，
解得k=-1，
∴直线BC解析式为y=-x+4，
过P作PN⊥x轴交BC于N，设P(m,-m2+3m+4)，则N(m,-m+4)，
∴PN=(-m2+3m+4)-(-m+4)=-m2+4m，
∴S =S +S
四边形PBOC △BOC △PBC
1 1
= OB⋅OC+ PN⋅OB
2 2
1 1
= ×4×4+ ×4(-m2+4m)
2 2
=-2m2+8m+8
=-2(m-2) 2+16，
∴当m=2时，四边形PBOC的面积最大，最大值为16，此时P(2,6)；
（3）解：①设P(m,-m2+3m+4)，
∵过点P作PM⊥x轴，交直线BC于M，
∴M(m,-m+4)，
∴d=PM=|(-m2+3m+4)-(-m+4) |=|-m2+4m|，点P到y轴的距离为g=|m|，
∴l=d+g=|-m2+4m|+|m|，
当m<0时，l=|-m2+4m|+|m|=m2-4m+(-m)=m2-5m；
当0≤m≤4时，l=|-m2+4m|+|m|=-m2+4m+m=-m2+5m；
当0≤m≤4时，l=|-m2+4m|+|m|=m2-4m+m=m2-3m；
综上所述，l=¿；
②∵l=14，
∴当m<0时，l=m2-5m=14，解得m=7（舍去）或m=-2；( 5) 2 25
当0≤m≤4时，l=-m2+5m=14，整理得 m- =-14- <0，方程无解；
2 4
( 3) 2 9 65 3+❑√65 3-❑√65
当m>4时，l=m2-3m=14，整理 m- =14+ = ，解得m= 或m= <0（舍
2 4 4 2 2
去）；
3+❑√65
综上所述当l=14时，m= 或-2．
2
2．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中；已知抛物线的顶点坐标为(2,0)，且
1
经过点(4,1)，如图，直线y= x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=-1．
4
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使|PA-PB|取得最大值？若存在，求出点P的坐标；若不
存在，请说明理由；
(3)已知F(x ,y )为平面内一定点，M(m,n)为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F
0 0
的距离总是相等，求定点F的坐标．
1
【答案】(1)y= (x-2) 2
4
( 1)
(2)|PA-PB|存在最大值，此时点P的坐标为 2,-
2
(3)F(2,1)
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；
（2）求出点A和点B的坐标，作点A关于对称轴的对称点A'，连接PA'，根据|PA'-PB|≤A'B和轴对称的性质得到当P、A' 、B三点共线时，|PA'-PB|有最大值，即此时|PA-PB|有最大值，据
此求解即可；
（3）由两点距离计算公式得到(m-x ) 2+(n- y ) 2=(n+1) 2 ，则可推出
0 0
(1 - 1 y ) m2+(2-2x +2y )m+x 2+ y 2-2y -3=0，进而得到¿，解之即可得到答案．
2 2 0 0 0 0 0 0
【详解】（1）解：设抛物线解析式为y=a(x-2) 2 (a≠0)，
把(4,1)代入y=a(x-2) 2 (a≠0)中得1=a(4-2) 2，
1
∴a= ，
4
1
∴抛物线解析式为y= (x-2) 2 ；
4
（2）解：联立¿，解得¿或¿，
( 1)
∴A 1, ，B(4,1)；
4
∵抛物线顶点坐标为(2,0)，
∴对称轴为直线x=2；
如图所示，作点A关于对称轴的对称点A'，连接PA'，则A'(
3,
1)
，
4
由轴对称的性质可得PA=PA'，
∴|PA-PB|=|PA'-PB|，又∵|PA'-PB|≤A'B，
∴当P、A' 、B三点共线时，|PA'-PB|有最大值，即此时|PA-PB|有最大值；
设直线A'B的解析式为y=k x+b，
1
∴¿，
∴¿，
3
∴直线A'B的解析式为y= x-2，
4
3 1
在y= x-2中，当x=2时，y=- ，
4 2
( 1)
∴|PA-PB|存在最大值，此时点P的坐标为 2,- ；
2
（3）解：∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，
∴(m-x ) 2+(n- y ) 2=(n+1) 2 ，
0 0
∴m2-2mx +x 2+n2-2n y + y 2=n2+2n+1，
0 0 0 0
m2-2mx +x 2-2n y + y 2=2n+1
0 0 0 0
1
∵n= (m-2) 2 ，
4
1 1
∴m2-2mx +x 2- (m2-4m+4)y + y 2= (m2-4m+4)+1，
0 0 2 0 0 2
∴ (1 - 1 y ) m2+(2-2x +2y )m+x 2+ y 2-2y -3=0，
2 2 0 0 0 0 0 0
∵点F为定点，
∴x ，y 为定值，
0 0
∴¿
解得¿，
∴点F的坐标为(2,1)．
3．（2025·湖北孝感·三模）在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-3,0)，B(1,0)
两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上不与A、C重合的一动点，过点P作直线AC的平行线交x轴于点D，交y轴于点E，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图①，当点P在第二象限时，若PD=PE，求m的值；
(3)将C，E两点间的距离记为d，当两点重合时其距离为0．
①求d关于m的函数解析式；
②当PD≤AC时，请直接写出m的取值范围及对应的d的取值范围．
【答案】(1)y=-x2-2x+3
-1-❑√13
(2)m=
2
(3)①d=|m2+3m|；②当-1-❑√7≤m≤-2时，0≤d≤5-❑√7；当0≤m≤-1+❑√7时，0≤d≤5+❑√7
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，中点的定义，两直线平
行的性质是解题的关键．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）先求出直线AC的解析式为y=x+3，再由DE∥AC，求出直线DE的解析式为
y=x-m2-3m+3，得到E(0,m2-3m+3)，D(m2+3m-3,0)，由题意可知P点是DE的中点，则
2m=m2+3m-3，求出符合条件的m的值即可；
（3）①根据点C、E（的坐标，直接可求d=|m2+3m|；②分别求出
AC=3❑√2,PD=❑√2|m2+3m-3|，再由PD≤AC，得到❑√2|m2+3m-3|≤3❑√2，解得
-1-❑√7≤m≤-2或0≤m≤-1+❑√7，再由m的范围结合①即可求解．
【详解】（1）解：把A(-3,0)，B(1,0)代入y=-x2+bx+c得，
¿，解得¿，
∴抛物线的函数解析式为y=-x2-2x+3；
（2）解：∵抛物线的函数解析式为y=-x2-2x+3，
∴C(0,3)，
设直线AC的解析式为y=kx+n，把A(-3,0)和C(0,3)代入得，
¿，
解得¿，
∴直线AC的解析式为y=x+3，
∵直线PE∥AC，
∴可设直线PE的解析式为y=x+c，
∵点P的横坐标为m，
∴P(m,-m2-2m+3)，
把P(m,-m2-2m+3)代入y=x+c，得-m2-2m+3=m+c，
解得c=-m2-3m+3，
∴直线PE的解析式为y=x-m2-3m+3，E(0,-m2-3m+3)，
当y=0时，x-m2-3m+3=0，
解得x=m2+3m-3，
∴D(m2+3m-3,0)，
∵PD=PE，
∴点P为线段DE的中点，
m2+3m-3+0
∴ =m，
2
整理得，m2+m-3=0，
-1-❑√13 -1+❑√13
解得m = ，m = ，
1 2 2 2
∵点P在第二象限时，
∴m<0，
-1-❑√13
∴m= ；
2（3）解：①∵C(0,3)，E(0,-m2-3m+3)，
∴d=|-m2-3m+3-3|=|-m2-3m|=|m2+3m|
②∵A(-3,0),C(0,3)，
∴AC=3❑√2，
∵D(m2+3m-3,0),P(m,-m2-2m+3)，
∴PD=❑√2|m2+2m-3|，
∵PD≤AC，
∴❑√2|m2+2m-3|≤3❑√2，即|m2+2m-3|≤3，
在同一平面直角坐标中画出函数y=|m2+2m-3|和y=3，如图，
当|m2+2m-3|=3时，解得m=-1±❑√7或m=-2，m=0，
借助图象可得|m2+2m-3|≤3的解集为-1-❑√7≤m≤-2或0≤m≤-1+❑√7，
∴当-1-❑√7≤m≤-2时，0≤d≤5-❑√7；当0≤m≤-1+❑√7时，0≤d≤5+❑√7．
题型三 已知点关于直线对称点问题（共 4 小题）
1．（2025·陕西铜川·模拟预测）自古以来，放风筝便是春天不可或缺的乐趣之一．如图是某同学设计的
一只风筝的平面示意图，其外轮廓为三角形，中间有一个抛物线形的装饰图案，抛物线的顶点为P，
抛物线与三角形的一边相交于O、A两点（点O与点A关于抛物线的对称轴对称），以OA所在直线为
x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知OA=8dm，点P到OA
的距离为8dm．(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知点H的坐标为(4,2)，该同学准备在抛物线上取两点M、N（点M与点N关于抛物线的对称轴
对称），MN与抛物线对称轴的交点为D，点D在点H的上方，沿MN和DH缝制两条装饰线条，请
你计算MN与DH长度之和的最大值．
1
【答案】(1)y=- x2+4x
2
(2)8dm
【分析】（1）根据题意得抛物线的顶点P(4,8)，设抛物线的函数表达式为y=a(x-4) 2+8，利用待
定系数法解答即可求解；
（2）设M ( m,- 1 m2+4m ) ，则DM=4-m，可得MN=2DM=8-2m，DH=- 1 m2+4m-2，
2 2
1
进而得到MN+DH=- (m-2) 2+8，再根据二次函数的性质即可求解；
2
本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意得，抛物线的顶点P(4,8)，
设抛物线的函数表达式为y=a(x-4) 2+8，
将点O(0,0)代入，得0=a(0-4) 2+8，
1
解得a=- ，
2
1 1
∴抛物线的函数表达式为y=- (x-4) 2+8=- x2+4x，
2 2
1
即y=- x2+4x；
2（2）解：设M ( m,- 1 m2+4m ) ，则DM=4-m，
2
∴MN=2DM=8-2m，
∵点H的坐标为(4,2)，
1
∴DH=- m2+4m-2，
2
1 1 1
∴MN+DH=8-2m- m2+4m-2=- m2+2m+6=- (m-2) 2+8，
2 2 2
1
∵- <0，
2
∴当m=2时，MN+DH取得最大值，最大值为8，
∴MN与DH长度之和的最大值为8dm．
1
2．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）抛物线y= x2-x+c与x轴相交于点A和点B(3,0)，与y轴相交于
2
点C，D是抛物线的顶点，P，Q是抛物线上动点，P，Q关于抛物线的对称轴对称，设点P的横坐标
为m．
(1)直接写出c的值及点D的坐标；
(2)如图1，若点P在对称轴左侧，PQ交y轴于点E，当EQ=EC时，求m的值；
(3)若点P在第四象限，设此抛物线在点C与点P之间的部分（包括点C和点P）的最高点与最低点的
纵坐标的差为h．求h关于m的函数解析式；
3
【答案】(1)c=- ；(1,-2)
2
(2)-2
(3)h=¿
【分析】本题主要考查了二次函数综合等，能利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
1
（1）把点B(3,0)代入y= x2-x+c，可求出c的值，再把解析式化为顶点式可得点D的坐标；
2( 3)
（2）求出点C 0,- ，由（1）得：抛物线的对称轴为直线x=1，可得到点
2
Q ( -m+2, 1 m2-m- 3) ，E ( 0, 1 m2-m- 3) ，从而得到
2 2 2 2
1 3 3 1
EQ=-m+2,EC= m2-m- + = m2-m，再由EQ=EC，列出方程，即可求解；
2 2 2 2
（3）分三种情况讨论即可求解．
1
【详解】（1）解：把点B(3,0)代入y= x2-x+c得：
2
1
×9-3+c=0，
2
3
解得：c=- ，
2
1 3 1
∴抛物线的解析式为y= x2-x- = (x-1) 2-2，
2 2 2
∴抛物线的顶点D的坐标为(1,-2)；
3
（2）解：当x=0时，y=- ，
2
( 3)
∴点C 0,- ，
2
由（1）得：抛物线的对称轴为直线x=1，
根据题意得：点P ( m, 1 m2-m- 3) ，
2 2
∵P，Q关于抛物线的对称轴对称，
∴点Q ( -m+2, 1 m2-m- 3) ，E ( 0, 1 m2-m- 3)
2 2 2 2
1 3 3 1
∴EQ=-m+2,EC= m2-m- + = m2-m，
2 2 2 2
∵EQ=EC，
1
∴-m+2= m2-m，
2解得：m=-2或2（舍去）；
( 3) ( 3)
（3）解：根据题意得：点C 0,- 关于对称轴的对称点为 2,- ，顶点D的坐标为(1,-2)
2 2
当0≤m<1时，y随x的增大而减小，
3 1 3
此时最高点的纵坐标为- ，最低点的纵坐标为 m2-m- ，
2 2 2
∵最高点与最低点的纵坐标的差为h．
∴h=-
3
-
(1
m2-m-
3)
=-
1
m2+m；
2 2 2 2
3
当1≤m<2时，此时最高点的纵坐标为- ，最低点的纵坐标为-2，
2
∵最高点与最低点的纵坐标的差为h．
3 1
∴h=- -(-2)= ；
2 2
1 3
当2≤m<3时，此时最高点的纵坐标为 m2-m- ，最低点的纵坐标为-2，
2 2
∵最高点与最低点的纵坐标的差为h．
∴h=
(1
m2-m-
3)
-(-2)=
1
m2-m+
1
；
2 2 2 2
综上所述，h关于m的函数解析式为h=¿．
3．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于
A(1,0),B(-6,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求拋物线的函数解析式．
(2)P是直线BC下方抛物线对称轴的左侧拋物线上一动点，过点P分别作PD∥x轴，交抛物线于点D，作PE⊥BC于点E，求PD+❑√2PE的最大值及此时点P的坐标．
(3)将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，在PD+❑√2PE取得最大值的条件
下，连接AP，交y轴于点M，平移后的抛物线上是否存在一点N，使得∠AMN=90°？若存在，直
接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=x2+5x-6
(2)PD+❑√2PE的最大值为11，此时点P的坐标为(-4,-10)
( 3 5)
(3)存在，点N的坐标为 - ,- 或(-8,2)．
2 4
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与线段的综合、等腰直角三角形的判定与性质、
勾股定理等知识点，灵活运用所学知识成为解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求解即可；
5
（2）如图：过P作PH∥x轴交直线BC于H，由二次函数的性质可得点C(0,-6)，对称轴为x=- ；
2
再通过证明△PHE是等腰直角三角形，即EH=PE，进而得到PH=❑√2PE；再运用待定系数法求
得直线BC的解析式为y=-x-6，设点P(p,p2+5p-6)，则H(p,-p-6)，进而得到
PD+❑√2PE=PD+PH =-(p2+8p)-5，然后运用配方法求最值即可解答；
（3）先直线AP的解析式为y=-2x-2，再求得M(0,-2)，然后确定平移后的抛物线解析式为
( 9) 2 41 ( ( 9) 2 41)
y= x+ - ；设N n, n+ - ，再用两点间距离公式表示出AN2 、M N2 、AM2，然
2 4 2 4
后再运用勾股定理列方程求得n即可解答．
【详解】（1）解：将A(1,0),B(-6,0)两点代入y=x2+bx+c可得：
¿，解得：¿，
∴抛物线的表达式为y=x2+5x-6；
（2）解：如图：过P作PH∥x轴交直线BC于H，∵抛物线的表达式为y=x2+5x-6，
5
∴点C(0,-6)，对称轴为x=- ，
2
∴OC=6，
∵B(-6,0)，
∴OB=6，
∴OB=OC，即△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°，
∵PH∥x轴，
∴∠PHC=∠OCB=45°，
∵PE⊥BC，
∴△PHE是等腰直角三角形，即EH=PE，
∴PH=❑√H E2+PE2=❑√PE2+PE2=❑√2PE，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则¿，解得：¿，
∴直线BC的解析式为y=-x-6，
设点P(p,p2+5p-6)，则H(p,-p-6)，
( 5 )
∴PD=2 - -p =-5-2p，PH=-p-6-(p2+5p-6)=-p2-6p，
2
∴PD+❑√2PE=PD+PH
=-5-2p+(-p2-6p)
=-(p2+8p)-5=-(p+4) 2+11，
∴当p=-4，即P(-4,-10)时，PD+❑√2PE的最大值为11．
∴PD+❑√2PE的最大值为11，P(-4,-10)．
（3）解：如图：设直线AP的解析式为y=mx+n，
则¿，解得：¿，
∴直线AP的解析式为y=-2x-2，
∵连接AP交y轴于点M，
∴M(0,-2)，
∵y=x2+5x-6= ( x+ 5) 2 - 49 ，抛物线沿射线CB方向平移2❑√2个单位，
2 4
( 5) 2 49
∴将抛物线y= x+ - 向左平移两个单位，向上平移两个单位得到平移后的函数解析式为：
2 4
( 5 ) 2 49 ( 9) 2 41
y= x+ +2 - +2= x+ - ，
2 4 2 4
( ( 9) 2 41)
设N n, n+ - ，
2 4
∵M(0,-2)，A(1，0)，
∴ AM2=(1-0) 2+[0-(-2)] 2 =5 ， N M2=(n-0) 2+ [( n+ 9) 2 - 41 -(-2) ] 2 =n2+ [( n+ 9) 2 - 33] 2 ，
2 4 2 4N A2=(n-1) 2+ [ ( n+ 9) 2 - 41 -0 ] 2 =(n-1) 2+ [ ( n+ 9) 2 - 41] 2 ，
2 4 2 4
∵∠AMN=90°，
∴AN2=M N2+AM2，
∴(n-1) 2+ [ ( n+ 9) 2 - 41] 2 =n2+ [ ( n+ 9) 2 - 33] 2 +5，
2 4 2 4
3
整理得：2n2+19n+24=0，解得：n=- 或-8，
2
3 ( 9) 2 41 5
将n=- 、n=-8代入 n+ - 分别得到- ，2，
2 2 4 4
( 3 5)
∴ N(-8,2)或N - ,- ．
2 4
1
4．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知，如图，抛物线y=- x2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点，
4
与y轴交于点C，直线y=x-2经过A、C两点．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)P为抛物线上一点，若点P关于直线AC对称点Q落在y轴上，求P点坐标；
11
(3)现将抛物线平移，保持顶点在直线y=x- ，若平移后的抛物线与直线y=x-2交于M、N两点．
4
①求证：MN的长度为定值；
②结合（2）的条件，求△QMN的周长的最小值．
1 3
【答案】(1)y=- x2+ x-2
4 2
(2)P(6,-2)(3)①见解析②4❑√5+2❑√2
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线的平移，待定系数法求函数解析式，掌握
二次函数的图象及性质，轴对称的性质，正确作出图形是解题关键．
1
（1）求出A，C点的坐标，再将点坐标代入y=- x2+bx+c，即可得解；
4
（2）先求出∠OCA=45°，再由对称性可知PC⊥y轴，即可求出点P的纵坐标，最后利用二次函
数的解析式求出结果；
1 11
（3）①先求出平移后的抛物线，再利用- (x-m) 2+m- =x-2，得x +x =2m-4，
4 4 1 2
x ⋅x =m2-4m+3，最后利用两点间的距离公式求解即可；
1 2
②作KQ∥MN，连接MK，MP，先求出KM+MP的最小值，即KP的长，最后根据△QMN的
周长的最小值，即KQ+KP，得解．
【详解】（1）解：在y=x-2中，令y=0，得x=2，令x=0，得y=-2，
∴A(2,0)，C(0,-2)；
1
∵抛物线y=- x2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
4
1
∴将点A(2,0)，C(0,-2)坐标代入y=- x2+bx+c得：
4
¿，
解得¿，
1 3
∴抛物线的解析式为y=- x2+ x-2；
4 2
（2）解：如图，
∵OA=OC=2，
∴∠OCA=45°，∵点P关于AC的对称点Q在y轴上，
∴∠OCA=∠PCA=45°，
∴∠PCO=90°,即PC⊥y轴，
∴点P的纵坐标为-2，
1 3
令- x2+ x-2=-2，
4 2
解得x=6或x=0（舍去），
∴P(6,-2)；
( 11)
（3）解：①设平移后的抛物线的顶点为 m,m- ，
4
1 11
∴平移后的抛物线的解析式为y=- (x-m) 2+m- ，
4 4
1 11
令- (x-m) 2+m- =x-2，
4 4
整理得x2+(4-2m)x+m2-4m+3=0，
设M(x ,y )，N(x ,y )，
1 1 2 2
∴x +x =2m-4，x ⋅x =m2-4m+3，
1 2 1 2
∴MN=❑√(x -x ) 2+(y - y ) 2=❑√(x -x ) 2+(x -2-x +2) 2=❑√2(x +x ) 2-8x x =2❑√2，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∴MN的长度为2❑√2；
②如图，作KQ∥MN，并令KQ=MN，连接MK，MP，
由（2）得点P,Q关于NC对称，
∴MP=MQ；
由题可知，P(6,-2)，Q(0,4)，KQ=MN=2❑√2，则只需要求QM+QN的最小值即可．∵KQ∥MN，KQ=MN，
∴四边形KMNQ是平行四边形，
∴KM=QN，即KM+MP的最小值，即KP的长，
设直线PM的解析式为y=kx+b，
把P(6,-2)，M(2,0)代入得¿，
解得¿，
1
∴设直线PM的解析式为y=- x+1，
2
∵KQ∥MN，
∴设直线KQ的解析式为y=x+m，
把Q(0,4)代入得m=4，
∴直线KQ的解析式为y=x+4，
联立方程组¿，
解得¿，
∴K(-2,2)，
∴KP=❑√ (-2-6) 2+[2-(-2)] 2 =4❑√5，
∴△QMN的周长的最小值为KP+MN=4❑√5+2❑√2．
题型四 特殊角度存在性问题（共 3 小题）
1．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+2与x轴相
交于A(-2,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，点P是该抛物线对称轴l上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当△PAC的周长最小时，在图中标出点P的位置并求出点P的坐标．
(3)抛物线上是否存在点Q，使∠QCB=45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明
理由．1 1
【答案】(1)y=- x2+ x+2
4 2
( 3)
(2)P点见解析； 1,
2
(2 20)
(3) , 或(14,-40)
3 9
【分析】本题考查二次函数的综合，能够正确做出辅助线是解题关键；
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据轴对称的性质先找到P点，然后确定P点为函数对称轴和直线BC的交点，求出BC的函数
解析式以及二次函数的对称轴，进而可求出P点；
（3）当Q在BC上方时，过B作BT⊥CQ于T，过T作MN⊥y轴于N，过B作BM⊥MN于M，
证明△BTM≌△TCN(AAS)，有BM=NT，TM=CN，设T(m,n)，可得¿，即知T(3，3)，直
1
线CT解析式为y= x+2，联立¿，解得Q点坐标；当Q在BC下方时，过B作BR⊥CQ于R，过R
3
作SW⊥y轴于W，过B作BS⊥SW于S，同理可得Q点坐标．
【详解】（1）解：把A(-2,0)，B(4,0)两点，代入抛物线y=ax2+bx+2，
∴¿，
解得¿，
1 1
故抛物线的解析式为：y=- x2+ x+2．
4 2
（2）如图，P点即为所求，
1 1
∵抛物线的解析式为：y=- x2+ x+2，
4 2
当x=0时，y=2，
∴C(0,2)，
设直线BC的解析式为：y=mx+n，代入B(4,0)，C(0,2)，得到¿，
∴¿，
1
∴y=- x+2，
2
1 1
∵二次函数y=- x2+ x+2，
4 2
∴函数的对称轴为直线x=1，A,B两点关于直线x=1对称，
∴PA=PB，
∴△PAC的周长为：PA+AC+PC=AC+PC+PB≥AC+BC，
∴当B,C,P三点共线时，△PAC的周长取到最小值，
此时P点在对称轴上，
1 3
∴将x=1代入y=- x+2，得到y= ，
2 2
( 3)
∴P点坐标为 1, ．
2
（3）解：抛物线上存在点Q，使∠QCB=45°，理由如下：
当Q在BC上方时，过B作BT⊥CQ于T，过T作MN⊥y轴于N，过B作BM⊥MN于M，如图：
∠QCB=45°
∵ ，
∴△BCT是等腰直角三角形，
∴∠BTC=90°，BT=CT，
∴∠CTN=90°-∠BTM=∠TBM，
∵∠M=∠TNC=90°，
∴△BTM≌△TCN(AAS)，
∴BM=NT，TM=CN，
设T(m,n)，则NT=m,BM=n，
∵B(4,0)，C(0,2)，
∴TM=MN-NT=4-m,CN=ON-OC=n-2，∵BM=NT，TM=CN，
∴¿
解得¿
∴T(3，3)，
设直线CT解析式为y=px+q，
把C(0,2)，T(3，3)代入得¿，
解得¿，
1
∴直线CT解析式为y= x+2，
3
联立¿，
解得¿，
(2 20)
∴Q , ；
3 9
当Q在BC下方时，过B作BR⊥CQ于R，过R作SW⊥y轴于W，过B作BS⊥SW于S，如图：
△BSR≌△RWC(AAS)
同理可得 ，
∴BS=RW，RS=CW，
设R(p,q)，
∴¿，
解得¿，
∴R(1,-1)，
设直线CR解析式为y=k'x+b'，
把C(0,2)，R(1,-1)代入得，¿，
解得，¿，
∴直线CR解析式为y=-3x+2，
联立¿，
解得 ¿，
∴Q(14,-40)，(2 20)
综上所述，Q的坐标为 , 或(14,-40)．
3 9
2．（24-25九年级上·重庆·期末）如图1，已知抛物线y=ax2+bx-3的图象与x轴交于A、B两点，与y
轴交于C点，A点的坐标为(-1,0)，且抛物线对称轴为直线x=1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接BC，P为线段BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴交BC于点M，作
PN⊥y轴交y轴于点N，求PM+PN的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图3，连接AC、BC，在直线BC下方抛物线上是否存在一点Q，使得∠ACO+∠QBC=45°，
若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=x2-2x-3；
(2)PM+PN的最大值为4，此时P(2,-3)；
(3)存在，Q(2,-3)．
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值，全等三
角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出B(3,0)，再求出直线BC表达式为y=x-3，设P(m,m2-2m-3)(0<m<3)，则
M(m,m-3)，所以PM+PN=m-3-(m2-2m-3)+m=-(m-2) 2+4，然后通过二次函数的性质即
可求解；
（3）当Q点在BC下方时，如图，作FB⊥x轴，作CF⊥FB于点F，与抛物线的交点为E，连接
BE，求出E(2,-3)，则CE=2，证明△BFE≌△COA(SAS)，所以∠EBF=∠ACO，又
CF=BF=3，∠BFC=90°，故有∠CBF=∠CBE+∠EBF=45°，则∠CBE+∠ACO=45°，
可得点E与Q点重合，从而求解．【详解】（1）解：由题意知¿，解得¿，
∴解析式为y=x2-2x-3；
（2）解：∵A点的坐标为(-1,0)，且抛物线对称轴为直线x=1，
∴B(3,0)，
当x=0，y=-3，
∴C(0,3)，
设直线BC表达式为：y=k x+b ，
1 1
∴¿，解得¿，
∴直线BC表达式为y=x-3，
设P(m,m2-2m-3)(0<m<3)，
则M(m,m-3)，
∴PM+PN=m-3-(m2-2m-3)+m=-(m-2) 2+4，
∵-1<0，
∴当m=2时，PM+PN取得最大值为4，此时P(2,-3)；
（3）解：存在，理由如下：
当Q点在BC下方时，如图，作FB⊥x轴，作CF⊥FB于点F，与抛物线的交点为E，连接BE，
∵C(0,-3)，
∴当y=-3时，x2-2x-3=-3，
解得：x=0或x=2，
∴E(2,-3)，
∴CE=2，
∵∠COB=∠FBO=∠CFB=90°，
∴四边形OCFB是矩形，
∴OB=CF=3，∴EF=CF-CE=1，
∵BF=OC=3，∠BFC=∠COA，OA=EF=1，
∴△BFE≌△COA(SAS)，
∴∠EBF=∠ACO，
∵CF=BF=3，∠BFC=90°，
∴∠CBF=∠CBE+∠EBF=45°，
∴∠CBE+∠ACO=45°，
如图，点E与Q点重合，
∴Q(2,-3)．
1
3．（2023·江苏无锡·三模）如图，抛物线y=- x2+bx与x轴交于点A(5,0)．
2
(1)求抛物线的函数表达式；
OC 5
(2)点B(1,m)是抛物线上一点，点C是线段AB上一点，连接OC并延长交抛物线于点D，若 = ，
CD 4
求点D的坐标；
(3)抛物线上是否存在点P，使得∠OPA=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
1 5
【答案】(1)y=- x2+ x
2 2(2)点D坐标为(3,3)
(3)存在，点P坐标为(-1,-3)或(6,-3)
【分析】本题主要考查了抛物线和平行线，圆的知识的综合，掌握待定系数法求解析，二次函数与
几何图形的综合运用，圆的基础知识，数形结合分析思想是解题的关键．
1
（1）用待定系数法，把点A(5，0)代入y=- x2+bx中，求出b，即可得到表达式．
2
（2）过C,D作OA的垂线，得对应线段成比例，再找出各坐标之间的关系，列方程，求点D坐标．
（3）添加过三点的圆，利用45度圆周角，得到90度圆心角，利用勾股定理，找到各线段的长，求出
半径，设P的坐标，P既在抛物线上又在圆上，列方程，求出P的坐标．
1
【详解】（1）解：把点A(5，0)代入y=- x2+bx中，
2
1
∴- ×25+5b=0，
2
5
解得，b= ，
2
1 5
∴y=- x2+ x．
2 2
（2）解：作CE⊥OA于E，DF⊥OA于F，
1 5
当x=1时，m=- ×12+ ×1=2，
2 2
∴点B坐标为(1，2)，
设AB解析式为：y=kx+b(k≠0)，
¿，
解得¿，
1 5
∴y=- x+ ，
2 2
OC 5
∵ = ，
CD 4OC 5
∴ = ，
OD 9
∵CE⊥OA于E，DF⊥OA于F，
∴CE∥DF，
∴△OCE~△ODF，
OC OE CE 5
∴ = = = ，
OD OF DF 9
设E点坐标为(m，0)，
( 1 5) (9 ) (9 9 9)
∴点C坐标为 m,- m+ ，点F坐标为 m,0 ，点D坐标为 m,- m+ ，
2 2 5 5 10 2
∵点D在抛物线上，
1 (9 ) 2 5 9 9 9
∴- × m + × m=- m+ ，
2 5 2 5 10 2
∴9m2-30m+25=0，
5
解得m =m = ，
1 2 3
∴点D坐标为(3,3)．
（3）解：作过O、P、A三点的圆M，连接OM,AM,PM，作MN⊥OA于N，
∵∠OPA=45°，
∴∠AMO=90°，
∵OM=AM,OA=5，
又∵MN⊥OA，
∴ON=AN=MN=2.5，
∴点M坐标为(2.5,-2.5)，5❑√2
∴AM=OM= ，
2
5❑√2
∴PM= ，
2
设点P坐标为(x,y)，
∴(x-2.5) 2+(y+2，5) 2=
(5❑√2) 2
，
2
∴x2-5x+ y2+5 y=0，
1 5
∵y=- x2+ x，
2 2
∴y2+3 y=0，
∴y =0，（不合题意舍去），y =-3，
1 2
∴y=-3，
1 5
∴-3=- x2+ x，
2 2
∴x =-1,x =6，
1 2
∴点P坐标为(-1,-3)或(6,-3)
题型五 将军饮马模型解决存在性问题（共 3 小题）
1．（25-26九年级上·天津蓟州·月考）已知，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1,0)和C(0,3)．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果
不存在，请说明理由；
(3)设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．
【答案】(1)y=-x2+2x+3，(1,4)
(2)存在，点P坐标为(1,2)( 8) ( 2)
(3)当△MAC是直角三角形时，点M的坐标为(1,1)或(1,2)或 1, 或 1,-
3 3
【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式
转化为顶点式进而求出抛物线的顶点；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接BC交抛物线对称轴于点P，此时△PAC的最小值
为AC+CP+AP=AC+CB，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的
坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用
一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
（3）设点M的坐标为(1,m)，则M A2=(1+1) 2+m2=4+m2，MC2=(1-0) 2+(m-3) 2=1+(m-3) 2，
AC2=[0-(-1)] 2 +(3-0) 2=10，分∠ACM=90°、∠AMC=90°、∠CAM=90°三种情况，利
用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M
的坐标．
【详解】（1）解：由题意知，将A(-1,0)，C(0,3)代入y=-x2+bx+c中，
得¿，解得：¿，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，
将抛物线的一般解析式转化为顶点式为y=-x2+2x+3=-(x-1) 2+4，
当x=1时，y=4，
∴抛物线的顶点坐标为(1,4)．
（2）解：存在，
如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接BC交抛物线对称轴于点P，此时△PAC的最小值
为AC+CP+AP=AC+CB，
当y=0时，有-x2+2x+3=0，解得：x =-1，x =3，
1 2
∴点B的坐标为(3,0)，
∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1) 2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，
将B(3,0)、C(0,3)代入y=kx+b中，
得：¿，解得：¿，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∵当x=1时，y=-x+3=2，
∴当△PAC周长最小时，点P的坐标为(1,2)．
（3）解：如图，设点M的坐标为(1,m)，
由勾股定理得，M A2=(1+1) 2+m2=4+m2，
MC2=(1-0) 2+(m-3) 2=1+(m-3) 2，
AC2=[0-(-1)] 2 +(3-0) 2=10，
此时分三种情况考虑：
①当∠ACM=90°时，有AM2=AC2+CM2，即4+m2=10+1+(m-3) 2，
8
解得：m= ，
3
( 8)
∴点M的坐标为 1, ，
3②当∠AMC=90°时，有AC2=AM2+CM2，即10=4+m2+1+(m-3) 2，
解得：m =1，m =2，
1 2
∴点M的坐标为(1,1)或(1,2)，
③当∠CAM=90°时，有CM2=AM2+AC2，即1+(m-3) 2=4+m2+10，
2
解得：m=- ，
3
( 2)
∴点M的坐标为 1,- ，
3
( 8) ( 2)
综上所述，当△MAC是直角三角形时，点M的坐标为(1,1)或(1,2)或 1, 或 1,- ．
3 3
【点睛】本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴上点的
坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用．
2．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）抛物线y=(x+1) 2+k与x轴交于A，B两点，与y轴交于点
C(0,-3)．
(1)抛物线的对称轴是直线 ，k的值是 ；
(2)若抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；
(3)点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，当点M运动到何处时，△AMB的面积最大？求出
△AMB的最大面积及此时点M的坐标．
【答案】(1)x=-1,-4
(2)P(-1,-2)
(3)当点M运动到抛物线的顶点时，△AMB的面积最大为8，点M的坐标为(-1,-4)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，面积问题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据解析式可得抛物线的对称轴为直线x=-1，将点C(0,-3)代入解析式，待定系数法即可求
解；
（2）连接AC，交对称轴于点P，根据两点之间，线段最短可得点P即为所求，求得直线AC的解析
式，令x=-1，即可求解；
（3）由于线段AB为定值，所以当M点在抛物线的顶点上△ABM的面积最大，由A、B、M三点的
坐标即可得出AB及高，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】（1）解：抛物线y=(x+1) 2+k的对称轴为直线x=-1，
把C(0,-3)代入y=(x+1) 2+k
得-3=1+k，
∴k=-4，
故答案为：x=-1,-4；
（2）解：连接AC，交对称轴于点P，
∵两点之间，线段最短，
∴PA+PC的最小值为AC的长，此时点P即为所求
对于y=(x+1) 2-4，令y=0，则(x+1) 2-4=0，
解得x =1，x =-3，
1 2
∴A点坐标为(-3,0)，B点坐标为(1,0)，
设直线AC的关系式为：y=mx+b，
把A(-3,0)，C(0,-3)代入y=mx+b
得¿，
解得¿，
∴直线AC的关系式为y=-x-3，当x=-1时，y=1-3=-2，
∴P点坐标为(-1,-2)；
（3）解：如图，
依题意得：当点M运动到抛物线的顶点时，△AMB的面积最大．
∵抛物线表达式为y=(x+1) 2-4，
∴抛物线的顶点坐标为(-1,-4)，
∴M(-1,-4)，
1
∴△AMB的最大面积S = ×(1+3)×4=8．
△AMB 2
3．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于点A(-1,0)，
B(2,0)，交y轴于点C(0,-2)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P在该二次函数图象的对称轴上，且使|PB-PC|最大，求点P的坐标；
(3)在平面内是否存在一个点M，使点A、点C、点M、点B所围成的图形为平行四边形，若存在求
出M点的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】(1)y=x2-x-2；；
(1 )
(2)P ,-3 ；
2(3)M点的坐标为(3,-2)或(-3,-2)或(1,2)．
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，轴对称、平行四边形的判定与性质．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）作C点关于对称轴的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点P，|PB-PC|=|PB-PC'|≤BC'，
此时|PB-PC|有最大值，直线BC'与对称轴的交点即为P点；
（3）利用中点坐标公式结合平行四边形的性质，分三种情况，即可解决问题．
【详解】（1）解：∵抛物线过点A(-1,0)，B(2,0)，
∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-2)，
将C(0,-2)代入得，-2=a(0+1)(0-2)，
解得，a=1，
∴二次函数解析式为y=(x+1)(x-2)=x2-x-2；
（2）解：∵y=x2-x-2= ( x- 1) 2 - 5 ，
2 4
1
∴抛物线的对称轴为直线x= ，
2
作C点关于对称轴的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点P，连接PC，
由对称性得CP=C'P，
∴|PB-PC|=|PB-PC'|≤BC'，B、C' 、P三点共线时，|PB-PC|有最大值，
1
∵C(0,-2)，抛物线的对称轴为直线x= ，
2
∴C'(1,-2)，
设直线BC'的解析式为y=kx+m，把B(2,0)，C' (1,-2)代入得，¿，
解得¿，
∴y=2x-4，
1
当x= 时，y=1-4=-3，
2
(1 )
∴P ,-3 ；
2
（3）解：∵点A(-1,0)，B(2,0)，C(0,-2)，
∴AB=3，
当BC为对角线时，点M 的坐标为(3,-2)；
1
当AC为对角线时，点M 的坐标为(-3,-2)；
2
当AB为对角线时，点M 的坐标为(1,2)；
3
综上，M点的坐标为(3,-2)或(-3,-2)或(1,2)．
题型六 二次函数中面积存在性问题（共 5 小题）
3
1．（25-26九年级上·新疆和田·月考）如图，已知抛物线y=ax2+ x+4的对称轴是直线x=3，与x轴相
2
交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线表达式；
(2)求A，B两点的坐标；
(3)如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使三角形△BPC的面积最大？若存在，求点P的坐标及三角形BPC的最大面积；若不存在，请说明理由．
1 3
【答案】(1)y=- x2+ x+4
4 2
(2)点A的坐标为(-2,0)，点B的坐标为(8,0)
(3)存在点P(4,6)，使△BPC的面积最大，△BPC面积的最大值为16
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）根据对称轴公式可以求出a，从而可得抛物线解析式，
（2）解出抛物线解析式y=0时的两个根，即可得到A，B的坐标；
（3）根据解析式可求出C点坐标，然后设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，从而可求该解析式
方程，假设存在点P，使三角形△BPC的面积最大，设点P的坐标为 ( x,- 1 x2+ 3 x+4 ) ，然后过
4 2
点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，从而可求答案．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线x=3，
3
∴ 2 ，
- =3
2a
1
解得a=- ，
4
1 3
∴抛物线的解析式为：y=- x2+ x+4；
4 2
1 3
（2）解：当y=0时，- x2+ x+4=0，
4 2
解得x =-2，x =8，
1 2
∴点A的坐标为(-2,0)，点B的坐标为(8,0)；
（3）解：存在；
1 3
当x=0时，y=- x2+ x+4=4，
4 2
∴点C的坐标为(0,4)，
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，
将B(8,0)，C(0,4)代入y=kx+b得¿，
解得¿，
1
∴直线BC的解析式为y=- x+4，
2假设存在点P，使三角形△BPC的面积最大，
设点P的坐标为 ( x,- 1 x2+ 3 x+4 ) ，
4 2
如图所示，过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，
( 1 )
则点D的坐标为 x,- x+4 ，
2
则PD=- 1 x2+ 3 x+4- ( - 1 x+4 ) =- 1 x2+2x，
4 2 2 4
∴S = 1 PD⋅OB= 1 ×8 ( - 1 x2+2x ) =-x2+8x=-(x-4) 2+16
△PBC 2 2 4
∴当x=4时，△BPC的面积最大，最大值是16，此时P(4,6)；
∴存在点P(4,6)，使△BPC的面积最大，△BPC面积的最大值为16．
2．（25-26九年级上·天津河西·期中）如图，在四边形ABCD中，
∠B=90°,∠BAD=120°,AB=5cm,AD=9cm,BC=16cm．动点M从点B出发，以2cm/s的
速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运
动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t s．
14
(1)当t= s时，判断线段CN与DM的长度是否相等，并说明理由；
3
(2)当点M在边AB上运动时，求△BMN面积的最大值；
(3)是否存在t的值，使得△BMN的面积为39cm2？若存在，直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)相等．理由见解析
135
(2)
cm2．
4
(3)t=4．
【分析】本题主要查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，
14
（1）当t= s时，点M在AD上，求出DM、CN即可；
3
（2）利用三角形面积公式求出△BMN的面积，利用二次函数的性质计算求解；
（3）分两种情况：当点M在AB上时，点M在AD上，结合△BMN的面积为39cm2列出方程，求t．
14
【详解】（1）解：当t= s时，点M在边AD上，
3
14 14 14
此时，DM=AB+AD-2t=5+9- ×2= ，CN=t= ，
3 3 3
则CN=DM；
（2）当0≤t≤2.5时，点M在边AB上，
此时，BM=2t，BN=BC-CN=16-t，
1 1
则S = ×BN×BM= ×(16-t)×2t=-t2+16t=-(t-8) 2+64，
△BMN 2 2
∴当t=2.5 时，△BMN的面积取最大值，为-(2.5) 2+16×2.5=33.75；
（3）当0≤t≤2.5时，点M在边AB上，△BMN的面积最大值为33.75，不满足，
当2.5<t≤7时，点M在边AD上，
过点M作MH垂直于射线l(l∥BC)，交射线l于点H，
则∠MAH=30°，
1 1
∴MH= AM= (2t-5)=t-2.5，
2 2
∴BC边上的高h=t-2.5+5=t+2.5，
，1 1 t2 27
此时，S = ×h×BN= ×(t+2.5)×(16-t)=- + t+20，
△BMN 2 2 2 4
t2 27
令- + t+20=39，
2 4
解得t=4或9.5（舍去）．
综上，t=4，使得△BMN的面积为39cm2．
3．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点，
直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数解析式及其对称轴．
(2)设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC最小时，求P点坐标．
(3)在抛物线上存在一点Q，使S =10，求点Q的坐标．
△ABQ
(4)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的
坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-(x-1) 2+4，对称轴为直线x=1
(2)P(1,2)
(3)Q(-2,-5)或Q(4,-5)
(4)存在，点M的坐标为(1,1)，(1,❑√6)，(1,-❑√6)，(1,0)
【分析】（1）根据点A与点B的坐标将抛物线解析式设为交点式，再将点C的坐标代入抛物线解析
式，求出未知参数，写出抛物线的解析式，再求对称轴即可．
（2）根据抛物线解析式求出直线l的解析式，点A与点B关于直线l对称，连接BC交直线l于点
P，此时PA+PC的值最小，求出BC所在直线的解析式，求出直线BC与直线l的交点即可．
（3）设Q(m,-m2+2m+3)，根据S =10列方程求出y =±5，结合y=-(x-1) 2+4的顶点坐标
△ABQ Q
为(1,4)取y =-5，代入函数解析式求出x的值即可；
Q
（4）设点M(1,m)，分类讨论：①MA=MC，②MA=AC，③MC=AC，分别用含m的式子表示出M A2 ，MC2 ，AC2，再分别根据：①M A2=MC2，②M A2=AC2，③MC2=AC2列方程求
出m的值即可．
【详解】（1）设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3)，
将点C坐标代入解析式得：-3a=3，
解得a=-1，
∴ y=-(x+1)(x-3)=-(x-1) 2+4，
∴抛物线对称轴为直线x=1．
（2）∵点A与点B关于对称轴对称，
∴PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC≥BC，
∴当点B，P，C共线时，PA+PC的值最小．
设直线BC解析式为y=kx+3，
将点B的坐标代入直线解析式可得：
3k+3=0，
k=-1，
∴ y=-x+3，
令x=1，y=2，
∴ P(1,2)．
（3）∵y=-(x-1) 2+4=-x2+2x+3，
设Q(m,-m2+2m+3)，
∵S =10，，
△ABQ
1
∴ AB×|y |=10，
2 Q1
∴ (3+1)×|y |=10，
2 Q
∴y =±5，
Q
∵y=-(x-1) 2+4的顶点坐标为(1,4)，
∴y =-5，
Q
∴-x2+2x+3=-5，
解得x =-2,x =4，
1 2
∴Q(-2,-5)或Q(4,-5)；
（4）存在，理由如下：
作CH垂直于直线l交直线l于点H，则CH=1，
设M(1,m)，
则M A2=MQ2+AQ2=m2+(1+1) 2=m2+4，
MC2=CH2+M H2=12+(3-m) 2=m2-6m+10，
AC2=AO2+CO2=12+32=10，
①若MA=MC，则M A2=MC2，
m2+4=m2-6m+10，
解得：m=1，∴点M的坐标为(1,1)；
②若MA=AC，则M A2=AC2，
m2+4=10，
解得： m=±❑√6，
∴点M的坐标为(1,❑√6)，(1,-❑√6)；
③若MC=AC，则MC2=AC2，
m2-6m+10=10，
解得：m=0或6，
设直线AC解析式为y=kx+3，
将点A坐标代入直线解析式得：-k+3=0，
解得：k=3，
∴直线AC解析式为y=3x+3，
令x=1，y=6，
当m=6时，点M在直线AC上，点A、C、M不能构成三角形，故舍去，
∴ m=0，
点M的坐标为(1,0)．
综上，符合条件的点M的坐标为：(1,1)，(1,❑√6)，(1,-❑√6)， (1,0)．
【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查二次函数解析式的求解、轴对称以及等腰三角形的性质，
本题关键在于：①设抛物线解析式为交点式求解更为快捷；②要求两线段之和最小，一般可以结合
轴对称分析；③分类讨论，将两边长相等转化为两边长的平方相等求解更为简便，需要注意的是要
对所求的m值验证，进行取舍．
4．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2相交于
A(-2,0),B(3,m)两点，与x轴相交于另一点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线AB上方抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？并求△PAB的面积的最大值；
(3)抛物线上是否存在点M，使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请求出点M的坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式y=-x2+2x+8
(1 35) 125
(2)当P , 时，△PAB的面积有最大值，最大值为
2 4 8
(1+❑√13 11+❑√13) (1-❑√13 11-❑√13) (1+❑√37 -1+❑√37)
(3)点M的坐标为 , 或 , 或 , 或
2 2 2 2 2 2
(1-❑√37 -1-❑√37)
,
2 2
【分析】本题考查二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问
题，解一元二次方程，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线
段的长度．
（1）把B(3,m)代入y=x+2求出B(3,5)，再用待定系数法可得抛物线的解析式为y=-x2+2x+8；
1
（2）作PD⊥x轴于点D，交AB于点E，根据S = PE⋅(x -x )列出二次函数解析式，并求
△PAB 2 B A
出最值即可；
（3）过点M作MF⊥x轴于点F，交直线AB于点K，作BE⊥MF于点E，求出S =15，设
△ABC
5
M(m,-m2+2m+8)，则K(m,m+2)，可求出MK=|-m2+m+6|，S = |-m2+m+6|，根据
△ABM 2
5 1
题意有 |-m2+m+6|= ×15，解出m的值可得答案．
2 2
【详解】（1）解：把B(3,m)代入y=x+2，则m=3+2，
解得：m=5，
∴B(3,5)，
把A(-2,0),B(3,5)代入y=-x2+bx+c，
∴¿，
解得：¿，
∴抛物线的解析式y=-x2+2x+8；（2）解：作PD⊥x轴于点D，交AB于点E，
设P(t,-t2+2t+8)，则E(t,t+2)，
∴PE=-t2+2t+8-(t+2)=-t2+t+6，
1
∴S = PE⋅(x -x )
△PAB 2 B A
1
= ×(-t2+t+6)×(3+2)
2
5 5
=- t2+ t+15
2 2
5( 1) 2 125
=- t- + ，
2 2 8
5
∵- <0，
2
1 125
∴当t= 时，S 有最大值，最大值为 ，
2 △PAB 8
1 (1) 2 1 35
当x=t= 时，y=- +2× +8= ，
2 2 2 4
(1 35)
∴P , ；
2 4
(1 35) 125
综上所述，当P , 时，△PAB的面积有最大值，最大值为 ；
2 4 8
（3）解：抛物线上存在点M，使△ABM的面积等于△ABC面积的一半，理由如下：
过点M作MF⊥x轴于点F，交直线AB于点K，作BE⊥MF于点E，在y=-x2+2x+8中，当y=0时，0=-x2+2x+8，
解得：x =-2,x =4，
1 2
∴A(-2,0),C(4,0)，
∴AC=6，
∵B(3,5)，
1
∴S = ×6×5=15，
△ABC 2
设M(m,-m2+2m+8)，则K(m,m+2)，
∴MK=|-m2+2m+8-(m+2)|=|-m2+m+6|，
1
∴S = MK⋅|x -x |
△ABM 2 B A
1
= ×|-m2+m+6|×5
2
5
= |-m2+m+6| ，
2
∵△ABM的面积等于△ABC面积的一半，
5 1
∴ |-m2+m+6|= ×15，
2 2
∴|-m2+m+6|=3，
∴-m2+m+6=3或-m2+m+6=-3，
1±❑√13 1±❑√37
解得：m= 或m= ，
2 2
∴点M的坐标为(1+❑√13 11+❑√13)或(1-❑√13 11-❑√13)或(1+❑√37 -1+❑√37)或
, , ,
2 2 2 2 2 2(1-❑√37 -1-❑√37)．
,
2 2
5．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0)，
B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,-2)，连接AC，点D是线段AC下方的抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在运动的过程中，△ACD的面积是否存在最大值？若存在，求△ACD面积的最大值；若不
存在，请说明理由．
【答案】(1)y=x2+x-2
(2)存在，最大值为1
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数求最值等知识，读懂题意是解题的关键．
（1）用待定系数法求出解析式即可；
（2）先根据待定系数法求出直线AC的解析式为y=-x-2，设D(m,m2+m-2)，则E(m,-m-2)，
1
则DE=-m2-2m，根据三角形的面积公式求出S = DE·|x -x |=-m2-2m，最后根据二次
△ADC 2 A C
函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0)，B(1,0)，
∴设y=a(x+2)(x-1)，
将C(0,-2)代入，解得a=1，
∴y=x2+x-2．
（2）解：△ACD的面积存在最大值，理由如下：
过点D作DE∥y轴交AC于点E，设直线AC的解析式为y=kx+b ，
1
则¿，
解得¿，
∴y=-x-2，
设D(m,m2+m-2)，则E(m,-m-2)，
∴DE=-m-2-(m2+m-2)=-m2-2m，
1 1
∴S = DE·|x -x |= ×(-m2-2m)×2=-m2-2m=-(m+1) 2+1，
△ADC 2 A C 2
∴m=-1时，S 有最大值为1．
△ADC
题型七 二次函数中等腰三角形存在性问题（共 4 小题）
1．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)，B(3,0)，与y
轴交于点C(0,-3)，点D是抛物线的顶点，连接AD，BC．
(1)求抛物线的解析式与直线BC的解析式；
(2)若点P是直线BC上的一个动点，是否存在点P，使△APD为等腰三角形，若存在，求出点P的
坐标，若不存在，说明理由
【答案】(1)抛物线解析式：y=x2-2x-3；直线BC的解析式：y=x-3
(2)存在；P(2,-1)或P(1+❑√6,-2+❑√6)或P(1-❑√6,-2-❑√6)或P(3,0)或P(-3,-6)
【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可；（2）设P(m,m-3)，分三种情况：当AP=AD时，当PD=AD时，当AP=PD时，分别列出方程
求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)，B(3,0)，
∴抛物线的解析式为：y=a(x+1)(x-3)，
∵抛物线与y轴交于点C(0,-3)，
∴-3=(0+1)(0-3)a，
解得：x=1，
∴抛物线的解析式为：y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3；
设直线BC的解析式为y=mx+n，把B(3,0)，C(0,-3)代入得：
¿，
解得：¿，
∴直线BC的解析式为y=x-3；
（2）解：存在；
∵y=x2-2x-3=(x-1) 2-4，
∴抛物线的顶点坐标为D(1，-4)，
设P(m,m-3)，
∵A(-1,0)，
∴AD2=(-1-1) 2+(-4-0) 2=20，
PD2=(m-1) 2+[m-3-(-4)] 2 =2m2+2，
AP2=(m+1) 2+(m-3) 2=2m2-4m+10，
当△APD为等腰三角形时，分三种情况：
当AP=AD时，AP2=AD2，
则：2m2-4m+10=20，
解得：m=1+❑√6或m=1-❑√6，
∴P(1+❑√6,-2+❑√6)或P(1-❑√6,-2-❑√6)；
当PD=AD时，PD2=AD2，
则：2m2+2=20，
解得：m=3或m=-3，∴P(3,0)或P(-3,-6)；
当AP=PD时，AP2=PD2，
则：2m2-4m+10=2m2+2，
解得：m=2，
∴P(2,-1)；
综上：P(2,-1)或P(1+❑√6,-2+❑√6)或P(1-❑√6,-2-❑√6)或P(3,0)或P(-3,-6)．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论
的思想进行求解，是解题的关键．
2．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x
轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，点P是该函数图象上的动点，过点P作PD⊥x轴于
点D，交直线BC于点E．
(1)求该二次函数的解析式及直线BC的解析式；
(2)当点P在第一象限时，求PE的最大值；
(3)是否存在点P，使△CPE为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2+2x+3，y=-x+3
9
(2)PE最大值为
4
(3)存在，点P的坐标为(2,3)或(1,4)或(3+❑√2,-2-4❑√2)或(3-❑√2,-2+4❑√2)
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
( 3) 2 9
（2）设P(t,-t2+2t+3) (0<t<3)，则E(t,-t+3)，求出PE=- t- + ，利用二次函数的性质
2 4
即可求解；
（3）连接PC，由（2）知，P(t,-t2+2t+3)，E(t,-t+3)，求出PE，PC，CE，再分类讨论，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵ A(-1,0)，B(3,0)在二次函数y=-x2+bx+c上，
¿，
解得b=2，c=3，
∴二次函数解析式为y=-x2+2x+3；
∵ y=-x2+2x+3与y轴交于点C，
∴点C(0,3)，
设直线BC解析式为y=kx+3，
将B(3,0)代入得0=3k+3，解得k=-1，
∴直线BC解析式为y=-x+3；
（2）解：设P(t,-t2+2t+3) (0<t<3)，则E(t,-t+3)，
∴ PE=(-t2+2t+3)-(-t+3)=-t2+3t=- ( t- 3) 2 + 9 ，
2 4
3 9
即当t= 时，PE最大值为 ；
2 4
（3）解：如图，连接PC，
由（2）知，P(t,-t2+2t+3)，E(t,-t+3)，
∵ C(0,3)，
∴ PE=❑√ (t-t) 2+[-t2+2t+3-(-t+3)] 2 =❑√t4-6t3+9t2，
PC=❑√ (t-0) 2+(-t2+2t+3-3) 2 =❑√t4-4t3+5t2，
CE=❑√(t-0) 2+(-t+3-3) 2=❑√2t2，
当PE=PC时，❑√t4-6t3+9t2=❑√t4-4t3+5t2，解得t=0或t=2，
当t=0时，点P的坐标为(0,3)，与点C重合，不构成三角形，
∴当t=2时，点P的坐标为(2,3)；
当PC=CE时，❑√t4-4t3+5t2=❑√2t2，
解得t=0或t=1或t=3，
当t=0或t=3时，点P分别与点C或点B重合，不构成三角形，
∴当t=1时，点P的坐标为(1,4)；
当PE=CE时，❑√t4-6t3+9t2=❑√2t2，
解得t=0或t=3+❑√2或t=3-❑√2，
当t=0时，点P与点C重合，不构成三角形，
∴当t=3+❑√2时，点P的坐标为(3+❑√2,-2-4❑√2)，当t=3-❑√2时，点P的坐标为
(3-❑√2,-2+4❑√2)；
综上，点P的坐标为(2,3)或(1,4)或(3+❑√2,-2-4❑√2)或(3-❑√2,-2+4❑√2)．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的性质、等腰三角形的性质，分类求解是本题解
题的关键．
3．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在
点B的左侧)，与y轴交于点C，OA=2，OB=6，D是直线BC上方抛物线上一动点，过点D作x轴
的垂线交BC于点E，垂足为F，连接CD．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D横坐标为t，①用含有t的代数式表示线段DE的长度；
②是否存在点D，使△CDE是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，
请说明理由．
1
【答案】(1)y=- x2+x+3
4
(2)①DE=- 1 t2+ 3 t(0<t<6)；②存在，D(2,4)或D ( 1, 15) 或D(6-2❑√5,4❑√5-5)
4 2 4
【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，
等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）①求出直线BC：y=- 1 x+3，则D ( t,- 1 t2+t+3 ) ，E ( t,- 1 t+3 ) ，即可用t的代数式表示
2 4 2
DE；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可；
（3）在y轴负半轴取点N(0,-6)，连接NG并延长交x轴于点M，连接AN，证明
△BOE≌△NOG(SAS)，则∠CBO=∠MNO，确定点G在线段MN上运动（不包括端点），故
当AG⊥MN时，AG最小，可证明△COB≌△MON(ASA)，求得MN=❑√OM2+ON2=3❑√5，
1 1
而当AG⊥MN时，S = AM⋅ON= MN⋅AG，即可由面积法求最小值．
△AMN 2 2
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于
点C，OA=2，OB=6，
∴A(-2,0),B(6,0)，
∴¿
解得：¿，
1
∴抛物线表达式为y=- x2+x+3；
4
1
（2）解：①对于抛物线表达式y=- x2+x+3，
4
当x=0,y=3，
∴C(0,3)，
设直线BC表达式为：y=kx+b，则¿，
解得：¿，
1
∴直线BC：y=- x+3，
2
∵DE⊥AB，
∴D ( t,- 1 t2+t+3 ) ，E ( t,- 1 t+3 ) ，
4 2
∴DE=- 1 t2+t+3- ( - 1 t+3 ) =- 1 t2+ 3 t，
4 2 4 2
1 3
∴DE=- t2+ t(0<t<6)；
4 2
②存在，
CD=❑ √ t2+ ( - 1 t2+t+3-3 ) 2 =❑ √ t2+ ( - 1 t2+t ) 2 ，而CE=❑ √ t2+ ( - 1 t+3-3 ) 2 = ❑√5 t
4 4 2 2
1 3 ❑√5
当DE=CE时，- t2+ t= t，
4 2 2
解得：t=6-2❑√5或t=0（舍），
1 1
∴- t2+t+3=- ×(6-2❑√5) 2+6-2❑√5+3=4❑√5-5，
4 4
∴D(6-2❑√5,4❑√5-5)；
当CD=DE时，t2+ ( - 1 t2+t ) 2 = ( - 1 t2+ 3 t ) 2
4 4 2
整理得：t2(-t+1)=0，
解得：t=1或t=0（舍），
1 1 15
∴- t2+t+3=- ×12+1+3= ，
4 4 4
( 15)
∴D 1, ；
4当CD=CE时，t2+ ( - 1 t2+t ) 2 = (❑√5 t ) 2
4 2
整理得：t2( 1 t2- 1 t+ 3) =0，
16 2 4
解得：t=2或t=6（舍）或t=0（舍），
1 1
∴- t2+t+3=- ×22+2+3=4，
4 4
∴D(2,4)，
( 15)
综上：△CDE是等腰三角形时，D(2,4)或D 1, 或D(6-2❑√5,4❑√5-5)．
4
4．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x
轴交于点A (-1,0)、B(3,0)，交y轴于点C．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)若点M是该二次函数图象上第一象限内一点，作MD⊥x轴交直线BC于点N，求线段MN长度的
最大值．
(3)在二次函数图象的对称轴上是否存在一点P使△BCP是以BC为腰的等腰三角形，若不存在，请
说明理由；若存在，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)y=-x2+2x+3
9
(2)
4
(3)(1,3+❑√17)或(1,3-❑√17)或(1,❑√14)或(1,-❑√14)
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）用待定系数法求出直线BC的表达式为：y=-x+3，设点M(c,-c2+2c+3)，则N(c,-c+3)，求出MN=-c2+3c，利用二次函数的性质即可求解；
（3）先求出二次函数的对称轴为直线x=1，设P(1,p)，求出BC=3❑√2，CP=❑√p2-6p+10，
BP=❑√p2+4，令BC=CP或BC=BP，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A (-1,0)、B(3,0)，
∴¿，
解得¿，
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3；
（2）解：设直线BC的表达式为y=kx+b，
将B(3,0)、C(0,3)代入得：¿
解得k=-1，
∴直线BC的表达式为y=-x+3，
如图，设点M(c,-c2+2c+3)，则N(c,-c+3)，
∴MN=(-c2+2c+3)-(-c+3)=-c2+3c=- ( c- 3) 2 + 9 ，
2 4
∵-1<0，
3 9
∴当c= 时，MN有最大值 ；
2 4
2
（3）解：二次函数的对称轴为直线x=- =1，
2×(-1)
设P(1,p)，
将x=0代入y=-x2+2x+3，则y=3，
∴C(0,3)，
∵B(3,0)，∴BC=❑√32+32=3❑√2，
∵点C,P的水平距离为1-0=1，竖直距离为|p-3|，
∴由勾股定理得，CP=❑√12+|p-3| 2=❑√p2-6p+10，
同理，得BP=❑√22+|0-p| 2=❑√p2+4，
∵△BCP是以BC为腰的等腰三角形，
∴BC=CP或BC=BP，
当BC=CP时，则❑√p2-6p+10=3❑√2，即p2-6p+10=18，
解得p=3+❑√17或p=3-❑√17，
∴点P的坐标为(1,3+❑√17)或(1,3-❑√17)；
当BC=BP时，则❑√p2+4=3❑√2，即p2+4=18，
解得p=❑√14或p=-❑√14，
∴点P的坐标为(1,❑√14)或(1,-❑√14)；
综上，点P的坐标为(1,3+❑√17)或(1,3-❑√17)或(1,❑√14)或(1,-❑√14)．
【点睛】本题为二次函数综合题，涉及二次函数的解析式，二次函数的性质、等腰三角形的性质、
勾股定理等，分类求解是本题解题的关键．
题型八 二次函数中直角三角形存在性问题（共 5 小题）
1．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y
轴交于点C．已知点A的坐标是(-1，0)，抛物线的对称轴是直线x=1．
(1)求抛物线的解析式(2)第一象限内的抛物线上有一动点P，使△BCP的面积最大，求点P的坐标和△BCP面积的最大值．
(3)对称轴与x轴交于点N，在对称轴上找一点M，使△MNC为直角三角形，求点M的坐标．
【答案】(1)y=-x2+2x+3
(3 15) 27
(2)P ， ，△BCP面积的最大值为 ；
2 4 8
( 10)
(3)(1,3)或 1，
3
【分析】（1）由抛物线的对称性质可求得点B的坐标为(3,0)，则可得抛物线解析式为
y=a(x+1)(x-3)，展开后比较常数项即可求得a的值，从而求解；
（2）过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F，先求出直线BC的解析式，设P(m,-m2+2m+3)，
则可得点F的坐标，从而求得PF，由S =S +S 可得关于m的二次函数，利用二次函数
△BCP △CPF △BPF
的性质即可求解；
（3）分两种情况：当∠CMN=90°时；当∠MCN=90°时，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线x=1，A，B两点关于对称轴对称，且A(-1，0)，
∴B(3,0)，
则得y=a(x+1)(x-3)，
展开得：y=ax2-2ax-3a，
∴-3a=3，
∴a=-1，
即抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）解：如图，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F，
在y=-x2+2x+3中，令x=0，得y=3，
即C(0,3)，
设直线BC的解析式为y=kx+c，
把B、C两点的坐标分别代入得：¿，解得：¿，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
设P(m,-m2+2m+3)，其中(0<m<3)，则可得点F的坐标为(m,-m+3)，
∴PF=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m，
∵S =S +S
△BCP △CPF △BPF
1 1
= PF⋅(x -x )+ PF⋅(x -x )
2 P C 2 B P
3
= PF
2
3 9
=- m2+ m，
2 2
3( 3) 2 27
=- m- + ，
2 2 8
3 27
当m= 时，S 取得最大值 ，
2 △BCP 8
则-m2+2m+3=-
(3) 2
+2×
3
+3=
15
，
2 2 4
(3 15)
∴此时点P的坐标为 ， ；
2 4
（3）解：①当∠CMN=90°时；
此时点M与点C的纵坐标相同，
∴M(1,3)；
②当∠MCN=90°时，如图，
设M(1,n)，其中n>0，∴CM2=1+(n-3) 2，M N2=n2，
∵CN2=32+12=10，
∴由勾股定理得：CM2+CN2=M N2，
即1+(n-3) 2+10=n2，
10
解得：n= ，
3
( 10)
故M 1， ，
3
( 10)
综上，点M的坐标为(1,3)或 1， ．
3
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次
函数的最值，勾股定理等知识，掌握二次函数的图象与性质是关键．
2．（25-26九年级上·云南昭通·期中）已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴的左右交点分别为点A、点B，与
y轴交点为点C，若将此抛物线向下平移4个单位长度后，其顶点坐标为(1,0)．
(1)求该抛物线的顶点坐标；
(2)设点P在该抛物线的对称轴上运动，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P
的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)设点M在该抛物线的对称轴上运动，当△MAC是直角三角形时，求出所有满足条件的点M的坐
标．
【答案】(1)顶点坐标为(1,4)
(2)不存在，理由见解析
( 8) ( 2)
(3)点M的坐标为 1, 或(1,1)或(1,2)或 1,-
3 3【分析】本题主要考查了平移的性质、二次函数的综合题、勾股定理、轴对称的性质等知识点，灵
活运用相关知识是解题的关键．
（1）根据平移的定义即可解答；
（2）由（1）可知抛物线y=-x2+bx+c的顶点坐标为(1,4)，据此列方程组可得¿，即该抛物线的解
析式为y=-x2+2x+3；再求得∴A(-1,0),B(3,0)即AB=4．易得当t=0时，△PAB的周长最小，
此时点P的坐标为(1,0)，但此时不能构成三角形，据此即可解答；
（3）如图，设M的坐标为(1,m)，易得M A2=4+m2，MC2=1+(m-3) 2、AC2=10，然后分
∠ACM=90°、∠AMC=90°、∠CAM=90°三种情况，分别利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y=-x2+bx+c向下平移4个单位长度后，其顶点坐标为(1,0)，
∴抛物线y=-x2+bx+c的顶点坐标为(1,4)．
（2）解：不存在，理由如下：
由（1）可知抛物线y=-x2+bx+c的顶点坐标为(1,4)
∴¿，解得¿
∴该抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．
∵抛物线y=-x2+2x+3与x轴的左右交点分别为点A、点B
令-x2+2x+3=0，解得x=-1或x=3
∴A(-1,0),B(3,0)，
∴AB=4．
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴设点P的坐标为(1,t)．
又∵点A、B关于对称轴对称，
∴PA=PB．
∴△PAB的周长为PA+PB+AB=2PA+AB=2PA+4，
又∵PA=❑√(1+1) 2+t2=❑√4+t2，∴△PAB的周长为PA+PB+AB=4+2❑√4+t2，
∴当t=0时，△PAB的周长最小，此时点P的坐标为(1,0)，
又∵点P(1,0)在x轴上，不能构成三角形，
∴不存在点P，使△PAB的周长最小．
（3）解：如图，设M的坐标为(1,m)，
由勾股定理得，M A2=(1+1) 2+m2=4+m2，MC2=(1-0) 2+(m-3) 2=1+(m-3) 2，
AC2=[0-(-1)] 2+(3-0) 2=10，
此时分三种情况考虑：
8
①当∠ACM=90°时，有AM2=AC2+CM2，即4+m2=10+1+(m-3) 2，解得：m= ，
3
( 8)
∴点M的坐标为 1, ；
3
②当∠AMC=90°时，有AC2=AM2+CM2，即10=4+m2+1+(m-3) 2，解得：m =1，m =2
1 2
∴点M的坐标为(1,1)或(1,2)；
2
③当∠CAM=90°时，有CM2=AM2+AC2，即1+(m-3) 2=4+m2+10，解得：m=- ，
3
( 2)
∴点M的坐标为 1,- ；
3
( 8) ( 2)
综上所述，当△MAC是直角三角形时，点M的坐标为 1, 或(1,1)或(1,2)或 1,- ．
3 3
3．（25-26九年级上·云南昭通·期中）已知，如图所示，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(-1,0)和
B(3,0)，与y轴交于点C．(1)抛物线的对称轴是____________．
(2)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果
不存在，请说明理由．
(3)设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．
【答案】(1)直线x=1
(2)存在，点P的坐标为(1,2)
( 8) ( 2)
(3)点M的坐标为(1,1)、(1,2)、 1, 或 1,-
3 3
【分析】考查知识点：二次函数的对称轴、轴对称的最短路径问题、直角三角形的分类讨论（勾股
定理）．利用抛物线与x轴交点求对称轴；通过轴对称转化线段和，结合一次函数求最短路径点；对
直角三角形分三种情况，用勾股定理列方程求解．解题关键：熟练掌握抛物线对称轴公式，灵活运
用轴对称性质解决最短路径问题，准确分类直角三角形的直角顶点并应用勾股定理．易错点：求对
称轴时忽略公式应用；最短路径问题中找不到对称点的转化关系；直角三角形分类讨论时漏解．
x +x
（1）根据抛物线与x轴交点A(-1,0)、B(3,0)，利用对称轴公式x= 1 2，直接计算得对称轴为直
2
线x=1．
（2）因为A、B关于对称轴x=1对称，所以PA=PB，则PA+PC=PB+PC．连接BC，其与对称
轴的交点P即为使PA+PC最小的点．先求C(0,3)，再求直线BC的解析式y=-x+3，将x=1代入
得P(1,2)．
（3）设M(1,m)，分别表示出CM、AC、AM的长度．分∠AMC=90°、∠ACM=90°、
∠CAM=90°三种情况，根据勾股定理列方程求解，得到点M的坐标．
【详解】（1）∵A(-1,0)，B(3,0)，
x +x -1+3
∴x= 1 2= ，
2 2
∴直线x=1．
（2）连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC=PB+PC=BC取最小值，如图1所示．当x=0时，有y=3，
∴点C的坐标为(0,3)．
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，
将B(3,0)、C(0,3)代入y=kx+b中，得：¿，
解得¿，
∴直线BC的解析式为y=-x+3．
∵抛物线的对称轴为直线x=1．
∴当x=1时，y=-x+3=2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为(1,2)．
（3）解：设点M的坐标为(1,m)，
则CM=❑√(1-0) 2+(m-3) 2，
AC=❑√[0-(-1)] 2+(3-0) 2=❑√10,
AM=❑√[1-(-1)] 2+(m-0) 2.
分三种情况考虑：
①当∠AMC=90°时，有AC2=AM2+CM2，
即10=1+(m-3) 2+4+m2，解得：m =1,m =2，
1 2
∴点M的坐标为(1,1)或(1,2)；
②当∠ACM=90°时，有AM2=AC2+CM2，
即4+m2=10+1+(m-3) 2，
8
解得：m= ，
3
( 8)
∴点M的坐标为 1, ；
3
③当∠CAM=90°时，有CM2=AM2+AC2，
即1+(m-3) 2=4+m2+10，
2
解得：m=- ，
3
( 2)
∴点M的坐标为 1,- ．
3
综上所述：当△MAC是直角三角形时，
( 8) ( 2)
点M的坐标为(1,1)、(1,2)、 1, 或 1,- ．
3 3
(1 5)
4.（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A ,
2 2
和B(4,m)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在这样的点P，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理
由；(3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
【答案】(1)y=2x2-8x+6；
49
(2)存在，线段PC长的最大值为 ；
8
(7 11)
(3)点P的坐标为(3,5)或 ,
2 2
【分析】本题考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图
象交点坐标的求法等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
（1）已知B(4,m)在直线y=x+2上，求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，通过待定系数
法即可求得解析式；
（2）设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，可得到关于PC与P
点横坐标的函数关系式，再化成顶点式即可；
（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解即
可．
【详解】（1）解：∵B(4,m)在直线y=x+2上，
∴m=4+2=6，
∴B(4,6)，
(1 5)
∵A , 、B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上，
2 2
∴¿，
解得¿，
∴抛物线的解析式为y=2x2-8x+6；
（2）解：设动点P的坐标为(n,n+2)，则C点的坐标为(n,2n2-8n+6)，
∴PC=(n+2)-(2n2-8n+6)=-2n2+9n-4=-2 ( n- 9) 2 + 49 ，
4 8
∵PC>0，
9 49
∴当n= 时，线段PC最大，最大值为 ；
4 8
（3）解：∵△PAC为直角三角形，
①若点A为直角顶点，∠APC=90°．由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因为此种情形不存在；
②若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．
(1 5) 1 5
如图1，过点A , 作AN⊥x轴于点N，则ON= ，AN= ．
2 2 2 2
过点A作AM⊥AB，交x轴于点M，
则由题意知，△AMN为等腰直角三角形，
5
∴MN=AN= ，
2
1 5
∴OM=0N+MN= + =3，
2 2
∴M(3,0)．
设直线AM的解析式为y=kx+b，
则：¿，
解得¿，
所以直线AM的解析式为：y=-x+3，
又抛物线的解析式为：y=2x2-8x+6，
联立得2x2-8x+6=-x+3，
1
解得：x=3或x= （与点A重合，舍去），
2
∴C(3,0)，即点C、M点重合．
当x=3时，y=x+2=5，
∴P (3,5)；
1
③若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．
∵y=2x2-8x+6=2(x-2) 2-2，
∴抛物线的对称轴为直线x=2．
(1 5)
如图2，作点A , 关于对称轴x=2得对称点C，
2 2
(7 5)
则点C在抛物线上，且C , ，
2 27 11
当x= 时，y=x+2= ．
2 2
(7 11)
∵点P (3,5)、P , 均在线段AB上，
1 2 2 2
(7 11)
∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为(3,5)或 , ．
2 2
1
5．（2023·青海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=- x2+bx+c与x轴交于点A，点B，
2
1
与y轴交于点C，且直线y= x-2经过点B，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一个动点，
2
过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当四边形CDNM为平行四边形时，求P点坐标；
(3)在（2）的条件下探究抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得以点Q, M, N为顶点的三角形是
直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
1 3
【答案】(1)y=- x2+ x+2
2 2
(2)P(2,0)(3 2+❑√15) (3 2-❑√15) (3 ) (3 )
(3)Q , 或Q , 或Q ,3 或Q ,-1
2 2 2 2 2 2
【分析】（1）先求解B，C的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可．
（2）设P(x,0)，0≤x≤4，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．可得
1 3 1 1
MN=- x2+ x+2- x+2=- x2+x+4，结合CD=MN，再建立方程求解即可．
2 2 2 2
（3）求解抛物线y=- 1 x2+ 3 x+2的对称轴为直线x= 3 ，设Q (3 ,a ) ，表示M N2=(3+1) 2=16，
2 2 2 2
MQ2= ( 2- 3) 2 +(3-a) 2=(3-a) 2+ 1 ，NQ2= ( 2- 3) 2 +(a+1) 2=(a+1) 2+ 1 ，再分三种情况讨论即
2 4 2 4
可．
1
【详解】（1）解：∵直线y= x-2经过点B，
2
1
∴当 x-2=0时，解得：x=4，
2
∴B(4,0)，
当x=0时，y=-2，
∴D(0,-2)，
∵点C与点D关于x轴对称，
∴C(0,2)，
∴¿，
解得：¿，
1 3
∴二次函数为：y=- x2+ x+2．
2 2
（2）解：由（1）得：C(0,2)，D(0,-2)，
∴CD=2-(-2)=2+2=4，
设P(x,0)，0≤x≤4，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
∴N ( x, 1 x-2 ) ，M ( x,- 1 x2+ 3 x+2 ) ，
2 2 21 3 1 1
∴MN=- x2+ x+2- x+2=- x2+x+4，
2 2 2 2
∵四边形CDNM为平行四边形，
∴CD=MN，
1
∴- x2+x+4=4，
2
解得：x=0（舍去），x=2，
∴P(2,0)．
（3）解：存在，理由如下：
由（2）得：M(2,3)，N(2,-1)，
3
1 3 2 3
∵抛物线y=- x2+ x+2的对称轴为直线 x=- = ，
2 2 ( 1) 2
2× -
2
(3 )
∴设Q ,a ，
2
∴M N2=(3+1) 2=16，
MQ2= ( 2- 3) 2 +(3-a) 2=(3-a) 2+ 1 ，
2 4
NQ2= ( 2- 3) 2 +(a+1) 2=(a+1) 2+ 1 ，
2 4
当∠MQN=90°时，
∴MQ2+NQ2=M N2，
1 1
∴(3-a) 2+ +(a+1) 2+ =16，
4 4
2±❑√15
解得：a= ，
2
(3 2+❑√15) (3 2-❑√15)
∴Q , 或Q , ，
2 2 2 2
当∠QMN=90°时，
∴QM2+M N2=QN2，1 1
∴(3-a) 2+ +16=(a+1) 2+ ，
4 4
解得：a=3，
(3 )
∴Q ,3 ，
2
当∠QNM=90°时，
∴QN2+M N2=QM2，
1 1
∴16+(a+1) 2+ =(3-a) 2+ ，
4 4
解得：a=-1，
(3 )
∴Q ,-1 ，
2
(3 2+❑√15) (3 2-❑√15) (3 ) (3 )
综上：Q , 或Q , 或Q ,3 或Q ,-1 ．
2 2 2 2 2 2
【点睛】本题考查的是求解抛物线的解析式，平行四边形的性质，一元二次方程的解法，抛物线与
特殊三角形，清晰的分类讨论是解本题的关键．
题型九 二次函数中全等三角形存在性问题（共 4 小题）
1．（25-26九年级上·广东东莞·期中）综合与探究：
在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(-3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点
C，抛物线的顶点为点D．
(1)如图1，分别求这个二次函数和直线AC的表达式；
(2)如图2，连接AD，CD，求四边形AOCD的面积；如图3，若点P是第二象限内抛物线上的一点，且
使△ACP的面积最大．请解答下面问题：
①求出点P的坐标；
②此时平面内是否存在另一点Q，使△ACQ和△ACP全等？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2 4 2
【答案】(1)y=- x2- x+2，y= x+2
3 3 3
( 3 5) ( 75 41) ( 3 11)
(2)四边形AOCD的面积为5；①点P坐标为 - , ；②点Q的坐标为 - , 或 - , 或
2 2 26 26 26 26
( 3 1)
- ,-
2 2
2
【分析】（1）设二次函数的表达式为：y=a(x+3)(x-1)=ax2+2ax-3a，即-3a=2，解得a=- ，
3
即可求解二次函数和直线AC的表达式；
（2）S =S +S 即可求解；①
四边形AOCD △ACD △AOC
S = 1 ⋅|PH|⋅|OA|= 1 ×3× ( - 2 x2- 4 x+2- 2 x-2 ) =-x2-3x，即可求解；②分点Q在直线
△ACP 2 2 3 3 3
AC上方和下方，两种情况求解即可．
【详解】（1）解：∵A(-3,0)，B(1,0)，
∴设二次函数的表达式为：y=a(x+3)(x-1)=ax2+2ax-3a，
又∵二次函数表达式为y=ax2+bx+2，
2
∴-3a=2，解得：a=- ，
3
∴抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x-1)=- 2 x2- 4 x+2，顶点D的坐标为 ( -1, 8) ，点C的坐标为
3 3 3
(0,2)，
将点A、C坐标代入一次函数表达式y=k x+b 得：¿，解得：¿，
1 1
2
∴直线AC的表达式为：y= x+2．
3
（2）解：如图，过点D作DG∥y轴，交AC于点G，( 8) ( 4)
∴点D -1, ，则点G -1, ，
3 3
8 4 4
∴DG= - = ，
3 3 3
1 1 1 4 1
∴S =S +S = ×GD×OA+ ×AO×OC= × ×3+ ×3×2=5；
四边形AOCD △ACD △AOC 2 2 2 3 2
①如图，过点D作DG∥y轴交AC于点G，过点P作PH∥y轴交AC于点H，
设点P ( x,- 2 x2- 4 x+2 ) ，则点H ( x, 2 x+2 ) ，
3 3 3
∴S = 1 ⋅|PH|⋅|OA|= 1 ×3× ( - 2 x2- 4 x+2- 2 x-2 ) =-x2-3x，
△ACP 2 2 3 3 3
∵-1<0，抛物线开口向下，故S 有最大值，
△ACP
3
当x=- 时，S 有最大值，
2 △ACP
( 3 5)
∴点P坐标为 - , ；
2 2
②（i）如图，当点Q在直线AC上方时，设点P，Q过直线l 且直线l ∥AC，线段AC的中垂线l 与线段AC的交点为M，此时点M为线段AC中
2 2 1
点，
∴△QAC≌△PCA，则点P、Q关于线段AC的中垂线l 对称，
1
( 3 )
∴线段AC的中点M - ,1 ，
2
过点M作MG⊥y轴交点G，直线l 与y轴交点H，
1
∵∠CMH=90°，∠CGM=∠MGH=90°，
∴∠CMG+∠GMH=90°，∠MCG+∠CMG=90°，∠GMH+∠MHG=90°，
∴∠CMG=∠MHG，
3
CG MG 1 2 9
∴△CGM∽△MGH，即 = ⇒ = ⇒GH= ，
MG GH 3 GH 4
2
9
∵GH=GO+OH= ，
4
5
∴OH= ，
4
( 5)
∴点H的坐标为 0,- ，
4
∵直线l 过点M和点H，设直线l 的解析式为y=k x+b ，
1 1 2 2
∴¿，解得¿，
3 5
∴直线l 的解析式为y=- x- ⋯①，
1 2 42 7
同理过点P平行于直线AC的直线l 的表达式为：y= x+ ⋯②，
2 3 2
57 ( 57 53)
联立①②并解得：x=- ，即点N - , ，
26 26 26
( 3 5) ( 57 53)
∵点N是PQ的中点，点P坐标为 - , ，点N - , ，
2 2 26 26
( 75 41)
∴由中点公式得点Q - , ；
26 26
（ii）如图，当点Q在直线AC下方时，
当△Q' AC≌△PAC时，
3 1
同理可得中垂线PQ'的表达式为：y=- x+ ，
2 4
( 3 1)
设点Q'坐标为 a,- a+ ，
2 4
∵点P ( - 3 , 5) ，AP=AQ'，即： ( - 3 +3 ) 2 + (5) 2 =(a+3) 2+ ( - 3 a+ 1) 2 ，
2 2 2 2 2 4
9 3 3
整理得：13a2+21a+ =0，解得：a =- ，a =- （舍去），
4 1 26 2 2
故点Q'(
-
3
,
11)
；
26 26
当△Q″ AC≌△PCA时，∠PAC=∠Q″CA，
∴PA∥Q''C，
将点A、P坐标代入一次函数表达式y=k x+b 得：¿，解得：¿，
3 3
5
∴直线AP的解析式为：y= x+5，
3
5
设直线Q″C的解析式为：y= x+b，将点C坐标代入得：b=2，
3
5
∴直线Q″C的解析式为：y= x+2，
3
( 5 )
设点Q″坐标为 b, b+2 ，
3∵AP=CQ″，即： ( - 3 +3 ) 2 + (5) 2 = (5 b+2-2 ) 2 +b2 ，解得b = 3 （舍去），b =- 3 ，
2 2 3 1 2 2 2
( 3 1)
故点Q″为 - ,- ，
2 2
( 75 41) ( 3 11) ( 3 1)
综上所述，点Q的坐标为 - , 或 - , 或 - ,- ．
26 26 26 26 2 2
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形
结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关
系．
2．（2024·宁夏·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于A、B两
点(A在B的左侧)，其中点A(-2,0)，其顶点为P的横坐标为1，对称轴与x轴交于点H．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)连接AP，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点，是
否存在以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等?若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不
存在，请说明理由．
1
【答案】(1)y=- x2+x+4
2
( 9)
(2)存在，点D的坐标为(1+❑√15,-3)或 1+3❑√2,-
2
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（ 2 ）求出点 P、H 的坐标，进而可得 AH=3 ， PH= 9，设点 D ( a,- 1 a2+a+4 )，可得
2 21
DE= a2-a-4，再分△AHP≌△DEF和△AHP≌△FED两种情况解答即可求解；
2
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，全等三角形的性质，运用分类讨论思
想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，¿，
解得¿，
1
∴二次函数的解析式为y=- x2+x+4；
2
（2）解：存在，理由如下：
1 1 9
∵y=- x2+x+4=- (x-1) 2+ ，
2 2 2
( 9)
∴P 1, ，
2
∵点H是二次函数的对称轴与x轴的交点，
∴H(1,0)，
∵A(-2,0)，
9
∴AH=1-(-2)=3，PH= ，
2
设点D ( a,- 1 a2+a+4 ) ，
2
∵DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点，
∴E(a,0)，
∵点D是二次函数图象第四象限上的动点，
1
∴DE= a2-a-4，
2
∵以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等，
∴当△AHP≌△DEF时，AH=DE，
1
∴3= a2-a-4
2
解得a =1+❑√15，a =1-❑√15，
1 2
∵点D在第四象限，
∴a>0，∴a=1+❑√15，
∴D(1+❑√15,-3)；
当△AHP≌△FED时，PH=DE，
9 1
∴ = a2-a-4，
2 2
解得a =1+3❑√2，a =1-3❑√2，
1 2
∵点D在第四象限，
∴a>0，
∴a=1+3❑√2，
( 9)
∴D 1+3❑√2,- ；
2
( 9)
综上，当点D的坐标为(1+❑√15,-3)或 1+3❑√2,- 时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与
2
△APH全等．
3．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+b的图像与一
次函数 y=-x+1的图像交于A，B两点，已知B(6,-5)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点C是直线AB上方抛物线上的一动点，连接AC,BC．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），
且满足 MN=4，连接CM,BN，当 △ABC的面积取得最大值时，求CM+MN+BN的最小值；
(3)当（2）中CM+MN+BN取得最小值时，将点N向下平移1个单位得到点P，将该抛物线沿直线AB
的方向平移得到新抛物线 y'，Q为新抛物线y'的顶点，在平移过程中，是否存在以A，B，Q为顶点的三
角形和 △ABP全等?若存在，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．1
【答案】(1)y=- x2+2x+1
2
❑√373
(2) +4
2
(3)不存在，理由见详解
【分析】（1）根据一次函数图象的性质得到A(0,1)，把点A,B的坐标代入二次函数，运用待定系数法即
可求解；
（2）设C ( c,- 1 c2+2c+1 ) (0<c<6)，结合二次函数图象得到△ABC的面积，利用二次函数最值的计
2
( 5) ( 5)
算得到C 3, ，根据造桥问题的最短路径的计算方法：作点C关于y轴的对称点E，则E -3, ，连
2 2
( 3)
接EM，将EM向下平移4个单位，即点M,N重合，得到FM，则F -3,- ，连接BF，交y轴于点G，
2
此时FG+GB=BF的线段最短，即CM+BN的值最小，由两点坐标距离公式即可得到BF的值，由此即
可求解；
7 8 ( 8) ( 11)
（3）根据题意得到直线BF的解析式为y=- x- ，则N 0,- ，则P 0,- ，根据全等三角形
18 3 3 3
的判定和性质，轴对称图形的性质，平行四边形的性质，结合图形，分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：一次函数 y=-x+1中，当x=0时，y=1，当y=0时，x=1，
∴A(0,1)，则直线AB于坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∵抛物线y=ax2+2x+b的图像与一次函数 y=-x+1的图像交于A，B两点，已知B(6,-5)，
∴¿，
解得，¿，
1
∴抛物线的表达式为y=- x2+2x+1；
2
（2）解：点C是直线AB上方抛物线上的一动点，
∴设C ( c,- 1 c2+2c+1 ) (0<c<6)，
2如图所示，过点C作CD⊥x轴，交AB于点D，
∴D(c,-c+1)，
1 1
∴CD=- c2+2c+1-(-c+1)=- c2+3c，
2 2
1 1 1
∴S = CD·C + CD·(B -C )= CD·B ，
△ABC 2 x 2 x x 2 x
= 1 × ( - 1 c2+3c ) ×6
2 2
3
=- c2+9c
2
3 27
=- (c-3) 2+ ，
2 2
3
∵- <0，
2
27
∴当c=3时，S 有最大值，最大值为 ，
△ABC 2
∴- 1 ×32+2×3+1= 5 ，即C ( 3, 5) ，
2 2 2
( 5)
如图所示，作点C关于y轴的对称点E，则E -3, ，连接EM，则EM=CM，将EM向下平移4个单
2
( 3)
位，即点M,N重合，得到FM，则F -3,- ，连接BF，交y轴于点G，此时FG+GB=BF的线段最
2
短，即CM+BN的值最小，∴BF=❑ √ (6+3) 2+ ( -5+ 3) 2 = ❑√373 ，
2 2
❑√373
∴CM+BN=EM+BN=FG+GB的最小值为 ，
2
❑√373
∴CM+MN+BN= +4，
2
❑√373
∴CM+MN+BN的最小值为 +4；
2
(14 ) ( 1)
（3）解：存在，所有满足条件的点 Q 的坐标为 ,1 或 6,- ，理由如下，
3 3
( 3)
∵F -3,- ,B(6,-5)，设直线BF的解析式为y=kx+b(k≠0)，
2
∴¿，
解得，¿，
7 8
∴直线BF的解析式为y=- x- ，
18 3
8 ( 8)
当x=0时，y=- ，即N 0,- ，
3 3
∵将点N向下平移1个单位得到点P，
( 11)
∴P 0,- ，
3
∴AP=1- ( - 11) = 14 ，AB=❑√(6-0) 2+(5+1) 2=6❑√2， BP=❑ √ (6-0) 2+ ( -5+ 11) 2 = 2❑√85 ，
3 3 3 3
1 1
∵抛物线的表达式为y=- x2+2x+1=- (x-2) 2+3，
2 2
∴顶点坐标为(2,3)，
14
如图所示，作点P关于AB的对称点Q ，连接PQ 交AB于点K，则AP=AQ = ,BP=BQ ,AB=AB，
1 1 1 3 1
此时，以A，B，Q为顶点的三角形和 △ABP全等，1
∴抛物线y=- x2+2x+1沿直线AB的方向平移得到的新抛物线 y'，若新抛物线 y'过点Q 则满足条件，
2 1
1 1
∵S = AP·B = AB·PK，
△ABP 2 x 2
14
×6
∴ AP·B 3 7❑√2，
PK= x = =
AB 6❑√2 3
在Rt△APK中，AK=❑√AP2-PK2=❑
√ (14) 2
-
(7❑√2) 2
=
7❑√2
，
3 3 3
7❑√2
∴AK=PK= ，即△APK是等腰直角三角形，
3
根据轴对称的性质得到△AQ K是等腰直角三角形，则∠Q AB=∠Q BA=45°，
1 1 1
由（1）可知∠OAB=45°，
∴∠OAB+∠Q AB=90°，即Q A⊥y轴，
1 1
(14 ) (14 )
∴Q ,1 ，即新抛物线的顶点坐标为 ,1 ，
1 3 3
14 8 8
∴ -2= ,1-3=-2，即原抛物线的向右平移 个单位，向下平移2个单位得到的新抛物线的顶点，但
3 3 3
不符合沿AB方向平移，故舍去；
如图所示，当四边形APBQ 是平行四边形时，以A，B，Q为顶点的三角形和 △ABP全等，
2
1
∴抛物线y=- x2+2x+1沿直线AB的方向平移得到的新抛物线 y'，若新抛物线 y'过点Q 则满足条件，
2 2
( 11)
设Q (x',y')，且A(0,1)，B(6,-5)，P 0,- ，
2 311
- + y'
∴0+6 0+x' 1+(-5) 3 ，
= , =
2 2 2 2
1
解得，x'=6,y'=-
，
3
( 1) ( 1)
∴Q 6,- ，即新抛物线的顶点坐标为 6,- ，
2 3 3
1 10 10
∵6-2=4，- -3=- ，即原抛物线的向右平移4个单位，向下平移 个单位得到的新抛物线的顶
3 3 3
点，但不符合沿AB方向平移，故舍去，
综上所述，不存在点 Q ，以A，B，Q为顶点的三角形和 △ABP全等．
【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数，全等三角形的判定方法，平行四边形的性质，轴对称图形
的性质，二次函数与几何图形面积的计算等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，数形结合，分类讨
论思想是解题的关键．
4．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+3（a、b为常数，
a≠0）的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0)，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接BD，点P是该二次函数图象上第四象限内的动点，过点P作PG⊥x轴于点G，Q是x轴上的点，
要使以P、Q、G为顶点的三角形与△BDH全等，求满足条件的点P、Q的坐标．
【答案】(1)y=-x2-2x+3
(2)当P的坐标为(-1+2❑√2,-4)时，Q的坐标为(1+2❑√2,0)或(-3+2❑√2,0)；当P的坐标为
(-1+❑√6,-2)时，Q的坐标为(-5+❑√6,0)或(3+❑√6,0)
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质．
（1）将A(-3,0)、B(1,0)代入y=ax2+bx+3中，解二元一次方程组即可；（2）先根据二次函数解析式求出D(-1,4),H(-1,0)，进而得OH=1,DH=4，BH=2，再分两种情况
讨论：①若PG=DH=4,GQ=BH=2，如图1，则由-x2-2x+3=-4可求出P点坐标，进而可求G、
Q的坐标；②若PG=BH=2,GQ=DH=4，如图2，则由-x2-2x+3=-2可求出P点坐标，进而可求
G、Q的坐标．
【详解】（1）解：将A(-3,0)、B(1,0)代入y=ax2+bx+3中，
得¿，
解得¿，
∴该二次函数的表达式为y=-x2-2x+3；
（2）解：∵y=-x2-2x+3=-(x+1) 2+4，
∴D(-1,4),H(-1,0)，
∴OH=1,DH=4，
∵B(1,0)，
∴BH=2，
①若PG=DH=4,GQ=BH=2，如图1，
∴y =-4
P
，
在y=-x2-2x+3中，令y=-4得：
-x2-2x+3=-4，
解得x =-1-2❑√2（舍去），x =-1+2❑√2，
1 2
∴P(-1+2❑√2,-4)，
∴G(-1+2❑√2,0)，
∴Q (1+2❑√2,0),Q (-3+2❑√2,0)；
1 2
②若PG=BH=2,GQ=DH=4，如图2，∴y =-2
p
，
在y=-x2-2x+3中，令y=-2得：
-x2-2x+3=-2，
解得x =-1-❑√6（舍去），x =-1+❑√6，
3 4
∴P(-1+❑√6,-2)，
∴G(-1+❑√6,0)，
∴Q (-5+❑√6,0),Q (3+❑√6,0)．
3 4
综上所述，以P、Q、G为顶点的三角形与△BDH全等，当P的坐标为(-1+2❑√2,-4)时，Q的坐标为
(1+2❑√2,0)或(-3+2❑√2,0)；当P的坐标为(-1+❑√6,-2)时，Q的坐标为(-5+❑√6,0)或(3+❑√6,0)．
题型十 二次函数中相似三角形存在性问题（共 6 小题）
1．（24-25九年级下·湖南衡阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴相
交于点A(-1,0),B(4,0)．(1)求抛物线的表达式：
(2)如图1．抛物线的对称轴与直线BC交于点G，与x轴交于点H，若点P是对称轴上的一个动点，是
否存在以P、C、G为顶点的三角形与△GHB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明
理由：
(3)如图2，抛物线与y轴相交于点C，连接AC，BC，点D是直线BC上方抛物线上一动点（不与端
点重合），过动点D作DE∥AC线段BC于点E，连接DA,DB,AE，记△DAE的面积为
S ,△DBE的面积为S ，当S +S 取得最大值时，求点D的坐标并求出S +S 的最大值．
1 2 1 2 1 2
【答案】(1)y=-x2+3x+4
(3 ) (3 11)
(2) ,4 或 ,
2 2 2
(3)D(2,6)，S +S 的最大值为8
1 2
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出C(0,4)，易证△BOC是等腰直角三角形，得到∠OBC=∠OCB=45°，再证明
△BGH是等腰直角三角形，根据题意得到△CGP是等腰直角三角形，求出直线BC的解析式为
3 (3 5) 3❑√2 5❑√2
y=-x+4，再求出抛物线的对称轴为x= ，得到G , ，求出CG= ，BG= ，
2 2 2 2 2
5 (3 )( 5) 5
BH=GH= ，设P ,p p> ，求出PG=p- ，根据∠BGH=∠CGP，则分
2 2 2 2
∠CPG=90°和∠GCP=90°两种情况，利用相似三角形的性质求解即可；
（3）过点E作EM⊥x轴于点M，求出直线AC的解析式为y=4x+4，设D(d,-d2+3d+4)，再求
出直线DE的解析式为y=4x-d2-d+4，求出点E (1 d2+ 1 d,- 1 d2- 1 d+4 ) ，根据
5 5 5 5
S +S =S -S ，再利用二次函数的性质即可解答．
1 2 △ABD △ABE
【详解】（1）解：根据题意¿，
解得：¿，
∴抛物线的表达式为：y=-x2+3x+4；（2）解：存在，
由（1）知抛物线的表达式为：y=-x2+3x+4，
将x=0代入y=-x2+3x+4，则y=4，
∴C(0,4)，
∴OB=OC=4，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵GH⊥OB，即∠GHB=90°，
∴∠HBG=∠BGH=45°，
∴△BGH是等腰直角三角形，
∴∠CGH=135°，
∵以P、C、G为顶点的三角形与△GHB相似，
∴△CGP是等腰直角三角形，
∴点P在点G上方，
设直线BC的解析式为y=kx+4，
则0=4k+4，解得：k=-1
设直线BC的解析式为y=-x+4，
3 3
∵抛物线的对称轴为x=- =
，
2×(-1) 2
3
∴点G的横坐标为 ，
2
3 5
∴y =- +4= ，
G 2 2
(3 5) (3 )
∴G , ，H ,0 ，
2 2 2
∴CG=❑ √ (3) 2 + ( 4- 5) 2 = 3❑√2 ，BG=❑ √ ( 4- 3) 2 + (5) 2 = 5❑√2 ，BH=GH= 5 ，
2 2 2 2 2 2 2
(3 )( 5)
设P ,p p> ，
2 2
5
∴PG=p- ，
2
∵∠BGH=∠CGP，当∠CPG=90°时，△CPG∽△BHG，
PG CG 3
∴ = = ，
HG BG 5
3
∴PG= ，
2
5 3
∴p- = ，
2 2
∴p=4，
当∠PCG=90°时，△PCG∽△BHG，
PG CG 3❑√2
∴ = = ，
BG HG 5
∴PG=3，
5
∴p- =3，
2
11
∴p= ，
2
(3 ) (3 11)
综上，点P的坐标为 ,4 或 , ；
2 2 2
（3）解：过点E作EM⊥x轴于点M，
设直线AC的解析式为y=mx+4，
则-m+4=0，解得：m=4，
∴直线AC的解析式为y=4x+4，
设D(d,-d2+3d+4)，
∵DE∥AC，
∴设直线DE的解析式为y=4x+n，
则-d2+3d+4=4d+n，解得：n=-d2-d+4，
∴直线DE的解析式为y=4x-d2-d+4，联立¿，解得：¿，
∴E (1 d2+ 1 d,- 1 d2- 1 d+4 ) ，
5 5 5 5
1 1
∴ME=- d2- d+4，
5 5
∵AB=5，△DAE的面积为S ,△DBE的面积为S ，
1 2
∴S +S =S -S ，
1 2 △ABD △ABE
1 1
∴S +S = AB·y - AB·ME
1 2 2 D 2
1
= AB·(y -ME)
2 D
= 1 ×5× [ (-d2+3d+4)- ( - 1 d2- 1 d+4 )]
2 5 5
=-2d2+8d
=-2(d-2) 2+8，
∵-2<0，
∴当d=2时，S +S 有最大值，最大值为8；
1 2
此时，-d2+3d+4=-4+6+4=6，
∴D(2,6)，S +S 的最大值为8．
1 2
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，相似三
角形的判定与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
2．（2024·贵州·三模）如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图像与x轴交于A(-1,0)和B(2,0)两点，与
y轴相交于点C，
(1)求抛物线的解析式．
(2)在BC是否存在一点P，使PA+PO的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点N在第一象限内的抛物线上，在x轴是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与
△OAC相似？若存在，求此点M坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)y=-x2+x+2
(4 6)
(2)存在，P ,
5 5
(1+❑√33 ) (5+5❑√33 )
(3)存在，点M的坐标为(1,0)或 ,0 或(5,0)或 ,0
4 16
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出C(0,2)，待定系数法求出直线BC的解析式为y=-x+2，过点O作OE⊥BC于点E，延长
OE至点F，使得EF=OE，则点F与点O关于直线BC对称，连接AF，则AF交BC于点P，连接OP，
由等腰三角形的性质可得点E为BC的中点，即E(1,1)，由轴对称的性质可得OP=PF，点E是OF的
中点，从而可得OP+PA=PF+PA≥AF，F(2,2)，即当点A、P、F在同一直线上时，PA+PO的
2 2
值最小为AF，待定系数法求出直线AF的解析式为y= x+ ，联立¿，求解即可；
3 3
（3）由（2）可得，OA=1，OC=2，从而可得OA:OC=1:2，再分两种情况：①当点M为直角顶
点时，OM:MN=1:2或2:1；②当点N为直角顶点时，则ON:MN=1:2或2:1，过点N作NE⊥x
轴于E；分别求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数y=-x2+bx+c的图像与x轴交于A(-1,0)和B(2,0)两点，
∴¿，
解得：¿，
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2；
（2）解：存在，
在y=-x2+x+2中，当x=0时，y=2，即C(0,2)，
∴OB=OC=2，
设直线BC的解析式为y=kx+b (k≠0)，
1
将B(2,0)和C(0,2)代入解析式可得¿，
解得：¿，
∴直线BC的解析式为y=-x+2，
如图，过点O作OE⊥BC于点E，延长OE至点F，使得EF=OE，则点F与点O关于直线BC对称，
连接AF，则AF交BC于点P，连接OP，，
∵OB=OC=2，OE⊥BC，
∴点E为BC的中点，
∴E(1,1)，
∵点F与点O关于直线BC对称，
∴OP=PF，点E是OF的中点，
∴OP+PA=PF+PA≥AF，F(2,2)，
∴当点A、P、F在同一直线上时，PA+PO的值最小为AF，
设直线AF的解析式为y=k x+b (k ≠0)，
1 2 1
将F(2,2)，A(-1,0)代入解析式可得¿，
解得：¿，
2 2
∴直线AF的解析式为y= x+ ，
3 3
联立¿，
解得：¿，
(4 6)
∴P , ；
5 5
（3）解：存在，
由（2）可得，OA=1，OC=2，
∴OA:OC=1:2，
∵点N在第一象限内的抛物线上，在x轴上是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与
△OAC相似
∴①当点M为直角顶点时，OM:MN=1:2或2:1，如图所示：，
设M(m,0)，N(m,-m2+m+2)(m>0)，
∴OM=m，MN=-m2+m+2，
∴m:(-m2+m+2)=1:2或m:(-m2+m+2)=2:1，
当m:(-m2+m+2)=1:2时，整理可得：m2+m-2=0，
解得：m=1或m=-2（不符合题意，舍去）；
当m:(-m2+m+2)=2:1时，整理可得：2m2-m-4=0，
1+❑√33 1-❑√33
解得：m= 或m= （不符合题意，舍去）；
4 4
(1+❑√33 )
∴此时M(1,0)或M ,0 ；
4
②当点N为直角顶点时，则ON:MN=1:2或2:1，如图，过点N作NE⊥x轴于E，
，
则∠OEN=∠ONM=90°，
∴∠NOE+∠ONE=∠NOE+∠NME=90°，
∴∠ONE=∠NME，
∴△ONE∽△OMN，
∴OE:NE=ON:MN=1:2或2:1，1+❑√33
由①可得：OE=1或OE= ，
4
当OE=1时，EN=2，
∴ON=❑√5，MN=2❑√5，
∴OM=❑√ON2+M N2=5，
∴M(5,0)；
1+❑√33 1+❑√33
当OE'= 时，N'E'=
，
4 8
∴ON'=❑√OE'2+N'E'2=❑√(2N'E') 2 +N'E'2=❑√5N E'，
1 ❑√5
∴M'N'= ON'= N'E'
，
2 2
5 5+5❑√33
∴OM'=❑√ON'2+M'N'2= N'E'=
，
2 16
∴M'(5+5❑√33
,0
)
；
16
(1+❑√33 ) (5+5❑√33 )
综上所述，点M的坐标为(1,0)或 ,0 或(5,0)或 ,0 ．
4 16
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数综合—线段周长
问题，相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采
用分类讨论的思想是解此题的关键．
3．（2025·海南·三模）如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(1,0)、B(-3,0)两点，与y轴交于点C，
点M为抛物线的顶点，直线MC交x轴于点D．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点P(m,n)是第三象限内抛物线上的一个动点，作PQ∥y轴交BC于点Q．
①求线段PQ的最大值及此时点P的坐标；②是否存在点Q，使得以点Q,B,O为顶点的三角形与△BDM相似？若存在，求出点Q的坐标；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=x2+2x-3
9 ( 3 15) ( 3 9)
(2)① ， - ,- ；②存在，(-1,-2)或 - ,-
4 2 4 4 4
【分析】题目主要考查二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，最值问题，理解题意，熟练掌
握二次函数的相关性质是解题关键．
（1）根据题意利用待定系数法即可确定函数解析式；
( 3) 2 9
（2）①设P(m，m2+2m-3)，则Q(m，-m-3)，其中-3<m<0，确定PQ=- m+ + ，即
2 4
可求解；
②根据待定系数法确定直线MC的解析式为y=x-3，得出点D的坐标为(3,0)，分别过点Q、M作
QE⊥x轴于点E，MF⊥x轴于点F，由P(m，m2+2m-3)，Q(m，-m-3)，得E(m，0)，
BO BQ BO BQ
然后分两种情况讨论：I．当 = 时，△OBQ∽△BDM，II．当 = 时，
BD DM DM BD
△QBO∽△BDM，即可求解．
【详解】（1）解：将A(1，0)B(-3，0)代入y=ax2+bx-3，
得¿
解得¿
∴该抛物线的表达式为y=x2+2x-3；
（2）①当x=0时，y=x2+2x-3=-3，
∴C(0，-3)，
设直线BC的解析式是：y=kx+b，
则¿，解得：¿，
∴直线BC的解析式是：y=-x-3，
如图1，设P(m，m2+2m-3)，则Q(m，-m-3)，其中-3<m<0，
则PQ=(-m-3)-(m2+2m-3)=-m2-3m=- ( m+ 3) 2 + 9 ，
2 43 9 15
当m=- 时，线段PQ有最大值，为 ，m2+2m-3=- ，
2 4 4
( 3 15)
此时点P的坐标为 - ，- ．
2 4
②存在，理由如下：
∵C(0，-3)，M(-1，-4)，
∴使用待定系数法同理可得：直线MC的解析式为y=x-3．
令y=0，则x=3，
∴点D的坐标为(3,0)．
∵B(-3，0)，C(0，-3)，D(3，0)，
∴OD=OB=OC=3，且OC⊥BD，
∴∠CBD=∠BDC=45∘．
如图1，分别过点Q、M作QE⊥x轴于点E，MF⊥x轴于点F．
由P(m，m2+2m-3)，Q(m，-m-3)，得E(m，0)，
∴BQ=❑√2(m+3)，DM=4❑√2．
分两种情况讨论：
BO BQ
I．当 = 时，△OBQ∽△BDM，
BD DM
3 ❑√2(m+3)
即 = ，
6 4❑√2
解得m=-1，满足-3<m<0，
此时点Q的坐标为(-1,-2)．
BO BQ
II．当 = 时，△QBO∽△BDM，
DM BD3 ❑√2(m+3)
即 = ，
4❑√2 6
3 9 ( 3 9)
解得m=- ，满足-3<m<0，此时-m-3=- ，点Q的坐标为 - ，- ．
4 4 4 4
综上所述，存在点Q，使得以点Q、B、O为顶点的三角形与△BDM相似，
( 3 9)
点Q的坐标为(-1,-2)或 - ，- ．
4 4
4．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c与y轴相交于点C(0,-3)，与x轴相交于点
A(-2,0)，B(6,0)，点D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)在y轴上有一点P，求出PB+PD的值最小时点P的坐标，及此时PB+PD的值．
(3)在第四象限内的抛物线上是否存在一点E，过点E作EF⊥x轴交x轴于点F，使△OEF与
△OBC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
1
【答案】(1)y= x2-x-3
4
(2)点P的坐标为(0,-3)，PB+PD的最小值为4❑√5
( -❑√13-1)
(3)存在，点E坐标为(2,-4)或 ❑√13+1,
2
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2） 作点B关于y轴的对称点B'，连接B'P、PD、PB，可知当B' 、P、D共线时，PB'+PD最
小，即PB+PD最小，最小值为B'D的长度，得到最小值，然后根据待定系数法求出直线B'D的表
1
达式为y=- x-3，即可得到点P的坐标；
2（3）设E ( m, 1 m2-m-3 ) (m>0) ，则F(m,0)，得出OF=m，EF=- 1 m2+m+3，OB=6，
4 4
OC=3，分两种情况：当△FEO∽△OCB时，当△FEO∽△OBC时，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c与y轴相交于点C(0,-3)，与x轴相交于点A(-2,0)，
B(6,0)，
∴把点A，点B，点C的坐标代入y=ax2+bx+c得：
¿，
解得：¿，
1
∴抛物线的解析式为y= x2-x-3．
4
（2）解：作点B关于y轴的对称点B'，连接B'P、PD、PB，如图所示，
根据轴对称可知：PB=PB'，
∴PB+PD=PB'+PD，
∵两点之间线段最短，
∴当B' 、P、D共线时，PB'+PD最小，即PB+PD最小，最小值为B'D的长度，
∵点B的坐标为(6,0)，
∴点B'的坐标为(-6,0)，
1 1
∵y= x2-x-3= (x-2) 2-4，
4 4
∴顶点坐标D(2,-4)，
∴PB+PD的最小值为：B'D=❑√(2+6) 2+42=4❑√5；
设直线B'D的解析式为y=kx+n，
∴¿，
解得：¿，
1
∴直线B'D的表达式为y=- x-3，
2∴当x=0时，y=-3，
∴点P的坐标为(0,-3)，
（3）解：在第四象限中的抛物线上存在点E，使△OEF与△OBC相似，理由如下：
设E ( m, 1 m2-m-3 ) (m>0) ，则F(m,0)，
4
1
∴OF=m，EF=- m2+m+3，OB=6，OC=3，
4
①当△FEO∽△OCB时，
OF EF
∴ = ，
OB OC
1
- m2+m+3
即m 4 ，
=
6 3
解得：m =❑√13+1，m =-❑√13+1（舍去），
1 2
1 1 -❑√13-1
此时 m2-m-3= (❑√13+1) 2-(❑√13+1)-3= ，
4 4 2
( -❑√13-1)
∴E ❑√13+1, ；
2
②当△FEO∽△OBC时，
EF OF
∴ = ，
OB OC
1
- m2+m+3
即 4 m，
=
6 3
解得：m =2，m =-6（舍去），
1 2
1 1
此时
m2-m-3= ×22-2-3=-4，
4 4
∴E(2,-4)；
( -❑√13-1)
综上所述，点E坐标为(2,-4)或 ❑√13+1, ．
2
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函
数的解析式，轴对称的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．5．（24-25九年级下·海南·阶段练习）如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交
于点C(0,-3)，其对称轴直线x=1与x轴相交于点D，点M为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点F是第四象限内抛物线上的一个动点，点F运动到何处时，△BCF的面积最大？求出此时点F
的坐标；
(3)如图2，延长MC交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点
的三角形与△ABC相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=x2-2x-3
3 (3 15)
(2)t= ，F ,-
2 2 4
3 9
(3)存在，P(-1,-2)或(- ,- )
4 4
b b
【分析】（1）由抛物线与y轴的交点坐标可求出c的值，由抛物线的对称轴为直线x=- =- =1
2a 2
可求出b的值，即可得到抛物线的解析式．
（2）易得A(-1,0)，B(3,0)，利用待定系数法求得直线AB的解析式为y=x-3，设
3 9
N(t,t-3)(0<t<3)，则F(t,t2-2t-3)，于是NF=-(t- ) 2+ ，由三角形的面积公式可知当NF
2 4
3
最大时，△BCF的面积最大，结合二次函数的性质可知此时t= ，进而可得点F的坐标．
2
（3）易得M(1,-4)，利用待定系数法求得直线CM的解析式为y=-x-3，则E(-3,0)，于是
AB＝4，OE=OB=OC=3，∠OEP=∠OBC=45°，BC=3❑√2，过点P作PG⊥x轴于点
G，分两种情况讨论：当△PEO∽△ABC 时，根据相似三角形的性质求得PE，进一步求出
PG,OG，即可得此时点P的坐标；当△OEP∽△ABC时，与上述解法相同．
【详解】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c过点C(0,-3)，且对称轴为直线x=1，b
∴c=-3，- =1，
2×1
∴b=-2，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3．
（2）如图，过点F作x轴的垂线，交BC于点N，
由y=x2-2x-3=(x+1)(x-3)，
∴A(-1,0)，B(3,0)，
设直线BC的解析式为y=kx-3，
将点B的坐标代入，得0=3k-3，解得：k=1，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
设N(t,t-3)(0<t<3)，则F(t,t2-2t-3) ，
3 9
∴NF=t-3-(t2-2t-3)=-t2+3t =-(t- ) 2+ ，
2 4
1 3
∵S = NF⋅|x -x |= NF，
△BCF 2 B C 2
∴当NF最大时，△BCF的面积最大，
3 9
由NF=-(t- ) 2+ ，0<t<3，
2 4
3
∴当t= 时，NF最大，△BCF的面积最大，
2
3 15
此时F( ,- )．
2 4
( 3 9)
（3）存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似，P(-1,-2)或 - ,- ．
4 4
由y=x2-2x-3=(x-1) 2-4，知M(1,-4)，设直线CM的解析式为y=mx-3，
将点M的坐标代入，得-4=m-3，解得：m=-1，
∴直线CM的解析式为y=-x-3，
在y=-x-3中，令y=0，得x=-3，即E(-3,0)，
∵A(-1,0)，B(3,0)，C(0,-3)，E(-3,0)，
∴AB=4，OE=OB=OC=3，
∴∠OEP=∠OBC=45°，BC=❑√OB2+OC2=3❑√2，
如图，过点P作PG⊥x轴于点G，
在以点P、E、O为顶点的三角形和△ABC中，∠OEP=∠OBC，
当△PEO∽△ABC时，
PE OE PE 3
有 = ，即 = ，
AB CB 4 3❑√2
∴PE =2❑√2，
∴EG=PG=2，OG=OE-EG=1，
∴P(-1,-2)；
当△OEP∽△ABC时，
PE OE PE 3
有 = ，即 = ，
CB AB 3❑√2 4
9
∴PE= ❑√2，
4
9 3
∴EG=PG = ，OG=OE-EG = ，
4 4
( 3 9)
∴P - ,- ．
4 4
( 3 9)
综上，P(-1,-2)或 - ,- ．
4 4【点睛】本题属于二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象与性质、利用待定系数法求函数解
析式、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
6．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0)，B(3,0)，交y轴
于点C(0,3)，点M是该抛物线上第一象限内的一个动点，ME⊥x轴，交x轴于点E，交线段BC于
点D，MN∥x轴，交y轴于点N．
(1)求抛物线y=ax2+bx+c的表达式；
(2)若四边形MNOE是正方形，求该正方形的边长；
(3)连接OD、AC，抛物线上是否存在点M，使得以C、O、D为顶点的三角形与△ABC相似，若
存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2+2x+3；
1+❑√13
(2)该正方形的边长为 ；
2
(9 39)
(3)存在，点M坐标为 , 或(2,3)．
4 16
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与相似三角形，解一元二次方程等知识，掌握知识
点的应用是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）设点M的坐标为(x,-x2+2x+3)，由四边形MNOE为正方形，则OE=ME，即
x=-x2+2x+3，然后解方程并检验即可；
OC CD
（3）由C、O、D为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种种情况讨论①当 = ，即
AB BC3 CD OC CD 3 CD
= ，②当 = ，即 = ，分别求出CD的长即可．
4 3❑√2 BC AB 3❑√2 4
【详解】（1）解：将A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)，代入y=ax2+bx+c，
得：¿，解得：¿，
∴抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3；
（2）解：设点M的坐标为(x,-x2+2x+3)，
∵四边形MNOE为正方形，
∴OE=ME，
即x=-x2+2x+3，
1+❑√13 1-❑√13
解得x = ，x = （舍去），
1 2 2 2
1+❑√13
∴该正方形的边长为 ；
2
（3）解：∵点C的坐标为(0,3)，点B的坐标为(3,0)，点A的坐标为(-1,0)，
∴AB=4，BC=3❑√2，OB=OC=3，
∴∠OCD=∠ABC=45°，
∴C、O、D为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种种情况讨论：
OC CD 3 CD
①当 = ，即 = ，
AB BC 4 3❑√2
9❑√2
解得CD= ，
4
OC CD 3 CD
② = =
BC AB 3❑√2 4
当 ，即 ，
解得CD=2❑√2，
作DH⊥y轴，垂足为H，9❑√2 9 (9 39)
当CD= ，CH=DH= ，点M坐标为 , ；
4 4 4 16
当CD=2❑√2，CH=DH=2，点M坐标为(2,3)；
(9 39)
综上所述：点M坐标为 , 或(2,3)．
4 16
题型十一 二次函数中平行四边形存在性问题（共 5 小题）
1．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接BC，点P是直线BC下方抛物线上的动点，当点P在该抛物线上什么位置时，△PBC面积
最大，并求出此时P点的坐标；
(3)设点D是该抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、D、Q为顶点的
四边形是平行四边形，若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=x2-2x-3
27 3 15
(2)△PBC的面积最大值为 ，此时点P的坐标为( ,- )
8 2 4
(3)存在，所有满足条件的点Q的坐标为(4,5)或(-2,5)或(2,-3)
【分析】（1）把A(-1,0)，B(3,0)代入y=x2+bx+c，再建立方程组求解即可；
（2）过点P作y轴的平行线交BC于点H，先求解C(0,-3)，直线BC的表达式为y=x-3，设点P的坐标为(t,t2-2t-3)，则点H(t,t-3)，结合△PBC的面积=S +S ，再建立二次函数的
△PHC △PHB
解析式，利用二次函数的性质解题即可；
（3）分三种情况讨论：①当四边形BCDQ是平行四边形时，②当四边形BCQ'D'是平行四边形时，
③当四边形BDCQ为平行四边形时，如图，再利用平行四边形的性质结合中点坐标公式求解即可．
【详解】（1）解：将A(-1,0)，B(3,0)代入y=x2+bx+c，
得到¿，
解得¿，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
（2）解：过点P作y轴的平行线交BC于点H，
y=x2-2x-3
∵抛物线的解析式为 ，
∴C(0,-3)，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y=x-3，
设点P的坐标为(t,t2-2t-3)，则点H(t,t-3)，
则△PBC的面积=S +S
△PHC △PHB
1
= PH⋅OB
2
1
= ×3(t-3-t2+2t+3)
2
3( 3) 2 27
=- t- + ，
2 2 8
3 27
∴当t= 时，△PBC的面积最大值为 ，
2 8
(3 15)
此时点P的坐标为 ,- ；
2 4
（3）存在．理由：如图，
y=x2-2x-3
由（1）知，抛物线的解析式为 ，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴设点D(1,a)，Q(n,n2-2n-3)，
①当四边形BCDQ是平行四边形时，
∵点C(0,-3)，B(3,0)，
∴n+0=3+1，
∴n=4，
∴Q(4,5)，
②当四边形BCQ'D'是平行四边形时，
∵点C(0,-3)，B(3,0)，
∴n+3=0+1，
∴n=-2，
∴Q(-2,5)，
③当四边形BDCQ为平行四边形时，如图，
1+n=3 n=2
∴ ，则 ，∴Q(2,-3)，
综上，满足条件的点Q(4,5)或(-2,5)，(2,-3)．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与图形面积，二次函数与
平行四边形，熟练地画出图形，利用数形结合的方法与方程思想解题是关键．
2．（24-25九年级上·福建龙岩·月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐
标为(2,0)，点B的坐标为(-3,0)，点C的坐标为(0,3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找出一点Q，使AQ+CQ的值最小，并求出点Q的坐标．
(3)点P是抛物线上位于直线BC上方的点，连接PB、PC，P点的横坐标为m，S =S，请写出
△BCP
S与m的函数关系，并求S的最大值．
(4)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形，
若存在，直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由．
1 1
【答案】(1)y=- x2- x+3
2 2
( 1 5)
(2)Q - ,
2 2
3( 3) 2 27 27
(3)S=- m+ + ，S最大值为
4 2 16 16
(4)(5,3)或(-1,-3)或(-5,3)
【分析】（1）根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；
1
（2）利用二次函数的性质可得出抛物线对称轴为直线x=- ，作点C关于抛物线对称轴的对称点C'，
2
连接AC'，交抛物线对称轴于点Q，此时AQ+CQ取最小值，求出直线AC'的解析式，即可解答；
（3）由题得P ( m,- 1 m2- 1 m+3 ) (-3<m<0)，过点P作x轴的垂线，交BC于点G，求出直线BC
2 21
的解析式，则G(m,m+3)，求出PG，根据S = PG·|x |，再利用二次函数的性质即可解答；
△BCP 2 B
（4）设E(e,q)，利用平行四边形的性质，分以AC为对角线，以AB为对角线，以AE为对角线三种
情况讨论即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
则¿，解得¿，
1 1
∴抛物线的解析式为y=- x2- x+3；
2 2
1 1
（2）解：∵抛物线的解析式为y=- x2- x+3，
2 2
1
-
2 1
x=- =-
∴抛物线的对称轴为直线 ，
( 1) 2
2× -
2
作点C关于抛物线对称轴的对称点C'，连接AC'，交抛物线对称轴于点Q，
则QC=QC'，C'(-1,3)，
此时AQ+CQ取最小值，
设直线AC'的解析式为y=sx+t(s≠0)，
则¿，解得¿，
∴直线AC'的解析式为y=-x+2，
1 5
将x=- 代入y=-x+2，则y= ，
2 2
( 1 5)
∴Q - , ；
2 2
（3）解：∵P点的横坐标为m，
∴P ( m,- 1 m2- 1 m+3 ) (-3<m<0)，
2 2过点P作x轴的垂线，交BC于点G，
设直线BC的解析式为y=kx+3(k≠0)，
则-3k+3=0，解得k=1，
∴直线BC的解析式为y=x+3，
则G(m,m+3)
1 1 1 3
∴PG=- m2- m+3-(m+3)=- m2- m，
2 2 2 2
∵S=S = 1 PG·|x |= 1 × ( - 1 m2- 3 m ) ×3=- 3 m2- 9 m=- 3( m+ 3) 2 + 27 ，且- 3 <0，
△BCP 2 B 2 2 2 4 4 4 2 16 4
3 27
∴当m=- 时，S有最大值，最大值为 ；
2 16
（4）解：设E(e,q)，
当以AC为对角线，四边形AECB是平行四边形时，如图：
则¿，解得¿，
∴E(5,3)；
当以AB为对角线，四边形ACBE是平行四边形时，如图：则¿，解得¿，
∴E(-1,-3)；
当以AE为对角线，四边形ACEB是平行四边形时，如图：
则¿，解得¿，
∴E(-5,3)；
综上，存在点E坐标为(5,3)或(-1,-3)或(-5,3)时，以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四
边形．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求
一次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，熟练运
用分类讨论的思想是解题的关键．
3．（2024·湖南·模拟预测）如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B(-1,0)两点（点A 在点B 的右
侧），与y 轴交于点C(0,-3)，且OA=OC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，直线l ：x=x 与抛物线交于点P，与直线AC交于点M，将直线l₁向右平移两个单位得到直
1 0
线l ：x=x +2，直线l 与抛物线交于点Q，与直线AC交于点N．
2 0 2
①当点Q在直线AC下方时，求△MNQ面积的最大值及此时点N的坐标；
②抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，N，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P
点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=x2-2x-39 (3 3)
(2)①△MNQ面积的最大值为 ，此时点N的坐标为 ,- ；②存在，点P的坐标为
4 2 2
(1-❑√5 ❑√5-5) (1 15) (1+❑√5 -❑√5-5)
, 或P ,- 或P ,
2 2 2 4 2 2
【分析】（1）先求出点A的坐标，然后用待定系数法求解即可；
（2）①用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x-3，设N(x,x-3)，则Q(x,x2-2x-3)，从而
1
求得NQ=x-3-(x2-2x-3)=-x2+3x，再利用S = (-x2+3x)[(x +2)-x ]
△MNQ 2 0 0
( 3) 2 9
=- x- + ，利用二次函数最值，求解即可；
2 4
②分四种情况：Ⅰ、当点P、Q都在直线AC上方时，即当x ≤-2或x ≥3时，此情况不存在有平行
0 0
四边形；Ⅱ、当点P在直线AC上方、Q在直线AC下方时，即当-2<x ≤0时；Ⅲ、当点P、Q在直
0
线AC下方时，即当0<x <1时；Ⅳ、当点P在直线AC下方时，Q在直线AC上下方时，即当
0
1≤x <3时；分别求解即可．
0
【详解】（1）解：∵C(0,-3)
∴OC=3
∴OA=OC=3
∴A(3,0)
把A(3,0)，B(-1,0)，C(0,-3)分别代入y=ax²+bx+c，得
¿，解得：¿，
∴y=x2-2x-3．
（2）解：①设直线AC的解析式为y=kx+s，
把A(3,0)，C(0,-3)分别代入y=kx+s，得
¿，解得：¿，
∴直线AC的解析式为y=x-3，
设N(x,x-3)，则Q(x,x2-2x-3)，
∴直线l₁向右平移两个单位得到直线l ，
2∴l ∥l ，
1 2
∵点Q在直线AC下方时，
∴NQ=x-3-(x2-2x-3)=-x2+3x
1
∴S = (-x2+3x)[(x +2)-x ]
△MNQ 2 0 0
=-x2+3x
( 3) 2 9
=- x- + ，
2 4
∵-1<0，
3 9
∴当x= 时，S 有最大值，最大值为 ，
2 △MNQ 4
3 3 3
当x= 时，x-3= -3=- ，
2 2 2
(3 3)
∴N ,- ．
2 2
②直线AC的解析式为y=x-3，
∴M(x ,x -3)，N(x +2,x -1)，
0 0 0 0
∵直线l ：x=x 与抛物线交于点P，与直线 AC交于点M，将直线l₁向右平移两个单位得到直线l ：
1 0 2
x=x +2+，直线l 与抛物线交于点Q，
0 2
∴P(x ,x 2-2x -3)，Q(x +2,x 2+2x -3)，
0 0 0 0 0 0
Ⅰ、当点P、Q都在直线AC上方时，即当x ≤-2或x ≥3时，此情况不存在有平行四边形，
0 0，
Ⅱ、当点P在直线AC上方、Q在直线AC下方时，即当-2<x ≤0时，如图，
0
∵平行四边形MPNQ，
∴PM=NQ，
∴(x 2-2x -3)-(x -3)=x -1-(x 2+2x -3)
0 0 0 0 0 0
1-❑√5 1+❑√5
解得：x = ，或x = （舍去），
0 2 0 2
(1-❑√5 ❑√5-5)
∴P ,
2 2
Ⅲ、当点P、Q在直线AC下方时，即当0<x <1时，如图，
0∵平行四边形MNQP，
∴PM=NQ，
∴x -3-(x 2-2x -3)=x -1-(x 2+2x -3)
0 0 0 0 0 0
1
解得：x = ，
0 2
(1 15)
∴P ,- ，
2 4
Ⅳ、当点P在直线AC下方时，Q在直线AC上方时，即当1≤x <3时，如图，
0
∵平行四边形MQNP，
∴PM=NQ，
∴x -3-(x 2-2x -3)=(x 2+2x -3)-(x -1)
0 0 0 0 0 0
1+❑√5 1-❑√5
解得：x = 或x = （舍去），
0 2 0 2
(1+❑√5 -❑√5-5)
∴P , ，
2 2(1-❑√5 ❑√5-5) (1 15) (1+❑√5 -❑√5-5)
综上，存在，当点P的坐标为 , 或P ,- 或P , 时，以P，
2 2 2 4 2 2
Q，N，M为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题属二次函数综合题目，熟练掌握二次函数和图象性质，待定系数法求函数解析式，平
行四边形的性质等知识是解题的关键．
4．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，抛物线y=ax2+bx-3经过点A(2,-3)，与x轴负半轴交于点
B，与y轴交于点C，且OC=3OB．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当-5<x<2时，直接写出y的取值范围；
(3)抛物线的对称轴上有一点P，当PB+PC的值最小时，求点P的坐标；
(4)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行
四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2-2x-3
(2)-4≤ y<32
(3)P(1,-2)
(4)存在，满足条件的点M的坐标为(0,-3)或(4,5)或(-2,5)
【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，对称性，平行四边形的性质，用方程的
思想解决问题是解本题的关键．
（1）先确定出点B坐标，进而将点B，C坐标代入解析式中，建立方程组求解，即可得出结论；
（2）将原抛物线化为顶点式，进而求出当-5<x<2时y的最值即可；
（3）先判断出点P是直线AB与抛物线对称性的交点，再用待定系数法求出直线AB的解析式，即可
得出结论；
（4）设出点M，N坐标，利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解即可得出结论．
【详解】（1）解：令x=0，则y=-3，
∴OC=3，∵OC=3OB，
∴OB=1，
∴B(-1,0)，
∵A(2,-3),B(-1,0)在抛物线y=ax2+bx-3上，
∴¿，
∴¿，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
（2）解：∵y=x2-2x-3=x2-2x+1-4=(x-1) 2-4，
∴当x=1时，y=-4，
∵当x=-5时，y=(-5-1) 2-4=36-4=32，
当x=2时，y=(2-1) 2-4=1-4=-3，
∴当-5<x<2时，-4≤ y<32；
（3）解：由（2）知，抛物线的解析式为y=(x-1) 2-4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
由（1）知， OC=3，
即C(0,-3)，
∵A(2,-3)，
∴点A，C关于抛物线对称轴直线x=1对称，
∴直线AB与对称轴直线x=1的交点为点P，
设直线AB的解析式为y=kx+c，
∵点A(2,-3),B(-1,0)在直线AB上，
∴¿，
∴¿，
∴直线AB的解析式为y=-x-1，
令x=1，则y=-2，
∴P(1,-2)；
（4）解：设点N(1,n),M(m,m2-2m-3)，
∵A(2,-3),B(-1,0)，①当AB与MN为对角线时，AB与MN互相平分，
1 1
∴ ×(2-1)= (m+1)，
2 2
∴m=0，
∴M(0,-3)；
②当AN与BM为对角线时，AN与BM互相平分，
1 1
∴ ×(1+2)= (m-1)，
2 2
∴m=4，
∴M(4,5)，
③当AM与BN为对角线时，AM与BN互相平分，
1 1
(m+2)= ×(1-1)，
2 2
∴m=-2，
∴M(-2,5)；
即：满足条件的点M坐标为(0,-3)或(4,5)或(-2,5)．
5．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0)，
B(0,3)，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M．设点P的横坐标为t．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P在第一象限，连接AM、BM，当1≤t≤2.5时，求△ABM面积的最大值与最小值；
(3)是否存在这样的点P，使以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2+2x+3
3 27 5 15
(2)当t= 时，S = ，当t= 时，S =
2 △ABM最大 8 2 △ABM最小 8(3+❑√21 3-❑√21) (3-❑√21 3+❑√21)
(3)存在，P点坐标为 , 或 ,
2 2 2 2
【分析】本题主要考查二次函数，一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式的方法，
二次函数图像的性质，几何图形的性质等知识是解题的关键．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）根据题意求出AB的解析式，设P(t,-t+3)(0<t<3)，则M(t,-t2+2t+3)，根据点M在抛物
线上，可用含t的式子表示出PM的长，根据二次函数的特点即可求解；
（3）根据平行四边形的性质，结合图形，抛物线的性质即可求解．
【详解】（1）解：将点A(3,0)，B(0,3)，代入y=-x2+bx+c，
∴¿，
解得¿，
∴y=-x2+2x+3．
（2）解：如图所示， 设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴¿，
解得¿，
∴y=-x+3，
∵P(t,-t+3)(0<t<3)，则M(t,-t2+2t+3)，
∴PM=-t2+2t+3+t-3=-t2+3t=- ( t- 3) 2 + 9 ，
2 4
3( 3) 2 27
∴S =- t- +
△ABM 2 2 8
3
∵a=- <0，
2∵1≤t≤2.5，
3 27
∴当t= 时，S =
2 △ABM最大 8
3 5 3
又 -1＜ - ，
2 2 2
5 15
∴当t= 时，S = ；
2 △ABM最小 8
（3）解：存在理由如下：
由（2）知，P(t,-t+3)，M(t,-t2+2t+3)，
∴PM=| (-t+3)-(-t2+2t+3)|=|t2-3t|
∵PM∥OB，且使以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形，
∴PM=OB=3，∴|t2-3t|=3，
3+❑√21 3-❑√21
①t2-3t=3，解得：t= 或t= ，
2 2
(3+❑√21 3-❑√21) (3-❑√21 3+❑√21)
∴P , 或 , ；
2 2 2 2
②t2-3t=-3，此时t无解；
(3+❑√21 3-❑√21) (3-❑√21 3+❑√21)
综上所述：P点坐标为 , 或 , ．
2 2 2 2
题型十二 二次函数中矩形存在性问题（共 4 小题）
1．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于点
A,B，与y轴交于点C，连接BC,OA=1，对称轴为x=1，点D为此抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式．
(2)若连接CD，则∠BCD=_____°．
(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值．
(4)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，当以点B,C,P,Q为顶点的四边形是矩形时，请直接
写出点Q的横坐标．
【答案】(1)y=-x2+2x+3
(2)90
27
(3)
8
(4)4,-2,2
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，矩形的性质，勾股定理，
掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据题意求得A的坐标，根据对称性求得B的坐标，进而待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）求出顶点D的坐标，分别求出BC,CD,BD，根据勾股定理逆定理得△BCD是直角三角形，
故可得∠BCD=90°；
先根据解析式求得C的坐标，进而求得BC的解析式，设E(m,-m22m+3)，作EF∥y轴交BC于点
F，则F(m,-m+3)，进而求得S 关于x的表达式，根据二次函数的性质即可求得最大值；
△BCE
（3）分情况讨论，BC，BP，BQ为矩形的对角线，设P(2,y),Q(m,n)，根据矩形的性质以及中
点坐标公式求得m的值，进而求得Q点的横坐标．
【详解】（1）解：抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于点A、B，OA=1，对称轴为直线x=1，
∴A(-1,0)，
∴B(3,0)，
将A，B代入y=ax2+2x+c(a≠0)得：
¿，
解得¿，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）解：y=-x2+2x+3=-(x-1) 2+4，
∴D(1,4)，
又c=3，∴C(0,3)，
∴BC=❑√(3-0) 2+(0-3) 2=3❑√2，CD=❑√(0-1) 2+(3-4) 2=❑√2，BD=❑√(1-3) 2+(4-0) 2=2❑√5，
∴BC2+CD2=BD2，
∴∠BCD=90°；
故答案为：90；
（3）解：设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B，点C的坐标代入得：¿，
解得：¿，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
设E(m,-m2+2m+3)，
如图，作EF∥y轴交BC于点F，
则F(m,-m+3)，
∴EF=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m，
∴S =
1
×(x -x )×EF=
1
×3×(-m2+3m)=-
3(
m-
3) 2
+
27
，
△BCE 2 B C 2 2 2 8
3 27
当m= 时，S 有最大值为 ；
2 △BCE 8
（4）解：设P(1,y)，Q(m,n)，
由（1）知B(3,0),C(0,3)，
①若BC为矩形的对角线，
由中点坐标公式得：0+3=m+1，
解得：m=2，
∴点Q的横坐标为2；②若BP为矩形的对角线，
3+1 m+0
由中点坐标公式得： = ，
2 2
解得m=4，
∴点Q的横坐标为4；
③若BQ为矩形的对角线，
3+m 1+0
由中点坐标公式得： = ，
2 2
解得：m=-2，
∴点Q的横坐标为-2，
综上，点Q的横坐标为4或2或-2．
2．（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，
3
A(-1,0),B(3,0),C(3,3)，抛物线y=- x2+bx+c经过点A和点B．
4
(1)求抛物线的解析式；
1
(2)点E在x轴上方的抛物线上，当S = S 时，求点E的坐标；
△BCE 4 矩形ABCD
(3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以A,C,P,Q为顶点的四边形为矩形，请直接写
出点P的坐标．
3 3 9
【答案】(1)y=- x2+ x+
4 2 4
(2)E(1,3)
17 8
(3)P(1,-1)或(1,4)或(1, )或(1,- )
3 3
【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与几何图形，矩形的性质，勾股定理，
对于（1），直接将点A(-1,0),B(3,0)代入关系式，求出方程组的解即可；
对于（2），先根据面积之间的关系求出点E的横坐标为1，再代入关系式即可；对于（3），先求出对称轴为x=1，再设点P(1,p),Q(m,n),A(-1,0),C(3,3)，然后分三种情况：
以AC为矩形的对角线时，以AC为矩形的边时，若以AQ为矩形的对角线时，根据勾股定理可得答
案．
3
【详解】（1）解：将点A(-1,0),B(3,0)代入关系式y=- x2+bx+c，
4
∴¿，
解得¿，
3 3 9
∴抛物线的关系式为y=- x2+ x+ ；
4 2 4
（2）解：如图，
1 1
∵S = BC⋅h,S =CD⋅BC，且S = S ，
△BCE 2 矩形ABCD △BCE 4 矩形ABCD
1 1
∴ BC⋅h= CD⋅BC，
2 4
1 1
∴h= CD= AB．
2 2
∵点A，B关于对称轴对称，
3 3 9
∴点E的横坐标为1，此时y=- + + =3，
4 2 4
即点E(1,3)；
3 3 9
（3）解：∵抛物线y=- x2+ x+ ，
4 2 4
3
2
∴对称轴为x=- =1，
3
2×(- )
4
设点P(1,p),Q(m,n),A(-1,0),C(3,3)，
如图，以AC为矩形的对角线，
由中点的坐标可知¿，解得¿．
∵∠APC=90°，
∴PC2+PA2=AC2，
∴(3-1) 2+(3-p) 2+(-1-1) 2+(0-p) 2=(-1-3) 2+(0-3) 2，
解得p=-1或4，
∴点P(1,-1)或(1,4)；
如图，以AC为矩形的边时，
由中点的坐标公式，得¿，
解得¿，
∵∠ACP=90°，
∴PC2+AC2=AP2，
∴(3-1) 2+(3-p) 2+(-1-3) 2+(0-3) 2=(-1-1) 2+(0-p) 2，
17
解得p= ，
3
17
∴点P(1, )；
3
若以AQ为矩形的对角线时，
由中点的坐标公式，得¿，解得¿，
∵∠PAC=90°，
∴AP2+AC2=PC2，
∴(-1-1) 2+(0-p) 2+(-1-3) 2+(0-3) 2=(3-1) 2+(3-p) 2，
8
解得p=- ，
3
8
∴点P(1,- )，
3
17 8
综上所述，点P的坐标为(1,-1)或(1,4)或(1, )或(1,- )．
3 3
3．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，抛物线与轴交于A(-1,0)，B(3,0)，C(0,-3)顶点为D．
(1)抛物线的解析式是___________，顶点D的坐标是___________，对称轴是___________．
(2)M为抛物线上一点，当∠CAM=45°时，求M点坐标．
(3)点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点E，F使得四边形
BDEF是矩形？若存在，求出E，F的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)y=x2-2x-3，顶点D的坐标是(1,-4)，对称轴是直线x=1；
(5 7)
(2)M ,- ；
2 4( 7) ( 1)
(3)E 0,- ，F 2,
2 2
【分析】（1）利用待定系数法解答即可求解；
（2）如图，把AC绕着点A逆时针旋转90°到AG位置，过点G作GH⊥x轴于点H，可证
△AGH≌△CAO(AAS)，得到GH=AO=1，AH=CO=3，即可得G(2,1)，过点A作CG的垂线
1
交CG于点P，交抛物线于点M，可知CP=GP，∠CAM= ∠CAG=45°，利用中点坐标公式可
2
得P(1,-1)，再利用待定系数法求出直线AM的函数解析式，最后联立两函数解析式解方程组即可求
解；
（3）先求出顶点D的坐标，设E(0,t)，F(f ,g)，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可
求解．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3)代入得，
¿，
解得¿，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3=(x-1) 2-4，
∴顶点D的坐标是(1,-4)，对称轴是直线x=1；
（2）解：如图，把AC绕着点A逆时针旋转90°到AG位置，过点G作GH⊥x轴于点H，则
AG=AC，∠CAG=90°，∠AHG=90°，
∴∠GAH+∠CAO=90°，∠GAH+∠AGH=90°，
∴∠AGH=∠CAO，
在△AGH和△CAO中，
¿，
∴△AGH≌△CAO(AAS)，
∴GH=AO=1，AH=CO=3，
∴OH=3-1=2，
∴G(2,1)，
过点A作CG的垂线交CG于点P，交抛物线于点M，
∵AG=AC，∠CAG=90°，
1
∴CP=GP，∠CAM= ∠CAG=45°，
2
即点P为CG的中点，(0+2 -3+1)
∴P , ，
2 2
即P(1,-1)，
设直线AM的函数解析式为y=kx+m，把A(-1,0)、P(1,-1)代入得，
¿，
解得¿，
1 1
∴直线AM的函数解析式为y=- x- ，
2 2
由¿，解得¿，¿，
(5 7)
∴M ,- ；
2 4
（3）解：存在．
∵y=x2-2x-3=(x-1) 2-4，
∴D(1,-4)，
设E(0,t)，F(f ,g)，
如图，
∵DE2+BD2=BE2，∴[(0-1) 2+(t+4) 2]+[(3-1) 2+(0+4) 2]=[(0-3) 2+(t-0) 2]，
整理得，8t=-28，
7
∴t=- ，
2
( 7)
∴E 0,- ，
2
(3 7)
∴对角线交点T的坐标为 ,- ，
2 4
f +1 3 g-4 7
∴ = ， =- ，
2 2 2 4
1
∴f =2，g= ，
2
( 1)
∴F 2, ．
2
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，
二次函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，掌握二次函数的图
象和性质是解题的关键．
4．（2024·四川眉山·一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)与x
轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l:y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物
线的另一个交点为D，且CD=4 AC．
(1)求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；
(2)求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；5
(3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 ，求a的值；
4
(4)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩
形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)A(-1,0)，B(3,0)，对称轴为直线x=1
(2)y=ax+a
2
(3)a=-
5
( 26❑√7)
(4)能，P 1,- 或(1,4)
7
【分析】（1）令y=0解方程即可得到结论，利用对称轴公式求得对称轴；
（2）根据直线l:y=kx+b过A(-1,0)，得到直线l:y=kx+k，解方程得到点D的横坐标为4，求得
k=a，得到直线l的函数表达式为y=ax+a；
（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E(x,ax2-2ax-3a)，得到F(x,ax+a)，求出
EF=ax2-3ax-4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（4）令ax2-2ax-3a=ax+a，即ax2-3ax-4a=0，得到D(4,5a)，设P(1,m)，①若AD是矩形
ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：当y=0时，ax2-2ax-3a=0，
解得：x =-1，x =3，
1 2
∴A(-1,0)，B(3,0)，
-1+3
对称轴为直线x= =1；
2
（2）解：∵直线l:y=kx+b过A(-1,0)，
∴0=-k+b，
即k=b，
∴直线l:y=kx+k，
∵抛物线与直线l交于点A，D，
∴ax2-2ax-3a=kx+k，
即ax2-(2a+k)x-3a-k=0，
∵CD=4 AC，
∴点D的横坐标为4，k
∴-3- =-1×4，
a
∴k=a，
∴直线l的函数表达式为y=ax+a；
（3）解：过E作EF∥y轴交直线l于F，设E(x,ax2-2ax-3a)，
则F(x,ax+a)，EF=ax2-2ax-3a-ax-a=ax2-3ax-4a，
∴S =S -S ，
△ACE △AFE △CEF
1 1
= (ax2-3ax-4a)(x+1)- (ax2-3ax-4a)x，
2 2
1
= (ax2-3ax-4a)，
2
1 ( 3) 2 25
= a x- - a
2 2 8
25
∴△ACE的面积的最大值为- a，
8
5
∵△ACE的面积的最大值为 ，
4
25 5
∴- a= ，
8 4
2
解得a=- ；
5
（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，
令ax2-2ax-3a=ax+a，即ax2-3ax-4a=0，
解得：x =-1，x =4，
1 2
∴D(4,5a)，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
设P(1,m)，
①若AD是矩形ADPQ的一条边，
则Q(-4,21a)，
m=21a+5a=26a，则P(1,26a)，
∵四边形ADPQ是矩形，
∴∠ADP=90°，
∴AD2+PD2=AP2，∴52+(5a) 2+32+(26a-5a) 2=22+(26a) 2，
1
即a2=
，
7
∵a<0，
❑√7
∴a=- ，
7
( 26❑√7)
∴P 1,- ；
7
②若AD是矩形APDQ的对角线，
则Q(2,-3a)，
m=5a-(-3a)=8a，则P(1,8a)，
∵四边形APDQ是矩形，
∴∠APD=90°，
∴AP2+PD2=AD2，
∴(-1-1) 2+(8a) 2+(1-4) 2+(8a-5a) 2=52+(5a) 2，
1
即a2=
，
4
∵a<0，
1
∴a=- ，
2
∴P(1,-4)，
( 26❑√7)
综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P 1,- 或(1,4)．
7【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的图像和性质，平行四边形的性质，勾
股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．（2024·四川眉山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3交坐标轴于B、C两点，抛
物线y=ax2+bx+3经过B、C两点，且交x轴于另一点A(-1,0)．点D为抛物线在第一象限内的一点，
过点D作DQ∥CO，DQ交BC于点P，交x轴于点Q．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P的横坐标为m，在点D的移动过程中，存在∠DCP=∠DPC，求出m的值；
(3)在抛物线上取点E，在平面直角坐标系内取点F，问是否存在以C、B、E、F为顶点且以CB为边
的矩形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2+2x+3
(2)m=2
(3)存在以C、B、E、F为顶点且以CB为边的矩形，此时点E的坐标为(1,4)或(-2,-5)．
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，矩形的性质等等，利用分类讨论的
思想求解是解题的关键．
（1）根据一次函数的解析式求出点B,C的坐标，再利用待定系数法求解即可得；
（2）先根据OB=OC=3求出∠OCB=∠OBC=∠BPQ=∠DPC=45°，从而可得
∠DCO=90°，再根据平行线的判定可得CD∥AB，从而可得点D的纵坐标与点C的纵坐标相同，
即为3，由此即可得；
（3）设点F的坐标为F(s,t)，分两种情况：①四边形BCEF是矩形，②四边形BCFE是矩形，先联
立二次函数和一次函数的解析式求出点E的坐标，再根据矩形的性质求解即可得．
【详解】（1）解：一次函数y=-x+3，
当x=0时，y=3，即C(0,3)，
当y=0时，-x+3=0，解得x=3，即B(3,0)，
把A(-1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx+3得¿，
解得¿，
则抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．（2）解：∵B(3,0)，C(0,3)，
∴OB=OC=3，
∴∠OCB=∠OBC=∠BPQ=∠DPC=45°，
∵∠DCP=∠DPC，
∴∠DCO=90°，
∴CD∥AB，
∴点D的纵坐标与点C的纵坐标相同，即为3，
当y=3时，-x2+2x+3=3，解得x=2或x=0（舍去），
则m=2．
（3）解：存在，求解如下：
设点F的坐标为F(s,t)，
①当四边形BCEF是矩形时，则CE⊥BC，
∵直线BC的解析式为y=-x+3，
∴设直线CE的解析式为y=x+c，
把点C(0,3)代入得c=3，
∴直线CE的解析式为y=x+3，
联立¿，解得¿或¿（即为点C，舍去），
∴E(1,4)，
②当四边形BCFE是矩形时，则BE⊥BC，
设直线BE的解析式为y=x+n，
将点B(3,0)代入得：3+n=0，解得n=-3，
则直线BE的解析式为y=x-3，
联立¿，解得¿或¿（即为点B，舍去），
∴E(-2,-5)，
综上，存在以C、B、E、F为顶点且以CB为边的矩形，此时点E的坐标为(1,4)或(-2,-5)．
6．（2025·宁夏石嘴山·一模）如图1，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B，与y轴交于
点C(0,3)．(1)求抛物线y=-x2+bx+c的解析式；
(2)如图2，连接BC，点P为直线BC上方抛物线上的点，过点P作PM∥y轴交BC于点M，求PM
的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图3，将抛物线y=-x2+bx+c先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛
物线y'，在y'的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是
矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标．
【答案】(1)y=-x2+2x+3
9 (3 15)
(2)PM = ，P ,
max 4 2 4
( 3+❑√17) ( 3-❑√17)
(3)E(5,2)或(-1,2)或 1, 或 1,
2 2
【分析】本题是二次函数的综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，利用
平移的性质解决问题是解本题的关键．
（1）把A(-1,0)和C(0,3)代入y=-x2+bx+c求解即可．
（2）先解得直线BC的解析式为y=-x+3，设P(a,-a2+2a+3)，M(a,-a+3)，得到的PM的值，
3
当a= 时，PM最大即可解答．
2
（3）分情况讨论，当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方；当BC为矩形一边时，且点D在x轴
的上方；当BC为矩形对角线时，分别求解即可．
【详解】（1）解：把A(-1,0)和C(0,3)代入y=-x2+bx+c，得：
¿，解得：¿，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；（2）解：当y=0时，-x2+2x+3=0
解得：x =-1,x =3
1 2
∴B(3,0)
设直线BC的解析式为y=kx+b，把B(3,0)，C(0,3)点的坐标代入得：
¿，解得：¿，
∴直线BC的解析式为y=-x+3
点P为直线BC上方抛物线上的点，
设P(a,-a2+2a+3)，
∴M(a,-a+3)，
∴PM=-a2+2a+3+a-3=-a2+3a=- ( a- 3) 2 + 9 ，
2 4
3 9
当a= 时，PM = ，
2 max 4
(3 15)
∴P ,- ；
2 4
（3）解：∵y=-x2+2x+3=-(x-1) 2+4
将抛物线y=-x2+bx+c先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线y'，
∴y'=-(x-2) 2+5，
y'的对称轴为x=2.
∵B(3,0)，C(0,3)，
∴OC=OB=3，∠BCO=∠CBO=45°如图：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作DF⊥y轴于点F，
∵D在y'的对称轴上，
∴FD=2，
∵∠BCD=90°，∠BCO=45°，
∴∠DCF=45°，
∴CF=FD=2，OF=3+2=5，即点D(2,5)，
∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个
单位可得到点E(5,2)；
如图：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y'的对称轴为x=2与x轴交于点F，
∵D在y'的对称轴上，
∴FO=2，
∴BF=3-2=1，
∵∠CBO=45°，即∠DBO=45°，
∴BF=FD=1，即点D(2,-1)，
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个
单位可得到点E(-1,2)；(3 3)
当BC为矩形对角线时，设D(2,d)，E(m,n)，BC的中点F的坐标为 , ，
2 2
依意得：¿，解得¿，
又∵DE=BC，
∴(2-1) 2+(d-n) 2=32+32，
解得：d-n=±❑√17，
联立¿，
3±❑√17
解得：n= ，
2
( 3-❑√17) ( 3+❑√17)
∴点E的坐标为 1, 或 1, .
2 2
( 3+❑√17) ( 3-❑√17)
综上，存在点E(5,-2)或(-1,-2)或 1, 或 1, ，使得以点B，C，D，E为顶点
2 2
的四边形是矩形．
题型十三 二次函数中菱形存在性问题（共 3 小题）
1．（25-26九年级上·全国·期末）综合运用：如图，一次函数y=x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A
和点C，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A，C两点，并与x轴交于点B．点M(m,0)是线段OA
上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线AC相交于点
E和点D．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)用含m的代数式表示DE，CD；
(3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2-2x+3(2)DE=-m2-3m，CD=-❑√2m
(3)(-1,0)或(-2,0)或(-3+❑√2,0)
【分析】本题考查待定系数法求解析式，两点间距离公式，菱形的性质，综合运用相关知识是解题
的关键．
（1）分别把x=0，y=0代入一次函数y=x+3，求出点C，点A的坐标，将点A，C的坐标代入抛
物线y=-x2+bx+c，求出b，c的值，即可解答；
（2）由题意可得点M，E，D的横坐标相同，因此得到点E(m,-m2-2m+3)，点
D(m,m+3)(-3<m<0)，根据两点间距离公式即可解答；
（3）根据菱形的邻边相等分三种情况：①CE=CD；②CE=DE；③CD=DE求解即可．
【详解】（1）解：将x=0代入一次函数y=x+3，得y=3，
∴点C的坐标为(0,3)，
将y=0代入一次函数y=x+3，得x+3=0，解得x=-3，
∴点A的坐标为(-3,0)，
将点A，C的坐标代入抛物线y=-x2+bx+c，
得¿，解得¿，
∴这个二次函数的解析式为y=-x2-2x+3．
（2）解：∵过点M(m,0)作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线AC相交于点E和点D，
∴点E(m,-m2-2m+3)，点D(m,m+3)(-3<m<0)，
∴DE=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m，
CD=❑√m2+(m+3-3) 2=-❑√2m．
（3）存在．如图，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，分以下三种情况：由（2）可得，点C(0,3)，E(m,-m2-2m+3)，D(m,m+3)(-3<m<0)，
∴CE2=m2+(-m2-2m+3-3) 2 =m2+(-m2-2m) 2 ，
CD2=2m2，
DE2=(-m2-3m) 2 ，
①当CE=CD时，m2+(-m2-2m) 2 =2m2，
解得m =-1，m =-3（舍去），m =0（舍去），
1 2 3
此时点M的坐标为(-1,0)；
②当CE=DE时，m2+(-m2-2m) 2 =(-m2-3m) 2 ，
解得m =-2，m =0(舍去)，
1 2
此时点M的坐标为(-2,0)；
③当CD=DE时，2m2=(-m2-3m) 2 ，
解得m =-3+❑√2，m =-3-❑√2（舍去），m =0（舍去），
1 2 3
此时点M的坐标为(-3+❑√2,0)．
综上所述，存在满足题意的点F，此时点M的坐标为(-1,0)或(-2,0)或(-3+❑√2,0)．
2．（2025·甘肃天水·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx-2与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于
点B，与y轴负半轴交于点C，A(-4,0)，B(1,0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是线段OA上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交AC于1
点F，当DF= EF时，求点E的坐标；
3
(3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，
使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理
由．
1 3
【答案】(1)y= x2+ x-2
2 2
(2)E(-3,-2)
( 5 ❑√11) ( 5 ❑√11) ( 11 )
(3)存在，N - , ，N - ,- ，N - ,-2
1 2 2 2 2 2 3 2
【分析】（1）将点A和B点的坐标带入抛物线方程，采用待定系数法求解．
1
（2）求出直线AC的解析式，设D(a,0)，再根据题意设置F点和E点，利用DF= EF列式计算即
3
可．
（3）根据菱形的性质，对AE是边和对角线两种情况进行分类讨论求解．
【详解】（1）解：将A(-4,0)，B(1,0)代入y=ax2+bx-2，
可得：¿，
解得¿，
1 3
∴抛物线解析式是y= x2+ x-2．
2 2
（2）解：根据（1）可得C(0,-2)，
设直线AC的方程为y=kx+d，
将A(-4,0)，C(0,-2)代入y=kx+d，
可得：¿ ，
解得¿，
1
∴直线AC的解析式为y=- x-2，
2
设D(a,0)，则E ( a, 1 a2+ 3 a-2 ) ，F ( a,- 1 a-2 ) ．
2 2 2
1 1
∴ DF= a+2，EF=- a2-2a，
2 2
1
∵ DF= EF，
3∴ 1 a+2= 1( - 1 a2-2a ) ，
2 3 2
解得a=-3或a=-4（与题意不符，舍去），
将a=-3代入抛物线方程，
1 3
可得： a2+ a-2=-2，
2 2
∴ E(-3,-2)．
故E点坐标为(-3,-2)．
（3）存在点M、N，使四边形AEMN为菱形，理由如下：
当四边形AEMN是菱形时，△AEM是等腰三角形．
3
根据题意，AD=1，DE=2，对称轴为- ，
2
根据勾股定理可得AE=❑√5，
①当AE是边，
当AM=AE=❑√5，
5
∵点A到直线l的距离为 >❑√5，
2
∴点M不存在；
当EM=AE=❑√5，如下图所示，
过点E作EH⊥l于点H，
3
∴ y = y =-2，EH= ，
H E 2
❑√11
在Rt△EHM中，根据勾股定理得MH= ，
2
❑√11 ❑√11
∴ y 的值为-2+ 或-2- ，
M 2 2( 3 ❑√11) ( 3 ❑√11)
∴ M - ,-2+ ，M - ,-2- ，
1 2 2 2 2 2
( 3 ❑√11)
当点M为 - ，-2+ ，由EM=AN，
2 2
5
x -x =x -x ，解得x =- ，
M E N A N 2
❑√11
y - y = y - y ，解得y = ，
M E N A N 2
( 5 ❑√11)
故点N 的坐标为 - ， ，
1 2 2
( 5 ❑√11)
同理可得N 的坐标为 - ,- ．
2 2 2
②当AE是对角线，
可得MA=ME，M A2=M E2，
设M ( - 3 ,n ) ，则有n2+ (5) 2 =(n+2) 2+ (3) 2 ，
2 2 2
( 3 )
解得：n=0，M - ,0 ，由EN=M A,
3 2 3
11
x -x =x -x ，解得x =- ，
E N M A N 2
y - y = y - y ，解得y =-2，
E N M A N
( 11 )
故点N 的坐标为 - ,-2 ，
3 2
( 5 ❑√11) ( 5 ❑√11) ( 11 )
综上，N的坐标为： - , 或 - ,- 或 - ,-2 ．
2 2 2 2 2
【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，运用待定系数法求函数解析式，菱形的性质．根据菱
形性质，采用分类讨论法，正确设参数、列方程是解题关键．
3．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y
轴于点C，点B的坐标为(1,0)，对称轴是直线x=-1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求△ACN面积的最大值，
(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？
若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=x2+2x-3
27
(2)S 最大值为
△ACN 8
(3)Q的坐标为(0,-1)或(0,-1-3❑√2)或(0,-1+3❑√2)
【分析】（1）由抛物线对称轴是直线x=-1，点B的坐标为(1,0)，得点A的坐标为(-3,0)，故二次
函数解析式为y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3；
3( 3) 2 27
（2）连接ON，设P(m,0)，则N(m,m2+2m-3)，得S =- m+ + ，根据二次函数的
△ACN 2 2 8
性质可得答案；
（3）由A(-3,0)，C(0，-3)得直线AC解析式为y=-x-3，设Q(0,t)，P(n,0)，则
M(n,-n-3)，N(n,n2+2n-3)，由MN∥CQ，知MN，CQ是一组对边；分两种情况：①当
MC，NQ为对角线时，MC，NQ的中点重合，且CN=CQ，②当MQ，CN为对角线时，
MQ，CN的中点重合，且CQ=CM，分别列出方程组，即可解得答案．
【详解】（1）解：∵抛物线对称轴是直线x=-1，点B的坐标为(1,0)，
∴点A的坐标为(-3,0)，
∴二次函数解析式为y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3；
（2）解：连接ON，如图：设P(m,0)，则N(m,m2+2m-3)，
在y=x2+2x-3中，令x=0得y=-3，
∴C(0,-3)，
∴OC=3，
∴S =S +S -S
△ACN △AON △CON △AOC
1 1 1
= ×3(-m2-2m+3)+ ×3(-m)- ×3×3
2 2 2
3 9
=- m2- m
2 2
3( 3) 2 27
=- m+ + ，
2 2 8
3
∵- <0，
2
3 27
∴当m=- 时，S 取得最大值，且最大值为 ；
2 △ACN 8
（3）解：在y轴上存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：
由A(-3,0)，C(0,-3)得直线AC解析式为y=-x-3，
设Q(0,t)，P(n,0)，则M(n,-n-3)，N(n,n2+2n-3)，
∵MN∥CQ，
∴当M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形时，MN，CQ是一组对边；
当MC，NQ为对角线时，MC，NQ的中点重合，且CN=CQ，
∴¿，
解得：¿（此时M，N与C重合，舍去）或¿，
∴Q(0,-1)；
②当MQ，CN为对角线时，MQ，CN的中点重合，且CQ=CM，∴¿，
解得：¿（舍去）或¿或¿，
∴Q(0,-1-3❑√2)或(0,-1+3❑√2)；
综上所述，Q的坐标为(0,-1)或(0,-1-3❑√2)或(0,-1+3❑√2)．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，菱形性质及应用，
解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线C :y=-x2+bx+c与y轴相交于点C(0,1)，对称轴为
1
直线x=2．坐标原点为O点，抛物线C 的对称轴交x轴于A点．
1
(1)抛物线的关系表达式；
(2)将抛物线C 向左平移2个单位长度得到抛物线C ，C 与C 相交于点E，点F为抛物线C 对称轴上
1 2 2 1 1
的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，若存在，
请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2+4x+1
(2)点H 的坐标为(-1,3)或(1,-2)或(3,4+❑√6)或(3,4-❑√6)
【分析】本题考查了利用待定系数法求点的坐标以及设点的坐标的能力，同时还考查了二次函数图
象平移的性质与数形结合分析图形并求解点的坐标的能力．
（1）由对称轴方程可求出b=4，由点C(0,1)代入可求出c=1，从而可得抛物线的解析式为
y=-x2+4x+1；
（2）求出点E坐标，设H(a,b),F(2,t)，分CF,EF为邻边，CE,FH为对角线；CE,CF为邻边，
EF,CH为对角线；CE,EF为邻边，CF,EH为对角线三种情况，以邻边相等求出t，根据中点坐标
公式求出a,b的值即可解决问题．
【详解】（1）解：∵抛物线C ：y=-x2+bx+c与y轴相交于点C(0,1)，
1∴c=1；
∵抛物线的对称轴为直线x=2．
b
∴
- =2，
2×(-1)
∴b=4，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x+1；
（2）解：∵y=-x2+4x+1=-(x-2) 2+5
向左平移两个单位后抛物线的解析式为y=-(x-2+2) 2+5=-x2+5，
联立¿，
解得¿，
∴E(1,4)，
∵抛物线y=-x2+4x+1的对称轴为直线x=2,
∴可设F(2,t), H(a,b),
①如图，CF,EF为邻边，CE,FH为对角线时；
CF2=(2-0) 2+(t-1) 2=t2-2t+5 EF2=(2-1) 2+(t-4) 2=t2-8t+17
； ，
又CF2=EF2，
∴t2-2t+5=t2-8t+17，
解得，t=2，
∴F(2,2)，
(1+0 1+4) (1 5)
又CE的中点坐标为 , ，即 , ，
2 2 2 2
a+2 1 b+2 5
∴ = ， = ，
2 2 2 2
∴a=-1,b=3，
∴H(-1,3)；
②CE,CF为邻边，EF,CH为对角线时，如图，同理：EC2=(1-0) 2+(4-1) 2=10,CF2=(2-0) 2+(t-1) 2=t2-2t+5
又CE2=CF2
∴t2-2t+5=10，
解得，t=1±❑√6，
当t=1+❑√6时，F(2,1+❑√6)，
(3 5+❑√6)
EF的中点坐标为 , ，
2 2
a 3 b+1 5+❑√6
∴ = , = ，
2 2 2 2
∴a=3,b=4+❑√6，
∴H(3,4+❑√6)；
当t=1-❑√6,时，F(2,1-❑√6)，
(3 5-❑√6)
EF的中点坐标为 , ，
2 2
a 3 b+1 5-❑√6
∴ = , = ，
2 2 2 2
∴a=3,b=4-❑√6，
∴H(3,4-❑√6)；
③CE,EF为邻边，CF,EH为对角线，如图，同理：EC2=(1-0) 2+(4-1) 2=10,EF2=(2-1) 2+(t-4) 2=t2-8t+17，
又EC2=EF2，
∴t2-8t+17=10
解得，t=1,t=7（C、E、F三点共线，不符合题意舍去），
∵F(2,1)，
∴CF的中点坐标为(1,1)，
a+1 b+4
∴ =1, =1，
2 2
解得，a=1,b=-2，
∴H(1,-2)，
综上，点H 的坐标为(-1,3)或(1,-2)或(3,4+❑√6)或(3,4-❑√6)．
题型十四 二次函数中正方形存在性问题（共 4 小题）
1．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A(2,4)在抛物线y=ax2上，过点
A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C，D在线段AB上，分别过点C，D作x轴的垂线，交抛
物线于E，F两点．
(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)当四边形CDFE为正方形时，求线段CD的长．
【答案】(1)y=x2
(2)2❑√5-2【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是
解决本题的关键．
（1）将点A(2,4)代入抛物线中求出解析式为y=x2；
（2）设CD=CE=2x，进而求得E点坐标为(x,4-2x)，代入y=x2中即可求解．
【详解】（1）将点A(2,4)代入抛物线y=ax2中，得4=4a
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x2；
（2）设CD、EF分别与y轴交于点M和点N，
当四边形CDFE为正方形时，设CD=CE=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x，
∴E点坐标为(x,4-2x)，代入抛物线y=x2中，
得到：4-2x=x2，
解得x =-1+❑√5，x =-1-❑√5（负值舍去），
1 2
∴CD=2x=2❑√5-2．
2．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，
其中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且OA=OC=5．
(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)点P为抛物线对称轴上的一动点，当PB+PC的值最小时，求点P的坐标；
(3)在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F、M为
顶点作四边形PEFM，当四边形PEFM为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标．
【答案】(1)y=x2+4x-5(2)(-2,-3)
(3)M(-4,-3)或M(1,-3)或M(0,-3)或M(-5,-3)
【分析】（1）由题意，可得A(-5,0),C(0,-5)．把点A， C的坐标代入y=x2+bx+c，得到关于
b ， c的二元一次方程组，解方程组即可求出抛物线的函数解析式；
（2）利用配方法求出抛物线的对称轴是直线x=-2．由抛物线y=x2+4x-5与x轴交于点A， B，
得出点A， B关于直线x=-2对称．连接AC，交对称轴于点P，根据两点之间线段最短可知此时
PB+PC的值最小．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-x-5，把x=-2代入，求出y=-3，
进而得出点P的坐标；
（3）在（2）条件下，点P的坐标为(-2,-3)．设F(x,x2+4x-5)，根据正方形的性质可得
E(-2,x2+4x-5),M(x,-3),PM=PE，根据两点间的距离公式列出方程
|x+2|=|x2+4x-5+3|，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意，可得A(-5,0),C(0,-5)．
∵抛物线y=x2+bx+c过点A，点C，
∴¿，
解得¿，
∴抛物线对应的函数解析式为y=x2+4x-5；
（2）解：∵y=x2+4x-5=(x+2) 2-9，
∴对称轴是直线x=-2．
∵抛物线y=x2+4x-5与x轴交于点A，B，
∴点A，B关于直线x=-2对称．
连接AC，交对称轴于点P，此时PB+PC=PA+PC=AC的值最小．
设直线AC的解析式为y=mx+n，则¿，解得¿，
∴直线AC的解析式为y=-x-5，
当x=-2时，y=-3，
∴点P的坐标为(-2,-3)；
（3）解：在（2）条件下，点P的坐标为(-2,-3)．
设F(x,x2+4x-5)，
∵四边形PEFM为正方形，
∴E(-2,x2+4x-5),M(x,-3),PM=PE，
∴|x+2|=|x2+4x-5+3|，
∴x2+4x-2=x+2，或x2+4x-2=-x-2，
整理得x2+3x-4=0，或x2+5x=0，
解得x =-4,x =1,x =0,x =-5，
1 2 3 4
∴M(-4,-3)或M(1,-3)或M(0,-3)或M(-5,-3)．
【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线与直线的解析式，二次函数
的性质，轴对称的性质，正方形的性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题
的关键．
3．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，抛物线经过A(-1,0),C(4,0),D(3,-4)三点．(1)求抛物线的解析式．
(2)探究在抛物线上是否存在点P，使S =2S ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试
△PBC △DBC
说明理由．
(3)直线AD交y轴于点G，M是线段GD上动点，MN∥x轴与抛物线CD段交于点N．MF⊥x轴于
F，NH⊥x轴于H，当四边形MFHN是正方形时，求点M的坐标
【答案】(1)y=x2-3x-4
(2)(2+❑√10,4+❑√10)或(2-❑√10,4-❑√10)
(5 9)
(3)M ,-
4 4
【分析】（1）设抛物线的解析式解析式为y=a(x+1)(x-4)，将D(3,-4)代入计算即可；
（2）先求出B(0,-4)，过点P作x轴的垂线，交BC于点Q，求出直线BC的解析式为y=x-4，设
P(p,p2-3p-4)，则Q(p,p-4)，求出PQ=|p2-3p-4-(p-4)|=|p2-4 p|，再根据
S =2S 建立方程求解即可；
△PBC △DBC
（3）求出直线AD的解析式为y=-x-1，设M(m,-m-1)(0≤m≤3)，N(n,n2-3n-4)(n>m)，
根据题意得到F(m,0)，H(n,0)，求出MF=m+1,MN=n-m,NH=-n2+3n+4，由四边形
MFHN是正方形，建立方程组¿，转化为m+1=-(2m+1) 2+3(2m+1)+4，求解即可．
【详解】（1）解：根据题意：设抛物线的解析式解析式为y=a(x+1)(x-4)，将D(3,-4)代入得：
-4=a(3+1)×(3-4)，
解得：a=1，则抛物线的解析式解析式为y=(x+1)(x-4)=x2-3x-4；
（2）解：将x=0代入y=x2-3x-4，则y=-4，
∴B(0,-4)，
过点P作x轴的垂线，交BC于点Q，
设直线BC的解析式为y=kx-4，则0=4k-4，解得：k=1，
∴直线BC的解析式为y=x-4，
设P(p,p2-3p-4)，则Q(p,p-4)，
∴PQ=|p2-3p-4-(p-4)|=|p2-4 p|，
∵B(0,-4)，D(3,-4)，
∴BD=3,BD∥x轴，
∵S =2S ，
△PBC △DBC
1 1 1 1
∴ PQ·x =2× BD·|y |，即 ×4×|p2-4 p|=2× ×3×4，
2 C 2 D 2 2
∴|p2-4 p|=6，
当p2-4 p=6时，解得：p=2+❑√10或p=2-❑√10，
则p2-3p-4=(2+❑√10) 2-3×(2+❑√10)-4=4+❑√10或
p2-3p-4=(2-❑√10) 2-3×(2-❑√10)-4=4-❑√10，
∴点P的坐标为(2+❑√10,4+❑√10)或(2-❑√10,4-❑√10)；
当p2-4 p=-6时，方程无解；综上，点P的坐标为(2+❑√10,4+❑√10)或(2-❑√10,4-❑√10)；
（3）解：设直线AD的解析式为y=k'x+b，
则¿，解得：¿，
∴直线AD的解析式为y=-x-1，
设M(m,-m-1)(0≤m≤3)，N(n,n2-3n-4)(n>m)，
∵MN∥x轴与抛物线CD段交于点N，MF⊥x轴于F，NH⊥x轴于H，
∴F(m,0)，H(n,0)，
∴MF=m+1,MN=n-m,NH=-n2+3n+4，
∵四边形MFHN是正方形，
∴MN=NH=FH=MF，
∴¿，
∴n=2m+1，
∴m+1=-(2m+1) 2+3(2m+1)+4，即4m2-m-5=0，
5
解得：m= 或m=-1（舍去），
4
5 9
则-m-1=- -1=- ，
4 4
(5 9)
∴M ,- ．
4 4
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何的综合、一次函数解析式，
正方形的性质性质等知识定，掌握数形结合思想成为解题的关键．
4．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A,B两点（点A在点B
的左边），与y轴相交于点C(0,-3)，且抛物线的顶点坐标为(1,-4)．(1)求抛物线的表达式；
(2)P是抛物线上位于第四象限的一点，点D(0,-1)，连接BC,DP相交于点E，连接PB．若△CDE
与△PBE的面积相等，求点P的坐标；
(3)M,N是抛物线上的两个动点，分别过点M,N作直线BC的垂线段，垂足分别为G,H．是否存在
点M,N，使得以M,N,G,H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，
说明理由．
【答案】(1)y=x2-2x-3
(7 20)
(2)P ,-
3 9
(3)存在，正方形的边长为9❑√2或❑√2
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）作PF⊥x轴，垂足为点F，设P(m,m2-2m-3)，则：OF=m,PF=-m2+2m+3，
BF=3-m，根据△CDE与△PBE的面积相等，推出S =S =S +S ，列出方程进
△BOC ODPB △PFB ODPF
行求解即可；
（3）存在点M，N使四边形MNHG为正方形，如图所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，
过N作NE∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，设M(x ,y ),N(x ,y )，设直线
1 1 2 2
MN解析式为y=-x+b，与二次函数解析式联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数
关系表示出N F2，由△MNF为等腰直角三角形，得到M N2=2N F2，若四边形MNHG为正方形，
得到N H2=M N2，求出b的值，进而确定出MN的长，即为正方形边长．
【详解】（1）解：∵抛物线与y轴相交于点C(0,-3)，且抛物线的顶点坐标为(1,-4)．
∴设抛物线的解析式为：y=a(x-1) 2-4，把C(0,-3)代入，得：a(0-1) 2-4=-3，
∴a=1，
∴y=(x-1) 2-4=x2-2x-3；
（2）当y=x2-2x-3=0时，解得：x =3,x =-1，
1 2
∴B(3,0)，
∵C(0,-3)，
∴设直线BC的解析式为：y=kx-3，把B(3,0)代入，得：k=1，
∴y=x-3，
作PF⊥x轴，垂足为点F，设P(m,m2-2m-3)，则：OF=m,PF=-m2+2m+3，
∴BF=3-m，
∵△CDE与△PBE的面积相等，
∴S +S =S +S ，即：S =S =S +S ，
△CDE ODEB △PBE ODEB △BOC ODPB △PFB ODPF
∵D(0,-1)，
∴OD=1，
1 1 1
∴ ×3×3= ×(-m2+2m+3)(3-m)+ ×(-m2+2m+3+1)m，
2 2 2
7
解得：m= 或m=0（舍去）；
3
(7 20)
∴P ,- ；
3 9
（3）存在点M，N使四边形MNHG为正方形，如图所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NE∥y轴，则有△MNF与△NEH都
为等腰直角三角形，MN∥BC，
由（2）可知，直线BC的解析式为y=x-3，
设M(x ,y ),N(x ,y )，直线MN解析式为y=x-b，
1 1 2 2
联立得：¿，
消去y得：x2-3x+b-3=0，
∴N F2=|x -x | 2=(x +x ) 2-4x x =21-4b，
1 2 1 2 1 2
∵△MNF为等腰直角三角形，
∴M N2=2N F2=42-8b，
∵E(x ,x -3)，
2 2
∴N E2=[y -(x -3)] 2 =(x -b-x +3) 2=(b-3) 2，
2 2 2 2
∴N H2= (❑√2 NE ) 2 = 1 (b-3) 2，
2 2
∵四边形MNHG为正方形，
∴N H2=M N2，
1
∴42-8b= (b2-6b+9)，
2
整理得：b2+10b-75=0，
解得：b=-15或b=5，
∵正方形边长为MN=❑√42-8b，
∴MN=9❑√2或❑√2．即正方形的边长为9❑√2或❑√2．【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，
等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定
系数法是解本题的关键．
