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第 13 讲 二次函数图象与性质
目 录
题型01 判断函数类型
题型02 已知二次函数的概念求参数值
题型03 利用待定系数法求二次函数的解析式（一般式）
题型04 利用待定系数法求二次函数的解析式（顶点式）
题型05 利用待定系数法求二次函数的解析式（交点式）
题型06 根据二次函数解析式判断其性质
题型07 将二次函数的一般式化为顶点式
题型08 利用五点法绘二次函数图象
题型09 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
题型10 二次函数平移变换问题
题型11 已知抛物线对称的两点求对称轴
题型12 根据二次函数的对称性求字母的取值范围
题型13 根据二次函数的性质求最值
题型14 根据二次函数的最值求字母的取值范围
题型15 根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围
题型16 根据二次函数的增减性求字母的取值范围
题型17 根据二次函数图象判断式子符号
题型18 二次函数图象与各项系数符号
题型19 二次函数、一次函数综合
题型20 二次函数、一次函数、反比例函数图象综合
题型21 抛物线与x轴交点问题
题型22 求x轴与抛物线的截线长
题型23 根据交点确定不等式的解集
题型24 二次函数与斜三角形相结合的应用方法
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题型 01 判断函数类型
1．（2022·北京房山·统考一模）某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm，把这个长
方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
2．（2023·北京东城·北京市广渠门中学校考模拟预测）用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为
xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与
x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．二次函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
3．（2023·北京石景山·统考二模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CA=CB=10．点P是CB边上
一动点（不与C，B重合），过点P作PQ⊥CB交AB于点Q．设CP=x，BQ的长为y，△BPQ的面积为
S，则y与x，S与x满足的函数关系分别为（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系
题型 02 已知二次函数的概念求参数值
1．（2023·四川南充·统考一模）点P(a,9)在函数y=4x2−3的图象上，则代数式(2a+3)(2a−3)的值等
于 ．
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2．（2020·陕西西安·西安市大明宫中学校考三模）已知二次函数y=(m−1)xm2−3的图象开口向下，则m的
值为 ．
3．（2021·四川凉山·统考模拟预测）若y＝（m﹣1）x|m|+1+8mx﹣8是关于x的二次函数，则其图象与x轴
的交点坐标为 ．
题型 03 利用待定系数法求二次函数的解析式（一般式）
1．（2021·广东广州·统考中考真题）抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)、(3,0)，且与y轴交于点(0,−5)，
则当x=2时，y的值为（ ）
A．−5 B．−3 C．−1 D．5
2．（2022·山东泰安·统考中考真题）抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x -2 -1 0 1
y 0 4 6 6
下列结论不正确的是（ ）
1
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x=
2
25
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0) D．函数y=ax2+bx+c的最大值为
4
3．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）已知函数y=−x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），
（﹣6，﹣3）．
(1)求b，c的值．
(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
题型 04 利用待定系数法求二次函数的解析式（顶点式）
1．（2023·江苏泰州·校考三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为(4，−3)，
该图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1．
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(1)求该二次函数的表达式；
(2)求tan∠ABC．
2．（2023·河北廊坊·校考三模）如图，二次函数的图象经过点(0,−1)，顶点坐标为(2,3)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当0≤x≤3时，y的取值范围为 ；
(3)直接写出该二次函数的图象经过怎样的平移恰好过点(0,−4)，且与x轴只有一个公共点．
题型 05 利用待定系数法求二次函数的解析式（交点式）
1．（2023·江苏扬州·统考二模）已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(−1,0)、(3,0)和(0,3)，当
x=2时，y的值为 ．
2．（2022·山东威海·统考一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于
A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点(x，y)的坐标值：
﹣
x … 0 1 2 3 …
1
y … 0 3 4 3 0 …
则这条抛物线的解析式为 ．
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题型 06 根据二次函数解析式判断其性质
1．（2022·广东江门·鹤山市沙坪中学校考模拟预测）关于二次函数y=x2+2x−8，下列说法正确的是（
）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为(0，−9)
C．图象与x轴的交点坐标为(−2,0)和(4,0)
D．y的最小值为−9
1
2．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考二模）对于二次函数y=− x2+2x+1的性质，下列叙述正确的是
2
（ ）
A．当x>0时，y随x增大而减小 B．抛物线与直线y=x+2有两个交点
1
C．当x=2时，y有最小值3 D．与抛物线y=− x2 形状相同
2
3．（2023·广东深圳·校考三模）关于二次函数y=−2(x−1) 2+6，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴是直线x=−1 B．图象与x轴没有交点
C．当x=1时，y取得最小值，且最小值为6 D．当x>2时，y的值随x值的增大而减小
题型 07 将二次函数的一般式化为顶点式
1．（2023·浙江·模拟预测）要得到y=−2x2−12x−19图象，只需把抛物线y=−2x2−4x−1图象如何
变换得到（ ）
A．向左平移2个单位、向上平移2个单位 B．向左平移2个单位、向下平移2个单位
C．向右平移2个单位、向上平移2个单位 D．向右平移2个单位、向下平移2个单位
2．（2023·陕西渭南·统考二模）将抛物线y=ax2+bx−2（a、b是常数，a≠0）向下平移2个单位长度后，
1
得到的新抛物线恰好和抛物线y= x2+x−4关于y轴对称，则a、b的值为（ ）
2
1 1
A．a=−1，b=−2 B．a=− ，b=−1 C．a= ，b=−1 D．a=1，b=2
2 2
3．（2021·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线
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y=x2−2mx+m2+2m+1的顶点一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型 08 利用五点法绘二次函数图象
1．（2022·安徽合肥·统考二模）在函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图形研
3
究函数性质及其应用的过程，以下是研究三次函数y=ax3+ x2 (a≠0)的性质时，列表和描点的部分过程，
4
请按要求完成下列各小题．
x … −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 …
25 27 5 7
y … 0 m n 0 …
8 8 8 8
(1)表格中m=______，n=______，并在给出的坐标系中用平滑的曲线画出该函数的大致图象；
1 3
(2)结合图象，直接写出
x+3≤ax3+ x2
的解集为：______．
2 4
2．（2022·广东深圳·统考二模）小明为了探究函数M：y=−x2+4|x|−3的性质，他想先画出它的图象，
然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题．
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(1)完成函数图象的作图，并完成填空．
①列出y与x的几组对应值如下表：
x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y … -8 -3 0 1 0 -3 0 1 0 a -8 …
表格中，a=_______；
②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x>0时函数M的图象；
③观察图象，当x=______时，y有最大值为_______；
(2)求函数M：y=−x2+4|x|−3与直线l：y=2x−3的交点坐标；
(3)已知P（m，y ），Q（m+1，y ）两点在函数M的图象上，当y <y 时，请直接写出m的取值范围．
1 2 1 2
题型 09 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质
1．（2021·湖北武汉·统考中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c=0，下列
四个结论：
①若抛物线经过点(−3,0)，则b=2a；
②若b=c，则方程cx2+bx+a=0一定有根x=−2；
③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
④点A(x ,y )，B(x ,y )在抛物线上，若0<a<c，则当x <x <1时，y >y ．
1 1 2 2 1 2 1 2
其中正确的是 （填写序号）．
2．（2021·湖北武汉·统考二模）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过A（0，3），B（4，
3）．
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下列四个结论：
①4a+b＝0；
②点P（x，y），P（x，y）在抛物线上，当|x﹣2|﹣|x﹣2|＞0时，y＞y；
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
3
③若抛物线与x轴交于不同两点C，D，且CD≤6，则a≤− ；
5
2
④若3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，则﹣1＜a≤− ．
3
其中正确的结论是 （填写序号）．
3．（2022·广东珠海·统考二模）已知抛物线的解析式为y=x2−(m+2)x+m+1（m为常数），则下列说
法正确的是 ．
①当m=2时，点(2,1)在抛物线上；
②对于任意的实数m，x=1都是方程x2−(m+2)x+m+1=0的一个根；
③若m>0，当x>1时，y随x的增大而增大；
④已知点A(−3,0),B(1,0)，则当−4≤m<0时，抛物线与线段AB有两个交点．
4．（2020·山东泰安·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的y与x的部分对应
值如下表：
x −5 −4 −2 0 2
y 6 0 −6 −4 6
下列结论：
①a>0；
②当x=−2时，函数最小值为−6；
③若点(−8,y )，点(8,y )在二次函数图象上，则y <y ；
1 2 1 2
④方程ax2+bx+c=−5有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填上）
题型 10 二次函数平移变换问题
1．（2021·江苏苏州·统考中考真题）已知抛物线y=x2+kx−k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右
平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ）
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A．−5或2 B．−5 C．2 D．−2
2．（2021·贵州黔东南·统考中考真题）如图，抛物线L :y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个公共点A
1
（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L ，
2
则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2021·山西·统考中考真题）抛物线的函数表达式为y=3(x−2) 2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，
将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）
A．y=3(x+1) 2+3 B．y=3(x−5) 2+3
C．y=3(x−5) 2−1 D．y=3(x+1) 2−1
4．（2022·山东聊城·统考二模）平面直角坐标系中，将抛物线y=−x2平移得到抛物线C，如图所示，且
抛物线C经过点A(−1,0)和B(0,3)，点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为
Q，则OQ+PQ的最大值为 ．
5．（2022·安徽宣城·统考二模）将二次函数y=−x2−4x+1的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个
单位．
（1）若平移后的二次函数图象经过点(1,−1)，则a＝ ．
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（2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为 ．
题型 11 已知抛物线对称的两点求对称轴
1．（2022·广东中山·校联考三模）已知抛物线y =ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点的横坐标分别是－3
1
和1，若抛物线y =ax2+bx+c+m(m>0)与x轴有两个交点A，B，点A的坐标是(4,0)，则点B的坐标是
2
．
2．（2022·江苏无锡·校考一模）若函数图像y=x2+bx+c与x轴的两个交点坐标为(−1,0)和(3,0)，则b=
．
3．（2022·浙江温州·校联考模拟预测）若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A(m,n)，
B(m−4,n)，则n的值为 ．
4．（2022·广东揭阳·揭阳市实验中学校考模拟预测）在二次函数y=x2+4x+k的图像上有点
(−5,y ),(−3,y ),(2,y )．则y ,y ,y 的大小关系是（ ）
1 2 3 1 2 3
A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
1 2 3 1 3 2 3 1 2 2 1 3
5．（2021·湖南益阳·统考中考真题）已知y是x的二次函数，下表给出了y与x的几对对应值：
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 11 a 3 2 3 6 11 …
由此判断，表中a= ．
6．（2023·上海·一模）二次函数y=ax2+bx+c图像上部分点的坐标满足如表：
x … −4 −3 −2 −1 0 …
y … m −3 −2 −3 −6 …
那么m的值为 ．
题型 12 根据二次函数的对称性求字母的取值范围
1．（2023·浙江杭州·一模）点A(x ,y )，B(x ,y )在抛物线y=ax2−2ax−3(a≠0)上，存在正数m，使
1 1 2 2
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得−2<x <0且m<x <m+1时，都有y ≠ y ，则m的取值范围是（ ）
1 2 1 2
A．1<m≤4 B．2<m≤4
C．0<m≤1或m≥4 D．1<m≤2或m≥4
2．（2023·浙江·统考一模）已知二次函数y=x2−4x+2，关于该函数在a≤x≤3的取值范围内有最大值
−1，a可能为（ ）
A．−2 B．−1 C．0.5 D．1.5
题型 13 根据二次函数的性质求最值
1．（2022·安徽滁州·统考二模）已知实数x，y满足x+ y=12，则xy−2的最大值为（ ）
A．10 B．22 C．34 D．142
1
2．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）关于二次函数y= x2−6x+a+27，下列说法错误的是（ ）
4
A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点(4,5)，则a=−5
B．当x=12时，y有最小值a−9
C．x=2对应的函数值比最小值大7
D．当a<0时，图象与x轴有两个不同的交点
3．（2020·浙江舟山·统考中考真题）已知二次函数y=x2，当a≤x≤b时m≤ y≤n，则下列说法正确的是(
)
A．当n−m=1时，b−a有最小值
B．当n−m=1时，b−a有最大值
C．当b−a=1时，n−m无最小值
D．当b−a=1时，n−m有最大值
4．（2020·江苏镇江·统考中考真题）点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m
﹣n的最大值等于（ ）
15 15 17
A． B．4 C．﹣ D．﹣
4 4 4
题型 14 根据二次函数的最值求字母的取值范围
1．（2021·山东济南·统考一模）函数y=−x2+4x−3，当0≤x≤m时，此函数的最小值为−3，最大值为
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1，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m<2 B．0≤m≤4 C．2≤m≤4 D．m>4
2．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考模拟预测）已知二次函数y=−x2+2mx−m2+3，当
2m−1<x≤2m时，函数的最大值为y=3，则m的取值范围是 ．
3．（2021·内蒙古呼和浩特·统考二模）对于二次函数y=x2−4x+3，图象的对称轴为 ，当
自变量x满足a≤x≤3时，函数值y的取值范围为−1≤ y≤0，则a的取值范围为 ．
题型 15 根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围
1．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）已知实数m，n满足等式m2−2m+4n−27=0．若0<m<3，则n的
取值范围是（ ）
27 27
A．n≤7 B．6<n< C．6<n≤7 D． <n≤7
4 4
2．（2022·河南南阳·统考一模）已知二次函数y=−2x2+4x+3，当−1≤x≤2时，y的取值范围是（ ）
A．y≤5 B．y≤3 C．−3≤ y≤3 D．−3≤ y≤5
3．（2022上·辽宁抚顺·九年级统考阶段练习）已知二次函数y=x2−2x+1，当−5≤x≤3时，y的取值范
围是 ．
题型 16 根据二次函数的增减性求字母的取值范围
1．（2023·江苏泰州·统考二模）已知抛物线y=−x2−4mx+m2−1，A(−2m−4,y )，B(m+3,y )为该
1 2
抛物线上的两点，若y <y ，则m的取值范围（ ）
1 2
7 1 7 1 7 1
A．m<− B．m> C．m<− 或m> D．− <m<
3 3 3 3 3 3
2．（2022·湖南株洲·统考二模）当函数y=(x−1) 2−2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是
．
3．（2023·上海崇明·统考一模）如果抛物线y=(m−2)x2有最高点，那么m的取值范围是 ．
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题型 17 根据二次函数图象判断式子符号
1．（2020·广东·统考中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1．下列结论：①abc>0；②
b2−4ac>0；③8a+c<0；④5a+b+2c>0，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2022·贵州毕节·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如
图所示，有下列5个结论：①abc>0；②2a−b=0；③9a+3b+c>0；④b2>4ac；⑤a+c<b．其中正
确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，
0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0 B．3a+c＞0
2
C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣
3
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题型 18 二次函数图象与各项系数符号
1．（2022·湖南株洲·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx−c(a≠0)，其中b>0、c>0，则该函数的
图象可能为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·湖北襄阳·统考中考真题）一次函数y=ax+b的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx的图象
可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022下·全国·九年级专题练习）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下
列说法错误的是（ ）
A．a＜0，b＞0
B．b2﹣4ac＞0
C．方程ax2＋bx＋c＝0的解是x＝5，x＝﹣1
1 2
D．不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是0＜x＜5
题型 19 二次函数、一次函数综合
1．（2022·安徽·校联考三模）已知函数y=(x−m)(x−n)（其中m<n）的图象如图所示，则函数
y=nx+m的图象可能正确的是（ ）
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A． B． C． D．
2．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，函数y=ax2+bx+c与y=x−1的图象如图所示，以下结论
正确的是（ ）
A．bc<0 B．a+b+c>0
C．2a+b=1 D．当0<x<2时， ax2+(b−1)x+c+1>0
3．（2019·四川·统考中考真题）在同一坐标系中，二次函数y=ax2+bx与一次函数y=bx−a的图像可能
是（ ）
A． B． C． D．
题型 20 二次函数、一次函数、反比例函数图象综合
1．（2021·贵州黔东南·统考一模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+c与反比
b
例函数y= 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
x
A． B． C． D．
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2．（2022·山东菏泽·统考中考真题）根据如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断反比例函数
a
y= 与一次函数y=bx+c的图象大致是（ ）
x
A． B． C． D．
c
3．（2020·山东青岛·中考真题）已知在同一直角坐标系中二次函数y=ax2+bx和反比例函数y= 的图象
x
c
如图所示，则一次函数y= x−b的图象可能是（ ）
a
A． B． C． D．
题型 21 抛物线与 x 轴交点问题
1．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知二次函数y=x2+bx+c+1的图象过点P(2，−1)
(1)求证：c=−2b−6；
(2)求证：此二次函数的图象与x轴必有两个交点；
(3)若二次函数的图象与x轴交于点A(x ，0)、B(x ，0)，AB=4，求b的值．
1 2
2．（2023·云南昆明·云南师范大学实验中学校考模拟预测）已知二次函数y=(m−1)x2−2mx+m+1．
(1)求证：该二次函数图象与x轴有两个交点；
(2)当该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数时，求整数m的值．
3．（2023·山东青岛·校考一模）已知D(s,t)是二次函数y=2x2+bx−1（b为常数）的顶点．
1
(1)若二次函数经过点(1, b)，求b的值．
2
(2)求证：无论b取何值，二次函数y=2x2+bx−1的图象与x轴必有两个交点．
(3)有同学认为：t是s的二次函数，你认为正确吗？为什么？
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67．（2022上·吉林长春·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x+1)(x−3)+3的图象
沿y轴向下平移3个单位后，所得函数图象与x轴的两个交点之间的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型 22 求 x 轴与抛物线的截线长
m 6−m
1．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知关于x的方程x2+2bx+3c=0的两个根分别是x = ,x = ，
1 2 2 2
若点A是二次函数y=x2+2bx−3c的图象与y轴的交点，过A作AB⊥y轴交抛物线于另一交点B，则AB
的长为 ．
2．（2022·福建福州·校考模拟预测）如图，开口向下的抛物线y=ax2−4ax−5a交x轴于A、B(A左B右
)两点，交y轴于点C．
(1)求线段AB的长；
(2)设抛物线的顶点为D，若S =15，求抛物线的解析式；
△BCD
(3)在（2）的条件下，P、Q为线段BC上两点(P左Q右，P、Q不与B、C重合)，PQ=2√2，在第一象限
的抛物线上是否存在这的这样的点R，使△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；如果不存
在，请说明理由．
题型 23 根据交点确定不等式的解集
1．（2019·山东济宁·统考中考真题）如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,P)，B(3,q)两点，
则不等式ax2+mx+c>n的解集是 ．
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2．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在平面直角坐标中，抛物线y=ax2+bx(a>0)和直线y=kx(k>0)
交于点O和点A，则不等式ax2+bx<kx的解集为 ．
．（2022·江苏南京·南京市第一中学校考一模）函数y=-x3+x的部分图像如图所示，当y＞0时，x的取值范
围是 ．
题型 24 二次函数与斜三角形相结合的应用方法
1．（2023·辽宁丹东·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于
A(−1,0)，B(5,0)两点，与y轴交于点C．
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(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P是位于直线BC上方抛物线上的一个动点，求△BPC面积的最大值；
(3)若点D是y轴上的一点，且以B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；
(4)若点E为抛物线的顶点，点F(3,a)是该抛物线上的一点，点M在x轴、点N在y轴上，是否存在点
M、N使四边形EFMN的周长最小，若存在，请直接写出点M、点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023·广东佛山·统考一模）如图，抛物线经过A(−4,0)，B(−1,0)，C(0,2)三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求点D的坐标以及△DCA的面积的最大
值．
(3)点P是抛物线上一个动点，过P作PM⊥x轴于M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形
与△OAC相似？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
3．（2022·黑龙江绥化·校考三模）如图，抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,−2)三点．
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(1)求出抛物线的解析式；
(2)在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标；
(3)P是直线x=1右侧的抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A,P,M
为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
1．（2023·广东·统考中考真题）如图，抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在
y轴上，则ac的值为（ ）
A．−1 B．−2 C．−3 D．−4
2．（2023·湖南·统考中考真题）已知P (x ,y ),P (x ,y )是抛物线y=ax2+4ax+3（a是常数，a≠0)
1 1 1 2 2 2
上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x=−2；②点(0,3)在抛物线上；③若x >x >−2，
1 2
则y >y ；④若y = y ，则x +x =−2其中，正确结论的个数为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023·陕西·统考中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2−m（m为常数）的图像
经过点(0，6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（ ）
15 15
A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值
4 4
4．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数y=a(x−m)(x−m−k)(a>0,m,k是实数)，则（ ）
A．当k=2时，函数y的最小值为−a B．当k=2时，函数y的最小值为−2a
C．当k=4时，函数y的最小值为−a D．当k=4时，函数y的最小值为−2a
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k
5．（2023·安徽·统考中考真题）已知反比例函数y= (k≠0)在第一象限内的图象与一次函数y=−x+b的
x
图象如图所示，则函数y=x2−bx+k−1的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·浙江宁波·统考中考真题）已知二次函数y=ax2−(3a+1)x+3(a≠0)，下列说法正确的是( )
A．点(1,2)在该函数的图象上
B．当a=1且−1≤x≤3时，0≤ y≤8
C．该函数的图象与x轴一定有交点
3
D．当a>0时，该函数图象的对称轴一定在直线x= 的左侧
2
7．（2023·湖北十堰·统考中考真题）已知点A(x ,y )在直线y=3x+19上，点B(x ,y ),C(x ,y )在抛
1 1 2 2 3 3
物线y=x2+4x−1上，若y = y = y 且x <x <x ，则x +x +x 的取值范围是（ ）
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A．−12<x +x +x <−9 B．−8<x +x +x <−6
1 2 3 1 2 3
C．−9<x +x +x <0 D．−6<x +x +x <1
1 2 3 1 2 3
8．（2023·山东聊城·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象经过
点(0,2)，其对称轴为直线x=−1．下列结论：①3a+c>0；②若点(−4,y )，(3,y )均在二次函数图象上，
1 2
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则y >y ；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1有两个相等的实数根；④满足ax2+bx+c>2的x的
1 2
取值范围为−2<x<0．其中正确结论的个数为（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2023·湖南娄底·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①
abc<0；②4a−2b+c>0；③a−b>m(am+b)（m为任意实数）；④若点(−3,y )和点(3,y )在该图象
1 2
上，则y >y ．其中正确的结论是（ ）
1 2
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
10．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(−3,0)和点
B(1,0)，与y轴交于点C．下列说法：①abc<0；②抛物线的对称轴为直线x=−1；③当−3<x<0时，
ax2+bx+c>0；④当x>1时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a−b（m为任意实数）其中正确的个数
是（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数y=ax2+x−6的图象与x轴交于A(−3,0)，B两点，
下列说法正确的是（ ）
( 1 )
A．抛物线的对称轴为直线x=1 B．抛物线的顶点坐标为 − ,−6
2
C．A，B两点之间的距离为5 D．当x<−1时，y的值随x值的增大而增大
12．（2023·江苏徐州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x+1) 2+3的图象向右平移2
个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A．y=(x+3) 2+2B．y=(x−1) 2+2
C．y=(x−1) 2+4 D．y=(x+3) 2+4
13．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的一个交点坐标为
(−1,0)，对称轴为直线x=1，下列论中：①a−b+c=0；②若点(−3,y ),(2,y ),(4,y )均在该二次函数
1 2 3
图象上，则y <y <y ；③若m为任意实数，则am2+bm+c≤−4a；④方程ax2+bx+c+1=0的两实数
1 2 3
根为x ,x ，且x <x ，则x <−1,x >3．正确结论的序号为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④
14．（2023·四川自贡·统考中考真题）经过A(2−3b,m),B(4b+c−1,m)两点的抛物线
1
y=− x2+bx−b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB长为（ ）
2
A．10 B．12 C．13 D．15
15．（2023·四川巴中·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线
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1
y=kx+1与抛物线y= x2交于A、B两点，设A(x ,y )，B(x ,y )则下列结论正确的个数为（ ）
4 1 1 2 2
①x ⋅x =−4，
1 2
②y + y =4k2+2，
1 2
③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2
④若点N(0,−1)，则AN⊥BN
A．1 B．2 C．3 D．4
16．（2023·青海西宁·统考中考真题）直线y =ax+b和抛物线y =ax2+bx（a，b是常数，且a≠0）在同
1 2
一平面直角坐标系中，直线y =ax+b经过点(−4,0)．下列结论：
1
①抛物线y =ax2+bx的对称轴是直线x=−2
2
②抛物线y =ax2+bx与x轴一定有两个交点
2
③关于x的方程ax2+bx=ax+b有两个根x =−4，x =1
1 2
④若a>0，当x<−4或x>1时，y >y
1 2
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①④
17．（2023·广东广州·统考中考真题）已知点A(x ,y )，B(x ,y )在抛物线y=x2−3上，且0<x <x ，
1 1 2 2 1 2
则y y ．（填“<”或“>”或“=”）
1 2
18．（2023·福建·统考中考真题）已知抛物线y=ax2−2ax+b(a>0)经过A(2n+3,y ),B(n−1,y )两点，
1 2
若A,B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y <y ，则n的取值范围是 ．
1 2
19．（2023·山东青岛·统考中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与正比例函数y=kx的图象相
交于A，B两点，已知点A的横坐标为−3，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x=−1．下
1
列结论：①abc<0；②3b+2c>0；③关于x的方程ax2+bx+c=kx的两根为x =−3，x =2；④k= a．
1 2 2
其中正确的是 ．（只填写序号）
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20．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩
形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数
y=(x−2) 2(0≤x≤3)的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数
1
y= x2+bx+c(0≤x≤3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b= ．
4
( 1)
21．（2023·江苏无锡·统考中考真题）二次函数y=a(x−1)(x−5) a> 的图像与x轴交于点A、B，与
2
y轴交于点C，过点M(3，1)的直线将△ABC分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则a
的值为 ．
22．（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图1，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AB=4cm．点D
从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与△ABC的直角边AC（或BC）相交于点
E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）．
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(1)为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几
组数据：
变量a（cm） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
变量h（cm） 0 0.5 1 1.5 2 1.5 1 0.5 0
在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2-1；以变量h的值为横坐
标，变量a的值为纵坐标，描点如图2-2．
根据探究的结果，解答下列问题：
①当a=1.5时，h=________；当h=1时，a=________．
②将图2-1，图2-2中描出的点顺次连接起来．
③下列说法正确的是________．（填“A”或“B”）
A．变量h是以a为自变量的函数 B．变量a是以h为自变量的函数
(2)如图3，记线段DE与△ABC的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积(cm2)为s．
①分别求出当0≤a≤2和2<a≤4时，s关于a的函数表达式；
1
②当s= 时，求a的值．
2
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23．（2023·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，M(x ,y )，N(x ,y )是抛物线
1 1 2 2
y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点，设抛物线的对称轴为x=t．
(1)若对于x =1，x =2有y = y ，求t的值；
1 2 1 2
(2)若对于0<x <1，1<x <2，都有y <y ，求t的取值范围．
1 2 1 2
24．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）已知二次函数y=−x2+bx+c．
(1)当b=4,c=3时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当−1≤x≤3时，求y的取值范围．
(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
25．（2023·浙江·统考中考真题）已知点(−m,0)和(3m,0)在二次函数y=ax2+bx+3(a,b是常数，a≠0)
的图像上．
(1)当m=−1时，求a和b的值；
(2)若二次函数的图像经过点A(n,3)且点A不在坐标轴上，当−2<m<−1时，求n的取值范围；
(3)求证：b2+4a=0．
26．（2023·湖北武汉·统考中考真题）抛物线C :y=x2−2x−8交x轴于A,B两点（A在B的左边），交y
1
轴于点C．
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(1)直接写出A,B,C三点的坐标；
(2)如图（1），作直线x=t(0<t<4)，分别交x轴，线段BC，抛物线C 于D,E,F三点，连接CF．若
1
△BDE与△CEF相似，求t的值；
(3)如图（2），将抛物线C 平移得到抛物线C ，其顶点为原点．直线y=2x与抛物线C 交于O,G两点，过
1 2 2
OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C 于M,N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P
2
是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
27．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）在二次函数y=x2−2tx+3(t>0)中，
(1)若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？
(2)当0≤x≤3时，y的最小值为−2，求出t的值：
(3)如果A(m−2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a<b<3，求m的取值范围．
28．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1,−2)和
B(0,−5)．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当y≤−2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
29．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于
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点C．已知点A的坐标是(−1,0)，抛物线的对称轴是直线x=1．
(1)直接写出点B的坐标；
(2)在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小．求点P的坐标和PA+PC的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BC交MN于点Q．依题意
补全图形，当MQ+√2CQ的值最大时，求点M的坐标．
30．（2023·江苏盐城·统考中考真题）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在
坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．
【初步理解】
（1）现有以下两个函数：①y=x2−1；②y=x2−x，其中，_________为函数y=x−1的轴点函数．（填
序号）
【尝试应用】
（2）函数y=x+c（c为常数，c>0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y=ax2+bx+c与x轴的另一交
1
点为点B.若OB= OA，求b的值．
4
【拓展延伸】
1
（3）如图，函数y= x+t（t为常数，t>0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上
2
取一点N，使得ON=OC.以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE.若函
1
数y= x+t（t为常数，t>0）的轴点函数y=mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．
2
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1．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，∠MAN=60°，在射线AM，AN上分别截取AC=AB=6，连接
BC，∠MAN的平分线交BC于点D，点E为线段AB上的动点，作EF⊥AM交AM于点F，作
EG∥AM交射线AD于点G，过点G作GH⊥AM于点H，点E沿AB方向运动，当点E与点B重合时停
止运动．设点E运动的路程为x，四边形EFHG与△ABC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间
函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖北武汉·统考中考真题）抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，c<0）经过
(1,1),(m,0),(n,0)三点，且n≥3．下列四个结论：
①b<0；
②4ac−b2<4a；
③当n=3时，若点(2,t)在该抛物线上，则t>1；
1
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根，则0<m≤ ．
3
其中正确的是 （填写序号）．
3．（2023·江苏·统考中考真题）已知二次函数y=x2+bx−3（b为常数）．
(1)该函数图像与x轴交于A、B两点，若点A坐标为(3,0)，
①则b的值是_________，点B的坐标是_________；
②当0<y<5时，借助图像，求自变量x的取值范围；
(2)对于一切实数x，若函数值y>t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；
(3)当m<y<n时（其中m、n为实数，m<n），自变量x的取值范围是1<x<2，求n和b的值以及m的取值
范围．
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4．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2过点(1,3)，且交x轴
于点A(−1,0)，B两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC
于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移√5个单位长度，点M为平
移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写
出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
5．（2023·云南·统考中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方
面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间
形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优
势，数形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数
y=(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4（实数a为常数）的图象为图象T．
(1)求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
(2)是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理
由．
6．（2023·福建·统考中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(1,0),B(3,0)两点，M为抛物线的顶
点，C,D为抛物线上不与A,B重合的相异两点，记AB中点为E，直线AD,BC的交点为P．
(1)求抛物线的函数表达式；
( 3)
(2)若C(4,3),D m,− ，且m<2，求证：C,D,E三点共线；
4
(3)小明研究发现：无论C,D在抛物线上如何运动，只要C,D,E三点共线，△AMP,△MEP,△ABP中必
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存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
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