文档内容
专题 02 数列
数列一般作为全国卷第17题或第18题或者是19题，主要考查数列对应的求和运算以及相应的性质
考察题型一般为：
1 错位相减求和
2 裂项相消求和
3 （并项）分组求和
4 数列插项问题
5 不良结构问题
6 数列与其他知识点交叉问题
在新高考改革情况下，对于数列的思辨能力有进一步的加强，务必要重视
题型一：数列错位错位相减求和
1．已知 为首项 的等比数列，且 ， ， 成等差数列；又 为首项 的单调递增的
等差数列， 的前n项和为 ，且 ， ， 成等比数列．
(1)分别求数列 ， 的通项公式；
(2)令 ，数列 的前n项和为 ，求证： ．
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【分析】（1）由 ， ， 成等差数列求出公比可得 的通项公式，由 ， ， 成等比数列求出公差可得 的通项公式；
（2）利用错位相减可得 可得答案.
【详解】（1）设等比数列 的公比为 数列 的公差为
由题知： ，即 ，
即 ， ，解得 ，
所以 ，
又 ，即 ，即 ，
解得 （舍）或 ，
所以 ；
（2） ， ， ，
，①
，②
由① ②知： ，
即 ，
∴ ．1．若等差数列 的前n项和为 ，数列 是等比数列，并且 ，
.
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ；
(3)若 ，求数列 的前n项和
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）设 的公差为d， 的公比为q，
依题意有： ，
，解得 （舍）， ，
；
（2）令 ， ，
…①，
…②，
①-②得：，
；
（3） ，
；
综上， ， ， .
题型二：裂项相消求和
1 已知数列 的前 项的积记为 ，且满足 .
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）当 时， ，
，即 ，
又当 时， ，得 ，
数列 是以3为首项，2为公差的等差数列；（2）由（1）得 ，
则 ，
.
1．已知正项数列 的前 项和为 ，且 .
(1)证明： 是等差数列.
(2)设数列 的前 项和为 ，若满足不等式 的正整数 的个数为3，求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）由 可得 ，
当 时， 两式相减可得
，
又由 可得 解得
是以 为首项， 为公差的等差数列，
（2）由（1）可得 ， ，所以 ，
所以
因为 在 内单调递增，所以 ， 单调递增，
因为 ， ，所以满足不等式 的正整数 的个数为3， 的取值范围为
题型三：（并项）分组求和
设 是首项为1的等比数列，且满足 成等差数列：数列 各项均为正数， 为其前n项和，
且满足 ，则
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 为数列 的前n项的和，证明： ；
(3)任意 ，求数列 的前 项的和．
【答案】(1) ; .(2)证明见解析.(3) .
【详解】（1）因为 是首项为1的等比数列，且满足 成等差数列，
设公比为q, ，则 ，即 ，
故 ，所以 ；数列 各项均为正数， 为其前n项和，且满足 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ， ，
两式相减得 ，即 ，
因为 ，故 ，
即数列 为等差数列，故 .
（2）证明：由（1）知， ，
则 ，
故 ，
故
，
所以 ，
故 ，
当 时， ，
当 时 ，
设 ，则 ，
当 时， ， 时取等号，即 ，
当 时, 随n的增大而减小，故 的最大值为 ，
综合可得 .
（3）任意 ，即 ，
设数列 的前 项的和为 ，
则
，
.
注：数学归纳法证明： ；
证明：当 时，等式左边 ，右边 ，等式成立；
假设 时， ，
则 时，
，
即 时，结论也成立，
综合可得 .1．已知数列 满足 , .
(1)记 ,写出 , , , ,并猜想数列 的通项公式;
(2)证明（1）中你的猜想;
(3)若数列 的前n项和为 ,求 .
【答案】(1) , , , ,猜想 (2)证明见解析(3)
【详解】（1）由题知 ,
因为 ,所以 ,
, ,
, ,
, ,
综上: , , , ,
猜想 .
（2）由题意,知 , ,代入得 ,
于是 ,即 ,
因为 ,所以 是以3为首项,2为公比的等比数列,
故 .
（3）因为 ,.
题型四：数列插项问题
1．记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a＝3.
2
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对所有正整数m，若ak＜2m＜ak ，则在ak和ak 两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的
＋1 ＋1
前40项和.
【答案】(1) (2)1809
【详解】（1）由 ，则 ，两式相减得： ，
整理得： ，即 时， ，
所以 时， ，
又 时， ，得 ，也满足上式.
故 .
（2）由 .所以 ，
又 ，所以 前40项中有34项来自 .故
.
1．已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求证： 是等比数列；
(2)在 与 之间插入n个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求数列 的前n项和.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）当 时， ，得 ，所以 ，
当 时， 所以 ，即 ，
所以 所以
即数列 是以 为首项，公比为3的等比数列.
（2）由（1）得 ，所以 ，
由题意 ，即
所以 ，所以 设 前 项和为
所以 即 ①②
①-②得：
所以 .
题型五 不良结构问题
1．已知数列 是公差不为零的等差数列， 且 ， ， 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，在① ， ；② ， ；③ ，
这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题.
问题：若 ，且______，求数列 的前n项和 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.
【答案】(1) (2)答案见解析
【详解】（1）解：设等差数列的公差为d，
因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
解得 或 （舍去）.
所以， .
（2）解：选①，由 ， ，
当 时， ，当 时等式也成立，
所以 ，则 ，所以， ， ，
两式相减得
，
所以 .
选②，由 ， ，
当 时， ，
所以 ，所以数列 为以1为首项2为公比的等比数列，
所以 ，则 ，
所以， ， ，
两式相减得
，
所以 .
选③，由 ， ，得 ，又 ，
所以 ，
所以 是以2为首项，公比为2的等比数列，
所以 .
当 时， ，当 时等式也成立，所以 ，则 ，
所以， ， ，
两式相减得
，
所以 .
1．在① ，② ，③ 这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答已知等
差数列 的前n项和为 ， ，___________，___________.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ；
(3)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）根据题意列式求解 ，即可求通项公式；
（2）利用裂项相消法求和；
（3）根据题意可得存在 ，使得 成立，根据存在性问题结合基本不等式运算求解.【详解】（1）若选①②：设等差数列 的公差为 ，
由题意可得 ，解得 ，
故 ；
若选①③：设等差数列 的公差为 ，
由题意可得 ，解得 ，
故 ；
若选②③：设等差数列 的公差为 ，
由题意可得 ，解得 ，
故 .
（2）由（1）可得 ，
故 .
（3）∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
又∵ ，当且仅当 ，即 时等号成立，∴ ，即 ，
故实数 的取值范围 .
题型六 数列与其他知识点交叉问题
1．为了让幼儿园大班的小朋友尝试以客体区分左手和右手，左肩和右肩，在游戏中提高细致观察和辨别
能力，同时能大胆地表达自己的想法，体验与同伴游戏的快乐，某位教师设计了一个名为【肩手左右】的
游戏，方案如下：
游戏准备：选取甲、乙两位小朋友面朝同一方向并排坐下进行游戏．教师站在两位小朋友面前出示游戏卡
片．游戏卡片为两张白色纸板，一张纸板正反两面都打印有相同的“左”字，另一张纸板正反两面打印有
相同的“右”字．
游戏进行：一轮游戏（一轮游戏包含多次游戏直至决出胜者）开始后，教师站在参加游戏的甲、乙两位小
朋友面前出示游戏卡片并大声报出出示的卡片上的“左”或者“右”字．两位小朋友如果听到“左”的指
令，或者看到教师出示写有“左”字的卡片就应当将左手放至右肩上并大声喊出“停！”．小朋友如果听
到“右”的指令，或者看到教师出示写有“右”字的卡片就应当将右手放至左肩上并大声喊出“停！”．
最先完成指令动作的小朋友喊出“停！”时，两位小朋友都应当停止动作，教师根据两位小朋友的动作完
成情况进行评分，至此游戏完成一次．
游戏评价：为了方便描述问题，约定：对于每次游戏，若甲小朋友正确完成了指令动作且乙小朋友未完成
则甲得1分，乙得－1分；若乙小朋友正确完成了指令动作且甲小朋友未完成则甲得－1分，乙得1分；若
甲，乙两位小朋友都正确完成或都未正确完成指令动作，则两位小朋友均得0分．当两位小朋友中的一位
比另外一位小朋友的分数多8分时，就停止本轮游戏，并判定得分高的小朋友获胜．现假设“甲小朋友能
正确完成一次游戏中的指令动作的概率为 ，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为 ”，
一次游戏中甲小朋友的得分记为X．
(1)求X的分布列；
(2)若甲小朋友、乙小朋友在一轮游戏开始时都赋予4分， 表示“甲小朋友的当前累计得分
为i时，本轮游戏甲小朋友最终获胜”的概率，则 ， ， ，其中， ， ．假设 ， ．
（i）证明： 为等比数列；
（ii）根据 的值说明这种游戏方案是否能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概
率为0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设．
【答案】(1)分布列见解析
(2)（i）证明见解析（ii）这种游戏方案能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率
为0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设
【详解】（1）由题意知 所有可能的取值为 ，
， ， ，
所有分布列为：
0 1
（2）（i）证明：因为 ，
所以 ，
，
，
因为 ，
所以 ，
整理得： ， ，
所以 ， ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列；
（ii）由（i）知
所以 ，
累加求和得 ，
所以 ，
所以
表示甲小朋友当前累计得分为 分时，本轮游戏最终甲获胜的概率，
由计算结果可以看出，假设一次游戏中甲小朋友完成指令动作的概率为0.5，
乙小朋友完成一次游戏中的指令动作的概率为0.6，
本轮游戏中甲小朋友获胜的概率 ，
这种情况发生的概率比较小，能够说明这种游戏方案能够充分验证
“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5，
乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设．
1．已知函数 ， .
(1)判断函数 的奇偶性，并说明理由；(2)设函数 （ ， ），若函数 和 都是奇函数，将满足条件的
按从小到大的顺序组成一个数列 ，求 的通项公式；
(3)求实数 与正整数 ，使得 在 内恰有147个零点.
【答案】(1)非奇非偶函数，理由见解析(2) (3)当 ， 或 ，
【详解】（1） ，
因为 ， ， ， ，
所以 是非奇非偶函数.
（2）由 和 都是奇函数，则 得 进而得 其中 ，
.因为 ，所以 ，得 ，于是
由 ，得满足条件的 按从小到大的顺序组成的数列 的通项公式为 ， 为正整数.
（3） .
设 ，则 ，得 ， ， .
当 时，函数 有一个零点 （另一个零点 ，舍去），则 在 内有两个零点 ，
；当 时，函数 有一个零点 （另一个零点 ，舍去），则 在 内有两个零点 ， ；当 时，函数 有一个零点 ，另一个零点 ，则
在 和 内分别有两个零点.
由正弦函数的周期性，可知当 且 时，函数 在 内总有偶数个零点，从而不存在正整数
满足题意.
当 时，函数 有一个零点 ，另一个零点 ，则 在 内有三个零点；
当 时，函数 有一个零点 ，另一个零点 ，则 在 内有三个零点.
由正弦函数的周期性，以及 ，所以 .
综上可知，当 ， 或 ， 时，函数 在 内恰有147个零点.
一、解答题
1．已知数列 的前 项之积为 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)设公差不为0的等差数列 中， ，___________，求数列 的前 项和 .
请从① ； ② 这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分.
【答案】(1) ；(2) .【分析】（1）根据当 时， 计算并检验 成立即可得答案；
（2）根据等差数列基本计算得 ，进而 ，再分组求和即可.
【详解】（1）解：当 时，
当 时，
综上， ；
（2）解：若选① ，
设等差数列 的公差为 ，
因为 ， ，
所以 ，解得
所以， ，
所以， ，
所以，
所以，
若选② ，
设等差数列 的公差为 ，
因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，解得
所以， ，
所以， ，
所以，
所以，
2．已知数列 的前 项和为 .
(1)求 及 的通项公式；
(2)若 对任意的 恒成立，求 的最
小值.
【答案】(1) ， (2)
【详解】（1） ，
时， ，
时上式也符合，即 ，
所以， 时， ，
时，上式也符合.
所以， .
（2） 时，故
所以 对任意的 均成立，
由于 ，
所以 ，故 .
3．在数列 中， ， ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)令 ，数列 的前n项和为 ，求证： ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【详解】（1）由 ，得 ，由 ，得 ，
则 ，所以 ，得 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列
（2）由（1）得 ，则 ，所以 ，
所以 ．
所以4．已知正项等差数列 和正项等比数列 ， 为数列 的前n项和，且满足
．
(1)分别求数列 和 的通项公式；
(2)将数列 中与数列 相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列 ，记数列 的前n项和为
，求 ．
【答案】(1) ， ;(2)11302.
因为 所以 ，解得： ，所以 .
设正项等比数列 的公比为 .
因为 所以 ，解得： ，所以 .
（2）根据（1）的结论，所以数列 的前8项依次为：2、4、8、16、3264、128、256，对应数列 第
1、2、4、8、16、32、64、128项，故数列 的前100项为数列 的前107项，剔除数列 的前7项
的数列.
设数列 的前n项和为Bn，所以
.
5．已知 为首项 的等比数列，且 ， ， 成等差数列；又 为首项 的单调递增的等差数列， 的前n项和为 ，且 ， ， 成等比数列．
(1)分别求数列 ， 的通项公式；
(2)令 ，数列 的前n项和为 ，求证： ．
【答案】(1) ， (2)证明见解析
【详解】（1）设等比数列 的公比为 数列 的公差为
由题知： ，即 ，
即 ， ，解得 ，
所以 ，
又 ，即 ，即 ，
解得 （舍）或 ，
所以 ；
（2） ， ， ，
，①
，②
由① ②知： ，即 ，
∴ ．
6．设数列 的前 项之积为 ，且满足 ．
(1)证明：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)记 ，证明： ．
【答案】(1)证明见解析， ；(2)证明见解析
【详解】（1）方法一：当 ，得 ，
当 时， ①
②
两式相除可得：
即 ，又 ，
故 ，
变形为： ，
因为 ，所以 是以 为首项，1为公差的等比数列．
所以化简可得
法二：因为 ， ，
所以
即
令 ，则 ，
所以 以3为首项，以2为公差的等差数列，
所以 ，即 ，
所以 ．
又因为 满足上式，
所以 ，
所以 ，故 ，
故数列 是等差数列．
（2）
因为 ，
所以7．设 是首项为1的等比数列，且满足 成等差数列：数列 各项均为正数， 为其前n项
和，且满足 ，则
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 为数列 的前n项的和，证明： ；
(3)任意 ，求数列 的前 项的和．
【答案】(1) ; .(2)证明见解析.(3) .
【详解】（1）因为 是首项为1的等比数列，且满足 成等差数列，
设公比为q, ，则 ，即 ，
故 ，所以 ；
数列 各项均为正数， 为其前n项和，且满足 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ， ，
两式相减得 ，即 ，
因为 ，故 ，
即数列 为等差数列，故 .
（2）证明：由（1）知， ，
则 ，故 ，
故
，
所以 ，
故 ，
当 时， ，
当 时 ，
设 ，则 ，
当 时， ， 时取等号，即 ，
当 时, 随n的增大而减小，
故 的最大值为 ，
综合可得 .
（3）任意 ，即 ，
设数列 的前 项的和为 ，
则
，.
注：数学归纳法证明： ；
证明：当 时，等式左边 ，右边 ，等式成立；
假设 时， ，
则 时，
，
即 时，结论也成立，
综合可得 .
一、解答题
1．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2) ．
【详解】（1）因为 ，即 ①，
当 时， ②，
① ②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以 为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时， ．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，即有 .
则当 或 时， ．2．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【答案】(1) (2)见解析
【详解】（1）∵ ，∴ ,∴ ,
又∵ 是公差为 的等差数列，
∴ ,∴ ,
∴当 时， ，
∴ ,
整理得： ,
即 ,
∴
，
显然对于 也成立，
∴ 的通项公式 ；（2）
∴
3．（2022·全国·统考高考真题）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且
．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
【详解】（1）设数列 的公差为 ，所以， ，即可解得， ，所以
原命题得证．
（2）由（1）知， ，所以 ，即 ，亦即
，解得 ，所以满足等式的解 ，故集合
中的元素个数为 ．
4．（2022·北京·统考高考真题）已知 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的
，在Q中存在 ，使得 ，则称Q为 连续
可表数列．
(1)判断 是否为 连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；(2)若 为 连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若 为 连续可表数列，且 ，求证： ．
【答案】(1)是 连续可表数列；不是 连续可表数列．
(2)证明见解析．3)证明见解析．
【分析】（1）直接利用定义验证即可；
（2）先考虑 不符合，再列举一个 合题即可；
（3） 时，根据和的个数易得显然不行，再讨论 时，由 可知里面必然有负数，
再确定负数只能是 ，然后分类讨论验证不行即可．
（1）
， ， ， ， ，所以 是 连续可表数列；易知，不存在 使得
，所以 不是 连续可表数列．
（2）
若 ,设为 ,则至多 ，6个数字，没有 个，矛盾；
当 时,数列 ，满足 ， ， ， ， ， ，
， ， ．
（3）
，若 最多有 种，若 ，最多有 种，所以最多有 种，
若 ，则 至多可表 个数，矛盾,
从而若 ,则 ， 至多可表 个数，
而 ，所以其中有负的，从而 可表1~20及那个负数（恰 21个），这表明
中仅一个负的，没有0，且这个负的在 中绝对值最小，同时 中没有两数相同,设那个负数为，
则所有数之和 ， ，
，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足 个，
（仅一种方式），
与2相邻，
若 不在两端,则 形式，
若 ，则 （有2种结果相同，方式矛盾），
， 同理 ，故 在一端，不妨为 形式，
若 ,则 （有2种结果相同，矛盾）， 同理不行，
，则 （有2种结果相同，矛盾），从而 ，
由于 ,由表法唯一知3,4不相邻,、
故只能 ，①或 ，②
这2种情形，
对①： ，矛盾，
对②： ，也矛盾，综上 ，
当 时，数列 满足题意，
．
5．（2022·天津·统考高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．
【答案】(1) (2)证明见解析(3)
【详解】（1）设 公差为d， 公比为 ，则 ，由 可得 （ 舍去），
所以 ；
（2）证明：因为 所以要证 ，
即证 ，即证 ，
即证 ，
而 显然成立，所以 ；
（3）因为
，
所以
，
设
所以 ，
则 ，
作差得
，
所以 ，
所以 .6．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和为
．
(1)若 ，求 ；
(2)若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
（2）因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，
，
，
由已知方程 的判别式大于等于0，
所以 ，
所以 对于任意的 恒成立，
所以 对于任意的 恒成立，当 时， ，
当 时，由 ，可得
当 时， ，
又
所以
7．（2021·全国·统考高考真题）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列 的特征，然后求和其通项公式即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前 项和公式即可求得数列的前20项和.
【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然 为偶数，则 ，
所以 ，即 ，且 ，
所以 是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是 ．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知 ，所以 ．
由 （ 为奇数）及 （ 为偶数）可知，
数列从第一项起，若 为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若 为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以 ，则 ．
[方法三]：累加法
由题意知数列 满足 ．
所以 ，
，
则 ．
所以 ，数列 的通项公式 ．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
．
[方法二]：分组求和
由题意知数列 满足 ，
所以 ．
所以数列 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由 知数列 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列 的前20项和为：
．8．（2020·山东·统考高考真题）已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为 的形式，求解出 ，由此求得数列 的通
项公式.
（2）方法一：通过分析数列 的规律，由此求得数列 的前 项和 .
【详解】（1）由于数列 是公比大于 的等比数列，设首项为 ，公比为 ，依题意有 ，
解得解得 ，或 (舍)，
所以 ，所以数列 的通项公式为 .
（2）［方法一］：规律探索
由于 ，所以
对应的区间为 ，则 ；
对应的区间分别为 ，则 ，即有2个1；
对应的区间分别为 ，则 ，即有 个2；
对应的区间分别为 ，则 ，即有 个3；
对应的区间分别为 ，则 ，即有 个4；
对应的区间分别为 ，则 ，即有 个5；对应的区间分别为 ，则 ，即有37个6．
所以 ．
［方法二］【最优解】：
由题意， ，即 ，当 时， ．
当 时， ，则
．
［方法三］：
由题意知 ，因此，当 时， ； 时， ； 时， ；
时， ； 时， ； 时， ； 时， ．
所以
．
所以数列 的前100项和 ．
9．（2020·海南·高考真题）已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 .
【答案】（1） ；（2）
【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公
式；(2)首先求得数列 的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.
【详解】(1) 设等比数列 的公比为q(q>1)，则 ，
整理可得： ，
，
数列的通项公式为： .
(2)由于： ，故：
.
