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第 13 讲 二次函数图象与性质
目 录
题型01 判断函数类型
题型02 已知二次函数的概念求参数值
题型03 利用待定系数法求二次函数的解析式（一般式）
题型04 利用待定系数法求二次函数的解析式（顶点式）
题型05 利用待定系数法求二次函数的解析式（交点式）
题型06 根据二次函数解析式判断其性质
题型07 将二次函数的一般式化为顶点式
题型08 利用五点法绘二次函数图象
题型09 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
题型10 二次函数平移变换问题
题型11 已知抛物线对称的两点求对称轴
题型12 根据二次函数的对称性求字母的取值范围
题型13 根据二次函数的性质求最值
题型14 根据二次函数的最值求字母的取值范围
题型15 根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围
题型16 根据二次函数的增减性求字母的取值范围
题型17 根据二次函数图象判断式子符号
题型18 二次函数图象与各项系数符号
题型19 二次函数、一次函数综合
题型20 二次函数、一次函数、反比例函数图象综合
题型21 抛物线与x轴交点问题
题型22 求x轴与抛物线的截线长
题型23 根据交点确定不等式的解集
题型24 二次函数与斜三角形相结合的应用方法
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题型 01 判断函数类型
1．（2022·北京房山·统考一模）某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm，把这个长
方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【答案】D
【分析】设底面边长为xcm，则正方体的高为(x+50)cm，设总费用为y元，则可表示出y与x的函数关系，
根据关系式即可作出选择．
【详解】设底面边长为xcm，则正方体的高为(x+50)cm，设总费用为y元，
由题意得：y=16[2x2+4x(x+50)]=96x2+3200x，
这是关于一个二次函数．
故选：D．
【点睛】本题考查了列函数关系并判断函数形式，关键是根据题意列出函数关系式．
2．（2023·北京东城·北京市广渠门中学校考模拟预测）用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为
xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与
x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．二次函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
【答案】D
【分析】根据长方形的周长公式和面积公式得出y与x、S与x的关系式即可做出判断．
【详解】解：由题意可得：2x+2y=10，S=xy，
即：y=5−x，S=x(5−x)=−x2+5x，
∴y与x是一次函数关系，S与x是二次函数关系，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、矩形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握
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二次函数与一次函数的解析式是解答的关键．
3．（2023·北京石景山·统考二模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CA=CB=10．点P是CB边上
一动点（不与C，B重合），过点P作PQ⊥CB交AB于点Q．设CP=x，BQ的长为y，△BPQ的面积为
S，则y与x，S与x满足的函数关系分别为（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系
【答案】A
【分析】先求出∠A=∠B=45°，再求出BP=10−x，然后解Rt△BPQ得到PQ=10−x，
1
BQ=√2(10−x)，进而得到y=−√2x+10√2，S= (10−x) 2 ，由此即可得到答案．
2
【详解】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CA=CB=10，
∴∠A=∠B=45°，
∵CP=x，
∴BP=BC−CP=10−x，
∵PQ⊥CB，
∴∠QPB=90°，
BP
在Rt△BPQ中，PQ=BP⋅tanB=10−x，BQ= =√2(10−x)，
cosB
1 1
∴y=√2(10−x)=−√2x+10√2，S= BP⋅PQ= (10−x) 2 ，
2 2
∴y与x，S与x满足的函数关系分别为一次函数关系，二次函数关系，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等边对等角，列函数关系式，正确求出y=−√2x+10√2，
1
S= (10−x) 2 是解题的关键．
2
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题型 02 已知二次函数的概念求参数值
1．（2023·四川南充·统考一模）点P(a,9)在函数y=4x2−3的图象上，则代数式(2a+3)(2a−3)的值等
于 ．
【答案】3
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出4a2=12，将其代入(2a+3)(2a−3)=4a2−9中即可
求出结论．
【详解】解：∵点P(a,9)在函数y=4x2−3的图象上，
∴9=4a2−3，
∴4a2=12，
则代数式(2a+3)(2a−3)=4a2−9=12−9=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题
的关键．
2．（2020·陕西西安·西安市大明宫中学校考三模）已知二次函数y=(m−1)xm2−3的图象开口向下，则m的
值为 ．
【答案】−√5
【分析】根据二次函数的定义及开口向下时m+1<0即可解答．
【详解】根据题意得：
¿
解得：m=−√5．
故答案为：−√5．
【点睛】本题考查的是二次函数的定义及性质，易错点是只考虑其次数是2，没有考虑开口向下时的性质．
3．（2021·四川凉山·统考模拟预测）若y＝（m﹣1）x|m|+1+8mx﹣8是关于x的二次函数，则其图象与x轴
的交点坐标为 ．
【答案】（﹣2，0）
【分析】首先根据二次函数的定义可知|m|+1＝2且m﹣1≠0，求出m的值并代入，再令y=0求出x的值，即
可得出答案．
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【详解】∵|m|+1＝2，
∴m＝±1．
∵m﹣1≠0，
∴m≠1，
∴m＝﹣1，
∴y＝﹣2x2﹣8x﹣8．
当y=0时，x=x=-2，
1 2
∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的关系式，求抛物线与x轴的交点坐标，根据二次函数的定义求出m的
值是解题的关键．
题型 03 利用待定系数法求二次函数的解析式（一般式）
1．（2021·广东广州·统考中考真题）抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)、(3,0)，且与y轴交于点(0,−5)，
则当x=2时，y的值为（ ）
A．−5 B．−3 C．−1 D．5
【答案】A
【分析】解法一：先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求函数值即可．
解法二：利用二次函数图象的对称性可知：x=2和x=0对应的函数值相等，从而得解．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)、(3,0)，且与y轴交于点(0,−5)，
∴¿，
解方程组得¿，
5 10
∴抛物线解析式为y= x2− x−5，
3 3
5 10
当x=2时，y= ×4− ×2−5=−5．
3 3
故选择A．
解法二：抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)、(3,0)，
−1+3
∴抛物线的对称轴为：x= =1，
2
【5 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
0+2
又∵ =1，
2
∴x=2和x=0的函数值相等，即均为−5，
故选择A．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，和函数值，掌握系数法求抛物线解析式方法和函数值求法
是解题关键．同时利用数形结合思想和对称性解题会起到事半功倍的效果．
2．（2022·山东泰安·统考中考真题）抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x -2 -1 0 1
y 0 4 6 6
下列结论不正确的是（ ）
1
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x=
2
25
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0) D．函数y=ax2+bx+c的最大值为
4
【答案】C
【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可
【详解】解：由题意得¿，
解得¿，
∴抛物线解析式为y=−x2+x+6=− ( x− 1) 2 + 25 ，
2 4
1 25
∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x= ，该函数的最大值为 ，故A、B、D说法正确，不符合题
2 4
意；
令y=0，则−x2+x+6=0，
解得x=3或x=−2，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C说法错误，符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键．
3．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）已知函数y=−x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），
（﹣6，﹣3）．
(1)求b，c的值．
(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
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(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
【答案】(1)b＝-6，c=-3
(2)x＝－3时，y有最大值为6
(3)m＝－2或−3−√10
【分析】（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y＝−x2+bx+c，即可求解；
（2）先求出抛物线的顶点坐标为（-3，6），再由-4≤x≤0，可得当x＝-3时，y有最大值，即可求解；
（3）由（2）得当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，然后分两种情况：
当-3＜m≤0时，当m≤-3时，即可求解．
【详解】（1）解：把（0，-3），（-6，-3）代入y＝−x2+bx+c，得∶
¿，解得：¿；
（2）解：由（1）得：该函数解析式为y＝−x2−6x−3＝−(x+3) 2+6，
∴抛物线的顶点坐标为（-3，6），
∵-1＜0
∴抛物线开口向下，
又∵-4≤x≤0，
∴当x＝-3时，y有最大值为6．
（3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3，
∴当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，
①当-3＜m≤0时，
当x＝0时，y有最小值为-3，
当x＝m时，y有最大值为−m2−6m−3，
∴−m2−6m−3+（-3）＝2，
∴m＝-2或m＝-4（舍去）．
②当m≤-3时，
当x＝-3时，y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为-4，
∴−(m+3) 2+6=-4，
∴m＝−3−√10或m＝−3+√10（舍去）．
综上所述，m＝-2或−3−√10．
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【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用分类讨论思想
解答是解题的关键．
题型 04 利用待定系数法求二次函数的解析式（顶点式）
1．（2023·江苏泰州·校考三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为(4，−3)，
该图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求tan∠ABC．
1
【答案】(1)该二次函数解析式为y= (x−4) 2−3；
3
1
(2)tan∠ABC= ．
3
【分析】（1）由题意可设抛物线解析式为：y=a(x−4) 2−3，将A(1，0)代入解析式来求a的值；
（2）由锐角三角函数定义解答．
【详解】（1）解：由题意可设抛物线解析式为：y=a(x−4) 2−3，(a≠0)．
把A(1，0)代入，得0=a(1−4) 2−3，
1
解得a= ．
3
1
故该二次函数解析式为y= (x−4) 2−3；
3
1 7 7
（2）解：令x=0，则y= (0−4) 2−3= ．则OC= ．
3 3 3
因为二次函数图象的顶点坐标为(4，−3)，A(1，0)，则点B与点A关于直线x=4对称，
所以B(7，0)．
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所以OB=7．
7
1
所以 OC 3 1，即tan∠ABC= ．
tan∠ABC= = = 3
OB 7 3
【点睛】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，待定系数法确定函数关系式以及解直角三角形．
解题时，充分利用了二次函数图象的对称性质．
2．（2023·河北廊坊·校考三模）如图，二次函数的图象经过点(0,−1)，顶点坐标为(2,3)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当0≤x≤3时，y的取值范围为 ；
(3)直接写出该二次函数的图象经过怎样的平移恰好过点(0,−4)，且与x轴只有一个公共点．
【答案】(1)y=−(x−2) 2+3
(2)−1≤ y≤3
(3)该二次函数的图象向下平移3个单位长度或向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度恰好经过
点(0,−4)，且与x轴只有一个公共点
【分析】（1）由题意设二次函数的顶点式，代入(0，−1)进行计算即可得到答案；
（2）由函数表达式可知：二次函数y=−(x−2) 2+3的图象有最高点(2，3)，对称轴是直线x=2，从而可
得此时y的取值范围；
（3）该二次函数的图象平移后的顶点在x轴上，设它的表达式为y=−(x−h) 2，再把点(0，−4)代入，求
出h的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点(0,−1)，顶点坐标为(2,3)，
设这个二次函数的表达式为：y=a(x−2) 2+3(a≠0)，
把(0,−1)代入得：
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−1=a(0−2) 2+3，，
解得：a=−1，
这个二次函数的表达式为：y=−(x−2) 2+3；
（2）解：∵a=−1<0，二次函数的表达式为y=−(x−2) 2+3，
二次函数y=−(x−2) 2+3的图象有最高点(2,3)，对称轴是直线x=2，
当x=0时，y=−(0−2) 2+3=−1，
当x=3时，y=−(3−2) 2+3=2，
∴y 的取值范围为：−1≤ y≤3，
故答案为：−1≤ y≤3；
（3）解：∵该二次函数的图象经过平移后，与x轴只有一个公共点，
该二次函数的图形平移后的顶点在x轴上，设它的表达式为y=−(x−h) 2，
∵该二次函数的图像经过怎样的平移恰好过点(0，−4)，
∴−4=−(0−h) 2，
解得：h=±2，
即该函数的图象平移后的表达式为：y=−(x−2) 2或y=−(x+2) 2，
该二次函数的图象向下平移3个单位长度或向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度恰好经过
点(0,−4)，且与x轴只有一个公共点．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、求二次函数的函数值的取值范围、二次函数图
象的平移，熟练掌握二次函数的图象与特征是解题的关键
题型 05 利用待定系数法求二次函数的解析式（交点式）
1．（2023·江苏扬州·统考二模）已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(−1,0)、(3,0)和(0,3)，当
x=2时，y的值为 ．
【答案】3
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【分析】根据题意可得交点式y=a(x−3)(x+1)，然后把(0,3)代入求出a值，即可求出二次函数表达式．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(−1,0)、(3,0)
∴抛物线的解析式为y=a(x−3)(x+1)，
把(0,3)代入得：−3a=3，解得：a=−1，
∴函数的解析式为y=−(x−3)(x+1)，
即y=−x2+2x+3，
∴当x=2时，y=−22+2×2+3=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
2．（2022·山东威海·统考一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于
A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点(x，y)的坐标值：
﹣
x … 0 1 2 3 …
1
y … 0 3 4 3 0 …
则这条抛物线的解析式为 ．
【答案】y=−x2+2x+3
【分析】根据表格可得到点（-1,0）、（0，3）、（3,0），设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，将
（0，3）代入解析式即可得到a的值，再带回所设解析式化为一般式即可．
【详解】根据表格可得到点（-1,0）、（0，3）、（3,0）
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)
将（0，3）代入解析式得3=−3a
解得a=−1
∴解析式为y=−(x+1)(x−3)=−x2+2x+3
故答案为：y=−x2+2x+3．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式的步骤是解题的关键．
题型 06 根据二次函数解析式判断其性质
1．（2022·广东江门·鹤山市沙坪中学校考模拟预测）关于二次函数y=x2+2x−8，下列说法正确的是（
）
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A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为(0，−9)
C．图象与x轴的交点坐标为(−2,0)和(4,0)
D．y的最小值为−9
【答案】D
【分析】把二次函数的解析式化成顶点式和交点式，再利用二次函数的性质就可以判断各个选项中的结论
是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵二次函数y=x2+2x−8=(x+1) 2−9=(x+4)(x−2)，
∴该函数的对称轴是直线x=−1，在y轴的左侧，故选项A错误；
当x=0时，y=−8，即该函数与y轴交于点(0，−8)，故选项B错误；
当y=0时，x=2或x=−4，即图象与x轴的交点坐标为(2,0)和(−4,0)，故选项C错误；
当x=−1时，该函数取得最小值y=−9，故选项D正确．
故选：D
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，把二次函数解析式化为顶点式和交点式是解题的关键．
1
2．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考二模）对于二次函数y=− x2+2x+1的性质，下列叙述正确的是
2
（ ）
A．当x>0时，y随x增大而减小 B．抛物线与直线y=x+2有两个交点
1
C．当x=2时，y有最小值3 D．与抛物线y=− x2 形状相同
2
【答案】D
1
【分析】将该抛物线表达式化为顶点式，记录判断A、C；联立y=x+2和y=− x2+2x+1，得到方程
2
1
0=− x2+x−1，各级一元二次函数根的判别式，即可判断B；根据二次函数平移的性质，即可判断D．
2
1 1
【详解】解：∵y=− x2+2x+1=− (x−2) 2+3，
2 2
∴该二次函数的对称轴为直线x=2，
1
∵a=− <0，函数开口向下，
2
∴当x>2时，y随x增大而减小，故A错误，不符合题意；
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1
B、当y=x+2时，x+2=− x2+2x+1，
2
1
整理得：0=− x2+x−1
2
∴Δ=b2−4ac=12−4× ( − 1) ×(−1)=−1<0，
2
1
∴方程x+2=− x2+2x+1无实数根，则抛物线与直线y=x+2没有交点，故B错误，不符合题意；
2
1 1
C、∵y=− (x−2) 2+3，a=− <0，函数开口向下，
2 2
∴当x=2时，y有最大值3，故C错误，不符合题意；
1 1
D、∵y=− (x−2) 2+3可由y=− x2 向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度得到，
2 2
1 1
∴y=− x2+2x+1与抛物线y=− x2 形状相同，故D正确，符合题意；
2 2
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握y=(x−h) 2+k的对称轴为x=h，顶点坐
标为(h,k)；a>0时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大
而增大，a<0时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减
小．
3．（2023·广东深圳·校考三模）关于二次函数y=−2(x−1) 2+6，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴是直线x=−1 B．图象与x轴没有交点
C．当x=1时，y取得最小值，且最小值为6 D．当x>2时，y的值随x值的增大而减小
【答案】D
【分析】对于二次函数y=a(x−h) 2+k(a，h，k为常数，a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴
的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当a<0时，抛物线
开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．
其顶点坐标是(h,k)，对称轴为直线x=h．根据二次函数y=a(x−h) 2+k的性质解答即可．
【详解】解：∵抛物线y=−2(x−1) 2+6，
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∴该抛物线的图象开口向下，对称轴是直线x=1，故选项A错误，不符合题意；
∵顶点坐标为(1,6)，
∴当x=1时，函数取得最大值6>0，故选项C错误，不符合题意；
又∵抛物线的图象开口向下，
∴图象与x轴有2个交点，
故选项B错误，不符合题意；
当x>2时，y随x的增大而减小，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数y=a(x−h) 2+k的性质是解答本题的关键．
题型 07 将二次函数的一般式化为顶点式
1．（2023·浙江·模拟预测）要得到y=−2x2−12x−19图象，只需把抛物线y=−2x2−4x−1图象如何
变换得到（ ）
A．向左平移2个单位、向上平移2个单位 B．向左平移2个单位、向下平移2个单位
C．向右平移2个单位、向上平移2个单位 D．向右平移2个单位、向下平移2个单位
【答案】B
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，再根据图象平移规则“左加右减，上加下减”求解即可．
【详解】解：∵y=−2x2−12x−19=−2(x+3) 2−1，y=−2x2−4x−1=−2(x+1) 2+1，
∴将抛物线y=−2(x+1) 2+1向左平移2个单位、向下平移2个单位y=−2(x+1+2) 2+1−2，即
y=−2(x+3) 2−1，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握函数图象平移的规则是解答的关键．
2．（2023·陕西渭南·统考二模）将抛物线y=ax2+bx−2（a、b是常数，a≠0）向下平移2个单位长度后，
1
得到的新抛物线恰好和抛物线y= x2+x−4关于y轴对称，则a、b的值为（ ）
2
1 1
A．a=−1，b=−2 B．a=− ，b=−1 C．a= ，b=−1 D．a=1，b=2
2 2
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【答案】C
1 1 9
【分析】先求出抛物线y= x2+x−4关于y轴对称的抛物线为y= (x−1) 2− ，再根据抛物线平移的性
2 2 2
质得出抛物线y=ax2+bx−2向下平移2个单位长度后为y=ax2+bx−4，即可得出a和b的值．
1 1 9
【详解】解：∵y= x2+x−4= (x+1) 2− ，
2 2 2
1 1 9
∴抛物线y= x2+x−4关于y轴对称的抛物线为y= (x−1) 2− ，
2 2 2
∵抛物线y=ax2+bx−2向下平移2个单位长度后为y=ax2+bx−4，
1
∵y=ax2+bx−4与y= x2+x−4关于y轴对称，
2
1 9
∴y=ax2+bx−4= (x−1) 2− ，
2 2
1
整理得：y=ax2+bx−4= x2−x−4，
2
1
∴a= ，b=−1，
2
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握将二次函数化为顶点式的方法和步骤，
以及二次函数的平移规律：上加下减，左加右减．
3．（2021·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线
y=x2−2mx+m2+2m+1的顶点一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】把函数解析式整理成顶点式形式，再根据m的取值范围，分类讨论，即可判断顶点所在的象限．
【详解】解：（1）∵y=x2−2mx+m2+2m+1=(x−m) 2+2m+1，
∴顶点坐标为(m,2m+1)，
1
∴当m<− 时，m<0，2m+1<0，顶点在第三象限；
2
1
当− 0，顶点在第二象限；
2
当m>0时，m>0，2m+1>0，顶点在第一象限；
综上所述，抛物线y=x2−2mx+m2+2m+1的顶点一定不在第四象限，
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故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的转化，坐标轴上点的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
题型 08 利用五点法绘二次函数图象
1．（2022·安徽合肥·统考二模）在函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图形研
3
究函数性质及其应用的过程，以下是研究三次函数y=ax3+ x2 (a≠0)的性质时，列表和描点的部分过程，
4
请按要求完成下列各小题．
x … −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 …
25 27 5 7
y … 0 m n 0 …
8 8 8 8
(1)表格中m=______，n=______，并在给出的坐标系中用平滑
的曲线画出该函数的大致图象；
1 3
(2)结合图象，直接写出
x+3≤ax3+ x2
的解集为：______．
2 4
【答案】(1)4，2
(2)−6≤x≤−2或x≥2.
7 3
【分析】（1）把把x=1，y= 代入y=ax3+ x2 (a≠0)先求解a, 再把x=−4，x=−2代入解析式即可
8 4
得到答案；再画函数图象即可；
1
（2）先判断y= x+3过(−6,0),(−2,2),(2,4), 再结合函数图象可得答案．
2
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7 3
【详解】（1）解：把x=1，y= 代入y=ax3+ x2 (a≠0)可得：
8 4
3 7
∴a+ = ,
4 8
1
∴a= ,
8
1 3
∴ 函数解析式为：y= x3+ x2 ，
8 4
1 3
当x=−4时，m= ×(−4) 3+ ×(−4) 2=4，
8 4
1 3
当x=−2时，n= ×(−2) 3+ ×(−2) 2=2.
8 4
1 3
当x=2时，y= ×23+ ×22=1+3=4.
8 4
画图如下：
1
（2）解：对于y= x+3,
2
当x=0时，y=3, 当y=0时，x=−6,
当x=2时，y=4, 当x=−2时，y=2,
1
所以y= x+3过(0,3)与(−6,0), 还过(2,4), (−2,2),
2
1 3
结合函数图象可得： x+3≤ax3+ x2 的解集为：−6≤x≤−2或x≥2.
2 4
【点睛】本题考查的是画函数图象，利用函数图象解不等式，探究函数的性质，掌握“数形结合的方法”
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是解本题的关键．
2．（2022·广东深圳·统考二模）小明为了探究函数M：y=−x2+4|x|−3的性质，他想先画出它的图象，
然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题．
(1)完成函数图象的作图，并完成填空．
①列出y与x的几组对应值如下表：
x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y … -8 -3 0 1 0 -3 0 1 0 a -8 …
表格中，a=_______；
②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x>0时函数M的图象；
③观察图象，当x=______时，y有最大值为_______；
(2)求函数M：y=−x2+4|x|−3与直线l：y=2x−3的交点坐标；
(3)已知P（m，y ），Q（m+1，y ）两点在函数M的图象上，当y y ．
1 1 2 2 1 2 1 2
其中正确的是 （填写序号）．
【答案】①②④
【分析】①将(−3,0)代入解析式即可判定；②由b=c，可得a=-2c，cx2+bx+a=0可得cx2+cx-2c=0，则原方程
可化为x2+x-2=0，则一定有根x=-2；③当b2-4ac≤0时，图像与x轴少于两个公共点，只有一个关于a，b，
c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0≤0，故③错误；④若0|c|>|a|，|b|>2|a|，所以对
b
称轴− >1，因为a>0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当xy，故④正确．
2a 1 2 1 2
【详解】解：∵抛物线经过点(−3,0)
∴0=(−3) 2a−3b+c，即9a-3b+c=0
∵a+b+c=0
∴b=2a
故①正确；
∵b=c，a+b+c=0
∴a=-2c，
∵cx2+bx+a=0
∴cx2+cx-2c=0，即x2+x-2=0
∴一定有根x=-2
故②正确；
当b2-4ac≤0时，图像与x轴少于两个公共点，只有一个关于a、b、c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0，
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故③错误；
b
若0|c|>|a|，|b|>2|a|，所以对称轴− >1，因为a>0在对称轴左侧，函数单调递减，
2a
所以当xy，故④正确．
1 2 1 2
故填：①②④．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二元一次方程，灵活运用二次函数的图像与性质成为解
答本题的关键．
2．（2021·湖北武汉·统考二模）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过A（0，3），B（4，
3）．
下列四个结论：
①4a+b＝0；
②点P（x，y），P（x，y）在抛物线上，当|x﹣2|﹣|x﹣2|＞0时，y＞y；
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
3
③若抛物线与x轴交于不同两点C，D，且CD≤6，则a≤− ；
5
2
④若3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，则﹣1＜a≤− ．
3
其中正确的结论是 （填写序号）．
【答案】①③④
【分析】将A、B两点坐标代入解析式可判断结论①；抛物线开口向下，由抛物线的对称性，绝对值的意
义，可判断结论②；C，D为抛物线与x轴的交点，利用一元二次方程根与系数的关系，计算CD≤6，可以
判断结论③；抛物线开口向下，3≤x≤4时函数值递减，由点B（4，3），得到x=3时，y的取值范围便可判
断结论④；
【详解】解：将A、B两点坐标代入抛物线得：¿，
解得¿，故结论①正确；
b
抛物线对称轴为x=− =2，函数开口向下，
2a
∵|x﹣2|﹣|x﹣2|＞0，即P（x，y）离对称轴更远，
1 2 1 1 1
∴y＜y，故结论②错误；
1 2
设C（x，0），C（x，0），
3 4
3
由根与系数的关系得：x＋x=4，x x= ，
3 4 3· 4 a
√ 3 √ 12
∴| x －x|=√(x +x ) 2−4x ⋅x = 42−4× = 16− ≤6，
3 4 3 4 3 4 a a
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3
解得：a≤− ，故结论③正确；
5
由题意知：x=4时，y=3，
∵3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，函数开口向下，
∴y对应的整数值为：5，4，3，
∴x=3时，对应的y值：5≤y＜6，
∴5≤9a+3b+c＜6，5≤9a－12a+3＜6，
2
解得﹣1＜a≤− ，故结论④正确；
3
故答案为：①③④；
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，绝对值的意义，一元二次方程根与系数的关系；掌握二次函数
的图象和性质是解题关键．
3．（2022·广东珠海·统考二模）已知抛物线的解析式为y=x2−(m+2)x+m+1（m为常数），则下列说
法正确的是 ．
①当m=2时，点(2,1)在抛物线上；
②对于任意的实数m，x=1都是方程x2−(m+2)x+m+1=0的一个根；
③若m>0，当x>1时，y随x的增大而增大；
④已知点A(−3,0),B(1,0)，则当−4≤m<0时，抛物线与线段AB有两个交点．
【答案】②
【分析】①将点代入解析式中即可判断；
②解方程x2−(m+2)x+m+1=0即可判断；
③根据函数解析判断开口方向，根据对称轴及开口方向即可判断；
④解方程x2−(m+2)x+m+1=0，根据题意，利用m的取值范围及AB即可判断．
【详解】解：抛物线y=x2−(m+2)x+m+1=(x−1)(x−m−1)（m为常数）中，
当m=2时，抛物线y=x2−4x+3，若x=2，则y=22−4×2+3=−1，
∴点(2,1)不在抛物线上，
即①说法错误，不符合题意，
方程x2−(m+2)x+m+1=0即(x−1)(x−m−1)=0，
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∴x−1=0或x−m−1=0，
解得x =1，x =m+1，
1 2
∴对于任意实数m，x=1都是方程x2−(m+2)x+m+1=0的一个根，
即②说法正确，符合题意，
抛物线y=x2−(m+2)x+m+1（m为常熟）中，1>0，开口向上，
m+2 m+2
对称轴是直线x= ，当x> 时，y随x的增大而增大，
2 2
m+2
即若m>0，x= >1，当x>1时，y随x的增大而增大，不一定正确，
2
即③说法错误，不符合题意，
抛物线y=x2−(m+2)x+m+1=(x−1)(x−m−1)（m为常数）中，
当y=0时，x2−(m+2)x+m+1=0，
解得x =1，x =m+1，
❑ 2
1
∴抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)、(m+1,0)，
当−4≤m≤0时，-3≤m+1≤1，
∴“④已知点A(−3,0),B(1,0)，则当−4≤m<0时，抛物线与线段AB有两个交点”的说法错误，（因为
当m=1时只有一个交点），不符合题意，
综上所述，说法正确的是②，
故答案为：②．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查了二次函数的图象及性质，对称的性质，灵活运用二
次函数的图象及性质是解题的关键．
4．（2020·山东泰安·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的y与x的部分对应
值如下表：
x −5 −4 −2 0 2
y 6 0 −6 −4 6
下列结论：
①a>0；
②当x=−2时，函数最小值为−6；
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③若点(−8,y )，点(8,y )在二次函数图象上，则y 0，∴方程ax2+bx+c=−5有两个
不相等的实数根，故④正确；
综上，正确的结论是：①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】本题以表格的形式考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质以及一元二次方程的
根的判别式等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数与一元二次方程的基本知识是解题的关键．
题型 10 二次函数平移变换问题
1．（2021·江苏苏州·统考中考真题）已知抛物线y=x2+kx−k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右
平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ）
A．−5或2 B．−5 C．2 D．−2
【答案】B
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
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【详解】解：函数y=x2+kx−k2向右平移3个单位，得：y=(x−3) 2+k(x−3)−k2；
再向上平移1个单位，得：y=(x−3) 2+k(x−3)−k2+1，
∵得到的抛物线正好经过坐标原点
∴0=(0−3) 2+k(0−3)−k2 +1即k2+3k−10=0
解得：k=−5或k=2
∵抛物线y=x2+kx−k2的对称轴在y轴右侧
k
∴x=− ＞0
2
∴k＜0
∴k=−5
故选：B．
【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
2．（2021·贵州黔东南·统考中考真题）如图，抛物线L :y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个公共点A
1
（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L ，
2
则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】连接AB，OM，根据二次函数图像的对称性把阴影图形的面积转化为平行四边形ABOM面积求解
即可．
【详解】设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M，连接AB，OM．
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由题意可知，AM=OB，
∵A(1,0),B(0,2)
∴OA=1，OB=AM=2，
∵抛物线是轴对称图形，
∴图中两个阴影部分的面积和即为四边形ABOM的面积，
∵AM//OB，AM=OB，
∴四边形ABOM为平行四边形，
∴S =OB•OA=2×1=2．
四 边 形ABOM
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数图像的对称性和阴影面积的求法，解题的关键是根据二次函数图像的对称性
转化阴影图形的面积．
3．（2021·山西·统考中考真题）抛物线的函数表达式为y=3(x−2) 2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，
将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）
A．y=3(x+1) 2+3 B．y=3(x−5) 2+3
C．y=3(x−5) 2−1 D．y=3(x+1) 2−1
【答案】C
【分析】将题意中的平移方式转换成函数图像的平移，再求解析式即可．
【详解】解：若将x轴向上平移2个单位长度，
相当于将函数图像向下平移2个单位长度，
将y轴向左平移3个单位长度，
相当于将函数图像向右平移3个单位长度，
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则平移以后的函数解析式为：y=3(x−2−3) 2+1−2
化简得：y=3(x−5) 2−1，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，将题意中的平移方式转换为函数图像的平移是解决本题的关
键．
4．（2022·山东聊城·统考二模）平面直角坐标系中，将抛物线y=−x2平移得到抛物线C，如图所示，且
抛物线C经过点A(−1,0)和B(0,3)，点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为
Q，则OQ+PQ的最大值为 ．
21
【答案】
4
【分析】求得抛物线C的解析式，设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3），即可得出OQ+PQ，根据二次函数
的性质即可求得．
【详解】解：设平移后的解析式为y=-x2+bx+c，
∵抛物线C经过点A（-1，0）和B（0，3），
∴¿，解得¿，
∴抛物线C的解析式为y=-x2+2x+3，
设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3），
∵点P是抛物线C上第一象限内一动点，
∴OQ+PQ=x+（-x2+2x+3）
=-x2+3x+3
3 2 21
=−(x− ) +
2 4
21
∴OQ+PQ的最大值为
4
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21
故答案为：
4
【点睛】本题考查了二次函数的性质，平移，二次函数图象与几何变换，根据题意得出OQ+PQ=-x2+3x+3
是解题的关键．
5．（2022·安徽宣城·统考二模）将二次函数y=−x2−4x+1的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个
单位．
（1）若平移后的二次函数图象经过点(1,−1)，则a＝ ．
（2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为 ．
【答案】 3或1/1或3 2
【分析】（1）先求出平移后的解析式y=−(x+2−a) 2+5−2a，然后把点（1，-1）代入解析式求解即可；
（2）根据平移后的解析式，令x=0，求出与y轴交点的函数，配方即可．
【详解】解：（1）∵二次函数y=−x2−4x+1=−(x+2) 2+5的图象先向右平移a个单位再向下平移2a
个单位，
∴y=−(x+2−a) 2+5−2a，
∵平移后的二次函数图象经过点(1,−1)，
∴−1=−(1+2−a) 2+5−2a，
解得a =3，a =1，
1 2
故答案为3或1；
（2）∵平移后的二次函数图象与y轴交点，
∴y=−(0+2−a) 2+5−2a=-(a−1) 2+2，
∴与y轴交点的纵坐标最大值为2．
故答案为2．
【点睛】本题考查二次函数的平移，待定系数法求参数，二次函数的性质，掌握二次函数的平移，待定系
数法求参数，二次函数的性质是解题关键．
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题型 11 已知抛物线对称的两点求对称轴
1．（2022·广东中山·校联考三模）已知抛物线y =ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点的横坐标分别是－3
1
和1，若抛物线y =ax2+bx+c+m(m>0)与x轴有两个交点A，B，点A的坐标是(4,0)，则点B的坐标是
2
．
【答案】( -6，0)
【分析】由抛物线与x轴两交点横坐标求出抛物线对称轴，进而求解．
【详解】解：∵抛物线y =ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点的横坐标分别是1和-3，
1
∴抛物线对称轴为直线x=- 1，
∴抛物线y =ax2+bx+c+m(m>0)是由抛物线y =ax2+bx+c(a≠0)向上移动m个单位，抛物线对称轴
2 1
为直线x=-l，
∵A， B关于对称轴对称， A坐标为( 4， 0)，
∴点B坐标为( -6，0)，
故答案为( -6，0)．
【点睛】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性
质是解题的关键．
2．（2022·江苏无锡·校考一模）若函数图像y=x2+bx+c与x轴的两个交点坐标为(−1,0)和(3,0)，则b=
．
【答案】-2
【分析】根据二次函数图象对称轴所在的直线与x轴的交点的坐标，即为它的图象与x轴两交点之间线段
中点的横坐标，即可求得．
【详解】解：∵函数图像y=x2+bx+c与x轴的两个交点坐标为(−1,0)和(3,0)
b −1+3
∴由对称轴所在的直线为：− =
2 2
解得b=−2
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质及中点坐标的求法，熟练掌握和运用二次函数的性质及中点坐标的求
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法是解决本题的关键．
3．（2022·浙江温州·校联考模拟预测）若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A(m,n)，
B(m−4,n)，则n的值为 ．
【答案】4
【分析】根据A、B的坐标易得抛物线的对称轴，再通过设顶点式，代入坐标，可得n的值．
【详解】∵ y＝x2+bx+c过点A(m,n)，B(m−4,n)
m+m−4
∴x= =m−2是抛物线的对称轴．
2
∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点．
∴顶点坐标为：(m−2,0)
∴设抛物线的解析式为：y=(x−m+2) 2
把A(m,n)代入，得：
n=(m−m+2) 2
解得：n=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的解析式，解决问题的关键在于找到顶点坐标，根据顶
点坐标设解析式．
4．（2022·广东揭阳·揭阳市实验中学校考模拟预测）在二次函数y=x2+4x+k的图像上有点
(−5,y ),(−3,y ),(2,y )．则y ,y ,y 的大小关系是（ ）
1 2 3 1 2 3
A．y 0，
∴二次函数的图象开口向上，
y=x2−4x+2=(x−2) 2−2，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=2，最小值为−2，
当x=3时，y=32−4×3+2=−1，
∴点(3,−1)在二次函数图象上，且点(3,−1)关于对称轴的对称点为(1,−1)，
∵该函数在a≤x≤3的取值范围内有最大值−1，
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∴1≤a≤3，
∴a可能为1.5．
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
题型 13 根据二次函数的性质求最值
1．（2022·安徽滁州·统考二模）已知实数x，y满足x+ y=12，则xy−2的最大值为（ ）
A．10 B．22 C．34 D．142
【答案】C
【分析】利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵x+y=12，
∴y=12-x，
∴xy-2=x(12-x)-2=-x2+12x-2=-(x-6)2+34，
∵-1＜0，
∴当x=6时，xy-2有最大值，最大值为34，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，会利用二次函数的性质求最值是解答的关键．
1
2．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）关于二次函数y= x2−6x+a+27，下列说法错误的是（ ）
4
A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点(4,5)，则a=−5
B．当x=12时，y有最小值a−9
C．x=2对应的函数值比最小值大7
D．当a<0时，图象与x轴有两个不同的交点
【答案】C
【分析】求出二次函数平移之后的表达式，将（4，5）代入，求出a即可判断A；将函数表达式化为顶点
式，即可判断B；求出当x=2时的函数值，减去函数最小值即可判断C；写出函数对应方程的根的判别式，
根据a值判断判别式的值，即可判断D.
1 1
【详解】解：A、将二次函数y= x2−6x+a+27= (x−12) 2+a−9向上平移10个单位，再向左平移2
4 4
个单位后，
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1 1
表达式为：y= (x+2−12) 2+a−9+10= (x−10) 2+a+1，
4 4
若过点（4，5），
1
则5= (4−10) 2+a+1，解得：a=-5，故选项正确；
4
1 1
B、∵y= x2−6x+a+27= (x−12) 2+a−9，开口向上，
4 4
∴当x=12时，y有最小值a−9，故选项正确；
C、当x=2时，y=a+16，最小值为a-9，a+16-（a-9）=25，即x=2对应的函数值比最小值大25，故选项错
误；
1 1
D、△=(−6) 2−4× ×(a+27)=9-a，当a＜0时，9-a＞0，即方程 x2−6x+a+27=0有两个不同的实数
4 4
根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，
故选C.
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，涉及到二次函数的基本知识点，解题的关键是掌握二次函数
的性质，以及与一元二次方程的关系.
3．（2020·浙江舟山·统考中考真题）已知二次函数y=x2，当a≤x≤b时m≤ y≤n，则下列说法正确的是(
)
A．当n−m=1时，b−a有最小值
B．当n−m=1时，b−a有最大值
C．当b−a=1时，n−m无最小值
D．当b−a=1时，n−m有最大值
【答案】B
【分析】①当b﹣a＝1时，先判断出四边形BCDE是矩形，得出BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，进而
得出AC＝n﹣m，即tan∠ABC＝n﹣m，再判断出0°≤∠ABC＜90°，即可得出n﹣m的范围；
②当n﹣m＝1时，同①的方法得出NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，进而得出MH＝n﹣m＝1，而
1
tan∠MHN＝ ，再判断出45°≤∠MNH＜90°，即可得出结论．
b−a
【详解】解：①当b﹣a＝1时，如图1，过点B作BC⊥AD于C，
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∴∠BCD＝90°，
∵∠ADE＝∠BED＝90°，
∴∠ADO＝∠BCD＝∠BED＝90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，
∴AC＝AD﹣CD＝n﹣m，
AC
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝ ＝n﹣m，
BC
∵点A，B在抛物线y＝x2上，
∴0°≤∠ABC＜90°，
∴tan∠ABC≥0，
∴n﹣m≥0，
即n﹣m无最大值，有最小值，最小值为0，故选项C，D都错误；
②当n﹣m＝1时，如图2，过点N作NH⊥MQ于H，
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同①的方法得，NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，
∴MH＝MQ﹣HQ＝n﹣m＝1，
MH 1
在Rt△MHQ中，tan∠MNH＝ = ，
NH b−a
∵点M，N在抛物线y＝x2上，
∴m≥0，
当m＝0时，n＝1，
∴点N（0，0），M（1，1），
∴NH＝1，
此时，∠MNH＝45°，
∴45°≤∠MNH＜90°，
∴tan∠MNH≥1，
1
∴ ≥1，
b−a
当a,b异号时，且m=0,n=1时，a,b的差距是最大的情况，
此时b-a=2,
∴b﹣a无最小值，有最大值，最大值为2，故选项A错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，确定出∠MNH的范围是
解本题的关键．
4．（2020·江苏镇江·统考中考真题）点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m
﹣n的最大值等于（ ）
15 15 17
A． B．4 C．﹣ D．﹣
4 4 4
【答案】C
【分析】根据题意，可以得到a的值以及m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可
求出m﹣n的最大值．
【详解】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
1 15
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣ ）2﹣ ，
2 4
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1 15
∴当m＝ 时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣ ，
2 4
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握二次函数的性质是
解题的关键．
题型 14 根据二次函数的最值求字母的取值范围
1．（2021·山东济南·统考一模）函数y=−x2+4x−3，当0≤x≤m时，此函数的最小值为−3，最大值为
1，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m<2 B．0≤m≤4 C．2≤m≤4 D．m>4
【答案】C
【分析】化函数为顶点式，可知x=2时取得最大值，所以取值范围必须包含x=2，又可知它的最小值-3是
在x=0或x=4时取得的，结合0≤x≤m即可得m取值范围．
【详解】解：y=−x2+4x−3=−(x−2) 2+1，
当x=2时，函数取得最大值1，
当函数值取最小值-3时，−3=−x2+4x−3得x =0，x =4，
1 2
∵0≤x≤m，
∴2≤m≤4．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，根据对称轴求出顶点坐标是解题的关键．
2．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考模拟预测）已知二次函数y=−x2+2mx−m2+3，当
2m−1m≥0
【分析】计算当x=m时，y=3，根据当2m−10，
∴二次函数有最小值为0，此时x=1，
当x=−5时，y=(−5−1) 2=36，
当x=3时，y=(3−1) 2=4，
∴该函数在−5≤x≤3的取值范围内，y的取值范围内是0≤ y≤36，
故答案为：0≤ y≤36．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的最值，能把函数化成顶点式和求出当x=−5和x=3对应
的y值是解此题的关键．
题型 16 根据二次函数的增减性求字母的取值范围
1．（2023·江苏泰州·统考二模）已知抛物线y=−x2−4mx+m2−1，A(−2m−4,y )，B(m+3,y )为该
1 2
抛物线上的两点，若y C．m<− 或m> D．− 0，对称轴为直线：x=1，
∴在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；
∴当函数y=(x−1) 2−2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是：x≤1；
故答案为：x≤1．
【点睛】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键．
3．（2023·上海崇明·统考一模）如果抛物线y=(m−2)x2有最高点，那么m的取值范围是 ．
【答案】m<2
【分析】根据二次函数y=(m−2)x2有最高点，得出抛物线开口向下，即m−2<0，即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线y=(m−2)x2有最高点，
∴抛物线开口向下，
∴m−2<0，
∴m<2，
故答案为：m<2．
【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数的最值与开口方向的特点．
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题型 17 根据二次函数图象判断式子符号
1．（2020·广东·统考中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1．下列结论：①abc>0；②
b2−4ac>0；③8a+c<0；④5a+b+2c>0，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】由抛物线的性质和对称轴是x=1，分别判断a、b、c的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个
b
交点，可判断②；由x=− =1，得b=−2a，令x=−2，求函数值，即可判断③；令x=2时，则
2a
y=4a+2b+c>0，令x=−1时，y=a−b+c>0，即可判断④；然后得到答案．
【详解】解：根据题意，则a<0，c>0，
b
∵x=− =1，
2a
∴b=−2a>0，
∴abc<0，故①错误；
由抛物线与x轴有两个交点，则b2−4ac>0，故②正确；
∵b=−2a，
令x=−2时，y=4a−2b+c<0，
∴8a+c<0，故③正确；
在y=ax2+bx+c中，
令x=2时，则y=4a+2b+c>0，
令x=−1时，y=a−b+c>0，
由两式相加，得5a+b+2c>0，故④正确；
∴正确的结论有：②③④，共3个；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子
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的符号．
2．（2022·贵州毕节·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如
图所示，有下列5个结论：①abc>0；②2a−b=0；③9a+3b+c>0；④b2>4ac；⑤a+c0、c>0，则该函数的
图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用排除法，由−c<0得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，
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−b
根据B选项和C选项中对称轴x= >0，得出a<0，抛物线开口向下，排除B选项，即可得出C为正确
2a
答案．
【详解】解：对于二次函数y=ax2+bx−c(a≠0)，
令x=0，则y=−c，
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,−c)
∵c>0，
∴−c<0，
∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，
∴可以排除A选项和D选项；
−b
B选项和C选项中，抛物线的对称轴x= >0，
2a
∵ b>0，
∴a<0，
∴抛物线开口向下，可以排除B选项，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键．
2．（2021·湖北襄阳·统考中考真题）一次函数y=ax+b的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx的图象
可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点可知：a<0，b＞0，由此可知二次函数开口
方向，坐标轴情况，依此判断即可．
【详解】解：观察一次函数图像可知a<0，b＞0，
∴二次函数y=ax2+bx开口向下，
b
对称轴x=− ＞0，
2a
故选：D．
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【点睛】本题主要考查一次函数的图像以及二次函数的图像，根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴
的交点情况判断a、b的正负是解题的关键．
3．（2022下·全国·九年级专题练习）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．a＜0，b＞0
B．b2﹣4ac＞0
C．方程ax2＋bx＋c＝0的解是x＝5，x＝﹣1
1 2
D．不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是0＜x＜5
【答案】D
b
【分析】根据抛物线开口向下可知a＜0，再根据其对称轴为直线x=− =2>0，即可求出b＞0，可判断
2a
A；根据二次函数图象与一元二次方程的关系即可判断B；根据二次函数的对称性和其对称轴为x=2，可
得出抛物线与x轴的另一个交点，再结合二次函数图象与一元二次方程的关系即可判断C；根据抛物线与
x轴的两个交点，即可利用图象法解不等式，由此可判断D．
b
【详解】由图象可知，抛物线开口向下，所以a＜0．对称轴为直线x=− =2>0，所以b＞0，故A正确；
2a
因为抛物线与x轴有两个交点，所以Δ=b2−4ac>0，故B正确；
由图象和对称轴公式可知，抛物线与x轴交于点(5，0)和(-1，0)，所以方程ax2+bx+c=0的解是
x =5，x =−1 ，故C正确；
1 2
由C选项结合图象可知，不等式ax2+bx+c>0的解集是−10
C．2a+b=1 D．当00
【答案】C
b
【分析】由图象可得，a>0，c=−1，0<− <1，抛物线与直线的交点坐标为(0，−1)，(2，1)，则
2a
b<0，进而可判断A的正误；根据二次函数当x=1时，y<0，可判断B的正误；将(2，1)代入
y=ax2+bx+c，可判断C的正误；根据当0ax2+bx+c，判断D的正误即可．
b
【详解】解：由图象可得，a>0，c=−1，0<− <1，抛物线与直线的交点坐标为(0，−1)，(2，1)，
2a
∴b<0，
∴bc>0，A错误，故不符合要求；
当x=1时，y<0，即a+b+c<0，B错误，故不符合要求；
将(2，1)代入y=ax2+bx+c得，4a+2b−1=1，即2a+b=1，C正确，故符合要求；
当0ax2+bx+c，即ax2+(b−1)x+c+1<0，D错误，故不符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与不等式，二次函数与一次函数综合等知识．解题的
关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
3．（2019·四川·统考中考真题）在同一坐标系中，二次函数y=ax2+bx与一次函数y=bx−a的图像可能
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；
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根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，
当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次
项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，
交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答
案．
【详解】解：由方程组¿得ax2＝−a，
∵a≠0
∴x2＝−1，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．
A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显
示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；
C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示
从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；
D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．
故选C．
【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a
的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏
上．
题型 20 二次函数、一次函数、反比例函数图象综合
1．（2021·贵州黔东南·统考一模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+c与反比
b
例函数y= 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
x
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数图象确定系数a,b,c的符号，再根据一次函数、反比例函数的图象与性质解题．
【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，
∴a<0
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交点在x轴上方，
∴c>0
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴在y轴的左侧，
∴a,b同号，
∴b<0
∴一次函数y=ax+c图象经过第二、一、四象限，
b
反比例函数y= 图象分布在第二、四象限，
x
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象与性质、一次函数图象与性质、反比例函数的图象与性质等知识，是重要
考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2．（2022·山东菏泽·统考中考真题）根据如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断反比例函数
a
y= 与一次函数y=bx+c的图象大致是（ ）
x
A． B． C． D．
【答案】A
a
【分析】先根据二次函数的图象，确定a、b、c的符号，再根据a、b、c的符号判断反比例函数y= 与一
x
次函数y＝bx+c的图象经过的象限即可．
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【详解】解：由二次函数图象可知a＞0，c＜0，
b
由对称轴x=− ＞0，可知b＜0，
2a
a
所以反比例函数y= 的图象在一、三象限，
x
一次函数y＝bx+c经过二、三、四象限．
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质、一次函数的图象的性质、反比例函数图象的性质，关键在于
通过二次函数图象推出a、b、c的取值范围．
c
3．（2020·山东青岛·中考真题）已知在同一直角坐标系中二次函数y=ax2+bx和反比例函数y= 的图象
x
c
如图所示，则一次函数y= x−b的图象可能是（ ）
a
A． B． C． D．
【答案】B
c
【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象位置可得出：a﹤0，b﹥0，c﹥0，由此可得出 ﹤0，一次函
a
数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，对照四个选项即可解答．
b
【详解】由二次函数图象可知：a﹤0，对称轴x=− ﹥0，
2a
∴a﹤0，b﹥0，
由反比例函数图象知：c﹥0，
c
∴ ﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，
a
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c
对照四个选项，只有B选项符合一次函数y= x−b的图象特征．
a
故选：B·
【点睛】本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数之间
的关系是解答的关键·
题型 21 抛物线与 x 轴交点问题
1．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知二次函数y=x2+bx+c+1的图象过点P(2，−1)
(1)求证：c=−2b−6；
(2)求证：此二次函数的图象与x轴必有两个交点；
(3)若二次函数的图象与x轴交于点A(x ，0)、B(x ，0)，AB=4，求b的值．
1 2
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)b =2√3−4，b =−2√3−4；
1 2
【分析】（1）将点P代入二次函数化简即可证明；
（2）令y=0得到一元二次方程：x2+bx+c+1=0，再利用（1）题结论求得方程的Δ即可确定二次函数与
x轴的交点个数；
（3）由AB=4可得|x −x |=4，两边平方可得(x −x ) 2=16，再化为(x +x ) 2−4x x =16，在一元二
2 1 2 1 2 1 1 2
次方程x2+bx+c+1=0中利用根与系数关系可得(x +x )和x x 的表达式，然后再代入
1 2 1 2
(x +x ) 2−4x x =16解方程便可求得b值；
2 1 1 2
【详解】（1）证明：将点P(2，−1)代入y=x2+bx+c+1可得：−1=4+2b+c+1，
整理得：c=−2b−6；
（2）证明：令y=0可得一元二次方程：x2+bx+c+1=0，
此方程Δ=b2−4(c+1)，
由c=−2b−6可得c+1=−2b−5，
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∴Δ=b2−4(−2b−5)=b2+8b+20=(b+4) 2+4>0，
∴方程有两个不等的实数根，
∴此二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（3）解：∵AB=4，
∴|x −x |=4，
2 1
∴(x −x ) 2=16，
2 1
∴(x +x ) 2−4x x =16，
2 1 1 2
在一元二次方程x2+bx+c+1=0中，由根与系数关系可得：
x +x =−b，x x =c+1，
1 2 1 2
∵c+1=−2b−5，
∴x x =c+1=−2b−5，
1 2
代入(x +x ) 2−4x x =16可得：(−b) 2−4(−2b−5)=16，
2 1 1 2
整理得：(b+4) 2=12，
解得：b =2√3−4，b =−2√3−4；
1 2
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标意义，二次函数的图象与x轴的交点，一元二次方程根的判
别式及根与系数的关系；掌握根的判别式和根与系数的关系是解题关键．
2．（2023·云南昆明·云南师范大学实验中学校考模拟预测）已知二次函数y=(m−1)x2−2mx+m+1．
(1)求证：该二次函数图象与x轴有两个交点；
(2)当该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数时，求整数m的值．
【答案】(1)见解析
(2)m=2或3
【分析】
（1）根据函数表达式，求出Δ，再对Δ的值进行判断即可．
（2）把二次函数问题转化为二次方程的问题即可解答．
【详解】（1）
解：证明：令y=0，
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则Δ=(−2m) 2−4(m−1)(m+1)=4>0，
∴该二次函数图象与x轴有两个交点．
（2）
函数与x轴相交，交点的纵坐标为0，
m+1 2
当y=0时，根据求根公式可得方程的解为：x = =1+ ，x =1，
1 m−1 m−1 2
若该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数，
则方程函数(m−1)x2−2mx+m+1=0的解都是正整数．
2 2
∴1+ 为正整数，即 是正整数，
m−1 m−1
∴m−1=1或2，
解得m=2或3，
∴当该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数时，m的值为2或3．
【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点坐标及二次函数与一元二次方程的关系，学会用方程解决函数问
题是关键．
3．（2023·山东青岛·校考一模）已知D(s,t)是二次函数y=2x2+bx−1（b为常数）的顶点．
1
(1)若二次函数经过点(1, b)，求b的值．
2
(2)求证：无论b取何值，二次函数y=2x2+bx−1的图象与x轴必有两个交点．
(3)有同学认为：t是s的二次函数，你认为正确吗？为什么？
【答案】(1)b的值是−2
(2)见解析
(3)t是s的二次函数，正确，理由见详解
1
【分析】（1）将点(1, b)代入二次函数解析式，即可得到b的值；
2
（2）要证明结论成立，只要计算出b2−4ac>0即可，然后计算即可；
（3）先将二次函数解析式化为顶点式，表示出s、t，然后用s表示t即可．
1
【详解】（1）解：∵二次函数y=2x2+bx−1经过点(1, b)，
2
1
∴ b=2+b−1，
2
解得b=−2，
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即b的值是−2；
（2）证明：∵二次函数y=2x2+bx−1，
∴b2−4×2×(−1)=b2+8>0，
∴无论b取何值，二次函数y=2x2+bx−1的图象与x轴必有两个交点；
（3）解：t是s的二次函数，正确，
b 2 b2
理由：∵二次函数y=2x2+bx−1=2(x+ ) − −1，D(s,t)是二次函数y=2x2+bx−1(b为常数）的
4 8
顶点，
b b2
∴s=− ，t=− −1，
4 8
b 2
∴t=−2×(− ) −1=−2s2−1，
4
即t是s的二次函数．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利
用二次函数的性质解答．
67．（2022上·吉林长春·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x+1)(x−3)+3的图象
沿y轴向下平移3个单位后，所得函数图象与x轴的两个交点之间的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】求出抛物线平移后的解析式可得抛物线与x轴的交点坐标，进而求解．
【详解】解：将二次函数y=(x+1)(x−3)+3的图象沿y轴向下平移3个单位后所得的函数解析式为
y=(x+1)(x−3)+3−3，即为y=(x+1)(x−3)，
此抛物线与x轴的两个交点坐标为(−1,0)，(3,0)，
则此抛物线与x轴的两个交点之间的距离为3−(−1)=4，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律和二次函数的交点式是解题
关键．
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题型 22 求 x 轴与抛物线的截线长
m 6−m
1．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知关于x的方程x2+2bx+3c=0的两个根分别是x = ,x = ，
1 2 2 2
若点A是二次函数y=x2+2bx−3c的图象与y轴的交点，过A作AB⊥y轴交抛物线于另一交点B，则AB
的长为 ．
【答案】3
−m2+6m
【分析】先利用一元二次方程根与系数的的关系得出x +x =−2b=3，x x =3c= ，进而得
1 2 1• 2 4
出A ( 0， 1 (m2−6m) ) ，B点的纵坐标为 1 (m2−6m)，将点B的坐标代入二次函数解析式，解方程求得
4 4
x =0，x =3，进而即可求解．
1 2
m 6−m
【详解】解：∵x = ,x = ，
1 2 2 2
−m2+6m
∴x +x =−2b=3，x x =3c= ，
1 2 1• 2 4
−m2+6m
∴2b=−3，3c= ，
4
1
∴y=x2−3x+ (m2−6m)，
4
1
令x=0,y= (m2−6m)，
4
∴A ( 0， 1 (m2−6m) ) ，
4
∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
1
∴B点的纵坐标为
(m2−6m)，
4
1 1
把y= (m2−6m)代入y=x2−3x+ (m2−6m)，
4 4
1 1
得
(m2−6m) =x2−3x+ (m2−6m)，
4 4
解得x =0，x =3，
1 2
∴AB=3．
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故答案为：3．
【点睛】本题考查了抛物线的性质、抛物线与x轴的交点以及根与系数的关系，把求二次函数
y=ax2+bx+c (a，b，c是常数，a≠0) 与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题
的关键．
2．（2022·福建福州·校考模拟预测）如图，开口向下的抛物线y=ax2−4ax−5a交x轴于A、B(A左B右
)两点，交y轴于点C．
(1)求线段AB的长；
(2)设抛物线的顶点为D，若S =15，求抛物线的解析式；
△BCD
(3)在（2）的条件下，P、Q为线段BC上两点(P左Q右，P、Q不与B、C重合)，PQ=2√2，在第一象限
的抛物线上是否存在这的这样的点R，使△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；如果不存
在，请说明理由．
【答案】(1)6
(2)y=−x2+4x+5
(5+√17 9−√17)
(3)存在， R(4,5)或 ,
2 2
【分析】（1）把y=0代入抛物线y=ax2−4ax−5a得x2−4x−5=0，解方程可以得到A(−1,0)，
B(5,0)，再根据两点间的距离公式即可得到AB=6；
（2）根据对称轴得到顶点D(2,−9a)，再求出点C的坐标，过点D作DE⊥y轴于点E，根据
S =S −S −S 得到关于a的方程，求得a的值，即可得到抛物线的解析式；
△BCD 梯形EOBD △CDE △COB
（3）分三种情况：①以点P为直角顶点；②以点R为直角顶点；③以点Q为直角顶点；进行讨论可得使
△PQR为等腰直角三角形时点R的坐标．
【详解】（1）解：把y=0代入抛物线y=ax2−4ax−5a得ax2−4ax−5a=0，
∵a≠0，
∴两边同时除以a，得x2−4x−5=0，
解得x =5，x =−1，
1 2
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∴A(−1,0)，B(5,0)，
∴AB=6；
−4a
（2）解：抛物线的对称轴为直线x=− =2，
2a
把x=2代入y=ax2−4ax−5a，
得：y=−9a，
∴D(2,−9a)，
当x=0时，y=−5a，
∴C(0,−5a)，
过点D作DE⊥y轴于点E，
S =S −S −S ，
△BCD 梯形EOBD △CDE △COB
1 1 1
= (DE+OB)⋅OE− DE⋅CE− OB⋅OC，
2 2 2
=−15a，
∵−15a=15，
∴a=−1，
∴抛物线的解析式为：y=−x2+4x+5；
（3）解：分三种情况：
①以点P为直角顶点
∵PQ=2√2，
∴RQ=√2PQ=4，
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∵C(0,5)，B(5,0)，
∴OC=OB=5，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵∠RQP=45°，
∴RQ∥OC，
∵C(0,5)，B(5,0)，
∴直线BC的解析式为y=−x+5，
设R(m,−m2+4m+5)，则Q(m,−m+5)，
则RQ=(−m2+4m+5)−(−m+5)=4，
解得m =4，m =1，
1 2
∵点Q在点P右侧，
∴m=4，
∴R(4,5)；
②以点R为直角顶点，
∵PQ=2√2，
√2
∴RQ= PQ=2，
2
设R(m,−m2+4m+5)则Q(m,−m+5)，
则RQ=(−m2+4m+5)−(−m+5)=2，
5+√17 5−√17
解得 m = ，m = ，
1 2 2 2
∵点Q在点P右侧，
5+√17
∴m= ，
2
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(5+√17 9−√17)
∴R , ；
2 2
③以点Q为直角顶点，
∵PQ=2√2，
∴PR=√2PQ=4，
∵C(0,5)，B(5,0)，
∴OC=OB=5，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵∠RPQ=45°，
∴PR∥OB，
设R(m,−m2+4m+5)，则P(m−4,−m2+4m+5)，
把P(m−4,−m2+4m+5)代入y=−x+5，
得−(m−4)+5=−m2+4m+5，
解得m =4，m =1，
1 2
此时点P(0,5)，
因为点P在线段BC上运动，且不与B、C重合，所以不存在以Q为直角顶点的情况．
(5+√17 9−√17)
综上所述：当 R(4,5)或 , 时，△PQR为等腰直角三角形．
2 2
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上的点的坐标特征，两点间的距离公式，
抛物线的对称轴，面积计算，求抛物线的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，以及分类思想的应用，
综合性较强，有一定的难度．
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题型 23 根据交点确定不等式的解集
1．（2019·山东济宁·统考中考真题）如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,P)，B(3,q)两点，
则不等式ax2+mx+c>n的解集是 ．
【答案】x<−3或x>1．
【分析】由ax2+mx+c>n可变形为ax2+c>−mx+n，即比较抛物线y=ax2+c与直线y=−mx+n之间
关系，而直线PQ：y=−mx+n与直线AB：y=mx+n关于与y轴对称，由此可知抛物线y=ax2+c与直线
y=−mx+n交于P(1,p)，Q(−3,q)两点，再观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(−1,p)，B(3,q)两点，
∴−m+n=p，3m+n=q，
∴抛物线y=ax2+c与直线y=−mx+n交于P(1,p)，Q(−3,q)两点，
观察函数图象可知：当x<−3或x>1时，直线y=−mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的下方，
∴不等式ax2+mx+c>n的解集为x<−3或x>1．
故答案为x<−3或x>1．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
2．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在平面直角坐标中，抛物线y=ax2+bx(a>0)和直线y=kx(k>0)
交于点O和点A，则不等式ax2+bxx >−2，
1 2
则y >y ；④若y = y ，则x +x =−2其中，正确结论的个数为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
b 4a
【分析】根据对称轴公式x=− =− =−2可判断①；当x=0时，y=3，可判断②；根据抛物线的增
2a 2a
x +x
减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到 1 2=−2，可以判断④．
2
【详解】解：∵抛物线y=ax2+4ax+3（a是常数，a≠0)，
b 4a
∴x=− =− =−2，
2a 2a
故①正确；
当x=0时，y=3，
∴点(0,3)在抛物线上，
故②正确；
当a>0时，y >y ，
1 2
当a<0时，y 0，
∴m=3，
∴y=x2+3x+6= ( x+ 3) 2 + 15 ，
2 4
2 15
∴当x=− 时，二次函数有最小值，最小值为 ，
3 4
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出m的值是解题关键．
4．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数y=a(x−m)(x−m−k)(a>0,m,k是实数)，则（ ）
A．当k=2时，函数y的最小值为−a B．当k=2时，函数y的最小值为−2a
C．当k=4时，函数y的最小值为−a D．当k=4时，函数y的最小值为−2a
【答案】A
【分析】令y=0，则0=a(x−m)(x−m−k)，解得：x =m，x =m+k，从而求得抛物线对称轴为直线
1 2
m+m+k 2m+k
x= = ，再分别求出当k=2或k=4时函数y的最小值即可求解．
2 2
【详解】解：令y=0，则0=a(x−m)(x−m−k)，
解得：x =m，x =m+k，
1 2
m+m+k 2m+k
∴抛物线对称轴为直线x= =
2 2
当k=2时， 抛物线对称轴为直线x=m+1，
把x=m+1代入y=a(x−m)(x−m−2)，得y=−a，
∵a>0
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∴当x=m+1，k=2时，y有最小值，最小值为−a．
故A正确，B错误；
当k=4时， 抛物线对称轴为直线x=m+2，
把x=m+2代入y=a(x−m)(x−m−4)，得y=−4a，
∵a>0
∴当x=m+2，k=4时，y有最小值，最小值为−4a，
故C、D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键．
k
5．（2023·安徽·统考中考真题）已知反比例函数y= (k≠0)在第一象限内的图象与一次函数y=−x+b的
x
图象如图所示，则函数y=x2−bx+k−1的图象可能为（ ）
A． B． C．
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D．
【答案】A
【分析】设A(1,k)，则B(k,1)，k>1，将点B(k,1)，代入y=−x+b，得出k=b−1，代入二次函数，可
b
得当x=1时，y=−1，则y=x2−bx+k−1，得出对称轴为直线x= >1，抛物线对称轴在y轴的右侧，且
2
过定点(1,−1)，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，
设A(1,k)，则B(k,1)，根据图象可得k>1，
将点B(k,1)代入y=−x+b，
∴1=−k+b，
∴k=b−1，
∵k>1，
∴b>2，
∴y=x2−bx+k−1 =x2−bx+(b−1)−1=x2−bx+b−2= ( x− b) 2 + b2 +b−2，
2 4
b
对称轴为直线x= >1，
2
当x=1时，1−b+b−2=−1，
∴抛物线经过点(1,−1)，
∴抛物线对称轴在x=1的右侧，且过定点(1,−1)，
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当x=0时，y=k−1=b−2>0，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出k=b−1是解题的关键．
6．（2023·浙江宁波·统考中考真题）已知二次函数y=ax2−(3a+1)x+3(a≠0)，下列说法正确的是(
)
A．点(1,2)在该函数的图象上
B．当a=1且−1≤x≤3时，0≤ y≤8
C．该函数的图象与x轴一定有交点
3
D．当a>0时，该函数图象的对称轴一定在直线x= 的左侧
2
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵y=ax2−(3a+1)x+3(a≠0)，
当x=1时：y=a−(3a+1)+3=2−2a，
∵a≠0，
∴2−2a≠2，
即：点(1,2)不在该函数的图象上，故A选项错误；
当a=1时，y=x2−4x+3=(x−2) 2−1，
∴抛物线的开口向上，对称轴为x=2，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵−1≤x≤3，|−1−2|>|3−2|>|2−2|，
∴当x=−1时，y有最大值为(−1−2) 2−1=8，
当x=2时，y有最小值为−1，
∴−1≤ y≤8，故B选项错误；
∵Δ=[−(3a+1)] 2 −4×3a=9a2−6a+1=(3a−1) 2≥0，
∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确；
3a+1 3 1 3
当a>0时，抛物线的对称轴为：x= = + > ，
2a 2 2a 2
3
∴该函数图象的对称轴一定在直线x= 的右侧，故选项D错误；
2
【79淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
7．（2023·湖北十堰·统考中考真题）已知点A(x ,y )在直线y=3x+19上，点B(x ,y ),C(x ,y )在抛
1 1 2 2 3 3
物线y=x2+4x−1上，若y = y = y 且x −8，
1
【80淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴−80；②若点(−4,y )，(3,y )均在二次函数图象上，
1 2
则y >y ；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1有两个相等的实数根；④满足ax2+bx+c>2的x的
1 2
取值范围为−2y ，故②正确；根据抛物线的图象可知二
2 1 2
次函数y=ax2+bx+c与直线y=−1有两个不同的交点，推得关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1有两
个不相等的实数根，故③错误；根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点(−2，2)，即可得到
ax2+bx+c>2时，x的取值范围−2−1时，y随x的增大而减小，
∵|−1−(−4)|=3，|−1−3|=4，
即点(−4,y )到对称轴的距离小于点(3,y )到对称轴的距离，
1 2
故y >y ，故②正确；
1 2
③由图象可知：二次函数y=ax2+bx+c与直线y=−1有两个不同的交点，
即关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1有两个不相等的实数根，故③错误；
④∵函数图象经过(0,2)，对称轴为直线x=−1，
∴二次函数必然经过点(−2，2)，
∴ax2+bx+c>2时，x的取值范围−20时，抛物线向上开
口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物
线与y轴交点；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．（2023·湖南娄底·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①
abc<0；②4a−2b+c>0；③a−b>m(am+b)（m为任意实数）；④若点(−3,y )和点(3,y )在该图象
1 2
上，则y >y ．其中正确的结论是（ ）
1 2
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A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【答案】D
【分析】由抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，可得a<0，c>0， b<0，故①
不符合题意；当x=0与x=−2时的函数值相等，可得4a−2b+c=c>0，故②符合题意；当x=−1时函数
值最大，可得a−b≥m(am+b)，故③不符合题意；由点(−3,y )和点(3,y )在该图象上，而
1 2
3−(−1)=4>(−1)−(−3)=2，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，可得④符合题意．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，
b
∴a<0，c>0，x=− <0，
2a
∴b<0，
∴abc>0，故①不符合题意；
∵对称轴为直线x=−1，
∴当x=0与x=−2时的函数值相等，
∴4a−2b+c=c>0，故②符合题意；
∵当x=−1时函数值最大，
∴a−b+c≥am2+bm+c，
∴a−b≥m(am+b)；故③不符合题意；
∵点(−3,y )和点(3,y )在该图象上，
1 2
而3−(−1)=4>(−1)−(−3)=2，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，
∴y >y ．故④符合题意；
1 2
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟记二次函数的开口方向，与y轴的交点坐标，对称轴方
程，增减性的判定，函数的最值这些知识点是解本题的关键．
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10．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(−3,0)和点
B(1,0)，与y轴交于点C．下列说法：①abc<0；②抛物线的对称轴为直线x=−1；③当−30；④当x>1时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a−b（m为任意实数）其中正确的个数
是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得a<0，c>0，根据A(−3,0)和点B(1,0)可得抛物
线的对称轴为直线x=−1，即可判断②；推出b=2a<0，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据
当x=−1时，抛物线有最大值a−b+c，即可得到am2+bm≤a−b，即可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a<0，c>0，
∵抛物线与x轴交于点A(−3,0)和点B(1,0)，
−3+1
∴抛物线对称轴为直线x= =−1，故②正确；
2
b
∴− =−1，
2a
∴b=2a<0，
∴abc>0，故①错误；
由函数图象可知，当−30，故③正确；
∵抛物线对称轴为直线x=−1且开口向下，
∴当x>−1时，y随x的增大而减小，即当x>1时，y随x的增大而减小，故④错误；
∵抛物线对称轴为直线x=−1且开口向下，
∴当x=−1时，抛物线有最大值y=a−b+c，
∴am2+bm+c≤a−b+c，
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∴am2+bm≤a−b，故⑤正确；
综上所述，正确的有②③⑤，
故选C．
【点睛】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物线的相关知识是
解题的关键．
11．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数y=ax2+x−6的图象与x轴交于A(−3,0)，B两点，
下列说法正确的是（ ）
( 1 )
A．抛物线的对称轴为直线x=1 B．抛物线的顶点坐标为 − ,−6
2
C．A，B两点之间的距离为5 D．当x<−1时，y的值随x值的增大而增大
【答案】C
【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+x−6的图象与x轴交于A(−3,0)，B两点，
∴0=9a−3−6
∴a=1
( 1) 2 25 1 ( 1 25)
∴二次函数解析式为y=x2+x−6 = x+ − ，对称轴为直线x=− ，顶点坐标为 − ,− ，故
2 4 2 2 4
A，B选项不正确，不符合题意；
∵a=1>0，抛物线开口向上，当x<−1时，y的值随x值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意；
当y=0时，x2+x−6=0
即x =−3,x =2
1 2
∴B(2,0)，
∴AB=5，故C选项正确，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握
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二次函数的性质是解题的关键．
12．（2023·江苏徐州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x+1) 2+3的图象向右平移2
个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A．y=(x+3) 2+2B．y=(x−1) 2+2 C．y=(x−1) 2+4 D．y=(x+3) 2+4
【答案】B
【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．
【详解】解：由二次函数y=(x+1) 2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋
物线对应的函数表达式为y=(x−1) 2+2；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
13．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的一个交点坐标为
(−1,0)，对称轴为直线x=1，下列论中：①a−b+c=0；②若点(−3,y ),(2,y ),(4,y )均在该二次函数
1 2 3
图象上，则y 3．正确结论的序号为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④
【答案】B
【分析】将(−1,0)代入y=ax2+bx+c，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线
的顶点坐标可判断③；根据y=ax2+bx+c+1的图象与x轴的交点的位置可判断④．
【详解】解：将(−1,0)代入y=ax2+bx+c，可得a−b+c=0，
故①正确；
∵二次函数图象的对称轴为直线x=1，
∴点(−3,y ),(2,y ),(4,y )到对称轴的距离分别为：4，1，3，
1 2 3
∵ a<0，
∴图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，
∴ y 3，
1 2 1 2 1 2
故④正确；
综上可知，正确的有①③④，
故选B．
【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数
与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想．
14．（2023·四川自贡·统考中考真题）经过A(2−3b,m),B(4b+c−1,m)两点的抛物线
1
y=− x2+bx−b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB长为（ ）
2
A．10 B．12 C．13 D．15
【答案】B
【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出c=b−1，求得抛物线解析式，根据抛物线与x轴有交点得出
Δ=b2−4ac≥0，进而得出b=2，则c=1，求得A,B的横坐标，即可求解．
b b
1
x=− =− =b
【详解】解：∵抛物线y=− x2+bx−b2+2c的对称轴为直线 2a ( 1)
2 2× −
2
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∵抛物线经过A(2−3b,m),B(4b+c−1,m)两点
2−3b+4b+c−1
∴ =b，
2
即c=b−1，
1 1
∴y=− x2+bx−b2+2c=− x2+bx−b2+2b−2，
2 2
∵抛物线与x轴有交点，
∴Δ=b2−4ac≥0，
即b2−4× ( − 1) ×(−b2+2b−2)≥0，
2
即b2−4b+4≤0，即(b−2) 2≤0，
∴b=2，c=b−1=2−1=1，
∴2−3b=2−6=−4,4b+c−1=8+1−1=8，
∴AB=4b+c−1−(2−3b)=8−(−4)=12，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与x轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
1
15．（2023·四川巴中·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与抛物线y= x2 交于A、B两
4
点，设A(x ,y )，B(x ,y )则下列结论正确的个数为（ ）
1 1 2 2
①x ⋅x =−4，
1 2
②y + y =4k2+2，
1 2
③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2
④若点N(0,−1)，则AN⊥BN
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
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【分析】根据二次函数与一次函数的图象和性质，根与系数的关系，进行解答，即可．
1
【详解】直线y=kx+1与抛物线y= x2 交于A、B两点，
4
1
∴kx+1= x2 ，
4
1
整理得：0= x2−kx−1，
4
c −1
x ×x = = =−4
∴ 1 2 a 1 ，
4
∴①正确；
1
∵0= x2−kx−1，
4
解得：x =2(k−√k2+1)，x =2(k+√k2+1)，
1 2
∴y =2k(k−√k2+1)+1，y =2k(k+√k2+1)+1，
1 2
∴y + y =4k2+2；
1 2
∴②正确；
∵AB=√(x −x ) 2+(y −y ) 2=4(k2+1)，
1 2 1 2
当k=0时，即AB∥x轴时，AB有最小值，
∴AB=4，
1
∴S = ×4×1=2；
△AOB 2
∴③正确；
当点N(0,−1)时，假设AN⊥BN，则：
△ABN是直角三角形，
取AB的中点为点G，连接NG，
1
∴AG=BG=NG= AB=2(k2+1)，
2
1
∵0= x2−kx−1，
4
b
∴x +x =− =4k，y + y =4k2+2，
1 2 a 1 2
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(x +x y + y )
∴点G 1 2, 1 2 ，
2 2
∴点G(2k,2k2+1)，
∵点N(0,−1)，
∴NG=√ 4k2+4(k2+1) 2，
1
∴k≠0时，NG≠ AB，
2
即AN与BN不一定垂直；
∴④错误；
∴正确的为：① ② ③．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，直角三角形的性质，两点
间的距离公式．
16．（2023·青海西宁·统考中考真题）直线y =ax+b和抛物线y =ax2+bx（a，b是常数，且a≠0）在同
1 2
一平面直角坐标系中，直线y =ax+b经过点(−4,0)．下列结论：
1
①抛物线y =ax2+bx的对称轴是直线x=−2
2
②抛物线y =ax2+bx与x轴一定有两个交点
2
③关于x的方程ax2+bx=ax+b有两个根x =−4，x =1
1 2
④若a>0，当x<−4或x>1时，y >y
1 2
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①④
【答案】B
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【分析】①可得−4a+b=0，从而可求b=4a，即可求解；②可得Δ=b2−4ac=b2≥0，由a≠0，可得
Δ=b2>0，即可求解；③可判断抛物线也过(−4,0)，从而可得方程ax2+(b−a)x−b=0的一个根为x=−4，
3
可求抛物线y =ax2+(b−a)x−b的对称轴为直线x=− ，从而可得抛物线y =ax2+(b−a)x−b与x轴的
3 2 3
另一个交点为(1,0)，即可求解；④当a>0，当−40，
∴抛物线y =ax2+bx与x轴一定有两个交点，
2
故②正确；
③当x=−4时，
y=16a−4b
=16a−16a=0，
∴抛物线也过(−4,0)，
由ax2+bx=ax+b得
∴方程ax2+(b−a)x−b=0，
∴方程的一个根为x=−4，
抛物线y =ax2+(b−a)x−b，
3
b−a 4a−a 3
∵ x=− =− =− ，
2a 2a 2
3
∴抛物线y =ax2+(b−a)x−b的对称轴为直线x=− ，
3 2
与x轴的一个交点为(−4,0)，
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( 3) 3
∴x− − =− −(−4)，
2 2
解得：x=1，
∴抛物线y =ax2+(b−a)x−b与x轴的另一个交点为(1,0)，
3
∴关于x的方程ax2+bx=ax+b有两个根x =−4，x =1，
1 2
故③正确；
④当a>0，当−4”或“=”）
1 2
【答案】<
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】解：y=x2−3的对称轴为y轴，
∵a=1>0，
∴开口向上，当x>0时， y随x的增大而增大，
∵00)经过A(2n+3,y ),B(n−1,y )两点，
1 2
若A,B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y 0
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−2a
∴抛物线的对称轴为直线x=− =1，开口向上，
2a
∵A(2n+3,y ),B(n−1,y )分别位于抛物线对称轴的两侧，
1 2
假设点B在对称轴的右侧，则n−1>1，解得n>2，
∴2n+3−(n−1)=n+4>0
∴A点在B点的右侧，与假设矛盾，则点A在对称轴的右侧，
∴¿
解得：−10；③关于x的方程ax2+bx+c=kx的两根为x =−3，x =2；④k= a．
1 2 2
其中正确的是 ．（只填写序号）
【答案】①③
【分析】依据题意，根据所给图象可以得出a>0，c<0，再结合对称轴x=−1，同时令ax2+bx+c=kx，
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从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解．
b
【详解】解：由图象可得，a>0，c<0，又− =−1，
2a
∴b>0．
∴abc<0．
∴①正确．
由题意，令ax2+bx+c=kx，
∴ax2+(b−k)x+c=0．
又二次函数y=ax2+bx+c的图象与正比例函数y=kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为−3，
点B的横坐标为2，
∴ax2+(b−k)x+c=0的两根之和为−3+2=−1，两根之积为−3×2=−6．
b−k c
∴− =−1， =−6．
a a
∴6a+c=0．
又b=2a，
∴3b+c=0．
∴3b+2c=c<0．
∴②错误，③正确．
b−k
∵− =−1，b=2a，
a
∴k=a．
∴④错误．
故答案为：①③．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
20．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩
形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数
y=(x−2) 2(0≤x≤3)的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数
1
y= x2+bx+c(0≤x≤3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b= ．
4
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7 25
【答案】 或−
12 12
【分析】根据题意求得点A(3,0)，B(3,4)，C(0,4)，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解．
【详解】由y=(x−2) 2(0≤x≤3)，当x=0时，y=4，
∴C(0,4)，
∵A(3,0)，四边形ABCO是矩形，
∴B(3,4)，
1
①当抛物线经过O，B时，将点(0,0)，B(3,4)代入y= x2+bx+c(0≤x≤3)，
4
∴¿
7
解得：b=
12
1
②当抛物线经过点A,C时，将点A(3,0),C(0,4)代入y= x2+bx+c(0≤x≤3)，
4
∴¿
25
解得：b=−
12
7 25
综上所述，b= 或b=− ，
12 12
7 25
故答案为： 或− ．
12 12
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．
( 1)
21．（2023·江苏无锡·统考中考真题）二次函数y=a(x−1)(x−5) a> 的图像与x轴交于点A、B，与
2
y轴交于点C，过点M(3，1)的直线将△ABC分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则a
的值为 ．
9 2+√2 √2+1
【答案】 或 或
10 5 2
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1 5
【分析】先求得A(1,0)，B(5,0)，C(0,5a)，直线BM解析式为y=− x+ ，直线AM的解析式为
2 2
1 1
y= x− ，1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线，则①如图1，
2 2
1 5
直线AM过BC中点，②如图2，直线BM过AC中点，直线BM解析式为y=− x+ ，AC中点坐标为
2 2
(1 5 ) 9
, a ，待入直线求得a= ；③如图3，直线CM过AB中点，AB中点坐标为(3,0)，直线MB与y轴平
2 2 10
行，必不成立；2）当分成三角形和梯形时，过点M的直线必与△ABC一边平行，所以必有“A”型相似，
因为平分面积，所以相似比为1:√2．④如图4，直线EM ∥ AB，根据相似三角形的性质，即可求解；
AE 1
⑤如图5，直线ME ∥ AC，⑥如图6，直线ME ∥ BC，同理可得 = ，进而根据
AB √2
tan∠MEN=tan∠CBO，即可求解．
【详解】解：由y=a(x−1)(x−5)，令x=0，解得：y=5a，令y=0，解得：x =1,x =5，
1 2
∴A(1,0)，B(5,0)，C(0,5a)，
设直线BM解析式为y=kx+b，
∴¿
解得：¿
1 5 5 ( 5)
∴直线BM解析式为y=− x+ ，当x=0时，y= ，则直线BM与y轴交于 0, ，
2 2 2 2
1
∵a> ，
2
5
∴5a> ，
2
∴点M必在△ABC内部．
1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线
设直线AM的解析式为y=mx+n
∴¿
解得：¿
1 1
则直线AM的解析式为y= x−
2 2
①如图1，直线AM过BC中点，，
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3 1
BC中点坐标为¿，代入直线求得a= < ，不成立；
10 2
1 5 (1 5 )
②如图2，直线BM过AC中点，直线BM解析式为y=− x+ ，AC中点坐标为 , a ，待入直线求得
2 2 2 2
9
a= ；
10
③如图3，直线CM过AB中点，AB中点坐标为(3,0)，
∴直线MB与y轴平行，必不成立；
2）、当分成三角形和梯形时，过点M的直线必与△ABC一边平行，所以必有“A”型相似，因为平分面积，
所以相似比为1:√2．
④如图4，直线EM ∥ AB，
∴△CEN∽△COA
CE CN 1
∴ = = ，
CO CA √2
5a−1 1
∴ = ，
5a √2
2+√2
解得a= ；
5
⑤如图5，直线ME ∥ AC，MN∥CO，则△EMN∽△ACO
BE 1
∴ = ，又AB=4，
AB √2
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∴BE=2√2，
∵BN=5−3=2<2√2，
∴不成立；
AE 1
⑥如图6，直线ME ∥ BC，同理可得 = ，
AB √2
∴AE=2√2，NE=2√2−2，tan∠MEN=tan∠CBO，
1 5a √2+1
∴ = ，解得a= ；
2√2−2 5 2
9 2+√2 √2+1
综上所述，a= 或 或 ．
10 5 2
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，
并分类讨论是解题的关键．
22．（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图1，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AB=4cm．点D
从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与△ABC的直角边AC（或BC）相交于点
E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）．
(1)为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几
组数据：
变量a（cm） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
变量h（cm） 0 0.5 1 1.5 2 1.5 1 0.5 0
在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2-1；以变量h的值为横坐
标，变量a的值为纵坐标，描点如图2-2．
根据探究的结果，解答下列问题：
①当a=1.5时，h=________；当h=1时，a=________．
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②将图2-1，图2-2中描出的点顺次连接起来．
③下列说法正确的是________．（填“A”或“B”）
A．变量h是以a为自变量的函数 B．变量a是以h为自变量的函数
(2)如图3，记线段DE与△ABC的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积(cm2)为s．
①分别求出当0≤a≤2和20)上任意两点，设抛物线的对称轴为x=t．
(1)若对于x =1，x =2有y = y ，求t的值；
1 2 1 2
(2)若对于0t，即可求解．
2 2 2 2
【详解】（1）解：∵对于x =1，x =2有y = y ，
1 2 1 2
x +x 3
∴抛物线的对称轴为直线x= 1 2= ，
2 2
∵抛物线的对称轴为x=t．
3
∴t= ；
2
（2）解：∵当00，
1 2
∴(x ,y )离对称轴更近，x t，
2
1
即t≤ ．
2
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
24．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）已知二次函数y=−x2+bx+c．
(1)当b=4,c=3时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当−1≤x≤3时，求y的取值范围．
(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
【答案】(1)①(2,7)；②当−1≤x≤3时，−2≤ y≤7
(2)y=−x2+2x+2
【分析】（1）①将b=4,c=3代入解析式，化为顶点式，即可求解；
②已知顶点(2,7)，根据二次函数的增减性，得出当x=2时，y有最大值7，当x=−1时取得最小值，即可
求解；
b
（2）根据题意x≤0时，y的最大值为2；x>0时，y的最大值为3，得出抛物线的对称轴x= 在y轴的右
2
侧，即b>0，由抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，可知c=2，根据顶点坐标的纵坐标为3，求出
b=2，即可得解．
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【详解】（1）解：①当b=4,c=3时，y=−x2+4x+3=−(x−2) 2+7，
∴顶点坐标为(2,7)．
②∵顶点坐标为(2,7)．抛物线开口向下，
当−1≤x≤2时，y随x增大而增大，
当2≤x≤3时，y随x增大而减小，
∴当x=2时，y有最大值7．
又2−(−1)>3−2
∴当x=−1时取得最小值，最小值y=−2；
∴当−1≤x≤3时，−2≤ y≤7．
（2）∵x≤0时，y的最大值为2；x>0时，y的最大值为3，
b
∴抛物线的对称轴x= 在y轴的右侧，
2
∴b>0，
∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，
∴c=2，
4×(−1)×c−b2
又∵ =3，
4×(−1)
∴b=±2，
∵b>0，
∴b=2，
∴二次函数的表达式为y=−x2+2x+2．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，顶点式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的
性质是解题的关键．
25．（2023·浙江·统考中考真题）已知点(−m,0)和(3m,0)在二次函数y=ax2+bx+3(a,b是常数，a≠0)
的图像上．
(1)当m=−1时，求a和b的值；
(2)若二次函数的图像经过点A(n,3)且点A不在坐标轴上，当−20)中，
(1)若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？
(2)当0≤x≤3时，y的最小值为−2，求出t的值：
(3)如果A(m−2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a6
【分析】（1）将坐标代入解析式，求解待定参数值；
（2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分03，当
x=3时，函数值最小，求得相应的t值即可 得；
（3）由A(m−2,a),C(m,a)关于对称轴对称得m−1=t，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛
物线与y轴交点(0,3)，此交点关于对称轴的对称点为(2m−2,3)，结合已知确定出m>3；再分类讨论：
A，B都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）将(2,1)代入y=x2−2tx+3中，
得1=4−4t+3，
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3
解得，t= ；
2
（2）抛物线对称轴为x=t．
若00，
∴t=√5
若t>3，当x=3时，函数值最小，
∴−2=9−6t+3，
7
解得t= （不合题意，舍去）
3
综上所述t=√5．
（3）∵A(m−2,a),C(m,a)关于对称轴对称
m−2+m
∴ =t,m−1=t，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧
2
∵抛物线与y轴交点为(0,3)，抛物线对称轴为直线x=t，
∴此交点关于对称轴的对称点为(2m−2,3)
∵a<3,b<3且t>0
∴4<2m−2，解得m>3．
当A，B都在对称轴左边时，
∵a6，
∴m>6
当A，B分别在对称轴两侧时
∵am−1−(m−2)，
解得m<4
∴36．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质、极值问题；存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是
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解题的关键．
28．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1,−2)和
B(0,−5)．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当y≤−2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【答案】(1)y=x2+2x−5，顶点坐标为(−1,−6)；
(2)−3≤x≤1
【分析】（1）把A(1,−2)和B(0,−5)代入y=x2+bx+c，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化
为顶点式，可得顶点坐标；
（2）把y=−2代入函数解析式求解x的值，再利用函数图象可得y≤−2时x的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1,−2)和B(0,−5)．
∴¿，解得：¿，
∴抛物线为y=x2+2x−5=(x+1) 2−6，
∴顶点坐标为：(−1,−6)；
（2）当y=−2时，(x+1) 2−6=−2，
∴(x+1) 2=4
解得：x =1，x =−3，
1 2
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如图，当y≤−2时，
∴−3≤x≤1．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等
式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
29．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于
点C．已知点A的坐标是(−1,0)，抛物线的对称轴是直线x=1．
(1)直接写出点B的坐标；
(2)在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小．求点P的坐标和PA+PC的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BC交MN于点Q．依题意
补全图形，当MQ+√2CQ的值最大时，求点M的坐标．
【答案】(1)(3,0)
(2)点P(1,2)，PA+PC的最小值为3√2
(5 7)
(3)M ,
2 4
【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可；
（2）根据抛物线的对称性，得到PA+PC=PB+PC≥BC，得到当P,B,C三点共线时，PA+PC的值最
小，为BC的长，求出直线BC的解析式，解析式与对称轴的交点即为点P的坐标，两点间的距离公式求出
BC的长，即为PA+PC的最小值；
（3）根据题意，补全图形，设M(m,−m2+2m+3)，得到N(m,0)，Q(m,−m+3)，将MQ+√2CQ的
最大值转化为二次函数求最值，即可得解．
【详解】（1）解：∵点A(−1,0)关于对称轴的对称点为点B，对称轴为直线x=1，
∴点B为(3,0)；
（2）当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
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连接BC，
∵B(3,0)，
∴BC=√32+32=3√2，
∵点A关于对称轴的对称点为点B，
∴PA+PC=PB+PC≥BC，
∴当P,B,C三点共线时，PA+PC的值最小，为BC的长，
设直线BC的解析式为：y=kx+n，
则：¿，解得：¿，
∴y=−x+3，
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴P(1,2)；
∴点P(1,2)，PA+PC的最小值为3√2；
（3）过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BC交MN于点Q，如图所示，
∵A(−1,0),B(3,0)，
设抛物线的解析式为：y=a(x+1)(x−3)，
∵C(0,3)，
∴3=−3a，
∴a=−1，
∴y=−(x+1)(x−3)=−x2+2x+3，
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设M(m,−m2+2m+3)，则：N(m,0)，
由（2）知：直线BC：y=−x+3，
∴Q(m,−m+3)，
∴MQ=−m2+2m+3+m−3=−m2+3m，
∵C(0,3),B(3,0)，
∴OC=OB=3，BN=3−m，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠NQB=∠OBC=45°，
∴BQ=√2BN=√2(3−m)，
∴CQ=BC−BQ=3√2−3√2+√2m=√2m，
∴MQ+√2CQ=−m2+3m+√2⋅√2m=−m2+5m=− ( m− 5) 2 + 25 ，
2 4
5 (5 7)
∴当m= 时，MQ+√2CQ有最大值，此时M , ．
2 2 4
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思
想进行求解，是解题的关键．
30．（2023·江苏盐城·统考中考真题）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在
坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．
【初步理解】
（1）现有以下两个函数：①y=x2−1；②y=x2−x，其中，_________为函数y=x−1的轴点函数．（填
序号）
【尝试应用】
（2）函数y=x+c（c为常数，c>0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y=ax2+bx+c与x轴的另一交
1
点为点B.若OB= OA，求b的值．
4
【拓展延伸】
1
（3）如图，函数y= x+t（t为常数，t>0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上
2
取一点N，使得ON=OC.以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE.若函
1
数y= x+t（t为常数，t>0）的轴点函数y=mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．
2
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−1−√2 1
【答案】（1）①；（2）b=5或−3；（3）n=1或n= 或n=
2 4
【分析】（1）求出函数y=x−1与坐标轴的交点，再判断这两个点在不在二次函数图象上即可；
1
（2）求出函数y=x+c与坐标轴的交点，再由OB= OA求出点B坐标，代入二次函数解析式计算即可；
4
（3）先求出M，C的坐标，再根据y=mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上分类讨论即可．
【详解】（1）函数y=x−1交x轴于(1,0)，交y轴于(0,−1)，
∵点(1,0)、(0,−1)都在y=x2−1函数图象上
∴①y=x2−1为函数y=x−1的轴点函数；
∵点(0,−1)不在y=x2−x函数图象上
∴②y=x2−x不是函数y=x−1的轴点函数；
故答案为：①；
（2）函数y=x+c交x轴于A(−c,0)，交y轴于(0,c)，
∵函数y=x+c的轴点函数y=ax2+bx+c
∴A(−c,0)和(0,c)都在y=ax2+bx+c上，
∵c>0
∴OA=c
1
∵OB= OA，
4
1
∴OB= c
4
( 1 ) (1 )
∴B − c,0 或B c,0
4 4
( 1 ) ( 1 )
当B − c,0 时，把A(−c,0) B − c,0 代入y=ax2+bx+c得
4 4
¿，解得b=5，
(1 ) (1 )
当B c,0 时，把A(−c,0) B c,0 代入y=ax2+bx+c得
4 4
¿，解得b=−3，
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综上，b=5或−3；
1
（3）函数y= x+t交x轴于M(−2t,0)，交y轴于C(0,t)，
2
∵ON=OC，以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE
∴N(t,0)，D(t,2t)，E(−2t,2t),
1
∵函数y= x+t（t为常数，t>0）的轴点函数y=mx2+nx+t
2
∴M(−2t,0)和C(0,t)在y=mx2+nx+t上
∴0=m(−2t) 2+n(−2t)+t，整理得4mt−2n+1=0
1
∴n=2mt+
2
( n 4mt−n2 )
∴y=mx2+nx+t的顶点P坐标为 − , ，
2m 4m
∵函数y=mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上
∴可以分三种情况讨论：当P与M重合时；当P在ED上时；当P在DN上时；
当P与M重合时，即¿，解得n=1；
−1±√2
当P在ED上时，¿，整理得n2+2n−1=0，解得n=
2
此时二次函数开口向下，则m<0
n
∴−2t<− 1；
1
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根，则01，
4a
根据4a<0，即可得出4ac−b2<4a，即可判断②正确；
③先得出抛物线对称轴在直线x=1.5的右侧，得出(1,1)到对称轴的距离大于(2,t)到对称轴的距离，根据
a<0，抛物线开口向下，距离抛物线越近的函数值越大，即可得出③正确；
④根据方程有两个相等的实数解，得出Δ=(b−1) 2−4ac=0，把(1,1)代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，
c 1 1
即1−b=a+c，求出a=c，根据根与系数的关系得出mn= =1，即n= ，根据n≥3，得出 ≥3，求出
a m m
m的取值范围，即可判断④正确．
【详解】解：①图象经过(1,1)，c<0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物
线与x轴的两个交点都在(1,0)的左侧，
∵(n,0)中n≥3，
∴抛物线与x轴的一个交点一定在(3,0)或(3,0)的右侧，
∴抛物线的开口一定向下，即a<0，
把(1,1)代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，
即b=1−a−c，
∵a<0，c<0，
∴b>0，故①错误；
②∵a<0，b>0，c<0，
c
∴ >0，
a
∴方程ax2+bx+c=0的两个根的积大于0，即mn>0，
∵n≥3，
∴m>0，
m+n
∴ >1.5，
2
即抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，
∴抛物线的顶点在点(1,1)的右侧，
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4ac−b2
∴ >1，
4a
∵4a<0，
∴4ac−b2<4a，故②正确；
③∵m>0，
m+n
∴当n=3时， >1.5，
2
∴抛物线对称轴在直线x=1.5的右侧，
∴(1,1)到对称轴的距离大于(2,t)到对称轴的距离，
∵a<0，抛物线开口向下，
∴距离抛物线越近的函数值越大，
∴t>1，故③正确；
④方程ax2+bx+c=x可变为ax2+(b−1)x+c=x，
∵方程有两个相等的实数解，
∴△=(b−1) 2−4ac=0，
∵把(1,1)代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，即1−b=a+c，
∴(a+c) 2−4ac=0，
即a2+2ac+c2−4ac=0，
∴(a−c) 2=0，
∴a−c=0，
即a=c，
∵(m,0),(n,0)在抛物线上，
∴m，n为方程ax2+bx+c=0的两个根，
c
∴mn= =1，
a
1
∴n= ，
m
∵n≥3，
1
∴ ≥3，
m
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1
∴0t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；
(3)当mt总成立，
b2
∴t<−3− ；
4
（3）∵y=x2+bx−3= ( x+ b) 2 −3− b2 ，
2 4
b
∴抛物线的开口向上，对称轴为x=− ，
2
又当m
