文档内容
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第 16 讲 三角形的概念及性质
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 三角形的相关概念
题型01 三角形的分类
题型02 三角形个数的规律探究问题
题型03 三角形的稳定性
考点二 三角形的重要线段
题型01 画三角形的高、中线、角平分线
题型02 已知三角形的高、中线、角平分线，判断式子正误
题型03 等面积法求三角形的高
题型04 利用网格求三角形的面积
题型05 与垂心性质有关的计算
题型06 根据三角形的中线求长度
题型07 根据三角形的中线求面积
题型08 判断重心位置
题型09 与重心性质有关的计算
考点三 三角形的性质
题型01 应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围
题型02 应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子
题型03 应用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题
题型04 三角形内角和定理的证明
题型05 应用三角形内角和定理求角度
题型06 三角形内角和与平行线的综合应用
题型07 三角形内角和与角平分线的综合应用
题型08 三角形折叠中的角度问题
题型09 应用三角形内角和定理解决三角板问题
题型10 应用三角形内角和定理探究角的数量关系
题型11 三角形内角和定理与新定义问题综合
题型12 应用三角形外角的性质求角度
题型13 三角形的外角性质与角平分线的综合
题型14 三角形的外角性质与平行线的综合
题型15 应用三角形的外角性质解决折叠问题
题型16 三角形内角和定理与外角和定理综合
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考点要求 新课标要求 命题预测
在初中几何数学中，三角形的基础
三角形的相关
知识是解决后续很多几何问题的基础.
概念
理解三角形及其内角、外角、中线、高 所以，在中考中，与其它几何图形结合
线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性. 考察的几率比较大，特别是全等三角形
三角形的重要
的性质和判定的综合应用.考生在复习
线段
该考点时，不仅要熟悉掌握其本身的性
质和应用，还要注重转化思想在题目中
探索并证明三角形的内角和定理.掌握它
的应用，同步联想，其他几何图形在什
的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角
三角形的性质 么情况下会转化成该考点的知识考察.
的和.
证明三角形的任意两边之和大于第三边.
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考点一 三角形的相关概念
三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形.
三角形的表示：用符号“Δ”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”.
三角形的分类：
1 ） 三 角 形 按 边 分 类 ： 三 角 形
{三边都 不 相 等 的 三 角 形
{等边三角形
等腰三角形
底 边 和 腰 不 相 等 的 等 腰三 角 形
{直角三角形
2）三角形按角分类：三角形 {锐角三角形
斜三角形
钝角三角形
三角形的稳定性: 三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了.
1. 三角形的表示方法中“Δ”代表“三角形”,后边的字母为三角形的三个顶点,字母的顺序可以自由
安排. 即 ∆ABC, ∆ACB等均为同一个三角形.
2. 等腰三角形中至少有两边相等,而等边三角形中三边都相等,所以等边三角形是特殊的等腰三角形.
3. 四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多
边形就具有稳定性了.
题型01 三角形的分类
【例1】（2022·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）如图，一只手盖住了一个三角形的部分
图形，则这个三角形不可能是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【变式1-1】（2020·河北保定·统考一模）如图，一个三角形只剩下一个角，这个三角形为( )
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A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能
【变式1-2】（2020·吉林长春·统考中考真题）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形
的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网
格中，按下列要求以AB为边画△ABC．
要求：
（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；
（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；
（3）点C在格点上．
【变式1-3】（2021·浙江宁波·统考一模）如图，在8×4的正方形网格中，按△ABC的形状要求，分别找
出格点C，且使BC=5，并且直接写出对应三角形的面积．
题型02 三角形个数的规律探究问题
【例2】（2023·浙江杭州·模拟预测）若一个三角形的任意两条边都不相等，则称之为“不规则三角形”．
顶点在一个正方体顶点上的所有三角形中，这样的“不规则三角形”的个数为（ ）
A．8 B．18 C．24 D．36
【变式2-1】（2020·江西南昌·模拟预测）由18根完全相同的火柴棒摆成的图形如图所示，如果去掉其中
的3根，那么就可以剩下7个三角形．以下去掉3根的方法正确的是（ ）
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A．DE,GH,MI B．GF,EF,MF C．GD,EI,MH D．AD,AG,GD
【变式2-2】阅读下列材料并填空．平面上有n个点（n≥2）且任意三个点不在同一条直线上，过这些点作
直线，一共能作出多少条不同的直线？
（1）分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成
6条直线；当有5个点时，可连成10条直线……
（2）归纳：考察点的个数和可连成直线的条数S 发现：如下表
n
点的个数 可作出直线条数
2×1
2 1=S =
2 2
3×2
3 3=S =
3 2
4×3
4 6=S =
4 2
5×4
5 10=S =
5 2
…… ……
n×(n−1)
n S =
n 2
(3)推理：平面上有n个点，两点确定一条直线．取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n－1）种
n×(n−1)
取法，所以一共可连成n(n-1)条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2；即S =
n 2
n×(n−1)
（4）结论：S =
n 2
试探究以下几个问题：平面上有n个点（n≥3），任意三个点不在同一条直线上，过任意三个点作三角形，
一共能作出多少不同的三角形？
（1）分析：
当仅有3个点时，可作出 个三角形；
当仅有4个点时，可作出 个三角形；
当仅有5个点时，可作出 个三角形；
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……
（2）归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数S，发现：（填下表）
n
点的个数 可连成三角形个数
3
4
5
……
n
(3)推理： （4）结论：
【变式2-3】（2022·吉林长春·校考模拟预测）一个圆周上有12个点：A ，A ，A ，…，A ，A ．以
1 2 3 11 12
它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问：有多少种连
法？
题型03 三角形的稳定性
【例3】（2023·山西运城·统考二模）学校、工厂、企业等单位的大门都是收缩性大门，这种门的门体可以
伸缩自由移动，以此来控制门的大小．这种方法应用的数学知识是（ ）
A．三角形的稳定形 B．四边形的不稳定性
C．勾股定理 D．黄金分割
【变式3-1】（2023·广东佛山·校考一模）要使下面的木架不变形，至少需要再钉上几根木条？（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【变式3-2】（2022·河北保定·校考一模）能用三角形的稳定性解释的生活现象是（ ）
A． B． C． D．
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【变式3-3】（2021·浙江台州·一模）如图，升降平台由三个边长为1.2米的菱形和两个腰长为1.2米的等
腰三角形组成，其中平台AM与底座AN平行，长度均为2.4米，B，B 分别在AM和AN上滑动，且始终
0 0 0
保持点B，C ，A 成一直线．
0 1 1
(1)这种升降平台的设计原理是利用了四边形的____性；
(2)为了安全，该平台在作业时∠B 不得超过40°，求平台高度(AA)的最大值（sin20°≈0.34）．
1 0
考点二 三角形的重要线段
重要线段 概念 图形 性质
三角形的高 从三角形一个顶点向它的对边做垂 ∵AD是∆ABC中BC边的高
线，顶点和垂足之间的线段叫做三
∴∠ADB=∠ADC=90°
角形的高线（简称三角形的高）．
三角形的中 在三角形中，连接一个顶点和它对 ∵AD是∆ABC中BC边的中线
线 边的中点的线段叫做三角形的中线
S =S
∴BD=CD △ABD △ADC
C −C =AC−AB
∆ACD ∆ABD
三角形的角 三角形的一个角的平分线与这个角 ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线
平分线 的对边相交，这个角的顶点和交点
1
∴∠BAD=∠DAC= ∠BAC
间的线段叫做三角形的角平分线．
2
三角形的中 连接三角形两边中点的线段叫做三 ∵DE是∆ABC的中位线
位线 角形的中位线
∴AD=DB AE=EC
1
DE= BC DE∥BC
2
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概念 图形 性质
1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
三角形三
2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
重心 条中线交
点 3) 重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
1）锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点
上；钝角三角形的垂心在三角形外；
2）锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆
半径之和的2倍。
三角形三
垂心
条高交点 3）三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6组四点
共圆.
4）锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三
角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短.
1. 三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段
之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．
2. 常见三角形的高：
3. 当已知三角形两边的中点时，可考虑运用三角形中位线定理，得到相应线段的数量关系与位置关系.
题型01 画三角形的高、中线、角平分线
【例1】（2023·河北石家庄·校联考二模）如图，在△ABC中，边AB上的高是（ ）
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A．AD B．GE C．EF D．CH
【变式1-1】（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）在△ABC中，AB=AC，BC长度不确定，拫据尺规作
图痕迹，用直尺不一定能直接画出BC边的高的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）嘉淇剪一个锐角△ABC做折纸游戏，折叠方法如图所
示，折痕与BC交于点D，连接AD，则线段AD分别是△ABC的（ ）
A．高，中线，角平分线 B．高，角平分线，中线
C．中线，高，角平分线 D．高，角平分线，垂直平分线
【变式1-3】（2023·广东深圳·统考二模）观察下列尺规作图痕迹，其中所作线段AD为△ABC的角平分线
的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2023·河北石家庄·统考一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（∠A是钝角），他
打算用折叠的方法折出∠C的角平分线、AB边上的中线和高线，能折出的是（ ）
A．AB边上的中线和高线 B．∠C的角平分线和AB边上的高线
C．∠C的角平分线和AB边上的中线 D．∠C的角平分线、AB边上的中线和高线
【变式1-5】（2023·河北石家庄·校联考二模）小熊和小猫把一个三角形纸片折一次后，折痕把原三角形分
成两个三角形．如图，当∠1=∠2时，折痕是三角形的（ ）
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A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
【变式1-6】（2023·吉林松原·统考一模）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为
1，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别
按下列要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图①中画△ABC的中位线DE，使点D、E分别在边AB、BC上；
(2)在图②中画△ABC的高线BF．
题型02 已知三角形的高、中线、角平分线，判断式子正误
【例2】（2023·江苏扬州·校考二模）如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高．则下列
各式中错误的是（ ）
A．∠AFB=90° B．AE=CE
1
C．BC=2CD D．∠BAE= ∠BAC
2
【变式2-1】（2020上·安徽池州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF
是中线，则下列说法中错误的是（ ）
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A．BF＝CF B．∠C＋∠CAD＝90°C．∠BAF＝∠CAF D．S =2S
△ABC △ABF
题型03 等面积法求三角形的高
【例3】如图，已知AC⊥BC，CD⊥ AB，AC=5，BC=12，AB=13，则点C到直线AB的距离等于
（ ）
12 13 60 65
A． B． C． D．
5 5 13 12
【变式3-1】（2023·河北张家口·统考一模）如图，在点A，B，C，D中选一个点；与点M，N为顶点构成
一个三角形，其面积等于△KMN的面积，这个点为（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【变式3-2】（2023·江苏苏州模拟）数学活动课上，小敏、小颖分别画了 ABC和 DEF，数据如图，如
果把小敏画的三角形面积记作S ABC，小颖画的三角形面积记作S DEF，那么你认为( )
△ △
△ △
A．S ABC >S DEF B．S ABC AC，AD是△ABC的角平分线，请比较AB−AC与BD−DC的大小，并
说明理由．
【变式3-2】（2023下·安徽蚌埠·八年级统考期末）下面是小明和小亮比较√2+√3与√2+3大小的过程，
关于两人的思路.
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A．小明对，小亮错 B．小明错，小亮对
C．两人都错 D．两人都对
题型04 三角形内角和定理的证明
【例4】（2023·陕西西安·西安市航天中学校联考模拟预测）某班学生对三角形内角和为180°展开证明讨
论，以下四个学生的作法中，不能证明△ABC的内角和为180°的是（ ）
AD∥BC
A． 过点A作 B． 延长BC到点D，过点C
作CE∥AB
AD⊥BC
C． 过点A作 于点D D． 过BC上一点D作
DE∥AC，DF∥AB
【变式4-1】（2022·北京·统考中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其
中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，
已知：如图，ΔABC,
求证：∠A+∠B+∠C=180∘.
方法一 方法二
证明：如图，过点A作 证明：如图，过点C作CD//AB.
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DE//BC.
题型05 应用三角形内角和定理求角度
【例5】（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到
△A'B'C，连接A A'，若∠A A'B'=20°，则∠CB' A'的度数是（ ）．
A．70° B．65° C．60° D．55°
【变式5-1】（2022·河北唐山·校考一模）在△ABC中，已知∠A=∠B=2∠C，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
| √3|
【变式5-2】（2022上·河北唐山·九年级统考期中）在△ABC中，若 cosA− +(1−tanB) 2=0，则
2
∠C的度数是
题型06 三角形内角和与平行线的综合应用
【例6】（2023·山西太原·山西实验中学校考模拟预测）绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市
民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其
中AB，CD都与地面平行，∠BCD=68°，∠BAC=52°．已知AM与CB平行，则∠MAC的度数为
（ ）
图1 图2
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A．70° B．68° C．60° D．50°
【变式6-1】（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考三模）物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线
和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射
定律．如图，两平面镜AB与BC的夹角为α，一条光线经过两次反射后，∠AEF=∠GEB，
∠BGE=∠CGH，仍可以使入射光线EF与反射光线GH平行但方向相反，则α的度数为（ ）
A．60° B．80° C．90° D．100°
【变式6-2】（2022·江苏苏州·星海实验中学校考二模）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六
边形上，若∠1=19°，则∠2的度数为 °．
题型07 三角形内角和与角平分线的综合应用
【例7】（2023·湖北武汉·统考一模）如图，BE是△ABC的角平分线，点D在AB上，且DE∥BC．
(1)求证：DB=DE；
(2)若∠A=60°，∠C=50°，求∠BED的大小．
【变式7-1】（2022·江苏无锡·校考一模）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把
形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：
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(1)在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：________________；
(2)如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交
于M、N．请直接利用（1）中的结论，完成下列各题：
①仔细观察，在图2中“8字形”的个数：___________个；
②若∠D=40°,∠B=50°，试求∠P的度数；
③若∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间是否存在一定的数量关系？若存在，
请写出推理过程；若不存在，请说明理由；
④若∠D和∠B∠为任意角，∠DAB=3∠2,∠DCB=3∠4，试问∠P与∠D、∠B之间是否存在一定
的数量关系？若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由．
【变式7-2】（2020·山西临汾·校联考模拟预测）阅读下面内容，并解答问题．
探索三角形的内（外）角平分线形成的角的规律
在三角形中，由三角形的内角平分线、外角平分线所形成的角存在一定的规律，如果能理解并掌握其中的
规律，对解决相关的问题会起到事半功倍的效果．
规律1：三角形的两个内角的角平分线形成的角等于90加上第三个内角度数的一半．
规律2：三角形的两个外角的角平分线形成的角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半．
如图，已知点P是△ABC的内角平分线BP与CP的交点，点M是△ABC的外角平分线BM与CM的交点．
1 1
则∠P=90°+ ∠A，∠M=90°− ∠A．
2 2
证明：规律1，∵BP，CP是△ABC的角平分线，
1 1
∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB．
2 2
∴∠A=180°−2(∠1+∠2)．
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1
∴∠1+∠2=90°− ∠A．
2
1
∴∠P=180°−(∠1+∠2)=90°+ ∠A．
2
1 1
规律2，∵∠3= (∠A+∠ACB)，∠4= (∠A+∠ABC)，
2 2
1 1 1
∴∠3+∠4= (∠A+∠ACB+∠ABC)+ ∠A=90°+ ∠A．
2 2 2
1
∴∠M=180°−(∠3+∠4)=90°− ∠A．
2
请解决以下问题：
（1）写出上述证明过程中依据的一个定理：______；
（2）如图，已知点Q是△ABC的内角平分线BQ与△ABC的外角平分线CQ的交点，试探究∠Q和∠A的
数量关系？并说明理由．
题型08 三角形折叠中的角度问题
【例8】（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图1，已知三角形纸片ABC，AB=AC，∠A=50°，将其
折叠，如图2，使点A与点B重合，折痕为ED，点E，D分别在AB，AC上，那么∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
【变式8-1】（2023·江苏盐城·校联考二模）如图，将平行四边形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点C'
处，若∠1=58°，∠2=42°，则∠C的度数为（ ）
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A．100° B．109° C．126.5° D．130°
【变式8-2】如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间
有一种数量关系始终保持不变，这个关系是（ ）
A．2∠A=∠1+∠2 B．3∠A=2∠1+∠2
C．∠A=∠1+∠2 D．3∠A=2∠1+2∠2
【变式8-3】（2022·江苏盐城·统考一模）如图，有一个三角形纸片ABC，∠A=65°，∠B=75°，将纸
片一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠DFC'=20°，则∠BED的大小为 .
【变式8-4】（2022·湖北恩施·统考一模）图，把等边△ABC沿直线DE折叠，点A落在A'处，若
∠1=50°，则∠2= ．
题型09 应用三角形内角和定理解决三角板问题
【例9】（2022·安徽宿州·校考模拟预测）如图，直线AB∥CD，含45°角的三角板EFG的直角顶点F在
直线AB上，顶点E在直线CD上，若∠DEG=82°，则∠BFG的度数是（ ）
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A．37° B．41° C．42° D．45°
【变式9-1】（2023·湖南岳阳·统考三模）将一副直角三角板如图放置，已知∠E=60°，∠C=45°，
EF∥BC，则∠BND为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．105°
【变式9-2】（2023·安徽马鞍山·校考二模）将两块含45°角的直角三角板ABC,≝¿按如图方式放置，其
中点E在BC上，点A在DE上，若∠FEC=30°，则∠EAC的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【变式9-3】（2023·陕西西安·交大附中分校校考三模）将一副三角板按如图所示摆放，使含30°角的三角
板的斜边与含45°角的三角板的一条直角边平行，则∠α的角度为（ ）
A．75° B．105° C．110° D．120°
题型10 应用三角形内角和定理探究角的数量关系
【例10】（2023·浙江杭州·校考二模）如图，O为等腰三角形ABC的外心，AB=AC，连接OB，记
∠C=α，∠CBO=β，则α，β满足的关系式为（ ）
1
A．2β−α=90° B．2β−α=180° C． β+α=90° D．2a−β=90°
2
【变式10-1】（2023·江西·模拟预测）如图，从A点发出的光线AB，AD经平面镜l反射后得到反射光线
BC，DE，m，n为法线，设∠A=α°，∠ABC=β°，∠ADE=γ°，那么α,β,γ之间的数量关系是
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（ ）
A．α+β=γ B．2α+β=γ C．α+2β=γ D．α+2β=2γ
题型11 三角形内角和定理与新定义问题综合
【例11】（2023·江苏盐城·统考一模）定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三
角形为“倍角三角形”．若△ABC是“倍角三角形”，∠A=90°，AC=√3，则AB的长为 ．
【变式11-1】（2023·江苏苏州·苏州市胥江实验中学校校考二模）定义：如果三角形的两个α与β满足
α−β=90°，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．
(1)若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠A>90°，∠B=20°，则∠C的度数为______；
9
(2)如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，若AB=4，BC=5，点D是线段AB上的一点，若AD= ，判
4
断△BCD是否是“奇妙互余三角形”，如果是，请说明理由；
(3)如图2，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，AC=4，CD=5，∠BAC=90°，若
∠ACD=2∠ABC，且△BCD是“奇妙互余三角形”，求BD的长．
【变式11-2】（2022·江西抚州·统考一模）定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线
与对边相交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一
个与原三角形相似，我么就把这条线段叫做这个三角形的“华丽分割线”．
例如：如图1，AD把△ABC分成△ABD和△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD
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就是△ABC的“华丽分割线”．
【定义感知】
(1)如图1，在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=110°，AB=BD．求证：AD是△ABC的“华丽分割线”．
【问题解决】
(2)①如图2，在△ABC中，∠B=46°，AD是△ABC的“华丽分割线”，且△ABD是等腰三角形，则
∠C的度数是________；
②如图3，在△ABC中，AB=2，AC=√3，AD是△ABC 的“华丽分割线”，且△ABD是以AD为底边的
等腰三角形，求华丽分割线AD的长．
【变式11-3】（2019·江苏无锡·统考一模）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我
们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC，求∠A的大小；
（2）在图2中分别画出三个顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；
（3）在△ABC中，∠B＝36°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝
BD，DE＝CE，请直接写出∠C所有可能的值．
题型12 应用三角形外角的性质求角度
【例12】（2021·陕西·统考中考真题）如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若
∠A=35°，∠B=25°，∠C=50°，则∠1的大小为（ ）
A．60° B．70° C．75° D．85°
【变式12-1】（2022·北京朝阳·统考二模）如图，点C，D在直线AB上，OC⊥OD，若∠ACO=120∘，
则∠BDO的大小为（ ）
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A．120∘ B．140∘ C．150∘ D．160∘
【变式12-2】．（2021·江苏苏州·统考中考真题）如图．在Rt△ABC中，∠C=90°，AF=EF．若
∠CFE=72°，则∠B= ．
题型13 三角形的外角性质与角平分线的综合
【例13】（2022·陕西西安·校考二模）三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝
角）是 ．
【变式13-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知△ABC中，∠A=70°，BD是∠ABC的角平分线，
CD是∠ACB的外角角平分线，交点为D，则∠D= °．
【变式13-2】（2023·江苏泰州·统考二模）如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=70°，
∠D=10°，则∠P= ．
【变式13-3】（2019·浙江杭州·模拟预测）△ABC中，AB,AC边上的高CE,BD相交于点F，
∠ABC,∠ACB的角平分线交于点G，若∠CGB=125°，则∠CFB= ．
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【变式13-4】（2020·山西临汾·校联考模拟预测）阅读下面内容，并解答问题．
探索三角形的内（外）角平分线形成的角的规律
在三角形中，由三角形的内角平分线、外角平分线所形成的角存在一定的规律，如果能理解并掌握其中的
规律，对解决相关的问题会起到事半功倍的效果．
规律1：三角形的两个内角的角平分线形成的角等于90加上第三个内角度数的一半．
规律2：三角形的两个外角的角平分线形成的角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半．
如图，已知点P是△ABC的内角平分线BP与CP的交点，点M是△ABC的外角平分线BM与CM的交点．
1 1
则∠P=90°+ ∠A，∠M=90°− ∠A．
2 2
证明：规律1，∵BP，CP是△ABC的角平分线，
1 1
∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB．
2 2
∴∠A=180°−2(∠1+∠2)．
1
∴∠1+∠2=90°− ∠A．
2
1
∴∠P=180°−(∠1+∠2)=90°+ ∠A．
2
1 1
规律2，∵∠3= (∠A+∠ACB)，∠4= (∠A+∠ABC)，
2 2
1 1 1
∴∠3+∠4= (∠A+∠ACB+∠ABC)+ ∠A=90°+ ∠A．
2 2 2
1
∴∠M=180°−(∠3+∠4)=90°− ∠A．
2
请解决以下问题：
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（1）写出上述证明过程中依据的一个定理：______；
（2）如图，已知点Q是△ABC的内角平分线BQ与△ABC的外角平分线CQ的交点，试探究∠Q和∠A的
数量关系？并说明理由．
【变式13-5】如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACD的平分线交于A．
1
（1）∵BA、CA 是∠ABC与∠ACD的平分线，
1 1
1 1
∴∠ABD＝ ∠ABD，∠ACD＝ ∠ACD，
1 2 1 2
1
∴∠ACD﹣∠ABD＝ （∠ACD﹣∠ABD），
1 1 2
∵∠ACD﹣∠ABD＝ ，∠ACD﹣∠ABD＝∠ ，
1 1
∴∠A＝ ．
1
（2）如图2，四边形ABCD中，∠F为∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的角，若
∠A+∠D＝230°，求∠F的度数．
（3）如图3，△ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACD的平分线交于A，若E为BA延长线上一动点，
1
连接EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：
①∠Q+∠A 的值为定值；
1
②∠Q﹣∠A 的值为定值，
1
其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．
题型14 三角形的外角性质与平行线的综合
【例14】（2023·贵州贵阳·校考一模）如图，直线AB∥CD，点E是平行线外一点，连接AE，CE，若
∠A=22°，∠C=50°，则∠E的度数是（ ）
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A．22° B．24° C．26° D．28°
【变式14-1】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）某城市几条道路的位置如图所示，道路CD与道路EF平
行，道路AB与道路CD的夹角(∠CDB)为50°，城市规划部门想修一条新道路BF，要求∠F=∠B，则
∠F的大小为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
【变式14-2】（2022·辽宁辽阳·一模）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1＝
20°，则∠2的度数为（ ）
A．40° B．41° C．49° D．50°
【变式14-3】（2021·江苏镇江·统考一模）如图，△ABC中，∠A=45°,∠B=30°，直尺的一边与BC平
行，则∠1= °．
题型15 应用三角形的外角性质解决折叠问题
【例15】（2020·浙江绍兴·模拟预测）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分
∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C=105°，则∠1+∠2的度数是 ．
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【变式15-1】（2019·浙江杭州·模拟预测）如图，在ΔABC中，AC=BC，∠C=90°，点D在BC上，
且CD=2DB，将ΔABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED= ．
【变式15-2】（2023·浙江绍兴·校联考三模）数学探究活动中，小聪同学为了验证：长条纸片上下边沿
MN与PQ是否平行，把纸片沿着AC折叠（如图1），并用量角器测出∠1、∠2的度数．
(1)若∠1=∠2，则MN∥PQ．你认为小聪同学的做法正确吗？请说明理由；
(2)在（1）的条件下小聪同学在PQ边上取点D（不与P，B重合）（如图2），连接AD并折叠纸片使得射
线AB与射线AD重合，折痕交PQ于点E，过E作EF⊥ AC于点F，设∠AEF=α，∠ADP=β．
①当点D在点C、B之间时，若β=120°，求α的度数；
②当点D在PQ上运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？并说明理由．
题型16 三角形内角和定理与外角和定理综合
【例16】（2021·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且
∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应
（填“增加”或“减少”） 度．
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【变式16-1】如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且
AD=AE，连接DE．
（1）如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，则∠CDE的度数为 ；
（2）如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，则∠BAD的度数为 ；
（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，则∠BAD与∠CDE的数量关系为 ．
【变式16-2】（2020·江苏泰州·统考中考真题）如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直
角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为 ．
【变式16-3】（2022下·江苏南京·七年级校考期末）已知△ABC中，∠A=65°，将∠B、∠C按照如图
所示折叠，若∠ADB'=35°，则∠1+∠2+∠3= °．
【变式16-4】（2023·山西晋城·模拟预测）如图，已知D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点，且
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AE=BD，求∠BFC的度数．
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