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第 16 讲 三角形的概念及性质
目 录
题型01 三角形的稳定性
题型02 画三角形的高、中线、角平分线
题型03 等面积法求三角形的高
题型04 利用网格求三角形的面积
题型05 与垂心性质有关的计算
题型06 根据三角形的中线求长度
题型07 根据三角形的中线求面积
题型08 与重心性质有关的计算
题型09 应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围
题型10 应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子
题型11 三角形内角和定理的证明
题型12 应用三角形内角和定理求角度
题型13 三角形内角和与平行线的综合应用
题型14 三角形内角和与角平分线的综合应用
题型15 三角形折叠中的角度问题
题型16 应用三角形内角和定理解决三角板问题
题型17 应用三角形内角和定理探究角的数量关系
题型18 三角形内角和定理与新定义问题综合
题型19 应用三角形外角的性质求角度
题型20 三角形的外角性质与角平分线的综合
题型21 三角形的外角性质与平行线的综合
题型22 应用三角形的外角性质解决折叠问题
题型23 三角形内角和定理与外角和定理综合
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题型 01 三角形的稳定性
1．（2020·山西·校联考模拟预测）下列图形中，没有利用三角形的稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·吉林长春·统考二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细
木条的数量至少为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型 02 画三角形的高、中线、角平分线
3．（2023·吉林长春·校联考二模）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称
为格点，小正方形的边长为1，在给定的网格中，按照要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图①中作△ABC的中线BD．
(2)在图②中作△ABC的高BE．
(3)在图③中作△ABC的角平分线BF．
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4．（2021·吉林·三模）图①、图②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，△ABC为格点三角形．请
仅用无刻度的直尺在网格中完成下列作图，不写作法
(1)在图①中，画出△ABC中AB边上的中线CM；
(2)在图②中，画出△ABC中AC边上的高BN，并直接写出△ABC的面积．
题型 03 等面积法求三角形的高
5．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，AB=10，则AB边上的高的长度是（ ）．
A．5 B．5.6 C．4.8 D．4.6
6．（2022·陕西西安·校考三模）如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，若每个小正方形的边长为
1，则BC边上的高为 ．
7．（2023上·陕西延安·八年级校联考阶段练习）如图，△ABC在平面直角坐标系中，A，B，C三点在方
格线的交点上．
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(1)请在图中作出△ABC中AB边上的高．
(2)求△ABC的面积．
16
(3)点B到AC边所在直线的距离为 ，求AC的长度．
5
题型 04 利用网格求三角形的面积
8．（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考三模）在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个
单位长度，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点（正方形网格的交点称为格点）．现将△ABC平移．使
点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．
(1)请在图中画出平移后的△DEF；
(2)分别连接AD，BE，则AD与BE的数量关系为 ，位置关系为 ．
(3)求△DEF的面积．
9．（2023·上海杨浦·统考一模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点
称为格点．如图，已知在5×5的网格图形中，△ABC的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问
题：
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(1)S =___________；sin∠ABC=___________；
△ABC
1
(2)请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P，使S = S ．（不要求写作法，但保留作图痕迹，
△ACP 5 △ABC
写出结论）
题型 05 与垂心性质有关的计算
10．（2020下·江西赣州·九年级校考阶段练习）如图，已知锐角三角形ABC的顶点A到垂心H的距离等于
它的外接圆半径，则∠BAC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
11．（2020·浙江杭州·九年级期末）如图，H、O分别为△ABC的垂心、外心，∠BAC=45°，若△ABC
外接圆的半径为2，则AH=（ ）
A．2√3 B．2√2 C．4 D．√3+1
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题型 06 根据三角形的中线求长度
12．（2022·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D是BC边上的中
点，连接AD，若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
13．（2023·安徽·校联考一模）已知：△ABC中，AD是中线，点E在AD上，且CE=CD，
CE
∠BAD=∠ACE．则 的值为（ ）
AC
2 √2 √5−1 3−√5
A． B． C． D．
3 2 2 2
14．（2020·浙江·模拟预测）在△ABC中，AB边上的中线CD=3,AB=6,BC+AC=8，则△ABC的面积
为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
15．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，AD是△ABC的中线，若AB=6，AC=5，则△ABD与△ACD的
周长之差为 ．
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16．（2022·安徽合肥·统考一模）如图，ΔABC中，AD是中线，点E在AD上，且CE＝CD＝1，∠BAD＝
∠ACE，则AC的长为
题型 07 根据三角形的中线求面积
1
17．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以点B，C为圆心，大于 BC长为
2
半径画弧，交于E，F两点，连接EF，交BC于点D，连接AD．AD=√13，CD=2，则△ABD的面积是
（ ）
√13
A．2 B．3 C．√13 D．
2
18．（2023·陕西西安·统考三模）如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC,AC边上中线BE
交AD于点O，则△BCE的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
19．（2023·陕西榆林·校考二模）如图，AD，BE分别为△ABC的中线和高线，△ABD的面积为5，
AC=4，则BE的长为（ ）
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A．5 B．3 C．4 D．6
20．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，已知△ABC的面积为10cm2，BP为∠ABC的角平分线，AP垂直
BP于点P，则△PBC的面积为（ ）
A．6cm2 B．5cm2 C．4cm2 D．3cm2
题型 08 与重心性质有关的计算
21．（2023·陕西西安·统考三模）在△ABC中，点O为△ABC的重心，连接AO并延长交BC边于点D，若
1
有AD= BC，则△ABC为（ ）
2
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
22．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）在等腰△ABC中，AB=AC，D、E分别是BC，
AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（ ）
A．△ABC的重心处 B．AD的中点处 C．A点处 D．D点处
23．（2023·陕西榆林·统考二模）如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点
E，F，连接EF，若AC=3.4，则EF的长度为（ ）
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A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．3.4
24．（2023·上海松江·统考二模）如图，点G是△ABC的重心，四边形AEGD与△ABC面积的比值是
（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
2 3 4 5
题型 09 应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围
25．（2023·福建福州·校考二模）已知三角形两边长分别为3和5，则第三边的长可能是（ ）
A．2 B．6 C．8 D．9
26．（2023·河北廊坊·校考三模）如图，AB=3，AD=2，BC=1，CD=5，则线段BD的长度可能是
（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
27．（2023·浙江杭州·校考二模）如图，在Rt△ABC中BC⊥AC，CD⊥AB，AB=5，CD=3，则AC
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的长的取值范围是（ ）
A．AC<5 B．AC>3 C．3≤AC≤5 D．3CD，四边形
ABCD即为“等邻对角四边形”．
概念理解
（1）①如图2，在等边△ABC中，BC=6，点D，E分别在AC,AB上，CD=2，当BE的长为_______时，
四边形EBCD为“等邻对角四边形”．
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②如图3，在△ABC中，点E，D在AC上，点F在AB上，BF=CE，四边形FBCD为“等邻对角四边
形”，若∠BDC=110°，则∠BFC的度数为___________．
性质探究
（2）根据图1及其条件，探究∠BAC与∠CDB的数量关系．
问题解决
（3）如图4，在“等邻对角四边形”ABCD中，AB>CD,∠ABC=∠DCB,AB=3,AD=1,AD与BC
的延长线相交于点E．若DE=8，求CD的长，并指出∠BDC的度数是否可以等于90°，不必说明理由．
题型 19 应用三角形外角的性质求角度
61．（2023·海南儋州·海南华侨中学校联考模拟预测）如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点A落在矩形
纸片的一边上，若∠1=70°，则∠2的度数为（ ）
A．155° B．145° C．120° D．105°
62．（2023·浙江温州·校联考三模）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，连结AE，AC，已
知AE=CE，AB=BE，记∠ACB=α，则用α的代数式表示∠ACD的度数为（ ）
A．2α B．90°−2α C．3α D． 180°−4α
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63．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，E是BC边上一点，将
△ABE沿AE翻折，点B落到点D的位置，AD边与BC边交于点F，如果AE=EF=DF，那么∠BAC的度
数为 ．
64．（2023·河南新乡·校联考二模）如图，∠A+∠1=40°，CD⊥AE，则∠2的度数为 ．
题型 20 三角形的外角性质与角平分线的综合
65．（2020·浙江绍兴·模拟预测）如图，已知△ABC的高AD，角平分线AE，∠B=26°，∠ACD=60°，
则∠AED= ．
66．（2020·浙江杭州·模拟预测）问题情景：
如图1，AB//CD，∠A=30°，∠C=42°，求∠AEC的度数．
小明的思路：
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（1）初步尝试：按小明的思路，求出图1中∠AEC的度数．
（2）问题拓展：在（1）的基础上作如图2，AP平分∠BAE，PC平分∠DCE，AP与CP交于点P，直
接写出求出∠APC的度数，不需要理由．
（3）问题迁移1：如图3，AB//CD，当E在直线AB上方时，若∠EAB=α，∠ECD=β，∠EAB和
∠ECD的平分线交于点P ，请猜想∠E与∠P 的数量关系，并说明需要理由；
1 1
（4）问题迁移2：如图4，AB//CD，当点E在直线AB的上方时，∠EAB的角平分线的反向延长线和
∠ECD的补角的角平分线交于点M，直接说出猜想∠M与∠E的数量关系，不需要理由．
题型 21 三角形的外角性质与平行线的综合
67．（2023·河南南阳·统考一模）如图所示，∠AOB的一边OB为平面镜，∠AOB=40°，一束光线（与
水平线AO平行）从点C射入经平面镜上的点D后，反射光线落在OA上的点E处，则∠AED的度数是（
）
A．40° B．80° C．100° D．120°
68．（2021·浙江杭州·统考一模）如图，直角三角形ABC的顶点A在直线m上，分别度量：①∠1，∠2，
∠C；②∠2，∠3，∠B；③∠3，∠4，∠C；④∠1，∠2，∠3，可判断直线m与直线n是否平行的是
（ ）
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A．① B．② C．③ D．④
69．（2023·陕西榆林·校考三模）如图，AB∥CD,∠D=40°,∠F=26°，则∠B的度数为（ ）
A．66° B．60° C．56° D．50°
70．（2023·河南周口·校联考三模）空竹是我国传统的一项游戏，其器材简单但是动作花样繁多，深受大
众喜爱．彤彤在跑步时发现广场上抖空竹的老奶奶的某个动作可以抽象成一个简单的数学图形，如图所示，
AB∥CD，∠DCE=92°，∠BAE=115°，则∠E的度数是 ．
题型 22 应用三角形的外角性质解决折叠问题
71．（2023·广东广州·校联考一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=40°，点D为BC上一点，
把△ABD沿AD折叠到△AB'D，点B的对应点B'恰好落在边BC上，则∠CAB'的度数为（ ）
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A．10° B．20° C．30° D．40°
71．（2022·海南省直辖县级单位·统考二模）如图，在 ABC中，点D在BC上，且AD=BD=CD，AE是
BC边上的高，若沿AE所在直线折叠，点C恰好落在点△D处，若AB=√3，则 ADC的周长等于（ ）
△
A．1 B．√3 C．2 D．3
73．（2023·浙江台州·统考一模）如图，△ABC中，∠A比∠B大70°，点D为AB上一点，将△ABC沿直
线CD折叠，使点A的对应点A'落在边BC上，则∠ADC= °．
题型 23 三角形内角和定理与外角和定理综合
74．（2021·福建·校联考一模）如图，其中的△ABE和△ADC是由△ABC分别沿着直线AB，AC折叠得到
的，BE与CD相交于点I，若∠BAC＝140°，则∠EIC＝ °．
75．（2022下·江苏南京·九年级统考期中）如图，在扇形AOB中，D为A´B上的点，连接AD并延长与OB
的延长线交于点C，若CD=OA，∠O=75°，则∠A的度数为（ ）
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A．35° B．52.5° C．70° D．72°
76．（2022上·重庆·九年级重庆八中校考期末）如图，在 ▱ABCD中，∠DAM=19°，DE⊥BC于E，
DE交AC于点F，M为AF的中点，连接DM，若AF=2CD，则∠CDM的大小为（ ）．
A．112° B．108° C．104° D．98°
77．（2018·青海·中考真题）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E=90∘，
∠C=90∘，∠A=45∘，∠D=30∘，则∠1+∠2等于( )
A．150∘ B．180∘ C．210∘ D．270∘
1．（2023·福建·统考中考真题）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
A．1 B．5 C．7 D．9
2．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结
AE,AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S,S ,S ，若要求出S−S −S 的值，只需知道( )
1 2 1 2
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A．△ABE的面积 B．△ACD的面积 C．△ABC的面积 D．矩形BCDE的面积
3．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC
于点E，DF∥BC交EP于点F，若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（ ）
A．12 B．14 C．18 D．24
4．（2023·山东·统考中考真题）在△ABC中，BC=3,AC=4，下列说法错误的是（ ）
A．1
