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第 26 讲 圆的相关概念及性质
目 录
题型01 理解圆的相关概念
题型02 圆的周长与面积相关计算
题型03 圆中的角度计算
题型04 圆中线段长度的计算
题型05 求一点到圆上一点的距离最值
题型06 由垂径定理及推论判断正误
题型07 利用垂径定理求解
题型08 根据垂径定理与全等/相似三角形综合求解
题型09 在坐标系中利用勾股定理求值或坐标
题型10 利用垂径定理求平行弦问题
题型11 利用垂径定理求同心圆问题
题型12 垂径定理在格点中的应用
题型13 利用垂径定理的推论求解
题型14 垂径定理的实际应用
题型15 利用垂径定理求取值范围
题型16 利用弧、弦、圆心角关系判断正误
题型17 利用弧、弦、圆心角关系求解
题型18 利用弧、弦、圆心角关系求最值
题型19 利用弧、弦、圆心角关系证明
题型20 利用圆周角定理求解
题型21 利用圆周角定理推论求解
题型22 已知圆内接四边形求角度
题型23 利用圆的有关性质求值
题型24 利用圆的有关性质证明
题型25 利用圆的有关性质解决翻折问题
题型26 利用圆的有关性质解决多结论问题
题型27 圆有关的常见辅助线-遇到弦时, 常添加弦心距
题型28 圆有关的常见辅助线-遇到有直径时, 常添加（画）直径所对的圆周角
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题型 01 理解圆的相关概念
1．（2023·上海普陀·统考二模）下列关于圆的说法中，正确的是（ ）
A．过三点可以作一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦 D．圆的直径所在的直线是它的对称轴
2．（2020·内蒙古乌兰察布·校考一模）下列命题：①三点确定一个圆；②直径是圆的对称轴；③平分弦的
直径垂直于弦；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤相等的圆心角所对的弧相等，正确命题的个
数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2023·江苏徐州·统考一模）下列说法中，正确的是（ ）
①对角线垂直且互相平分的四边形是菱形； ②对角线相等的四边形是矩形；
③同弧或等弧所对的圆周角相等； ④半圆是弧，但弧不一定是半圆.
A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④
4．（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里
去，这是因为（ ）
A．同样长度的线段围成的平面图形中圆的面积最大
B．同一个圆所有的直径都相等
C．圆的周长是直径的π倍
D．圆是轴对称图形
题型 02 圆的周长与面积相关计算
5．（2022·山西临汾·统考二模）山西著名工艺品平遥推光漆器外观古朴雅致、闪光发亮，绘饰金碧辉煌，
以手掌推出光泽而得名．图1是平遥推光漆器的一种图案，图2是选取其某部分并且放大后的示意图．四
1
边形ABCD是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心， 对角线的长为半径画弧，四条弧相
2
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交于点O，则图中阴影部分的面积为（ ）
1
A．2π−4 B．π−2 C．2π D． π
4
6．（2019·广东佛山·佛山市三水区三水中学校考一模）某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，
后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池
的边沿（ ）
A．图（1）需要的材料多 B．图（2）需要的材料多
C．图（1）、图（2）需要的材料一样多 D．无法确定
7．（2019·河北张家口·统考一模）半径为R、r的两个同心圆如图所示，已知半径为r的圆周长为a，且
R−r=1，则半径为R的圆周长为（ ）
A．a+1 B．a+2 C．a+π D．a+2π
8．（2021·江苏宿迁·统考一模）一块含有30°角的三角板ABC如图所示，其中∠C=90°，∠A=30°，
BC=3cm．将此三角板在平面内绕顶点A旋转一周．
（1）画出边BC旋转一周所形成的图形；
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（2）求出该图形的面积．
题型 03 圆中的角度计算
1
9．（2023·山东聊城·统考一模）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC＝ OD，则
2
∠ABD的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
10．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC=80°，点D为弦AC的中点，
点E为B´C上任意一点，则∠CED的大小可能是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
11．（2023·湖南湘西·统考模拟预测）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺
时针方向旋转得到△O' A'B，使点O落在⊙O上，边A'B交线段AO于点C．若∠A'=27°，则∠OCB=
度．
题型 04 圆中线段长度的计算
12．（2023·湖南益阳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在斜边AB上，以BD为直径的
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⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半径为3，AD=2，则线段BC的长为
（ ）
40 24
A． B．8 C． D．6
3 5
13．（2023·广东深圳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，点D在斜边AB上，以BD为直径的
⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半径为3，AD=2，则线段BC的长为
（ ）
40 24 9
A． B．8 C． D．
3 5 5
14．（2022·湖北武汉·武汉第三寄宿中学校考模拟预测）如图，将两个正方形如图放置（B，C，E共线，
D，C，G共线），若AB＝3，EF＝2，点O在线段BC上，以OF为半径作⊙O，点A，点F都在⊙O上，
则OD的长是（ ）
A．4 B．√10 C．√13 D．√26
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题型 05 求一点到圆上一点的距离最值
15．（2023·湖北咸宁·统考二模）如图，正方形ABCD内接干圆O，线段MN在对角线BD上运动，若圆O
的面积为2π，MN=1，△AMN周长的最小值是 ．
16．（2023·浙江嘉兴·统考一模）平面直角坐标系xoy中，⊙O的半径为2，点M在⊙O上，点N在线段
OM上，设ON=t（10)图像上的一个动点，若以点P为圆心，3为半径的圆与直线y=x相交，交点为A、B，当弦AB
x
的长等于2√5时，点P的坐标为 ．
题型 10 利用垂径定理求平行弦问题
35．（2021·浙江衢州·校考一模）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD
与AB之间的距离是 ．
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36．（2022·黑龙江·统考一模）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，
EF =4，那么AD = ．
37．（2022·黑龙江牡丹江·统考二模）在半径为4cm的⊙O中，弦CD平行于弦AB，AB=4√3cm，
∠BOD=90°，则AB与CD之间的距离是 cm．
题型 11 利用垂径定理求同心圆问题
38．（2022·福建·模拟预测）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，大圆的半径
1
OA交小圆于点D，若OD＝3，tan∠OAB＝ ，则AB的长是 ．
2
39．（2019·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，两个圆都以O为圆心，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若
AB=6，则圆环的面积为 .
40．（2022·甘肃武威·统考模拟预测）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，
D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
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题型 12 垂径定理在格点中的应用
41．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图所示，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，一段圆弧
经过格点A，B，C，AE的延长线经过格点D，则A´E的长为（ ）
3π π 5π 5π
A． B． C． D．
4 2 8 4
42．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，
B，O均在格点上，则sinC= ．
43．（2023·天津东丽·统考二模）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为
格点，点A，B，M均为格点，以格点O为圆心，AB为直径作圆，点M在圆上．
（Ⅰ）线段AB的长等于 ；
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（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在B´M上找出一点P，使P´M=A´M，并简要说明画图方
法（不要求证明）
44．（2023·天津·校联考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D均为格点，
且点A，B在圆上．
（1）线段AC的长等于 ；
（2）过点D作DF∥AC，直线DF与圆交于点M,N（点M在N的左侧），画出MN的中点P，简要说明
点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
题型 13 利用垂径定理的推论求解
45．（2023·湖南长沙·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，B´C=B´D，
∠CDB=30°，AC=2√3，则OE=（ ）
√3
A． B．√3 C．1 D．2
2
46．（2021·江苏扬州·统考一模）如图，在⊙O中，点C是A´B的中点，连接OC交弦AB于点D，若
OD=3，DC=2，则AB的长是 ．
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47．（2023·天津西青·统考一模）已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上两点，A´C=B´C，连接AC，
BC，DB．
(1)如图①，若AB=10，BD=5，求∠ABC和∠ABD的大小；
(2)如图②，过点C作⊙O的切线，与DB的延长线交于点E，若CE=CB，求∠ABD的大小．
48．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点D是弧BC的中点，点
E在DO的延长线上， 连接AE．若∠E=∠B．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)连接AC．若AC=6，CF=4，求OE的长．
题型 14 垂径定理的实际应用
49．（2021·山东临沂·统考二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在
《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知
圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O
的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，
tan41.3°≈0.88）
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50．（2022·河南开封·统考一模）中国5A级旅游景区开封市清明上河园，水车园中的水车是由立式水轮，
竹筒、支撑杆和水槽等配件组成，如图是水车园中半径为5m的水车灌田的简化示意图，立式水轮⊙O在
水流的作用下利用竹筒将水运送到到点A处，水沿水槽AP流到田地，⊙O与水面交于点B，C，且点B，
C，P在同一直线上；AP与⊙O相切，若点P到点C的距离为32米，立式水轮⊙O的最低点到水面的距
离为2米，连接AC，AB．
请解答下列问题，
(1)求证：∠PAC=∠PBA．
(2)请求出水槽AP的长度．
51．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图是正在修建的某大门上半部分的截面，其为圆弧型，跨度CD
（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高AB（弧的中点到弦的距离）为0.8米．
(1)求该圆弧所在圆的半径；
(2)在修建中，在距大门边框的一端（点D）0.4米处将竖立支撑杆HG，求支撑杆HG的高度；
52．（2021·云南大理·统考二模）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字
弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互
为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．
【概念理解】
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（1）若⊙O的半径为5，一条弦AB =8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为 ，最小值为 ．
（2）如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC= 12，DH =7，
CH =9，求证︰AB、CD互为“十字弦”；
【问题解决】
（3）如图3，在⊙O中，半径为√13，弦AB与CD相交于H，AB、CD互为“十字弦”且AB=CD，
CH
=5，则CD的长度 ．
DH
题型 15 利用垂径定理求取值范围
53．（2020·山东泰安·校考模拟预测）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦
AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
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A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
54．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，⊙O的弦AB=8，点P是AB上一动点，若⊙O的直径是10，则
OP的长的取值范围是______．
55．（2023·浙江金华·校考一模）在锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，设BC边上的高为h，则h的
取值范围是 ．
56．（2022·湖南长沙·校考二模）在半径为5的圆中，弦AB=8，点C是劣弧AB上的动点（可与A、B重
合），连接OC交AB于点P．
(1)如图1，当OC⊥AB时，求OP的长度；
(2)如图2，过C点作CM⊥AB，垂足为点M，设CM=m，求OP的长度（用含m的式子表示），并指出m
的取值范围；
(3)如图3，设CM=m，连接OM．求OM2+8CM的取值范围．
题型 16 利用弧、弦、圆心角关系判断正误
57．（2020·安徽芜湖·校联考三模）在⊙O中，M为A´B的中点，则下列结论正确的是( )
A．AB＞2AM B．AB＝2AM
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C．AB＜2AM D．AB与2AM的大小不能确定
58．（2018·湖北襄阳·统考一模）如图，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四点，OC，OD交AB于点E，
F，且AE＝FB，下列结论中不正确的是（ ）
A．OE＝OF B．弧AC=弧BD C．AC＝CD＝DB D．CD∥AB
59．（2018·福建三明·统考一模）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为M，则下列结论一定正确的是
( )
1 1
A．AC＝CD B．OM＝BM C．∠A＝ ∠BOD D．∠A＝ ∠ACD
2 2
题型 17 利用弧、弦、圆心角关系求解
60．（2022·福建泉州·一模）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一
点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（ ）
3 √3
A．3√3 B． C．√3 D．
2 2
61．（2022·江苏扬州·统考二模）将一张正方形的透明纸片ABCD和⊙O按如图位置叠放，顶点A、D在
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⊙O上，边AB、BC、CD分别与⊙O相交于点E、F、G、H，则下列弧长关系中正确的是（ ）
A．A´D=A´E B．A´D=A´F
C．A´F=D´G D．A´F=D´H
62．（2022·安徽合肥·校联考三模）如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°,N
是M´B的中点，P是直径AB上的一动点，若MN=2，则△PMN周长的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
63．（2023·山东德州·统考三模）如图，在△ABC中，∠B=90°，⊙O过点A、C，与AB交于点D，与
BC相切于点C，若∠A=32°，则∠ADO=
64．（2022·上海静安·统考二模）如图，已知半圆直径AB=2，点C、D三等分半圆弧，那么△CBD的面
积为 ．
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题型 18 利用弧、弦、圆心角关系求最值
65．（2022·山东枣庄·校考一模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为弧
BC的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（ ）
A．1 B．√2 C．√3 D．2
66．（2022·安徽淮南·统考一模）如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧BC于点
D．点E为半径OB上一动点，若OB=2，则CE+DE长的最小值为 ．
67．（2022·山东济南·统考二模）如图，在边长为6的等边ΔABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动
点，且AE=CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为 ．
题型 19 利用弧、弦、圆心角关系证明
68．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，已知在⊙O中， A´B＝B´C＝C´D，OC与AD相交于点E．求证：
（1）AD∥BC
（2）四边形BCDE为菱形．
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69．（2023·贵州黔南·统考一模）如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是A´B的中点．
(1)求证：AB平分∠OAC；
(2)延长OA至P，使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．
70．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知A´B=C´D．
(1)求证：BE=DE；
(2)如果⊙O的半径为5，AD⊥CB,DE=1，求AE的长．
71．（2023·安徽合肥·校联考二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=BC，对角线AC为⊙O的直
径，E为⊙O外一点，AB平分∠DAE，AD=AE，连接BE．
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(1)求∠AEB的度数；
(2)连接CE，求证：2BE2+AE2=CE2．
题型 20 利用圆周角定理求解
72．（2023·山东泰安·统考一模）如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若
∠BAD=35°，则∠C= °．
73．（2022·山西晋中·统考一模）如图，在⊙O中，OA=3，∠C=45°，则图中阴影部分的面积是
．（结果保留π）
74．（2023·宁夏银川·校考一模）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，
O在格点上，则cos∠ACB的值是 ．
75．（2022·江西·校联考一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC、BC，OD⊥BC于点
E，交⊙O于点D，连接CD、AD，AD与BC交于点F，CG与BA的延长线交于点G．
（1）求证：△ACD∽△CFD；
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（2）若∠CDA＝∠GCA，求证：CG为⊙O的切线；
1
（3）若sin∠CAD＝ ，求tan∠CDA的值．
3
题型 21 利用圆周角定理推论求解
76．（2023·江苏苏州·星海实验中学校考二模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，C´B=C´D，
∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB= ．
77．（2022·江苏徐州·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数
是 ．
78．（2023·山东济宁·统考一模）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直
角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为 ．
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79．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，连
接AD．
(1)求证：BD=CD；
(2)若⊙O与AC相切，求∠B的度数；
(3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧A´D的中点E．（不写作法，保留作图痕迹）
题型 22 已知圆内接四边形求角度
80．（2021·重庆南岸·统考一模）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（
）
A．70° B．110° C．130° D．140°
81．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，
那么∠BOD的度数为( )
A．128° B．64° C．32° D．116°
82．（2022·河北石家庄·校考模拟预测）如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆
交于点D，则图中与∠EAD相等的角(不包括∠EAD)是 ．
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题型 23 利用圆的有关性质求值
83．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，AC=12，经过点B且半
径为5的⊙O与AB交于D，与CB的延长线交于E，则线段DE的长为（ ）
A．6.4 B．7 C．7.2 D．8
84．（2022·安徽合肥·合肥寿春中学校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C
顺时针旋转得到△DEC，BC和DE相交于点O，点D落在线段AB上，连接BE．
(1)若∠ABC=20°，则∠BCE= ；
(2)若BE=BD，则tan∠ABC= ．
85．（2022·江苏南京·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为线段AB上一动点，
CF⊥CE交△ACE的外接圆于点F，连接AF，其中AC=3，BC=4．
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(1)求证△CFA∽△CEB；
(2)当E从B运动到A时，F运动路径的长为______．
题型 24 利用圆的有关性质证明
86．（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD=CD，过D作DE⊥BC交
BC延长线于点E
(1)若AB为直径，证明：DE是⊙O的切线；
(2)若AB不是⊙O的直径，如图2，DE交⊙O于点F，连接BF
CD CE
①求证： = ；
BF EF
②若AB=BC+EF，求sin∠ABD的值．
87．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点P是射线AB上的一动点（不与点
A，B重合），过点P作⊙O的割线交⊙O于点C，D，BH⊥CD于H，连接BC，BD．
(1)①在图1的情形下，证明：BC⋅BD=AB⋅BH；
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②当点P处于图2中的位置时，①中的结论___________（填“仍成立”或“不再成立”）；
(2)若⊙O的半径为3，当∠APC=30°且BC⋅BD=6时，求AP的长．
88．（2022·山西大同·校联考三模）阅读与思考：阿基米德（公元前287年－公元前212年），伟大的古
希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家、静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有
“力学之父”的美称，留给后人的最有价值的书是《阿基米德全集》．在该书的“引理集”中有这样一道
题：
如图1，以AB为直径作半圆O，弦AC是一个内接正五边形的一条边（即：∠AOC=72°），点D是A´C
的中点，连接CD并延长与直径BA的延长线交于点E，连接AC,DB交于点F，过点F作FM⊥AB于点
M．求证：ME是半圆的半径．
下面是勤奋小组的部分证明过程：
证明：如图2，过点D作DH⊥AB于点H．
∵∠AOC=72∘,A´C=A´C，
1
∴∠ABC= ∠AOC=36°．（依据1）
2
∵点D是A´C的中点，
∴A´D=D´C．
∵∠AOC=72°，
∴∠AOD=∠COD=36°．
1
∴∠ABD=∠CBD=∠DAC=∠DCA= ∠ABC=18°．（依据2）
2
∵以AB为直径作半圆O，
∴∠ACB=∠ADB=90°．（依据3）
∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=108°．
∵四边形ABCD是半圆O的内接四边形，
∴∠BAD=180°−∠DCB=72°,∠ADC+∠ABC=180°．（依据4）
∵∠ADE+∠ADC=180°，
∴∠ADE=∠ABC=36°．
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∵FM⊥AB于点M，
∴FM=FC,∠FMB=∠ACB=90°．
∵BF=BF，
∴△BCF≌△BMF(HL)．
∵BC=BM．
∵BC=BM,∠ABD=∠CBD,BD=BD．
∴△BCD≌△BMD(SAS)．
∴DC=DM．
……
通过上面的阅读，完成下列任务：
(1)任务一：直接写出依据1，依据2，依据3和依据4；
(2)任务二：根据勤奋小组的解答过程完成该题的证明过程．（提示：先求出∠A的度数，再根据等腰三角
形的性质或判定完成该题的证明过程）
题型 25 利用圆的有关性质解决翻折问题
89．（2022·黑龙江大庆·统考三模）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将B´C沿BC翻折交AB
于点D．再将B´D沿AB翻折交BC于点E．若B´E=D´E，设∠ABC=α，则α所在的范围是（ ）
A．21.9°<α<22.3° B．22.3°<α<22.7°
C．22.7°<α<23.1° D．23.1°<α<23.5°
90．（2023·福建泉州·统考一模）如图，AB、AC是⊙O的弦（不是直径），将A´B沿AB翻折交AC于点
AD
D．若A´B=A´C，A´D=B´D，则 ＝ ．
CD
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91．（2023·安徽淮南·校联考一模）如图，已知，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点．
(1)如图①，将A´C沿弦AC翻折，交AB于D，若点D与圆心O重合，AC=2√3，则⊙O的半径为 ；
(2)如图②，将B´C沿弦BC翻折，交AB于D，把B´D沿直径AB翻折，交BC于点E．
（Ⅰ）若点E恰好是翻折后的B´D的中点，则∠B的度数为 ；
（Ⅱ）如图③，连接DE，若AB=10，OD=1，求线段DE的长．
题型 26 利用圆的有关性质解决多结论问题
92．（2022·浙江杭州·统考二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，延长BA与弦CD的
1
⏜ ⏜ ⏜
延长线交于点P，已知PD= AB，下列结论：①若 CD=AD+BC ，则AB=√2CD；②若∠B=60°，则
2
PA AD 1
∠P=20°；③若∠P=30°，则 =√3−1；④ 的值可能等于 ．其中正确的序号是（ ）
PD BC 3
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
93．（2022·福建莆田·统考一模）如图，在半径为5的⊙O中，弦AC=8，B为A´C上一动点，将△ABC
沿弦AC翻折至△ADC，延长CD交⊙O于点E，F为DE的中点，连接AE，OF．现给出以下结论：
①AE=AB；②AD=AE；③∠ADC=2∠AED；④OF的最小值为1，
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其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
94．（2020·湖南岳阳·校考二模）如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，
AN，点C为A´N上一点，且A´C=A´M，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①
1
∠MAN=90°；②A´M=B´M；③∠ACM+∠ANM=∠MOB；④AE= MF．其中正确结论的序号是
2
．
题型 27 圆有关的常见辅助线-遇到弦时, 常添加弦心距
95．（2022·贵州铜仁·校考模拟预测）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC=45°，若
PC2+PD2=32，则⊙O的半径为 ．
96．（2022·浙江杭州·统考一模）如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP
＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为 ．
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题型 28 圆有关的常见辅助线-遇到有直径时, 常添加（画）直径所
对的圆周角
k
97．（2022·江苏常州·常州市第二十四中学校联考一模）图，点A(1,2)、点B都在反比例函数y= (x>0)
x
的图象上，当以OB为直径的圆经过A点，点B的坐标为 ．
98．（2023·黑龙江鸡西·统考二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则⊙O的直
径等于 ．
99．（2018·湖南张家界·校联考一模）如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则
∠ACD= °．
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一、单选题
1．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，
点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
2．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由
两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正
确的是（ ）
A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形
3．（2023·陕西·统考中考真题）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从
正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．A´B是⊙O的一部分，D是A´B的中点，连接OD，与弦
AB交于点C，连接OA，OB．已知AB=24cm，碗深CD=8cm，则⊙O的半径OA为（ ）
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A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
4．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，
OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，垂足分别为D,E,F，连接DE,EF,FD．若DE+DF=6.5,△ABC
的周长为21，则EF的长为（ ）
A．8 B．4 C．3.5 D．3
5．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（A´C），点O是这段弧所在圆
的圆心，B为A´C上一点，OB⊥AC于D．若AC=300√3m，BD=150m，则A´C的长为（ ）
A．300πm B．200πm C．150πm D．100√3πm
6．（2023·广东·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=50°，则∠D=（ ）
A．20° B．40° C．50° D．80°
7．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，在⊙O中，半径OA,OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若
∠ABC=19°，则∠BAC=（ ）
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A．23° B．24° C．25° D．26°
8．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，
IA．若∠CAI=35°，则∠OBC的度数为（ ）
A．15° B．17.5° C．20° D．25°
9．（2023·西藏·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若
∠DCE=65°，则∠BOD的度数是（ ）
A．65° B．115° C．130° D．140°
10．（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于
点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD=∠CAD；②若∠BAC=60°，则∠BEC=120°；③
若点G为BC的中点，则∠BGD=90°；④BD=DE．其中一定正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
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11．（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∠BAC=∠DAE=90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下
CF 4
列结论：①BD=CE；②∠DAC=∠CED；③若BD=2CD，则 = ；④在△ABC内存在唯一一点
AF 5
P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE=2+√3．其中含所有
正确结论的选项是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
12．（2023·黑龙江·统考中考真题）在Rt△ACB中，∠BAC=30°,CB=2，点E是斜边AB的中点，把
Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，
EF,CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是 ．
13．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，点C为B´D的中点，以点C
为切点的切线与AB的延长线交于点E．
（1）若∠A=30°,AB=6，则B´D的长是 （结果保留π）；
CF 1 CE
（2）若 = ，则 = ．
AF 3 AE
14．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E,A´C=2B´D．连接AD，
过点B的切线与AD的延长线交于点F．若∠AFB=68°，则∠DEB= °．
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15．（2023·江苏·统考中考真题）如图，AD是⊙O的直径，△ABC是⊙O的内接三角形．若
∠DAC=∠ABC，AC=4，则⊙O的直径AD= ．
16．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量
角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为 ．
17．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，
AC=12,BC=5，则MD的长是 ．
18．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若
∠ADE=70°，则∠AOC= 度．
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三、解答题
19．（2023·安徽·统考中考真题）已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．
(1)如图1，连接OA,CA，若OA⊥BD，求证；CA平分∠BCD；
(2)如图2，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC,CE⊥AB，若BD=3√3，AE=3，求弦BC的长．
20．（2023·天津·统考中考真题）在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC=60°，E为弦
AB所对的优弧上一点．
(1)如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；
(2)如图②，CE与AB相交于点F，EF=EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若
OA=3，求EG的长．
21．（2023·河北·统考中考真题）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，
AB=50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．
计算：在图1中，已知MN=48cm，作OC⊥MN于点C．
（1）求OC的长．
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操作：将图1中的水面沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM=30°时停止滚动，如图
2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．
探究：在图2中
（2）操作后水面高度下降了多少？
（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与E´Q的长度，并比较大小．
22．（2023·北京·统考中考真题）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分
∠ABC，∠BAC=∠ADB．
(1)求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F．若AC=AD，BF=2，求此圆半径的长．
23．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠ACB=2∠BAC．
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(1)求证：∠AOB=2∠BOC；
(2)若AB=4,BC=√5，求⊙O的半径．
24．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图1，在△ABC中，AB=AC，点M,N分别为边AB,BC的中点，
连接MN．
初步尝试：（1）MN与AC的数量关系是_________，MN与AC的位置关系是_________．
特例研讨：（2）如图2，若∠BAC=90°,BC=4√2，先将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得
到△BEF，当点A,E,F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF．
（1）求∠BCF的度数；
（2）求CD的长．
深入探究：（3）若∠BAC<90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转
角α满足0°<α<360°，点C,E,F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关
系，并说明理由．
25．（2022·山东泰安·统考中考真题）问题探究
（1）在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC与∠BCA的平分线．
①若∠A=60°，AB=AC，如图，试证明BC=CD+BE；
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②将①中的条件“AB=AC”去掉，其他条件不变，如图，问①中的结论是否成立？并说明理由．
迁移运用
（2）若四边形ABCD是圆的内接四边形，且∠ACB=2∠ACD，∠CAD=2∠CAB，如图，试探究线
段AD，BC，AC之间的等量关系，并证明．
41
