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第 27 讲 与圆有关的位置关系
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 点、直线与圆的位置关系
题型01 判断点和圆的位置关系
题型02 根据点和圆的位置关系求半径
题型03 判断直线与圆的位置关系
题型04 根据直线与圆的位置关系求半径
题型05 根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离
题型06 求圆平移到与直线相切时圆心坐标
题型07 求圆平移到与直线相切时运动距离
题型08 根据直线与圆的位置关系求交点个数
题型09 圆和圆的位置关系
考点二 切线的性质与判定
题型01 判断或补全使直线成为切线的条件
题型02 利用切线的性质求线段长
题型03 利用切线的性质求角度
题型04 证明某条直线时圆的切线
类型一 由公共点：连半径，证垂直
类型二 无公共点：作垂直，证半径
题型05 利用切线的性质定理证明
题型06 切线的性质与判定的综合运用
题型07 作圆的切线
题型08 应用切线长定理求解
题型09 应用切线长定理求证
考点三 三角形内切圆与外接圆
题型01 判断三角形外接圆圆心位置
题型02 求外心坐标
题型03 已知外心的位置判断三角形形状
题型04 求特殊三角形外接圆的半径
题型05 由三角形的内切圆求长度
题型06 由三角形的内切圆求角度
题型07 由三角形的内切圆求周长、面积
题型08 求三角形的内切圆半径
题型09 直角三角形周长、面积和内切圆半径的关系
题型10 圆外切四边形模型
题型11 三角形内心有关的应用
题型12 三角形外接圆与内切圆综合
考点要求 新课标要求 命题预测
点、直线与圆 探索并掌握点与圆的位置关系. 本专题内容也是各地中考数学中的必考
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考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位
能用尺规作图:过不在同一直线上 置关系、切线的性质和判定、三角形的内切
的位置关系
的三点作圆. 圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查
了解直线与圆的位置关系. 切线的性质和判定，和直角三角形结合的求
线段长的问题和三角函数结合的求角度的问
切线的性质与 掌握切线的概念. 题等知识点综合，考查形式多样，多以动
判定 探索并证明切线长定理. 点、动图的形式给出，难度较大.关键是掌握
基础知识、基本方法，力争拿到全分．
了解三角形的内心与外心.
三角形内切圆
通过尺规作作三角形的外接圆、
与外接圆
内切圆.
考点一 点、直线与圆的位置关系
1. 点和圆的位置关系
已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：
位置关系 图形 定义 性质及判定
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P
r
d
点在圆外 点在圆的外部 d > r 点P在圆外
P
r
d
点在圆上 点在圆周上 d = r 点P在圆上
r P
点在圆内 d 点在圆的内部 d < r 点P在圆内
【说明】掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半
径的关系，可以确定该点与圆的位置关系．
2. 直线和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系 图形 公共点个数 性质及判定
r
相离 没有公共点 d > r直线l与⊙O相离
d
r
相切 有唯一公共点 d = r直线l与⊙O相切
d
r
相交 有两个公共点 d < r直线l与⊙O相交
d
【小技巧】判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．
3. 圆和圆之间的位置关系
设⊙O、⊙O 的半径分别为r、R（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表：
1 2
位置关系 图形 公共点个数 性质及判定
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R
r
外离 无 d>R+r⇔两圆外离
O 1 d O 2
R
外切 r 1个切点 d=R+r⇔两圆外切
O 1 d O 2
r R
相交 两个交点 R−r0)，得到点P'，再
将点P关于直线M P'对称得到点Q，称点Q为点P的k倍“对应点”．特别地，当M与P'重合时，点Q
为点P关于点M的中心对称点．
(1)已知点P(3，0)，k=2．
①若点M的坐标为(0，1)，画出点P'，并直接写出点P的2倍“对应点”Q的坐标；
②若OM=1，直线y=x+b上存在点P的2倍“对应点”，直接写出b的取值范围；
(2)半径为3的⊙O上有不重合的两点M，P，若半径为1的⊙O上存在点P的k倍“对应点”，直接写出k
的取值范围．
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考点二 切线的性质与判定
1.切线的性质与判定
定义 线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点．
圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆
心的直线．）
性质 解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中
作辅助线的一种方法）．根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计
算或证明．
1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线.
2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切.
3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时，
判定
1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半
径，简称“连半径，证垂直”；
3）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半
径，简称“作垂直，证半径”．
2.切线长定理
定义 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
切线长定理的应用问题解题方法：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角
三角形来求解．
题型01 判断或补全使直线成为切线的条件
【例1】（2021·浙江绍兴·统考一模）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A
切线的是（ ）
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A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
【变式1-1】（2021·广东揭阳·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，
下列说法不正确的是（ ）
A．若DE=DO，则DE是⊙O的切线 B．若AB=AC，则DE是⊙O的切线
C．若CD=DB，则DE是⊙O的切线 D．若DE是⊙O的切线，则AB=AC
【变式1-2】（2019·新疆·校考中考模拟）已知⊙O 的半径为 5，直线 EF 经过⊙O 上一点 P（点 E，F
在点 P 的两旁），下列条件能判定直线 EF 与⊙O 相切的是（ ）
A．OP＝5 B．OE＝OF
C．O 到直线 EF 的距离是 4 D．OP⊥EF
题型02 利用切线的性质求线段长
【例2】（2023·重庆巴南·统考一模）如图，已知△ABC，点D在边AB上，以BD为直径的⊙O与边AC
相切于点C，若AC=4,AD=2，则线段BC的长为（ ）
11 12
A．5 B．2√5 C． √5 D． √5
5 5
【变式2-1】（2023·湖南衡阳·模拟预测）如图，在△OAB中，OA=OB=13，AB=24，以O为圆心，4
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为半径作⊙O，P为线段AB上动点(从A运动到B)，过P作⊙O的切线PC，切点为C，则PC的取值范围
是( )
A．3≤PC≤3 √17 B．5≤PC≤13 C．4≤PC≤3 √17 D．1
