文档内容
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第 18 讲 等腰三角形
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 等腰三角形的性质与判定
题型01 等腰三角形的定义
题型02 根据等边对等角求角度
题型03 利用等边对等角证明
题型04 根据三线合一求解
题型05 根据三线合一证明
题型06 格点图中画等腰三角形
题型07 根据等角对等边证明等腰三角形
题型08 根据等角对等边证明边相等
题型09 根据等角对等边求边长
题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
题型11 等腰三角形性质与判定综合
题型12 等腰三角形有关的折叠问题
题型13 等腰三角形有关的规律探究问题
题型14 等腰三角形有关的新定义问题
题型15 等腰三角形有关的动点问题
题型16 探究等腰三角形中线段间存在的关系
考点二 等边三角形的性质与判定
题型01 利用等边三角形的性质求线段长
题型02 手拉手模型
题型03 等边三角形的判定
题型04 等边三角形与折叠问题
题型05 等边三角形有关的规律探究问题
题型06 等边三角形有关的新定义问题
题型07 利用等边三角形的性质与判定解决多结论问题
考点三 线段垂直平分线的性质与判定定理
题型01 利用垂直平分线的性质求解
题型02 线段垂直平分线的判定
题型03 线段垂直平分线的实际应用
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考点要求 新课标要求 命题预测
理解等腰三角形的概念.
探索并证明等腰三角形的性质定理:
等腰三角形的性质 等腰三角形的两个底角相等;底边上的高线、 该板块内容重在掌握基本知
与判定 中线及顶角平分线重合. 识的基础上灵活运用，也是考查
探索并掌握等腰三角形的判定定理: 重点，年年都会考查，最为经典
有两个角相等的三角形是等腰三角形. 的“手拉手”模型就是以等腰三
角形为特征总结的.而数学中考
探索等边三角形的性质定理:等边三
中，等腰三角形单独出题的可能
角形的各角都等于60°.
等边三角形的性质
性还是比较大的，多以选择填空
探索等边三角形的判定定理:三个角
与判定
题型出现，但是因为等腰三角形
都相等的三角形(或有一个角是 60°的等腰
可以放在很多模型中，所以等腰
三角形)是等边三角形.
三角形结合其他考点出成压轴题
理解线段垂直平分线的概念，
的几率特别大，所占分值也是比
探索并证明线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的 较多，属于是中考必考的中等偏
定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距
性质与判定定理 上难度的考点.
离相等;反之，到线段两端距离相等的点在线
段的垂直平分线上.
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考点一 等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的概念：有两边相等的三角形角等腰三角形．
等腰三角形性质：
1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.
等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等
边”）.
1. 等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明
是顶角还是底角，需要分类讨论.
2. 顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°.
3. 等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．
4. 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
b
5. 等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则 0）的图象上，则k的值为 ．
x
【变式4-4】（2023·河北·统考模拟预测）如图，点D,C,E在直线l上，点A,B在l的同侧，AC⊥BC，
若AD=AC=BC=BE=5,CD=6，则CE的长为 ．
题型05 根据三线合一证明
【例5】（2023·陕西榆林·校考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC的中点，一个圆过
点A，交边AB于点E，且与BC相切于点D，则该圆的圆心是（ ）
A．线段AE的垂直平分线与线段AC的垂直平分线的交点
B．线段AB的垂直平分线与线段AC的垂直平分线的交点
C．线段AE的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点
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D．线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点
【变式5-1】（2023·山东青岛·统考一模）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F分别是
AO，CO的中点．
(1)求证：DE=BF；
(2)请从以下三个条件：①AC=2BD；②∠BAC=∠DAC；③AB=AD中，选择一个合适的作为已知
条件，使四边形DEBF为菱形．
你选择添加的条件是：______（填写序号）；添加条件后，请证明四边形DEBF为菱形．
【变式5-2】（2023·广西河池·校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点．以BD为
直径作圆O，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．
(1)求证：AD是圆O的切线．
(2)若PC是圆O的切线，BC=4，求PE的长．
【变式5-3】（2023·贵州黔东南·统考三模）（1）如图，直线AB经过⊙O上一点C，连接OA,OB，从
以下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证明过程．①
OA=OB；②CA=CB；③AB是⊙O的切线．你选择的条件是____________，结论是______（填序号）；
（2）在（1）的条件下，若∠AOB=90°，OA=4√2，求图中阴影部分的面积．
题型06 格点图中画等腰三角形
【例6】（2023·江苏扬州·统考一模）如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，每个小正方形的边长为
1，M、N分别是AB、BC上的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM、PN，则满足
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∠MPN=45°的点P有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式6-1】（2023·广西玉林·统考一模）如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B
在格点上．再选择一个格点C，使 ABC是以AB为腰的等腰三角形，符合点C条件的格点个数是( )
△
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式6-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）图1、图2是两张形状、大小完全相
同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1
(1)在图1中画一个腰长为5，面积为10的等腰三角形ABC，（点A、B、C在小正方形的顶点上）．
(2)在图2中画出一个腰长为10的等腰三角形DEF（点D、E、F在小正方形的顶点上），并直接写出等腰
三角形DEF的底角的正切值为__________．
【变式6-3】（2023·浙江丽水·统考二模）如图，是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边
三角形的顶点叫作格点．线段AB的端点均在网格上，分别按要求作图，每小题各画出一个即可．
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(1)在图1中画出以AB为边的平行四边形ABCD，且点C，D在格点上；
(2)在图2中画出等腰三角形ABE，且点E在格点上；
(3)在图3中画出直角三角形ABF，且点F在格点上．
题型07 根据等角对等边证明等腰三角形
【例7】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，D，E是△ABC边上的点，ED∥BC，BE平分
∠ABC．
(1)求证：BD=DE；
(2)若BD:BC=2:3．直接写出S :S 的值．
△ADE △EDC
【变式7-1】（2023·江苏常州·统考二模）如图，已知△ABC．
(1)在图中用直尺和圆规作△ABC的角平分线BD，作∠ADE，使得∠ADE=∠C，射线DE交AB于点
E（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，判断△BDE的形状，并证明你的结论．
【变式7-2】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，D是AB上的一点，C是⊙O
上的一点，过点D作AB的垂线，与过点C的切线相交于点P，PD与AC相交于点E．
（1）求证：△PCE是等腰三角形；
25
（2）连接BC，若AD=OD，AE= ，BC=6，求PC的长．
8
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题型08 根据等角对等边证明边相等
【例8】（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，
∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F则CF的长为（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
【变式8-1】（2023·江苏苏州·统考二模）如图锐角△ABC中，AB=4，BC=6，∠A=2∠C，则AC
的值为 ．
【变式8-2】（2023·浙江·统考二模）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，
EB平分∠DEC．
(1)求证：BC=CE；
(2)若CE=AB，EA=EB，求∠C的度数．
【变式8-3】（2023·湖北武汉·统考二模）如图，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC的平分线交AD于点
E，交CD的延长线于点F．
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(1)求证：DE=DF；
(2)若∠C=120°，直接写出∠1的度数．
题型09 根据等角对等边求边长
【例9】（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为2，点F
为对角线AC上一点，当∠CBF=22.5°时，则AF的长是（ ）
11
A．2√2−2 B． C．2 D．√5
6
【变式9-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=45°，AD是△ABC的角平分
线，DE⊥ AC，垂足为点E.若DE=2，则BD的长为（ ）
A．4 B．2√3 C．2 D．2√2
【变式9-2】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）如图，在▱ABCD中，
AB=6，BC=8，以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，CD于M，N两点，分别以M，N
1
为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠BCD的内部交于点P，射线CP交AD于点E，交BA的
2
延长线于点F，则AF的长是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
【例10】（2020·安徽淮北·统考一模）如图，在矩形ABCD中， AB=4,BC=6,点E是AD的中点，点
F在DC上，且CF=1,若在此矩形上存在一点P，使得△PEF是等腰三角形，则点P的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式10-1】（2018·江苏常州·统考一模）已知直线y=−√3x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛
物线y=−(x−√3) 2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有( )
A．8个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式10-2】．（2023·广东河源·统考一模）如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已
知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有
（ ）个．
A．6 B．8 C．10 D．12
题型11 等腰三角形性质与判定综合
【例11】（2023·北京顺义·统考二模）如图，在△ABC中，AD，BD分别是∠BAC，∠ABC的平分线，
过点D作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．若AE=4，BF=6，则EF的长为 ．
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【变式11-1】（2020·江苏泰州·统考一模）已知点A(2，m)，点P在y轴上，且 POA为等腰三角形，若
符合条件的点P恰好有2个，则m= ．
△
【变式11-2】（2023·湖南邵阳·统考一模）如图，已知AB=6√3，点C在线段AB上，△ACD是底边长
为6的等腰三角形且∠ADC=120°，以CD为边在CD的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中
点，连接MB，则线段MB的最小值为 ．
k (8 )
【变式11-3】（2023·湖南娄底·统考一模）如图，函数y= (x>0)的图象过点A(n,2)和B ,2n−3
x 5
两点．
(1)求n和k的值；
(2)点C是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，若S =6，求C点的坐标；
△AOC
(3)过C点作DE∥OA，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得△≝¿是以DE为腰
的等腰直角三角形?若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
题型12 等腰三角形有关的折叠问题
【例12】（2023·辽宁·模拟预测）【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在△ACD中，∠D=2∠C，AB⊥CD，垂足
为B，且BC>AB．求证：BC=AD+BD．
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①如图2，小鹏同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在BC上截取BE=BD，连接AE，将线段BC
与AD，BD之间的数量关系转化为AD与CE之间的数量关系．
②如图3，小亮同学从∠D=2∠C这个条件出发给出另一种解题思路：作AC的垂直平分线，分别与AC，
CD交于F，E两点，连接AE，将∠D=2∠C转化为∠D与∠BEA之间的数量关系．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类此分析】
（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；
为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．
如图4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，过点A作AD∥BC（点D与点C在AB同侧），若
∠ADB=2∠C．求证：BC=AD+BD．
【学以致用】
（3）如图5，在四边形ABCD中，
100 121 3
AD= ,CD= ,sinD= ,∠BCD=∠BAD,∠ABC=3∠ADC，求四边形ABCD的面积．
3 3 5
【变式12-1】（2023·福建南平·统考二模）在等腰三角形ABC中，AB=AC，△DEC是由△ABC绕点C
按顺时针方向旋转α角(0<α<180°)得到，且点A的对应点D恰好落在直线BC上，如图1．
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(1)判断直线CE与直线AB的位置关系，并证明；
(2)当∠ADC=2∠BAC时，求∠BAC的大小；
(3)如图2，点F为线段AD的中点，点G在线段AB上且AG=AF，当点E在线段AD上时，求证：
AB=AE+2BG．
【变式12-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图1，已知三角形纸片ABC，AB=AC，∠A=50°，
将其折叠，如图2，使点A与点B重合，折痕为ED，点E，D分别在AB，AC上，那么∠DBC的度数为
（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
【变式12-3】（2023·河南南阳·统考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，E为AD边
的中点，连接BE，CE，点F，G分别是BE，BC边上的两个动点，连接FG，将△BFG沿FG折叠，使
点B的对应点H恰好落在边EC上，若△CGH是以GH为腰的等腰三角形，则EH的长为 ．
【变式12-4】（2023·甘肃张掖·统考二模）（1）如图①，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B
落在点B'处，B'C与AD交于点E，求证：△AEC是等腰三角形；
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（2）点O是矩形纸片ABCD对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段EF折叠，使点A的对应点为A'，
点B与点D重合，连接BF，求证：四边形FBED是菱形；
【变式12-5】（2023·河南洛阳·统考二模）综合与实践
(1)【操作发现】如图1，诸葛小组将正方形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的
点M处，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，请写出图中的一
个45°角：______．
(2)【拓展探究】如图2，孔明小组继续将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕AE上
的点N处，连接NF交AM于点P．
①∠AEF=______度；
②若AB=√3，求线段PM的长．
(3)【迁移应用】如图3，在矩形ABCD，点E，F分别在边BC、CD上，将矩形ABCD沿AE，AF折叠，
点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为CD的三等分点，AB=3，
AD=5，请直接写出线段BE的长．
题型13 等腰三角形有关的规律探究问题
【例13】（2022·湖北荆门·校考模拟预测）如图，直角坐标系中，△A A A ，△A A A ，△A A A
1 2 3 3 4 5 5 6 7
…，是斜边在x轴上，斜边长分别为4，8，12，16，…的等腰直角三角形，若△A A A 的顶点坐标分
1 2 3
别为A (4,0)，A (2,2)，A (0,0)，则依图中所示规律，A ❑❑的坐标为 ．
1 2 3 2022
【变式13-1】（2022·四川成都·四川师范大学附属中学校考模拟预测）如图，在等腰RtΔABC中，已知
∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上．将ΔABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P ，
1
此时AP =√2；将位置①的三角形绕点P 顺时针旋转到位置②，可得到点P ，此时AP =1+√2；将位
1 1 2 2
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置②的三角形绕点P 顺时针旋转到位置③，可得到点P ，此时AP =2+√2；···，按此规律继续旋转，
2 3 3
直至得到点P 为止，则AP = ．
2022 2022
【变式13-2】（2022·山东潍坊·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形
AOB，∠OAB=90°，直角边AO在x轴上，且AO=1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直
角三角形A OB，且A O=2AO，再将Rt△A OB ，绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形
1 1 1 1
A OB ，且A O=2A O……，依此规律，得到等腰直角三角形A OB ，则点B 的坐标是
2 2 2 1 2021 2021 2022
．
【变式13-3】（2022·上海·校联考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在
Rt△ABC内部作正方形DEFG，其中点D，E 分别在AC，BC边上，边FG 在BC上，它的面积记作
1 1 1 1 1 1 1 1
S；按同样的方法在△CDE 内部作正方形DEFG，它的面积记作S，S= ，…，照此规律作下
1 1 1 2 2 2 2 2 2
去，正方形DEFG 的面积S= ．
n n n n n
题型14 等腰三角形有关的新定义问题
【例14】（2023·江苏扬州·统考二模）给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶
角顶点互相重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰
三角形互为“友好三角形”．
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(1)如图①，△ABC和△ADE互为“友好三角形”，点D是BC边上一点（异于B点），AB=AC，
AD=AE，∠BAC=∠DAE=m°，连接CE，则CE______BD（填“<”或“=”或“>”），∠BCE=
______°（用含m的代数式表示）．
(2)如图②，△ABC和△ADE互为“友好三角形”，点D是BC边上一点，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE=60°，M、N分别是底边BC、DE的中点，请探究MN与CE的数量关系，并说明理
由．
(3)如图③，△ABC和△ADE互为“友好三角形”，点D是BC边上一动点，AB=AC，AD=AE，
∠BAC=∠DAE=90°，BC=6，过D点作DF⊥ AD，交直线CE于F点，若点D从B点运动到C点，
直接写出F点运动的路径长．
【变式14-1】（2022·广东中山·统考三模）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为
“兄弟三角形”．
(1)如图1，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：BD=CE．
(2)如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在△ABC外，连
接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME．
【变式14-2】（2023·广东阳江·统考三模）定义：△ABC中，∠A+2∠B=90°，则称△ABC为倍余三
角形．
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(1)下列说法正确的是 ．
①倍余三角形一定是钝角三角形；
②等腰三角形不可能是倍余三角形．
(2)如图1，△ABC内接于⊙O，点D在直径BC上(不与B，C重合)，满足AB=AD，求证：△ACD为倍
余三角形；
(3)在（2）的条件下，
①如图1，连接AO，若△AOD也为倍余三角形，求∠C的度数；
AD
②如图2，过点D作DE⊥BC交AC于点E，若△ABC面积为△ADE面积的7.5倍，求 的值．
BC
题型15 等腰三角形有关的动点问题
【例15】（2023·湖南郴州·统考二模）如图，等腰Rt△ABC中，D是AC上一动点，连接BD．将△BCD
绕点B逆时针旋转90°得到△BAE，连接ED．若BC=5，则△AED周长最小值是 ．
【变式15-1】（2022·湖北咸宁·校考模拟预测）正方形ABCD中，E为对角线AC上的动点（不于B、C
重合），连接BE，DE，作EF⊥BE交CD或其延长线于F，下列结论：①BE=DE；②△≝¿为等腰三
角形；③AE=CF；④CE
