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第 20 讲 图形的相似与位似
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 比例线段的概念与性质
题型01 成比例线段
题型02 图上距离与实际距离
题型03 利用比例的性质判断式子变形是否正确
题型04 利用比例的性质求未知数的值
题型05 利用比例的性质求代数式的值
题型06 理解黄金分割的概念
题型07 黄金分割的实际应用
题型08 由平行线分线段成比例判断式子正误
题型09 平行线分线段成比例（A型）
题型10 平行线分线段成比例（X型）
题型11 平行线分线段成比例与三角形中位线综合
题型12 平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线
题型13 平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线
考点二 相似图形的概念与性质
题型01 理解相似图形的概念
题型02 相似多边形
题型03 相似多边形的性质
考点三 位似图形
题型01 位似图形的识别
题型02 判断位似中心
题型03 根据位似的概念判断正误
题型04 求两个位似图形的相似比
题型05 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
题型06 求位似图形的坐标
题型07 求位似图形的线段长度
题型08 在坐标系中求位似图形的周长
题型09 在坐标系中求位似图形的面积
考点要求 新课标要求 命题预测
了解比例的基本性质、线段的比、
比例线段的概念与
成比例的线段；
性质
通过建筑、艺术上的实例了解黄金
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分割. 在中考中，该模块内容常出现在
选择题、填空题，较为简单.本节
相似图形的概念与 通过具体实例认识图形的相似.
内容是下一节相似三角形的基
性质 了解相似多边形和相似比.
础，需要学生在复习时加以重视.
了解图形的位似，知道利用位似可
位似图形
以将一个图形放大或缩小.
考点一 比例线段的概念与性质
线段的比的定义：两条线段的比是两条线段的长度之比．
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比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段
a c
的比相等，如 = （即ad=bc），我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段.其中a、b、c、d
b d
叫组成比例的项；a、d叫比的外项，b、c叫比的内项，
a b
【补充】当比的内项相等时，即 = 或a：b=b：d，线段 b 叫做线段a和d的比例中项.
b d
【解题思路】
1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线
段的比是否相等即可；
a c
2）成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成 = （即：
b d
第 一条第 三 a d
= ），而不能写成 = .
第 二条第四 条 b c
比例的性质：
a c a b
1）基本性质： = ⇔ad=bc = ⇔b2=ac
b d b c
a b
{& = ，(交换内项)
c d
a c d c
2）变形： = ⇔ & = ，(交换外项) 核心内容：ad=bc
b d b a
d b
& = ．(同时交换内外项)
c a
a c a±b c±d
3）合、分比性质： = ⇔ =
b d b d
【补充】实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和
b−a d−c
{& =
a c a c
差变化比例仍成立．如： = ⇒
b d a−b c−d
& =
a+b c+d
a c e m a+c+e+⋯+m
4）等比性质：如果 = = =⋯= =k， 那么 =k(b+d+f +⋯+n≠0).
b d f n b+d+f +⋯+n
a c a c a+c
【补充】根据等比的性质可推出，如果 = ，则 = = (b+d≠0).
b d b d b+d
AC BC
5）黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果 = ,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做
AB AC
线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
√5−1 √5−1 长 短 √5−1
【注意】1）AC= AB≈0.648AB ( 叫做黄金分割值). 简记为： ＝ ＝
2 2 全 长 2
2）一条线段的黄金分割点有两个.
【扩展】作一条线段的黄金分割点：
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如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
1
①经过点B作BD⊥AB，使BD= AB.
2
②连接AD，在DA上截取DE=DB.
③在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
6）平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.
AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC
①已知l∥l∥l, 可得 = 或 = 或 = 或 = 或 = 等
3 4 5 BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF
①把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中，会出现下面的两种情况：
推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．
1. 求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
2. 通常四条线段a、b、c、d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d
统一为另外一个单位也可以.
题型01 成比例线段
【例1】（2023·福建泉州·校联考模拟预测）下列长度的各组线段中，能构成比例线段的是（ ）
A．2，5，6，8 B．3，6，9，2 C．1，2，3，4 D．3，6，7，9
【变式1-1】（2023·上海长宁·统考一模）已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果a=1，b=2，c=3，
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那么d的值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．1
【变式1-2】（2023·上海杨浦·统考一模）已知线段a=3厘米，c=12厘米，如果线段b是线段a和c的比例
中项，那么b= 厘米．
题型02 图上距离与实际距离
【例2】（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）在比例尺是1:8000的地图上，延陵西路的
长度约为25cm，该路段的实际长度约为（ ）
A．3200m B．3000m C．2400m D．2000m
【变式2-1】（2023·上海嘉定·校考一模）甲、乙两地的实际距离为250km，如果画在比例尺为1:5 000
000的地图上，那么甲、乙两地的图上距离是 cm．
题型03 利用比例的性质判断式子变形是否正确
【例3】（2023·安徽合肥·校考一模）已知2x=3 y（x≠0，y≠0），则下列比例式成立的是（ ）
x y x 3 x y x 2
A． = B． = C． = D． =
3 2 2 y 2 3 y 3
【变式3-1】（2023·上海宝山·一模）已知线段a、b，如果a:b=2:3，那么下列各式中一定正确的是（
）
a+b 5 a+3
A．2a=3b B．a+b=5 C． = D． =1
a 2 b+2
题型04 利用比例的性质求未知数的值
【例4】（2023·湖南郴州·模拟预测）若(5−x):x=2:3，则x= ．
a 3
【变式4-1】（2023·四川成都·统考二模）若 = ，且a+b=7，则a的值为 ．
b 4
题型05 利用比例的性质求代数式的值
【例5】（2023·浙江·模拟预测）用“▲”，“●”，“◆”分别表示三种物体的重量，若
▲ ●−◆ ◆
= = ，则▲，●，◆这三种物体的重量比为（ ）
● ▲ ●+▲
A．2:3:4 B．2:4:3 C．3:4:5 D．3:5:4
【变式5-1】（2023·上海虹口·统考一模）已知x:y=3:2，那么(x−y):x= ．
b d 1 2b−d
【变式5-2】（2023·宁夏银川·校考一模）若 = = (a≠c)，则 = ．
a c 2 2a−c
【变式5-3】（2023·江西抚州·校联考一模）解方程：
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(1)x(x−3)=2x−6；
(2)已知a:b:c=2:3:4，且2a+3b−2c=15，求a−2b+3c的值．
2a 2b 2c 2d
【变式5-4】（2023·安徽·校联考模拟预测）已知 = = = =k，求k2-3k-4的
b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c
值．
题型06 理解黄金分割的概念
【例6】（2023·上海杨浦·统考一模）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，那么下列等式能成立
的是（ ）
AB AP AB BP
A． = B． =
AP BP BP AP
AP √5−1 AB √5−1
C． = D． =
BP 2 AP 2
【变式6-1】（2023·河南郑州·统考二模）神奇的自然界中处处蕴含着数学知识．如图是古希腊时期的帕提
农神庙（Parthenon Temple），我们把图中的虚线表示为矩形ABCD，并发现AD:DC≈0.618，这体
现了数学中的（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
【变式6-2】（2023·四川成都·校考三模）已知点C为线段AB的黄金分割点，AC>BC．若AC=6cm，则
AB的长为 cm．
题型07 黄金分割的实际应用
AB √5−1
【例7】（2023·云南昆明·统考二模）如果矩形ABCD满足 = ，那么矩形ABCD叫做“黄金矩
BC 2
形”，如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，对角线AC，BD相交于O且BC=2，则关于黄金矩形ABCD，
下列结论不正确的是（ ）
√5−1
A．AC=BD B．S =
△AOB 2
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C．AC=8−2√5 D．矩形ABCD的周长C=2√5+2
【变式7-1】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，点C是线段AB的黄金分割点，即
BC AC
= ，若S 表示以CA为一边的正方形的面积，S 表示长为AB，宽为CB的矩形的面积，则S 与S 的
AC AB 1 2 1 2
大小关系是（ ）
A．S >S B．S BP)，若满足 = ，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在
AP AB
我们的数学学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”．
(1)应用：如图1，若点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，若AB=1，则AC的长为 ______．
(2)运用：如图2，已知等腰三角形ABC为“黄金三角形”，AB=AC，∠A=36°，BD为∠ABC的平分
线．求证：点D是AC的黄金分割点．
(3)如图3中，AB=AC，∠A=36°，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC
的延长线于M．BC=1，请你直接写出CM的长为__________．
【变式7-5】（2023·江苏南京·统考二模）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应
BC AC
用．如图①，点C把线段AB分成两部分，如果 = ，那么称线段AB被点C黄金分割，点C为线段
AC AB
√5−1
AB的黄金分割点．AC与AB的比称为黄金比，它们的比值为 ．请完成下面的问题：
2
(1)如图②，∠MON=60°，点A在OM边上，OA=2．请在ON边上用无刻度的直尺和圆规作出点B，使
得OB与OA的比为黄金比；（不写作法，保留作图痕迹）
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AB √5−1
(2)如图③，在△ABC中，AB=AC，若 = ，请你求出∠A的度数．
BC 2
题型08 由平行线分线段成比例判断式子正误
【例8】（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，连
接DE，点F为BC边上一点，BF=2FC，连接AF交DE于点N，则下列结论中错误的是（ ）
AN 1 DN 2 AD 1 NE 1
A． = B． = C． = D． =
AF 2 DE 3 AC 2 FC 2
【变式8-1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考模拟预测）如图，在△ABC中，
DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（ ）
BD DF DE AE BF CE AD AB
A． = B． = C． = D． =
AD FC FB AC FC AE FC AC
【变式8-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨风华中学校考三模）如图，△ABC中，E为AB边上一点，过E
作EF∥BC交AC于F，G为EF的中点，作FH∥AB交BC于H，则下列结论错误的是（ ）
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BH AG EG AG CF CH EF FH
A． = B． = C． = D． =
BC AD CD AD AF EF BC AB
【变式8-3】（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别在AD的
延长线，CB的延长线上，连接EF分别交AB，CD于点G，H，则下列结论错误的是（ ）
CH FH BG FG AD GH DH DE
A． = B． = C． = D． =
DH EH CD EF BF FG AG AD
题型09 平行线分线段成比例（A型）
【例9】（2023·河南周口·统考一模）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于D、E，
EC
若AD=4，DB=2，则 的值为（ ）
AE
1 2 3 3
A． B． C． D．
2 3 4 5
【变式9-1】（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，BD=3，下列
结论错误的是（ ）
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AE 2 DE 2 S 4 CE 3
A． = B． = C． △ADE= D． =
EC 3 BC 3 S 25 AC 5
△ABC
【变式9-2】（2023·上海杨浦·统考一模）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC
AE 2
上，DE∥BC，AB=15， = ．
EC 3
(1)求AD的长；
(2)如果BF=4，CF=6，求四边形BDEF的周长．
题型10 平行线分线段成比例（X型）
【例10】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考三模）如图，AD∥BE∥CF，直线l 、l 与这三条
1 2
平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=4.5，BC=3，EF=2，则DE的长度是（ ）
15 4
A． B．3 C．5 D．
4 3
【变式10-1】（2023·北京海淀·人大附中校考三模）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连
接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是（ ）
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A．∠AEF=∠DEC B．FA:CD=AE:BC
C．FA:AB=FE:EC D．AB=DC
【变式10-2】（2023·浙江杭州·统考二模）如图，已知AB∥CD∥EF， BC:CE=3:4，AF=21，那
么DF的长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
题型11 平行线分线段成比例与三角形中位线综合
【例11】（2023·湖南湘潭·模拟预测）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
OE∥AB交AD于点E．若OA=2，△AOE周长为10，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．32 C．36 D．40
【变式11-1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，在△ABC中，D为BC边的中点，点E在线段AD上，
BE的延长线交AC边于点F，若AE：ED＝1：3，AF＝2，则线段FC的长为 ．
【变式11-2】（2023·山西运城·统考二模）请阅读下列材料，非完成相应的任务．
利用辅助平行线求线段的比
三角形的中位线定理是三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．平行线分线段成比例定理是
两条平行线被两条直线所截，截得的线段对应成比例．有些几何题，若题中出现了平行线，我们可以直接
利用这两个定理求出两线段的比值，而有些几何题，题中没有平行线这样的条件，那么我们可以通过作辅
助平行线，然后再利用这两个定理加以解决．
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举例：如图1，AD是△ABC的中线，AE:AD=1:5，BE的延长线交AC于点F．
AF
求 的值．
CF
下面是该题的部分解题过程：
解：如图2，过点D作DH∥BF交AC于点H．
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC．
∵DH∥BF，
FH BD
∴ = ，
CH CD
∴CH=FH．
∵EF∥DH，
…
任务：
(1)请补充材料中剩余部分的解答过程．
(2)上述解题过程主要用的数学思想是______．（单选）
A．方程思想 B．转化思想 C．分类思想 D．整体思想
AF
(3)请你换一种思路求 的值，直接写出辅助线的作法即可．
CF
题型12 平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线
【例12】（2023·江苏盐城·校联考二模）【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行
线所截，所得 的对应线段成比例．
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【初步体验】
（1）如图 1，在△ABC中，点 D 在AB上，E 在AC上，DE∥BC．若AD=1,AE=2，DB=1.5，则
AE
EC= ， = ；
AC
（2 ） 已知，如图 1 ，在△ABC中，点 D 、E 分别在AB、AC上，且DE∥BC． 求证：
△ADE∽△ABC．
证明：过点E作AB的平行线交BC于点 F
… … … … … …
请依据相似三角形的定义（如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似）
和上面的基本事实，补充上面的证明过程；
【深入探究】
（3 ）如图 2，如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于 D、F、E 点，那么
AE BD CF
⋅ ⋅ 是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由；
EC DA FB
（4） 如图 3 ，在△ABC中，D 为 BC的中点，AE:EF:FD=4:3:1．则 AG:GH:AB= ．
【变式12-1】（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=14，
AC=6√3，点D在AB上，AD:DB=3:4，连接CD，过点A作AE⊥CD于点E，连接BE并延长交AC
于点F，则EF的长为 ．
【变式12-2】（2023·广东深圳·深圳市桂园中学校考模拟预测）综合与实践问题情景：数学活动课上，老
师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥ AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，
试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明；
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(1)独立思考：请解答老师提出的问题；
(2)实践探究：希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，
点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；
(3)问题解决：智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点A'，使
A'B⊥CD于点H，连接A'M，交CD于点N，该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长
8√3
AB=5，BC= ，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．
3
【变式12-3】（2023·山东青岛·校考一模）定义：三角形一边中线的中点和该边的两个顶点组成的三角形
称为中原三角形．如图①，AD是△ABC的中线，F是AD的中点，则△FBC是中原三角形．
(1)求中原三角形与原三角形的面积之比（直接写出答案）．
(2)如图②，AD是△ABC的中线，E是边AC上的点，AC=3AE，BE与AD相交于点F，连接CF．求证：
△FBC是中原三角形．
(3)如图③，在（2）的条件下，延长CF交AB于点M，连接ME，求△FEM与△ABC的面积之比．
题型13 平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线
【例13】（2023·浙江衢州·校考一模）已知，如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=∠ADB，
CE⊥ AD于E，AE=5，AC−AB=4，则AC和AB分别为 ．
k
【变式13-1】（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）如图，反比例函数y= 的图象经过Rt△ABC的顶点A和斜
x
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边AB的中点D，点B、C在x轴上，△OBD的面积为6，则k= ．
k
【变式13-2】（2023·内蒙古赤峰·统考三模）如图，点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，点B在x轴
x
AC 1
负半轴上，直线AB交y轴于点C，若 = ，△AOB的面积为4，则k的值为 ．
BC 2
考点二 相似图形的概念与性质
相似多边形的c
相似多边形的性质：
1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
2) 相似多边形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方.
题型01 理解相似图形的概念
【例1】（2022·福建龙岩·校考模拟预测）如图，由图形M改变为图形N，这种图形改变属于（ ）
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A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．相似
【变式1-1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）下列图形不是相似图形的是（ ）
A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 B．某人的侧身照片和正面照片
C．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案 D．大小不同的两张中国地图
【变式1-2】（2023·河北衡水·校联考模拟预测）《西游记》的事故家喻户晓，特别是书中的孙悟空嫉恶如
仇斩妖除魔大快人心．在一次降妖过程中，孙悟空念动咒语将一片树叶放大后射向妖魔．若这个过程可以
看成是平面直角坐标系中的一次无旋转的变化，设变化前树叶尖部某点的坐标为(a,b)，在咒语中变化后
得到对应点的坐标为(20a+20,20b−10)，则变化后树叶的面积变为原来的( )
A．20倍 B．200倍 C．400倍 D．4000倍
【变式1-3】（2022·河南洛阳·统考一模）形状相同的图形是相似图形．下列哪组图形不一定是相似图形（
）
A．关于直线对称的两个图形 B．两个正三角形
C．两个等腰三角形 D．两个半径不等的圆
题型02 相似多边形
【例2】（2023·上海虹口·统考一模）如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已
知四边形相似的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2020·河北衡水·统考一模）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：
甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形
相似．
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则
新菱形与原菱形相似；
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对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）．
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【变式2-2】（2021·江苏南京·统考二模）学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试
探索四边形相似的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程．
【定义】四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形．
【初步思考】
（1）小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似
的条件．他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边
形相似”可以举出反例______．所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且
一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，
且三角分别相等的两个四边形相似”来探究．
【深入探究】
（2）学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完
成证明．
AB BC CD AD
已知：四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中， = = = ，∠A=∠A'．
A'B' B'C' C'D' A'D'
求证：四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．证明：
（3）对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题：
①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”；
②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”；
③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”；
④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”．
其中真命题是______．（填写所有真命题的序号）
（4）请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程．
【变式2-3】（2020·河北保定·统考模拟预测）（1）观察下列式子：
2 2+1 2 2+2 2 2+3 2 2+4
< ， < ， < ， < …
3 3+1 3 3+2 3 3+3 3 3+4
2
发现：对于真分数 ，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值_____________；（选填
3
“变大”“变小”或“不变”）
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（2）类比猜想：
b b+c
由（1）猜想分式 和 （其中，a>b>0，c>0）的大小关系，并说明理由；
a a+c
（3）解决问题：
某公司建居民住宅时，要求窗户与卧室地面面积的比值达到15%左右，显示这个比值越大采光条件越好，
如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件___________；
A．变差了 B．变好了 C．没有改变
（4）联想拓展：
如图所示，一个长为acm宽为bcm的矩形（a>b），四周都增加1cm，所得大矩形与原来的矩形相似吗？
____________（直接填“是”或“否”）
题型03 相似多边形的性质
【例3】（2023·河北张家口·校考模拟预测）把一根铁丝首尾相接围成一个长为3cm，宽为2cm的矩形
ABCD，要将它按如图所示的方式向外扩张得到矩形A'B'C'D'，使矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD，则这
根铁丝需增加（ ）
A．3.5cm B．5cm C．7cm D．10cm
【变式3-1】（2023·重庆沙坪坝·统考一模）若两个相似多边形的相似比为3:1，则它们周长的比为（ ）
A．2:1 B．3:1 C．4:1 D．9:1
【变式3-2】（2023·河北衡水·校考二模）将边长为2的正六边形按照如图所示的方式向外扩张，得到新的
六边形，它们的对应边的距离均为√3．
（1）新的六边形与原六边形 ；（填“相似”或“不相似”）
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（2）扩张后六边形的周长比原来增加了 ．
【变式3-3】（2022·四川成都·统考二模）小颖在一本书上看到一个风筝模型，形状如图所示，其中对角线
AC⊥BD，并且两条对角线长分别为10cm和12cm．现在小颖照着模型按照1：3的比例放大制作一个大
风筝，制作风筝需要彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）
裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是 cm2．
考点三 位似图形
位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样
的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心.
常见的位似图形：
画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似
图形时，注意关于某点的位似图形有两个.）
判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心.
位似图形的性质：
1) 位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点；
2）位似图形的对应边互相平行或者共线.
3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
4) 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等
于k或–k.
画位似图形的步骤：
1）确定位似中心,找原图形的关键点.
2）确定位似比.
3）以位似中心为端点向各关键点作射线.
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4）顺次连结各截取点，即可得到要求的新图形.
1. 位似图形一定是相似图形，具有相似图形的所有性质，但相似图形不一定是位似图形.
2. 两个位似图形的位似中心只有一个，它可能位于图形的内部、外部、边上或顶点上.
题型01 位似图形的识别
【例1】（2022·河北唐山·校考一模）如图所示是利用图形变换设计的一个美术字图案，这样设计的美术字
更富有立体感，则该图案在设计的过程中用到的图形变换是（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似
【变式1-1】（2020·重庆渝中·统考二模）下列图形中不是位似图形的为（ ）
A． B．
C． D．
题型02 判断位似中心
【例2】（2023·河北沧州·模拟预测）如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，则位似中心为（ ）
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A．点M B．点N C．点Q D．点P
【变式2-1】（2020·山西·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0,0)，A(0,2)，
B(4,0)，C(0,−2)，以某点为位似中心，作出ΔDEF与ΔABC位似，点A的对应点为D(0,1)，则位似中
心的坐标为（ ）
A．(0,0) B．(1,0) C．(2,0) D．(4,0)
【变式2-2】（2023·四川乐山·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，
若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．
题型03 根据位似的概念判断正误
【例3】（2021·重庆·校联考模拟预测）如图，在△ABC外任取一点O，连接AO、BO、CO，并分别取它
们的中点D、E、F，顺次连接DE、EF、DF得到△≝¿，则下列说法错误的是（ ）
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A．△≝¿与△ABC是位似图形 B．△≝¿与△ABC是相似图形
C．△≝¿与△ABC的周长比是1:2 D．△≝¿与△ABC的面积比是1:2
【变式3-1】（2023·河北保定·校考一模）如图，△ABC与△DEC都是等边三角形，固定△ABC，将
△DEC从图示位置绕点C逆时针旋转一周，在△DEC旋转的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．△DEC总与△ABC位似
B．△DEC与△ABC不会位似
C．当点D落在CB上时，△DEC与△ABC位似
D．存在△DEC的两个位置使得△DEC与△ABC位似
【变式3-2】（2022·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）△ABC和△A'B'C'是位似图形，
位似中心是点O，下列说法不正确的是（ ）
A．AB∥A'B' B．A A'∥BB'
C．直线CC'经过点O D．直线A A'、BB'和CC'相交于一点
题型04 求两个位似图形的相似比
【例4】（2023·湖南娄底·统考一模）如图，已知△ABC与△≝¿位似，位似中心为O，且△ABC的面积与
△≝¿的面积之比是16:9，则AO:AD的值为（ ）
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A．9:5 B．3:2 C．4:3 D．4:7
【变式4-1】（2023·浙江温州·校考三模）如图，矩形ABCD与矩形EFGH位似，点O是位似中心，已知
OH:HD=1:2，EH=2，则AD的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式4-2】（2023·河南周口·统考一模）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小
正方形的顶点称为格点，若△ABC与△A'B'C'是位似图形且顶点均在格点上．
(1)在图中画出位似中心的位置，并写出位似中心的坐标；
(2)△ABC与△A'B'C'的位似比为__________，面积比为__________．
题型05 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
【例5】（2021·安徽芜湖·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)，
A(2,1)，B(1,−2)．
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(1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧按2:1放大，画出△OAB的一个位似△OA B ；
1 1
(2)画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O A B ；
2 2 2
(3)△OA B 与△O A B 是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标，若不是请
1 1 2 2 2
说明理由．
【变式5-1】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）如图，在边长为1个单位长度的小正方
形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和点D且点D在网格的格点上．
1
(1)以点D为位似中心，将△ABC在点D上方画出位似变换且缩小为原来的 得到△A B C ．
2 1 1 1
(2)将（1）中的△A B C 绕点D顺时针旋转90°得到△A B C ，画出△A B C ．
1 1 1 2 2 2 2 2 2
(3)△A B C 的面积是___________．
2 2 2
【变式5-2】（2023·陕西榆林·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点均在网格格点上，
且点A、B的坐标分别为A(3,1)，B(2,−1)．
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(1)在y轴的左侧以原点O为位似中心作△OAB的位似图形△OA B （点A、B的对应点分别为A B ），
1 1 1 1
使△OA B 与△OAB的相似比为2：1；
1 1
(2)在（1）的条件下，分别写出点A 、B 的坐标．
1 1
题型06 求位似图形的坐标
【例6】（2022·山西大同·校联考一模）在直角坐标系中，已知点A(2,4)，B(4,2)，以坐标原点O为位似
中心，作与△OAB的位似比为2的位似图形△OA'B'，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．(1,2) B．(4,8) C．(1,2)或(−1,−2) D．(4,8)或(−4,−8)
【变式6-1】（2023·广东深圳·深圳市罗湖区翠园东晓中学校考模拟预测）已知在平面直角坐标系中，
△AOB的顶点分别为A(3，1)，B(2，0)，O(0，0)，若以原点为位似中心，相似比为2，将△AOB
放大，则点A的对应点的坐标为 ．
【变式6-2】（2021·广东广州·广州市第十六中学校考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶
1
点为A(4,3)，B(3,0)，以O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比是− 的位似图形△OCD，则
3
点C的坐标是 ．
题型07 求位似图形的线段长度
【例7】（2023·河南周口·校联考二模）如图，在Rt△ABO中，∠B=90°，AB=2，BO=2√3，以点O
1
为位似中心，将△AOB缩小为原图形的 ，得到△COD，则OC的长度是（ ）
2
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A．2 B．3 C．2.5 D．3.5
【变式7-1】（2020·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）如图，有一斜坡OA，已知斜坡上一点A的坐
1
标为A(2√3,2)，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，将△AOB以坐标原点0为位似中心缩小为原图形的 ，
2
得到△COD，则OC的长度是 ，此时斜坡OA的坡度为 ．
【变式7-2】（2021·重庆沙坪坝·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以坐标原点
O为位似中心的位似图形，若A（﹣2，0），D（3，0），且BC＝3，则线段EF的长度为（ ）
9
A．2 B．4 C． D．6
2
题型08 在坐标系中求位似图形的周长
【例8】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△≝¿是以点O
为位似中心的位似图形，若OC:CF=2:3，△≝¿的周长为15，则△ABC的周长为（ ）
A．10 B．6 C．5 D．4
【变式8-1】（2023·重庆南岸·统考一模）正方形ODEF与正方形OABC位似，点O为位似中心，
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OE:OB=1:4，则正方形ODEF与正方形OABC的周长比为（ ）
A．1:3 B．1:4 C．1:9 D．1:16
题型09 在坐标系中求位似图形的面积
【例9】（2023·河北邢台·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△≝¿关于原点O位似，且
OB=2OE，若S =4，则S 为（ ）
△ABC △≝¿¿
1 3
A．1 B．2 C． D．
2 2
【变式9-1】（2022·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEC
位似，点C为位似中心，CD=3AC，若 ABC的面积是1，则 DEC的面积是（ ）
△ △
A．3 B．4 C．9 D．16
【变式9-2】（2023·湖北鄂州·统考二模）如图，平面直角坐标系中，已知点A(0,1),C(0,4),△OAB与
△OCD位似，原点O是位似中心．若△OAB的面积为0.3，则四边形ACDB的面积为 ．
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