文档内容
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第 19 讲 直角三角形
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 直角三角形的性质与判定
题型01 利用直角三角形的性质求解
题型02 根据已知条件判定直角三角形
题型03 与直角三角形有关的面积计算
考点二 勾股定理
题型01 利用勾股定理求线段长
题型02 利用勾股定理求面积
题型03 已知两点坐标求两点距离
题型04 判断勾股数问题
题型05 利用勾股定理解决折叠问题
题型06 勾股定理与网格问题
题型07 勾股定理与无理数
题型08 以直角三角形三边为边长的图形面积
题型09 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
题型10 利用勾股定理证明线段的平方关系
题型11 勾股定理的证明方法
题型12 以弦图为背景的计算题
题型13 利用勾股定理构造图形解决问题
题型14 利用勾股定理解决实际问题
类型一 求梯子滑落高度
类型二 求旗杆高度
类型三 大树折断前高度
类型四 解决水杯中的筷子问题
类型五 选址到两地距离相等
类型六 最短路径
类型七 航海问题
题型15 勾股定理与规律探究问题
考点三 勾股定理逆定理
题型01 图形上与已知两地构成直角三角形的点
题型02 在网格中判定直角三角形
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题型03 利用勾股定理逆定理求解
题型04 利用勾股定理解决实际生活问题
考点要求 新课标要求 命题预测
理解直角三角形的概念. 该模块内容在中考中一直是较为重要的几何考
探索并掌握直角三角形的性质 点，考察难度为中等偏上，常考考点为:直角三角形
直角三角形的 定理:直角三角形的两个锐角互余，直 的性质定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理与实
性质与判定 角三角形斜边上的中线等于斜边的一 际问题等，特别是含特殊角的直角三角形，更加是
半.掌握有两个角互余的三角形是直角 考察的重点.出题类型可以是选择填空题这类小题，
三角形. 也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，
作为问题的几何背景进行拓展延伸.结合以上考察形
勾股定理
式，需要考生在复习这一模块时，准确掌握有关直
探索勾股定理及其逆定理，并 角三角形的各种性质与判定方法，以及特殊直角三
勾股定理逆定 能运用它们解决一些简单的实际问题. 角形常考的考察方向.
理
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考点一 直角三角形的性质与判定
直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
直角三角形的性质：1）直角三角形两个锐角互余.
2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
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4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角
形是直角三角形。
1 1
面积公式：S= ab= cm (其中：c为斜边上的高，m为斜边长)
2 2
m
b
c
a
题型01 利用直角三角形的性质求解
【例1】（2023·山东聊城·统考二模）如图，直线l ∥l ，AB⊥CD，∠2=68°，那么∠1的度数是（
1 2
）
A．68° B．58° C．22° D．32°
【变式1-1】（2023·广东揭阳·统考一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分
∠ABC，P点是BD的中点，若CP=4，则AD的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式1-2】（2023·山西大同·大同一中校考模拟预测）风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建
筑屋檐下（如图①），如图②，是六角形风铎的平面示意图，其底部可抽象为正六边形ABCDEF，连接
AC，CF，则∠ACF的度数为 °．
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【变式1-3】（2023·陕西西安·校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，CD是△ABC
的中线，E是CD的中点，连接AE，BE，若AE⊥BE，垂足为E，则AC的长为 ．
题型02 根据已知条件判定直角三角形
【例2】（2023·福建漳州·统考一模）在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A:∠B:∠C=1:5:6，
③∠A=90°−∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-1】（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）下列条件中不能判断△ABC是直角三
角形的是（ ）
A．AB2+BC2=AC2B．AB2−BC2=AC2 C．∠A+∠B=∠C D．
∠A:∠B:∠C=3:4:5
【变式2-2】（2020·浙江绍兴·模拟预测）由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a=5,b=12,c=13 B．∠A:∠B:∠C=3:4:5
C．∠A=∠B−∠C D．a=1,b=2,c=√5
【变式2-3】（2022·河北保定·统考一模）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（ ）
A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7
题型03 与直角三角形有关的面积计算
k
【例3】（2023·广西南宁·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y= (x>0)的图象
x
上，点A，B在x轴上，且PA⊥PB，垂足为P，PA交y轴于点C，AO=BO=BP，△ABP的面积是2．
则k的值是（ ）
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3
A．1 B． C．√3 D．2
2
【变式3-1】（2023·河北邢台·邢台三中校考一模）如图，将两个全等的正方形ABCD与APQR重叠放置，
若∠BAP=30°，AB=6√3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．48 B．54 C．81−18√3 D．108−36√3
【变式3-2】（2023·云南曲靖·统考二模）如图，在▱ABCD中，AD⊥BD,∠A=30°,BD=3，则
▱ABCD的面积等于 ．
【变式3-3】（2023·河北唐山·统考模拟预测）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若重叠部分的面积是
12cm2，则AB的长是 cm．
考点二 勾股定理
勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
变式：a2=c2−b2，b2=c2−a2，c=√a2+b2,a=√c2−b2,b=√c2−b2.
勾股定理的证明方法（常见）：
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1
方法一（图一）：4S +S =S ，4× ab+(b−a) 2=c2 ，化简可证．
Δ 正方 形EF正GH 方 形ABCD 2
方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
1
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=4× ab+c2=2ab+c2
2
大正方形面积为S=(a+b) 2=a2+2ab+b2，所以a2+b2=c2
1 1 1
方法三（图三）：S = (a+b)⋅(a+b)，S =2S +S =2⋅ ab+ c2 ，化简得证a2+b2=c2
梯形 2 梯形 ΔADE ΔABE 2 2
D b a A a
C D
a
H
c
c b b
c
E
G
F c
b c c E
b a a a
A c B a b B b C
图一 图二 图三
勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2+b2=c2中，a，b，c为正整数
时，称a，b，c为一组勾股数.
常见的勾股数：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等.
判断勾股数的方法：1）确定是三个正整数a，b，c；
2）确定最大的数c；
3）计算较小的两个数的平方a2+b2是否等于c2.
1. 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾
股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形.
2. 如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，
求解时必须进行分类讨论，以免漏解．
3. 应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关
系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．
4. 每组勾股数的相同整数倍也是勾股数.
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题型01 利用勾股定理求线段长
【例1】（2023·广东云浮·统考一模）如图，AB切⊙O于C，点D从C出发，以每秒1cm的速度沿CB方
向运动，运动1秒时OD=2cm，运动2秒时OD长是（ ）
A．√5cm B．√6cm C．√7cm D．2√2cm
【变式1-1】（2023·浙江·模拟预测）若直角三角形的三边的长是连续的正整数，则这样的直角三角形的个
数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-2】（2023·安徽·统考模拟预测）在△ABC中，AB=2，AC=2√3，∠C=30°，则线段BC的长
为（ ）
A．4 B．2√2 C．4或2√2 D．2或4
题型02 利用勾股定理求面积
【例2】（2023·河北石家庄·统考三模）若一个正三角形和一个正六边形的面积相等，则正三角形与正六边
形的边长比为（ ）
A．√6:1 B．1:√6 C．√3:1 D．2：1
【变式2-1】（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，⊙P与y轴相切于点C，与x
轴相交于A，B两点，假设点P的坐标为（5，3），点M是⊙P上的一动点，那么△ABM面积的最大值为
（ ）
A．64 B．48 C．32 D．24
【变式2-2】（2023·贵州遵义·统考三模）如图，大等边三角形中有n个全等的等边三角形，若大等边三角
形的面积为S ，n个小等边三角形的面积的和为S ，则S 与S 之间的关系为（ ）
1 2 1 2
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A．S =n2S B．S =nS C．S =4√3nS D．S =2nS
1 2 1 2 1 2 1 2
【变式2-3】（2023·山西太原·山西实验中学校考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=BC=AC，D是
BC的中点，DE⊥ AB于点E，则△BDE的面积与△ABC的面积之比为（ ）
A．1:8 B．1:4 C．1:2 D．2:5
题型03 已知两点坐标求两点距离
【例3】（2023·天津南开·统考一模）如图，矩形OABC的顶点B的坐标为(2,3)，则AC长为（ ）
A．√13 B．√7 C．√5 D．4
1
【变式3-1】（2023·广东梅州·统考一模）已知抛物线y= x2 与一次函数y=2x+6交于A，B两点，则线
4
段AB的长度为（ ）
A．20√2 B．20√3 C．40√3 D．20
【变式3-2】（2023·河北保定·统考二模）在平面直角坐标系中，点A(1,2),B(−3,b)，当线段AB最短时，
b的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．0
【变式3-3】（2023·天津河西·天津市新华中学校考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的
顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是(3,4)，则点B的坐标为（ ）
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A．(5,4) B．(5,3) C．(8,3) D．(8,4)
题型04 判断勾股数问题
【例4】（2023·四川泸州·统考二模）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前
1世纪．《周髀算经》中记载：“勾广三，股修四，经隅五”，意为：当直角三角形的两条直角边分别为
3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5，后人简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”．观察下列勾股
数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图
研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若某个此类勾股数的
勾为16，则其弦是 ．
【变式4-1】（2023·河北石家庄·统考二模）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股
数，如：3，4，5都是正整数，且32+42=52，所以3，4，5是勾股数．
(1)当n是大于1的整数时，2n，n2−1，n2+1是否是勾股数，说明理由；
n2−1 n2−1
(2)当n是大于1的奇数时，若n， ，x是勾股数，x>n，x> ，求x(用含n的式子表示)．
2 2
【变式4-2】（2023·河北保定·统考二模）我们把满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c称为“勾股数”．
若a,b,c(aAC，CD⊥ AB于点D，
点E是AB的中点，连接CE．
(1)若AC=3，BC=4，求CD的长；
(2)求证：BD2−AD2=2DE⋅AB；
1
(3)求证：CE= AB．
2
【变式9-1】（2021·广东广州·统考一模）如图，ΔABC中，∠BAC≥120°，AB=AC，点A关于直线BC的对
称点为点D，连接BD，CD．
（1）求证：四边形ABDC是菱形；
（2）延长CA到E，使得AB=BE．求证：BC2-AC·CE=AC2；
（3）在（2）小题条件下，可知E，B，D，C四点在同一个圆上，设其半径为a(定值），若BC=kAB，问k
取何值时，BE·CE的值最大？
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【变式9-2】（2021·贵州贵阳·统考一模）如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解决问题：已知AB＝5，BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰
Rt△ABP．
①如图2，当∠ACB＝90°，连接PQ，求PQ；
②如图3，当∠ACB≠90°，点M、N分别是AC、AP中点连接MN．若MN＝2√3，则S ＝ ．
ABC
△
题型10 利用勾股定理证明线段的平方关系
【例10】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，
CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上．
(1)判断∠ACD与∠BCE间的数量关系，并说明理由；
(2)直接写出线段AD、AE、AC间满足的数量关系．
【变式10-1】（2023·北京平谷·统考一模）在△ABC中，BD⊥ AC，E为AB边中点，连接CE，BD与
CE相交于点F，过E作EM⊥EF，交BD于点M，连接CM．
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(1)依题意补全图形；
(2)求证：∠EMF=∠ACF；
(3)判断BM、CM、AC的数量关系，并证明．
【变式10-2】（2023·陕西咸阳·统考一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB的中点，作
∠POQ=90°．分别交AC，BC于点P，Q，连接PQ
(1)【尝试探究】如图1，若AC=BC，求证AP2+BQ2=PQ2；
(2)【深入研究】如图2，试探索（1）中的结论在一般情况下是否仍然成立；
(3)【解决问题】如图3，若AC=6，BC=8，点C，P，O，Q在同一个圆上，求△PCQ面积的最大值．
题型11 勾股定理的证明方法
【例11】（2023·山东济宁·统考二模）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达
哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为
了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．勾股定理内容
为：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2．
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(1)如图2、3、4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图
形中面积关系满足S +S =S 的有______个；
1 2 3
(2)如图5所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别
为S ，S ，直角三角形面积为S ，请判断S ，S ，S 的关系并证明；
1 2 3 1 2 3
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这
一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的
边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当
∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）
①a2+b2+c2+d2= ______；
②b与c的关系为______，a与d的关系为______．
【变式11-1】（2022·福建龙岩·校考模拟预测）阅读材料，回答问题：
(1)中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的
意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．” 上述记载表明了：在Rt△ABC
中，如果∠C=90∘，BC=a，AC=b，AB=c，那么a，b，c，三者之间的数量关系是_____．
(2)对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围
成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：
1
证明：∵S = ab，S =c2 ，S = _____，且_____=_____，
△ABC 2 正方形ABDE 正方形MNPQ
1
∴(a+b) 2=4× ab+c2 ，
2
整理得 a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴_____．
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(3)如图3，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB=4，BC=8，求 BE的长．
【变式11-2】（2021·河北·模拟预测）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达
哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为
了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定
理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三
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个图形中面积关系满足S +S =S 的有_______个；
1 2 3
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别
为S ，S ，直角三角形面积为S ，直接写出S ,S ,S 的关系（无需证明）；
1 2 3 1 2 3
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重
复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方
形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，
则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）
①a2+b2+c2+d2=_______；
②b与c的关系为_______，a与d的关系为_______．
题型12 以弦图为背景的计算题
【例12】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）图1、图2的两个正方形网格的面积
分别为S 、S ，正方形ABCD、MNPQ满足S =S ，下列结论正确的是（ ）
1 2 正方形ABCD 正方形MNPQ
4
A．S =36 B．S = S
1 正方形ABCD 9
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5 S 9
C．S = S D． 1=
正方形MNPQ 9 2 S 10
2
【变式12-1】（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）国际数学大会是全世界数学家的大聚会．
如图是某次大会的会徽，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，充分肯定了我国在数学
方面的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．如图，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼
成的一个大正方形，如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形中较小的锐角为θ，那
么cosθ的值等于 ．
【变式12-2】（2023·山东济南·统考二模）如图，一块飞镖游戏板由四个全等的直角三角形和一个正方形
构成，若a=1，b=2，游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中阴影部分的概率是
．
【变式12-3】（2023·陕西渭南·统考二模）魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，
即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理．如图，四边形ABCD、四
边形BFGH和四边形AFMN都是正方形，BF交CD于E，若DE=2，CE=4，则BF的长为 ．
【变式12-4】（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图1，第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家
赵爽的弦图为基础进行设计的．现假设可在如图2的弦图区域内随机取点，若正方形ABCD中，
AF=4,BF=3，则这个点落在阴影部分的概率为 ．
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题型13 利用勾股定理构造图形解决问题
【例13】（2022·贵州遵义·统考二模）已知a，b均为正数，且√a2+b2，√a2+4b2，√4a2+b2是一个三角
形的三边的长，则这个三角形的面积是（ ）
3 1
A． ab B．ab C． ab D．2ab
2 2
【变式13-1】（2022·湖北十堰·统考一模）一个门框的尺寸如图所示，下列长×宽型号（单位：m）的长方
形薄木板能从门框内通过的是( )
A．2.6×2.5 B．2.7×2.4 C．2.8×2.3 D．3×2.2
【变式13-2】（2021·安徽阜阳·阜阳实验中学校考二模）已知a、b为两正数，且a+b=12，则代数式
√4+a2+√9+b2最小值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【变式13-3】（2022·浙江绍兴·统考一模）庆祝虎年，小明将一副七巧板拼成了如图的“回头虎”，则图
中AB= ．
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12
【变式13-4】（2022·浙江金华·统考一模）已知圆柱形瓶子的底面半径为 cm．其侧面贴合了一条宽为
π
3cm的环形装饰带．
（1）如图1，若装饰带水平环绕，则瓶子侧面被装饰带覆盖的面积为 cm2；
（2）如图2，若装饰带斜贴侧面环绕，装饰带的最高点与最低点高度差为4cm，则瓶子侧面被装饰带覆盖
的面积为 cm2．
【变式13-5】（2021·贵州黔东南·统考一模）黔东南州某校杨老师组织数学兴趣小组开展探究代数式
√x2+1+√(4−x) 2+4(x≥0)的最小值，王老师巧妙的运用了“数形结合”的思想，具体做法是：如图，
C为线段BD上一动点，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=1，DE=2，BD=4．设
BC=x，则AC=√x2+1，CE=√(4−x) 2+4．则问题转化成求AC+CE的最小值．
（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得√x2+1+√(4−x) 2+4(x≥0)
的最小值等于______，此时x=______．
（2）请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式：√x2+4+√(12−x) 2+9(x≥0)的最小值．
（3）请你用构图的方法试求√(x+4) 2+4−√x2+1(x≥0)的最大值．
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题型14 利用勾股定理解决实际问题
类型一 求梯子滑落高度
【例14】（2020·广东珠海·统考模拟预测）如图，一根长5米的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，这时AO为4
米，若竹竿的顶端A沿墙下滑2米至C处，则竹竿底端B外移的距离BD（ ）
A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．以上都不对
【变式14-1】（2021·山东淄博·统考一模）如图，一个梯子AB斜靠在一面墙上，梯子底端为A，梯子的顶
端B距地面的垂直距离为BC的长．
（1）若梯子的长度是10m，梯子的顶端B距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的
底端A向外滑动多少米?
（2）设AB=c，BC=a，AC=b，且a>b，请思考，梯子在滑动的过程中，是否一定存在顶端下滑的距
离与底端向外滑动的距离相等的情况?若存在，请求出这个距离；若不存在，说明理由．
类型二 求旗杆高度
【例15】（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的
木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地而的部分尚有3尺，牵着绳索退行，
在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设木柱长x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．82+x2=(x−3) 2 B．82+(x−3) 2=x2
C．82+x2=(x+3) 2 D．82+(x+3) 2=x2
【变式15-1】（2021·浙江杭州·统考一模）如图，小明想要测量学校旗杆AB的高度，他发现系在旗杆顶
端的绳子垂到了地面，从而测得绳子比旗杆长a米，小明将这根绳子拉直，绳子的末端落在地面的点C处，
点C距离旗杆底部b米（b>a），则旗杆AB的高度为 米（用含a，b的代数式表示）．
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类型三 大树折断前高度
【例16】（2021·湖南娄底·校联考模拟预测）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折
竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十
尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高
的竹子？（ ）
A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺
类型四 解决水杯中的筷子问题
【例17】（2022·湖北十堰·统考三模）小颖的妈妈用如图的口杯喝花茶，由于吸管有点短，不小心斜滑到
杯里，已知口杯的内径6cm，口杯内部高度9cm，要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短需要（ ）cm．
A．9 B．10 C．11 D．12
【变式17-1】（2023·江西九江·校考模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目，大致
意思是：有一竖立着的木杆，在木杆的上端系有绳索，绳索从木杆上端顺着木杆下垂后，堆在地面上的部
分有3尺，牵着绳索头（绳索头与地面接触）退行，在离木杆底部8尺处时，绳索用尽．问绳索长为多少．
绳索长为 尺．
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类型liu 选址到两地距离相等
【例18】（2020·湖北恩施·统考模拟预测）为了解决 A、B 两个村的村民饮水难，计划在笔直的河边l 修
建一个水泵站，为节约经费，该水泵站与两村的水管线总长力求做到最短，已知 A 村到河边的距离为
1km，B 村到河边的距离为 2km，AB=4km，则水管线最短要 km(结果保留根号）．
【变式18-1】（2020·河北·模拟预测）要在马路边设一个共享单车投放点，向A、B两家公司提供服务，
投放点应设在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？小明根据实际情况，以马路为y轴建立了
如图所示的平面直角坐标系，A点的坐标为(1,2)，B点的坐标为(4,7)，则从A、B两点到投放点距离之和
的最小值是 ，投放点的坐标是 ．
类型六 最短路径
【例19】（2023·江苏常州·校考一模）如图，是一个棱长为1的正方体纸盒，若一只蚂蚁要沿着正方体纸
盒的表面，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是（ ）
A．√3 B．2 C．√5 D．3
【变式19-1】（2023·江苏南京·统考一模）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何
体的表面从点M到点N的所有路径中，最短路径的长是（ ）
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A．5 B．√5+2√2 C．2√5+1 D．2+√2+√5
【变式19-2】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图，C为线段BD上一动点，分别过B、D作AB⊥BD，
ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB=4，DE=2，BD=8，设BC=x．线段AC+CE的长可表示为
√x2+16+√(8−x) 2+4，当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，根据上述方法，求代数式
√x2−2x+50+√x2−12x+61的最小值为（ ）
A．11 B．13 C．√111 D．√193
【变式19-3】（2023·陕西西安·校考二模）如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，底
面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器
上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 ．
类型七 航海问题
【例20】（2023·山东东营·统考一模）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的
A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的
距离为 海里（结果保留根号）．
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【变式20-1】（2023·陕西西安·统考三模）如图，一艘海警船在A处发现北偏东30°方向相距12海里的B
处有一艘可疑货船，该艘货船以每小时10海里的速度向正东航行，海警船立即以每小时14海里的速度追
赶，到C处相遇，求海警船用多长时间追上了货船？
题型15 勾股定理与规律探究问题
【例21】（2023·广东东莞·校联考二模）如图，正方形ABCD的边长为4，其面积标记为S ，以CD为斜边
1
作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S ，…按照此规
2
律继续下去，则S 的值为（ ）
2023
(1) 2018 (1) 2020 (1) 2021 (1) 2023
A． B． C． D．
2 2 2 2
【变式21-1】（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，OA =OB ，
1 1
∠A OB =120°，将△A OB 绕点O顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角
1 1 1 1
为120°的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形A OB ，点A (1,0)的对应点为A (−1,−√3)；第
2 2 1 2
( 3 3√3)
二次变化后得到等腰三角形A OB ，点A 的对应点为A − , ；第三次变化后得到等腰三角形
3 3 2 3 2 2
A OB ，点A 的对应点为A (4,0)……依此规律，则第2023年等腰三角形中，点B 的坐标是（ ）
4 4 3 4 2023
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( 2023 2023√3)
A．(−22021,−22021√3) B．(−22021,22021√3) C． − ,− D．
2 2
( 2023 2023√3)
− ,
2 2
【变式21-2】（2023·山东聊城·统考一模）如图，已知OA =1，以OA 为直角边作Rt△OA A ，并使
1 1 1 2
∠A OA =60°，再以OA 为直角边作Rt△OA A ，并使∠A OA =60°，再以OA 为直角边作
1 2 2 2 3 2 3 3
Rt△OA A ，并使∠A OA =60°，…按此规律进行下去，则Rt△OA A 的直角边A A 的
3 4 3 4 2022 2023 2022 2023
长为 ．
考点三 勾股定理逆定理
勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中
c为斜边.
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1. 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来
确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2+b2与较长边的平方c2作比较，若
它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a2+b2c2，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形
2. 定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满
足a2+c2=b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边.
题型01 图形上与已知两地构成直角三角形的点
【例1】（2022·河北承德·统考二模）如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点
上．若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点
C的个数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【变式1-1】（2021·浙江绍兴·统考一模）同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为5cm，
点C到直线AB的距离为2cm，且△ABC为直角三角形，则满足上述条件的点C有 个．
题型02 在网格中判定直角三角形
【例2】（2022·河北保定·统考二模）如图，点A、B、C在正方形网格格点上，则∠ACB的度数为
（ ）
A．30° B．45° C．40° D．60°
【变式2-1】（2023·贵州贵阳·统考二模）如图，在2×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为
1，则∠1和∠2的关系是（ ）
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A．∠2=2∠1 B．∠2−∠1=90° C．∠1+∠2=180° D．∠1+∠2=90°
【变式2-2】（2022·浙江杭州·统考一模）如图，在每个小正方形边长都为1的5×5网格中，有四个点A，
B，C，D，以其中任意三点为顶点的三角形的外接圆半径长是 ．
题型03 利用勾股定理逆定理求解
【例3】（2022·河北·模拟预测）如图，在△ABC中，AC＝3 cm，BC＝4 cm，AB＝5 cm，D，E，F分别是
AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积等于（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【变式3-1】（2023·湖北武汉·校考一模）如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为
60°，90°，120°那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（ ）
√3 √2
A．√2 B．1 C． D．
2 2
【变式3-2】（2023·天津西青·校考模拟预测）已知点O是△ABC内一点，连接OA,OB，将△BAO绕点B
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顺时针旋转如图，若△ABC是等边三角形，OA=5，OB=12，△BAO旋转后得到△BCD，连接OC,OD，
已知OC=13．
(1)求OD的长；
(2)求∠AOB的大小．
【变式3-3】（2022·江苏泰州·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，BC=2CD，
AB=8，CD=2√3，AD=2，则BD的长为 ．
题型04 利用勾股定理解决实际生活问题
【例4】（2022·河北石家庄·校考一模）A，B，C三地两两的距离如图所示，B地在A地的正西方向，下面
说法不正确的是（ ）
A．C地在B地的正北方向上 B．A地在B地的正东方向上 C．C地在A地的北偏西60°
方向上 D．A地在C地的南偏东30°方向上
【变式4-1】（2021·江西宜春·校考一模）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里有这样一道题
目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的
是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？则该沙田的面积为
里❑ 2．
【变式4-2】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）一块木板如图所示，已知AB=4，BC=3，DC=12，
AD=13，∠B=90°，求此木板的面积 ．
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【变式4-3】（2022·广东东莞·湖景中学校考一模）如图，已知在一高速公路L边上有一测速站点P，现测
得PC=24米，PD=26米，CD=10米．一辆汽车在公路L上匀速行驶，测得此车从点A行驶到点B所用的
时间为1秒，并测得∠PBD=60°，∠PAD=30°，计算此车是否超过了每秒25米的限制速度．
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