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热点 08 解直角三角形及其应用
中考数学中《锐角三角函数及其应用》部分主要考向分为三类：
一、特殊角的三角函数值相关运算（每年1道，6~8分）
二、解直角三角形（每年1道，3分）
三、解直角三角形的应用（每年1题，3~8分）
中考数学中，对锐角三角函数的考察主要以特殊角的三角函数值及其有关计算、解直角三角形、解直
角三角形的应用三个方面为主。其中，特殊角的三角函数值主要和实数相关概念放一起考察计算题，而解
直角三角形及其各种应用则选择、填空、简答题都有出现，其中应用则偏向大题多些，难度一般中等或偏
上，分值也比较可观，但对应考点掌握熟练，计算和审题上够小心了，一般不会失分。
考向一：特殊角的三角函数值的运算
【题型1 和实数概念结合的特殊角的三角函数值的运算】
满分技巧
特殊角的三角函数值表
α sinα cosα tanα
30° 1 √3 √3
2 2 3
45° √2 √2 1
2 2
60° √3 1 √3
2 2
特殊角的三角函数值，可以直接记数值，也可以记定义，然后现退对应函数值，但显然，直接熟记对应
数值会便捷很多。
1．（2023•天津） 的值等于（ ）
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A．1 B． C． D．2
2．（2023•黄石）计算：（﹣ ）﹣2+（1﹣ ）0﹣2cos60°＝ ．
3．（2023•菏泽）计算：| ﹣2|+2sin60°﹣20230＝ ．
4．（2023•内江）在△ABC中，∠A、∠B，∠C的对边分别为a、b、c，且满足a2+|c﹣10|+ ＝12a﹣
36，则sinB的值为 ．
5．（2023•金华）计算：（﹣2023）0+ ﹣2sin30°+|﹣5|．
6．（2023•西藏）计算： ．
考向二：解直角三角形
【题型2 利用已知信息求解对应角的三角函数值】
满分技巧
解直角三角形口诀“直乘斜除，对正临余”——求直角三角形的直角边，多用乘法；求斜边，多
用除法。求已知角的对边，多用正弦或正切值；求已知角的临边，多用余弦值。
常见辅助线：做垂线
1．（2023•攀枝花）△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．已知a＝6，b＝8，c＝10，则
cos∠A的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023•陕西）如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则
sinB的值为（ ）
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A． B． C． D．
3．（2023•常州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，连接CD．若BD＝CD， ＝ ，
则tanB＝ ．
【题型3 利用三角函数值求解几何图形的线段】
满分技巧
此类计算更多的是注意审题，因为题目中可能会要求精确位数，或者保留几位有效数字，这时候要
注意，一般计算到最后一步才带入参考数据计算，然后四舍五入。
1．（2023•西宁）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，∠A＝42°，则BC的长约为 .（结果精
确到0.1．参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
2．（2023•武汉）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，
OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在
该刻度尺上，则 OC与尺上沿的交点 C在尺上的读数是 2.7 cm（结果精确到 0.1cm，参考数据
sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
3．（2023•丹东）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A（3，0），B（0，4），点C
在x轴负半轴上，连接AB，BC，若tan∠ABC＝2，以BC为边作等边三角形BCD，则点C的坐标为
；点D的坐标为 ．
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考向二：解直角三角形的应用
【题型4 坡度坡角问题】
满分技巧
坡度坡角的意义：
h
i=
l
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα
坡度越大，坡角越大，坡面越陡
1．（2023•深圳）爬坡时坡面与水平面夹角为 ，则每爬1m耗能（1.025﹣cos ）J，若某人爬了1000m，
该坡角为30°，则他耗能（ ）（参考数据α： ≈1.732， ≈1.414） α
A．58J B．159J C．1025J D．1732J
2．（2023•长春）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳 AB
到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗绳固定在地面的位置与图书
馆相距32米（即AC＝32米），则彩旗绳AB的长度为（ ）
A．32sin25°米 B．32cos25°米
C． 米 D． 米
3．（2023•济南）图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，
∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备厢，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的
夹角∠B'AD＝27°．
（1）求打开后备厢后，车后盖最高点B'到地面l的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结
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果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510， ≈1.732）
【题型5 仰角俯角问题】
满分技巧
仰角俯角的意义：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角.
俯角：视线在水平线下方的叫俯角
1．（2023•衢州）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆 ，AB＝b，AB
的最大仰角为 ．当∠C＝45°时，则点A到桌面的最大高度是（ ）
α
A． B． C．a+bcos D．a+bsin
2．（2023•日照）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶
α α
提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点 B处测得灯塔最高点A的仰角
∠ABD＝45°，再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD＝60°，BC＝15.3m，则灯塔的高度
AD大约是（ ）（结果精确到1m，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
A．31m B．36m C．42m D．53m
3．（2023•浙江）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），
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其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝
150cm．
（1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少
需要下蹲多少厘米才能被识别？
（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄
像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．
（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，
tan20°≈0.36）
【题型6 方向角问题】
满分技巧
方向角遵循——上北下南，左西右东。
因为这类题目常和特殊角结合，故作辅助线时，谨记一个原则：不能破坏已有的特殊角。
1．（2023•眉山）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达
点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔 C的最短距离
是 海里．
2．（2023•丹东）一艘轮船由西向东航行，行驶到 A岛时，测得灯塔B在它北偏东31°方向上，继续向东
航行10nmile到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西61°方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短
距离．（结果精确到 0.1nmile）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，
sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）．
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3．（2023•重庆）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面 A，B养殖场捕捞海产品．经测
量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，AC＝3600米．
（1）求B养殖场与灯塔C的距离（结果精确到个位）；
（2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往 B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为
600米每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？
（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
（建议用时：30分钟）
1．（2023•无锡）cos60°的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023•南充）如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知
∠BAC＝ ，则A，C两处相距（ ）
α
A． 米 B． 米 C．x•sin 米 D．x•cos 米
3．（2023•十堰）如图所示，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB＝45°，市政部门启动
α α
“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D＝30°，则CD的长度约为（ ）（参考数
据： ≈1.414， ≈1.732）
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A．1.59米 B．2.07米 C．3.55米 D．3.66米
4．（2023•杭州）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦
图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形
EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝ ，∠BEF＝ ，若正方形
EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tan ＝tan2 ，则n＝（ ）
α β
α β
A．5 B．4 C．3 D．2
5．（2023•淄博）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直
观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受
人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比
为 ：1，则sin∠DGE等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2023•南通）如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角 为30°，看这栋楼底部C的俯角 为
60°，无人机与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ）
α β
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A． B． C． D．
7．（2023•益阳）如图，在平面直角坐标系 xOy中，有三点A（0，1），B（4，1），C（5，6），则
sin∠BAC＝（ ）
A． B． C． D．
8．（2023•自贡）如图，分别经过原点O和点A（4，0）的动直线a，b夹角∠OBA＝30°，点M是OB中
点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、
B、C三点都在格点上，则sin∠ABC＝ ．
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10．（2023•广西）如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材
约 m（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
11．（2023•湖北）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面 CD的中点
A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45°，尚美楼顶部F的俯角为30°，已知博雅
楼高度CE为15米，则尚美楼高度DF为 米．（结果保留根号）
12．（2023•赤峰）为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对A地和B地之间的一处垃圾填埋场进行改造，
把原来A地去往B地需要绕行到C地的路线，改造成可以直线通行的公路AB．如图，经勘测，AC＝6
千米，∠CAB＝60°，∠CBA＝37°，则改造后公路AB的长是 千米（精确到0.1千米；参考
数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.73）．
13．（2023•济宁）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点 A，
在点A和建筑物之间选择一点B，测得AB＝30m，用高1m（AC＝1m）的测角仪在A处测得建筑物顶部
E的仰角为30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的高是 ．
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14．（2023•泰安）在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如
图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为50°，后退60m（CD＝60m）到D处有一平台，在高2m
（DE＝2m）的平台上的E处，测得B的仰角为26.6°．则该电视发射塔的高度AB为 m．（精
确到1m．参考数据：tan50°≈1.2，tan26.6°≈0.5）
15．（2023•北京）计算：4sin60°+（ ）﹣1+|﹣2|﹣ ．
16．（2023•内蒙古）计算：| ﹣2|+（ ﹣2023）0+（﹣ ）﹣2﹣2cos60°．
π
17．（2023•绥化）如图，直线MN和EF为河的两岸，且MN∥EF，为了测量河两岸之间的距离，某同学
在河岸FE的B点测得∠CBE＝30°，从B点沿河岸FE的方向走40米到达D点，测得∠CDE＝45°．
（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）
（2）若从D点继续沿DE的方向走（12 +12）米到达P点．求tan∠CPE的值．
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18．（2023•绍兴）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点
A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米，
AD＝0.8米．∠AGC＝32°．
（1）求∠GAC的度数；
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他
能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
19．（2023•甘孜州）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次
航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为45°，看底部C的俯角为60°，无人机A到该
建筑物 BC 的水平距离 AD 为 10 米，求该建筑物 BC 的高度．（结果精确到 0.1 米；参考数据：
， ）
20．（2023•苏州）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意
图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接（AH垂直于MN，垂足为
H），在B，C处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN），EF是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F处的
螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高
度）．已知AD＝BC，DH＝208cm，测得∠GAE＝60°时，点C离地面的高度为288cm．调节伸缩臂
EF，将∠GAE由60°调节为54°，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？
（参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6）
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（建议用时：30分钟）
1．（2024•秦都区校级一模）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则cosA的值等于（ ）
A． B． C． 或 D． 或
2．（2024•秦都区校级一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝ ，那么∠B的度数是（ ）
A．15° B．45° C．30° D．60°
3．（2024•界首市校级一模）如图，滑雪场有一坡角为18°的滑雪道，滑雪道AC长为150米，则滑雪道的
坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（ ）
A．150tan18°米 B．150sin18°米
C． 米 D． 米
4．（2024•道里区模拟）如图，某数学兴趣小组测量一棵树 CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为
45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A、B、D三点在同一直线上，若AB＝（8 +8）米，则这
棵树CD的高度是（ ）
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A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
5．（2024•浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，D为BC的中点，若AD＝ CD，AB＝BD，则tan∠C的值
为（ ）
A． B．2 C． D．
6．（2024•平城区一模）如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄AD⊥滚轮连杆AB，
且AD＝20cm，AB＝160cm，连杆AB与底座BC的夹角为60°，则该椭圆机的机身高度（点D到地面的
距离）为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024•阿城区模拟）如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板
的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB＝1.6m，则OC的长为（ ）
A． B． C．0.8sin20° D．0.8cos20°
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8．（2024•雁塔区校级一模）在△ABC中，若|sinA﹣ |+（ ﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是 ．
9．（2024•平城区一模）数学实践小组要测量某路段上一处无标识的车辆限高杆MN的高度AB，如图，他
们先用测倾器在C处测得点A的仰角∠AEG＝30°，然后在距离C处2米的D处测得点A的仰角∠AFG
＝45°，已知测倾器的高度为1.6米，C、D、B在一条直线上，则车辆限高杆AB的高度为 米．
（结果保留根号）
10．（2024•秦都区校级一模）计算：
（1）sin230°+2sin60°+tan45°+cos230°；
（2） ﹣2sin45°+2cos60°+|1﹣ |+（ ）﹣1．
11．（2024•秦都区校级一模）如图，某中学依山而建，校门A处有一坡度i＝5：12的斜坡AB，长度为13
米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E处仰
望C的仰角是∠CEF＝60°，CF的延长线交校门处的水平面于点D．
（1）求坡顶B的高度；
（2）求楼顶C的高度CD．
12．（2024•河南一模）我国的无人机水平位居世界前列，“大疆”无人机更是风靡海外．小华在一条东
西走向的笔直宽阔的沿江大道上玩无人机航拍．已知小华身高 AB为1.8m，无人机匀速飞行的速度是
2m/s，当小华在B处时，测得无人机在C处的仰角为45°；3s后，小华沿正东方向前进3m到达E处，
无人机沿正西方向匀速飞行到达F处，此时测得无人机在F处的仰角为72.6°，已知无人机的飞行路线
CF平行于地面（直线 l）．求无人机在C处时距离地面的高度．（结果精确到 0.1m，参考数据：
sin72.6°≈0.95，cos72.6°≈0.30，tan72.6°≈3.20）
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13．（2024•沈丘县一模）第31届世界大学生运动会于2023年7月28日在成都举行，主火炬塔位于东安
湖体育公园，亮灯之夜，塔身通体透亮，10余道象征太阳光芒的螺旋线全部点亮，璀璨绚丽，流光溢
彩（如图1）．小杰同学想要通过测量及计算了解火炬塔CD的大致高度，当他步行至点A处，测得此
时塔顶C的仰角为42°，再步行20米至点B处，测得此时塔顶C的仰角为65°（如图2所示，点A，B，
D在同一条直线上），请帮小杰计算火炬塔CD的高．（sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，
sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，结果保留整数）
14．（2024•娄星区校级一模）数学兴趣小组的成员在观察点A测得观察点B在A的正北方向，古树C在A
的东北方向，AC＝50 m；在B处测得C在B的南偏东63.5°的方向上，已知D在C正北方向上，即
CD∥AB，求古树C，D之间的距离．（结果精确到 0.1m，参考数据： ≈1.41，sin63.5°≈0.89，
cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.32）
15．（2024•遂平县一模）宝岩寺塔始建于北宋时期，已有近千年的历史，为仿木结构楼阁式七级砖塔，
整体呈奶黄色，平面呈六角形，塔角雕饰龙首，塔身浮雕壁画，如今已经成为驻马店西平县的地标性建
筑．某实践探究小组想测得宝岩寺塔的高度，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表．
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实践探究活动记录表
活动内容：宝岩寺塔的高度
活动日期：2024年3月12日
成员
组长：xx
组员：xxxxxxxxxxxx
工具：测角仪，皮尺等
说明：塔高无法直接测量，数
测量示意图 据勘测组在A，B两处通过测
角仪可测得∠DAC，∠DBC
的度数，以及使用皮尺测得
AB的长度．
测量数据 角的度数 ∠DBC＝53°
∠DAC＝30°
∠BCD＝90°
边的长度 AB＝28.8米
计算数据 求塔高（CD） （结果精确到0.1m．参考数据： ≈1.73，
sin ，cos53°≈ ， ）
特殊说明 （点A，B，C，D在同一平面内，且点A，B，C在同一水平线上）
16．（2024•鹿城区校级一模）【问题背景】
一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图 1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备
利用附近的小山坡进行测量估算．
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【问题探究】
如图2，在坡角点C处测得旗杆顶点A的仰角∠ACE的正切值为2，山坡上点D处测得顶点A的仰角
∠ADG的正切值为 ．斜坡CD的坡比为 ，两观测点CD的距离为15m．
学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务．
任务1：计算C，D两点的垂直高度差．
任务2：求顶点A到水平地面的垂直高度．
【问题解决】
为了计算得到旗杆AB的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案：
小组一：在坡角点C处测得旗杆底部点B的仰角∠BCE的正切值为 ；
小组二：在山坡上点D处测得旗杆底部点B的俯角∠GDB的正切值为 ．
任务3请选择其中一个小组的方案计算旗杆AB的高度．
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