文档内容
“抽屉原理”最早是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出并被运用于解决
数学问题，所以又称“狄利克雷原理”，也称之为“鸽巢原理”。“抽屉原理”
实际上是一种解决某种特定结构的数学或生活问题的模型，是一种数学的思想方
法。
本单元的三道例题，有着各自不同的作用。例1描述的是“抽屉原理”的最
简单情况。通过本例的教学，使学生感知这类问题的基本结构，掌握两种思考的
方法——枚举和假设，理解问题中关键词语“总有”“至少”的含义，形成对
“抽屉原理”的初步认识。例2描述了“抽屉原理”更为一般的形式，提升学生
对“抽屉原理”的理解水平。例2即是“把多于kn个元素放入n个集合，总有一
个集合里至少有（k+1）个元素”。若k为1，就是例1的情况了，可见例1只是例2
的一个特例。例3是“抽屉原理”的具体运用，是一个运用逆向思维来解决问题
的例子。例3是在学生通过例1和例2的学习，对“抽屉”“物体”及其相互之
间关系有一定的认识后，依托这一数学模型来分析和解决相关的实际问题。
教科书以学生熟悉的或者感兴趣的材料作为学习素材，缓解学习难度带来的
压力，并以直观素材和实践操作作为基础，帮助学生积累对“抽屉原理”的感性
认识，逐步提升思维。教科书例题（习题）的编排也非常关注细节，充分考虑学生
学习的重、难点，启发学生抓住关键，建立模型。
“抽屉原理”是一类较为抽象和艰涩的数学问题，对全体学生而言都具有一
定的挑战性。当学生的思维能力比较弱时，学习中面临的压力会更大。“抽屉原
理”之所以难，一是难在模型的建立上，二是难在它的应用。其实“鸽巢问题”
的理论本身并不复杂,甚至可以说是显而易见的，学生在现实生活中已有一定的
感性经验。教学时可以充分利用学生的生活经验，放手让学生自主思考，使学生
逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题。同时，“鸽巢问题”具有“模型
1化”特征，在教学中还应培养学生“模型”思想，从现实素材中找出最本质的特
征，将具体问题“数学化”。
1.在直观操作中理解“抽屉原理”的有关概念，初步了解“抽屉原理”的结
构特征。教学时要借助教具，让学生在亲身经历（看到、摸到）的基础上，深刻感知
分的过程和分的结果，积累对“抽屉原理”的感性认识。这既可分解学生学习的
难度，又可使学生充分地理解“总有”“至少”等特定术语的含义，清晰地建立
“待分物品”和“抽屉”之间的关系。
2.让学生初步经历“数学证明”的过程。在数学上，一般是用反证法对“抽
屉原理”进行严格证明的。在小学阶段，虽然并不需要学生对涉及“抽屉原理”
的相关现象给出严格的、形式化的证明，但仍可引导学生用直观的方式对某一具
体现象进行“就事论事”式的解释。在教学的过程中教师可以鼓励学生借助学具
实物操作或画草图的方式进行“说理”。实际上，通过“说理”的方式来理解
“抽屉原理”的过程就是一种数学证明的雏形。通过这样的方式，有助于逐步提
高学生的逻辑思维能力，为以后学习较为严密的数学证明作准备。
3.要有意识地培养学生的“模型思想”。“抽屉问题”的变式很多，应用更
具灵活性。当我们面对一个具体的问题时，要引导学生先判断某个问题是否属于
用“抽屉原理”可以解决的范畴，如果可以，就要找出该问题中什么是“待分的
东西”，什么是“抽屉”，思考如何寻找隐藏在其背后的“抽屉问题”的一般化
模型。这个过程，实际上是学生经历将具体问题“数学化”的过程，是从复杂的
现实素材中寻找本质的数学模型的过程。这样的过程，可有效地发展学生的数学
思维能力，尤其是可增强学生对“模型思想”的体验，增强运用能力。
第 1 课时 鸽巢问题（1）
教学内容 2. 通过
教科书P67例1，完成教科书P67“做一做”中第1、2题。 操作、观察
教学目标 比较、说理
1.理解“抽屉原理”（“鸽巢原理”）的基本形式，并能初步运 等数学活动
用“抽屉原理”解决相关的实际问题或解释相关的现象。
2经历对“抽屉 师：老
教学笔记 师为什么猜
得这么准呢
这里面藏着
我们今天要
学习的数学
知识，下面
原理”的初步认识，体会和掌握逻辑推理思想和模型思想。
就让我们到
3.体会数学知识在日常生活中的广泛应用，培养学生的学习兴
课堂上来揭
趣和探究意识。
晓这个秘密
教学重点
吧！
经历“抽屉原理”的探究过程，理解“总有”和“至少”的含
二、经历过
义，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解释生活中的简单
程，初步感
问题。
知“鸽巢原
教学难点
理”模型
理解“抽屉原理”，建立基本的模型。
1.呈现
教学准备
问题，引出
课件。
探究。
教学过程
一、创设身边的问题情境，揭示课题
师：同学们，一年有几个季节？
教学笔记
【学情预设】一年有4个季节。
师：我们班每个小组有6名同学，老师有一个大胆的猜测：一个
小组中总有一个季节里至少有2人过生日，你知道这句话的意思吗
“总有”和“至少”表示什么意思？
【学情预设】预设1：一定有一个季节里至少有2人出生。（教师
追问：至少2人是什么意思呢？）
预设2：最少2人，可能有3人、4人、5人、6人。
师：那老师的猜测对不对呢？请各小组现场统计一下。
【学情预设】学生现场统计后，得到的结论都是每个小组中总有
一个季节（春、夏、秋、冬）里至少有2人过生日。
3预设3：
我写出了 8
【教学提示】
种 放 法 ：
调动学生学习的积极性，引发学生的思考，突破“总有”“至少”这
（4，0，0）、
两个关键词的理解。
（0，4，0）、
（3，1，0）、
（0，1，3）、
课件出示教科书P67例1。
（2，2，0）、
（2，1，1）、
（2，0，2）、
（1，2，1）。
预设4：
我写出了 4
师：谁来解释“总有”和“至少”这两个词的意思？
种 放 法 ：
【学情预设】预设1：就是一定有1个笔筒里最少放2支铅笔。
（4，0，0）、
预设2：至少放2支铅笔就是2支或2支以上。
（3，1，0）、
师：这几个同学解释得对吗？有什么办法来证明呢？请你用自
（2，2，0）、
己喜欢的方式来表达想法。（学生摆一摆、画一画、写一写。）
（2，1，1）。
2.用枚举法研究问题。
3.汇报
【学情预设】预设1：我是用画一画的方法来证明：
交流。
师：同
学们用画一
预设2：我用摆一摆的方法来证明：
画、摆一摆
4写一写的方法来证明把4支 师 演 示 课
件。）
教学笔记 根据学
生的回答，
教师板书 4
种不同的放
法：（4，0，
0）、（3，1，
0）、（2，2，
0）、（2，1，
1）。
4.引导
观察，初步
感知模型。
【教学提示】
师：看
教学这个环节时，应放手让学生自主探索，对于学生可能出现的实物
来，4 支铅
模拟、图示、数的分解等分析方法，只要是合理的，都要予以鼓励。
笔放进 3 个
笔筒里，一
共有 4 种放
法。请你观
察这 4 种放
铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放2支铅
法，是不是
笔这个结论。你有什么想法呢？
不管怎么放
【学情预设】预设1：第一个同学只画了一种放法，一种情况太
总有一个笔
少了。
筒里至少放
预设2：我认为题目中说“不管怎么放”，（4，0，0）和（0，4，0）
2支铅笔呢？
可以看作是一种放法，（3，1，0）和（0，1，3）也可以看作是一种放法，
【学情
还有（2，2，0）和（2，0，2）可以看作是一种放法，（2，1，1）和（1，2，
预设】引导
1）可以看作是一种放法。
学生观察这
预设3：我觉得第2个同学和第4个同学找到了所有的放法。
4 种不同的
师：在放的时候怎样才能做到不重复、不遗漏？（有序地放，教
5放法，发现每一种放法中最多的那一个笔筒里最少都有2支铅笔。
师小结：每种放法中，放得最多的这个笔筒里最少放了2支铅
笔。最少2支，有的超过了2支，我们就说“至少”2支。因此“把4
支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支
铅笔”这句话是正确的。
【设计意图】“总有”和“至少”这两个关键词，学生总是很难
理解，所以学习第一个例题时，先出示结论，给学生一个思维导向。
然后借助摆一摆、画一画、写一写、说一说这些办法，分析、交流，使
学生真正理解——不管怎么放，总有一个笔筒里至少放了2支铅笔
初步建立模型。
三、提升思维，构建“鸽巢原理”模型
1. 课 件
出示习题。
教学笔记
师：刚
才我们通过
不同的方法
验证了“把
4 支铅笔放
进 3 个笔筒
中，不管怎
么放，总有
一个笔筒里
至少有 2 支
铅笔”这句
话是正确的
请你借助刚
才的经验猜
一猜，把 5
6支铅笔放进4个盒子，总有一个盒子至少要放进几支铅笔。
【学情预设】学生会说出总有一个盒子至少要放进2支铅笔。
师：猜测正确吗？请大家验证一下。
2.学生用自己的方式（摆一摆、画一画、写一写）来验证。
【学情预设】学生可能得出6种放法：（5，0，0,0）、（4，1，0,0）、
（3,2,0,0）、（3,1,1,0）、（2,2,1,0）、（2,1,1,1）。 【教学提示】
教师根据学生发言板书。 放 手 让
师：仔细观察，如果老师说“总有一个盒子里至少要放进3支 学生验证时
铅笔”，你同意吗？ 也要注意指
【学情预设】学生会说出每一种摆法中最多的那一个盒子里最 导学生有序
少放了2支铅笔，所以应该是总有一个盒子里至少要放进2支铅笔 思考。
3.用假设法探究问题。
师：经过大家的证明，我们发现把5支铅笔放进4个盒子，总有
1个盒子至少要放进2支铅笔。现在我们回头看，刚才研究了把 4
支铅笔放进3个笔筒里，不管怎么放，总有1个笔筒里至少放2支
铅笔的问题，这两个问题都采用了一一枚举的方法来研究，枚举法
是研究问题的一种基本方法。那么探究“把 100支铅笔放进99个
盒子，总有1个盒子至少要放进多少支铅笔呢？”这个问题时，如
果还用枚举法来研究，你有什么想法？我们能不能找到一种更为直
接的方法解决这个问题？
【学情预设】引导学生说出数据过大，用枚举法太过复杂，可以
用假设法来做，先假设每个盒子中最多放1支铅笔，那么99个盒子
中最多放99支。可是现在有100支铅笔，所以总有1个盒子
中至少有 2
教学笔记
支铅笔。
师小结：
在研究刚才
的两个问题
时，我们先
是用枚举法
7把所有的放法都列举出来，得到总有1个盒子里至少放的铅笔支数
枚举法虽然很直观，但数据大了就不方便，由此我们又找到一种更
为直接的方法——假设法。
［教师板书：枚举法 假设法］
【设计意图学情预设】枚举法是一种很直观的研究问题的方法，
但是当数据较大时，再用枚举法就会显得麻烦，因此教师引导学生
教学笔记
采用“假设”的思路进行推理，先平均分，再分剩余的，让学生体
会平均分的思想，经历了从具体到抽象的过程，逐步建立模型，培
养了学生的符号意识。
4.类推与归纳。
课件出示表格。
师：同学们请任意选择一组数据画一画，说一说，你有什么发
现？
【学情预设】引导学生发现：只要铅笔的数量比盒子的数量多
1，那么总有1个盒子里至少要放进2支铅笔。如果将（n＋1）支铅
笔放入n个盒子（n是非0自然数），总有1个盒子里至少放进了2
支铅笔。
【设计意图学情预设】在经历了枚举法、假设法后，在不断改变
数据（铅笔支数比盒子个数多1）的探究中，引导学生归纳得出一般
性结论，构建出数学模型。
四、运用模
型，解释应
用
1.知识
8链接。
师：今天我们学习的知识就是“鸽巢问题”，“鸽巢原理”也
叫“抽屉原理”。看到这个课题，你有什么疑问吗？［板书课题：鸽
巢问题（1）］
【学情预设】学生可能会问“鸽巢”是什么意思？也没有发现
有“抽屉”。
让学生自学教科书P69“你知道吗？”，然后进行交流。
师：其实“抽屉原理”中的“抽屉”不只是真实生活中的“抽
【教学提示】
屉”，例如：6只鸽子飞进5个鸽巢，总有1个鸽巢至少飞进2只鸽
让 学 生
子，这里的“鸽巢”可以看成“抽屉”；把5支铅笔放进4个盒子，
充分表达自
总有1个盒子里至少放了2支铅笔，这里的“盒子”可以看成“抽
己的想法，
屉”；把8个面包放进7个袋子，总有1个袋子里至少放了2个面
表述时注意
包，这里可以将什么看成“抽屉”呢？（袋子）
语言的完整
2.运用“抽屉原理”解释生活中的现象。
性。
师：其实“抽屉原理”在生活中随处可见，它其实就是解决这
一类问题的一种方法、一个模型。在解决问题时，弄清楚什么是
“待分的物体”，什么是“抽屉”。现在你能解释课前我们留下的
问题吗？我们班每个小组有5名同学，总有1个季节里至少有2人
过生日，这里藏着什么秘密呢？
【学情预设】把5名同学看成“待分的物体”，4个季节看成4
个“抽屉”，如果每个季节最多有1名同学过生日，则4个季节最
多只有4名同学过生日。现在有5名同学，剩下的1名同学不论在
哪个季节过生日，总有1个季节至少有2人过生日。
【设计意图】模型思想的培养需要经历构建的过程，在学生理解
了“抽屉原理”后，通过介绍“抽屉原理”的小知识，引导学生理
解“抽屉”只是一个抽象的概念，让学生体会它其实就是解决这一
类问题的一种方法，一个模型，发展抽象能力、推理能力和应用能
力。
教学笔记 3. 课 件
9出示扑克牌问题。 教学笔记
师：你能运用今天所学的知识进行解释吗？
【学情预设】引导学生说出：一副扑克牌共54张，去掉两张王牌，
剩下方块、红桃、梅花、黑桃四种花色各13张。我们把4种花色看
成4个“抽屉”，把5张扑克牌放进4个“抽屉”中，必然有1个
“抽屉”至少放进2张扑克牌，即至少有2张牌是同花色的。
【设计意图学情预设】有趣的扑克游戏是学生比较认同的，以扑
克牌的4种花色与抽牌人数大于4的变化，让学生猜测、验证至少
有几张是同种花色，学生有兴趣，体会生活中处处有数学。
4.完成教科书P67“做一做”第1、2题。
学生独立完成后在小组内说一说。
【学情预设】第1题：把13位老师看成“待分的物体”，把12
个属相看成12个“抽屉”，如果每个属相最多有 1位老师，则12
个属相最多有12位老师，现在有13位老师，多的这位老师不论是
哪个属相，总有2位老师的属相相同。
第2题：5只鸽子飞进了3个鸽笼，如果每个鸽笼最多飞进了1
只鸽子，3个鸽笼最多飞进了3只鸽子。现在飞进了5只鸽子，如果
多的2只分别飞进了不同的鸽笼，则总有 1个鸽笼里至少飞进了2
只鸽子。
【设计意图学情预设】指导学生分析时，要突出题目与“抽屉原
理”的联系，找到“抽屉”是什么，“物体”是什么，怎么思考。培
养学生对知识的迁移和运用能力，以及建立模型的能力。
五、课堂小
10结 教学笔记
师：同学们，今天的数学课你们有哪些收获呢？
板书设计
教学反思
本课教学通过实物模拟、图示法、数的分解等方法进行分析，引
导学生通过观察、对比，从枚举法中找到求至少数的简便方法——
假设法，最后用有余数的算式表示出平均分的过程，让学生经历从
具体的问题到抽象提炼的过程，使学生在实际操作中亲身经历、感
受、理解、掌握和领悟数学模型思想，真正地让数学模型思想在与
知识能力形成的过程中共同生成。在运用“鸽巢原理”解释实际问
题时，要注意指导学生语言描述的规范性、完整性。
作业设计
见“状元成才路”系列丛书《创优作业100分》或《状元作业
本》对应课时作业。
8只小兔要装进5个笼子里，总有1个笼子里至少要装进2只
小兔。为什么？
参考答案
如果每个笼子里最多装进1只小兔，那么5个笼子里最多装进
5只小兔，多余的3只无论怎样放，都总有1个笼子里至少要装进2
只小兔。
11
