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专题 04 三角形的证明与计算
（限时90分钟，满分120分）
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2025·上海长宁·一模）在直角坐标平面xOy内有一点A(3,4)，那么射线OA与x轴正半轴的夹角的正
弦值等于（）
4 3 3 4
A． B． C． D．
5 5 4 3
【答案】A
【分析】此题考查直角三角形的边角关系、勾股定理，通过作辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．
构造直角三角形，由坐标得出线段的长，再根据勾股定理求出斜边的长，根据余弦的意义求出结果即可．
【详解】解：过点A作AB⊥x轴，垂足为B，
在Rt△OAB中，由题意得：∠AOB=α，
∵A(3,4)，
∴OB=3，AB=4，
∴OA=√32+42=5，
AB 4
∴sinα= = ，
OA 5
故选：A．
2．（21-22八年级上·湖北荆州·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半
1
径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于
2
点P，作射线AP交边BC于点D，点E在AB上．若AC=6，CD=2，AB=7，当DE最小时，△BDE的面
积是（ ）
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A．2 B．1 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题主要考查了基本作图——作角平分线，全等三角形．熟练掌握角平分线性质，直角三角形全
等的判定和性质，是解决问题的关键．
当DE⊥AB时，DE最短，由作图可知，AD是△ABC的角平分线，利用角平分线的性质得出
DE=DC=2，由直角三角形全等的判定和性质可得出AE=AC=6，利用线段间的数量关系及三角形面积
公式即可求解．
【详解】如图，由角平分线的作法可知，AD是△ABC的角平分线，
∵点E为线段AB上的一个动点，DE最短，
∴DE⊥AB，
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
∴DE=DC=2，
∵∠C=∠AED=90°，AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AE=AC=6，
∴BE=AB−AE=1，
1 1
∴S = BE⋅DE= ×1×2=1．
△BDE 2 2
故选：B．
3．（2025·陕西西安·二模）如图，在等边△ABO中，点A 在第二象限，点B 的坐标为(−1,0)，若正比例
函数y=kx的图象经过点A， 则 k 的值为（ ）
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√3 √3
A．−√3 B．− C．− D．√3
4 3
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的性质以及正比例函数图象上点的坐标特征，根据等边三角形的性质结合
点B的坐标即可得出点A的坐标，再由点A的坐标利用正比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，此
题得解．
【详解】解：如图，过A作AC⊥x轴于点C，
∵△ABO为等边三角形，且点B的坐标是(−1,0)，
∴OB=OA=AB=1，
∵AC⊥x轴，
1 1
∴OC= OB= ，
2 2
√3
∴AC=√OA2−OC2=
，
2
( 1 √3)
∴点A的坐标为 − , ，
2 2
∵正比例函数y=kx的图象经过点A，
√3 1
∴ =− k，
2 2
∴k=−√3．
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故选：A．
4．（2025·陕西·模拟预测）如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，D、E分别是边AC、BC的中
点，连接BD、DE，则图中的等腰直角三角形共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线，由三线合一可得△ABD，△BCD是等
腰直角三角，再由中位线可得△BED，△CED是等腰直角三角形，即可求解．
【详解】解：∵等腰直角△ABC中，D是边AC的中点，
∴∠A=∠C=45°，BD⊥AC，∠ABD=∠CBD=45°，
∴△ABD，△BCD是等腰直角三角．
∵D、E分别是边AC、BC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠DEC=∠ABC=90°，
∴△BED，△CED是等腰直角三角形．
综上可知，图中的等腰直角三角形有：△ABD，△BCD，△BED，△CED，△ABC，共5个．
故选：C．
5．（2023·江西萍乡·模拟预测）如图，△ABC中，AB=AC，AD,BD,CD分别平分
∠EAC,∠ABC,∠ACF，以下结论不一定成立的是（ ）
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1
A．AD=CD B．AD∥BC C．∠BDC= ∠BAC D．∠ADC=90°−∠ABD
2
【答案】A
【分析】根据三角形外角性质、角平分线定义、三角形内角和定理判断求解即可．
【详解】解：∵BD,CD分别平分∠ABC,∠ACF，
1 1
∴∠DAC= ∠EAC，∠ACD= ∠ACF，
2 2
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ACF=∠BAC+∠ABC，
∴∠EAC≠∠ACF，
∴∠DAC≠∠ACD，
∴AD≠CD，故A符合题意；
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，故B正确，不符合题意；
∵∠DCF=∠DBC+∠BDC，∠ACF=∠ABC+∠BAC，
∴2∠DCF=2∠DBC+2∠BDC，2∠DCF=2∠DBC+∠BAC，
∴2∠BDC=∠BAC，
1
∴∠BDC= ∠BAC，故C正确，不符合题意；
2
在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，
∵∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°，
∴∠ADC=90°−∠ABD，故D正确，不符合题意；
故选：A．
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【点睛】此题考查了三角形外角性质，平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟记三角形外角性质是解
题的关键．
6．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，△ABC的面积为10，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，
AD=2，DB=3，△ABE的面积与四边形DBEF的面积相等，则△ABE的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题考查三角形面积性质的应用，可通过作辅助线的方法，做此题时注意理清各个三角形面积之
间的关系．
由题意可知△ABE的面积和四边形DBEF的面积相等，可通过连接DE,DC的方法，证明出DE∥AC，
进而求出△BDC的面积，然后即可求出答案．
【详解】解：连接DE,DC．
∵S =S ,S =S +S ,S =S +S ，
四边形DBEF △ABE 四边形DBEF △BDE △FDE △ABE △BDE △ADE
∴S =S ，
△ADE △FDE
∵两个三角形有公共底DE，且面积相等，
∴高相等，
∴DE∥AC，
从而可得：S =S ，
△ADE △CDE
∴S =S ，
△ABE △BDC
又AD=2,DB=3，
3 3
∴S = S = ×10=6，
△BDC 5 △ABC 5
即S =6，
△ABE
故选：C．
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7．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，△ABC中，∠BAC=55°，将△ABC逆时针旋转α(0°<α<55°)，得到
△ADE，DE交AC于点F．当α=40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由旋转的性质可得∠BAC=∠DAE，
∠BAD=∠CAE=40°，AB=AD，∠C=∠E，由等腰三角形的性质可求∠B=70°，由三角形内角和
定理可求解．
【详解】解：∵将△ABC逆时针旋转α(0°<α<55°)，得到△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，∠BAD=∠CAE=40°，AB=AD，∠C=∠E，
1
∴∠B=∠ADB= (180°−∠BAD)=70°，
2
∴∠C=∠E=180°−∠B−∠BAC=55°，
∴∠AFE=180°−∠E−∠CAE=180°−55°−40°=85°，
故选：D．
8．（2025·江西·模拟预测）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=2√5，点D是边AC的中点，
沿BD翻折三角形ABD得到三角形EBD，使点A落在同一平面的点E处，若BE⊥AC，则AB的长度为
（ ）
A．5 B．5√2 C．5√3 D．√3
【答案】B
【分析】本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握翻折的性质，相
似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．记AC、BE的交点为F，设AB=AC=2a，DF=b，
则DC=AD=a，CF=a−b，AF=a+b，由翻折的性质可知，BE=AB=2a，DE=AD=a，∠E=∠A，
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证明△EFD∽△AFB，得EF=2a−2b，由勾股定理得，得，5b2+2ab=3a2①； 5b2−8ab=−3a2②；
3 6 2
①−②得，10ab=6a2，可求b= a，则BF= a，CF= a，由勾股定理得，BF2+CF2=BC2，即
5 5 5
(6 a ) 2 + (2 a ) 2 =(2√5) 2 ，可求满足要求的解，a= 5√2 ，进而可求AB的值．
5 5 2
【详解】解：如图，记AC、BE的交点为F，设AB=AC=2a，DF=b，则DC=AD=a，CF=a−b，
AF=a+b，
由翻折的性质可知，BE=AB=2a，DE=AD=a，∠E=∠A，
∵BE⊥AC，
∴∠EFD=90°=∠AFB，，
∵∠EFD=90°=∠AFB，∠E=∠A，
∴△EFD∽△AFB，
DF DE b 1
∴ = ，即 = ，
BF AB BF 2
解得，BF=2b，
∴EF=2a−2b，
由勾股定理得，BF2+AF2=AB2，即(2b) 2+(a+b) 2=(2a) 2，整理得，5b2+2ab=3a2①；
DF2+EF2=DE2，即b2+(2a−2b) 2=a2，整理得，5b2−8ab=−3a2②；
①−②得，10ab=6a2，
3
∴b= a，
5
6 2
∴BF= a，CF= a，
5 5
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由勾股定理得，BF2+CF2=BC2，即 (6 a ) 2 + (2 a ) 2 =(2√5) 2 ，
5 5
5√2 5√2
解得，a= 或a=− （舍去），
2 2
∴AB=2a=5√2，
故选：B．
9．（2024·宁夏银川·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，以点C为圆心，以BC为半径
1
作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于 BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交
2
AB于点E，连接DE．
BE √5−1 S √5+1
①∠BCE=36° ②BC=AE ③ = ④ △AEC = ，以上结论正确的个数是（ ）
AC 2 S 2
△BEC
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
1
【分析】由等边对等角及三角形的内角和定理可得∠ABC=∠ACB= (180°−∠BAC)=72°，由射线
2
1
CP的作法可知CP是∠ACB的角平分线，由三角形角平分线的定义可得∠ACE=∠BCE= ∠ACB，由
2
此即可判断结论①；由等角对等边可得AE=CE，由三角形外角的性质可得∠CEB=∠A+∠ACE=72°，
则∠B=∠CEB=72°，由等角对等边可得BC=CE，进而可得AE=CE=BC，由此即可判断结论②；由
BE BC
∠BAC=∠BCE=36°，∠ABC=∠CBE=72°可证得△BAC∽△BCE，于是可得 = ，进而可
BC AB
√5−1
得BC2=BE⋅AB，即AE2=(AB−AE)AB，整理得AE2+AB⋅AE−AB2=0，解得AE= AB或
2
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−√5−1 √5−1 AE √5−1
AE= AB（不符合题意，故舍去），则AE= AB，即 = ，进而可得
2 2 AB 2
BE BE AB−AE AE √5−1
= = =1− ≠ ，由此即可判断结论③；由BC2=BE⋅AB，AE=CE=BC可得
AC AB AB AB 2
AE AB 1 √5+1
= = = S AE
AE2=BE⋅AB，进而可得BE AE AE 2 ，利用三角形的面积公式可得 △AEC = ，由此即
S BE
AB △BEC
可判断结论④；综上，即可得出所有正确的结论．
【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=36°，
1 1
∴∠ABC=∠ACB= (180°−∠BAC)= (180°−36°)=72°，
2 2
由题意可知：CP是∠ACB的角平分线，
1 1
∴∠ACE=∠BCE= ∠ACB= ×72°=36°，故结论①正确；
2 2
∴∠A=∠ACE=36°，
∴AE=CE，
∵∠CEB=∠A+∠ACE=36°+36°=72°，
∴∠B=∠CEB=72°，
∴BC=CE，
∴AE=CE=BC，故结论②正确；
∵∠BAC=∠BCE=36°，∠ABC=∠CBE=72°，
∴△BAC∽△BCE，
BE BC
∴ = ，
BC AB
∴BC2=BE⋅AB，
即：AE2=(AB−AE)AB，
整理，得：AE2+AB⋅AE−AB2=0，
√5−1 −√5−1
解得：AE= AB或AE= AB（不符合题意，故舍去），
2 2
√5−1
∴AE= AB，
2
AE √5−1
即： = ，
AB 2
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BE BE AB−AE AE √5−1 √5−1
∴ = = =1− =1− ≠ ，故结论③错误；
AC AB AB AB 2 2
∵BC2=BE⋅AB，AE=CE=BC，
∴AE2=BE⋅AB，
AE AB 1 1 2 √5+1
∴ = = = = =
BE AE AE √5−1 √5−1 2 ，
AB 2
S AE √5+1
∴ △AEC = = ，故结论④正确；
S BE 2
△BEC
综上，正确的结论有：①②④，共3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了黄金分割，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作角平分线
（尺规作图），三角形的内角和定理，三角形角平分线的定义，三角形外角的性质，公式法解一元二次方
程，分母有理化，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握黄金分割及等腰三角形的判定与性质是解题的关
键．
10．（2023·河南驻马店·一模）如图1， Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，将△ ABC放置
在平面直角坐标系中，使点A与原点重合，点C在x轴正半轴上．将△ ABC按如图2方式顺时针滚动(无滑
动)，则滚动2022次后，点B的横坐标为( )
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A．2022+673 √5 B．2022+674 √5 C．2023+674 √5 D．2023+673 √5
【答案】C
【分析】根据三角形滚动规律得出每3次一循环，由已知可得三角形周长为3+ √5，进而可得滚动2022次
后，点B的横坐标．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=1，BC=2，
∴AB=√AC2+BC2=√5
∴△ABC的周长为3+ √5，
根据题意可得，每滚动3次，点B的横坐标增加3+ √5，
∵2022÷3=674，
∴滚动2022次后，点B的横坐标增加了674×(3+ √5)，
∴滚动2022次后，点B的横坐标为1+674×(3+)=2023+674 √5，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，坐标规律，找到规律是解题的关键．
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
2
| 1| (√2 )
11．（2025·安徽亳州·一模）在△ABC中，若 sin A− + −cosB =0，则∠C= ．
2 2
【答案】105°/105度
【分析】本题考查绝对值与平方数的非负性，特殊角的三角函数值以及三角形内角和定理知识点，解题的
关键是根据绝对值与平方数的非负性求出∠A和∠B的度数．
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根据绝对值与平方数的非负性求出∠A和∠B的度数，再利用三角形内角和定理求出∠C的度数．
2
| 1| (√2 )
【详解】解：∵ sinA− + −cosB =0，
2 2
¿，
1 1
由sin A− =0，可得sin A= ，因为0°<A<180°，所以∠A=30°，
2 2
√2 √2
由 −cosB=0，可得cosB= ，因为0°<B<180°，所以∠B=45°，
2 2
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，
在△ABC中，∠C=180°−∠A−∠B，
即∠C=180°−30°−45°=105°．
故答案为：105°．
12．（2025·陕西·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若BD=1，AD=2，
则BC的长为 ．
【答案】5
【分析】根据题意，得∠BAD=90°−∠DAC=∠C，结合∠BDA=90°=∠ADC，证明
△BAD∽△ACD，列比例式解答即可．
本题考查了三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定是解题的关键．
【详解】解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAD=90°−∠DAC=∠C，∠BDA=90°=∠ADC，
∴△BAD∽△ACD，
BD AD
∴ = ，
AD DC
∵BD=1，AD=2，
1 2
∴ = ，
2 DC
解得DC=4，
∴BC=BD+DC=5，
故答案为：5．
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13．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的角平分线交DE于点F，若
AC=6，BC=13，则DF的长为 ．
7
【答案】
2
【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等角对等边，根据三角
1 1
形中位线的性质，得出DE∥BC，计算DE= BC，CE= AC，根据“两直线平行，内错角相等”、
2 2
角平分线的定义，推出∠EFC=∠ECF，根据等角对等边，得出EF的长，最后根据DF=DE−EF计算
得出答案即可，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，BC=13，
1 13
∴DE∥BC，DE= BC= ，点E是AC的中点，
2 2
又∵∠ACB的角平分线交DE于点F，AC=6，
1
∴∠BCF=∠EFC，∠BCF=∠ECF，CE= AC=3，
2
∴∠EFC=∠ECF，
∴EF=CE=3，
13 7
∴DF=DE−EF= −3= ，
2 2
7
故答案为： ．
2
14．（2025·上海静安·一模）如图，点O在四边形ABCD的内部，∠COD=∠ABC=90°，AB=BC，
OD=OC，如果BO=a，那么AD的长为 ．（用含字母a的式子表示）
【答案】√2a
【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出
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辅助线是解题的关键．连接AC，由∠COD=∠ABC=90°，AB=BC，OD=OC，得
∠ACB=∠CAB=∠DCO=∠CDO=45°，AC=√2BC，DC=√2OC，所以
AC DC AD AC
∠ACD=∠BCO=45°−∠ACO， = =√2，，则△ACD∽△BCO，所以 = =√2，则
BC OC BO BC
AD=√2a，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接AC，
∵∠COD=∠ABC=90°，AB=BC，OD=OC，
∴∠ACB=∠CAB=∠DCO=∠CDO=45°，AC=√AB2+BC2=√2BC，
DC=√OD2+OC2=√2OC，
AC DC
∴∠ACD=∠BCO=45°−∠ACO， = =√2，
BC OC
∴△ACD∽△BCO，
AD AC
∴ = =√2，
BO BC
∴AD=√2BO，
∵BO=a，
∴AD=√2a
故答案为：√2a．
15．（2025·广西柳州·一模）如图，在△ABC中，BC=AC=10，AB=16，CD为AB边的高，点A在x轴
上，点B在y轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B
随之沿y轴下滑，并带动△ABC在平面内滑动，设运动时间为t秒，当B到达原点时停止运动．连接OC，
线段OC的长随t的变化而变化，当OC最大时，t= ．
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【答案】8√2
【分析】本题考查三线合一，勾股定理：三线合一结合斜边上的中线求出OD的长，根据OC≤OD+CD，
得到当O,D,C三点共线时，OC最大，得到此时OD⊥AB，求出OA的长，进行求解即可．
【详解】解：∵BC=AC=10，CD为AB边的高，
∴BD=AD，
在Rt△AOB中，AD=BD，
1
∴OD= AB=AD=8，
2
∵OC≤OD+CD，
∴当O,D,C三点共线时，OC最大，
此时：OD⊥AB，
∴OA=√OD2+OA2=8√2，
∴t=8√2÷1=8√2；
故答案为：8√2．
16．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°,AC=6，
点D是BC边上的一点（不与B、C重合），连接AD，将△ACD沿AD折叠，使点C落在点E处，当
△BDE是直角三角形时，CD的长为 ．
【答案】6或2√3
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是根据勾股定理
得到 ，根据已知条件得到当 是直角三角形时， 或
BC=√AB2−AC2=6√3 △BDE ∠BDE=90°
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∠BED=90°，①当∠BDE=90°时，则∠CDE=90°，根据折叠的性质得到∠ADC=∠ADE=45°，
于是得到CD=AC=6，②当∠BED=90°时，根据折叠的性质得到∠AED=∠C=90°，
∠CAD=∠EAD，AC=AE，推出点E在AB上，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠BAC=60°，AC=6，
∴∠ABC=30°，
∴AB=2AC=12，
∴BC=√AB2−AC2=6√3，
∵点D是BC边上的一点，
∴∠DBE≠90°，
∴当△BDE是直角三角形时，∠BDE=90°或∠BED=90°，
①当∠BDE=90°时，则∠CDE=90°，
∵将△ACD沿AD折叠，使点C落在点E处，
∴∠ADC=∠ADE=45°，
∴CD=AC=6，
②当∠BED=90°时，
∵将△ACD沿AD折叠，使点C落在点E处，
∴∠AED=∠C=90°，∠CAD=∠EAD，AC=AE，
∴∠AED+∠BED=180°，
∴点E在AB上，如图，
∴AE=AC=6 BE=AB−AE=6 ∠CAD=∠BAD
， ， ，
∴CD=DE，
∵DE2+BE2=BD2，
∴CD2+62=(6√3−CD) 2 ，
∴CD=2√3，
综上所述，CD的长为 6或2√3，
故答案为：6或2√3．
三、解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23
题9分，24题10分，25题13分）
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17．（2025·广东广州·一模）如图，在△ABC中，AB=AC,BD是△ABC的角平分线．
(1)实践与操作：作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)应用与证明：求证：AD=AE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查尺规基本作图-作角的平分线、全等三角形的判定与性质，熟练掌握尺规基本作图-作角
的平分线以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）按照尺规基本作图-作角的平分线的作图步骤作图即可．
（2）证明△ABD≌△ACE，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，CE为所求．
（2）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE．
在△ABD和△ACE中，
¿，
∴△ABD≌△ACE(ASA)．
∴AD=AE．
18．（2025·上海长宁·一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，连接CD、AE交于点F，
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AF=FC，∠ADC=∠ACB．
(1)求证：AC2=CD⋅AE；
(2)如果点E是边BC的中点，求证：BC2=2AD⋅AB．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定
与性质是解题的关键．
AC CD
（1）先证明△DCA∽△CAE可得 = 即可证明结论；
AE AC
（2）先证明△DCA∽△CBA可得AC2=AB⋅AD，结合△DCA∽△CAE可得△CAE∽△CBA，即
AC2=BC⋅CE，则BC⋅CE=AD⋅AB，最后结合点E是BC中点即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵AF=FC，
∴∠FAC=∠FCA，
∵∠ADC=∠ACB
∴△DCA∽△CAE，
AC CD
∴ = ，
AE AC
∴AC2=AE⋅CD．
（2）解：∵∠ADC=∠ACB，∠DAC=∠CAB，
∴△DCA∽△CBA，
AC AD
∴ = ，
AB AC
∴AC2=AB⋅AD，
∵△DCA∽△CAE，△DCA∽△CBA，
∴△CAE∽△CBA
CE AC
∴ =
AC BC
∴AC2=BC⋅CE
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∴BC⋅CE=AD⋅AB
∵点E是BC中点，
1
∴CE= BC，
2
∴BC2=2AD⋅AB．
19．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知AB=CD，AD=BC，O为AC的中点，过O作一条直线分
别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE=OF．求证：∠MAE=∠NCF．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，先证明四边形ABCD是平
行四边形，再根据平行四边形的性质得到AB∥CD，再根据平行的性质得到∠MAO=∠NCO，然后再通
过全等三角形的判定证明△AEO≌△CFO从而得到∠EAO=∠FCO，即可证明∠MAE=∠NCF．
【详解】证明：∵AB=CD，AD=BC；
∴四边形ABCD是平行四边形；
∴AB∥CD；
∴∠MAO=∠NCO；
O为AC的中点；
∵
∴AO=CO；
∴在△AEO和△CFO中；
¿；
∴△AEO≌△CFO（SAS）；
∴∠EAO=∠FCO；
∴∠EAO−∠MAO=∠FCO−∠NCO；
即∠MAE=∠NCF．
20．（2025·江西·模拟预测）如图1，是某物体的三角支架实物图，由竖杆、支杆和连接杆组成，图2是其
右侧部分抽象后的几何图形，其中点C是支干PD上一可转动点，点P是中间竖杆BA上的一动点，当点P
沿BA滑动时，点D随之在地面上滑动，点A是动点P能到达的最顶端位置，当P运动到点A时，PC与
BC重合于竖干BA，经测量PC=BC=50cm，CD=60cm．
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(1)当∠BCD=60°时，求竖杆最下端B到地面的距离BO；
(2)点P从点A滑动至AB的中点的过程中，∠BCD变化的度数是多少？（参考数据：√3≈1.73，结果精确
到0.1cm）
【答案】(1)8.7cm
(2)120°
【分析】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，解题的关键是理解题意．
（1）如图①，过点C作CE⊥PB于点E．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠EPC=30°，
再根据解直角三角形求出PE，PB，OP，即可求解．
（2）如图②，当点P位于点A时，B,C ,D 三点共线，即∠BC D =0°．
0 0 0 0
求出AB，再求出当点P滑动至AB的中点时，∠BCD=120°，即可求解．
【详解】（1）解：如图①，过点C作CE⊥PB于点E．
∵∠BCD=60°
，
∴∠PCB=120°，
∵PC=BC，
1
∴∠PCE=∠BCE= ∠PCB=60°，
2
∴∠EPC=90°−60°=30°，
√3
∴PE=PC⋅cos∠EPC=50× =25√3(cm)，
2
∴PB=PE+BE=2PE=50√3cm，
√3
∵OP=PD⋅cos∠OPD=(PC+CD)cos∠OPD=110× =55√3(cm)，
2
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∴OB=OP−PB=55√3−50√3=5√3≈8.7(cm)．
（2）解：如图②，当点P位于点A时，B,C ,D 三点共线，即∠BC D =0°．
0 0 0 0
由题意，得AB=PC+BC=100cm．
1
当点P滑动至AB的中点时，PB=PA= AB=PC=BC=50cm，
2
∴△PCB为等边三角形，
∴∠PCB=60°，
∴∠BCD=120°，
即∠BCD变化了120°．
21．（2025·河南安阳·模拟预测）已知△AOB与△COD都是等腰直角三角形，其中
∠AOB=∠COD=90°，且BO=2(BO>CO)．
(1)如图1，连接AC，BD，求证：AC=BD．
(2)如图2，如果等腰直角三角形COD绕点O旋转到某一位置恰好使得OC∥AB，且BA=BD．求线段OC
的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)√6−√2
【分析】（1）根据题意可知AO=BO，CO=DO，再由∠AOB−∠BOC=∠COD−∠BOC，得到
∠AOC=∠BOD，可证△AOC≌△BOD(SAS)，即可推出AC=BD；
（2）延长DO交AB于点E，由AB∥OC，可证△BEO为等腰直角三角形，从而计算出OE=BE=√2，
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AB=BD=2√2，最后在Rt△BED中利用勾股定理BE2+DE2=BD2，计算得到OD，即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵△AOB与△COD都是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°
∴AO=BO，CO=DO，∠AOB−∠BOC=∠COD−∠BOC
即∠AOC=∠BOD
∴△AOC≌△BOD(SAS)
∴AC=BD；
（2）解：延长DO交AB于点E，如图
∵AB∥OC
∴∠BEO=∠COD=90°
又∵△AOB为等腰直角三角形，∠AOB=90°
∴∠ABO=45°
∴△BEO为等腰直角三角形
∵BO=2
√2
∴OE=BE=BOsin∠ABO=2× =√2，AB=2BE=2√2
2
∴BD=AB=2√2
在Rt△BED中，∠BED=90°
∴BE2+DE2=BD2
即(√2)
2+(OD+√2) 2=(2√2) 2
解得：OD=√6−√2（负值已舍去）
∵△COD为等腰直角三角形
∴OC=OD=√6−√2
故线段OC的长为√6−√2．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，
熟练掌握以上知识点是解题的关键．
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22．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，三条边BC,AC,AB及AB边上
的高CD分别记为a,b,c,h．
(1)求证：ab=ch；
1 1 1
(2)求证： + = ；
a2 b2 h2
(3)若将Rt△ABC变为锐角△ABC，其他不变，如图，设其外接圆的直径为d，试探索并写出a,b,h,d这4
个量的一个等量关系，然后给出证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
b h
(3) = ，证明见解析
d a
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等，能够根据所求内容找到相关的
量是解题的关键．
（1）根据三角形的面积公式即可求解；
a2 b2 c2
（2）根据勾股定理得a2+b2=c2，式子变形可得 + = ，又有ab=ch，即可证明；
a2b2 a2b2 a2b2
AC CD b h
（3）过点C作直径CE交圆于点E，连接BE，即可证明△CAD∽△CEB，推出 = ，即 = ．
CE CB d a
【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c，CD=h，
1 1
∴S = ab= ch，
△ACB 2 2
∴ab=ch．
（2）证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，根据勾股定理得，a2+b2=c2，
a2+b2 c2
∴ = ，
a2b2 a2b2
a2 b2 c2
∴ + = ，
a2b2 a2b2 a2b2
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又∵ab=ch（已证），
a2 b2 c2
∴ + = ，
a2b2 a2b2 c2h2
1 1 1
∴ + = ．
a2 b2 h2
b h
（3）解： = ，证明如下：
d a
过点C作直径CE交圆于点E，连接BE，
∵CE
为圆的直径，
∴∠CBE=∠CDA=90°，
∵∠CEB=∠CAD，
∴△CAD∽△CEB，
AC CD b h
∴ = ，即： = ．
CE CB d a
23．（2025·辽宁抚顺·一模）【问题背景】
在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α(0°<α≤45°)，点D，E分别在线段BC，AC上，将线段DE绕
点D逆时针旋转180°−2α得到线段DF，求F落在线段AB上．
【问题初探】
（1）如图1，当α=45°，点E与点C重合时，求证：FB=FA；
【问题提升】
（2）如图2，当α=45°，点E在线段AC上时，过点E作EG∥BC，交线段AB于点G，猜想线段AG与
线段BF之间的数量关系，并证明；
【问题拓展】
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（3）如图3，当α≠45°，点E在线段AC上时，过点E作¿∥BC，交线段AB于点G，（2）的结论是否
成立，若成立，请证明，若不成立，请写出新的结论，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）AG=2BF，见解析；（3）成立，见解析
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的性质，平行线的性质等，正确作出啨线是
解答本题的关键．
（1）连接EF，分别证明FB=FE和FA=FE即可得出结论；
（2）过点D作DM⊥BC，交AB于点M，连接EM，证明DM=DB，∠EDM=∠FDB，得出
△EDM≌△FDB(SAS)，得出∠GME=∠DMB+∠DME=90°，证明MG=ME，MA=ME，即可得
出结论；
（3）如图，在线段上取点M，使DM=DB，取AG中点N，连接EM，EN，解题思路同（2）
【详解】（1）证明：如图，连接EF
答图1
当α=45°，点E与点C重合时，∠ABC=45°，∠EDF=180°−2α=90°
由旋转可得，DE=DF
∴△≝¿是等腰直角三角形
∴∠≝=∠DFE=45°
∴∠≝=∠ABC=45°
∴FB=FE
∵∠ACB=90°
∴∠AEF=∠BAC=45°
∴FA=FE
∴FB=FA
（2）AG=2BF
证明：如图，过点D作DM⊥BC，交AB于点M，连接EM
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∠MDB=90°
∴
∵当α=45°，点E在线段AC上时，∠ABC=45°，∠EDF=180°−2α=90°
∴∠BMD=45°，∠MDB=∠EDF=90°
∴∠ABC=∠BMD=45°
∴DM=DB，∠EDM=∠FDB，
由旋转可得，DE=DF
∴△EDM≌△FDB(SAS)
∴ME=BF，∠DME=∠DBF=45°
∴∠GME=∠DMB+∠DME=90°
∵EG∥BC
∴∠AGE=∠ABC=45°，∠AEG=∠ACB=90°
∴∠MGE=∠MEG=45°，∠MAE=∠MEA=45°，
∴MG=ME，MA=ME
∴AG=2ME
∴AG=2BF
（3）成立
证明：如图，在线段上取点M，使DM=DB，取AG中点N，连接EM，EN
∠DMB=∠DBM=α AG=2NE
∴ ，
∴∠MDB=180°−2α
∴∠MDB=∠EDF
∴∠EDM=∠FDB
由旋转可得，DE=DF
∴△EDM≌△FDB(SAS)
∴ME=BF，∠DME=∠DBF=α
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∴∠BME=2α
∵EG∥BC
∴∠AGE=∠ABC=α，∠AEG=∠ACB=90°
∵N是AG的中点，
∴NG=NE，AG=2NE
∴∠NGE=∠¬=α
∴∠ENM=2α，∠ENM=∠BME=2α
∴NE=ME，
∴AG=2BF
24．（22-23九年级下·湖南常德·期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M为AB的中点，点F是线段
CM上一动点，过点F作DE⊥CM分别交边CA,CB于点D,E．
(1)如图1，求证△CDE∽△CBA；
(2)如图1，若DE=CM，求证：BC=2DC；
AD BE
(3)如图2，若点F为CM的中点，求 + 的值．
CD CE
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)2
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形
的判定和性质，全等三角形的判定和性质．
1
（1）根据题意可得∠CDF+∠DCF=90°，由直角三角形斜边中线的性质得出CM=BM= AB，则
2
∠B=∠BCM，推出∠CDF=∠BCM=∠B，即可求证△CDE∽△CBA；
1 1
（2）由（1）可知，CM= AB，△CDE∽△CBA，根据DE=CM，得出DE= AB，结合相似三角形
2 2
的性质，即可求证BC=2DC；
（3）过点A作AP⊥CM于点P，过点B作BQ⊥CM交CM延长线于点Q，易证AP∥DE∥BQ，则
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AD PF BE FQ 1
= , = ，通过证明△AMP≌△BMQ，得出PM=QM= PQ，根据CF=FM，即可解答．
CD CF CE CF 2
【详解】（1）证明：∵DE⊥CM，
∴∠CDF+∠DCF=90°，
∵∠ACB=90°，点M为AB的中点，
1
∴CM=BM= AB，
2
∴∠B=∠BCM，
∵∠BCM+∠DCF=90°，
∴∠CDF=∠BCM=∠B，
又∵∠BCA=∠DCE，
∴△CDE∽△CBA；
1
（2）证明：由（1）可知，CM= AB，△CDE∽△CBA，
2
∵DE=CM，
1
∴DE= AB，
2
DC DE 1
∴ = = ，
BC AB 2
即BC=2DC；
（3）解：过点A作AP⊥CM于点P，过点B作BQ⊥CM交CM延长线于点Q，
∵DE⊥CM，AP⊥CM，BQ⊥CM，
∴AP∥DE∥BQ，
AD PF BE FQ
∴ = , = ，
CD CF CE CF
∵点M为AB的中点，
∴AM=BM，
∵∠AMP=∠BMQ,∠Q=∠APM，
∴△AMP≌△BMQ，
∴PM=QM，
∵点F为CM的中点，
1
∴CF=FM= CM，
2
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AD BE PF FQ PF+FQ PF+PF+PM+QM 2(PF+PM) 2FM
∴ + = + = = = = =2．
CD CE CF CF CF CF CF CF
25．（2025·山东济南·二模）两个全等的等腰直角三角形按如图方式放置在平面直角坐标系中，OA在x轴
k
上，已知∠COD=∠OAB=90°，OC=√2，反比例函数y= 的图象经过点B．
x
(1)求k的值．
k
(2)把△OCD沿射线OB移动，当点D落在y= 图象上时，求点D经过的路径长．
x
(3)如图2，点O与点M关于点A成中心对称，连接BM把△OBM绕点B逆时针旋转α°(0°<α°<45°)得
k
到三角形△O'BM'，BO'所在直线与x轴交点Q，BM'所在直线与反比例函数y= (k>0)交于点P，试问，
x
是否存是否存在α的一个值，使得BQ=BP，若存在请求出点P的坐标及tanα的值，若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)k=2
(2)√6
( √2) 1
(3)P 2√2, ；tanα=
2 3
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k
【分析】（1）根据题意求得点B的坐标，再代入y= 求得k值即可；
x
（2）设平移后与反比例函数图象的交点为D'，由平移性质可知DD'∥OB，过D'作D'E⊥x轴于点E，
交DC于点F，设CD交y轴于点M，根据已知条件可求得点D的坐标为(−1，1)，设D'横坐标为t，则
OE=MF=t，即可得D'(t,t+2)，由此可得t(t+2)=2，解方程求得t值，利用勾股定理求得DD'的长，
即可得点D经过的路径长；
（3）证明△OBQ≌△MBP(SAS)，得出∠PMB=∠QOB=45°，根据中心对称的性质得出BM=BO，
2
MO=2AO=2√2，求出点P的横坐标为2√2，根据反比例函数的解析式为y= ，得出点P的纵坐标为
x
2 √2 PM 1
= ，作PH⊥BM于点H，证明△PMH为等腰直角三角形，得出PH=MH= = ，求出
2√2 2 √2 2
1 3
BH=2− = ，根据三角函数定义求出结果即可．
2 2
【详解】（1）解：∵△AOB和△COD为全等三的等腰直角三角形，OC=√2，
∴AB=OA=OC=OD=√2，
∴点B坐标为(√2,√2)，
k
把(√2,√2)代入y= 得：
x
k=√2×√2=2；
（2）解：设平移后与反比例函数图象的交点为D'，由平移性质可知DD'∥OB，过D'作D'E⊥x轴于点
E，交DC于点F，设CD交y轴于点M，如图，
∵OC=OD=√2，∠AOB=∠COM=45°，
∴OM=MC=MD=1，
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D坐标为(−1，1)，
∴设D'横坐标为t，则OE=MF=t，
∴D'F=DF=t+1，
∴D'E=D'F+EF=t+2，
∴D'(t,t+2)，
∵D'在反比例函数图象上，
∴t(t+2)=2，
解得：t=√3−1或t=−√3−1（舍去），
∴D'(√3−1,√3+1)，
∴DD'=√(√3−1+1) 2+(√3+1−1) 2=√6，
即点D经过的路径长为√6．
（3）解：存在，理由如下：
当BQ=BP，连接PM，
∵∠OBM=∠O'BM'=90°，
∴∠OBO'+∠QBM=∠QBM+∠HBM'，
∴∠OBO'=∠MBM'，
∵BO=BM，
∴△OBQ≌△MBP(SAS)，
∴∠PMB=∠QOB=45°，
∵点O与点M关于点A成中心对称，
∴BM=BO，MO=2AO=2√2，
∴∠BMO=∠BOQ=45°，
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∴∠PMO=∠PMB+∠BMO=45°+45°=90°，
∴点P的横坐标为2√2，
2
由（1）可知，反比例函数的解析式为y= ，
x
2 √2
∴点P的纵坐标为 = ，
2√2 2
( √2)
∴点P 2√2, ，
2
如图，作PH⊥BM于点H，
则∠PHM=90°，
√2
∵∠PMH=45°，PM= ，
2
∴△PMH为等腰直角三角形，
PM 1
∴PH=MH= = ，
√2 2
∵BM=OB=√(√2) 2+(√2) 2=2，
1 3
∴BH=2− = ，
2 2
1
2 1
∴tanα=tan∠PBH= = ．
3 3
2
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，三角形全等的判定和性质，平移的性质，勾股定理，等
腰三角形的判定和性质，求一个角的正切值，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
33
