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备战 2024 中考数学一轮复习
第四章三角形
第 3 讲特殊三角形及其性质
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌题型突破
➍专题精练
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第 3 讲特殊三角形及其性质
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一直角三角形
考向二等腰三角形
第 3 讲特殊三角形及其性质
→➊考点精析←
一、等腰三角形
1．等腰三角形的性质
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、
底边上的中线、底边上的高重合．
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．
2．等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等
边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．
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推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．
2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．
3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
b
4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则2 <a．
5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，
180°−∠A
∠B=∠C= 2 ．
二、等边三角形
1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．
2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．
3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三
角形．
4．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．
5．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．
6．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．
三、直角三角形与勾股定理
1．直角三角形
定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
性质：（1）直角三角形两锐角互余；
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；
（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
2．勾股定理及逆定理
（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方，即：
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a2+b2=c2．
（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角
形是直角三角形．
→➋真题精讲←
题型一直角三角形
1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在 中， 为
的中点．若点 在边 上，且 ，则 的长为（ ）
A．1 B．2 C．1或 D．1或2
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=30°，BD=6，则CD的
长为__________．
3.（2023·云南初二月考）直角三角形的两条直角边长分别为 cm和 cm，则这个直角
三角形的周长为__________.
4．（2023·湖南·统考中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边
长为 的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形
和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________ ．
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5．（2023·河南·统考中考真题）矩形 中，M为对角线 的中点，点N在边 上，
且 ．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时， 的长为______．
6．（2023·湖北十堰·统考中考真题）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰
直角三角形 硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别为 ，
， 的中点，G，H分别为 ， 的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边
形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为____________，最
大值为___________________．
7．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图①．在矩形 ． ，点 在边
上，且 ．动点 从点 出发，沿折线 以每秒 个单位长度的速度运
动，作 ， 交边 或边 于点 ，连续 ．当点 与点 重合时，点
停止运动．设点 的运动时间为 秒．（ ）
(1)当点 和点 重合时，线段 的长为__________；
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(2)当点 和点 重合时，求 ；
(3)当点 在边 上运动时， 的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；
(4)作点 关于直线 的对称点 ，连接 、 ，当四边形 和矩形 重叠部
分图形为轴对称四边形时，直接写出 的取值范围．
题型二等腰三角形
8.下列推理中，错误的是
A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形
B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形
C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形
D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形
9.（2023·四川省武胜县万善初级中学初二月考）等腰三角形的一个内角为40°，则其余两
个内角的度数分别为
A．40°，100° B．70°，70°
C．60°，80° D．40°，100°或70°，70°
10.（2023·延安市实验中学初二期末）如图，在 中，AB=AC，D是BC的中点，下列
结论不正确的是
A．AD BC B．∠B=∠C
C．AB=2BD D．AD平分∠BAC
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11．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，点B的坐标为
，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线 与 交
于点D．与y轴交于点E．动点M在线段 上，动点N在直线 上，若
是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为________
12.（2023·山东初二期末）如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于
E，若BE=1，则AC的长为__________．
13．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图， ．过点 作
，延长 到 ，使 ，连接 ．若 ，则
________________．（结果保留根号）
14．（2023·北京·统考中考真题）在 中、 ， 于点
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M，D是线段 上的动点（不与点M，C重合），将线段 绕点D顺时针旋转 得到
线段 ．
(1)如图1，当点E在线段 上时，求证：D是 的中点；
(2)如图2，若在线段 上存在点F（不与点B，M重合）满足 ，连接 ， ，
直接写出 的大小，并证明．
15．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图①， 和 是等边三角形，连接 ，点
F，G，H分别是 和 的中点，连接 ．易证： ．
若 和 都是等腰直角三角形，且 ，如图②：若 和
都是等腰三角形，且 ，如图③：其他条件不变，判断 和
之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
16．（2023·四川成都·统考中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣
小组拟做以下探究．
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在 中， ，D是 边上一点，且 （n为正整数），E是
边上的动点，过点D作 的垂线交直线 于点F．
【初步感知】
(1)如图1，当 时，兴趣小组探究得出结论： ，请写出证明过程．
【深入探究】
(2)①如图2，当 ，且点F在线段 上时，试探究线段 之间的数量关系，
请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段 之间数量关系的一般结论（直接写
出结论，不必证明）
【拓展运用】
(3)如图3，连接 ，设 的中点为M．若 ，求点E从点A运动到点C的过程
中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．
17．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在等边 中， 于点 ， 为线段
上一动点（不与 ， 重合），连接 ， ，将 绕点 顺时针旋转 得到线段
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，连接 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，连接 交 于点 ，连接 ， ， 与 所在直线交于点 ，求证：
；
(3)如图3，连接 交 于点 ，连接 ， ，将 沿 所在直线翻折至
所在平面内，得到 ，将 沿 所在直线翻折至 所在平面内，得到
，连接 ， ．若 ，直接写出 的最小值．
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