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备战 2024 中考数学一轮复习
第四章三角形
第 4 讲全等、相似三角形
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌题型突破
➍专题精练
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第 4 讲全等、相似三角形
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一全等三角形
考向二相似三角形
第 4 讲全等、相似三角形
→➊考点精析←
一、全等三角形
1．三角形全等的判定定理：
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”
或“SAS”）；
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”
或“ASA”）；
（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或
“SSS”）；
（4）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有 HL定理（斜边、直角边定理）：有
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或
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“HL”）．
2．全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；
（2）全等三角形的周长相等，面积相等；
（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．
二、相似三角形的判定及性质
1．定义
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相
似比．
2．性质
（1）相似三角形的对应角相等；
（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；
（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
3．判定
（1）有两角对应相等，两三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
（3）三边对应成比例，两三角形相似；
（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：
（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；
（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定
（2）]；
（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
→➋真题精讲←
题型一全等三角形
1．（2023·云南·统考中考真题）如图， 两点被池塘隔开， 三点不共线．设
的中点分别为 ．若 米，则 （ ）
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A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
【答案】B
【分析】根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解∶∵ 的中点分别为 ，
∴ 是 的中位线，
∴ 米 ，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第
三边的一半是解题的关键．
2．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，锐角三角形 中， ，点D，E分别
在边 ， 上，连接 ， ．下列命题中，假命题是（ ）．
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】A
【分析】由 ，可得 ，再由 ，由 无法证明
与 全等，从而无法得到 ；证明 可得 ；
证明 ，可得 ，即可证明；证明 ，即可得
出结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
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∵若 ，
又 ，
∴ 与 满足“ ”的关系，无法证明全等，
因此无法得出 ，故A是假命题，
∵若 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，故B是真命题；
若 ，则 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故C是真命题；
若 ，则在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，故D是真命题；
故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，命题的真假判断，
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正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理．
3．（2023·河北·统考中考真题）在 和 中，
．已知 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】过A作 于点D，过 作 于点 ，求得 ，分两
种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：过A作 于点D，过 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
当 在点D的两侧， 在点 的两侧时，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
当 在点D的两侧， 在点 的同侧时，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ；
综上， 的值为 或 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论
是解题的关键．
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4．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在 中， ，
D为AC上一点，若 是 的角平分线，则 ___________．
【答案】3
【分析】首先证明 ， ，设 ，在 中，利用勾股定
理构建方程即可解决问题．
【详解】解：如图，过点D作 的垂线，垂足为P，
在 中，∵ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，
在 中，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题
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的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，在 中， ， ，点D为
上一动点，连接 ，将 沿 翻折得到 ， 交 于点G，
，且 ，则 ______．
【答案】
【分析】 于点M， 于点N，则 ，过点G作 于点P，
设 ，根据 得出 ，继而求得 ，
， ，再利用 ，求得 ，利用勾股定
理求得 ， ，故 ，
【详解】由折叠的性质可知， 是 的角平分线， ，用 证明
，从而得到 ，设 ，则 ， ，
利用勾股定理得到 即 ，化简得 ，从而
得出 ，利用三角形的面积公式得到： ．
作 于点M， 于点N，则 ，
过点G作 于点P，
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∵ 于点M，
∴ ，
设 ，则 ， ，
又∵ ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，即 ，
∴ ， ，
在 中， ， ，
设 ，则
∴
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，
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化简得： ，
∴ ，
∴
故答案是： ．
【点睛】本题考查解直角三角形，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性
质，勾股定理等知识，正确作出辅助线并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
6．（2023·云南·统考中考真题）如图， 是 的中点， ．求证：
．
【答案】见解析
【分析】根据 是 的中点，得到 ，再利用 证明两个三角形全等．
【详解】证明： 是 的中点，
，
在 和 中，
，
【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决
本题的关键．
7．（2023·四川宜宾·统考中考真题）已知：如图， ， ， ．求
证： ．
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【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质得出 ，然后证明 ，证明
，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
即
在 与 中
，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题
的关键．
8．（2023·全国·统考中考真题）如图，点C在线段 上，在 和 中，
．
求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】直接利用 证明 ，再根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】解：在 和 中，
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∴
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的
关键．
9．（2023·山东临沂·统考中考真题）如图， ．
(1)写出 与 的数量关系
(2)延长 到 ，使 ，延长 到 ，使 ，连接 ．求证： ．
(3)在（2）的条件下，作 的平分线，交 于点 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）勾股定理求得 ，结合已知条件即可求解；
（2）根据题意画出图形，证明 ，得出 ，则 ，即
可得证；
（3）延长 交于点 ，延长 交 于点 ，根据角平分线以及平行线的性质证
明 ，进而证明 ，即可得证．
【详解】（1）解：∵
∴ ，
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∵
∴
即 ；
（2）证明：如图所示，
∴
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ， ,
∴
∴
∴
∴
（3）证明：如图所示，延长 交于点 ，延长 交 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
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∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴
∴
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
又 ，则 ，
在 中，
，
∴ ，
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，平行线
的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
10．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，在四边形 中，点E是边 上一点，且
， ．
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(1)求证： ；
(2)若 ， 时，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由 求出 ，然后利用 证明 ，可得
，再由等边对等角得出结论；
（2）过点E作 于F，根据等腰三角形的性质和含 直角三角形的性质求出
和 ，然后利用勾股定理求出 ，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：过点E作 于F，
由（1）知 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
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∴ ．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，
含 直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确寻找证明三角形全等的条件是解题的
关键．
题型二相似三角形
11．（2023·重庆·统考中考真题）如图，已知 ， ，若 的长
度为6，则 的长度为（ ）
A．4 B．9 C．12 D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的性质即可求出．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B.
【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题
的关键.
12．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在直角坐标系中， 的三个顶点分别为
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，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与 的位似比为2的
位似图形 ，则顶点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据位似图形的性质即可得．
【详解】解：∵ 的位似比为2的位似图形是 ，且 ，
，即 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
13．（2023·安徽·统考中考真题）如图，点 在正方形 的对角线 上， 于
点 ，连接 并延长，交边 于点 ，交边 的延长线于点 ．若 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例得出 ，根据 ，得出
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，则 ，进而可得 ，根据 ，得出
，根据相似三角形的性质得出 ，进而在 中，勾股定理即可
求解．
【详解】解：∵四边形 是正方形， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴
∴ ， ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
在 中， ，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾
股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在 中，点D、E为边 的三等分点，
点F、G在边 上， ，点H为 与 的交点．若 ，则 的长
为（ ）
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A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出 ， ， ，
是 的中位线，易证 ，得 ，解得 ，则
．
【详解】解： 、 为边 的三等分点， ，
， ， ，
， 是 的中位线，
，
，
，
，即 ，
解得： ，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形
中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
15.（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，把一个边长为5的菱形 沿着直线
折叠，使点C与 延长线上的点Q重合． 交 于点F，交 延长线于点E． 交
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于点P， 于点M， ，则下列结论，① ，② ，③
，④ ．正确的是（ ）
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】由折叠性质和平行线的性质可得 ，根据等角对等边即可
判断①正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出 ，再求出 即可判断②
正确；由 得 ，求出 即可判断③正确；根据 即可
判断④错误．
【详解】由折叠性质可知： ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故 正确；
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故 正确；
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
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∴ ．
故 正确；
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ 与 不相似．
∴ ．
∴ 与 不平行．
故 错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的
判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解
题的关键．
16．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 与 位似，
原点O是位似中心，且 ．若 ，则 点的坐标是___________．
【答案】
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【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．
【详解】解∶设
∵ 与 位似，原点 是位似中心，且 ．若 ，
∴位似比为 ，
∴ ，
解得 ， ，
∴
故答案为： .
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．
17．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在平行四边形 中，E是线段 上一点，
连结 交于点F．若 ，则 __________．
【答案】
【分析】四边形 是平行四边形，则 ，可证明 ，得到
，由 进一步即可得到答案．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ,
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明
是解题的关键．
18．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在 中， ，
将 绕点A逆时针方向旋转 ，得到 ．连接 ，交 于点D，则 的
值为________．
【答案】5
【分析】过点D作 于点F，利用勾股定理求得 ，根据旋转的性质可证
、 是等腰直角三角形，可得 ，再由 ，
得 ，证明 ，可得 ，即 ，再由
，求得 ，从而求得 ， ，即可求解．
【详解】解：过点D作 于点F，
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∵ ， ， ，
∴ ，
∵将 绕点A逆时针方向旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：5．
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【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三
角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．
19．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图， ， 是正方形 的边 的三等分点，
是对角线 上的动点，当 取得最小值时， 的值是___________．
【答案】
【分析】作点F关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，此时 取得最小值，
过点 作 的垂线段，交 于点K，根据题意可知点 落在 上，设正方形的边长
为 ，求得 的边长，证明 ，可得 ，即可解答．
【详解】解：作点F关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，过点 作 的垂线
段，交 于点K，
由题意得：此时 落在 上，且根据对称的性质，当P点与 重合时 取得最小
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值，
设正方形 的边长为a，则 ，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当 取得最小值时， 的值是为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方
形的性质，正确画出辅助线是解题的关键．
20．（2023·湖南·统考中考真题）在 中， 是斜边 上的高．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
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(2)
【分析】（1）根据三角形高的定义得出 ，根据等角的余角相等，得出
，结合公共角 ，即可得证；
（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 是斜边 上的高．
∴ ，
∴ ，
∴
又∵
∴ ，
（2）∵
∴ ，
又
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题
的关键．
21．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图， 中，点E是 的中点，连接 并
延长交 的延长线于点F．
(1)求证： ；
(2)点G是线段 上一点，满足 ， 交 于点H，若 ，
求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 ， ，证明
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，推出 ，即可解答；
（2）通过平行四边形的性质证明 ，再通过（1）中的结论得到
，最后证明 ，利用对应线段比相等，列方程即可解答．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
是 的中点，
，
，
，
∴ ，
；
（2）解： 四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
设 ,则 ，
可得方程 ，
解得 ，
即 的长为 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和
性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键．
22．（2023·上海·统考中考真题）如图，在梯形 中 ，点F，E分别在线段
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， 上，且 ，
(1)求证：
(2)若 ，求证：
【答案】见解析
【分析】（1）先根据平行线的性质可得 ，再根据三角形的全等的判定可得
，然后根据全等的三角形的性质即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得 ，从而可得 ，再根据相
似三角形的判定可得 ，然后根据相似三角形的性质即可得证．
【详解】（1）证明： ，
，
在 和 中， ，
，
．
（2）证明： ，
，
，即 ，
在 和 中， ，
，
，
由（1）已证： ，
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，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似
三角形的判定与性质是解题关键．
30
