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第 32 讲 锐角三角函数及其应用
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 锐角三角函数
题型01 理解正弦、余弦、正切的概念
题型02 求角的正弦值
题型03 求角的余弦值
题型04 求角的正切值
题型05 已知正弦值求边长
题型06 已知余弦值求边长
题型07 已知正切值求边长
题型08 含特殊角的三角函数值的混合运算
题型09 求特殊角的三角函数值
题型10 由特殊角的三角函数值判断三角形形状
题型11 用计算器求锐角三角函数值
题型12 已知角度比较三角函数值大小
题型13 根据三角函数值判断锐角的取值范围
题型14 利用同角三角函数关系求解
题型15 求证同角三角函数关系式
题型16 互余两角三角函数关系
考点二 解直角三角形
题型01 构造直角三角形解直角三角形
题型02 网格中解直角三角形
题型03 在坐标系中解直角三角形
题型04 解直角三角形的相关计算
题型05 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
考点三 解直角三角形的应用
题型01 仰角、俯角问题
类型一 利用水平距离测量物体高度
类型二 测量底部可以到达的物体高度
类型三 测量底部不可到达的物体的高度
题型02 方位角问题
题型03 坡度坡比问题
题型04 坡度坡比与仰角俯角问题综合
考点要求 新课标要求 命题预测
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利用相似的直角三角形，探索并 锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考
认识锐角三角函数(sinA，cosA，tanA). 点,其考察内容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定
知道 30°，45°，60°角的三角 义，②特殊角的三角函数值，③解直角三角形与其应用
锐角三角函数 函数值. 等.出题时除了会单独出题以外，还常和四边形、圆、网
会使用计算器由已知锐角求它的 格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型.
三角函数值，由已知三角函数值求它的对 预计2024年各地中考还将以选题和综合题的形式出现，
应锐角. 在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用
辅助线构造直角三角形，是得分的关键.
解直角三角形 能用锐角三角函数解直角三角
形，能用相关知识解决一些简单的实际问
解直角三角形
题.
的应用
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考点一 锐角三角函数
1. 锐角三角函数的概念：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（其中：0＜∠A＜90°）
2. 正弦、余弦、正切的概念
定义 表达式 图形
∠A的对边 a
正弦 sin A= sin A=
斜边 c
∠A的邻边 b
余弦 cosA= cosA=
斜边 c
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∠A的对边 a
正切 tanA= tanA=
∠A的邻边 b
A
c
b
3. 锐角三角函数的关系：
在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系：
sin A
1）同角三角函数的关系：tan A= ，sin2A+cos2A=1
cosA
2) 互余两角的三角函数关系：sin A = cos B, sin B = cos A, tan A•tanB=1
4. 特殊角的三角函数值
三角函数 30° 45° 60°
√2 √3
2 2
√3 √2 1
cosα
2 2 2
√3
tanα 1 √3
3
【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角.
5. 锐角三角函数的性质
sin A随∠A的增大而增大
性质 前提：0°＜∠A＜90° cos A随∠A的增大而减小
tan A随∠A的增大而增大
1. 若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省
略角的符号“∠”,如 tan A、sin a、cos A.若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的,则表示
它的正弦、余弦及正切时,不能省略角的符号“∠”,如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1.
2. tan A乘方时,一般写成tannA,它与(tan A) n含义相同(正弦、余弦相同).
3. 锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的. 而且由锐角三角函数的定义可知,其本质特征是
两条线段长的比.因此,锐角三角函数只有数值,没有单位，它的大小只与角的大小有关，而与它所在的
三角形的边长无关.
4. 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通
过辅助线来构造直角三角形.
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题型01 理解正弦、余弦、正切的概念
【例1】（2022·湖北·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，BD是斜边AC上的高，AB≠BC，则下列比
值中等于sinA的是（ ）．
AD BD BD DC
A． B． C． D．
AB AD BC BC
【答案】D
【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根据正弦三角函数的定义判断即可；
【详解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠A=∠DBC，
AD
A． =cosA，不符合题意；
AB
BD
B． =tanA，不符合题意；
AD
BD
C． =cos∠DBC=cosA，不符合题意；
BC
DC
D． =sin∠DBC=sinA，符合题意；
BC
故选： D．
【点睛】本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键．
BC 3
【变式1-1】（2021·浙江杭州·统考一模）在△ABC中，∠C＝90°， = ，则（ ）
AB 5
3 3 4 4
A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝
5 5 3 3
【答案】D
【分析】设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，然后根据三角函数的定义逐项排查即可．
【详解】解：设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，
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AC 4a 4
则cosA＝ ＝ = ，故A错误；
AB 5a 5
BC 4a 4
sinB＝ ＝ = ，故B错误；
AB 5a 5
BC 3a 3
tanA＝ = = ，故C错误；
AC 4a 4
AC 4k 4
tanB＝ = ＝ ，故D正确．
BC 3k 3
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和勾股定理，掌握并灵活运用三角函数的定义成为解答本题的关
键．
3
【变式1-2】（2023·福建泉州·统考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则cosA的值是（ ）
5
3 3 4 5√34
A． B． C． D．
5 4 5 34
【答案】C
BC 3
【分析】根据三角函数的定义得到 = ，设BC=3k，AB=5k，利用勾股定理得到AC=4k，即可求
AB 5
出cosA的值．
3
【详解】解：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，
5
BC 3
∴ = ，
AB 5
设BC=3k，AB=5k，
由勾股定理得：AC=√AB2−BC2=4k，
AC 4k 4
∴cosA= = = ，
AB 5k 5
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
【变式1-3】（2022·河北唐山·统考二模）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠α，叙述正确的
是（ ）
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A．sinα的值越大，梯子越陡
B．cosα的值越大，梯子越陡
C．tanα的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与∠α的函数值无关
【答案】A
【分析】根据锐角三角函数值的变化规律，正弦值和正切值随着角的增大而增大，余弦值随着角增大而减
小，逐一判断即可．
【详解】解：根据锐角三角函数的变化规律，知sinα的值越大，梯子越陡，故A符合题意；
cosα的值越小，梯子越陡，故B不符合题意；
tanα的值越大，梯子越陡，故C不符合题意；
陡缓程度与∠α的函数值有关，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数值的变化规律是解题的关键．
【变式1-4】（2021·浙江杭州·统考三模）在 ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、
c，下列结论正确的是（ ）
△
A．b＝a•sinA B．b＝a•tanA C．c＝a•sinA D．a＝c•cosB
【答案】D
【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作
sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．（3）正切：锐角A的对边a
与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可．
【详解】解：在直角 ABC中，∠C＝90°，则
a
sinA＝ ，则a=c·sin△A，故A选项错误、C选项错误；
c
a a
tanA＝ ，则b＝ ，故B选项错误；
b tanA
a
cosB＝ ，则a＝ccosB，故D选项正确；
c
故选：D．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
【变式1-5】（2019·湖南邵阳·校联考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值
（ ）
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A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
【答案】A
【分析】利用∠A的大小没有变进行判断．
【详解】解：∵∠C＝90°，各边都扩大5倍所得的三角形与原三角形相似，
∴∠A的大小没有变，
∴tanA的值不变．
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt ABC中，∠C＝90°．把锐角A的对边a与斜边c的比叫
做∠A的正弦，记作sinA．
△
【变式1-6】（2021·辽宁抚顺·统考一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分
别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题．
【详解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c
b
∴sinB= ，即b=csinB，则A选项不成立，B选项成立
c
b
tanB= ，即b=atanB，则C、D选项均不成立
a
故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键．
题型02 求角的正弦值
【例2】（2022·江西·模拟预测）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于
点C、D，若CD=12，PA=8，则sin∠ADB的值为（ ）
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4 3 3 4
A． B． C． D．
5 5 4 3
【答案】A
【分析】连接OA，根据切线长的性质得出PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，再证△APD≌△BPD
（SAS），然后证明∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB， 利用勾股定理求出OP=
√OA2+AP2=10，最后利用三角函数定义计算即可．
【详解】解：连接OA
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，
∴∠APD=∠BPD，
在 APD和 BPD中，
¿，
△ △
∴ APD≌ BPD（SAS）
∴∠ADP=∠BDP，
△ △
∵OA=OD=6，
∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，
∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，
在Rt△AOP中，OP=√OA2+AP2=10，
AP 8 4
∴sin∠ADB= = = ．
OP 10 5
故选A．
【点睛】本题考查圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握圆的切线性质，
三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数是解题关键．
【变式2-1】（2020·江苏扬州·统考模拟预测）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C
都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（ ）
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2√13 3√13 2 3
A． B． C． D．
13 13 3 2
【答案】A
【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝∠ADC，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出
∠ABC的正弦值．
【详解】∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是A´C，
∴根据圆周角定理知，∠ABC＝∠ADC，
∴在Rt△ACB中，AB=√AC2+BC2=√22+32=√13
AC 2 2√13
根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝ = = ，
AB √13 13
2√13
∴sin∠ADC= ，
13
故选A．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求
∠ADC的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．
【变式2-2】（2020·山东聊城·统考模拟预测）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是
1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（ ）．
3√5 √17 3 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
【答案】D
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ACD中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数
的定义计算即可．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADC=90°，
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∴AC=√AD2+CD2=5，
AD 4
∴sin∠ACB= = ，
AC 5
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
题型03 求角的余弦值
【例3】（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长
为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是（ ）
√5 √10 2√5 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
【答案】C
【分析】过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，
∵每个小正方形的边长为1，
∴AC=√5,BC=√10,AB=5，
设AD=x，则BD=5−x，
在Rt△ACD中，DC2=AC2−AD2,
在Rt△BCD中，DC2=BC2−BD2
,
∴10−(5−x) 2=5−x2，
解得x=2，
AD 2 2√5
∴cos∠BAC= = = ，
AC √5 5
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故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形．
【变式3-1】（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的直径．若
CD=10，弦AC=6，则cos∠ABC的值为（ ）
4 3 4 3
A． B． C． D．
5 5 3 4
【答案】A
【分析】连接AD，根据直径所对的圆周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的长，然后即可求得∠ADC
的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，从而可以得到cos∠ABC的值．
【详解】解：连接AD，如右图所示，
∵CD是⊙O的直径，CD=10，弦AC=6，
∴∠DAC=90°，
∴AD=√CD2−AC2=8，
AD 8 4
∴cos∠ADC= = = ，
CD 10 5
∵∠ABC=∠ADC，
4
∴cos∠ABC的值为 ，
5
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、圆周角、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是求出
cos∠ADC的值，利用数形结合的思想解答．
【变式3-2】（2023·内蒙古乌兰察布·校考模拟预测）如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形
网格上，则cos∠BAC的值为 ．
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√2
【答案】
2
【分析】根据AC2=12+32=10，BC2=12+32=10，AB2=22+42=20，得到AC2+BC2=AB2，推出
AC √10 √2×5 √2
△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，推出cos∠BAC= = = = ．
AB √20 2√5 2
【详解】如图，∵AC2=12+32=10，BC2=12+32=10，AB2=22+42=20，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
AC √10 √2×5 √2
∴cos∠BAC= = = =
AB √20 2√5 2
√2
故答案为：
2
【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角函数等．解决问题的关键是熟练掌握勾股定
理解直角三角形，勾股定理的逆定理判断直角三角形，锐角三角函数定义．
【变式3-3】（2022·广东中山·统考一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点
不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若BE＝6，试求cos∠CDA的值．
【答案】(1)证明见解析
√10
(2)
10
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而可得∠BDE+∠ADC＝90°，根据等腰
三角形的性质以及对顶角相等可得∠ECB＝∠ADC，然后根据等腰三角形的性质可得∠E＝∠BDE，从而可
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得∠E+∠BCE＝90°，最后利用三角形内角和定理可得∠EBC＝90°，即可解答；
（2）设⊙O的半径为r，则AC＝AD＝3+r，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出r＝5，从而求出BC＝
2，然后在Rt△EBC中，根据勾股定理可求出EC的长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDE+∠ADC＝90°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ACD＝∠ECB，
∴∠ECB＝∠ADC，
∵EB＝DB，
∴∠E＝∠BDE，
∴∠E+∠BCE＝90°，
∴∠EBC＝180°﹣（∠E+∠ECB）＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵OC＝3，
∴AC＝AD＝AO+OC＝3+r，
∵BE＝6，
∴BD＝BE＝6，
在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，
∴36+（r+3）2＝（2r）2，
∴r＝5，r＝﹣3（舍去），
1 2
∴BC＝OB﹣OC＝5﹣3＝2，
在Rt△EBC中，EC＝√EB 2+BC2＝√62+22＝2√10，
BC 2 √10
∴cos∠ECB＝ ＝ ＝ ，
EC 2√10 10
√10
∴cos∠CDA＝cos∠ECB＝ ，
10
√10
∴cos∠CDA的值为 ．
10
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及锐角三角函数
的定义是解题的关键．
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题型04 求角的正切值
【例4】（2023·江苏扬州·统考二模）北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理
念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE
＝ ．
√3
【答案】
3
【分析】由正六边形的性质得AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，再由等边三角形的性质得∠ABC＝60°，则
1
∠ABE＝ ∠ABC＝30°，即可得出结论．
2
【详解】连接BC、AC，
∵点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，
∴AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵BE⊥AC，
1
∴∠ABE＝ ∠ABC＝30°，
2
√3
∴tan∠ABE＝tan30°＝ ，
3
√3
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及特殊角的锐角三角函数，熟练掌握正
六边形的性质、等边三角形的判定与性质是本题的关键．
【变式4-1】（2023·江苏苏州·校考二模）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外
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一点，∠BCD=∠BAC，连接OD交BC于点E．
(1)求证：CD是⊙O的切线．
4
(2)若CE=OA,sin∠BAC= ，求tan∠CEO的值．
5
【答案】(1)见解析；
(2)3
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据OA=OC推出∠BCD=∠ACO，即可得到
∠BCD+∠OCB=90°，由此得到结论；
（2）过点O作OF⊥BC于F，设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x，BE=1.5x，勾股定理求出AC，根据
BF OB
OF∥AC，得到 = =1，证得OF为△ABC的中位线，求出OF及EF，即可求出tan∠CEO的值．
CF OA
【详解】（1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO,
∵∠BCD=∠BAC，
∴∠BCD=∠ACO，
∴∠BCD+∠OCB=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：过点O作OF⊥BC于F，
4
∵CE=OA,sin∠BAC= ，
5
∴设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x，
∴BE=BC-CE=1.5x，
∵∠C=90°，
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∴AC=√AB2−BC2=3x，
∵OA=OB，OF∥AC，
BF OB
∴ = =1，
CF OA
∴CF=BF=2x，EF=CE-CF=0.5x，
∴OF为△ABC的中位线，
1
∴OF= AC=1.5x，
2
OF 1.5x
∴tan∠CEO= = =3．
EF 0.5x
【点睛】此题考查了圆周角定理，证明直线是圆的切线，锐角三角函数，三角形中位线的判定与性质，平
行线分线段成比例，正确引出辅助线是解题的关键．
【变式4-2】（2022·浙江绍兴·一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，
CE=3，连接AF交CG于点K，H是AF的中点，连接CH．
(1)求tan∠GFK的值；
(2)求CH的长．
1
【答案】(1)
2
(2)CH=√5
【分析】（1）由正方形的性质得出AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，AD∥BC,GF∥BE，∠G=90°，
3 3
证出△ADK∼△FGK，得出比例式求出GK= DG= ，即可得出结果；
4 2
（2）由正方形的性质求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出
AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出
1
CH= AF，根据勾股定理求出AF，即可得出结果．
2
【详解】（1）解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
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∴AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，AD∥BC,GF∥BE，∠G=90°，
∴DG=CG-CD=2，AD∥GF，
∴△ADK∼△FGK，
∴DK：GK=AD：GF=1：3，
3 3
∴GK= DG= ，
4 2
3
∴ GK 2 1；
tan∠GFK= = =
FG 3 2
（2）解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，如图所示：
则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF−AB=3−1=2，∠AMF=90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
∵H为AF的中点，
1
∴CH= AF，
2
在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=√AM2+FM2=√42+22=2√5，
1
∴CH= AF=√5．
2
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上
的中线性质；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作出辅助线运用直角三角形斜边上的中线性质
才能得出结果．
题型05 已知正弦值求边长
3
【例5】（2022·云南昆明·官渡六中校考一模）在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sin A= ，则
5
AB的长是（ ）
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500 503
A． B． C．60 D．80
3 5
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．
BC 3
【详解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A= = ，AC=100，
AC 5
∴BC=100×3÷5=60，
∴AB=√AC2−BC2=80，
故选D．
【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键．
【变式5-1】（2023·广东佛山·校联考模拟预测）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部
分示意图，现测得∠A=88°，∠C=42°，AB=60，则点A到BC的距离为（ ）
60
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
sin50°
【答案】A
【分析】先求出∠B=180°−88°−42°=50°，再用三角函数定义，求出AD=AB×sinB=60×sin50°，
即可得出答案．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
∵∠A=88°，∠C=42°，
∴∠B=180°−88°−42°=50°，
在Rt△ABD中，AD=AB×sinB=60×sin50°，
∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，点到直线的距离，解题的关键是熟
练掌握三角函数的定义．
【变式5-2】（2020·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点
4 k
A(10,0)，sin∠COA= ．若反比例函数y= (k>0,x>0)经过点C，则k的值等于（ ）
5 x
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A．10 B．24 C．48 D．50
【答案】C
【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点C(6,8)，将点C坐标代入解析式可求k的值．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，
∵菱形OABC的边OA在x轴上，点A(10,0)，
∴OC=OA=10，
4 CE
∵sin∠COA= = ．
5 OC
∴CE=8，
∴OE=√CO2−CE2=6
∴点C坐标(6,8)
k
∵若反比例函数y= (k>0,x>0)经过点C，
x
∴k=6×8=48
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关
键是求出点C坐标．
题型06 已知余弦值求边长
√3
【例6】（2022·广西南宁·南宁二中校考三模）如图，在△ABC中，∠C=90°,cosA= ,AC=4√3，
2
则AB长为（ ）
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A．4 B．8 C．8√3 D．12
【答案】B
【分析】根据余弦的定义即可求解．
√3
【详解】解：∵ ∠C=90°,cosA= ,AC=4√3，
2
AC 4√3
∴AB= = =8
cosA √3 ，
2
故选B．
【点睛】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键．
【变式6-1】（2016·内蒙古鄂尔多斯·统考二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动
4
点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cosα＝ ，则线段CE的最大值为 ．
5
【答案】6.4
【分析】作AG⊥BC于G，如图，根据等腰三角形的性质得BG＝CG，再利用余弦的定义计算出BG＝8，
1 8
则BC＝2BG＝16，设BD＝x，则CD＝16﹣x，证明△ABD∽△DCE，利用相似比可表示出CE＝﹣ x2+
10 5
x，然后利用二次函数的性质求CE的最大值.
【详解】解：作AG⊥BC于G，如图，
∵AB＝AC，
∴BG＝CG，
∵∠ADE＝∠B＝α，
BG 4
∴cosB＝cosα＝ ＝ ，
AB 5
4
∴BG＝ ×10＝8，
5
∴BC＝2BG＝16，
设BD＝x，则CD＝16﹣x，
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∵∠ADC＝∠B+∠BAD，即α+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴∠CDE＝∠BAD，
而∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE，
AB BD 10 x
∴ = ，即 = ，
CD CE 16−x CE
1 8
∴CE＝﹣ x2+ x
10 5
1
＝﹣ （x﹣8）2+6.4，
10
当x＝8时，CE最大，最大值为6.4.
故答案为：6.4.
【点睛】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定及性质，利用二次
函数的性质求最值问题，正确掌握各知识并综合运用解题是关键.
【变式6-2】（2020·广东广州·统考一模）如图所示，ABCD为平行四边形，AD=13，AB=25，
5
∠DAB=α，且cosα= ，点E为直线CD上一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，连接
13
CF．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）当点C，B，F三点共线时，设EF与AB相交于点G，求线段BG的长；
（3）求线段CF的长度的最小值．
117 66√13
【答案】（1）300；（2） ；（3）
22 13
【分析】（1）如图所示，过点A作AK⊥CD交CD的延长线于点K，先根据现有条件求出AK，然后即可
求出平行四边形ABCD的面积；
（2）如图所示，延长CD到P使得AP=AD，先证明ΔPEA≅ΔCFE得出CE=AP=13，PE=CF，
BF BG
DE=12，再证明ΔGBF~ΔECF，得出 = 即可求出BG；
CF CE
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（3）如图所示，作点A关于直线CD的对称点A'，连接EA'、A A'、A'F，以E为圆心，EA为半径作圆，
α
根据已知推出点F在与直线A A'夹角为 且经过点A'的直线上运动，设直线A'F与CD交于点Q，直线
2
A A'与直线CD交于点M，直线A'F与直线CB交于点R，过点C作CH⊥A'Q于H，当点F与H重合时，
CF取得最小值，易得RtΔA'MQ~RtΔCHQ，然后证明ΔQCR为等腰三角形，求出CR=22，MD=5
A'Q A'M
CQ=22，CM=30，MQ=8，A'Q=4√13，根据RtΔA'MQ~RtΔCHQ得出 = 即可求出答案．
CQ CH
【详解】（1）如图所示，过点A作AK⊥CD交CD的延长线于点K，
∵AB//CD，
∴∠ADK=∠DAB，
5
∵cos∠DAB= ，AD=13，
13
∴DK=AD⋅cos∠ADK=5，
∴AK=√AD2−DK2=12，
∴平行四边形ABCD的面积为AB×AK=25×12=300；
（2）如图所示，延长CD到P使得AP=AD，
∴∠ADP=∠P，
∵∠DAB=α，DC//AB，
∴∠ADP=∠DAB=α，
∴∠P=α，
又∠AEF=∠C=α，EA=EF，
由∠PEA+∠CEF=180°−α，
∠EFC+∠CEF=180°−α，
∴∠PEA=∠EFC，
∴ΔPEA≅ΔCFE，
∴CE=AP=13，PE=CF，
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∴DE=CD−CE=25−13=12，
由（1）得AK=12，
∴在RtΔAKD中，KD=5，
∴PD=10，
∴PE=PD+DE=10+12=22=CF，
∴BF=CF−CB=22−13=9，
∵BG//CE，
∴ΔGBF~ΔECF，
BF BG
∴ = ，
CF CE
9 BG
∴ = ，
22 13
117
∴BG= ；
22
（3）如图所示，作点A关于直线CD的对称点A'，连接EA'、A A'、A'F，以E为圆心，EA为半径作圆，
∵EA=EA'=EF，
∴点A'、F在⊙E上，
∵∠AEF=α，
α
∴∠A A'F= ，
2
α
∴点F在与直线A A'夹角为 且经过点A'的直线上运动，
2
设直线A'F与CD交于点Q，直线A A'与直线CD交于点M，直线A'F与直线CB交于点R，过点C作
CH⊥A'Q于H，
当点F与H重合时，CF取得最小值，
易得RtΔA'MQ~RtΔCHQ，
α
∴∠QCH=∠M A'Q= ，
2
又∠DCB=α，
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α
∴∠BCH= =∠QCH，
2
∴ΔQCR为等腰三角形，
∴CQ=CR，
由（2）得CR=22，MD=5，
∴CQ=22，
又CM=CD+DM=25+5=30，
∴MQ=CM−CQ=30−22=8，
∴在RtΔA'MQ中，A'Q=√A'M2+MQ2=√122+82=4√13，
由RtΔA'MQ~RtΔCHQ，
A'Q A'M
∴ = ，
CQ CH
4√13 12
∴ = ，
22 CH
66√13
∴CH= ，
13
66√13
即CF的长度的最小值是 ．
13
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似
三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，正确作出辅助线，熟练运用几何图形的性质是解
题的关键．
题型07 已知正切值求边长
1
【例7】（2021·江苏无锡·统考一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝ ，AD＝2，BD＝4，
2
连接CD，则CD长的最大值是（ ）
3 3
A．2√5+ B．2√5+1 C．2√5+ D．2√5＋2
4 2
【答案】B
【分析】过点A作∠DAP=∠BAC，过点D作AD⊥DP交AP于点P，分别求出PD，PC，在△PDC中，利
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用三角形的三边关系即可求出CD长的最大值．
【详解】解：如图，过点A作∠DAP=∠BAC，过点D作AD⊥DP交AP于点P，
1
∵∠ABC=90°，tan∠BAC= ，
2
1
∴tan∠DAP=tan∠BAC= ，
2
DP 1
∴ = ，
AD 2
∵AD=2，
∴DP=1，
∵∠DAP=∠BAC，∠ADP=∠ABC，
∴△ADP∽△ABC，
AP AD
∴ = ，
AC AB
∵∠DAB=∠DAP+∠PAB，∠PAC=∠PAB+∠BAC，∠DAP=∠BAC，
AP AD
∴∠DAB=∠PAC， = ，
AC AB
∴△ADB∽△APC，
AD DB
∴ = ，
AP PC
∵AP=√AD2+DP2=√22+12=√5，
AP⋅DB √5×4
∴PC= = =2√5，
AD 2
∴PD+PC=1+2√5，PC−PD=2√5−1，
在△PDC中，∵PD+PC>DC，PC−PDtan45°=1，即可比较它们的大小关系．
【详解】∵sin81°<1，tan47°>tan45°=1
∴sin81∘60°，
∴60°<∠A<90°.
故选：D.
√3
【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握tan30°= ,tan45°=1,tan60°=√3是解题的关
3
键.
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1
【变式13-1】（2022·浙江金华·校联考一模）若∠A是锐角，且sinA＝ ，则（ ）
3
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
【答案】A
【分析】根据正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），及30°、45°、60°的正弦值可求出.
1 1
【详解】解：∵∠A是锐角，且sinA＝ ＜ ＝sin30°，
3 2
∴0°＜∠A＜30°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角的正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减
小），正确理解锐角正弦值的增减性是解题的关键．
【变式13-2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）若cos∠1=0.8，则∠1的度数在（ ）范围内．
A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°
【答案】B
√2 √3
【分析】cos45∘= ≈0.7，cos30∘= ≈0.87，由此判断得到正确答案．
2 2
√2 √3
【详解】解：∵cos45∘= ≈0.7，cos30∘= ≈0.87，cos∠1=0.8
2 2
∴cos45∘0，
√2
∵cosα< ，
2
√2
∴00，
∵tanα<√3，
∴0500，
∴经过点B到达点D较近．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
【变式4-2】（2023·湖南岳阳·校联考一模）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在
河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A
在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：sin37°≈0.60，
cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．
【答案】96米
【分析】根据题意可得ΔACD是直角三角形，解Rt ΔACD可求出AC的长，再证明ΔBCD是直角三角形，
求出BC的长，根据AB=AC-BC可得结论．
【详解】解：∵A，B均在C的北偏东37°方向上，A在D的正北方向，且点D在点C的正东方，
∴ΔACD是直角三角形，
∴∠BCD=90°−37°=53°，
∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°，
CD
在Rt ACD中， =sin∠A，CD=90米，
AC
△ CD 90
∴AC= ≈ =150米，
sin∠A 0.60
∵∠CDA=90°,∠BDA=53°，
∴∠BDC=90°−53°=37°,
∴∠BCD+∠BDC=37°+53°=90°，
∴∠CBD=90°, 即ΔBCD是直角三角形，
BC
∴ =sin∠BDC，
CD
∴BC=CD·sin∠BDC≈90×0.60=54米，
∴AB=AC−BC=150−54=96米，
答：A，B两点间的距离为96米．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形-方向角问题的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般
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可以转化为解直角三角形的问题．
【变式4-3】（2022·重庆·重庆一中校考一模）3月份，长江重庆段开始进入枯水期，有些航道狭窄的水域
通航压力开始慢慢增加．为及时掌握辖区通航环境实时情况，严防船舶搁浅、触礁等险情事故发生，沿江
海事执法人员持续开展巡航检查，确保近七百公里的长江干线通航安全．如图，巡航船在一段自西向东的
航道上的A处发现，航标B在A处的北偏东45°方向200米处，以航标B为圆心，150米长为半径的圆形区
域内有浅滩，会使过往船舶有危险．
(1)由于水位下降，巡航船还发现在A处北偏西15°方向300米的C处，露出一片礁石，求B、C两地的距离；
（精确到1米）
(2)为保证航道畅通，航道维护项目部会组织挖泥船对该条航道被浅滩影响的航段进行保航施工．请判断该
条航道是否被这片浅滩区域影响？如果有被影响，请求出被影响的航道长度为多少米？如果没有被影响，
请说明理由．（参考数据：√2≈1.414，√7≈2.646）
【答案】(1)265米
(2)会影响，长度为100米，理由见解析
【分析】（1）过点B作BD⊥AD,BE⊥AC，垂足分别为D,E，根据方位角求得∠BAC=60°，解
Rt△ABE,Rt△BCE，即可求解；
（2）根据题意，设BF=150，勾股定理求得FD，即可求解．
【详解】（1）如图，过点B作BD⊥AD,BE⊥AC，垂足分别为D,E，
根据题意可得∠BPA=45°,∠PAC=15°，
∴∠BAE=60°，
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Rt△ABE中，AB=200米，
√3 1
∴BE=AB⋅sin60°=200× =100√3米，AE=AB⋅cos60°=200× =100米，
2 2
∵AC=300米，
∴EC=AC−AE=200米，
Rt△BCE中，BC=√EB2+EC2=√2002+(100√3) 2=10√7≈265米；
（2）会影响，长度为100米，理由如下，
∵AB=200米，
√2
Rt△ABD中，BD=AB⋅sin∠ABC=200× ≈141米，
2
∵141<150，
∴该条航道被这片浅滩区域影响，
根据题意，150米长为半径的圆形区域内有浅滩，
设BF=150米，
Rt△BFD中，FD=√BF2−BD2=√1502−(100√2) 2=50米，
根据对称性，可得被影响的航道长度为100米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解直角三角形的应用，理解题意构造直角三角形是解题的关键．
【变式4-4】（2023·重庆江北·校考一模）如图所示，在一次海上救援演习中，游艇A按计划停泊在搜救艇
B的南偏东30°方向上，同时，在搜救艇B的正南方向，与搜救艇B相距40海里处还设置了另一支搜救艇
C，此时游艇A在搜救艇C的东北方向上，随着演习正式开始，游艇A按计划向搜救艇B与C同时发出求
救信号，并在原地等待救援．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）
(1)在演习正式开始前，搜救艇B与游艇A相距多少海里？（结果保留根号）
(2)若搜救艇B与C同时收到游艇A的求救信号，它们同时出发实施救援行动，搜救艇B沿BA行驶，搜救
艇C西东沿CA行驶，其中搜救艇B的速度为每小时25海里，搜救艇C的速度为每小时16海里，请通过
计算判断哪支搜救艇先到达游艇A的所在地？
【答案】(1)(40√3−40)海里；
(2)搜救艇B先到达游艇A的所在地．
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【分析】（1）利用两个特殊角作出垂直，得到边长关系，设元计算即可；
（2）利用（1）中求得的线段长度和给出的速度，分别求出搜救艇B、C的到达时间，比较大小，时间小
的先到达．
【详解】（1）过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADC=∠ADB=90°，
∵在Rt△ADC中，∠ACD=45°，
∴AD=DC，AC=√CD2+AD2=√2AD
∵在Rt△ADB中，∠ABD=30°，
∴AB=2AD，BD=√AB2−AD2=√3AD，
设AD=x，则CD=x，AC=√2x，BD=√3x，AB=2x，
∵BC=40，由题意得(1+√3)x=40，解得x=20√3−20，
∴AB=40√3−40，
答：在演习正式开始前，搜救艇B与游艇A相距(40√3−40)海里；
（2）由（1）得AB=40√3−40，AC=20√6−20√2，
AB 40(√3−1) 8
搜救艇B沿BA行驶，所用时间为t = = = (√3−1)≈1.168小时；
1 25 25 5
AC 20(√6−√2) 5
搜救艇C沿CA行驶，所用时间t = = = (√6−√2)≈1.3小时；
2 16 16 4
∴t 5.9，
∴原计划所用时间较少．
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【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，方位角问题，构造直角三角形是解题的关键．
题型03 坡度坡比问题
【例5】（2022·江苏南通·校考一模）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB,
BC长为6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD的长为 米 （结果保留根号）
【答案】6√2
【分析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，分别在Rt△CEB与Rt△DFA中使用三角函数即可求解.
【详解】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA，
∵BC=6，
√2
∴CE=BCsin45°=6× =3√2，
2
∴DF=CE=3√2，
DF
∴AD= =6√2，
sin30°
故答案为：6√2．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和
矩形，注意理解坡度与坡角的定义．
【变式5-1】（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）拦水坝的横断面如图所示，迎水坡AB
的坡比是1:√3，坝高BC=8m，则坡面AB的长度是 m.
【答案】16
【分析】利用坡比的定义得出AC的长，进而利用勾股定理求出AB的长．
【详解】解：∵迎水坡AB的坡比是1:√3，坝高BC=8m，
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BC 8 1
∴ = = ，
AC AC √3
解得：AC=8√3，
则AB=√BC2+AC2=16（m）．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出AC的长是解题的关键．
【变式5-2】（2023·上海静安·统考一模）一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC、AD，
且迎水坡AB的坡度为1∶2.5，背水坡CD的坡度为1∶3，则迎水坡AB的坡角 背水坡CD的坡角．
（填“大于”或“小于”）
【答案】大于
1 1
【分析】先根据迎水坡AB的坡度为1∶2.5，背水坡CD的坡度为1∶3，得出tan A= ，tanD= ，根
2.5 3
1 1
据 > ，即可得出∠A>∠D．
2.5 3
【详解】解：∵迎水坡AB的坡度为1∶2.5，背水坡CD的坡度为1∶3，
1 1
∴tanA= ，tanD= ，
2.5 3
1 1
∵ > ，
2.5 3
∴∠A>∠D，
即迎水坡AB的坡角大于背水坡CD的坡角．
故答案为：大于．
【点睛】本题主要考查了三角函数的应用，解题的关键是熟练掌握三角形函数正切值与角度的关系．
【变式5-3】（2020·河南周口·统考一模）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，
为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡
AB=200米，坡度为1:√3；将斜坡AB的高度AE降低AC=20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为
1:4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）
【答案】斜坡CD的长是80√17米．
【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得AE的长，进而得到CE的长，再根据锐角三角函数可以得到
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ED的长，最后用勾股定理即可求得CD的长．
【详解】∵∠AEB=90°，AB=200，坡度为1:√3，
1 √3
∴tan∠ABE= = ，
√3 3
∴∠ABE=30°，
1
∴AE= AB=100，
2
∵AC=20，
∴CE=80，
∵∠CED=90°，斜坡CD的坡度为1:4，
CE 1
∴ = ，
DE 4
80 1
即 = ，
ED 4
解得，ED=320，
∴CD=√802+3202=80√17米，
答：斜坡CD的长是80√17米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数
和数形结合的思想解答．
题型04 坡度坡比与仰角俯角问题综合
【例6】（2022·山东济南·校考一模）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，
斜坡CD的坡度（或坡比）为i=1:2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE=50米（点A，B，C，D，E在同一
平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：
sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）
A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
【答案】D
【分析】作DF⊥AB于F点，得到四边形DEBF为矩形，首先根据坡度的定义以及DE的长度，求出CE，
BE的长度，从而得到DF=BE，再在Rt ADF中利用三角函数求解即可得出结论．
【详解】如图所示，作DF⊥AB于F点，则四边形DEBF为矩形，
△
∴DE=BF=50,
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∵斜坡CD的坡度（或坡比）为i=1:2.4，
1 DE 5
∴在Rt CED中，tan∠C= = = ，
2.4 CE 12
∵DE=△50，
∴CE=120，
∴BE=BC−CE=150−120=30，
∴DF=30，
在Rt ADF中，∠ADF=50°，
AF
∴tan△∠ADF=tan50°= =1.19，
DF
将DF=30代入解得：AF=35.7，
∴AB=AF+BF=35.7+50=85.7米，
故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义，准确构造直角三角形，熟练运用锐角三角
函数是解题关键．
【变式6-1】（2023·内蒙古包头·模拟预测）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量
4
居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD=15m，斜坡的倾斜角为α，cosα= ．小文在C点
5
处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．
(1)求C，D两点的高度差；
(2)求居民楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：√3≈1.7）
【答案】(1)9m
(2)24m
【分析】（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，在Rt△DCE中，可得
4
CE=CD⋅cosα=15× =12(m)，再利用勾股定理可求出DE，即可得出答案．
5
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AF x √3
（2）过点D作DF⊥AB于F，设AF=xm，在Rt△ADF中，tan30°= = = ，解得DF=√3x，
DF DF 3
AB x+9
在Rt△ABC中，AB=(x+9)m，BC=(√3x−12)m，tan60°= = =√3，求出x的值，即可
BC √3x−12
得出答案．
【详解】（1）解：过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，
4
∵在Rt△DCE中，cosα= ，CD=15m，
5
4
∴CE=CD⋅cosα=15× =12(m)．
5
∴DE=√CD2−CE2=√152−122=9(m)．
答：C，D两点的高度差为9m．
（2）过点D作DF⊥AB于F，
由题意可得BF=DE，DF=BE，
设AF=xm，
AF x √3
在Rt△ADF中，tan∠ADF=tan30°= = = ，
DF DF 3
解得DF=√3x，
在Rt△ABC中，AB=AF+FB=AF+DE=(x+9)m，BC=BE−CE=DF−CE=(√3x−12)m，
AB x+9
tan60°= = =√3，
BC √3x−12
9
解得x=6√3+ ，
2
9
∴AB=6√3+ +9≈24(m)．
2
答：居民楼的高度AB约为24m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是
解答本题的关键．
【变式6-2】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）如图，在小晴家所住的高楼AD的正西方有一座小
山坡，坡面BC与水平面的夹角为30°，在B点处测得楼顶D的仰角为45°，在山顶C处测得楼顶D的仰
角为15°，B和C的水平距离为300米．（A，B，C，D在同一平面内，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73
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）
(1)求坡面BC的长度？（结果保留根号）
(2)一天傍晚，小晴从A出发去山顶C散步，已知小晴从A到B的速度为每分钟50米，从B沿着BC上山的
速度为每分钟25米，若她6:00出发，请通过计算说明她在6:20前能否到达山顶C处？（结果精确到
0.1）
【答案】(1)BC=200√3米
(2)不能；计算过程见解析
【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E，根据∠CBE=30°，利用三角函数求出BC=200√3米即可；
（2）过点B作BF⊥CD于点F，根据平行线的性质得出∠BCG=∠CBE=30°，求出
BC 200√3
∠BCF=15°+30°=45°，得出CF=BF= = =100√6（米），求出
√2 √2
BF 100√6
BD= = =200√6
∠DBF=180°−30°−45°−45°=60°，解直角三角形得出 cos60° 1 （米），求
2
√2 200√3 200√3
出AB=BD×cos45°=200√6× =200√3（米），求出到达山顶的时间为 + ≈20.8
2 50 25
（分），根据20.8>20，得出结果即可．
【详解】（1）解：过点C作CE⊥AB于点E，如图所示：
∵B和C的水平距离为300米，
∴BE=300米，
∵∠CBE=30°，
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BE 300
BC= = =200√3
∴ cos30° √3 （米）；
2
（2）解：如图，过点B作BF⊥CD于点F，
∵CG∥AB，
∴∠BCG=∠CBE=30°，
∵∠GCF=15°，
∴∠BCF=15°+30°=45°，
∵∠BFC=90°，
∴△BCF为等腰直角三角形，
BC 200√3
∴CF=BF= = =100√6（米），∠CBF=∠BCF=45°，
√2 √2
∴∠DBF=180°−30°−45°−45°=60°，
∵∠BFD=90°，
BF 100√6
BD= = =200√6
∴ cos60° 1 （米），
2
∵∠ABD=45°，∠BAD=90°，
√2
∴AB=BD×cos45°=200√6× =200√3（米），
2
∴小晴从A出发去山顶C所用时间为：
200√3 200√3
+ ≈20.8（分），
50 25
∵20.8>20，
∴她在6:20前不能到达山顶C处．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，数形结合．
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