文档内容
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模块五 函数压轴
第 13 讲 二次函数专项突破二
（思维导图+11种题型（含31种考向）+命题预测）
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03核心精讲·题型突破
►题型01 二次函数与图形变换
考向一 平移
考向二 翻折
►题型02 二次函数与相似三角形
考向一 已知相似三角形求值
考向二 已知相似三角形求坐标
考向三 相似三角形存在性问题
►题型03 二次函数等腰三角形
考向一 已知等腰三角形求值
考向二 已知等腰三角形求坐标
考向三 等腰三角形存在性问题
►题型04 二次函数与直角三角形
考向一 已知直角三角形求值
考向二 已知直角三角形求坐标
考向三 直角三角形存在性问题
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►题型05 二次函数与等腰直角三角形
考向一 已知等腰直角三角形求值
考向二 已知等腰直角三角形求坐标
考向三 等腰直角三角形存在性问题
►题型06 二次函数与平行四边形
考向一 已知平行四边形求值/坐标
考向二 平行四边形存在性问题（两定两动，一边明确）
考向三 平行四边形存在性问题（两定两动，边未明确）
►题型07 二次函数与矩形，菱形，正方形存在性问题
►题型08 二次函数与最值问题
考向一 线段最值
考向二 周长最值
考向三 线段比/面积比最值
考向四 将军饮马/将军遛马问题
考向五 胡不归/阿氏圆最值问题
►题型09 二次函数与定值问题
考向一 两定一动
考向二 一定两动
考向三 化斜为直
►题型10 二次函数与定点问题
考向一 单切线类
考向二 双切线
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考向三 抛物线内接三角形类
►题型11 二次函数与参数
考向一 参数表示量
考向二 定值求参
考向三 参数间存在的数量关系
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01考情透视·目标导航
中考考点 命题预测
二次函数作为初中数学的重要内容，常常在考试中占据重要位置，尤其是在压轴题
中。以下是对二次函数专项突破的考情分析，旨在帮助学生更好地掌握这一知识点。
【考试重点与难点】
1. 对称点问题：考查学生对二次函数对称轴的理解，常涉及利用顶点公式（-b/2a）求
对称轴，并结合图像分析对称点的位置。
2. 图像与线段交点问题：将直线方程与二次函数方程联立，解出交点坐标，同时注意
判别式Δ的正负。这类题目综合性强，对学生的计算能力和逻辑推理能力要求较高。
3. 分类讨论问题：根据开口方向、顶点位置等条件进行分类讨论，要求学生具备严谨
的逻辑思维和全面的分析能力。
4. 求交点横坐标取值范围：结合Δ≥0的条件，列出不等式并求解，这类题目侧重考查
学生对二次函数图像与性质的综合运用能力。
【常见题型】
1. 利用二次函数的对称性求最短路径：这类题型要求学生熟练掌握二次函数的对称性
及弧长公式，通过构造几何图形求解最短路径。
2.面积最值问题：涉及二次函数图像与坐标轴围成的面积最大值或最小值问题，需要学
二次函数专项突 生灵活运用二次函数的性质和几何知识。
破 3. 最大利润问题：将二次函数应用于实际问题，如求解商品销售的最大利润，考查学
生的数学建模能力和解决实际问题的能力。
4. 线段最值问题：通过二次函数图像求解线段长度的最大值或最小值，要求学生具备
较强的几何直观和逻辑推理能力。
【备考建议】
1. 专项突破：针对每个考点进行专项训练，每天练习3-5道典型题目，逐步攻克薄弱
环节。通过大量练习，加深对知识点的理解和记忆。
2. 错题整理：将做错的题目归纳到错题本中，标注易错点和解题思路。定期回顾错
题，避免重复犯错，提高解题的准确性和效率。
3. 真题演练：通过历年中考真题熟悉考点分布和命题规律，增强应试能力。真题演练
有助于学生了解考试的难度和题型，调整备考策略。
4. 理解实际应用：二次函数在实际问题中有广泛应用，如抛物线运动轨迹、最优解问
题等。理解这些应用场景，不仅能加深对知识点的理解，还能提升解题兴趣和实际应用
能力。
总之，掌握二次函数的核心知识和解题方法，并通过针对性的练习和真题演练，学
生可以轻松应对二次函数专项突破，提升考试成绩。
02知识导图·思维引航
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03 核心精讲 · 题型突破
►题型01 二次函数与图形变换
考向一 平移
3
1．（2023·上海·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y= x+6与x轴交于点A，y轴交于点
4
B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y=ax2+bx+c经过点B．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求b，c的值；
(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛
物线过点B，求抛物线N的函数解析式．
2．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，已知A(0,2),B(2,0)．点E位于第二象限且在直线y=−2x上，
∠EOD=90°，OD=OE，连接AB，DE，AE，DB．
(1)直接判断△AOB的形状：△AOB是_________三角形；
(2)求证：△AOE≌△BOD；
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(3)直线EA交x轴于点C(t,0),t>2．将经过B，C两点的抛物线y =ax2+bx−4向左平移2个单位，得到
1
抛物线y ．
2
①若直线EA与抛物线y 有唯一交点，求t的值；
1
②若抛物线y 的顶点P在直线EA上，求t的值；
2
2
③将抛物线y 再向下平移， 个单位，得到抛物线y ．若点D在抛物线y 上，求点D的坐标．
2 (t−1) 2 3 3
考向二 翻折
3．（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(−4,0)，B(2,0)，
与y轴交于点C(0,−4)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．
当平面内的直线y=kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；
(3)如图2，如果把直线AB沿y轴向上平移至经过点D，与抛物线的交点分别是E，F，直线BC交EF于点
DF
H，过点F作FG⊥CH于点G，若 =2√5．求点F的坐标．
HG
4．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L :y=x2−2x−3的顶点为P．
1
直线l过点M(0,m)(m≥−3)，且平行于x轴，与抛物线L 交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L
1 1
沿直线l翻折得到抛物线L ，抛物线L 交y轴于点C，顶点为D．
2 2
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(1)当m=1时，求点D的坐标；
(2)连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L 所对应的函数表达式；
2
(3)在（2）的条件下，若△BCD的面积为3,E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF=CD，以EF为
一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．
►题型02 二次函数与相似三角形
考向一 已知相似三角形求值
1．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线C :y=x2−2x−8交x轴于A,B两点（A在B的左边），交y轴于
1
点C．
(1)直接写出A,B,C三点的坐标；
(2)如图（1），作直线x=t(00)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点
M，交x轴于点N．
(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式；
(2)如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；
(3)当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点
的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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考向二 已知等腰三角形求坐标
2．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+c经过点P(4,−3)，
与y轴交于点A(0,1)，直线y=kx(k≠0)与抛物线交于B，C两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；
(3)过点M(0,m)作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得
OD⊥OE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
考向三 等腰三角形存在性问题
3.（2024·云南怒江·一模）已知抛物线y=−x2+4x+5与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴
交于点C．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)点D是直线BC上方抛物线上的点，连接BD、CD，求S 的最大值；
△BCD
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△BCP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，
请说明理由．
4．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C(1,0)，交y轴于
点B(0,3)．
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(1)求此二次函数的解析式；
(2)设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；
(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满
足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．
►题型04 二次函数与直角三角形
考向一 已知直角三角形求值
1．（2023·湖南益阳·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=a(x+2)(a>0)与x轴交于点A，与
抛物线E:y=ax2交于B，C两点（B在C的左边）．
(1)求A点的坐标；
(2)如图1，若B点关于x轴的对称点为B'点，当以点A，B'，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a
的值；
(3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如(−2,1)，(2,0)等均为格点．如图
2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值
范围．
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2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知抛物线L:y=ax2−2ax−8a(a≠0)与x轴交于点A，点B，且点A在
点B的左侧，与y轴交于点C．
(1)求出点A与点B的坐标．
(2)当△ABC是以AB为斜边的直角三角形时，求抛物线L的表达式．
考向二 已知直角三角形求坐标
11
3．（2022·山东济南·中考真题）抛物线y=ax2+ x−6与x轴交于A(t,0)，B(8,0)两点，与y轴交于点
4
C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式和t，k的值；
(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
1
(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+ PQ的最大值．
2
4．（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴分别交于点
A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C(0,−3)，P，Q为抛物线上的两点．
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(1)求二次函数的表达式；
(2)当P，C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标；
(3)设P的横坐标为m，Q的横坐标为m+1，试探究：△OPQ的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最
小值，若不存在，请说明理由．
考向三 直角三角形存在性问题
5．（2023·山东烟台·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点
C,AB=4．抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=kx−1交于点D，与x轴交于点E．
(1)求直线AD及抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；
若不存在，请说明理由；
1
(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+ PA的最小值．
2
1
6．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，抛物线y=− x2+bx+c经过点B(4,0)和点C(0,2)，与x轴
2
的另一个交点为A，连接AC、BC．
(1)求抛物线的解析式及点A的坐标；
(2)如图1，若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存在点E，使得△BDE是以BD为斜边的直
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角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴，分别交BC、x轴于点M、N，当
△PMC中有某个角的度数等于∠OBC度数的2倍时，请求出满足条件的点P的横坐标．
►题型05 二次函数与等腰直角三角形
考向一 已知等腰直角三角形求值
1．（2020·江苏连云港·一模）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），
点A的坐标为(−1,0)，与y轴交于点C(0,3)，作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛
物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
(2)当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；
(3)当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；
(4)当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．
2．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于A(−2,0)，B(−8,0)两点，与y轴
交于点C(0,−8)．经过点A的直线与抛物线交于另一点D，与y轴交于点E(0,1)．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)连接AC、DC，求△ACD的面积；
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(3)如图1，点P是线段AD上一动点，过点P作PF∥y轴，交该抛物线于点F，作FG∥x轴，交该抛物线
于另一点G
①若△PFG是等腰直角三角形，求PF的长；
②如图2，点P的横坐标为−6，点M是直线AD上方抛物线上的一个动点，点N是y轴负半轴上一动点．
请问是否存在点M，使得以P、N、E为顶点的三角形与△PME全等，且以同一条线段PE为对应边？若存
在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
考向二 已知等腰直角三角形求坐标
3．（2022·山东东营·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx−3(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)，点B(3,0)，
与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角
三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
考向三 等腰直角三角形存在性问题
4．（2022·山东枣庄·中考真题）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，
0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．
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(1)求抛物线的关系式；
(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当 OPE面积最大时，求出P点坐标；
(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线△的顶点落在 OAE内（包括 OAE的边界），
求h的取值范围； △ △
(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使 POF成为以点P为直角顶点
的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存△在，请说明理由．
5．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(−1,0)、点B(5,0)，交y轴于点C．
(1)求b，c的值．
(2)点P(x ,y )(00)与x轴交于点A、B(点A在点B的左
边)，与y轴交于点C，顶点为D．
(1)求△ABD的面积；
(2)若tan∠ABC=1时，求m的值；
(3)如图，当m=4时，过顶点D作直线DE⊥AB交x轴于点E，点G与点E关于点D对称，点M、N分别
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在线段AG、BG上，若线段MN与抛物线有且只有一个交点（MN与x轴不平行），求GM+GN的值．
4．（2022·福建泉州·模拟预测）已知抛物线y=ax2−2ax−3与x轴的两个交点为A，B（点B在点A的右
侧），且AB=4，与y轴交点为C．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
(2)若点M是抛物线位于直线BC下方的图象上一个动点，求点M到直线BC的距离的最大值；
(3)设直线y=kx（k>0）与抛物线交于P，Q两点（点Ｑ在点P的右侧），与直线y=−2x+3交于点R．
1 1 1
试证明：无论k取任何正数， + = 恒成立．
OQ OR OP
►题型10 二次函数与定点问题
考向一 单切线类
1
1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线y= (x−1) 2−m(m>0)与x轴交于A、B两点，与
m
y轴交于C点，且AB=8．
(1)请直接写出抛物线的解析式为__；
(2)如图1，已知点M在线段BC上，过点M作直线y=x+b与抛物线交于D、E两点，且DM=EM，求b的
值；
(3)如图2，动点P在第二象限内的抛物线上，作PH⊥x轴于点H，过点P作直线PN交y轴于点N，且直
线PN与抛物线有唯一公共点P，过点P的另一直线PQ交抛物线于Q，若PN平分∠HPQ，求证：直线
PQ必过一定点，并求这个定点的坐标．
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考向二 双切线
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线y=−x2+2mx−m2+2m(m>0)交x轴于A，B两点（A在B的左
边），C是抛物线的顶点．
(1)当m=2时，直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)如图1，点T(3,t)，N均为（1）中抛物线上的点，∠COB=∠BTN，求点N的坐标；
(3)如图2，将抛物线平移使其顶点为(0,1)，点P为直线y=x+3上的一点，过点P的直线PE，PF与抛物
线只有一个公共点，问直线EF是否过定点，请说明理由．
考向三 抛物线内接三角形类
3．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图1，抛物线y=ax2+ax−2a(a<0)与x轴交于A，B两点（点A
3
在点B左边），与y轴交于点C，点P(2,h)在抛物线上，且△ABC的面积为 ．
2
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在第三象限内的抛物线上，当△ADP的面积为21时，求点D的坐标；
(3)如图2，直线EF:y=mx+n(m>0)交抛物线于E，F两点，直线PF，PE分别与y轴的正、负半轴交于
M，N两点，且OM⋅ON=4．求证：直线EF必过定点，并求出这个定点的坐标．
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►题型11 二次函数与参数
考向一 参数表示量
1．（2022·湖北武汉·中考真题）抛物线y=x2−2x−3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限
抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．
(1)直接写出A，B两点的坐标；
(2)如图（1），当OP=OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出
所有满足条件的点D的横坐标；
FP
(3)如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．求 的值（用
OP
含m的式子表示）．
考向二 定值求参
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，且
对称轴为直线x=−1,OC=3OB=3．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，在第二象限的抛物线上作点D，连接OD交直线AC于点E，若△AOE与△ABC相似，求点D
的横坐标；
( 1 3)
(3)如图2，经过点P − , 的直线l:y=kx+t交抛物线于M,N两点（M在第三象限，N在第一象限），
2 2
5 PQ PQ
直线TQ:y=k x− 交线段MP于点Q（不与M,P重合），若 − 的值与k无关，求k 的值．
1 4 PN PM 1
考向三 参数间存在的数量关系
3．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，若抛物线P:y=ax2+bx+c(a≠0)与x
轴交于点A，点B，与y轴交于点C，则称△ABC为抛物线P的“交轴三角形”．
(1)若抛物线y=kx2+3x+1存在“交轴三角形”．
①k的取值范围为________；
②若k=2，则该三角形是________三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
(2)若抛物线y=ax2+c(a≠0)的“交轴三角形”是一个等边三角形，求a，c之间的数量关系．
1
4．（2024·湖北·模拟预测）如图，抛物线y= x2+bx+c经过(0,0)和(−4,0)两点，直线AB:y=kx+d交
2
抛物线于A，B两点．
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(1)求抛物线解析式；
(2)如图（1），若k<0,d=−4,△AOB的面积是√41，求k的值；
(3)如图（2），若∠AOB是直角，请探求d与k之间的数量关系．
二次函数作为中考数学的重难点，常常出现在压轴题中，对学生的综合能力要
求较高。以下是针对二次函数压轴题的专项突破解题思路，帮助学生理清思路，提高解题效率。
一、基础知识回顾
1.解析式求解：掌握二次函数的一般式、顶点式和交点式，根据不同条件选择适当的解析式形式。
2. 函数性质与图像：理解二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值以及与x轴、y轴的交点等基本
性质。
3. 相关知识：熟练掌握一次函数、反比例函数、点的坐标、方程求解等基础知识，并熟悉三角形、四边形、
圆及平行线、垂直等几何图形的性质。
二、典型题型与解题技巧
1. 求解析式
例题：已知抛物线经过三点，求解析式。
方法：利用待定系数法，将已知点的坐标代入一般式或顶点式，解方程组求出a、b、c的值。
2. 面积问题
例题：已知抛物线上一点M，求△MBC面积的最大值。
方法：利用平行于y轴的直线MN分割三角形，将面积表示为MN与底边长度的函数关系，通过求导或配
方法求最值。
3. 最值问题
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例题：求抛物线上一动点到某直线的距离最大值。
方法：将距离表示为二次函数，利用配方法或求导法求最值，或通过几何方法（如相似三角形、点到直线
的距离公式）求解。
4. 与圆相关的问题
例题：判断抛物线上是否存在一点，使得该点到原点的距离等于到某定点的距离。
方法：利用圆的定义和两点间距离公式建立方程，解方程求出符合条件的点坐标。
5. 构造特殊图形
例题：是否存在抛物线上一点，使得以该点为顶点的三角形为直角三角形或菱形。
方法：利用几何图形的性质（如勾股定理、菱形的对角线互相垂直平分）建立方程，求解符合条件的点坐
标。
三、解题策略
1. 数形结合：充分利用二次函数的图像，直观理解问题，将代数问题转化为几何问题。
2. 转化思想：将复杂问题转化为简单问题，如将面积问题转化为线段长度问题，将最值问题转化为函数极
值问题。
3. 动中找不动：对于动点动线问题，找到运动过程中的不变量，建立方程求解。
4. 分类讨论：对于存在性问题，根据条件进行分类讨论，确保不遗漏任何情况。
通过系统学习二次函数的基础知识，掌握典型题型的解题技巧，并灵活运用解题策略，学生可以有效
突破二次函数压轴题，提高数学综合能力。
1．（2025·湖南长沙·一模）如图1，抛物线L:y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(−1, 0), B(3, 0)两点，
与y轴交于点C(0, 3)．
(1)求抛物线L的解析式；
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(2)若点E是抛物线L上位于直线BC上方的动点，过点E作AB的垂线，垂足为H，EH交BC于点F．
①求EF的最大值；
②连接CE，若△BFH与△CEF相似，求E点坐标；
③若点E运动到抛物线L顶点位置，过点C作EH的垂线，垂足为D．过点D的直线与抛物线L交于P, Q两
点，直线EP, EQ分别交x轴于点M, N．试探究HM×HN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请
说明理由．
2．（2025·重庆·模拟预测）如图，二次函数y=ax2+bx−2(a≠0)与x轴交于A(−1,0)，B(4,0)，与y轴交
于点C，连接BC．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图，点P为BC下方抛物线上一动点，过P作PE⊥BC交y轴于点E，过P作PF∥BC交x轴于点F，
2√5
求BF+ PE的最大值以及对应点P的坐标；
5
(3)在问（2）的条件下，将二次函数y=ax2+bx−2(a≠0)沿射线CB平移使得平移后的抛物线恰好经过点
F，点H为平移后抛物线对称轴上一动点，且满足∠FPH=45°，请直接写出所有符合题意点H的坐标．
3
3．（2025·四川·模拟预测）抛物线y=ax2− x−2与x轴交于A(−1，0)，B两点，与y轴交于点C，P
2
是第四象限内抛物线上的一点．
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(1)求抛物线的解析式；
√5
(2)如图①，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．设点D的横坐标为m，当PE= BE时，求
2
m的值；
(3)如图②，点F(1，0)，连接CF并延长交直线PD于点M，N是x轴上方抛物线上的一点，在（2）的条
件下，x轴上是否存在一点H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点
H的坐标；若不存在，请说明理由．
1
4．（2025·内蒙古包头·一模）如图，抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于点A和点B(4,0)，与y轴交于点
2
C(0,4)，点E在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的
左侧，以线段EF,EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；
(3)点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．
5．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(−1,0)，B(4,0)，C(0,−2)三点，连
接AC，BC．
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(1)求抛物线的解析式：
(2)作直线l∥BC，l交抛物线于E、F两点（点E在点F的左侧），已知EF=√5，
①求直线l的解析式；
②点P是抛物线上的动点，作PK⊥l，垂足为点K，是否存在点P，使得以P、E、K为顶点的三角形与
△AOC相似？若存在，请写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2025·广东·模拟预测）如图在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点
B(0,−4)，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线x=1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交直线l于点D，求DP的最大
值及此时P的坐标；
(3)在（2）的条件下，过点P作PM⊥l，垂足为M．求PM的最大值．
7．（24-25九年级上·海南三亚·期末）如图1，已知抛物线与x轴交于A(−1,0),B(3,0)两点，与y轴交于
点C(0,3)．
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(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)已知点M是抛物线的顶点，点E是线段BC上的一个动点（与点B、C不重合），过点E作ED⊥x轴于
点D，交抛物线于点F．
①求四边形ABMC的面积；
②求△CEF的边CE上的高的最大值；
1
③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得EG+ AG的值最小？若存在，请求出这个最小
2
值；若不存在，请说明理由．
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