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备战 2024 中考数学一轮复习
第四章三角形
第 3 讲特殊三角形及其性质
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌题型突破
➍专题精练
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第 3 讲特殊三角形及其性质
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一直角三角形
考向二等腰三角形
第 3 讲特殊三角形及其性质
→➊考点精析←
一、等腰三角形
1．等腰三角形的性质
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、
底边上的中线、底边上的高重合．
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．
2．等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等
边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．
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推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．
2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．
3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
b
4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则 <a．
2
5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，
180°−∠A
∠B=∠C= ．
2
二、等边三角形
1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．
2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．
3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三
角形．
4．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．
5．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．
6．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．
三、直角三角形与勾股定理
1．直角三角形
定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
性质：（1）直角三角形两锐角互余；
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；
（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
2．勾股定理及逆定理
（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方，即：
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a2+b2=c2．
（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角
形是直角三角形．
→➋真题精讲←
题型一直角三角形
1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在 中， 为
的中点．若点 在边 上，且 ，则 的长为（ ）
A．1 B．2 C．1或 D．1或2
【答案】D
【分析】根据题意易得 ，然后根据题意可进行求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵点D为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
①当点E为 的中点时，如图，
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∴ ，
②当点E为 的四等分点时，如图所示：
∴ ，
综上所述： 或2；
故选D．
【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握含30度直角
三角形的性质及三角形中位线是解题的关键．
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=30°，BD=6，则CD的
长为__________．
【答案】3
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又AD平分∠BAC，∴∠BAD=
∠CAD=30°，
∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD= AD=3，故答案为：3．
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3.（2023·云南初二月考）直角三角形的两条直角边长分别为 cm和 cm，则这个直角
三角形的周长为__________.
【答案】 cm
【解析】∵直角边长为: cm和 cm，∴斜边= （cm），
∴周长= （cm）.
故答案为: cm
【名师点睛】本题考查了二次根式与三角形边长，面积的综合运用.熟练掌握勾股定理的计
算解出斜边是关键
4．（2023·湖南·统考中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边
长为 的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形
和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________ ．
【答案】
【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得 的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，
依题意， ，
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∴图中阴影部分的面积为
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键．
5．（2023·河南·统考中考真题）矩形 中，M为对角线 的中点，点N在边 上，
且 ．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时， 的长为______．
【答案】2或
【分析】分两种情况：当 时和当 时，分别进行讨论求解即可．
【详解】解：当 时，
∵四边形 矩形，
∴ ，则 ，
由平行线分线段成比例可得： ，
又∵M为对角线 的中点，
∴ ，
∴ ，
即： ，
∴ ，
当 时，
∵M为对角线 的中点，
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∴ 为 的垂直平分线，
∴ ，
∵四边形 矩形，
∴ ，则 ，
∴
∴ ，
综上， 的长为2或 ，
故答案为：2或 ．
【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出
草图进行分类讨论是解决问题的关键．
6．（2023·湖北十堰·统考中考真题）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰
直角三角形 硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别为 ，
， 的中点，G，H分别为 ， 的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边
形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为____________，最
大值为___________________．
【答案】 8
【分析】根据题意，可固定四边形 ，平移或旋转其它图形，组合成四边形，求出周
长，判断最小值，最大值．
【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】
如图1， ， ，
∴四边形 周长= ；
如图2，
∴四边形 周长为 ；
故答案为：最小值为8，最大值 .
【点睛】本题考查图形变换及勾股定理，通过平移、旋转组成满足要求的四边形是解题的
关键．
7．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图①．在矩形 ． ，点 在边
上，且 ．动点 从点 出发，沿折线 以每秒 个单位长度的速度运
动，作 ， 交边 或边 于点 ，连续 ．当点 与点 重合时，点
停止运动．设点 的运动时间为 秒．（ ）
【9 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)当点 和点 重合时，线段 的长为__________；
(2)当点 和点 重合时，求 ；
(3)当点 在边 上运动时， 的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；
(4)作点 关于直线 的对称点 ，连接 、 ，当四边形 和矩形 重叠部
分图形为轴对称四边形时，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4) 或 或
【分析】（1）证明四边形 是矩形，进而在 中，勾股定理即可求解．
（2）证明 ，得出 ；
（3）过点 作 于点 ，证明 得出 ，即可得出结论
（4）分三种情况讨论，①如图所示，当点 在 上时，②当 点在 上时，当 重
合时符合题意，此时如图，③当点 在 上，当 重合时，此时 与点 重合，则
是正方形，即可求解．
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【详解】（1）解：如图所示，连接 ，
∵四边形 是矩形
∴
∵ ，
∴四边形 是矩形，
当点 和点 重合时，
∴ ，
在 中， ，
故答案为： ．
（2）如图所示，
∵ ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
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∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（3）如图所示，过点 作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
则四边形 是矩形，
∴
又∵
∴ ，
∴
∴
∴ 是等腰直角三角形；
（4）①如图所示，当点 在 上时，
∵ ，
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在 中， ，
则 ，
∵ ，则 ， ，
在 中， ，
∴
解得：
当 时，点 在矩形内部，符合题意，
∴ 符合题意，
②当 点在 上时，当 重合时符合题意，此时如图，
则 ， ，
在 中，
，
解得： ，
③当点 在 上，当 重合时，此时 与点 重合，则 是正方形，此时
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综上所述， 或 或 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性
质，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键．
题型二等腰三角形
8.下列推理中，错误的是
A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形
B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形
C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形
D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形
【答案】B
【解析】A，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形，故正确；
B，条件重复且条件不足，故不正确；
C，∵∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形60°，故正确；
D，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确．故选B．
9.（2023·四川省武胜县万善初级中学初二月考）等腰三角形的一个内角为40°，则其余两
个内角的度数分别为
A．40°，100° B．70°，70°
C．60°，80° D．40°，100°或70°，70°
【答案】D
【解析】①若等腰三角形的顶角为40°时，另外两个内角=（180°–40°）÷2=70°；
②若等腰三角形的底角为40°时，它的另外一个底角为40°，顶角为180°–40°–40°=100°．
所以另外两个内角的度数分别为：40°、100°或70°、70°．故选D．
【名师点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180o，解题关键是分情况进行
讨论①已知角为顶角时；②已知角为底角时．
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10.（2023·延安市实验中学初二期末）如图，在 中，AB=AC，D是BC的中点，下列
结论不正确的是
A．AD BC B．∠B=∠C
C．AB=2BD D．AD平分∠BAC
【答案】C
【解析】因为△ABC中，AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形的三线合一性质可得，
A．AD⊥BC，故A选项正确；
B．∠B=∠C，故B选项正确；
C．无法得到AB=2BD，故C选项错误；
D．AD平分∠BAC，故D选项正确．
故选C．
【名师点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合
一性质.
11．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，点B的坐标为
，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线 与 交
于点D．与y轴交于点E．动点M在线段 上，动点N在直线 上，若
是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为________
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【答案】 或
【分析】如图，由 是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，可得 在以 为直径
的圆 上， ，可得 是圆 与直线 的交点，当 重合时，符合题
意，可得 ，当N在 的上方时，如图，过 作 轴于 ，延长 交
于 ，则 ， ，证明 ，设 ，可
得 ， ，而 ，则 ，
再解方程可得答案．
【详解】解：如图，∵ 是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ 在以 为直径的圆 上， ，
∴ 是圆 与直线 的交点，
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当 重合时，
∵ ，则 ，
∴ ，符合题意，
∴ ，
当N在 的上方时，如图，过 作 轴于 ，延长 交 于 ，则
， ，
∴ ，
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∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，设 ，
∴ ， ，
而 ，
∴ ，
解得： ，则 ，
∴ ，
∴ ；
综上： 或 ．
故答案为： 或 ．
【18淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【点睛】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全
等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，
清晰的分类讨论是解本题的关键．
12.（2023·山东初二期末）如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于
E，若BE=1，则AC的长为__________．
【答案】4
【解析】∵DE⊥BC，∠B=∠C=60°，
∴∠BDE=30°，∴BD=2BE=2，
∵点D为AB边的中点，∴AB=2BD=4，
∵∠B=∠C=60°，∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=4，故答案为：4．
【名师点睛】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角
形的性质求得AB=2BD是解题的关键.
13．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图， ．过点 作
，延长 到 ，使 ，连接 ．若 ，则
________________．（结果保留根号）
【答案】 /
【分析】如图，过 作 于 ，设 ，可得 ，证明
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， ， 为等腰直角三角形，
， ，由勾股定理可得：
，再解方程组可得答案．
【详解】解：如图，过 作 于 ，
设 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ， 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
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由勾股定理可得： ，
整理得： ，
解得： ，
经检验 不符合题意；
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，
作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
14．（2023·北京·统考中考真题）在 中、 ， 于点
M，D是线段 上的动点（不与点M，C重合），将线段 绕点D顺时针旋转 得到
线段 ．
(1)如图1，当点E在线段 上时，求证：D是 的中点；
(2)如图2，若在线段 上存在点F（不与点B，M重合）满足 ，连接 ， ，
直接写出 的大小，并证明．
【答案】(1)见解析
(2) ，证明见解析
【分析】（1）由旋转的性质得 ， ，利用三角形外角的性质求出
，可得 ，等量代换得到 即可；
（2）延长 到H使 ，连接 ， ，可得 是 的中位线，然后求出
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，设 ， ，求出 ，证明
，得到 ，再根据等腰三角形三线合一证明 即可．
【详解】（1）证明：由旋转的性质得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即D是 的中点；
（2） ；
证明：如图2，延长 到H使 ，连接 ， ，
∵ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
由旋转的性质得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， 是等腰三角形，
∴ ， ，
设 ， ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形
中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形
是解题的关键．
15．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图①， 和 是等边三角形，连接 ，点
F，G，H分别是 和 的中点，连接 ．易证： ．
若 和 都是等腰直角三角形，且 ，如图②：若 和
都是等腰三角形，且 ，如图③：其他条件不变，判断 和
之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
【答案】图②中 ，图③中 ，证明见解析
【分析】图②：如图②所示，连接 ，先由三角形中位线定理得到
， ，再证明 得到
，则 ，进一步证明 ，即可证明 是等
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腰直角三角形，则 ；
图③：仿照图②证明 是等边三角形，则 ．
【详解】解：图②中 ，图③中 ，
图②证明如下：
如图②所示，连接 ，
∵点F，G分别是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
同理可得 ，
∵ 和 都是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
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图③证明如下：
如图③所示，连接 ，
∵点F，G分别是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
同理可得 ，
∵ 和 都是等腰三角形，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
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【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的性
质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16．（2023·四川成都·统考中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣
小组拟做以下探究．
在 中， ，D是 边上一点，且 （n为正整数），E是
边上的动点，过点D作 的垂线交直线 于点F．
【初步感知】
(1)如图1，当 时，兴趣小组探究得出结论： ，请写出证明过程．
【深入探究】
(2)①如图2，当 ，且点F在线段 上时，试探究线段 之间的数量关系，
请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段 之间数量关系的一般结论（直接写
出结论，不必证明）
【拓展运用】
(3)如图3，连接 ，设 的中点为M．若 ，求点E从点A运动到点C的过程
中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．
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【答案】(1)见解析
(2)① ，证明过程略；②当点F在射线 上时， ，
当点F在 延长线上时，
(3)
【分析】（1）连接 ，当 时， ，即 ，证明 ，从而得到
即可解答；
（2）①过 的中点 作 的平行线，交 于点 ，交 于点 ，当 时，
，根据 ，可得 是等腰直角三角形， ，根据（1）中结
论可得 ，再根据 ， ，即可得到 ；
②分类讨论，即当点F在射线 上时；当点F在 延长线上时，画出图形，根据①中的
原理即可解答；
（3）如图，当 与 重合时，取 的中点 ，当 与 重合时，取 的中点 ，
可得 的轨迹长度即为 的长度，可利用建系的方法表示出 的坐标，再利
用中点公式求出 ，最后利用勾股定理即可求出 的长度．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
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当 时， ，即 ，
，
， ， ,
， ，即 ，
，
，
在 与 中，
，
，
，
；
（2）①
证明：如图，过 的中点 作 的平行线，交 于点 ，交 于点 ，
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当 时， ，即 ，
是 的中点，
， ，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，且 ，
，
根据（1）中的结论可得 ，
；
故线段 之间的数量关系为 ；
②解：当点F在射线 上时，
如图，在 上取一点 使得 ，过 作 的平行线，交 于点 ，交 于点
，
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同①，可得 ，
， ，
， ，
同①可得 ，
，
即线段 之间数量关系为 ；
当点F在 延长线上时，
如图，在 上取一点 使得 ，过 作 的平行线，交 于点 ，交 于点
，连接
同（1）中原理，可证明 ，
可得 ，
， ，
， ，
同①可得 ，
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即线段 之间数量关系为 ,
综上所述，当点F在射线 上时， ；当点F在 延长线上时，
；
（3）解：如图，当 与 重合时，取 的中点 ，当 与 重合时，取 的中点
，可得 的轨迹长度即为 的长度，
如图，以点 为原点， 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系，过点 作 的垂线
段，交 于点 ，过点 作 的垂线段，交 于点 ，
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，
， ，
，
，
，
，
是 的中点，
，
，
，
，
根据（2）中的结论 ，
，
，
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，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及
性质，平行线的性质，正确地画出图形，作出辅助线，找对边之间的关系是解题的关键．
17．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在等边 中， 于点 ， 为线段
上一动点（不与 ， 重合），连接 ， ，将 绕点 顺时针旋转 得到线段
，连接 ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，连接 交 于点 ，连接 ， ， 与 所在直线交于点 ，求证：
；
(3)如图3，连接 交 于点 ，连接 ， ，将 沿 所在直线翻折至
所在平面内，得到 ，将 沿 所在直线翻折至 所在平面内，得到
，连接 ， ．若 ，直接写出 的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
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(3)
【分析】（1）根据旋转的性质得出 ， ，进而证明
，即可得证；
（2）过点 作 ，交 点的延长线于点 ，连接 ， ，证明四边形四边形
是平行四边形，即可得证；
（3）如图所示，延长 交于点 ，由（2）可知 是等边三角形，根据折叠的
性质可得 ， ，进而得出 是等边三角形，
由（2）可得 ，得出四边形 是平行四边形，则
，进而得出 ，则 ，
当 取得最小值时，即 时， 取得最小值，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵将 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ，
∴
∴
即
在 和 中
，
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∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图所示，过点 作 ，交 点的延长线于点 ，连接 ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵
∴
∴ 垂直平分 ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ,
∴ 在 的垂直平分线上，
∵
∴ 在 的垂直平分线上，
∴ 垂直平分
∴ ，
∴
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又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴
∴
∴ ，
又∵ ，
∴
∴ ，
∴
在 与 中，
∴
∴
∴
∴四边形 是平行四边形，
∴ ；
（3）解：依题意，如图所示，延长 交于点 ，
由（2）可知 是等边三角形，
∴
∵将 沿 所在直线翻折至 所在平面内，得到 ，将 沿 所在直
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线翻折至 所在平面内，得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴
由（2）可得
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴四边形 是平行四边形，
∴
由（2）可知 是 的中点，则
∴
∴
∵折叠，
，
∴ ，
又 ，
∴ ，
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∴当 取得最小值时，即 时， 取得最小值，此时如图所示，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四
边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
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