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热点 08 解直角三角形及其应用
中考数学中《锐角三角函数及其应用》部分主要考向分为三类：
一、特殊角的三角函数值相关运算（每年1道，6~8分）
二、解直角三角形（每年1道，3分）
三、解直角三角形的应用（每年1题，3~8分）
中考数学中，对锐角三角函数的考察主要以特殊角的三角函数值及其有关计算、解直角三角形、解直
角三角形的应用三个方面为主。其中，特殊角的三角函数值主要和实数相关概念放一起考察计算题，而解
直角三角形及其各种应用则选择、填空、简答题都有出现，其中应用则偏向大题多些，难度一般中等或偏
上，分值也比较可观，但对应考点掌握熟练，计算和审题上够小心了，一般不会失分。
考向一：特殊角的三角函数值的运算
【题型1 和实数概念结合的特殊角的三角函数值的运算】
满分技巧
特殊角的三角函数值表
α sinα cosα tanα
30° 1 √3 √3
2 2 3
45° √2 √2 1
2 2
60° √3 1 √3
2 2
特殊角的三角函数值，可以直接记数值，也可以记定义，然后现退对应函数值，但显然，直接熟记对应
数值会便捷很多。
1．（2023•天津） 的值等于（ ）
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A．1 B． C． D．2
【分析】根据特殊锐角的三角函数值及二次根式的加法法则计算即可．
【解答】解：原式＝ +
＝ ，
故选：B．
2．（2023•黄石）计算：（﹣ ）﹣2+（1﹣ ）0﹣2cos60°＝ 9 ．
【分析】先计算零次幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
【解答】解：（﹣ ）﹣2+（1﹣ ）0﹣2cos60°
＝9+1﹣2×
＝9+1﹣1
＝9，
故答案为：9．
3．（2023•菏泽）计算：| ﹣2|+2sin60°﹣20230＝ 1 ．
【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，
求出算式的值即可．
【解答】解：| ﹣2|+2sin60°﹣20230
＝2﹣ +2× ﹣1
＝2﹣ + ﹣1
＝1．
故答案为：1．
4．（2023•内江）在△ABC中，∠A、∠B，∠C的对边分别为a、b、c，且满足a2+|c﹣10|+ ＝12a﹣
36，则sinB的值为 ．
【分析】直接利用非负数的性质得出a，b，c的值，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：∵a2+|c﹣10|+ ＝12a﹣36，
∴（a﹣6）2+|c﹣10|+ ＝0，
∴a﹣6＝0，c﹣10＝0，b﹣8＝0，
∴a＝6，c＝10，b＝8，
∵62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∵△ABC中，∠A、∠B，∠C的对边分别为a、b、c，
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∴sinB＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
5．（2023•金华）计算：（﹣2023）0+ ﹣2sin30°+|﹣5|．
【分析】先计算零次幂、化简二次根式，再代入特殊值的函数值算乘法并化简绝对值，最后算加减得结
论．
【解答】解：（﹣2023）0+ ﹣2sin30°+|﹣5|
＝1+2﹣2× +5
＝1+2﹣1+5
＝7．
6．（2023•西藏）计算： ．
【分析】利用负整数指数幂，特殊锐角的三角函数值，零指数幂，立方根的定义进行计算即可．
【解答】解：原式＝4+2× ﹣1﹣3
＝4+ ﹣1﹣3
＝ ．
考向二：解直角三角形
【题型2 利用已知信息求解对应角的三角函数值】
满分技巧
解直角三角形口诀“直乘斜除，对正临余”——求直角三角形的直角边，多用乘法；求斜边，多
用除法。求已知角的对边，多用正弦或正切值；求已知角的临边，多用余弦值。
常见辅助线：做垂线
1．（2023•攀枝花）△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．已知a＝6，b＝8，c＝10，则
cos∠A的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再利用三角形的边角间关系得结论．
【解答】解：在△ABC中，
∵a＝6，b＝8，c＝10，a2+b2＝62+82＝36+64＝100，c2＝100．
∴a2+b2＝c2．
∴△ABC是直角三角形．
∴cosA＝ ＝ ＝ ．
故选：C．
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2．（2023•陕西）如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则
sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接AD，得到∠ADB＝90°，由勾股定理求出AD＝2 ，AB＝ ，即可求出sinB＝ ＝
．
【解答】解：连接AD，则∠ADB＝90°，
∵AD＝ ＝2 ，AB＝ ＝ ，
∴sinB＝ ＝ ＝ ，
故选：A．
3．（2023•常州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，连接CD．若BD＝CD， ＝ ，
则tanB＝ ．
【分析】设AD＝t，根据已知表示出AC＝2 t，AB＝AD+BD＝4t，即可得tanB＝ ＝ ＝
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．
【解答】解：设AD＝t，
∵BD＝CD， ＝ ，
∴BD＝CD＝3t，
∴AC＝ ＝2 t，AB＝AD+BD＝4t，
∴tanB＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【题型3 利用三角函数值求解几何图形的线段】
满分技巧
此类计算更多的是注意审题，因为题目中可能会要求精确位数，或者保留几位有效数字，这时候要
注意，一般计算到最后一步才带入参考数据计算，然后四舍五入。
1．（2023•西宁）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，∠A＝42°，则BC的长约为 8. 0 .（结果精确
到0.1．参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
【分析】根据正弦定义求解即可．
【解答】解：如图，
∵∠ACB＝90°，
∴sinA＝ ，
∵AB＝12，∠A＝42°，sin42°≈0.67，
∴BC＝12×0.67≈8.0，
故答案为：8.0．
2．（2023•武汉）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，
OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在
该刻度尺上，则 OC与尺上沿的交点 C在尺上的读数是 2.7 cm（结果精确到 0.1cm，参考数据
sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
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【分析】过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E，根据等腰直角三角形的性质可得CE＝2，再
通过解直角三角形可求得OE的长，进而可求解．
【解答】解：如图，过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E，
在△BOD中，∠BDO＝90°，∠DOB＝45°，
∴CE＝BD＝2cm，
在△OCE中，∠COE＝37°，∠CEO＝90°，
∴tan37°＝ ，
∴OE＝2.7cm，
即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是2.7cm．
故答案为：2.7．
3．（2023•丹东）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A（3，0），B（0，4），点C
在x轴负半轴上，连接AB，BC，若tan∠ABC＝2，以BC为边作等边三角形BCD，则点C的坐标为
（﹣ 2 ， 0 ） ；点D的坐标为 （﹣ 1 ﹣ 2 ， 2+ ）或（﹣ 1+ 2 ， 2 ﹣ ） ．
【分析】过点C作CE⊥AB于E，先求处AB＝5，再设BE＝t，由tan∠ABC＝2得CE＝2t，进而得BC
＝ ，由三角形的面积公式得S△ABC ＝ AC•OB＝ AB•CE，即5×2t＝4×（3+OC），则OC＝ ﹣
3，然后在Rt△BOC中由勾股定理得 ，由此解出t ＝2，t ＝10（不合题意，
1 2
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舍去），此时OC＝ ﹣3＝2，故此可得点C的坐标；设点D的坐标为（m，n），由两点间的距离公
式得：BC2＝20，BD2＝（m﹣0）2+（n﹣4）2，CD2＝（m+2）2+（n﹣0）2，由△BCD为等边三角形得
，整理： ，②﹣①整理得m＝3﹣2n，将m＝3﹣2n代入
①整理得n2﹣4n+1＝0，解得n＝ ，进而再求出m即可得点D的坐标．
【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，如图：
∵点A（3，0），B（0，4），
由两点间的距离公式得：AB＝ ＝5，
设BE＝t，
∵tan∠ABC＝2，
在Rt△BCE中，tan∠ABC＝ ，
∴ ＝2，
∴CE＝2t，
由勾股定理得：BC＝ ＝ t，
∵CE⊥AB，OB⊥AC，AC＝OC+OA＝3+OC，
∴S△ABC ＝ AC•OB＝ AB•CE，
即：5×2t＝4×（3+OC），
∴OC＝ ﹣3，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC2﹣OB2＝OC2，
即 ，
整理得：t2﹣12t+20＝0，
解得：t ＝2，t ＝10（不合题意，舍去），
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∴t＝2，此时OC＝ ﹣3＝2，
∴点C的坐标为（﹣2，0），
设点D的坐标为（m，n），
由两点间的距离公式得：BC2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣4）2＝20，BD2＝（m﹣0）2+（n﹣4）2，CD2＝
（m+2）2+（n﹣0）2，
∵△BCD为等边三角形，
∵BD＝CD＝BC，
∴ ，
整理得： ，
②﹣①得：4m+8n＝12，
∴m＝3﹣2n，
将m＝3﹣2n代入①得：（3﹣2n）2+n2﹣8n＝4，
整理得：n2﹣4n+1＝0，
解得：n＝ ，
当n＝ 时，m＝3﹣2n＝ ，
当n＝ 时，m＝3﹣2n＝ ，
∴点D的坐标为 或 ．
故答案为：（﹣2，0）； 或 ．
考向二：解直角三角形的应用
【题型4 坡度坡角问题】
满分技巧
坡度坡角的意义：
h
i=
l
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα
坡度越大，坡角越大，坡面越陡
1．（2023•深圳）爬坡时坡面与水平面夹角为 ，则每爬1m耗能（1.025﹣cos ）J，若某人爬了1000m，
该坡角为30°，则他耗能（ ）（参考数据α： ≈1.732， ≈1.414） α
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A．58J B．159J C．1025J D．1732J
【分析】根据题意可得：他耗能＝1000×（1.025﹣cos30°），进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能＝1000×（1.025﹣cos30°）＝1000×（1.025﹣ ）≈159
（J），
故选：B．
2．（2023•长春）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳 AB
到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗绳固定在地面的位置与图书
馆相距32米（即AC＝32米），则彩旗绳AB的长度为（ ）
A．32sin25°米 B．32cos25°米
C． 米 D． 米
【分析】根据直角三角形的边角关系进行解答即可．
【解答】解：如图，由题意得，AC＝32m，∠A＝25°，
在Rt△ABC中，
∵cosA＝ ，
∴AB＝ ＝ （m），
故选：D．
3．（2023•济南）图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，
∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备厢，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的
夹角∠B'AD＝27°．
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（1）求打开后备厢后，车后盖最高点B'到地面l的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结
果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510， ≈1.732）
【分析】（1）作B′E⊥AD，垂足为点E，先求出B′E的长，再求出B′E+AO的长即可；
（2）过C′作C′F⊥B′E，垂足为点F，先求得∠AB′E＝63°，再得到∠C′B′F＝∠AB′C′﹣
∠AB′E＝60°，再求得B′F＝B′C′•cos60°＝0.3m，从而得出C′到地面的距离为2.15﹣0.3＝1.85
（m），最后比较即可．
【解答】解：（1）如图，作B′E⊥AD，垂足为点E，
在Rt△AB′E中，
∵∠B′AD＝27°，AB′＝AB＝1m，
∴sin27°＝ ，
∴B′E＝AB′sin27°≈1×0.454＝0.454m，
∵平行线间的距离处处相等，
∴B′E+AO＝0.454+1.7＝2.154≈2.15m，
答：车后盖最高点B′到地面的距离为2.15m．
（2）没有危险，理由如下：
如图，过C′作C′F⊥B′E，垂足为点F，
∵∠B′AD＝27°，∠B′EA＝90°，
∴∠AB′E＝63°，
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∵∠AB′C′＝∠ABC＝123°，
∴∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°，
在Rt△B′FC′中，B′C′＝BC＝0.6m，
∴B′F＝B′C′•cos60°＝0.3m．
∵平行线间的距离处处相等，
∴C′到地面的距离为2.15﹣0.3＝1.85m．
∵1.85＞1.8，
∴没有危险．
【题型5 仰角俯角问题】
满分技巧
仰角俯角的意义：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角.
俯角：视线在水平线下方的叫俯角
1．（2023•衢州）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆 ，AB＝b，AB
的最大仰角为 ．当∠C＝45°时，则点A到桌面的最大高度是（ ）
α
A． B． C．a+bcos D．a+bsin
【分析】过点A作AF⊥BE于F，过点B作BG⊥CD于G，利用解直角三角形可得AF＝bsin ，BG＝
α α
a，根据点A到桌面的最大高度＝BG+AF，即可求得答案
α
【解答】解：如图，过点A作AF⊥BE于F，过点B作BG⊥CD于G，
在Rt△ABF中，AF＝AB•sin ＝bsin ，
α α
在Rt△BCG中，BG＝BC•sin45°＝ a× ＝a，
∴点A到桌面的最大高度＝BG+AF＝a+bsin ，
α
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故选：D．
2．（2023•日照）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶
提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点 B处测得灯塔最高点A的仰角
∠ABD＝45°，再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD＝60°，BC＝15.3m，则灯塔的高度
AD大约是（ ）（结果精确到1m，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
A．31m B．36m C．42m D．53m
【分析】根据题意可得：AD⊥BD，然后设CD＝x m，则BD＝（x+15.3）m，在Rt△ABD中，利用锐
角三角函数的定义求出AD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而列出
关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：AD⊥BD，
设CD＝x m，
∵BC＝15.3m，
∴BD＝BC+CD＝（x+15.3）m，
在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，
∴AD＝BD•tan45°＝（x+15.3）m，
在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，
∴AD＝CD•tan60°＝ x（m），
∴ x＝（x+15.3），
解得：x≈21.0，
∴AD＝x+15.3≈36（m），
∴灯塔的高度AD大约是36m，
故选：B．
3．（2023•浙江）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），
其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝
150cm．
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（1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少
需要下蹲多少厘米才能被识别？
（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄
像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．
（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，
tan20°≈0.36）
【分析】（1）过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，在Rt△AEF中，根
据三角函数的定义得到EF＝AF•tan15°≈130×0.27＝35.1（cm），根据全等三角形的性质得到结论；
（2）如图2，过B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于M．N．交水平线于P，根据三角函数的定义得
到MP＝AP•tan20°≈150×0.36＝54.0（cm），根据全等三角形的性质得到PN＝MP＝54.0cm，于是得到
结论．
【解答】解：（1）过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，
在Rt△AEF中，tan∠EAF＝ ，
∴EF＝AF•tan15°≈130×0.27＝35.1（cm），
∵AF＝AF，∠EAF＝∠DAF，∠AFE＝∠AFD＝90°，
∴△ADF≌△AEF（ASA），
∴EF＝DF＝35.1cm，
∴CE＝160+35.1＝195.1（cm），
∴小杜最少需要下蹲208﹣195.1＝12.9厘米才能被识别；
（2）如图2，过B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于M．N．交水平线于P，
在Rt△APM中，tan∠MAP＝ ，
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∴MP＝AP•tan20°≈150×0.36＝54.0（cm），
∵AP＝AP，∠MAP＝∠NAP，∠APM＝∠APN＝90°，
∴△AMP≌△ANP（ASA），
∴PN＝MP＝54.0cm，
∴BN＝160﹣54.0＝106.0（cm），
∴小若踮起脚尖后头顶的高度为120+3＝123（cm），
∴小若头顶超出点N的高度为：123﹣106.0＝17.0（cm）＞15cm，
∴踮起脚尖小若能被识别．
【题型6 方向角问题】
满分技巧
方向角遵循——上北下南，左西右东。
因为这类题目常和特殊角结合，故作辅助线时，谨记一个原则：不能破坏已有的特殊角。
1．（2023•眉山）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达
点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔 C的最短距离
是 6 +6 海里．
【分析】过点C作CH⊥AB于H．证得BH＝CH，在Rt△ACH中，解直角三角形求出CH的值即可．
【解答】解：过点C作CH⊥AB于H．
∵∠DAC＝60°，∠CBE＝45°，
∴∠CAH＝90°﹣∠CAD＝30°，∠CBH＝90°﹣∠CBE＝45°，
∴∠BCH＝90°﹣45°＝45°＝∠CBH，
∴BH＝CH，
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在Rt△ACH中，∠CAH＝30°，AH＝AB+BH＝12+CH，tan30°＝ ，
∴CH＝ （12+CH），
解得CH＝6（ +1）．
答：渔船与灯塔C的最短距离是6（ +1）海里．
故答案为：6 +6．
2．（2023•丹东）一艘轮船由西向东航行，行驶到 A岛时，测得灯塔B在它北偏东31°方向上，继续向东
航行10nmile到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西61°方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短
距离．（结果精确到 0.1nmile）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，
sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）．
【分析】过B作BD⊥AC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，设BD＝x nmile，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过B作BD⊥AC于D，
则∠BDC＝∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝31°，∠CBD＝61°，
设BD＝x nmile，
∴AD＝BD•tan31°，CD＝BD•tan61°，
∵AC＝10nmile，
∴x•tan31°+x•tan61°＝x（0.60+1.80）＝10，
∴x＝BD≈4.2nmile，
答：轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离约为4.2nmile．
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3．（2023•重庆）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面 A，B养殖场捕捞海产品．经测
量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，AC＝3600米．
（1）求B养殖场与灯塔C的距离（结果精确到个位）；
（2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往 B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为
600米每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？
（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，解直角三角形求出AD，CD．在Rt△BCD中，
解直角三角形即可求出BC；
（2）求出AD，BD，进而求出AB，根据速度公式即可得到结论．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，AC＝3600米，cos60°＝ ，sin60°＝ ，
∴AD＝3600× ＝1800 （米），CD＝ ×3600＝1800（米）．
在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，
∴∠B＝45°＝∠BCD，
∴BD＝CD＝1800（米），
∴BC＝ ＝1800 ≈1800×1.414≈2545（米）．
答：B养殖场与灯塔C的距离约为2545米；
（2）AB＝AD+BD＝1800 +1800≈1800×1.732+1800≈4917.6（米），
600×9＝5400（米），
∵5400米＞4917.6米，
∴能在9分钟内到达B处．
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（建议用时：30分钟）
1．（2023•无锡）cos60°的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据特殊角的三角函数值求解．
【解答】解：cos60°＝ ．
故选：B．
2．（2023•南充）如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知
∠BAC＝ ，则A，C两处相距（ ）
α
A． 米 B． 米 C．x•sin 米 D．x•cos 米
【分析】根据题意可得：BC⊥AB，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出 AC的长，即可
α α
解答．
【解答】解：由题意得：BC⊥AB，
在Rt△ABC中，∠CAB＝ ，AB＝x米，
α
∴AC＝ ＝ （米），
∴A，C两处相距 米，
故选：B．
3．（2023•十堰）如图所示，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB＝45°，市政部门启动
“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D＝30°，则CD的长度约为（ ）（参考数
据： ≈1.414， ≈1.732）
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A．1.59米 B．2.07米 C．3.55米 D．3.66米
【分析】由∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，得∠ABC＝∠ACB＝45°，则AC＝AB＝5米，由∠BAD＝90°，
∠D＝30°，得∠ABD＝60°，则 ＝tan60°＝ ，所以 AD＝ AB，则 CD＝AD﹣AC＝ AB﹣
AC≈3.66米，于是得到问题的答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴AC＝AB＝5米，
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠D＝30°，
∴∠ABD＝60°，
∴ ＝tan∠ABD＝tan60°＝ ，
∴AD＝ AB，
∴CD＝AD﹣AC＝ AB﹣AC≈1.732×5﹣5≈3.66（米），
∴CD的长度约为3.66米，
故选：D．
4．（2023•杭州）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦
图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形
EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝ ，∠BEF＝ ，若正方形
EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tan ＝tan2 ，则n＝（ ）
α β
α β
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，解直角三角形可得 ，化简可得（b﹣a）2
＝ab，a2+b2＝3ab，结合勾股定理及正方形的面积公式可求得S正方形EFGH ；S正方形ABCD ＝1：3，进而可求
解n的值．
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【解答】解：设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，
∵tan ＝ ，tan ＝ ，tan ＝tan2 ，
α β α β
∴ ，
∴（b﹣a）2＝ab，
∴a2+b2＝3ab，
∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD ，（b﹣a）2＝S正方形EFGH ，
∴S正方形EFGH ：S正方形ABCD ＝ab：3ab＝1：3，
∵S正方形EFGH ：S正方形ABCD ＝1：n，
∴n＝3．
故选：C．
5．（2023•淄博）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直
观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受
人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比
为 ：1，则sin∠DGE等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意得： ，解得： ，进而求解．
【解答】解：过点D作ND⊥GE交GE的延长线于点N，
由题意知，两个正方形之间是4个相等的三角形，
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设△ABG的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为 x，小正方形的边长为x，
即ED＝BG＝HC＝AF＝b，AG＝BH＝CE＝DF＝a，EG＝ b，
由题意得： ，解得： ，
在△GDE中，EG＝ GH＝ b，则NE＝ND＝ ED＝ b＝ x，EG＝ GH＝ （a﹣b）＝
x，
则tan∠DGE＝ ＝ ，
则sin∠DGE＝ ，
故选：A．
6．（2023•南通）如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角 为30°，看这栋楼底部C的俯角 为
60°，无人机与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ）
α β
A． B． C． D．
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意可得：AD＝120m，然后分别在Rt△ABD和Rt△ACD
中，利用锐角三角函数的定义求出BD和CD的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
由题意得：AD＝120m，
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
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∴BD＝AD•tan30°＝120× ＝40 （m），
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，
∴CD＝AD•tan60°＝120 （m），
∴BC＝BD+CD＝160 （m），
∴这栋楼的高度为160 m，
故选：B．
7．（2023•益阳）如图，在平面直角坐标系 xOy中，有三点A（0，1），B（4，1），C（5，6），则
sin∠BAC＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】过C作CD⊥AB交AB延长线于D，计算出CD、AC的长，根据正弦计算方法计算即可．
【解答】解：过C作CD⊥AB交AB延长线于D，
∵A（0，1），B（4，1），C（5，6），
∴D（5，1），
∴CD＝6﹣1＝5，AD＝5，
∴AC＝5 ，
∴sin∠BAC＝ ＝ ，
故选：C．
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8．（2023•自贡）如图，分别经过原点O和点A（4，0）的动直线a，b夹角∠OBA＝30°，点M是OB中
点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】作△AOB的外接圆 T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．证明KM＝ TB＝2，
推出点 M 在以 K 为圆心，2 为半径的圆上运动，当 AM 与 K 相切时，∠OAM 的值最大，此时
⊙
sin∠OAM的值最大．
⊙
【解答】解：如图，作△AOB的外接圆 T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．
⊙
∵∠ATO＝2∠ABO＝60°，TO＝TA，
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∴△OAT是等边三角形，
∵A（4，0），
∴TO＝TA＝TB＝4，
∵OK＝KT，OM＝MB，
∴KM＝ TB＝2，
∴点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，
当AM与 K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大，
∵△OTA是等边三角形，OK＝KT，
⊙
∴AK⊥OT，
∴AK＝ ＝ ＝2 ，
∵AM是切线，KM是半径，
∴AM⊥KM，
∴AM＝ ＝ ＝2 ，
过点M作ML⊥OA于点L，KR⊥OA于点R，MP⊥RK于点P．
∵∠PML＝∠AMK＝90°，
∴∠PMK＝∠LMA，
∵∠P＝∠MLA＝90°，
∴△MPK∽△MLA，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ，
设PK＝x，PM＝y，则有ML＝ y，AL＝ x，
∴ y＝ +x①，y＝3﹣ x，
解得，x＝ ，y＝ ，
∴ML＝ y＝ ，
∴sin∠OAM＝ ＝ ＝ ．
故选：A．
9．（2023•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、
B、C三点都在格点上，则sin∠ABC＝ ．
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【分析】连接AC，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：如图，连接AC，
由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，
则BC2+AC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴sin∠ABC＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
10．（2023•广西）如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材
约 2 1 m（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】根据等腰三角形的三线合一性质可得AD＝BD＝ AB，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函
数的定义求出AC，AD的长，从而求出AB的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝ AB，
在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，CD＝3m，
∴AC＝ ≈ ＝5（m），AD＝ ≈ ＝4（m），
∴CA＝CB＝5m，AB＝2AD＝8（m），
∴共需钢材约＝AC+CB+AB+CD＝5+5+8+3＝21（m），
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故答案为：21．
11．（2023•湖北）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面 CD的中点
A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45°，尚美楼顶部F的俯角为30°，已知博雅
楼高度CE为15米，则尚美楼高度DF为 （ 3 0 ﹣ ） 米．（结果保留根号）
【分析】过点E作EM⊥过点B的水平线于M，过点F作FN⊥过点B的水平线于N，先求出EM的长，
在Rt△EBM中求出BM的长，然后求出BN的长，在Rt△FBN中求出FN的长，即可求出DF的长．
【解答】解：如图，过点 E作EM⊥过点 B的水平线于 M，过点 F作FN⊥过点 B的水平线于 N，
由题意可知CM＝DN＝AB＝30米，
又∵CE＝15米，
∴EM＝15米，
在Rt△EBM中，∠EBM＝45°，
∴BM＝EM＝15米，
又∵A是CD的中点，
∴BN＝AD＝AC＝BM＝15米，
在Rt△BFN中，tan∠FBN＝ ，
∵∠FBN＝30°，BN＝15米，
∴ ，
∴FN＝ 米，
∴DF＝（30﹣ ）米．
故答案为：（30﹣ ）．
12．（2023•赤峰）为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对A地和B地之间的一处垃圾填埋场进行改造，
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把原来A地去往B地需要绕行到C地的路线，改造成可以直线通行的公路AB．如图，经勘测，AC＝6
千米，∠CAB＝60°，∠CBA＝37°，则改造后公路AB的长是 9. 9 千米（精确到0.1千米；参考数据：
sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.73）．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ADC中利用∠CAB的余弦函数求出AD，利用∠CAB的正弦
函数求出CD，然后再Rt△BCD中利用∠CBA正切函数求出DB，进而可得出答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图：
在Rt△ADC中，AC＝6，∠CAB＝60°， ， ，
∴AD＝AC•cos∠CAB＝6cos60°＝3（千米）， （千米），
在Rt△CDB中，∠CBA＝37°， ， ，
∴ （千米），
∴ （千米）．
答：改造后公路AB的长是9.9千米．
故答案为：9.9．
13．（2023•济宁）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点 A，
在点A和建筑物之间选择一点B，测得AB＝30m，用高1m（AC＝1m）的测角仪在A处测得建筑物顶部
E的仰角为30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的高是 （ 1 5 +1 ） m ．
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【分析】延长 CD交EF于点G，根据题意可得：DB＝AC＝FG＝1m，CG⊥EF，DC＝AB＝30m，
∠EDG＝60°，∠ECG＝30°，然后利用三角形的外角性质可得∠DEC＝∠ECD＝30°，从而可得ED＝
CD＝30m，最后在Rt△EGD中，利用锐角三角函数的定义求出 EG的长，从而利用线段的和差关系进
行计算，即可解答．
【解答】解：如图：延长CD交EF于点G，
由题意得：DB＝AC＝FG＝1m，CG⊥EF，DC＝AB＝30m，∠EDG＝60°，∠ECG＝30°，
∵∠EDG是△EDC的一个外角，
∴∠DEC＝∠EDG﹣∠ECG＝30°，
∴∠DEC＝∠ECD＝30°，
∴ED＝CD＝30m，
在Rt△EGD中，EG＝ED•sin60°＝30× ＝15 （m），
∴EF＝EG+FG＝（15 +1）m，
∴该建筑物的高是（15 +1）m，
故答案为：（15 +1）m．
14．（2023•泰安）在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如
图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为50°，后退60m（CD＝60m）到D处有一平台，在高2m
（DE＝2m）的平台上的E处，测得B的仰角为26.6°．则该电视发射塔的高度AB为 5 5 m．（精确
到1m．参考数据：tan50°≈1.2，tan26.6°≈0.5）
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【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：AF＝DE＝2m，EF＝AD，BA⊥DA，然后设AC
＝x m，则 EF＝AD＝（x+60）m，在 Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出 AB的长，再在
Rt△FBE中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而求出AB的长，最后列出关于x的方程，进行
计算即可解答．
【解答】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，
由题意得：AF＝DE＝2m，EF＝AD，BA⊥DA，
设AC＝x m，
∵CD＝60m，
∴EF＝AD＝AC+CD＝（x+60）m，
在Rt△ABC中，∠BCA＝50°，
∴AB＝AC•tan50°≈1.2x（m），
在Rt△FBE中，∠BEF＝26.6°，
∴BF＝EF•tan26.6°≈0.5（x+60）m，
∴AB＝BF+AF＝[2+0.5（x+60）]m，
∴1.2x＝2+0.5（x+60），
解得：x＝ ，
∴AB＝1.2x≈55（m），
∴该电视发射塔的高度AB约为55m，
故答案为：55．
15．（2023•北京）计算：4sin60°+（ ）﹣1+|﹣2|﹣ ．
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【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质计算．
【解答】解：原式＝4× +3+2﹣2
＝2 +3+2﹣2
＝5．
16．（2023•内蒙古）计算：| ﹣2|+（ ﹣2023）0+（﹣ ）﹣2﹣2cos60°．
【分析】根据绝对值的性质、零指数幂和负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算即可．
π
【解答】解：原式＝2 ﹣2+1+4﹣2×
＝2 ﹣2+1+4﹣1
＝2 +2．
17．（2023•绥化）如图，直线MN和EF为河的两岸，且MN∥EF，为了测量河两岸之间的距离，某同学
在河岸FE的B点测得∠CBE＝30°，从B点沿河岸FE的方向走40米到达D点，测得∠CDE＝45°．
（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）
（2）若从D点继续沿DE的方向走（12 +12）米到达P点．求tan∠CPE的值．
【分析】（1）根据直角三角形的边角关系得出 CH﹣CH＝40，进而求出答案；
（2）求出HP，根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥EF于点H，
在Rt△CHB中，
∵tan∠CBH＝ ＝ ，
∴HB＝ CH，
在Rt△CHD中，∠CDH＝45°，
∴CH＝DH，
又∵BH﹣DH＝BD＝40，
∴ CH﹣CH＝40，
解得CH＝20 +20，
即河两岸之间的距离是（20 +20）米；
（2）在Rt△CHP中，HP＝HD＝PD＝20 +20﹣（12 +12）＝8 +8，
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∴tan∠CPE＝
＝
＝
＝ ．
18．（2023•绍兴）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点
A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米，
AD＝0.8米．∠AGC＝32°．
（1）求∠GAC的度数；
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他
能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
【分析】（1）根据垂直定义可得∠ACG＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解
答；
（2）延长OA，ED交于点M，根据垂直定义可得∠AOB＝90°，从而利用平行线的性质可得∠DMA＝
∠AOB＝90°，再根据对顶角相等可得∠DAM＝∠GAC＝58°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得
∠ADM＝32°，然后在Rt△ADM中，利用锐角三角函数的定义求出AM的长，从而利用线段的和差关系
求出MO的长，比较即可解答．
【解答】解：（1）∵CG⊥CD，
∴∠ACG＝90°，
∵∠AGC＝32°，
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∴∠GAC＝90°﹣∠AGC＝90°﹣32°＝58°，
∴∠GAC的度数为58°；
（2）该运动员能挂上篮网，
理由如下：延长OA，ED交于点M，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵DE∥OB，
∴∠DMA＝∠AOB＝90°，
∵∠GAC＝58°，
∴∠DAM＝∠GAC＝58°，
∴∠ADM＝90°﹣∠DAM＝32°，
在Rt△ADM中，AD＝0.8米，
∴AM＝AD•sin32°≈0.8×0.53＝0.42（米），
∴OM＝OA+AM＝2.5+0.424＝2.924（米），
∵2.924米＜3米，
∴该运动员能挂上篮网．
19．（2023•甘孜州）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次
航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为45°，看底部C的俯角为60°，无人机A到该
建筑物 BC 的水平距离 AD 为 10 米，求该建筑物 BC 的高度．（结果精确到 0.1 米；参考数据：
， ）
【分析】先说明三角形ABD是等腰直角三角形，用等腰三角形的性质求出BD，再在Rt△ACD 中用直
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角三角形的边角间关系求出CD，最后利用线段的和差关系求出建筑物的高度．
【解答】解：由题意知，∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，AD⊥BC．
∵AD⊥BC，
∴∠BDA＝∠ADC＝90°．
∴∠BAD＝∠ABD＝45°．
∴BD＝AD＝10 （米）．
在Rt△ACD 中，
CD＝AD•tan∠CAD
＝AD•tan60°
＝10 （米）．
∴ （米）．
答：该建筑物BC的高度约为27.3米．
20．（2023•苏州）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意
图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接（AH垂直于MN，垂足为
H），在B，C处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN），EF是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F处的
螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高
度）．已知AD＝BC，DH＝208cm，测得∠GAE＝60°时，点C离地面的高度为288cm．调节伸缩臂
EF，将∠GAE由60°调节为54°，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？
（参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6）
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【分析】当∠GAE＝60°时，过点C作CK⊥HA，交HA的延长线于点K，根据已知易得BC∥AH，从而
可得四边形ABCD是平行四边形，进而可得AB∥CD，然后利用平行线的性质可得∠ADC＝∠GAE＝
60°，再根据已知可得DK＝80cm，最后在Rt△CDK中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长；当
∠GAE＝54°，过点C作CQ⊥HA，交HA的延长线于点Q，在Rt△CDQ中，利用锐角三角函数的定义
求出DQ的长，然后进行计算，即可解答．
【解答】解：点C离地面的高度升高了，
理由：如图，当∠GAE＝60°时，过点C作CK⊥HA，交HA的延长线于点K，
∵BC⊥MN，AH⊥MN，
∴BC∥AH，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ADC＝∠GAE＝60°，
∵点C离地面的高度为288cm，DH＝208cm，
∴DK＝288﹣208＝80（cm），
在Rt△CDK中，CD＝ ＝ ＝160（cm），
如图，当∠GAE＝54°，过点C作CQ⊥HA，交HA的延长线于点Q，
在Rt△CDQ中，CD＝160cm，
∴DQ＝CD•cos54°≈160×0.6＝96（cm），
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∴96﹣80＝16（cm），
∴点C离地面的高度升高约16cm．
（建议用时：30分钟）
1．（2024•秦都区校级一模）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则cosA的值等于（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【分析】因为原题没有说明哪个角是直角，所以要分情况讨论：①AB为斜边，②AC为斜边，根据勾
股定理求得AB的值，然后根据余弦的定义即可求解．
【解答】解：当△ABC为直角三角形时，存在两种情况：
①当AB为斜边，∠C＝90°，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝ ＝ ＝10．
∴cosA＝ ＝ ＝ ；
②当AC为斜边，∠B＝90°，
由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝2 ，
∴cosA＝ ＝ ；
综上所述，cosA的值等于 或 ．
故选：C．
2．（2024•秦都区校级一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝ ，那么∠B的度数是（ ）
A．15° B．45° C．30° D．60°
【分析】根据直角三角形的边角关系，求出tanB的值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵tanB＝ ＝ ＝ ，
∴∠B＝60°，
故选：D．
3．（2024•界首市校级一模）如图，滑雪场有一坡角为18°的滑雪道，滑雪道AC长为150米，则滑雪道的
坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（ ）
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A．150tan18°米 B．150sin18°米
C． 米 D． 米
【分析】根据正弦的定义进行解答即可．
【解答】解：∵sinC＝ ，
∴AB＝AC•sinC＝150sin18°米，
答：滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为150sin18°米，
故选：B．
4．（2024•道里区模拟）如图，某数学兴趣小组测量一棵树 CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为
45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A、B、D三点在同一直线上，若AB＝（8 +8）米，则这
棵树CD的高度是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【分析】根据题意可得：CD⊥AB，设BD＝x米，然后在Rt△BDC中，利用锐角三角函数的定义求出
CD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，然后根据AD+BD＝AB，列出关
于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：CD⊥AB，
设BD＝x米，
在Rt△BDC中，∠CBD＝60°，
∴CD＝BD•tan60°＝ x（米），
在Rt△ACD中，∠DAC＝45°，tan∠DAC＝1，
∴AD＝ ＝ （米），
∵BD+AD＝AB，
∴x+ x＝8 +8，
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解得x＝8，
∴CD＝ x＝8 （米），
∴这棵树CD的高度约为8 米．
故选：B．
5．（2024•浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，D为BC的中点，若AD＝ CD，AB＝BD，则tan∠C的值
为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】根据正切的定义表示出tan∠C，再结合题中所给线段之间的关系即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为AD＝ ，
所以设CD＝k，则AD＝ ．
又因为AB＝BD，且∠B＝90°，
所以AB＝BD＝k，
则BC＝k+k＝2k．
在Rt△ABC中，
tan∠C＝ ．
故选：D．
6．（2024•平城区一模）如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄AD⊥滚轮连杆AB，
且AD＝20cm，AB＝160cm，连杆AB与底座BC的夹角为60°，则该椭圆机的机身高度（点D到地面的
距离）为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】点D作DE⊥BC于点E，交AB于点F，由含30°角的直角三角形的性质得DF＝2AD＝40cm，
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再由勾股定理得AF＝20 cm，则BF＝（160﹣20 ）cm，然后由含30°角的直角三角形的性质得BE
＝（80﹣10 ）cm，则EF＝ BE＝（80 ﹣30）cm，进而求出DE的长即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，交AB于点F，
则∠BEF＝90°，
由题意可知，∠ABC＝60°，
∴∠BFE＝90°﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
∴BE＝ BF，
∵AD⊥AB，
∴∠A＝90°，
∵∠AFD＝∠BFE＝30°，AD＝20cm，
∴DF＝2AD＝40cm，
∴AF＝ ＝ ＝20 （cm），
∵AB＝160cm，
∴BF＝AB﹣AF＝（160﹣20 ）cm，
∴BE＝ ×（160﹣20 ）＝（80﹣10 ）（cm），
∴EF＝ BE＝（80 ﹣30）cm，
∴DE＝EF+DF＝80 ﹣30+40＝（80 +10）（cm），
即该椭圆机的机身高度（点D到地面的距离）为（80 +10）cm，
故选：D．
7．（2024•阿城区模拟）如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板
的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB＝1.6m，则OC的长为（ ）
A． B． C．0.8sin20° D．0.8cos20°
【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．
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【解答】解：∵O为跷跷板AB的中点，AB＝1.6 m，
∴OB＝0.8m，
在Rt△OCB中，sinB＝ ，
则OC＝OB•sinB＝0.8sin20°，
故选：C．
8．（2024•雁塔区校级一模）在△ABC中，若|sinA﹣ |+（ ﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是 105 °
．
【分析】先利用非负数的性质得到sinA﹣ ＝0， ﹣cosB＝0，即sinA＝ ，cosB＝ ，则根据特
殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，然后根据三角形内角和定理计算出∠C的度数．
【解答】解：∵|sinA﹣ |+（ ﹣cosB）2＝0，
∴sinA﹣ ＝0， ﹣cosB＝0，
即sinA＝ ，cosB＝ ，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．
故答案为：105°．
9．（2024•平城区一模）数学实践小组要测量某路段上一处无标识的车辆限高杆MN的高度AB，如图，他
们先用测倾器在C处测得点A的仰角∠AEG＝30°，然后在距离C处2米的D处测得点A的仰角∠AFG
＝45°，已知测倾器的高度为1.6米，C、D、B在一条直线上，则车辆限高杆AB的高度为 2.6+
米．（结果保留根号）
【分析】延长EF，交AB于点H，设HF＝x米，在Rt△AHF中，可得AH＝HF＝x米，在Rt△AHE中，
tan30°＝ ，求出x的值，进而可得出答案．
【解答】解：延长EF，交AB于点H，
由题意得，HB＝DF＝CE＝1.6米，CD＝FE＝2米，
设HF＝x米，
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则EH＝HF+FE＝（x+2）米，
在Rt△AHF中，∠AFH＝45°，
∴AH＝HF＝x米，
在Rt△AHE中，tan30°＝ ，
解得x＝ +1，
∴AB＝AH+BH＝ +1+1.6＝2.6+ （米）．
故答案为：2.6+ ．
10．（2024•秦都区校级一模）计算：
（1）sin230°+2sin60°+tan45°+cos230°；
（2） ﹣2sin45°+2cos60°+|1﹣ |+（ ）﹣1．
【分析】（1）将sin230°+cos230°＝1和特殊角的三角函数值代入计算即可；
（2）将（ ）﹣1化简为（2﹣1）﹣1，并将特殊角的三角函数值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝sin230°+cos230°+2sin60°+tan45°
＝1+2× +1
＝2+ ．
（2）原式＝ ﹣2× +2× + ﹣1+（2﹣1）﹣1
＝2 ﹣ +1+ ﹣1+2
＝2 +2．
11．（2024•秦都区校级一模）如图，某中学依山而建，校门A处有一坡度i＝5：12的斜坡AB，长度为13
米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E处仰
望C的仰角是∠CEF＝60°，CF的延长线交校门处的水平面于点D．
（1）求坡顶B的高度；
（2）求楼顶C的高度CD．
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【分析】（1）过点B作BM⊥AD，过点E作EN⊥AD，由AB的坡度和长即可求出BM；
（2）由BF＝EF+BE，根据∠CBF＝45°、∠CEF＝60°、BE＝4米解三角形求出CF，即可解答．
【解答】解：（1）过点B作BM⊥AD，过点E作EN⊥AD，
∵i＝5：12，
∴ ，
∵AB＝13米，
设BM＝5a（米），AM＝12a（米），
∴（5a）2+（12a）2＝132，
∴a＝1，
∴BM＝DF＝5米，
则坡顶B的高度是5米；
（2）设EF为x米，则BF＝（4+x）米，
∵∠CBF＝45°，
∴BF＝CF＝（4+x）米，
∵∠CEF＝60°，
∴tan60°＝ ，
解得x＝2 +2，
∴CF＝（6+2 ）米，
∴CD＝CF+FD＝（11+2 ）米，
答：DC的长度为（11+2 ）米．
12．（2024•河南一模）我国的无人机水平位居世界前列，“大疆”无人机更是风靡海外．小华在一条东
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西走向的笔直宽阔的沿江大道上玩无人机航拍．已知小华身高 AB为1.8m，无人机匀速飞行的速度是
2m/s，当小华在B处时，测得无人机在C处的仰角为45°；3s后，小华沿正东方向前进3m到达E处，
无人机沿正西方向匀速飞行到达F处，此时测得无人机在F处的仰角为72.6°，已知无人机的飞行路线
CF平行于地面（直线l）．求无人机在C处时距离地面的高度．（结果精确到 0.1m，参考数据：
sin72.6°≈0.95，cos72.6°≈0.30，tan72.6°≈3.20）
【分析】设点D与点F的水平距离DM＝x m．过点C作CN⊥AD交AD延长线于点N，交直线l于点
H，则四边形ABHN，ABED，CFMN是矩形，则MN＝CF＝2×3＝6m，BE＝AD＝3m，FM＝CN，可得
AN＝（x+9）m，证得FM＝CN＝AN＝9+x，在Rt△DFM中，根据锐角三角函数，可得x的值，即可求
解．
【解答】解：设点D与点F的水平距离DM＝x m．
过点C作CN⊥AD交AD延长线于点N，交直线l于点H，则四边形ABHN，ABED，CFMN是矩形，
则MN＝CF＝2×3＝6m，BE＝AD＝3m，FM＝CN，NH＝AB＝1.8m，
∴AN＝3+x+6＝（9+x）m，
在Rt△ACN中，∠CAN＝45°，
∴∠ACN＝45°＝∠CAN，
∴FM＝CN＝AN＝9+x，
在Rt△DFM中，tan∠FDM＝ ，∠FDM＝72.6°，
∴ ≈3.2，
解得：x≈4.09，
∴CH＝9+4.09+1.8＝10.89≈10.9（m）．
即点C离地面的距离约为10.9m．
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13．（2024•沈丘县一模）第31届世界大学生运动会于2023年7月28日在成都举行，主火炬塔位于东安
湖体育公园，亮灯之夜，塔身通体透亮，10余道象征太阳光芒的螺旋线全部点亮，璀璨绚丽，流光溢
彩（如图1）．小杰同学想要通过测量及计算了解火炬塔CD的大致高度，当他步行至点A处，测得此
时塔顶C的仰角为42°，再步行20米至点B处，测得此时塔顶C的仰角为65°（如图2所示，点A，B，
D在同一条直线上），请帮小杰计算火炬塔CD的高．（sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，
sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，结果保留整数）
【分析】在Rt△ACD中，由锐角三角函数定义可得 AD，再在Rt△BCD中，由锐角三角函数定义可得
BD，进而可得火炬塔CD的高度．
【解答】解：设CD＝x米，
在Rt△ACD中，tan42°＝ ，
∴AD＝ ，
在Rt△BCD中，tan65°＝ ，
∴BD＝ ，
∵AB＝20米，
∴ ，
解得x≈31．
答：火炬塔CD的高约为31米．
14．（2024•娄星区校级一模）数学兴趣小组的成员在观察点A测得观察点B在A的正北方向，古树C在A
的东北方向，AC＝50 m；在B处测得C在B的南偏东63.5°的方向上，已知D在C正北方向上，即
CD∥AB，求古树C，D之间的距离．（结果精确到 0.1m，参考数据： ≈1.41，sin63.5°≈0.89，
cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.32）
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【分析】过B作BE⊥CD于E，过C作CF⊥AB于F，根据矩形的性质得到BE＝CF，CE＝BF，解直角
三角形即可得到结论．
【解答】解：过B作BE⊥CD于E，过C作CF⊥AB于F，
则四边形BFCE是矩形，
∴BE＝CF，CE＝BF，
∵∠CAF＝45°，∠AFC＝90°，
∴CF＝AF＝ AC＝50，
∵∠CBF＝63.5°，
∴BF＝CE＝ ≈ ＝25（米），
∵CD∥AB，
∴∠D＝53°，
∵∠BED＝90°，
∴DE＝ ≈ ≈37.9（米），
∴CD＝CE+DE＝62.9（米），
答：古树C、D之间的距离约为62.9米．
15．（2024•遂平县一模）宝岩寺塔始建于北宋时期，已有近千年的历史，为仿木结构楼阁式七级砖塔，
整体呈奶黄色，平面呈六角形，塔角雕饰龙首，塔身浮雕壁画，如今已经成为驻马店西平县的地标性建
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筑．某实践探究小组想测得宝岩寺塔的高度，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表．
实践探究活动记录表
活动内容：宝岩寺塔的高度
活动日期：2024年3月12日
成员
组长：xx
组员：xxxxxxxxxxxx
工具：测角仪，皮尺等
说明：塔高无法直接测量，数
测量示意图 据勘测组在A，B两处通过测
角仪可测得∠DAC，∠DBC
的度数，以及使用皮尺测得
AB的长度．
测量数据 角的度数 ∠DBC＝53°
∠DAC＝30°
∠BCD＝90°
边的长度 AB＝28.8米
计算数据 求塔高（CD） （结果精确到0.1m．参考数据： ≈1.73，
sin ，cos53°≈ ， ）
特殊说明 （点A，B，C，D在同一平面内，且点A，B，C在同一水平线上）
【分析】设DC＝x（m），解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：设DC＝x m，
在Rt△DBC中， ，
∴ ，
在Rt△ACD中， ，
∴ ，
∴ （m），
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解得x＝28.8．
答：宝严寺塔的高度约为28.8m．
16．（2024•鹿城区校级一模）【问题背景】
一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图 1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备
利用附近的小山坡进行测量估算．
【问题探究】
如图2，在坡角点C处测得旗杆顶点A的仰角∠ACE的正切值为2，山坡上点D处测得顶点A的仰角
∠ADG的正切值为 ．斜坡CD的坡比为 ，两观测点CD的距离为15m．
学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务．
任务1：计算C，D两点的垂直高度差．
任务2：求顶点A到水平地面的垂直高度．
【问题解决】
为了计算得到旗杆AB的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案：
小组一：在坡角点C处测得旗杆底部点B的仰角∠BCE的正切值为 ；
小组二：在山坡上点D处测得旗杆底部点B的俯角∠GDB的正切值为 ．
任务3请选择其中一个小组的方案计算旗杆AB的高度．
【分析】任务1：过点D作DH⊥CF，垂足为H，根据已知可设DH＝3x米，则CH＝4x米，然后在
Rt△CDH中，利用勾股定理进行计算，即解答；
任务2：延长AB交FE的延长线于点M，延长DG交AB于点N，根据题意可得：DH＝NM＝9米，DN
＝MH，然后设CM＝x米，则DN＝MH＝（x+12）米，从而分别在Rt△ACM和Rt△ADN中，利用锐角
三角函数的定义求出AN和AM的长，最后列出关于x的方程进行计算，即可解答；
任务3：若选择小组一的方案：在Rt△BCM中，利用锐角三角函数的定义求出BM的长，从而利用线段
的和差关系进行计算，即可解答；
若选择小组二的方案：在Rt△DNB中，利用锐角三角函数的定义求出BN的长，再在Rt△ADN中，利
用锐角三角函数的定义求出AN的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：任务1：过点D作DH⊥CF，垂足为H，
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∵斜坡CD的坡比为 ，
∴设DH＝3x米，则CH＝4x米，
在Rt△CDH中，CD＝ ＝ ＝5x（米），
∵CD＝15米，
∴5x＝15，
解得：x＝3，
∴DH＝9米，CH＝12米，
∴C，D两点的垂直高度差为9米；
任务2：延长AB交FE的延长线于点M，延长DG交AB于点N，
由题意得：DH＝NM＝9米，DN＝MH，
设CM＝x米，
∵CH＝12米，
∴DN＝MH＝CM+CH＝（x+12）米，
在Rt△ACM中，tan∠ACM＝2，
∴AM＝CM•tan∠ACM＝2x（米），
在Rt△ADN中，tan∠ADN＝ ，
∴AN＝DN•tan∠ADN＝ （x+12）米，
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∵AM＝AN+MN，
∴2x＝ （x+12）+9，
解得：x＝15，
∴AM＝2x＝30（米），
∴顶点A到水平地面的垂直高度为30米；
任务3：若选择小组一的方案：
在Rt△BCM中，tan∠BCM＝ ，CM＝15米，
∴BM＝CM•tan∠BCM＝15× ＝6（米），
∴AB＝AM﹣BM＝30﹣6＝24（米），
∴旗杆AB的高度为24米；
若选择小组二的方案：
在Rt△DNB中，tan∠NDB＝ ，DN＝MH＝CM+CH＝15+12＝27（米），
∴BN＝DN•tan∠NDB＝27× ＝3（米），
在Rt△ADN中，tan∠ADN＝ ，
∴AN＝DN•tan∠ADN＝27× ＝21（米），
∴AB＝AN+BN＝21+3＝24（米），
∴旗杆AB的高度为24米．
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