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热点 08 解直角三角形及其应用
中考数学中《锐角三角函数及其应用》部分主要考向分为三类：
一、特殊角的三角函数值相关运算（每年1道，6~8分）
二、解直角三角形（每年1道，3分）
三、解直角三角形的应用（每年1题，3~8分）
中考数学中，对锐角三角函数的考察主要以特殊角的三角函数值及其有关计算、解直角三角形、解直
角三角形的应用三个方面为主。其中，特殊角的三角函数值主要和实数相关概念放一起考察计算题，而解
直角三角形及其各种应用则选择、填空、简答题都有出现，其中应用则偏向大题多些，难度一般中等或偏
上，分值也比较可观，但对应考点掌握熟练，计算和审题上够小心了，一般不会失分。
考向一：特殊角的三角函数值的运算
【题型1和实数概念结合的特殊角的三角函数值的运算】
特殊角的三角函数值表
α sinα cosα tanα
30° 1 √3 √3
2 2 3
45° √2 √2 1
2 2
60° √3 1 √3
2 2
特殊角的三角函数值，可以直接记数值，也可以记定义，然后现退对应函数值，但显
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然，直接熟记对应数值会便捷很多。
1．（2025·山东济南·一模）计算：(π−5) 0+√8−2sin30°+∣−√2∣+
(1) −1
．
2
2．（2025·江苏镇江·一模）计算：(2−√2) 0+|√2−3|+2sin45°
3．（2025·江苏宿迁·一模）计算：(−2) 0+2sin30°−|2−√3|．
4．（2025·湖南长沙·一模）计算：
(2) −1
−cos60°+|2−√5|+(2025−π) 0
3
5．（2025·湖南长沙·模拟预测）计算：√4−(π−3) 0−10sin30°+
(1) −2
2
6．（2025·湖南长沙·模拟预测）计算：(−1) 2025+2tan60°−√12+(π−2) 0．
7．（2025·广东清远·模拟预测）计算：(−√3) 2 −|−4|+(2024−π) 0+tan45°．
1 −1
8．（2024·广东梅州·一模）计算：sin60°−(3−π) 0+√4+(− ) ．
3
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考向二：解直角三角形
【题型2 利用已知信息求解对应角的三角函数值】
解直角三角形口诀“直乘斜除，对正临余”——求直角三角形的直角边，多用乘法；求斜边，多用除
法。求已知角的对边，多用正弦或正切值；求已知角的临边，多用余弦值。
常见辅助线：作垂线
1.（2025·广东深圳·一模）在△ABC中，∠A=80°,∠B=70°，那么sinC的值是（ ）
1 √2 √3
A． B．1 C． D．
2 2 2
2．（2024·云南·中考真题）在△ABC中，若∠B=90°,AB=3,BC=4，则tanA=（ ）
4 3 4 3
A． B． C． D．
5 5 3 4
3．（2025·广东深圳·一模）如图所示的电视塔是某城市的标志性建筑物，在水平地面上的点A，C处分别
测得电视塔塔顶B的仰角均为α度，且点A，C，D在同一直线上，BD丄AC，若测得AC=200m，
则塔高BD是（ ）
200
A．200tanαm B． m C．100tanαm D．100sinαm
tanα
4．（22-23九年级上·广东佛山·期末）如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanB的值为
（ ）
√10 5 4
A．1 B． C． D．
4 4 5
5．（2024·安徽宿州·模拟预测）如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在△MBN的
边上，则cosN=（ ）
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2√5 2 √2 √3
A． B． C． D．
5 5 2 2
1 3
6．（2025·广东广州·模拟预测）已知点A与点B分别在反比例函数y= (x>0)与y=− (x>0)的图像上，
x x
且OA⊥OB，则sin∠OAB的值为（ ）
1 √2 √3 √3
A． B． C． D．
2 2 2 3
【题型3 利用三角函数值求解几何图形的线段】
此类计算更多的是注意审题，因为题目中可能会要求精确位数，或者保留几位有效数字，这时候要注
意，一般计算到最后一步才带入参考数据计算，然后四舍五入。
3
1．（2025·陕西榆林·一模）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高．若AB=5，BC=6，sinB= ，则
5
AC的长为（ ）
A．√13 B．3√2 C．5 D．4√2
2．（2025·海南三亚·模拟预测）如图，建筑物AB和旗杆CD的水平距离BC为9m，在建筑物的顶端A测得
旗杆顶部D的仰角α为45°，旗杆底部C的俯角β为30°，则旗杆CD的高度为（ ）
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A．3√2m B．3√3m C．(3√2+9)m D．(3√3+9)m
3．（2025·浙江宁波·一模）在菱形ABCD中， 点E，F分别是AB， AD的中点， 连接CE， CF．若
3
sin∠ECF= ，CE=10， 则BC的长为（ ）
5
A．4√5 B．4√3 C．3√6 D．6
4．（2025·陕西西安·二模）如图，在平行四边形ABCD中，过D 作DE⊥BC于 点E，若∠A=60°，
DE=6，则 AB的长为（ ）
A．2√3 B．3 C．4√3 D．6√3
考向三：解直角三角形的应用
【题型4 坡度坡角问题】
坡度坡角的意义：
h
i=
l
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα
坡度越大，坡角越大，坡面越陡
1．（2024·湖南·模拟预测）如图，在冬奥会滑雪场有一坡度为1:√3的滑雪道，滑雪道AC的长为150m，
则BC的长为（ ）
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A．75m B．75√3m C．50√3m D．100√3m
2．（2024·广东广州·模拟预测）如图，小乐和小静一起从点A出发去拍摄木棉树FH．小乐沿着水平面步
行17m到达点B时拍到树顶点F，仰角为63°；小静沿着坡度i=5:12的斜坡步行13m到达点C时拍到
树顶点F，仰角为45°，那么这棵木棉树的高度约（ ）m．（结果精确到1m）（参考数据：
sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0）
A．22 B．21 C．20 D．19
3．（2024·四川自贡·模拟预测）如图为一大坝的横截面图，AD∥BC，背水坡AB的坡度为√3:1，迎水
坡的坡角为30°，若AD=4米，坝高为4√3米，则坡底BC长为（ ）米．
A．17 B．18 C．19 D．20
4．（2025·广东潮州·模拟预测）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:√3，河堤的高BC=10米，则坡
面AB的长度是 米．（坡比也叫坡度．坡比是1:√3指点B向水平面作垂线BC，垂足为C，
BC:AC=1:√3．）
5．（2025·上海青浦·一模）如图，梯形ABCD是某水库大坝的横截面．已知坝高AE=8m，如果将坡度为
1:√2的斜坡AB改为坡度为1:2的斜坡AP，那么大坝底部应加宽 m．（结果保留根号）
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6．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡
度i=1:√3，BE=6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰
角为60°．
(1)求点B离水平地面的高度AB．
(2)求电线塔CD的高度（结果保留根号）．
7．（2023·湖北·中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形
ABCD，斜面坡度i=3:4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，
∠C=18°，求斜坡AB的长．（结果精确到米）（参考数据：
sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32）
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【题型5 仰角俯角问题】
仰角俯角的意义：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角.
俯角：视线在水平线下方的叫俯角
1．（2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们
来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑
的相关数据．
数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平
地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD=18.4°；然后沿
CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°，当到达点A正上方的点E处时，测得
AE=9米；…
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计
算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，
cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33)．
2．（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高
度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为30°；格桑在B处测得山顶C的仰角为45°．
已知两人所处位置的水平距离MN=210米，A处距地面的垂直高度AM=30米，B处距地面的垂直高
度BN=20米，点M，F，N在同一条直线上，求小山CF的高度．（结果保留根号）
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3．（2025·陕西西安·二模）如图是某市的广播电视中心，小明同学想利用所学的知识来测量该建筑物的高
度EF．他先在B处用测倾器AB测得电视中心顶端E的仰角为37°，再从B沿BF方向走了250.5米到
达D处，在D处竖立标杆CD，发现水平地面上的点M、标杆的顶端C与该建筑物的顶端E恰好在一
条直线上，已知AB=CD=1米，测得DM=0.5米．点B、M、D、F在同一条直线上，
AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF．根据上述数据，计算该广播电视中心的高度EF．（结果精确
到1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
4．（2025·河南·一模）开封铁塔又称“开宝寺塔”（如图1），素有“天下第一塔”之称，是见证开封千
余年繁华的参照．才思数学兴趣小组利用所学知识开展“测量开封铁塔高度”的主题活动，并写出如
下报告，请完成任务．
课题 测量开封铁塔高度
测量 无人机、测角仪、秒表等
工具
测量
示意
图
如图2，测量小组使用无人机在点A处以6.3m/s的速度竖直上升20s飞行至点B
测量
处，在点B处测得塔顶D的俯角为20°，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在
过程
点C处测得塔顶D和点A的俯角均为45°
点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，
说明
DE⊥AE．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
任务 求开封铁塔DE的高度（结果精确到1m）
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5．（2025·辽宁·模拟预测）如图（1）是一台实物投影仪，图（2）是它的示意图，折线A−B−C表示可
转动支架，支架BC可以伸缩调节，投影探头CD始终垂直于水平桌面MN，AB与BC始终在同一平面
内．已知投影仪的底座高3厘米，支架AB=30厘米，探头CD=10厘米．（参考数据：
sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan63°≈2，sin53°≈0.8，√10≈3.16）
(1)当支架AB与水平线的夹角为75°，与支架BC的夹角为90°，且BC=AB时，求探头的端点D到桌
面MN的距离．（结果保留一位小数）
(2)为获得更好的投影效果，调节支架AB，如图（3）所示，使得AB与水平线的夹角为53°，同时调
节支架BC，使得探头端点D与点B在同一水平线上，且从点D看点A的俯角为63°，此时支架BC的
长度为多少？（结果保留一位小数）
6．（2025·上海静安·一模）舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也
被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅
花桩AB、CD、EF垂直于地面，且B、D、F在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶C处测得
桩顶A和桩顶E的仰角分别为35°和47°，且AB桩与EF桩的高度差为1米，两桩的距离BF为2米．
(1)舞狮人从A跳跃到C，随后再跳跃至E，所成的角∠ACE= °；
(2)求桩AB与桩CD的距离BD的长．（结果精确到0.01米）
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【题型6 方向角问题】
方向角遵循——上北下南，左西右东。
因为这类题目常和特殊角结合，故作辅助线时，谨记一个原则：不能破坏已有的特殊角。
1．（2025·河南焦作·一模）如图，一艘轮船位于灯塔C的北偏东57°方向，距离灯塔50海里的A处，此时
船长接到台风预警信息，台风将在5小时后袭来，他计划立即沿正南方向航行，赶往位于灯塔C的南
偏东30°方向上的避风港B处．
(1)问避风港B处距离灯塔C有多远．
(2)如果轮船的航速是20海里/时，问轮船能否在5小时内赶到避风港B处．(参考数据：sin57°≈0.84，
cos57°≈0.54，tan57°≈1.54，√3≈1.73 )
2．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后
到达A港正东方向的C港装运新的物资．甲货轮沿A港的东南方向航行10海里后到达B港，再沿北偏
东60∘万向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的北偏东60∘方向航行一定距离到达D港，再沿南偏
东30∘方向航行一定距离到达C港．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）
(1)求A，C两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、D两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算
说明．
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3．（2024·湖南长沙·模拟预测）今年4月23日，是人民海军成立75周年纪念日．东部战区海军某基地海
边举办舰艇开放活动，A、B两点分别为活动入口和出口．且点B在一水平海岸线CD（如图所示）上，
24
测得∠ABC=α，sinα= ，从点B出发按CD方向前进20米到达点E，即BE=20米，测得
25
∠AEB=β，tanβ=3，试根据已知条件求出活动入口和出口之间的直线距离．
4．（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，且
16√3
A，B相距 海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向．
3
(1)求B，C两处的距离；
(2)该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，
在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向，便立即以18海里/小时的速度沿BD方向航行至D
处救援，求渔政船的航行时间．
（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：tan65°≈2.1，tan27°≈0.5）
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（建议用时：40分钟）
一﹑选择题
1．（2025·陕西·一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，且
1
sin∠BAE= ，若BD=8，则AE的长为（ ）
2
A．√3 B．2 C．2√3 D．3√2
3
2．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，sin∠BCD= ，
5
AB=15，则BC的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
3．（2025·广东深圳·一模）如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L水平距离为8km，
当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为53°，则这枚火箭此时的高度AL为（ ）km．
8
A．8sin53° B．8cos53° C． D．8tan53°
tan53°
4．（2025·陕西西安·二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若点A是C´D的中点，
1
CD=4√3，cosD= ，则AB的长为（ ）
2
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A．3√5 B．6 C．4√3 D．8
5．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E在DC上，把△ADE沿
AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cos∠CEF的值为（ ）
√7 √7 3 5
A． B． C． D．
4 3 4 4
6．（2024·广东深圳·三模）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量某大
楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得地面点A处的俯角为60°，且点P到点A的距离为80米，
同时测得楼顶点C处的俯角为30°．已知点A与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面
内），则大楼的高度BC为（ ）
A．51米 B．29√3米 C．30√3米 D．(40√3−10)米
7．（2024·陕西咸阳·三模）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若△ABC的三个
顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为（ ）
1 √10
A．1 B．2 C． D．
2 5
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8．（2024·湖南长沙·一模）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3．沿过点A的直线
将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处：再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为
E，则sin∠DEA=（ ）
5 12 3 2
A． B． C． D．
3 13 5 3
9．（22-23九年级上·山东烟台·期中）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟，小亮在龙舟竞渡中心广场点P
处观看400米直道竞速赛，如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，
终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB=400米，求点P到赛道AB的距离（ ）（结果保留整数，
参考数据：√3≈1.732）
A．50√3 B．100√3 C．87 D．173
二、填空题
10．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在正方形ABCD中，BC=3，延长BC至点E，使CE=2,DF平分
∠ADC交AE于点F，则线段DF的长为 ．
11．（2025·广东清远·一模）图1是一个地铁站入口的双翼闸机，图2是它的简化图，它的双翼展开时，双
翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=80cm，且与闸机侧立面夹角
∠ACP=∠BDQ=32°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 cm．（参考数
据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
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12．（2024·湖北武汉·中考真题）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在
一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度，具体过程如下：如图，将无人机
垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得
黄鹤楼的高度是 m．（参考数据：tan63°≈2）
三、解答题
13．（2025·陕西·一模）如图，某商场开业当天，在商场门前的广场上举行无人机表演，某一时刻，甲在
商场的楼顶C处观测到其中一架无人机D的仰角为37°，同一时刻，乙在A处观测到无人机D的仰角
为30°，已知乙的位置A到商场的距离AB=60m，商场的高度BC=24m，BC⊥AB，DE⊥AB，
点A、B、C、D、E都在同一平面上，求此时无人机的高度DE．（结果取整数，参考数据：√3≈1.73，
3 4 3
sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ）
5 5 4
14．（2025·江苏镇江·一模）图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AC,CD可分别绕点A，C转动，
测得CD=10cm,AC=24cm．小明爸爸把支架调整到适合的位置，测得∠BAC=60°,∠ACD=55°．
(1)求点C到AB的距离；
(2)求点D到AB的距离．(结果均保留一位小数，参考数据：√3≈1.732，sin25°≈0.423，
cos25°≈0.906，tan25°≈0.466)
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15．（2025·山西朔州·一模）【实践情景】如图，太原市在本市两景点之间开设了两条徒步路线，线路1
为Citywalk路线，路线为A,B之间的线段；线路2为越野线路，路线为A−C−B之间的折线段．
【数据收集】
数据①：点B在点A的北偏东45°方向上；
数据②：线路2的行走方式为从起点A出发，先向北偏东15°的方向越野行走一段路程到达中转点C，
再从中转点C向正东方向行走2000米即可到达终点B．
【数据应用】
利用以上数据，求AB的长．（结果保留整数，参考数据：√2≈1.414,√6≈2.449）
17
