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热点 08 解直角三角形及其应用
中考数学中《锐角三角函数及其应用》部分主要考向分为三类：
一、特殊角的三角函数值相关运算（每年1道，6~8分）
二、解直角三角形（每年1道，3分）
三、解直角三角形的应用（每年1题，3~8分）
中考数学中，对锐角三角函数的考察主要以特殊角的三角函数值及其有关计算、解直角三角形、解直
角三角形的应用三个方面为主。其中，特殊角的三角函数值主要和实数相关概念放一起考察计算题，而解
直角三角形及其各种应用则选择、填空、简答题都有出现，其中应用则偏向大题多些，难度一般中等或偏
上，分值也比较可观，但对应考点掌握熟练，计算和审题上够小心了，一般不会失分。
考向一：特殊角的三角函数值的运算
【题型1和实数概念结合的特殊角的三角函数值的运算】
特殊角的三角函数值表
α sinα cosα tanα
30° 1 √3 √3
2 2 3
45° √2 √2 1
2 2
60° √3 1 √3
2 2
特殊角的三角函数值，可以直接记数值，也可以记定义，然后现退对应函数值，但显
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然，直接熟记对应数值会便捷很多。
1．（2025·山东济南·一模）计算：(π−5) 0+√8−2sin30°+∣−√2∣+
(1) −1
．
2
【答案】3√2+2
【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算零次幂，化简二次根式，代入特殊
角的三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数幂，再合并即可．
【详解】解：(π−5) 0+√8−2sin30°+∣−√2∣+
(1) −1
2
1
=1+2√2−2× +√2+2
2
=3√2+2
2．（2025·江苏镇江·一模）计算：(2−√2) 0+|√2−3|+2sin45°
【答案】4
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及到绝对值，特殊角三角函数，熟练掌握实数混合运算法则
是解题的关键．根据实数运算法则，先进行幂的运算，绝对值和特殊角三角函数，再进行加减运算，
即可得到结果．
【详解】解：(2−√2) 0+|√2−3|+2sin45°
√2
=1+3−√2+2×
2
=4−√2+√2
=4 ．
3．（2025·江苏宿迁·一模）计算：(−2) 0+2sin30°−|2−√3|．
【答案】√3
【分析】本题考查实数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．根据绝对值的意
义，负整数指数幂，零指数幂及锐角三角函数分别化简，然后进行计算．
1
【详解】解：原式=1+2× −2+√3
2
=√3．
4．（2025·湖南长沙·一模）计算：
(2) −1
−cos60°+|2−√5|+(2025−π) 0
3
【答案】√5
【分析】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，先把每一项算出，
再加减即可，熟练计算是解题的关键．
3 1
【详解】解：原式= − +√5−2+1 =√5．
2 2
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5．（2025·湖南长沙·模拟预测）计算：√4−(π−3) 0−10sin30°+
(1) −2
2
【答案】0
【分析】本题主要考查零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值以及负整数指数幂，熟练掌握运
算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可．
1
【详解】解：原式=2−1−10× +4=2−1−5+4=0．
2
6．（2025·湖南长沙·模拟预测）计算：(−1) 2025+2tan60°−√12+(π−2) 0．
【答案】0．
【分析】本题考查了实数的运算，先计算乘方，特殊角的三角函数值，二次根式，零指数幂，负整数
指数幂，再进行加减运算即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：(−1) 2025+2tan60°−√12+(π−2) 0
=−1+2×√3−2√3+1
=0．
7．（2025·广东清远·模拟预测）计算：(−√3) 2 −|−4|+(2024−π) 0+tan45°．
【答案】1
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，绝对值、零次幂，先运算乘方、化简绝对值、
零次幂以及特殊角的三角函数，再运算加减法，即可作答．
【详解】解：(−√3) 2 −|−4|+(2024−π) 0+tan45°
=3−4+1+1
=1．
1 −1
8．（2024·广东梅州·一模）计算：sin60°−(3−π) 0+√4+(− ) ．
3
√3
【答案】 −2
2
【分析】此题考查了实数的混合运算．代入特殊角是三角函数值、利用零指数幂法则、求算术平方根
的法则、负整数指数幂法则进行计算即可．
1 −1
【详解】解：sin60°−(3−π) 0+√4+(− )
3
√3
= −1+2+(−3)
2
√3
= −2．
2
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考向二：解直角三角形
【题型2 利用已知信息求解对应角的三角函数值】
解直角三角形口诀“直乘斜除，对正临余”——求直角三角形的直角边，多用乘法；求斜边，多用除
法。求已知角的对边，多用正弦或正切值；求已知角的临边，多用余弦值。
常见辅助线：作垂线
1.（2025·广东深圳·一模）在△ABC中，∠A=80°,∠B=70°，那么sinC的值是（ ）
1 √2 √3
A． B．1 C． D．
2 2 2
【答案】A
【分析】本题考查了特殊三角函数的值，三角形内角和定理，根据三角形内角和定义求出∠C=30°，
再由特殊三角函数的值即可解答．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A=80°,∠B=70°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=30°，
1
∴sinC=sin30°= ，
2
故选：A．
2．（2024·云南·中考真题）在△ABC中，若∠B=90°,AB=3,BC=4，则tanA=（ ）
4 3 4 3
A． B． C． D．
5 5 3 4
【答案】C
【分析】本题考查锐角三角函数．根据题意利用锐角三角函数即可得到本题答案．
【详解】解：∵∠B=90°,AB=3,BC=4，
BC 4
∴tanA= = ，
AB 3
故选：C．
3．（2025·广东深圳·一模）如图所示的电视塔是某城市的标志性建筑物，在水平地面上的点A，C处分别
测得电视塔塔顶B的仰角均为α度，且点A，C，D在同一直线上，BD丄AC，若测得AC=200m，
则塔高BD是（ ）
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200
A．200tanαm B． m C．100tanαm D．100sinαm
tanα
【答案】C
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据等腰三角形的性质得D为AC的中点，利
用锐角三角函数即可解决问题．
【详解】解：由题意可知：∠A=∠C=a,BD⊥AC，
∴点D为AC的中点，
∵AC=200米，
1
∴AD=CD= AC=100米，
2
∴BD=AD⋅tanα=100tanα（米）．
故选：C．
4．（22-23九年级上·广东佛山·期末）如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanB的值为
（ ）
√10 5 4
A．1 B． C． D．
4 4 5
【答案】D
【分析】本题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
根据正切函数的定义，可得答案．
【详解】解：如图：
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，AD=4，BD=5，
AD 4
∴tanB= = ，
BD 5
故选D．
5．（2024·安徽宿州·模拟预测）如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在△MBN的
边上，则cosN=（ ）
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2√5 2 √2 √3
A． B． C． D．
5 5 2 2
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理、余弦的定义等知识点，得到∠N=∠≝¿是解决本题的关键．
如图：由题意得EF∥BN，∠B=∠DFE=90°，从而得出∠N=∠≝¿，设DF=t，则EF=2t，由
勾股定理得出DE=√5t，最后代入计算即可．
【详解】解：如图：
由题意得：EF∥BN，∠B=∠DFE=90°，
∴∠N=∠≝¿，
设DF=t，则EF=2t，
∴DE=√t2+(2t) 2=√5t，
EF 2t 2√5
∵在Rt△≝¿中，cos∠≝= = = ，
DE √5t 5
2√5
∴cos∠N=cos∠≝= ．
5
故选：A．
1 3
6．（2025·广东广州·模拟预测）已知点A与点B分别在反比例函数y= (x>0)与y=− (x>0)的图像上，
x x
且OA⊥OB，则sin∠OAB的值为（ ）
1 √2 √3 √3
A． B． C． D．
2 2 2 3
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【答案】C
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的
关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
过点A作AC⊥y轴，过点B作BD⊥y轴，证明△ACO∽△ODB得到
S
△BOD =
(OB) 2
，再由反比例
S OA
△AOC
OB
函数性质可求出 =√3，再利用正弦定义求sin∠OAB的值即可．
OA
【详解】解：过点A作AC⊥y轴，过点B作BD⊥y轴，则∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠OAC+∠COA=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∵∠ACO=∠BDO=90°，
∴△ACO∽△ODB，
∴
S
△BOD =
(OB) 2
，
S OA
△AOC
1 3
∵点A与点B分别在反比例函数y= (x>0) 与y=− (x>0)的图像上，
x x
1 3
∴S = ,S = ，
△AOC 2 △BOD 2
∴
S
△BOD =
(OB) 2
=3，
S OA
△AOC
OB
∴ =√3，
OA
设OA=k,OB=√3k，
∵∠AOB=90°，
∴AB=√OA2+OB2=√k2+(√3k) 2=2k，
OB √3k √3
∴sin∠OAB= = = ．
AB 2k 2
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故选：C．
【题型3 利用三角函数值求解几何图形的线段】
此类计算更多的是注意审题，因为题目中可能会要求精确位数，或者保留几位有效数字，这时候要注
意，一般计算到最后一步才带入参考数据计算，然后四舍五入。
3
1．（2025·陕西榆林·一模）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高．若AB=5，BC=6，sinB= ，则
5
AC的长为（ ）
A．√13 B．3√2 C．5 D．4√2
【答案】A
【分析】本题考查了解直角三角形和勾股定理，正确作辅助线构造直角三角形是解题的关键．解直角
三角形得AD=AB⋅sinB=3，由勾股定理得：BD=4，求得CD的长，在Rt△ACD中，由勾股定理
即可求解．
3
【详解】解：∵sinB= ，AB=5，
5
∴AD=AB⋅sinB=3，
由勾股定理得：BD=√AB2−AD2=4，
∴CD=BD−BC=6−4=2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC=√AD2+CD2=√32+22=√13，
故选：A．
2．（2025·海南三亚·模拟预测）如图，建筑物AB和旗杆CD的水平距离BC为9m，在建筑物的顶端A测得
旗杆顶部D的仰角α为45°，旗杆底部C的俯角β为30°，则旗杆CD的高度为（ ）
A．3√2m B．3√3m C．(3√2+9)m D．(3√3+9)m
【答案】D
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【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键掌握锐角三角函数的定义．根据题意
可得四边形ABCE是矩形，AE=BC=9m，然后分别在Rt△AEC和Rt△AED中，利用锐角三角函数
的定义求出CE和DE的长，最后利用线段的和差，即可解答．
【详解】解，如图：
由题意得：四边形ABCE是矩形
∴AE=BC=9m
在Rt△AEC中，∠CAE=β=30°，
∴ CE=AE⋅tan30°=3√3m，
在Rt△AED中，∠EAD=α=45°，
∴ DE=AE·tan45°=9m，
∴ CD=CE+DE=(3√3+9)m．
故选：D．
3．（2025·浙江宁波·一模）在菱形ABCD中， 点E，F分别是AB， AD的中点， 连接CE， CF．若
3
sin∠ECF= ，CE=10， 则BC的长为（ ）
5
A．4√5 B．4√3 C．3√6 D．6
【答案】A
【分析】延长BA，CF交于点M，证明△CBE≌△CDF(SAS)，△AMF≌△DCF(AAS)，可得
3
CE=CF=FM=10，过E点作EN⊥CF于N点，结合sin∠ECF= 可得EN=6，CN=8，
5
MN=12，再进一步可得答案.
【详解】解：延长BA，CF交于点M，
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在菱形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，
∴AB=BC=CD=AD，BE=AE=AF=DF，AB∥CD，∠D=∠B，∠M=∠FCD
在△BCF和△DCF中
¿，
∴ △CBE≌△CDF(SAS)，
∴ CE=CF=10，
在△AMF和△CDF中
¿，
∴ △AMF≌△DCF(AAS)，
∴ AM=CD，MF=CF=10，
过E点作EN⊥CF于N点，
∴∠CNE=90°
3
∵ sin∠ECF= ，CE=10，
5
∴EN=6，CN=8，
∴ NF=CF−CN=2，
∴MN=10+2=12，
在Rt△ENM中
EM=√EN2+M N2=√122+62=6√5，
1
即EM=AE+AM= AB+AB=6√5，
2
∵AB=BC=CD=AD，
∴AB=BC=4√5，
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，运用三角函数解直角三角形，勾股定理
等，正确添加辅助线构造直角三角形是解本题的关键．
4．（2025·陕西西安·二模）如图，在平行四边形ABCD中，过D 作DE⊥BC于 点E，若∠A=60°，
DE=6，则 AB的长为（ ）
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A．2√3 B．3 C．4√3 D．6√3
【答案】C
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，锐角三角函数的应用，证明AB=CD，∠A=∠C=60°，
DE
根据CD= 可得答案．
sin60°
【详解】解：在平行四边形ABCD中，∠A=60°，
∴AB=CD，∠A=∠C=60°，
∵DE⊥BC，DE=6，
DE 2
∴CD= =6× =4√3，
sin60° √3
∴AB=4√3，
故选：C
考向三：解直角三角形的应用
【题型4 坡度坡角问题】
坡度坡角的意义：
h
i=
l
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα
坡度越大，坡角越大，坡面越陡
1．（2024·湖南·模拟预测）如图，在冬奥会滑雪场有一坡度为1:√3的滑雪道，滑雪道AC的长为150m，
则BC的长为（ ）
A．75m B．75√3m C．50√3m D．100√3m
【答案】B
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AB 1 √3
【分析】本题考查勾股定义解应用题，涉及坡度定义，根据坡度定义得到 = = ，设
BC √3 3
AB=√3x，则BC=3x，在Rt△ABC中，由勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】解：∵在冬奥会滑雪场有一坡度为1:√3的滑雪道，
AB 1 √3
∴ = = ，
BC √3 3
设AB=√3x，则BC=3x，
在Rt△ABC中，AC=150m，则由勾股定理可得(√3x) 2+(3x) 2=1502，解得x=25√3，
∴ BC=3x=75√3m，
故选：B．
2．（2024·广东广州·模拟预测）如图，小乐和小静一起从点A出发去拍摄木棉树FH．小乐沿着水平面步
行17m到达点B时拍到树顶点F，仰角为63°；小静沿着坡度i=5:12的斜坡步行13m到达点C时拍到
树顶点F，仰角为45°，那么这棵木棉树的高度约（ ）m．（结果精确到1m）（参考数据：
sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0）
A．22 B．21 C．20 D．19
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结
合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点C作CD⊥AH，垂足为D，过点C作CE⊥FH，垂足为E，根据题意可得：CD=EH，
CE=DH，AB=17米，再根据已知可设CD=5x米，则AD=12x米，然后在Rt△ACD中，利用勾
股定理进行计算可得CD=EH=5米，AD=12米，最后设CE=DH= y米，则BH=(y−5)米，分别
在Rt△BFH和Rt△CEF中，利用锐角三角函数的定义求出FH和FE的长，从而列出关于y的方程进
行计算，即可解答．
【详解】解：过点C作CD⊥AH，垂足为D，过点C作CE⊥FH，垂足为E，
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由题意得：CD=EH，CE=DH，AB=17米，
∵斜坡AC的坡度i=5:12，
CD 5
∴ = ，
AD 12
∴设CD=5x米，则AD=12x米，
在Rt△ACD中，AC=√CD2+AD2=√(5x) 2+(12x) 2=13x（米)，
∵AC=13米，
∴13x=13，
解得：x=1，
∴CD=EH=5米，AD=12米，
设CE=DH= y米，
∴BH=AD+DH−AB=12+ y−17=(y−5)米，
在Rt△BFH中，∠FBH=63°，
∴FH=BH⋅tan63°≈2(y−5)米，
在Rt△CEF中，∠FCE=45°，
∴FE=CE⋅tan45°= y米，
∵EF+EH=FH，
∴y+5=2(y−5)，
解得：y=15，
∴FH=FE+EH=15+5=20（米)，
∴这棵木棉树的高度约为20米，
故选：C．
3．（2024·四川自贡·模拟预测）如图为一大坝的横截面图，AD∥BC，背水坡AB的坡度为√3:1，迎水
坡的坡角为30°，若AD=4米，坝高为4√3米，则坡底BC长为（ ）米．
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】D
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点A和点D分别作BC的
垂线，垂足分别为E、F，则四边形AEFD是矩形，可得AE=DF=4√3米，EF=AD=4米，再分别
解直角三角形求出BE，CF的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点A和点D分别作BC的垂线，垂足分别为E、F，
∵AD∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，
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∴AE⊥AD，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AE=DF=4√3米，EF=AD=4米，
∵背水坡AB的坡度为√3:1，
AE √3
∴ = ，
BE 1
∴BE=4米，
在Rt△CDF中，∠DCF=30°，∠DFC=90°，
DF
∴CF= =12米，
tanC
∴BC=BE+EF+CF=20米，
故选：D．
4．（2025·广东潮州·模拟预测）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:√3，河堤的高BC=10米，则坡
面AB的长度是 米．（坡比也叫坡度．坡比是1:√3指点B向水平面作垂线BC，垂足为C，
BC:AC=1:√3．）
【答案】20
【分析】本题考查了解直角三角形问题，勾股定理，根据迎水坡AB的坡比为1:√3得出
√3
tan∠BAC= ，再根据BC=10米，得出AC的值，再根据勾股定理求解即可．
3
1 √3
【详解】解：由题意得tan∠BAC= = ，
√3 3
BC
∴AC= =10×√3=10√3（米），
tan∠BAC
∴AB=√AC2+BC2=√(10√3) 2+102=20（米）．
故答案为：20．
5．（2025·上海青浦·一模）如图，梯形ABCD是某水库大坝的横截面．已知坝高AE=8m，如果将坡度为
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1:√2的斜坡AB改为坡度为1:2的斜坡AP，那么大坝底部应加宽 m．（结果保留根号）
【答案】16−8√2
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．根
据垂直的定义得到∠AEB=90°，根据三角函数的定义得到BE=8√2,PE=16，于是得到
PB=PE−BE=(16−8√2)m．
【详解】解：∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°,
∵AE=8m,
AE 1
∴tan∠ABE= = ,
BE √2
AE 8
∴BE= = =8√2,
1 1
√2 √2
AE 1
∵tanP= = ,
PE 2
8 1
∴ = ,
PE 2
∴PE=16m,
∴PB=PE−BE=(16−8√2)m,
∴大坝底部应加宽(16−8√2)m．
故答案为：16−8√2
6．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡
度i=1:√3，BE=6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰
角为60°．
(1)求点B离水平地面的高度AB．
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(2)求电线塔CD的高度（结果保留根号）．
【答案】(1)AB=3m；
(2)电线塔CD的高度(6√3+9)m．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．
AB 1 √3
（1）由斜坡BE的坡度i=1:√3，求得 = = ，利用正切函数的定义得到∠BEA=30°，据此
AE √3 3
求解即可；
√3
（2）作BF⊥CD于点F，设DF=x，先解Rt△DBF得到BF=x，解Rt△DCE得到EC= (x+3)
3
√3
米，进而得到方程3√3+ (x+3)=x，解方程即可得到答案．
3
【详解】（1）解：∵斜坡BE的坡度i=1:√3，
AB 1 √3
∴ = = ，
AE √3 3
AB √3
∵tan∠BEA= = ，
AE 3
∴∠BEA=30°，
∵BE=6m，
1
∴AB= BE=3(m)；
2
（2）解：作BF⊥CD于点F，则四边形ABFC是矩形，AB=CF=3m，BF=AC，
设DF=xm，
DF
在Rt△DBF中，tan∠DBF= ，
BF
DF
∴BF= =xm，
tan∠DBF
在Rt△ABE中，AE=√BE2−AB2=3√3，
DC
在Rt△DCE中，DC=DF+CF=(x+3)m，tan∠DEC= ，
EC
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x+3 √3
∴EC= = (x+3)，
tan60° 3
∴BF=AE+EC，
√3
∴3√3+ (x+3)=x，
3
∴x=6√3+6，
∴CD=6√3+6+3=x=6√3+9
答：电线塔CD的高度(6√3+9)m．
7．（2023·湖北·中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形
ABCD，斜面坡度i=3:4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，
∠C=18°，求斜坡AB的长．（结果精确到米）（参考数据：
sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32）
【答案】斜坡AB的长约为10米
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，在Rt△DEC中，利用正弦函数求得DE=6.2，在Rt△ABF中，
利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点D作DE⊥BC于点E，则四边形ADEF是矩形，
在Rt△DEC中，CD=20，∠C=18°，
DE=CD⋅sin∠C=20×sin18°≈20×0.31=6.2．
∴AF=DE=6.2．
AF 3
∵ = ，
BF 4
5 5
∴在Rt△ABF中，AB=√AF2+BF2= AF= ×6.2≈10（米）．
3 3
答：斜坡AB的长约为10米．
【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数
的定义是解题的关键．
【题型5 仰角俯角问题】
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仰角俯角的意义：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角.
俯角：视线在水平线下方的叫俯角
1．（2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们
来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑
的相关数据．
数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平
地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD=18.4°；然后沿
CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°，当到达点A正上方的点E处时，测得
AE=9米；…
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计
算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，
cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33)．
【答案】点A到地面的距离AB的长约为27米
【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，
利用数形结合的思想解答．
延长CD交AB于点H，根据矩形的性质得到CM=HB=20，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：延长CD交AB于点H，
由题意得，四边形CMBH为矩形，
∴CM=HB=20，
在Rt△ACH中，∠AHC=90°，∠ACH=18.4°，
AH
∴ tan∠ACH= ，
CH
AH AH AH
∴ CH= = ≈ ，
tan∠ACH tan18.4° 0.33
在Rt△ECH中，∠EHC=90°，∠ECH=37°，
EH
∴ tan∠ECH= ，
CH
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EH EH EH
∴ CH= = ≈ ，
tan∠ECH tan37° 0.75
设AH=x米．
∵AE=9，
∴EH=x+9，
x x+9
∴ = ，
0.33 0.75
解得x≈7.1，
∴AB=AH+HB≈7.1+20=27.1≈27（米）；
答：点A到地面的距离AB的长约为27米．
2．（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高
度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为30°；格桑在B处测得山顶C的仰角为45°．
已知两人所处位置的水平距离MN=210米，A处距地面的垂直高度AM=30米，B处距地面的垂直高
度BN=20米，点M，F，N在同一条直线上，求小山CF的高度．（结果保留根号）
【答案】(100√3−70)米
【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，证明四边形AMFD和四边形
BNFE为矩形，得出DF=AM=30米，BN=EF=20米，MF=AD，FN=BE，设CD=x，则
CD x
AD= = =√3x
CE=CD+DE=(x+10)米，解直角三角形得出 tan30° √3 ，
3
CE x+10
BE= = =x+10，根据MN=210米，得出√3x+x+10=210，求出x=100√3−100，
tan45° 1
最后得出答案即可．
【详解】解：根据题意可得：∠AMF=∠DFM=∠ADF=90°，∠BEF=∠EFN=∠BNF=90°，
∴四边形AMFD和四边形BNFE为矩形，
∴DF=AM=30米，BN=EF=20米，MF=AD，FN=BE，
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∴DE=DF−EF=30−20=10（米），
设CD=x，则CE=CD+DE=(x+10)米，
∵∠CAD=30°，∠ADC=90°，
CD x
AD= = =√3x
∴ tan30° √3 ，
3
∵∠CBE=45°，∠CEB=90°，
CE x+10
∴BE= = =x+10，
tan45° 1
∴MF=AD=√3x，FN=BE=x+10，
∵MN=210米，
∴√3x+x+10=210，
解得：x=100√3−100，
∴CF=CD+DF=100√3−100+30=(100√3−70)米．
3．（2025·陕西西安·二模）如图是某市的广播电视中心，小明同学想利用所学的知识来测量该建筑物的高
度EF．他先在B处用测倾器AB测得电视中心顶端E的仰角为37°，再从B沿BF方向走了250.5米到
达D处，在D处竖立标杆CD，发现水平地面上的点M、标杆的顶端C与该建筑物的顶端E恰好在一
条直线上，已知AB=CD=1米，测得DM=0.5米．点B、M、D、F在同一条直线上，
AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF．根据上述数据，计算该广播电视中心的高度EF．（结果精确
到1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】302米
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
1
延长AC，交EF于H，根据△MDC∽△MFE列出比例式，得到MF= EF，根据正切的定义列出方
2
程，解方程得到答案．
【详解】解：如图，延长AC，交EF于H，
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则AC=BD,CH=DF,HF=AB=1米，
∵CD∥EF，
∴△MDC∽△MFE，
MD CD 0.5 1
∴ = ，即 = ，
MF EF MF EF
1
∴MF= EF，
2
1 1
∴DF=MF−MD= EF− ，EH=EF−HF=EF−1，
2 2
1 1 1
∴BF=BD+DF=250.5+ EF− =250+ EF，
2 2 2
1
∴AH=BF=250+ EF，
2
EH
在Rt△AHE中，tan∠EAH= ，
AH
( 1 )
∴EH=AH·tan∠EAH，即EF−1≈ 250+ EF ×0.75，
2
解得：EF≈302，
答：该广播电视中心的高度EF约为302米．
4．（2025·河南·一模）开封铁塔又称“开宝寺塔”（如图1），素有“天下第一塔”之称，是见证开封千
余年繁华的参照．才思数学兴趣小组利用所学知识开展“测量开封铁塔高度”的主题活动，并写出如
下报告，请完成任务．
课题 测量开封铁塔高度
测量 无人机、测角仪、秒表等
工具
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测量
示意
图
如图2，测量小组使用无人机在点A处以6.3m/s的速度竖直上升20s飞行至点B
测量
处，在点B处测得塔顶D的俯角为20°，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在
过程
点C处测得塔顶D和点A的俯角均为45°
点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，
说明
DE⊥AE．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
任务 求开封铁塔DE的高度（结果精确到1m）
【答案】开封铁塔DE的高度约为55m
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得
AB=6.3×20=126(m)，则有BC=AB=126m，延长ED交BC的延长线于点F，如解图所示，则四
边形ABFE为矩形，然后可得EF=AB=126m，设DE=xm，则DF=(126−x)m，进而根据三角函
数及勾股定理可进行求解
【详解】解：由题意，可知AB=6.3×20=126(m)．
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=45°，
∴BC=AB=126m．
延长ED交BC的延长线于点F，如解图所示，则四边形ABFE为矩形．
∴EF=AB=126m
．
设DE=xm，则DF=(126−x)m．
在Rt△DFC中，∠DCF=45°，
∴FC=DF=(126−x)m．
∴BF=CF+BC=(252−x)m．
DF
在Rt△BFD中，tan∠FBD=tan20°= ，
BF
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∴DF=BF⋅tan20°，即126−x≈0.36(252−x)，
解得x≈55．
答：开封铁塔DE的高度约为55m．
5．（2025·辽宁·模拟预测）如图（1）是一台实物投影仪，图（2）是它的示意图，折线A−B−C表示可
转动支架，支架BC可以伸缩调节，投影探头CD始终垂直于水平桌面MN，AB与BC始终在同一平面
内．已知投影仪的底座高3厘米，支架AB=30厘米，探头CD=10厘米．（参考数据：
sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan63°≈2，sin53°≈0.8，√10≈3.16）
(1)当支架AB与水平线的夹角为75°，与支架BC的夹角为90°，且BC=AB时，求探头的端点D到桌
面MN的距离．（结果保留一位小数）
(2)为获得更好的投影效果，调节支架AB，如图（3）所示，使得AB与水平线的夹角为53°，同时调
节支架BC，使得探头端点D与点B在同一水平线上，且从点D看点A的俯角为63°，此时支架BC的
长度为多少？（结果保留一位小数）
【答案】(1)29.7厘米；
(2)31.6厘米
【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算，数形结合分析，合理作出辅
助线是解题的关键．
（1）如图，连接AC，延长CD交过点A的水平线于点E，则可得AC=30√2（厘米），
∠BAC=45°，所以∠CAE=60°，由∠E=90°，根据三角函数的计算得到
CE=AC⋅sin∠CAE=15√6≈36.7（厘米），结合探头的端点D到桌面MN的距离
=36.7−10+3=29.7（厘米）即可求解；
（2）如图，作AE⊥BD于点E，根据题意AE=AB⋅sin∠ABE≈30×0.8=24（厘米），
AE 24
BE=√AB2−AE2=18（厘米），DE= ≈ =12（厘米），由
tan63° 2
BC=√CD2+BD2≈10×3.16=31.6（厘米），即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接AC，延长CD交过点A的水平线于点E，
由题意得：BC=AB=30厘米，∠BAF=75°，∠ABC=90°，
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∴AC=√AB2+BC2=30√2（厘米），∠BAC=45°，
∴∠CAE=60°，
∵CD始终垂直于水平桌面MN，
∴∠E=90°，
∴CE=AC⋅sin∠CAE=15√6≈36.7（厘米），
∵投影仪的底座高3厘米，
∴探头的端点D到桌面MN的距离=36.7−10+3=29.7（厘米）．
答：探头的端点D到桌面MN的距离约为29.7厘米；
（2）解：如图，作AE⊥BD于点E，则∠AEB=∠AED=90°，
由题意得：BD∥AF，∠BAF=53°，
∴∠ABE=53°，
∵AB=30厘米，
∴AE=AB⋅sin∠ABE=30×sin53°≈30×0.8=24（厘米），
∴BE=√AB2−AE2=18（厘米），
由题意得：∠BDA=63°，
AE 24
∴DE= ≈ =12（厘米），
tan63° 2
∴DB=12+18=30（厘米），
由题意得：∠CDB=90°，
∴BC=√CD2+BD2=√102+302=10√10≈10×3.16=31.6（厘米），
答：支架BC的长度大约为31.6厘米．
6．（2025·上海静安·一模）舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也
被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅
花桩AB、CD、EF垂直于地面，且B、D、F在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶C处测得
桩顶A和桩顶E的仰角分别为35°和47°，且AB桩与EF桩的高度差为1米，两桩的距离BF为2米．
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(1)舞狮人从A跳跃到C，随后再跳跃至E，所成的角∠ACE= °；
(2)求桩AB与桩CD的距离BD的长．（结果精确到0.01米）
【答案】(1)98
(2)0.65米
【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，理解并掌握解直角三角形的计算是解题的关键．
（1）根据仰俯角，平角为180°即可求解；
（2）过点C作MN∥BF，分别交AB、EF于点M、N，则四边形BDCM、BFNM、DFNC都是
AM
矩形，设BD=CM=x米，则CN=(2−x)米，在Rt△AMC中，由函数函数的计算tan∠ACM= ，
CM
EN
得到AM=CM⋅tan∠ACM=x⋅tan35°，在Rt△CEN中，tan∠ECN= ，得到
CN
EN=CN⋅tan∠ECN=(2−x)⋅tan47°，由EF−AB=EN−AM=1，即可求解．
【详解】（1）解：在桩顶C处测得桩顶A和桩顶E的仰角分别为35°和47°，
∴∠ACE=180°−35°−47°=98°，
故答案为：98；
（2）解：过点C作MN∥BF，分别交AB、EF于点M、N，
∵AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，
∴AB∥CD∥EF，
∴四边形BDCM、BFNM、DFNC都是矩形，
∴BD=CM,MN=BF,DF=CN,BM=NF，
设BD=CM=x米，则CN=(2−x)米，
AM
在Rt△AMC中，tan∠ACM= ，
CM
∴AM=CM⋅tan∠ACM=x⋅tan35°，
EN
在Rt△CEN中，tan∠ECN= ，
CN
∴EN=CN⋅tan∠ECN=(2−x)⋅tan47°，
∵EF−AB=EN−AM=1，
∴ (2−x)⋅tan47°−x⋅tan35°=1，
2tan47°−1
解得， x= ≈0.65（米），
tan47°+tan35°
答：桩AB与桩CD的距离BD的长约为0.65米．
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【题型6 方向角问题】
方向角遵循——上北下南，左西右东。
因为这类题目常和特殊角结合，故作辅助线时，谨记一个原则：不能破坏已有的特殊角。
1．（2025·河南焦作·一模）如图，一艘轮船位于灯塔C的北偏东57°方向，距离灯塔50海里的A处，此时
船长接到台风预警信息，台风将在5小时后袭来，他计划立即沿正南方向航行，赶往位于灯塔C的南
偏东30°方向上的避风港B处．
(1)问避风港B处距离灯塔C有多远．
(2)如果轮船的航速是20海里/时，问轮船能否在5小时内赶到避风港B处．(参考数据：sin57°≈0.84，
cos57°≈0.54，tan57°≈1.54，√3≈1.73 )
【答案】(1)84海里
(2)能
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键；
（1）如图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠ADC=∠BDC=90°．解Rt△ACD，Rt△BCD，求
得BC，即可求解；
（2）解Rt△ACD，Rt△BCD得出BD=√3CD，进而根据AB=AD+BD，求得AB的距离，根据路
程除以速度，即可求解．
【详解】（1）由题意得∠A=57°，∠B=30°，AC=50海里．
如图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠ADC=∠BDC=90°．
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CD CD
在Rt△ACD中，sin57°= = ，
AC 50
∴ CD=50×sin57°≈50×0.84=42 (海里)．
在Rt△BCD中，∠B=30°，
∴BC=2CD=84海里．
答：避风港B处距离灯塔C约84海里．
AD AD
（2）如图，在Rt△ACD中，cos57°= =
AC 50
∴AD=50×cos57°≈50×0.54=27(海里)．
在Rt△BCD中，∠B=30°，CD=42海里，
∴ BD=√3CD≈42×1.73=72.66 (海里)，
AB=AD+BD=27+72.66=99.66 (海里)．
∴99.66÷20=4.983(小时)，
故轮船能在5小时内赶到避风港B处．
2．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后
到达A港正东方向的C港装运新的物资．甲货轮沿A港的东南方向航行10海里后到达B港，再沿北偏
东60∘万向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的北偏东60∘方向航行一定距离到达D港，再沿南偏
东30∘方向航行一定距离到达C港．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）
(1)求A，C两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、D两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算
说明．
【答案】(1)77.2海里
(2)甲货轮先到达C港，计算说明见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅
助线是解题的关键．
（1）过点B作BE⊥AC，垂足为E，先在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE和BE的长，
再在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可
解答；
（2）根据题意可得：∠CDF=30°，DF∥AG，从而可得∠GAD=∠ADF=60°，然后利用角的
和差关系可得∠ADC=90°，从而在Rt△ACD中，利用含30度角的直角三角形的性质求出CD和
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AD的长，再在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，最后进行计算比较即可解答．
【详解】（1）解：过点B作BE⊥AC，垂足为E，如图所示：
在Rt△ABE中，∠BAE=90°−45°=45°，AB=40海里，
√2 √2
∴AE=AB⋅cos45°=40× =20√2（海里），BE=AB⋅sin45°=40× =20√2（海里），
2 2
在Rt△BCE中，∠CBE=60°，
∴CE=BE⋅tan60°=20√2×√3=20√6（海里），
∴AC=AE+CE=20√2+20√6≈77.2（海里），
∴A，C两港之间的距离约为77.2海里；
（2）解：甲货轮先到达C港，
理由如下：
如图所示：
由题意得∠CDF=30°，DF∥AG，
∴∠GAD=∠ADF=60°，
∴∠ADC=∠ADF+∠CDF=90°，
在Rt△ACD中，∠CAD=90°−∠GAD=30°，
1
∴CD= AC=(10√2+10√6)海里，AD=√3CD=(10√6+30√2)海里，
2
在Rt△BCE中，∠CBE=60°，BE=20√2海里，
BE 20√2
BC= = =40√2
∴ cos60° 1 （海里），
2
∴甲货轮航行的路程=AB+BC=40+40√2≈96.4（海里），
乙货轮航行的路程=AD+CD=10√6+30√2+10√2+10√6=20√6+40√2≈105.4（海里），
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∵96.4海里＜105.4海里，
∴甲货轮先到达C港．
3．（2024·湖南长沙·模拟预测）今年4月23日，是人民海军成立75周年纪念日．东部战区海军某基地海
边举办舰艇开放活动，A、B两点分别为活动入口和出口．且点B在一水平海岸线CD（如图所示）上，
24
测得∠ABC=α，sinα= ，从点B出发按CD方向前进20米到达点E，即BE=20米，测得
25
∠AEB=β，tanβ=3，试根据已知条件求出活动入口和出口之间的直线距离．
【答案】500米
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
AQ 24
如图，过A作AQ⊥CD于Q，由 = ，设AQ=24x，则AB=25x，可得
AB 25
AQ
BQ=√AB2−AQ2=7x，而BE=20，可得QE=QB+BE=7x+20，结合 =3，即AQ=3QE，
QE
再建立方程求解即可．
【详解】解：如图，过A作AQ⊥CD于Q，
24 AQ 24
∵sinα= ，即 = ，
25 AB 25
设AQ=24x，则AB=25x，
∴BQ=√AB2−AQ2=7x，而BE=20，
∴QE=QB+BE=7x+20，
∵tanβ=3，
AQ
∴ =3，即AQ=3QE，
QE
∴24x=3(7x+20)，
解得：x=20，
∴AB=25x=25×20=500（米），
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答：A、B两点间的距离为500米．
4．（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，且
16√3
A，B相距 海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向．
3
(1)求B，C两处的距离；
(2)该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，
在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向，便立即以18海里/小时的速度沿BD方向航行至D
处救援，求渔政船的航行时间．
（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：tan65°≈2.1，tan27°≈0.5）
【答案】(1)B，C两处的距离为16海里
7√5
(2)渔政船的航行时间为 小时
12
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形．
AB
（1）根据题意易得AC=AB，则CE=BE，再求出BE=CE= =8（海里），即可解答；
cos30°
（2）过点D作DF⊥BC于点F，设CF=x海里，则DF=CFtan65°=2.1x，
DF=BFtan27°=0.5(16+x)，则2.1x=0.5(16+x)，求出x=5，进而得出BF=BC+CF=21海里，
21√5
DF=CFtan65°=10.5海里，根据勾股定理可得：BD=√DF2+BF2=
（海里），即可解答．
2
【详解】（1）解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向．
∴∠ACE=∠ABE=30°，
∴AC=AB，
∵AE⊥BC，
∴CE=BE，
16√3
∵AB= 海里，
3
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AB
∴BE=CE= =8（海里），
cos30°
∴BC=8×2=16（海里），
∴B，C两处的距离为16海里．
（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，
设CF=x海里，
∵∠DCF=65°，
∴DF=CFtan65°=2.1x，
由（1）可知，BC=16海里，
∴BF=(16+x)海里，
∵∠DBF=27°，
∴DF=BFtan27°=0.5(16+x)，
∴2.1x=0.5(16+x)，
解得：x=5，
∴BF=BC+CF=21海里，DF=CFtan65°=10.5海里，
21√5
根据勾股定理可得：BD=√DF2+BF2=
（海里），
2
21√5 7√5
∴渔政船的航行时间为 ÷18= （小时），
2 12
7√5
答：渔政船的航行时间为 小时．
12
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（建议用时：40分钟）
一﹑选择题
1．（2025·陕西·一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，且
1
sin∠BAE= ，若BD=8，则AE的长为（ ）
2
A．√3 B．2 C．2√3 D．3√2
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先求得∠ADB=∠BAE，得到
1
sin∠ADB=sin∠BAE= ，利用正弦函数的定义求得AB=4，BE=2，再利用勾股定理求解即可．
2
【详解】解：∵矩形ABCD，
∴∠BAD=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠ADB=90°−∠ABE=∠BAE，
1
∴sin∠ADB=sin∠BAE= ，
2
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AB 1
∴ = ，
BD 2
∵BD=8，
∴AB=4，
1
∵sin∠BAE= ，
2
BE 1
∴ = ，
AB 2
∴BE=2，
∴AE=√AB2−BE2=2√3，
故选：C．
3
2．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，sin∠BCD= ，
5
AB=15，则BC的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形，同角的余角相等，熟练掌握锐角三角函数定义是解答本题的关键．
根据题意，利用同角的余角相等得到∠BCD=∠A，进而得到sin∠BCD=sin∠A，利用锐角三角
函数定义求出BC的长即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A，
3
∴sin∠BCD=sin∠A= ，
5
在Rt△ABC中，AB=15，
BC 3
∴sin∠A= = ，
AB 5
∴BC=9，
故选：B．
3．（2025·广东深圳·一模）如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L水平距离为8km，
当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为53°，则这枚火箭此时的高度AL为（ ）km．
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8
A．8sin53° B．8cos53° C． D．8tan53°
tan53°
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题意可得：AL⊥LR，然后在
Rt△ALR中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的
关键．
【详解】解：由题意得：AL⊥LR，
在Rt△ALR中，LR=8km，∠ARL=53°，
∴AL=LR⋅tan53°=8tan53°km，
∴这枚火箭此时的高度AL为8tan53°km，
故选：D．
4．（2025·陕西西安·二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若点A是C´D的中点，
1
CD=4√3，cosD= ，则AB的长为（ ）
2
A．3√5 B．6 C．4√3 D．8
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理、解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
连接OC、OD，根据垂径定理得AB⊥CD，可得出CE=2√3，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的
两倍得出∠BOC=2∠D，易得出∠COE=60°，然后根据正弦的定义即可得出OC=4，最后根据直
径是半径的2倍，即可得出答案．
【详解】解：连接OC、OD，
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∵ CD
点A是 的中点，
∴AB⊥CD，设垂足为点E，
∵ CD=4√3，
1
∴CE= CD=2√3，
2
∵∠CDB和∠BOC所对的弧都是B´C，
∴∠BOC=2∠D，
1
∵ cos∠BDC= ，且0<∠BDC<π，
2
∴∠BDC=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠COE=60°，
CE
在Rt△CEO中，∠CEO=90°,∠COE=60°，CE=2√3，sin∠COE= ，
OC
CE 2√3
∴OC= = =4
sin∠COE √3 ，
2
∵AB是⊙O的直径，
∴AB=2OC=8，
故选D．
5．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E在DC上，把△ADE沿
AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cos∠CEF的值为（ ）
√7 √7 3 5
A． B． C． D．
4 3 4 4
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，求角的三角函数等知识点，正确利用折叠
的性质是解题的关键．
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根据折叠的性质，可求得AF=AD=8，EF=DE，从而求得BF，CF，在Rt△EFC中，由勾股定理，
得EF2=CE2+CF2，即可求得结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，DC=AB=6，
∵把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，
∴AF=AD=8，EF=DE，
∴BF=√AF2−AB2=√82−62=2√7，
∴CF=BC−BF=8−2√7，
在Rt△EFC中，
CE=DC−DE=6−EF，
由勾股定理，得EF2=CE2+CF2，
∴EF2=(6−EF) 2+(8−2√7) 2 ，
32−8√7
∴EF= ，
3
32−8√7 8√7−14
∴CE=6− = ，
3 3
8√7−14
CE 3 √7
∴cos∠CEF= = = ，
EF 32−8√7 4
3
故选：A．
6．（2024·广东深圳·三模）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量某大
楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得地面点A处的俯角为60°，且点P到点A的距离为80米，
同时测得楼顶点C处的俯角为30°．已知点A与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面
内），则大楼的高度BC为（ ）
A．51米 B．29√3米 C．30√3米 D．(40√3−10)米
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过P作PF⊥AB，延长BC交DP的延长线于E，由三角函
数得 PF=PA⋅sin∠PAF，AF=PA⋅cos∠PAF，CE=PE⋅tan∠CPE，即可求解；掌握解直角
三角形的解法是解题的关键．
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【详解】解：如图，过P作PF⊥AB，延长BC交DP的延长线于E，
∴∠APD=60°
，
∠CPE=30°，
PA=80，
四边形PFBE是矩形，
∴BE=PF，
PE=BF，
DE∥AB，
∴∠PAF=60°，
∠PEC=90°，
∴PF=PA⋅sin∠PAF
√3
=80×
2
=40√3，
AF=PA⋅cos∠PAF
1
=80×
2
=40，
∴PE=BF
=AB−AF
=70−40
=30，
∴CE=PE⋅tan∠CPE
√3
=30×
3
=10√3，
∴BC=BE−CE
=40√3−10√3
=30√3(米)，
故选：C．
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7．（2024·陕西咸阳·三模）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若△ABC的三个
顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为（ ）
1 √10
A．1 B．2 C． D．
2 5
【答案】C
【分析】本题考查解直角三角形，构造出合适的直角三角形是解题的关键．连接网格中适当的格点，
构造出直角三角形即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BD，设每个小正方形的边长为1，
根据勾股定理得：BD=√12+12=√2，CD=√22+22=2√2，BC=√12+32=√10，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
在Rt△CDB中，
BD √2 1
tan∠ACB= = = ，
CD 2√2 2
故选：C．
8．（2024·湖南长沙·一模）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3．沿过点A的直线
将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处：再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为
E，则sin∠DEA=（ ）
5 12 3 2
A． B． C． D．
3 13 5 3
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形中的翻折变换，解直角三角形，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练利
用勾股定理列方程．根据折叠的性质得AD=AB=2，∠B=∠ADB，CE=DE，∠C=∠CDE，即
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13
可得∠ADE=90°，则AD2+DE2=AE2，设AE=x，可得22+(3−x) 2=x2，即可解得AE= ．
6
再求解即可．
【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，
∴AD=AB=2，∠B=∠ADB，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴CE=DE，∠C=∠CDE，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠ADB+∠CDE=90°，
∴∠ADE=90°，
∴AD2+DE2=AE2，
设AE=x，则CE=DE=3−x，
∴22+(3−x) 2=x2，
13
解得x= ，
6
13
∴AE= ，
6
AD 2 12
∴sin∠DEA= = =
AE 13 13
6
故选：B.
9．（22-23九年级上·山东烟台·期中）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟，小亮在龙舟竞渡中心广场点P
处观看400米直道竞速赛，如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，
终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB=400米，求点P到赛道AB的距离（ ）（结果保留整数，
参考数据：√3≈1.732）
A．50√3 B．100√3 C．87 D．173
【答案】D
【分析】过点P作PC⊥AB，垂足为P，设PC=x米，然后分别在Rt△APC和Rt△CBP中，利用锐
角三角函数的定义求出AC,BC的长，再根据AB=400米，列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，
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设PC=x米，
在Rt△APC中，∠APC=30°，
√3
∴AC=PC⋅tan30°= x（米），
3
在Rt△CBP中，∠CPB=60°，
∴BC=CP⋅tan60°=√3x（米），
∵AB=400米，
∴AC+BC=400，
√3
∴ x+√3x=400，
3
∴x=100√3≈173，
∴PC=173米，
∴点P到赛道AB的距离约为173米，
故选D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅
助线是解题的关键．
二、填空题
10．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在正方形ABCD中，BC=3，延长BC至点E，使CE=2,DF平分
∠ADC交AE于点F，则线段DF的长为 ．
9 9√2
【答案】 √2/
8 8
【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，先判断∠DAE=∠E，则
FG 3
tan∠DAE=tanE= = ，设FG=3x，则AG=5x，然后角平分线的定义以及等角对等边可证
AG 5
明DG=FG=3x，根据AD=3得出关于x的方程，解方程求出x即DG，然后根据勾股定理求解即可．
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【详解】解：过F作FG⊥AD于G，
在正方形ABCD中，BC=3，
∴∠B=∠ADC=90°，BC=AB=AD=3，AD∥BC，
又CE=2，
∴BE=5，
AB 3
∴tanE= = ，
BE 5
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠E，
FG 3
∴tan∠DAE=tanE= = ，
AG 5
设FG=3x，则AG=5x，
∵DF平分∠ADC，
1
∴∠GDF= ∠ADC=45°，
2
∴∠DFG=45°=∠GDF，
∴DG=FG=3x，
∴5x+3x=3，
3
∴x= ，
8
9
∴DG=GF= ，
8
9
∴DF=√DG2+GF2= √2，
8
9
故答案为： √2．
8
11．（2025·广东清远·一模）图1是一个地铁站入口的双翼闸机，图2是它的简化图，它的双翼展开时，双
翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=80cm，且与闸机侧立面夹角
∠ACP=∠BDQ=32°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 cm．（参考数
据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
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【答案】94.8
【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F，利
用含30°的直角三角形的性质，求解AE，BF，从而可得答案．正确进行计算是解题关键．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F，
∵在Rt△ACE中，∠ACE=32°，
∴ AE=AC×sin32°≈42.4cm，
同理可得，BF=42.4cm，
∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，
∴42.4+10+42.4=94.8cm
∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为94.8cm．
故答案为：94.8．
12．（2024·湖北武汉·中考真题）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在
一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度，具体过程如下：如图，将无人机
垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得
黄鹤楼的高度是 m．（参考数据：tan63°≈2）
【答案】51
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长BA交距水平
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地面102m的水平线于点D，根据tan63°≈2，求出DC=AD≈51m，即可求解．
【详解】解：延长BA交距水平地面102m的水平线于点D，如图，
由题可知，BD=102m，
设AD=x，
∵∠DCA=45°
∴DC=AD=x
BD 102
∴tan63°= = ≈2
DC x
∴DC=AD≈51m
∴AB=BD−AD=102−51≈51m
故答案为：51．
三、解答题
13．（2025·陕西·一模）如图，某商场开业当天，在商场门前的广场上举行无人机表演，某一时刻，甲在
商场的楼顶C处观测到其中一架无人机D的仰角为37°，同一时刻，乙在A处观测到无人机D的仰角
为30°，已知乙的位置A到商场的距离AB=60m，商场的高度BC=24m，BC⊥AB，DE⊥AB，
点A、B、C、D、E都在同一平面上，求此时无人机的高度DE．（结果取整数，参考数据：√3≈1.73，
3 4 3
sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ）
5 5 4
【答案】30m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质．熟练掌握解直角三角形的应用是解题
的关键．
DG 3
过点C作CG⊥DE，则四边形BCGE是矩形，根据tan37°= ≈ ，设DG=3x，CG=4x，分
CG 4
别表示相关边BE，DE，AE，代入三角函数值并求解x即可．
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【详解】解：过点C作CG⊥DE，
∵BC⊥AB，DE⊥AB，
∴四边形BCGE是矩形，
∴EG=BC=24m．CG=BE
DG 3
∵∠DCG=37°，tan37°= ≈
CG 4
∴设DG=3x，CG=4x
则BE=4x，DE=24+3x，AE=60−4x．
∵在Rt△AED中∠DAE=30°，
∴AE=√3DE，即60−4x=√3(24+3x)，
解得x≈2，
∴DE=24+3x=24+6=30(m)，
∴此时无人机的高度DE为30m．
14．（2025·江苏镇江·一模）图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AC,CD可分别绕点A，C转动，
测得CD=10cm,AC=24cm．小明爸爸把支架调整到适合的位置，测得∠BAC=60°,∠ACD=55°．
(1)求点C到AB的距离；
(2)求点D到AB的距离．(结果均保留一位小数，参考数据：√3≈1.732，sin25°≈0.423，
cos25°≈0.906，tan25°≈0.466)
【答案】(1)点C到AB的距离为12√3cm
(2)点D到AB的距离约为11.7cm
【分析】本题考查了解直角三角形的应用等知识，熟练掌握锐角三角函数定义，添加适当的辅助线构
造直角三角形是解题的关键．
（1）过点C作CE⊥AB于点E，由锐角三角函数定义求出CE的长即可；
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（2）过点D作DF⊥CE于点F，过点D作DG⊥AB于点G，则四边形DFEG是矩形，得EF=DG，
由（1）可知，CE=12√3cm，再由锐角三角函数定义求出CF的长，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图2，过点C作CE⊥AB于点E，则∠CEA=90°，
CE √3
在Rt△ACE中，sinA= =sin60°= ，
AC 2
√3 √3
∴CE= AC= ×24=12√3(cm)，
2 2
答：点C到AB的距离为12√3cm；
（2）解：如图2，过点D作DF⊥CE于点F，过点D作DG⊥AB于点G，
则四边形DFEG是矩形，
∴EF=DG，
由（1）可知，CE=12√3cm，∠ACE=90°−∠BAC=30°，
∵∠ACD=55°，
∴∠DCE=∠ACD−∠ACE=25°，
在Rt△DCF中，CF=CD⋅cos25°≈10×0.906=9.06(cm)，
∴EF=CE−CF=12√3−9.06≈11.7(cm)，
∴DG=EF=11.7cm，
答：点D到AB的距离约为11.7cm ．
15．（2025·山西朔州·一模）【实践情景】如图，太原市在本市两景点之间开设了两条徒步路线，线路1
为Citywalk路线，路线为A,B之间的线段；线路2为越野线路，路线为A−C−B之间的折线段．
【数据收集】
数据①：点B在点A的北偏东45°方向上；
数据②：线路2的行走方式为从起点A出发，先向北偏东15°的方向越野行走一段路程到达中转点C，
再从中转点C向正东方向行走2000米即可到达终点B．
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【数据应用】
利用以上数据，求AB的长．（结果保留整数，参考数据：√2≈1.414,√6≈2.449）
【答案】AB的长3863米
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，如图，过C作CH⊥AB于H，结合题意可得：
∠DAC=15°，∠DAB=45°=∠BAE，BC=2000，BC∥AE，证明∠CAH=30°，
∠CBH=45°，再分别求解CH，BH，AH即可得到答案.
【详解】解：如图，过C作CH⊥AB于H，
由题意可得：∠DAC=15°，∠DAB=45°=∠BAE，BC=2000，BC∥AE，
∴∠CAH=30°，∠CBH=45°，
√2
∴CH=BH= BC=1000√2，
2
CH 1000√2
AH= = =1000√6
∴ tan∠CAH √3 ，
3
∴AB=1000(√2+√6)≈1000×(1.414+2.449)=3863（米）；
答：AB的长3863米．
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