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第 32 讲 锐角三角函数及其应用
目 录
题型01 理解正弦、余弦、正切的概念
题型02 求角的正弦值
题型03 求角的余弦值
题型04 求角的正切值
题型05 已知正弦值求边长
题型06 已知余弦值求边长
题型07 已知正切值求边长
题型08 含特殊角的三角函数值的混合运算
题型09 求特殊角的三角函数值
题型10 由特殊角的三角函数值判断三角形形状
题型11 用计算器求锐角三角函数值
题型12 根据特殊角的三角函数值求角的度数
题型13 已知角度比较三角函数值大小
题型14 根据三角函数值判断锐角的取值范围
题型15 利用同角三角函数关系求解
题型16 互余两角三角函数关系
题型17 构造直角三角形解直角三角形
题型18 网格中解直角三角形
题型19 在坐标系中解直角三角形
题型20 解直角三角形的相关计算
题型21 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
题型22 仰角、俯角问题
题型23 方位角问题
题型24 坡度坡比问题
题型25 坡度坡比与仰角俯角问题综合
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题型 01 理解正弦、余弦、正切的概念
1．（2022·湖北·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，BD是斜边AC上的高，AB≠BC，则下列比值中
等于sin A的是（ ）．
AD BD BD DC
A． B． C． D．
AB AD BC BC
2．（2023·安徽合肥·一模）一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：
米）（ ）
5
A．5cos31° B．5sin31° C． D．5tan31°
sin31°
3．（2023·湖北宜昌·统考二模）如图，在Rt ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不
等于cosB的是（ ） △
CD BD CD CB
A． B． C． D．
AC CB CB AB
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题型 02 求角的正弦值
1．（2022·山东济宁·统考二模）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC,PD与⊙O相切，
切点分别为C，D．若AB=6,PC=4，则sin∠CAD等于（ ）
3 2 3 4
A． B． C． D．
5 5 4 5
2．（2017·广东东莞·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,3)，那么sinα的值是
（ ）
3 4 4 3
A． B． C． D．
4 3 5 5
3．（2023·浙江金华·校考一模）如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且
都是小正方形边的中点，则sinA= ．
题型 03 求角的余弦值
1．（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的直径．若CD=10，弦
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AC=6，则cos∠ABC的值为（ ）
4 3 4 3
A． B． C． D．
5 5 3 4
2．（2022·安徽合肥·统考二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，
则cosA=（ ）
√5−1 √5+1 √5−1 3−√5
A． B． C． D．
4 4 2 2
3．（2022·河北·模拟预测）在△ABC中，∠A＝90°，若tanB＝0.75，则cosC的值为（ ）
√3
A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．
2
题型 04 求角的正切值
1．（2022·广东广州·广东实验中学校考二模）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都
在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝（ ）
4 √3 3
A． B． C．1 D．
3 2 2
2．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y
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轴正半轴上，点C在OB上，OC:BC=1:2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若
P(1,1)，则tan∠OAP的值是（ ）
√3 √2 1
A． B． C． D．3
3 2 3
3．（2023·山东枣庄·统考一模）如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，
若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，
CD＝12，则tanα的值为 ．
题型 05 已知正弦值求边长
1．（2022·安徽合肥·统考二模）图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作
3
EF⊥AB交AC于点F，若BC=4，sin∠CEF= ，则△AEF的面积为（ ）
5
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2020·山东潍坊·统考二模）如图，以直角坐标系的原点O为圆心，以1为半径作圆．若点P是该圆上
第一象限内的一点，且OP与x轴正方向组成的角为α，则点P的坐标为（ ）
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A．(cosα,1) B．(1,sinα) C．(sinα,cosα) D．(cosα,sinα)
3．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作⊙O交BC于点D，过点
D作DE⊥AB交AB于点E，交AC的延长线于点F．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
3
(2)若EB=1，且sin∠CFD= ，求DF的长．
5
题型 06 已知余弦值求边长
√3
1．（2022·广西南宁·南宁二中校考三模）如图，在△ABC中，∠C=90°,cosA= ,AC=4√3，则AB
2
长为（ ）
A．4 B．8 C．8√3 D．12
2．（2022·北京西城·统考二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在DA，BC
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的延长线上，且BE⊥ED，CF=AE．
(1)求证：四边形EBFD是矩形；
4
(2)若AB=5，cos∠OBC= ，求BF的长．
5
3．（2022·陕西·校联考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上且不与点A，B重合，CD是
⊙O的切线，过点B作BD⊥CD于点D，交⊙O于点E．
(1)证明：点C是A´E的中点；
1
(2)若BD=4，cos∠ABD= ，求⊙O的半径．
3
题型 07 已知正切值求边长
1
1．（2021·江苏无锡·统考一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝ ，AD＝2，BD＝4，连接
2
CD，则CD长的最大值是（ ）
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3 3
A．2√5+ B．2√5+1 C．2√5+ D．2√5＋2
4 2
2．（2022·广东深圳·统考二模）如图，直角△ABC中，∠C=90°，根据作图痕迹，若CA=3cm，
3
tanB= ，则DE= cm．
4
3．（2023·江苏泰州·统考一模）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，
∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．
(1)试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
1
(2)若PC＝4，tanA＝ ，求△OCD的面积．
2
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题型 08 含特殊角的三角函数值的混合运算
1 −2
1．（2022·广东珠海·珠海市第九中学校考一模）计算：6sin45°−|1−√2|−√8×(π−2021) 0−( ) ．
2
π 0
2．（2022·江西·模拟预测）（1）计算：(−1)
−3+√38+|2−√5|+(
−1.57
)
−√20；
2
x2+2x+1 x2−1 ( 1 )
（2）先化简，再求值： ÷ − +1 ，其中x=cos60°．
x−2022 x−2022 x−1
(a2−2a ) 2a−1
3．（2023·河南商丘·校考二模）先化简，再求值： −1 ÷ ，其中a=2cos30°+1．
a2−1 a+1
题型 09 求特殊角的三角函数值
1．（2022·贵州铜仁·统考二模）tan30°的值等于（ ）
√3 √2
A． B． C．1 D．2
3 2
2．（2022·天津滨海新·统考二模）2sin45°的值等于（ ）
√2 √3
A． B． C．1 D．√2
2 3
题型 10 由特殊角的三角函数值判断三角形形状
1 1
3．（2021·贵州黔西·统考模拟预测）在△ABC中，若∠A，∠B都是锐角，且sin A= ，cosB= ，则
2 2
△ABC的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形
| √3| (1 ) 2
2．（2020·四川自贡·校考一模）在△ABC中，若 sin A− + −cosB =0，∠A，∠B都是锐角，
2 2
则△ABC是 三角形．
1
3．（2019·四川自贡·统考一模）在 ABC中，（cosA﹣ ）2+|tanB﹣1|＝0，则∠C＝ ．
2
△
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( 1) 2
4．（2022·河北·模拟预测）已知△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且 cosA− +|tanB−1|=0，
2
(1)分别求出三个内角度数；
(2)若AC=2，求AB长度．
题型 11 用计算器求锐角三角函数值
1
1．（2023·山东威海·统考一模）利用科学计算器计算 cos35°，下列按键顺序正确的是（ ）
2
A．
B．
C．
D．
2．（2023·山东烟台·统考二模）运用我们课本上采用的计算器进行计算时，下列说法不正确的是（ ）
√5
A．计算 的按键顺序依次为
B．要打开计算器并启动其统计计算功能应按的键是
C．启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键
D．用计算器计算时，依次按如下各键 ，最后显示
结果是0.5
3．（2020·山东淄博·统考一模）运用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下，则计算器显示的结果是
．
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题型 12 根据特殊角的三角函数值求角的度数
1．（2021·广东广州·校联考二模）已知∠A是锐角，且1﹣2sinA＝0，则∠A＝ ．
2．（2023·广东佛山·校考一模）若tan（a- 10°）＝1，则锐角a=
题型 13 已知角度比较三角函数值大小
1．（2019·江苏南京·统考一模）如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，∠A＞∠B，则下列结论正确的是( )
△
A．sinA＜sinB B．cosA＜cosB
C．tanA＜tanB D．sinA＜cosA
2．（2020·四川成都·校考模拟预测）比较大小：sin54° cos35°（填“<”“>”）．
3．（2017·四川遂宁·统考一模）化简：√(1−sin52°) 2−√(1−tan52°) 2的结果是
A．tan52°−sin52° B．sin52°−tan52°
C．2−sin52°−tan52° D．−sin52°−tan52°
题型 14 根据三角函数值判断锐角的取值范围
1．（2023·陕西西安·校考三模）若tanA=2，则∠A的度数估计在（ ）
A．在0°和30°之间 B．在30° 和45°之间
C．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间
√2
2．（2021·安徽安庆·统考一模）若锐角α满足cosα＜ 且tanα＜√3，则α的范围是( )
2
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°
C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
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题型 15 利用同角三角函数关系求解
1．（2022·河北石家庄·校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AD⊥BC于点D，若
BD:CD=3:2，则tan∠DAC的值为（ ）
2 √6 √6 √15
A． B． C． D．
3 3 2 3
4
2．（2023·吉林松原·统考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，则tanA＝ ．
5
3．（2019·浙江杭州·模拟预测）α为锐角，则sin2α+cos2α= ．若sinα=cos40°，则锐角α=
．
4．（2018·浙江宁波·统考一模）如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，AE平分∠BAC交BC
于点E，交CD于点F．且CE=CF．
（1）求证：直线CA是⊙O的切线；
4 DF
（2）若BD= DC，求 的值．
3 CF
题型 16 互余两角三角函数关系
1
1．（2018·山东聊城·统考一模）在Rt ABC中，∠C=90°，如果sinA= ，那么sinB的值是( )
3
△
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2√2 √2
A． B．2√2 C． D．3
3 4
6
2．（2023·云南昆明·校考三模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A= ，则cosB= ．
7
3．（2022·湖南湘潭·校考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：
sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ，sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；
cos(a−β)=cosαcosβ+sinαsinβ，cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ．
√6−√2
例：sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°= ．
4
(1)试仿照例题，求出cos75°的值；
1
(2)若已知锐角α满足条件sinα= ，求sin2α的值．
3
4．（2020·广东惠州·统考一模）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：
如图1：sin2∠A +sin2∠B =
1 1
如图2：sin2∠A +sin2∠B =
2 2
如图3：sin2∠A +sin2∠B =
3 3
①观察上述等式，猜想：如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2∠A+sin2∠B= ；
②如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和
勾股定理，证明你的猜想；
③已知：∠A+∠B=90°，且sin∠A=0.7，求sin∠B．
题型 17 构造直角三角形解直角三角形
1．（2022·河北保定·统考一模）如图1，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长都为1，ΔABC的顶
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点均在格点上，利用四边形的不稳定性，将网格变化成小菱形网格，且小菱形的较小角为60°，ΔABC也
相应地变成了△A'B'C'，如图2，则△A'B'C'的面积为（ ）
3 3 3
A．3 B． √3 C． √15 D． √10
2 2 4
2．（2021·江苏常州·统考二模）在锐角 ABC中，∠ACB＝60°，AB＝2√7，BC＝6，则∠B的正切值为
． △
3
3．（2022上·山东泰安·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A=45°，tanB= ，BC=10，则AB
4
的长为 ．
2√2
4．（2018·黑龙江哈尔滨·统考一模）在△ABC中，AB=2，AC=3，cos∠ACB= ，则∠ABC的大小为
3
度．
5．（2021上·浙江湖州·九年级统考期末）根据新冠疫情的防疫需要，学校需要做到经常开窗通风．如图
1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM上的点A处，另一端B在边ON上滑动，如图2为
某一位置从上往下看的平面图，测得此时∠ABO是45°，AB长为20cm．（参考数据：sin37°≈0.6，
cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，√2≈1.4，结果精确到1cm）
（1）求固定点A到窗框OB的距离；
（2）若测得∠AOB=37°，求OA的长度．
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题型 18 网格中解直角三角形
1．（2022·辽宁鞍山·统考二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，一条弧经过格点（网格线
的交点）A，B，D，点C为弧BD上一点．若∠CAD=30°，则阴影部分的面积为（ ）
5 5 5 13 13 5 13 13
A． π+ √3 B． π+ √3 C． π+ √3 D． π+ √3
6 4 6 4 6 4 6 4
2．（2021·福建·统考模拟预测）如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格的格点上，则sin
∠BAC= ．
3．（2020·甘肃天水·统考中考真题）如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB
的值是 ．
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题型 19 在坐标系中解直角三角形
1．（2023·安徽·统考模拟预测）如图，在Rt△OAB中，∠A=90°，∠ABO=60°，点B的坐标为
k
(−2，0)，若反比例函数y= 经过点A．则k= ．
x
2．（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图，含30°角的直角三角尺的斜边OA在y轴上，点O是坐标原点，
点A的坐标为(0,8)，∠OAB=30°，直角顶点B在第一象限，把直角三角尺OAB绕点O顺时针旋转75°得
到△OA'B'，则点B的对应点B'的坐标为 ．
3（2023·广东梅州·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于
A、B两点，点B坐标为(0,2√3)，OC与⊙D交于点C，∠OCA=30°，则圆中阴影部分的面积为
．
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4．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考模拟预测）某款沙发三视图如图1所示，将沙发侧面展
k
示图简化后放入平面直角坐标系，得到图2．其中椅背AB是双曲线y= (k>0)的一部分，椅面BD是一条
x
线段，点B(20,32)，沙发腿DE⊥x轴、BC与x轴夹角为α．请你根据图形解决以下问题：
（1）k＝ ；
（2）过点A作AF⊥x轴于点F．已知CF=4cm，DE=40cm，tanα=4，tanD=5．则
①A点坐标为 ；
②沙发的外包装箱是一个长方体，则这个包装箱的体积至少是 cm3（精确到万位，并用科学
记数法表示）．
题型 20 解直角三角形的相关计算
1．（2020·浙江杭州·统考中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，
1
OC．若sin∠BAC＝ ，则tan∠BOC＝ ．
3
2．（2022·广东广州·统考二模）如图，正方形ABCD边长为3，点E在边AB上，以E为旋转中心，将EC
1
逆时针旋转90°得到EF，AD与FE交于P点．若tan∠BCE= ，则PF的值为 ．
3
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3．（2020·浙江金华·统考中考真题）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六
边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β，则tanβ的值是 ．
4．（2020·内蒙古·中考真题）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE．
若∠ADB=30°，则如tan∠DEC的值为 ．
题型 21 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
1．（2019·江苏苏州·统考中考真题）如图，一块含有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为10cm，
三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为√2cm，则图中阴影部分的面积为 cm2(结果
保留根号)
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2．（2020下·浙江温州·九年级期末）如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图，AO为固定底座，
且AO⊥OE于点O，AB为固定支撑杆，BC为可绕着点B旋转的调节杆，灯体CD始终保持垂直BC,MN
为台灯照射在桌面的区域，如图2，旋转调节杆使BC//OE，已知此时DM=DN，
4
tan∠B= ,AO=CD=1dm,AB=5dm,BC=7dm，点M恰好为ON的中点，此时cos∠DME= ，
3
如图3，旋转调节杆使BC⊥AB，则此时MN= dm．
3．（2019·浙江温州·统考二模）小明家的门框上装有一把防盗门锁(如图1)其平面结构图如图2所示，锁身
可以看成由两条等弧AD，BC和矩形ABCD组成，BC的圆心是倒锁按钮点M．其中A´D的弓高
GH=2cm, AD=8cm,EP=11cm．当锁柄PN绕着点N旋转至NQ位置时，门锁打开，此时直线PQ与
B´C所在圆相切，且PQ//DN,tan∠NQP=2,则AB的长度约为 cm．(结果精确到0.1cm，
参考数据:√3≈1.732,√5≈2.236)．
4．（2022·重庆沙坪坝·统考一模）如图，某社区公园内有A，B，C，D四个休息座椅，并建有一条从
A−B−C−D−A的四边形循环健身步道．经测量知，∠ABC=75°，∠A=60°，∠D=60°，步道AB
长40米，步道CD长20米．（A，B，C，D在同一平面内，步道宽度忽略不计．结果保留整数，参考数据：
√3≈1.7，√6≈2.4）
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(1)求步道BC的长；
(2)公园管理处准备将四边形ABCD的内部区域全部改建成儿童活动区，经调研，改建儿童活动区成本为每
平方米200元．社区公园目前可用资金为18万元，计算此次改建费用是否足够？
5．（2021·江苏连云港·统考中考真题）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛
钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知AB=4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD=0.4m．海面与地面
AD平行且相距1.2m，即DH=1.2m．
（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH=37°，海面下方的鱼线CO与
海面HC垂直，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD=22°．求点O到岸边DH的距离；
（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD=53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO=5.46m，点
3 4
O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离．（参考数据：sin37°=cos53°≈ ，cos37°=sin53°≈ ，
5 5
3 3 15 2
tan37°≈ ，sin22°≈ ，cos22°≈ ，tan22°≈ ）
4 8 16 5
6．（2022上·重庆·九年级重庆一中校考期末）翠湖公园中有一四边形空地，如图1，已知空地边缘
AB∥CD，且AB、CD之间的距离为30米，经测量∠A=30°，∠C=45°，CD长度为42米．（参考数
据：√2≈1.41，√3≈1.73）
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(1)求空地边缘AB的长度；（结果精确到1米）
(2)为了打造更具观赏性、娱乐性、参与性的城市名片，如图2，公园管理处准备在四边形空地内修建宽度
为2米的园林卵石步道EFGH，其余地面铺成颗粒塑胶，经调研每平米卵石步道成本为80元，每平米颗
粒塑胶成本为45元，公园目前可用资金有75000元，请用（1）的结果计算此次修建费用是否足够？
题型 22 仰角、俯角问题
1．（2022·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B
的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑
物的高度BC为 米．
2．（2022·广东汕尾·统考二模）如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角
为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为 米．（结果保留根号）
3．（2023·上海普陀·统考二模）如图，为了测量某风景区内一座古塔CD的高度，某校数学兴趣小组的同
学分别在古塔对面的高楼AB的底部B和顶部A处分别测得古塔项部C的仰角分别为45°和30°，已知高楼
AB的高为24m，则古塔CD的高度为是 m（√3≈1.732，√2≈1.414，结果保留一位小数）．
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4．（2021·陕西西安·模拟预测）如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC=15米，在山脚下点B
处测得塔底C的仰角∠CBD=36.9°，塔顶A的仰角∠ABD=42°．求山高CD(点A,C,D在同一条竖直
线上)．
(参考数据：tan36.9°≈0.75,sin36.9°≈0.60,tan42.0°≈0.90 )
5．（2022·河南·统考一模）如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距15 m的D处观测广告牌顶部
A的仰角为37°，观测广告牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度（结果保留小数点后一位，参考数
据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√2≈1.41，√3≈1.73）．
6．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内
才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA=160cm，识别的最远
水平距离OB=150cm．
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(1)身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要
下蹲多少厘米才能被识别．
(2)身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的
仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到0.1cm，参考数据
sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27,sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36）
题型 23 方位角问题
1．（2023·广西·模拟预测）如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东80°方向的B
岛直线行驶．测得C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向．A，B之间的距离为80nmile，
则C岛到航线AB的最短距离是 nmile．（参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7）
2．（2022·重庆·重庆八中校考模拟预测）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛20千米
的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．
(1)渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
(2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行10√6千米到点C处时突然发生事故，渔船马上向小
岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少．
（结果精确到1千米，参考数据√2≈1.41,√3≈1.73,√6≈2.45）
3．（2022·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）巫云开高速起于巫溪县， 经云阳县， 止于开州区， 是渝东
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北地区与主城都市区联系的重要通道， 也是重庆过境大通道的重要组成部分， 预计在 2025 年建成通车．
为及时学握巫云开高速通车后是否会对沿途居民生活产生噪音影响， 施工单位派出了两名勘测师对已经
修建好的高速路段 DE 进行勘测． 如图， 勘测师甲在一段自西向东的的高速路上的 A 处发现民宿 C
在 A 处北偏西 45∘ 方向上， 与 A 处距离为 80 米， 民宿 B在 A 处北偏东 60∘ 方向上； 勘测师
乙在民宿 B 处测得民宿 C 在 B 处北偏西 75∘ 的方向上．
(1)求 BC 的距离（结果保留一位小数）；
(2)当居住场所与高速路的距离不大于 30 米的时候， 人们的生活会被高速路上的噪声影响， 相关部门可
通过加装隔音堜来减少噪声污染， 每米隔音墙的单价为 158 元． 请判断民宿 B 是否会被高速路上的噪
声影响? 如果有被影响， 则在对民宿有噪音影响的高速路段上全部安装隔音墙， 请计算出安装隔音墙需
要资金多少元? 如果没有被影响， 请说明理由．（参考数据： √2≈1.414,√3≈1.732 ）
4．（2022·重庆·模拟预测）某沿海城市O，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自然灾害，它以台风
中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力．某次，据气象观察，距该城市正南方向的
100
A处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心 千米，风力就会减弱一级，该台风中心正
3
以20千米/时的速度沿北偏东45°方向向B处移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力达到或超过6级，
则称受台风影响．
(1)若该城市受此次台风影响共持续了10小时（即台风中心从C处移动到D处），那么受到台风影响的最
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大风力为几级?
(2)求该城市O到A处的距离．（注：结果四舍五入保留整数，参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7）
5．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考三模）如图为某体育公园部分示意图，C为公园大门，A、B、D分
别为公园广场、健身器材区域、儿童乐园．经测量：A、B、C在同一直线上，且A、B在C的正北方向，
AB=240米，点D在点B的南偏东75°方向，在点A的东南方向．
(1)求B、D两地的距离；（结果精确到0.1m）
(2)大门C在儿童乐园D的南偏西60°方向，由于安全需要，现准备从儿童乐园D牵一条笔直的数据线到大
门C的控制室，请通过计算说明公园管理部门采购的380米数据线是否够用（接头忽略不计）．（参考数
据：√2≈1.414,√3≈1.732）
题型 24 坡度坡比问题
1．（2022·新疆阿克苏·统考三模）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的
高度为 米．
2．（2021·广东广州·统考一模）如图，某地修建一座高BC=5m的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为1:√3，
则斜坡AB的长度为（ ）
A．10m B．10√3m C．5m D．5√3m
3．（2021·广西钦州·校考一模）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若它把物体从地面点A处送
到离地面1米高的点B处，则物体从A到B所经过的路程为（ ）
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A．3米 B．√10米 C．2√10米 D．3√10米
题型 25 坡度坡比与仰角俯角问题综合
1．（2023·江西南昌·统考一模）如图1是一座拱桥，图2是其侧面示意图，斜道AC的坡度i=1:2，斜道
BD的坡度i=1:1，测得湖宽AB=85米，AC=15√5米，BD=20√2米，已知弧CD所在圆的圆心O在AB
上．（备注：坡度即坡角的正切值，如AC的坡度i=tanA．）
(1)分别求拱桥部分C、D到直线AB的距离；
(2)求弧CD的长（结果保留π）．
2．（2023·陕西·模拟预测）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场
的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A点测得B
点的俯角∠DAB=30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m．
(1)求该滑雪场的高度h；
(2)据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪
量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种
设备每小时的造雪量．
3．（2023·山东聊城·统考一模）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面
在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE=50.2°，台阶AB长26米，台阶坡面AB
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的坡度i=5:12，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF=63.4°，则塔顶到地面的高度EF约为多
少米．
（参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）
4．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）如图，在小晴家所住的高楼AD的正西方有一座小山坡，坡
面BC与水平面的夹角为30°，在B点处测得楼顶D的仰角为45°，在山顶C处测得楼顶D的仰角为15°，
B和C的水平距离为300米．（A，B，C，D在同一平面内，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）
(1)求坡面BC的长度？（结果保留根号）
(2)一天傍晚，小晴从A出发去山顶C散步，已知小晴从A到B的速度为每分钟50米，从B沿着BC上山的
速度为每分钟25米，若她6:00出发，请通过计算说明她在6:20前能否到达山顶C处？（结果精确到
0.1）
5．（2023·山西朔州·统考一模）如图，小开家所在居民楼AC，楼底C点的左侧30米处有一个山坡DE，
坡角为30°，E点处有一个图书馆，山坡坡底到图书馆的距离DE为40米，在图书馆E点处测得小开家的
窗户B点的仰角为45°，居民楼AC与山坡DE的剖面在同一平面内．
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(1)求BC的高度；（结果精确到个位，参考数据：√3≈1．73）
(2)某天，小开到家后发现有资料落在图书馆，此时离图书馆闭馆仅剩5分钟，若小开在平地的速度为
6m/s，上坡速度为4m/s，电梯速度为1．25m/s，等候电梯及上、下乘客所耽误时间共3分钟，请问小开能
否在闭馆前赶到图书馆？
一、单选题
1．（2023·广东深圳·统考中考真题）爬坡时坡角与水平面夹角为α，则每爬1m耗能(1.025−cosα)J，若
某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（参考数据：√3≈1.732，√2≈1.414）（ ）
A．58J B．159J C．1025J D．1732J
2．（2023·四川宜宾·统考中考真题）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的
“会圆术”．如图，A´B是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB．“会圆术”
M N2
给出A´B的弧长l的近似值计算公式：l=AB+ ．当OA=4，∠AOB=60°时，则l的值为（ ）
OA
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A．11−2√3 B．11−4√3 C．8−2√3 D．8−4√3
3．（2023·吉林长春·统考中考真题）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉
出一条彩旗绳AB到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成25°角（即∠BAC=25°）、彩旗绳固定在地面
的位置与图书馆相距32米（即AC=32米），则彩旗绳AB的长度为（ ）
32 32
A．32sin25°米 B．32cos25°米 C． 米 D． 米
sin25° cos25°
4．（2023·山东日照·统考中考真题）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及
进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高
点A的仰角∠ABD=45°，再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD=60°，BC=15.3m，则
灯塔的高度AD大约是（ ）（结果精确到1m，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）
A．31m B．36m C．42m D．53m
5．（2023·山东潍坊·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为(−2,0)，
∠AOC=60°．将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形
OA'B'C'，其中点B'的坐标为（ ）
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A．(−2,√3−1) B．(−2,1) C．(−√3,1) D．(−√3,√3−1)
6．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，分别经过原点O和点A(4,0)的动直线a，b夹角∠OBA=30°，
点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是（ ）
3+√6 √3 √6 5
A． B． C． D．
6 2 3 6
7．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与
一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的
锐角为α，则cosα的值为（ ）
3 4 3 4
A． B． C． D．
4 3 5 5
8．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A(0,1)，B(4,1)，C(5,6)，
则sin∠BAC=（ ）
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1 √13 √2 √3
A． B． C． D．
2 5 2 2
9．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图所示，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，
∠ACB=45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D=30°，则CD
的长度约为（参考数据：√2≈1.414,√3≈1.732）（ ）
A．1.59米 B．2.07米 C．3.55米 D．3.66米
10．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底
部C的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ）
A．140√3m B．160√3m C．180√3m D．200√3m
11．（2023·山东·统考中考真题）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28°，高为7米．用计算器求
AB的长，下列按键顺序正确的是（ ）
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A． B． C．
D．
12．（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆
BC=√2a，AB=b，AB的最大仰角为α.当∠C=45°时，则点A到桌面的最大高度是（ ）
b b
A．a+ B．a+ C．a+bcosa D．a+bsinα
cosa sinα
13．（2023·湖南娄底·统考中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出
1√ (a2+b2−c2
)
2
了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的△ABC的面积为S = a2b2− ．△ABC的
△ABC 2 2
1 1 1
边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则S = absinC= acsinB= bcsin A．下列结论中
△ABC 2 2 2
正确的是（ ）
a2+b2−c2 a2+b2−c2
A．cosC= B．cosC=−
2ab 2ab
a2+b2−c2 a2+b2−c2
C．cosC= D．cosC=
2ac 2bc
√3
14．（2023·四川德阳·统考中考真题）已知一个正多边形的边心距与边长之比为 ，则这个正多边形的边
2
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数是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
15．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．已知a=6，
b=8，c=10，则cos∠A的值为（ ）
3 3 4 4
A． B． C． D．
5 4 5 3
二、填空题
16．（2023·广西·统考中考真题）如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，
则共需钢材约 m（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
17．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，菱形ABCD中，∠DAB=60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂
足分别为B，D，若AB=6cm，则EF= cm．
18．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图所示，桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上
加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端
的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆AB=6米，AO:OB=2:1，支架
OM⊥EF，OM=3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时∠AOM=45°，此
时点B到水平地面EF的距离为 米．（结果保留根号）
19．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点
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称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC= ．
20．（2023·四川·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，点B(0,−3)，点C在x轴
1
上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC= ，则点C的坐标为 ．
3
21．（2023·山东·统考中考真题）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地
上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得AB=30m．用高1m(AC=1m)的测角仪在A处测得
建筑物顶部E的仰角为30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的高是 m．
22．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人
机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45°，尚美楼顶部F的俯角
为30°，已知博雅楼高度CE为15米，则尚美楼高度DF为 米．（结果保留根号）
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23．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校
数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC为20
米，且距地面高度AB为1.5米，则气球顶部离地面的高度EC是 米（结果精确到0.1米，
sin21.8°≈0.3714,cos21.8°≈0.9285,tan21.8°≈0.4000）．
24．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶
点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm，若按相同的
方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为 cm．
25．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对A地和B地之间的一处垃
圾填埋场进行改造，把原来A地去往B地需要绕行到C地的路线，改造成可以直线通行的公路AB．如图，
经勘测，AC=6千米，∠CAB=60°，∠CBA=37°，则改造后公路AB的长是 千米（精确到
0.1千米；参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√3≈1.73）．
三、解答题
26．（2023·湖南·统考中考真题）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发
射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，
飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；
10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°．
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(1)求点A离地面的高度AO；
(2)求飞船从A处到B处的平均速度．(结果精确到0.1km/s，参考数据：√3 ≈1.73)
27．（2023·重庆·统考中考真题）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞
海产品，经测量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，
AC=3600米．
(1)求B养殖场与灯塔C的距离（结果精确到个位）；
(2)甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米/每
分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）
28．（2023·山东济南·统考中考真题）图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知
AB=1m，BC=0.6m，∠ABC=123°，该车的高度AO=1.7m．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在
AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B' AD=27°．
(1)求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面l的距离；
(2)若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．
（结果精确到0．01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，√3≈1.732）
29．（2023·河北·统考中考真题）如图1和图2，平面上，四边形ABCD中，
AB=8,BC=2√11,CD=12,DA=6,∠A=90°，点M在AD边上，且DM=2．将线段MA绕点M顺时
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针旋转n°(00)，连接A'P．
(1)若点P在AB上，求证：A'P=AP；
(2)如图2．连接BD．
①求∠CBD的度数，并直接写出当n=180时，x的值；
②若点P到BD的距离为2，求tan∠A'MP的值；
(3)当0
