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备战 2024 中考数学一轮复习
第六章圆
第 2 讲与圆有关的证明与计算
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌题型突破
➍专题精练
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第 2 讲与圆有关的证明与计算
该板块内容以考查综合题为主，也是考查重点，除了填空题和选择题外，年年都会考查综
合题，对多数考生来说也是难点，2024年各地中考肯定还是考查的重点在选择、填空题中
考查三角形的外心、正多边形、弧长、扇形面积，在解答题中想必还会考查切线的性质和
判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合
考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。关键是掌握基础知识、基本方法
力争拿到全分。
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一与切线证明有关
考向二与求线段有关
考向三与求角度有关
第 2 讲与圆有关的证明与计算
→➊考点精析←
一、三角形与圆
1．三角形的外接圆相关概念
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角
形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的
距离相等．
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2．三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三
角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距
离相等．
二、正多边形的有关概念
正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径．
正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角．
正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
→➋真题精讲←
题型一计算
1．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在 中，若 ， ，则扇形
(阴影部分)的面积是( )
A． B． C． D．
2．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，矩形 内接于 ，分别以
为直径向外作半圆．若 ，则阴影部分的面积是
（ ）
A． B． C． D．20
3．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，某玩具品牌的标志由半径为 的三个等圆构
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成，且三个等圆 相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（
）
A． B． C． D．
4.（2023·重庆·统考中考真题）如图，在矩形 中， ， ，E为 的中点，
连接 ，以E为圆心， 长为半径画弧，分别与 交于点M，N，则图中阴
影部分的面积为________．（结果保留 ）
5．（2023·重庆·统考中考真题）如图， 是矩形 的外接圆，若 ，则
图中阴影部分的面积为___________．（结果保留 ）
6．（2023·江苏扬州·统考中考真题）用半径为 ，面积为 的扇形纸片，围成一
个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为________ ．
题型二与切线证明有关
7．（2023·四川达州·统考中考真题）如图， 内接于 是 延
长线上的一点， ， 相交于点 ．
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(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
8．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图， 是 的直径，点 是 外一点， 与
相切于点 ，点 为 上的一点．连接 、 、 ，且 ．
(1)求证： 为 的切线；
(2)延长 与 的延长线交于点D，求证： ；
(3)若 ，求阴影部分的面积．
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9．（2023·新疆·统考中考真题）如图， 是 的直径，点 ， 是 上的点，且
，连接 ，过点 作 的垂线，交 的延长线于点 ，交 的延长
线于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
题型三与求线段有关
10．（2023·山东·统考中考真题）如图， 为 的直径，C是圆上一点，D是 的中
点，弦 ，垂足为点F．
(1)求证： ；
(2)P是 上一点， ，求 ；
(3)在（2）的条件下，当 是 的平分线时，求 的长．
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11．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，四边形 是半径为R的 的内接四边形，
是 的直径， ，直线l与三条线段 、 、 的延长线分别交于点
E、F、G．且满足 ．
(1)求证：直线 直线 ；
(2)若 ；
①求证： ；
②若 ，求四边形 的周长．
12．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是弦， 是 上一点，
是 延长线上一点，连接 ．
(1)求证： ；（请用两种证法解答）
(2)若 ， 的半径为3， ，求 的长．
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13．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，点 是 的内心， 的延长线与边
相交于点 ，与 的外接圆相交于点 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)求证： ；
(4)猜想：线段 三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）
题型四与求角度有关
14．（2023·四川南充·统考中考真题）如图， 与 相切于点A，半径 ，
与 相交于点D，连接 ．
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(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
15．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图1，在 中， 为 的直径，点 为
上一点， 为 的平分线交 于点 ，连接 交 于点 ．
(1)求 的度数；
(2)如图2，过点 作 的切线交 延长线于点 ，过点 作 交 于点 ．
若 ，求 的长．
16．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，以 的边 为直径作 ，交 边于
点D，过点C作 交 于点E，连接 ．
(1)求证： ；
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(2)若 ，求 和 的长．
17．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在边长为 的正方形 中，点 在边 上（不
与点 ， 重合），射线 与射线 交于点 ．
(1)若 ，求 的长．
(2)求证： ．
(3)以点 为圆心， 长为半径画弧，交线段 于点 ．若 ，求 的长．
18．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图， 都是 的半径，
．
(1)求证： ；
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(2)若 ，求 的半径．
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