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专题10 三角形中的重要模型之特殊三角形中的分类讨论模型
特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分类讨论模型，是初中各类考试中几何压轴题的常客，并
且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在
处理等腰三角形和直角三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰或直角三
角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把特殊三角形分类讨论
情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。
.........................................................................................................................................................................................2
模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型..................................................2
模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型......................................................................5
模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型................................13
模型4.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型................................................................15
..................................................................................................................................................26
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模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型
1）若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶
角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底
和腰的原理相同。
2）若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰
上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。
例1．（24-25九年级上·山东·期末）若等腰 内接于 ， ， ，则 底角
的度数为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
例2．（2023·四川广元·八年级校联考期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，那么这个
等腰三角形的顶角等于（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
例3．（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）已知x，y满足 ，则以 ， 的值为两边长的
等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
例4．（2024八年级上·湖北·专题练习）等腰三角形三边长分别为 ， ， ，则等腰三角形的周
长为（ ）
A．10 B．7或10 C．7或4 D．10或7或4
例5．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为
和 两部分，那么这个等腰三角形的底边长是 ．
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模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型
1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。
2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。
等腰三角形的两种分类讨论方法
方法1. “两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。
如图：已知A， O 两点是定点，在坐标轴上找一点P构成等腰△OAP 。
OA
①以已知线段 为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2个）；
OA O
②以已知线段 为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以 为圆心的有4个，
以A为圆心的有2个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。
方法2. “三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。
若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用
“两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。
例1．（2024·山东·统考二模）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 的坐标为 ，若 为 轴
上一点，且使得 为等腰三角形，则满足条件的点 有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
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例2．（2023·福建南平·八年级校考期中）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成
两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割
线．如图1，Rt ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝
110°，若直线B△D是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是 ．
例3．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图， 中， ， ，射线 从射线 开始
绕点C逆时针旋转 角 ，与射线 相交于点D，将 沿射线 翻折至 处，射
线 与射线 相交于点E．若 是等腰三角形，则 的度数为 ．
例4．（2023春·四川达州·八年级校考期中）在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P
是 y 轴正半轴上的一点，且 AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为 ．
例5．（2024·江苏泰州·八年级△校联考阶段练习）如图1， 中， 于D，且
，
(1)试说明 是等腰三角形；(2)已知 ，如图2，动点M从点B出发以每秒 的速度沿线
段 向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段 向点C运动，当其中一点到达终点时整
个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），①若 的边与 平行，求t的值；②若点E是边
的中点，问在点M运动的过程中， 能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
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例6．（2024·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过 的
直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点 ，直线 交x轴负半轴于点D，若 的面积为
(1)求直线 的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段 上（不与点 重合），过点P作
x轴的平行线交 于点E，设 的长为 ，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值
范围；(3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使 为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；
若不存在，请说明理由．
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模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型
若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。
例1．（2024·浙江嘉兴·三模）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（ ）
A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或
例2．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图， 是 的角平分线， 是 的高，
， ，点F为边 上一点，当 为直角三角形时，则 的度数为 ．
例3．（2023·辽宁葫芦岛·二模）如图，在 中， ， ， ，点D是 的中
点，点E是斜边 上一动点，沿 所在直线把 翻折到 的位置， 交 于点F，若
为直角三角形，则 的长为 ．
模型4.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型
直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，
如下面模型构建。直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。
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“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。
问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形．
分三种情况，如图：
①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P 即为所求；
1
②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P 即为所求；
2
③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点
P，P 即为所求．
3 4
代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②
AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况
不存在。
几何法计算：找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过添加辅助线构造相似三角
形。特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理或锐角三角函数求解．
例1．（2023九年级·广东·专题练习）如图，已知 ，C为坐标轴上一点，且 是直角
三角形，则满足条件的C点有( )个．
A．6 B．7 C．8 D．9
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例2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，已知 ，以 为一边在
外部作等腰直角 ．则点 的坐标为 ．
例3．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图所示，在 中， ，点
是射线 上的一个动点．（1）当 为直角三角形时， 的长为 ．
（2）若点 在边 的下方，当 为直角三角形时， 的长为 ．
例4．（23-24九年级上·江西景德镇·期末）如图，等边 的边长为 ，点Q是 的中点，若动点
P以 的速度从点A出发沿 方向运动，设运动时间为t秒，连接 ，当 是直角三角
形时，则t的值为 秒．
例5．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0，2)， ABO为
等边三角形，P是x轴上的一个动点（不与O点重合），将线段AP绕A点按逆时针旋转60°，P△点的对应
点为点Q，连接OQ，BQ。(1)点B的坐标为 ；(2)①如图①，当点P在x轴负半轴运动时，求证：
∠ABQ=90°；
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②当点P在x轴正半轴运动时，①中的结论是否仍然成立？请补全图②，并作出判断（不需要说明理由）；
(3)在点P运动的过程中，若 OBQ是直角三角形，直接写出点P的坐标.
△
例6．（2023秋·辽宁锦州·八年级统考期末）【模型构建】
如图，将含有 的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了
两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这
模型在数学解题中被广泛使用．
【模型应用】(1)如图1，在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点，①则
_________；②C，D是正比例函数 图像上的两个动点，连接AD，BC，若
，则AD的最小值是_______；(2)如图2，一次函数 的图像与y轴，x轴分别交
于A，B两点．将直线 绕点A逆时针旋转 得到直线l，求直线l对应的函数表达式；
【模型拓展】(3)如图3，点A在x轴负半轴上， ，过点A作 轴交直线 于点B，P
是直线 上的动点，Q是y轴上的动点，若 是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角
形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
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1．（2023秋·广东八年级课时练习）若 是等腰三角形， ，则 的度数是（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 或
2．（2024·安徽亳州·九年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系 中，已知点 关于 轴的对称
点 ，点 是 轴上的一个动点，当 是等腰三角形时， 值个数是( )
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）在平面直角坐标系 中，过原点 及点 、 作长
方形 ， 的平分线交 于点 .点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿射线 方向
移动；同时点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为 秒，当
为直角三角形时 为（ ）
A．2或 B．2或 C． 或 D．2或 或
4．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图，在 中， ，将一块足够大的直角三角尺 （
， ）按如图放置，顶点P在边AC上滑动，三角尺的直角边 始终经过点B，斜
边 交 于点D，若点P在滑动中恰能使 与 均为等腰三角形，则∠C的度数为 ．
5．（2023春·湖北襄阳·九年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则等腰三角形的
底角的度数是 ．
6．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在 中， ，点 分
别是 的中点，在射线 上有一动点 ，若 是直角三角形，则 的长为 ．
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7．（2024·河南郑州·三模）在矩形 中， ， 为CD的中点，取 的中点 ，连接 ，
当 为直角三角形时， 的长为 ．
8．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，在 中， ， ， ，点 是 的中
点，点 是边 上一动点，沿 所在直线把 翻折到 的位置， 交 于点 ，若
为直角三角形，则 的长为 ．
9.（2024·江西南昌·模拟预测）在 中， ， ， ，点 为平行四边形 边
上的动点，且满足 是直角三角形，则 的长度是 ．
10．（2024·江西南昌·模拟预测）在平面直角坐标系中， 的顶点 ， 的坐标分别为 ，
，点 绕点 顺时针旋转 到点 ，连接 ， ，若 为直角三角形，则点
到 轴的距离为 ．
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11．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，已知在矩形纸片 中， ， ，点 是
的中点，点 是 边上的一个动点，将 沿 所在直线翻折，得到 ，连接 ， ，则
当 是等腰三角形时， 的长是 ．
12．（2023春·河南开封·八年级校考期中）有一面积为 的等腰三角形，它的一个内角是 ，则以它
的腰长为边的正方形的面积为 ．
13．（2023·安徽·九年级专题练习）在矩形 中， ， ，点 ， 分别为 ， 上的两
个动点，将 沿 折叠，点 的对应点为 ，若点 落在射线 上，且 恰为直角三角形，
则线段 的长为 ．
14．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）如图， ，点 在边 上， ，点 为边
上一动点，连接 ， 与 关于 所在的直线对称，点 ， 分别为 ， 的中点，
连接 并延长交 所在直线于点 ，连接 ，当 为直角三角形时， 的长为
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15．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我
们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把
这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1， 是 的“双等腰线”， 、 是
的“三等腰线”．
(1)请在图2三个图中，分别画出 的“双等腰线”，并做必要的标注或说明．
① ；② ， ；③ ，
(2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是________．
(3)如图3， 中， ， ．画出 所有可能的“三等腰线”，使得对 取值范
围内的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补
充）
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16．（2024·宁夏银川·校考二模）如图，在平面直角坐标系中有矩形 ， ， ，连接 ，
点 从顶点 出发以1.5个单位/秒的速度在线段 上向 点运动，同时点 从顶点 出发以1个单位/秒
的速度在线段 上向 点运动，只要有一个点先到达终点，两个点就停止运动．过点 作 ，交
于点 ，连接 ，设运动时间为 秒．（1）当 时， ______．
（2）设 的面积为 ，写出 关于 的函数表达式，并写出 的面积最大时点 的坐标；
（3）直接写出运动过程中， 为等腰三角形时 的值．
17．（2023春·重庆渝中·八年级校考期末）如图， 中，以 ， 为边，分别在各自的上方作等边
三角形 ，等腰三角形 ， ， ，连接 ， ；
(1)如图1，若 ， ，求 的面积
(2)如图2，点 为 中点，求证：
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(3)如图3， ， ，点 为直线 上的动点，连接 ，作 关于 所在直线
的对称图形，记作 ，连接 ， ，当 直角三角形时，请直接写出 的度数．
18．（2023·八年级重庆校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴
交于点 .点 的坐标为 ，点 在 轴上， .
（1）点 在 上，其横坐标为 ，点 、 分别是 轴、 轴上的动点，连接 ，将 沿
翻折得 ，点 是直线 上的一个动点，当 最大时，求 的最小值；
（2）将 绕点 逆时针旋转90°得直线 ，点 、 分别是直线 与直线 上的动点，当
是以 为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点 的坐标.
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