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专题10 三角形中的重要模型之特殊三角形中的分类讨论模型
特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分类讨论模型，是初中各类考试中几何压轴题的常客，并
且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在
处理等腰三角形和直角三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰或直角三
角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把特殊三角形分类讨论
情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。
.........................................................................................................................................................................................2
模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型..................................................2
模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型......................................................................5
模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型................................13
模型4.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型................................................................15
..................................................................................................................................................26
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模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型
1）若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶
角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底
和腰的原理相同。
2）若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰
上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。
例1．（24-25九年级上·山东·期末）若等腰 内接于 ， ， ，则 底角
的度数为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】画出相应图形，分 为锐角三角形和钝角三角形2种情况解答即可．本题考查的是三角形外
接圆和外心，三角形圆周角定理及等腰三角形的性质，分情况探讨是解决本题的易错点；用到的知识点为：
同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；圆内接四边形的对角互补．
【详解】解：（1）圆心 在 外部，
在优弧 上任选一点 ，连接 ， ．
∵ ， ， ；
， ；
（2）圆心 在 内部．∵ ，∴ ，
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， ．综上所述， 底角的度数为 或 ，故选：C．
例2．（2023·四川广元·八年级校联考期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，那么这个
等腰三角形的顶角等于（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
【答案】B
【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角
形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】如图1，三角形是锐角三角时， ， 顶角 ；
如图 ，三角形是钝角时， ， 顶角 ，
综上所述，顶角等于 或 ．故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，难点在于分情况讨论，作出图形更
形象直观．
例3．（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）已知x，y满足 ，则以 ， 的值为两边长的
等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
【答案】B
【分析】利用非负数的性质，求出 ， 的值，利用分类讨论的思想思考问题即可．
【详解】解： ，又 ， ， ， ，
当等腰三角形的边长为4，4，8时，不符合三角形的三边关系；
当等腰三角形的三边为8，8，4时，周长为20，故选：B．
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【点睛】本题考查等腰三角形的概念、非负数的性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握
基本知识，属于中考常考题型．
例4．（2024八年级上·湖北·专题练习）等腰三角形三边长分别为 ， ， ，则等腰三角形的周
长为（ ）
A．10 B．7或10 C．7或4 D．10或7或4
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的定义、一元一次方程的应用、三角形三边关系，根据等腰三角形的定义，
分三种情况，分别得出一元一次方程，解方程结合三角形三边关系判断即可得解．
【详解】解：①当 为底边长时，腰长为 ， ，
∵三角形为等腰三角形， ，解得 ，∴ ， ，∵ ，∴构不成三角形；
②当 为底边长时，腰长为 ， ，∵三角形为等腰三角形， ，解得 ，
∴ ， ，符合三角形三边关系， 等腰三角形的周长为 ；
③当 为底边长时，腰长为 ， ，∵三角形为等腰三角形， ，解得 ，
∴ ， ，符合三角形三边关系， 等腰三角形的周长为 ．
综上，等腰三角形的周长为7或10，故选：B．
例5．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为
和 两部分，那么这个等腰三角形的底边长是 ．
【答案】 / 厘米
【分析】本题考查了等腰三角形的定义（至少有两边等长或相等的三角形）、二元一次方程组的几何应用、
三角形的三边关系定理；依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．如图（见解析），分①
；② 两种情况，再分别根据等腰三角形
的定义建立二元一次方程组，解方程组可得等腰三角形的三边长，然后利用三角形的三边关系定理进行检
验即可得．
【详解】解：如图， 是等腰三角形， 是腰 上的中线，
设 ，则 ，由题意，分以下两种情况：
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①当 时，则 ，解得 ，
此时等腰三角形的三边长分别为 ，不满足三角形的三边关系定理，舍去；
②当 时，则 ，解得 ，
此时等腰三角形的三边长分别为 ，满足三角形的三边关系定理，
因此，这个等腰三角形的底边长为 ．故答案为： ．
模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型
1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。
2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。
等腰三角形的两种分类讨论方法
方法1. “两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。
如图：已知A， O 两点是定点，在坐标轴上找一点P构成等腰△OAP 。
OA
①以已知线段 为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2个）；
OA O
②以已知线段 为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以 为圆心的有4个，
以A为圆心的有2个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。
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方法2. “三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。
若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用
“两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。
例1．（2024·山东·统考二模）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 的坐标为 ，若 为 轴
上一点，且使得 为等腰三角形，则满足条件的点 有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】分别以O、A为圆心，以OA长为半径作圆，与x轴交点即为所求点M，再作线段OA的垂直平分
线，与坐标轴的交点也是所求的点M，作出图形，利用数形结合求解即可．
【详解】解：如图，
满足条件的点M的个数为2．故选A．
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【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没
有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
例2．（2023·福建南平·八年级校考期中）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成
两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割
线．如图1，Rt ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝
110°，若直线B△D是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是 ．
【答案】40°或90°或140°
【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
【详解】解：①如图，当∠DBC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，∴∠ABD=20°，
∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=20°，∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；
②如图，当∠BDC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，或当∠BDC=90°，
CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，；
③如图，当∠ABD=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，∴∠DBC=20°，∵CD=BD，∴∠C=∠DBC=20°，∴∠BDC=140°．
综上所述：当∠BDC的度数是40°或90°或140°时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题关键．
例3．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图， 中， ， ，射线 从射线 开始
绕点C逆时针旋转 角 ，与射线 相交于点D，将 沿射线 翻折至 处，射
线 与射线 相交于点E．若 是等腰三角形，则 的度数为 ．
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【答案】 或 或
【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知 ， ，再画出图形，利用三角形
的外角性质列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知 ， ，
当 时， ，
由三角形的外角性质得 ，即 ，此情况不存在；
当 时， ， ，
由三角形的外角性质得 ，解得 ；
当 时， ，∴ ，
由三角形的外角性质得 ，解得 ；
当 时， ，∴ ，
∴ ；
综上， 的度数为 或 或 ．故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题关键．
例4．（2023春·四川达州·八年级校考期中）在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P
是 y 轴正半轴上的一点，且 AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为 ．
△
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【答案】
【分析】有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，求出OA即可；②以A为圆心，以
OA为半径画弧交y轴于P，求出OP即可；③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，根据勾股定
理求出OC即可．
【详解】有三种情况：
①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，则OA＝OD＝ ；∴D（0， ）；
②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，OP＝2×y =4，∴P（0，4）；
A
③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，由勾股定理得：OC＝AC＝ ，
∴OC＝ ，∴C（0， ）；故答案为： ．
【点睛】本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知
识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．
例5．（2024·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图1， 中， 于D，且
，
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(1)试说明 是等腰三角形；(2)已知 ，如图2，动点M从点B出发以每秒 的速度沿线
段 向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段 向点C运动，当其中一点到达终点时整
个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），①若 的边与 平行，求t的值；②若点E是边
的中点，问在点M运动的过程中， 能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)①5或6；②9或10或
【分析】（1）设 ，则 ，由勾股定理求出 ，即可得出结论；
（2）由 的面积求出 ；①当 时， ；当 时，
；得出方程，解方程即可；
②由直角三角形的性质得出 ，根据题意得出当点M在 上，即 时， 为等腰三角
形，有3种可能： ； ； ；分别得出方程，解方程即可．
【详解】（1）证明：设 ，则 ，
在 中， ，∴ ，∴ 是等腰三角形；
（2）解：设 ，则 ，
，而 ，∴
则 ，
由题意可知当点M到达点A时点N刚好到达点C，此时 ．
①当 时， ，即 ，∴ ；
当 时， ，得： ；
∴若 的边与 平行，t值为5或6．
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②∵点E是边 的中点， ，∴ cm，
当点M在 上，即 时， 为钝角三角形，但 ；
当 时，点M运动到点D，不构成三角形
当点M在 上，即 时， 为等腰三角形，有3种可能．
如果 ，则 ，∴ ；
如果 ，则点M运动到点A，∴ ；
如果 cm，过点E作 于F，如图3所示：
此时 cm，∵ ，∴ cm
∵ ，∴ cm，
∵ cm，则在 中， ，∴ ．
综上所述，符合要求的t值为9或10或 ．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难
度，需要进行分类讨论才能得出结果．
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例6．（2024·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过 的
直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点 ，直线 交x轴负半轴于点D，若 的面积为
(1)求直线 的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段 上（不与点 重合），过点P作
x轴的平行线交 于点E，设 的长为 ，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值
范围；(3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使 为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2)
(3)存在，点F的坐标为 或 或
【分析】（1）据直线 交 轴正半轴于点 ，交 轴于点 ， ，设直线 解析式为 ，
把 的坐标代入求得 的值，从而求得 的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出 的值，求出 的
值，从而求出 点的坐标； （2）直接根据待定系数法求出 的解析式，先根据 的坐标求出直线
的解析式，将 点的横坐标代入直线 的解析式，求出 的纵坐标，将 的纵坐标代入直线 的解
析式就可以求出 的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；（3）要使 为等腰直角三角形，
分三种情况分别以点 为直角顶点，据等腰直角三角形的性质求出（2）中 的值，就可以求出
点的坐标．
【详解】（1）解： ，∴设直线 的解析式为 ，
∵直线 经过 ， ， ，
∴直线 的解析式为 ， ， ，
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的面积为 ， ，
， ， ， 直线 的解析式为
（2）解：设直线 的解析式为 ，
， ∴ ，解得 ．∴直线 的解析式为 ；
∵点P在 上，且横坐标为m， ， 轴，∴E的纵坐标为 ，
代入 得， ，解得 ， ，
的长 ；即 ， ；
（3）解：在x轴上存在点F，使 为等腰直角三角形，
①当 时，如图①，有 ， ， ，
，解得 ，此时 ；
②当 时，如图②，有 ， 的长等于点E的纵坐标，
， ，解得： ，
∴点E的横坐标为 ，∴ ；
③当 时，如图③，有 ， ．
， ．作 ，点R为垂足，
， ， ．同理 ， ．
∵点R与点E的纵坐标相同， ，∴ ，解得： ，
，∴点F的横坐标为 ， ．
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综上，在x轴上存在点F使 为等腰直角三角形，点F的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式
的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．
模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型
若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。
例1．（2024·浙江嘉兴·三模）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（ ）
A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，合理分类讨论斜边的长是解题的关键．分
类讨论斜边的情况，根据斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．
【详解】解：当 和 为直角边时，则斜边 ，中线 ，
当斜边为 时，中线 ，∴斜边的长为 或 ，故选：A．
例2．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图， 是 的角平分线， 是 的高，
， ，点F为边 上一点，当 为直角三角形时，则 的度数为 ．
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【答案】 或
【分析】分情况讨论：①当 时，②当 时，根据角平分线和三角形高线的定义分别
求解即可．
【详解】解：如图所示，当 时，
∵ 是 的角平分线， ，
∴ ，∴ 中， ；
如图，当 时，同理可得 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
综上所述： 的度数为 或 ．故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查角平分线和高线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握分类讨论的思想
是解题的关键．
例3．（2023·辽宁葫芦岛·二模）如图，在 中， ， ， ，点D是 的中
点，点E是斜边 上一动点，沿 所在直线把 翻折到 的位置， 交 于点F，若
为直角三角形，则 的长为 ．
【答案】1或
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【分析】本题考查翻折变换、勾股定理、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，分
， 两种情形分别画出图形，结合三角函数及勾股定理求解即可得到答案；
【详解】解：如图，当 时．
在 中，∵ ， ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ， ，∴ ，
， ，
如图，当 时，作 交 的延长线于H．设 ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，在 中， ， ， ，
在 中，∵ ，∴ ，解得 ，
综上所述，满足条件的 的值为1或 ，故答案为：1或 ．
模型4.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型
直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，
如下面模型构建。直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。
“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。
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问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形．
分三种情况，如图：
①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P 即为所求；
1
②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P 即为所求；
2
③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点
P，P 即为所求．
3 4
代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②
AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况
不存在。
几何法计算：找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过添加辅助线构造相似三角
形。特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理或锐角三角函数求解．
例1．（2023九年级·广东·专题练习）如图，已知 ，C为坐标轴上一点，且 是直角
三角形，则满足条件的C点有( )个．
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
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【分析】过点 作AB的垂线，交 轴于点 ，交 轴于点 ；过点 作AB的垂线，交 轴于点 ，交
轴于点 ；根据直径所对的圆周角为直角，以AB为直径作圆，根据 和 的坐标求出AB的长度，即为圆
的直径，可得出半径的长，进而判断得出圆与 轴相切，可得出圆与 轴有 个交点，与 轴交于 点．所
以满足条件的点共有 个．
【详解】解：分三种情况考虑：
①当 为直角顶点时，过 作 ，交 轴于点 ，交 轴于点 ，此时满足题意的点为 ， ；
②当 为直角顶点时，过 作 ，交 轴于点 ，交 轴于点 ，此时满足题意的点为 ， ；
③当 为直角顶点时，以AB为直径作圆，由 、 ，可得此圆与 轴相切，
则此圆与 轴有 个交点，与 轴有 个交点，分别为 ．
综上，所有满足题意的 有 个．故选：B．
【点睛】此题考查了圆周角定理，直角三角形以及坐标与图形性质，利用了分类讨论及数形结合的思想．
注意：若 是直角三角形，则它的任意一个顶点都有可能为直角顶点．
例2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，已知 ，以 为一边在
外部作等腰直角 ．则点 的坐标为 ．
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【答案】 或 或
【分析】分三种情形讨论求解即可．当 时，作 轴于 ，由
，推出 ，可得 点坐标，同法可得，当 ，
， ，当 是等腰直角三角形的斜边时， 是 的中点， ．
【详解】解：如图，当 时，作 轴于 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
同法可得，当 ，
当 是等腰直角三角形的斜边时， 是 的中点， ，
综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 或 ．故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、中点坐标公式等知识，解题的关键
是灵活运用所学知识解决问题．
例3．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图所示，在 中， ，点
是射线 上的一个动点．（1）当 为直角三角形时， 的长为 ．
（2）若点 在边 的下方，当 为直角三角形时， 的长为 ．
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【答案】 或
【分析】本题主要考查了勾股定理，含 直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线的综合应用．
（1）画出图形，在 中得到 ，再用勾股定理计算即可；
（2）分两种情况讨论：①当 时，② 时，分别画出图形，然后根据含 直角三角
形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．
【详解】（1）∵ ∴ ，
当 为直角三角形时，即 ，
∵ ，∴ ， ， 故答案为： ．
（2）如图1所示，当 时， ，
为等边三角形，∴ ；
如图2所示，当 时， ，
∴ , ， ，
又 ． ．故答案为： 或 ．
例4．（23-24九年级上·江西景德镇·期末）如图，等边 的边长为 ，点Q是 的中点，若动点
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P以 的速度从点A出发沿 方向运动，设运动时间为t秒，连接 ，当 是直角三角
形时，则t的值为 秒．
【答案】 或2或
【分析】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质．此题属于动点问题，难度适中，注意
掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．由等边 的边长为 ，点Q是 的中点，可求得
的长，然后根据 ，得出另外的一个锐角为 ，根据直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：连接 ，如图所示：∵等边 的边长为 ，点Q是 的中点，
∴ ， ， ，∴ ，
当 时， ，∴ ；
∴当P从 时， ，当P从 时， ；
当 时，点P运动到点B， ．
综上分析可知，t的值为 或2或 ．故答案为： 或2或 ．
例5．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0，2)， ABO为
等边三角形，P是x轴上的一个动点（不与O点重合），将线段AP绕A点按逆时针旋转60°，P△点的对应
点为点Q，连接OQ，BQ。
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(1)点B的坐标为 ；(2)①如图①，当点P在x轴负半轴运动时，求证：∠ABQ=90°；
②当点P在x轴正半轴运动时，①中的结论是否仍然成立？请补全图②，并作出判断（不需要说明理由）；
(3)在点P运动的过程中，若 OBQ是直角三角形，直接写出点P的坐标.
△
【答案】(1)( ，1)(2)①见解析；②补全图②见解析，成立(3)( ，0)或( ，0)
【分析】（1）过点B作 轴，由等边三角形的性质可知 ， ，从而可求出
，再由含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出 ， ，从而得出B( ，
1)；（2）①由旋转的性质可知AP=AQ， ，根据等边三角形的性质可知AO=AB，
，从而可求出 ，进而可求出 ，即易证 ，得出
；②由题意画图即可，由①同理可证 ，即得出
；
（3）先求出 ，再分类讨论：①当 时，此时点P在x轴负半轴和②当
时，此时点P在x轴负半轴，结合含30度角的直角三角形的性质，勾股定理和全等三角形的性质即可求出
答案．
【详解】（1）解：如图，过点B作 轴，
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∵点A的坐标为(0，2)， ABO为等边三角形，∴ ， ，∴ ，
△
∴ ，∴ ，∴B( ，1)；故答案为：( ，1)；
（2）①由旋转的性质可知AP=AQ， ．
∵ 为等边三角形，∴AO=AB， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ．∵ ，∴ ；
②补全图②如图，①中的结论仍然成立．
由①同理可证 ，∴ ；
（3）当点P在x轴负半轴运动时，∵ ， ，∴ ．
当点P在x轴正半轴运动时，∵ ， ，∴ ．
综上可知 ，故可分类讨论：①当 时，如图，此时点P在x轴负半轴，
∵ ， ，∴ ．
∵ ，∴ ，解得： 或 （舍）．
∵ ，∴ ，∴P( ，0)；
②当 时，如图，此时点P在x轴负半轴，
∵ ， ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴P( ，0)．
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综上可知当△OBQ是直角三角形时，点P坐标为( ，0)或( ，0)．
【点睛】本题考查坐标与图形，等边三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，含30度角的
直角三角形的性质以及勾股定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
例6．（2023秋·辽宁锦州·八年级统考期末）【模型构建】
如图，将含有 的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了
两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这
模型在数学解题中被广泛使用．
【模型应用】(1)如图1，在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点，①则
_________；②C，D是正比例函数 图像上的两个动点，连接AD，BC，若
，则AD的最小值是_______；(2)如图2，一次函数 的图像与y轴，x轴分别交
于A，B两点．将直线 绕点A逆时针旋转 得到直线l，求直线l对应的函数表达式；
【模型拓展】(3)如图3，点A在x轴负半轴上， ，过点A作 轴交直线 于点B，P
是直线 上的动点，Q是y轴上的动点，若 是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角
形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【答案】(1)① ；② (2) (3) 或 或 或
【分析】（1）①先根据函数解析式确定 ，进而得到 ，然后根据等腰直角三
角形的性质即可解答；②根据点到直线的距离垂线段最短，可得当 时，AD有最小值，然后判定
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可得 ，最后根据勾股定理求解即可；（2）先证 可得
，进而得到 ，最后根据待定系数法即可解答；（3）分 ，点P
在x轴上方或下方和 点P在x轴上方或下方，四种情况，分别运用全等三角形的判定与性质和
二元一次方程组解答即可
【详解】（1）解：①∵ 与x轴，y轴交于A，B两点，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ 为等腰直角三角形，∴ ；故答案为 ；
②∵A是定点，∴如图：当 时， 有最小值；
∵ ,∴ ，
∵ ，∴ ，
在 和 中，
∴ ，∴ 在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，∴ 的最小值为 ．故答案为 ．
（2）解：如图，过点B作 交直线l于点C，过点C作 轴．∴ ．
∵ ，∴ ．∴ ．∴ ．
∵ ，∴ ．∴ ．
∵ ，∴ ．∴ ．
当 时， ，∴ ．当 时， ，∴ ．∴ ．
设直线l对应的函数表达式为 ，将 和 代入，
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得 解得 ∴ ．
（3）解：①当 , ,P在x轴的上方，
如图1：过P作 轴，交 于M，交y轴于N，∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ；
∵直线l： ，∴设 ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ,即 ，
①②联立解得： ，∴ ；
②当 , ,P在x轴的下方，
如图2：同①易证： ，∴ ；
∵直线l： ，∴设 ，∴ ，∴ ，
∴ ,∴ ,即 ，
①②联立解得： ，∴ ;
③当 , ,P在x轴的上方，如图3：易证 ，∴ ；
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∵直线l： ，∴设 ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，①②联立解得： ，∴ ；
④当 , ,P在x轴的下方，
如图：易证 ，∴ ；
∵直线l： ，∴设 ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
①②联立解得： ，∴ ．
综上，点P的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质、垂线段最短、全等三角形的判
定与性质等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
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1．（2023秋·广东八年级课时练习）若 是等腰三角形， ，则 的度数是（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 或
【答案】D
【分析】根据等腰三角形性质分情况讨论即可得到答案．
【详解】解： 是等腰三角形， ， 当 是顶角时， ；
当 是底角时，①当 时， 则 ；② ；
综上所述， 的度数是 或 或 ，故选：D．
【点睛】本题考查利用等腰三角形性质求角度，根据等腰三角形性质分类讨论是解决问题的关键．
2．（2024·安徽亳州·九年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系 中，已知点 关于 轴的对称
点 ，点 是 轴上的一个动点，当 是等腰三角形时， 值个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】首先根据关于y轴对称的点的坐标规律可得P′的坐标为（2，1），再根据 P′TO是等腰三角形分
△
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三种情况情况讨论：P′Q=P′O时；P′Q=QO时；OQ=P′O时分别求解即可．
【详解】∵点P（-4，3），∴关于y轴的对称点P′的坐标为（4，3），
则 ，对于 P′QO是等腰三角形分三种情况情况讨论：
△
(1)当 是等腰三角形的底边时，点 就是 的垂直平分线与 轴的交点，根据三角形相似可得：
，则 的值是 ；
(2)当 是等腰三角形的腰时，若点 是顶角顶点，则点 就是以点 为圆心，以 为半径的圆与 轴
的交点，其坐标分别是 ，则 的值是8；
若点 是顶角顶点，则点 就是以点 为圆心，以 为半径的圆与 轴有2个交点，其坐标分别为 、
，则 的值是5或-5．
由(1)(2)可知t的值是 或8或5或-5．综上 值个数是4个．故选：D.
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握等腰三角形的判定．
3．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）在平面直角坐标系 中，过原点 及点 、 作长
方形 ， 的平分线交 于点 .点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿射线 方向
移动；同时点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为 秒，当
为直角三角形时 为（ ）
A．2或 B．2或 C． 或 D．2或 或
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【答案】D
【分析】要使 为直角三角形，显然只有当∠PQB=90°或∠PBQ=90°，进而利用勾股定理分别分析得
出 ， ， ，再分别就∠PQB=90°或
∠PBQ=90°讨论，求出符合题意的t值即可．
【详解】作PG⊥OC于点G，在Rt POG中，
△
∵∠POQ=45°，∴∠OPG=45°，∵OP= ，∴OG=PG=t，∴点P（t，t），
∵Q（2t，0），B（6，2），根据勾股定理得， ， ，
，
当∠PQB=90°，则 ，即 ，
整理得： ，解得t=0（舍）或t=2，∴t=2；
当∠PBQ=90°，则 ，即 ，
整理得： ，解得 ；
∴当t=2或 或 时， 为直角三角形；故选：D．
【点睛】本题主要考查勾股定理，用到的知识点是动点问题、勾股定理的运用，矩形的性质，直角三角形
的性质，解答本题的关键是讨论P点的位置，由题意建立方程从而求出t的值，同时要注意数形结合．
4．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图，在 中， ，将一块足够大的直角三角尺 （
， ）按如图放置，顶点P在边AC上滑动，三角尺的直角边 始终经过点B，斜
边 交 于点D，若点P在滑动中恰能使 与 均为等腰三角形，则∠C的度数为 ．
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【答案】 或 或
【分析】本题考查了三角形内角和定理，等边对等角等知识，根据①当 ， 时，②当
， 时，③当 ， 时，④当 ， 时，四种情况讨论即可作
答．
【详解】①当 ， 时，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②当 ， 时，如图，
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同①可得： ，
∵ ，
∴ ，
③当 ， 时，如图，
同①可得： ，
∵ ，
∴ ；
④当 ， 时，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
综上：∠C的度数为 或 或
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故答案为： 或 或 ．
5．（2023春·湖北襄阳·九年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则等腰三角形的
底角的度数是 ．
【答案】 或
【分析】等腰三角形分锐角和钝角两种情况，求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两
底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数．
【详解】如图当 是锐角三角形时，
于D，则 ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ；
如图当 是钝角三角形时，
于H，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为： 或 ．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类思想的应用，解题的关键是熟练掌握以
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上知识点．
6．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在 中， ，点 分
别是 的中点，在射线 上有一动点 ，若 是直角三角形，则 的长为 ．
【答案】 或
【分析】此题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，先求出 ， ，当
时，根据直角三角形的性质即可得到 ；当 ，证明 ，
利用相似三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，
∵点 分别是 的中点，
；
当 时，如图，
∵点 分别是 的中点，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ，
∴
∴
∴ ，
∴
故答案为： 或
7．（2024·河南郑州·三模）在矩形 中， ， 为CD的中点，取 的中点 ，连接 ，
当 为直角三角形时， 的长为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角
三角形的性质，先证明 ，可得 ， ，再分 和
两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵点 为CD的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
当 时，如图，则 ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ；
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②当 时，如图，则 ，
∵点 为 的中点，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上， 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
8．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，在 中， ， ， ，点 是 的中
点，点 是边 上一动点，沿 所在直线把 翻折到 的位置， 交 于点 ，若
为直角三角形，则 的长为 ．
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【答案】 或
【分析】本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，运用分类讨论思想是解题
关键．分两种情况讨论，画出图形分别进行解答即可．
【详解】解：在 中， ， ， ，
∴ ，
∴
∵点 是 的中点，
∴
由翻折性质得， 不可能为直角，
当 是直角时，如图 ，
是直角， ，
∴ ，
，
，
由翻折可知 ，
， ，
，
，
；
当 是直角时，如图 ，
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连接 、 、 ，由翻折可知 ，
，
∴
，
，
，
，
∴ ,
∵ ， ，
∴ ，
，
，
又 ，
∴ ，
，
，延长 交 于 ，可得 ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
，
在直角三角形 中，由 ， ，
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∴
得到 ，
．
在直角三角形 中， ，
将 ， 代入①可得 ．
故答案为： 或 ．
9.（2024·江西南昌·模拟预测）在 中， ， ， ，点 为平行四边形 边
上的动点，且满足 是直角三角形，则 的长度是 ．
【答案】 或 或
【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分 和 两
种情况画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
（ ）当 时，
①作 于 ，如图 所示，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
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∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形， ，
∴此时点 和点 重合，
∴此时 ；
②当 时，如图 ， ；
（ ）当 时，如图 ， ，
∴ ；
综上， 的长度是 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】
10．（2024·江西南昌·模拟预测）在平面直角坐标系中， 的顶点 ， 的坐标分别为 ，
，点 绕点 顺时针旋转 到点 ，连接 ， ，若 为直角三角形，则点
到 轴的距离为 ．
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【答案】4，2或
【分析】本题考查了旋转过程中点的坐标的变化，根据特殊角的三角函数值求出 与x轴的夹角是解题
的关键；通过分类讨论，分三种情况逐个求解即可；
【详解】解：当 ，即点P与点B重合时，则P到 轴的距离为4；
当点P与点B不重合，且 时，此时P在第四象限，
， ， ，
，
，
， 的坐标分别为 ， ，
， ，
，
，
，
和 轴夹角为 ，
到 轴的距离为 ，
当 时， 和 轴夹角为 ，
到 轴的距离为 ，
综上所述， 到 轴的距离为4，2或 ．
故答案为：4，2或 ．
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11．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，已知在矩形纸片 中， ， ，点 是
的中点，点 是 边上的一个动点，将 沿 所在直线翻折，得到 ，连接 ， ，则
当 是等腰三角形时， 的长是 ．
【答案】 或1或
【分析】本题考查矩形中的翻折问题，涉及矩形的性质、等腰三角形的性质、正方形的判定和性质、勾股
定理、全等三角形的判定与性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．分三种情况考虑，①当 时，
连接 ，则易得 三点共线，在 中，利用勾股定理建立方程即可求解；②当
时，则得四边形 是正方形，即可求解；③当 时，连接 ，则可得 三点共
线，再证明 ，则可得点F是 的中点，从而求解；最后综合上述三种情况即可．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ；
∵点 是 的中点，
∴ ；
由折叠性质知： ， ， ；
①当 时，则 ；
连接 ，则由勾股定理得： ；
∵ ，
∴ ，
∴ 三点共线，
∴ ，
中， ，
由勾股定理得： ，
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解得： ；
②当 时，如图，
则点 在线段 的垂直平分线上，
∴点 在线段 的垂直平分线上，
∵E是 的中点，
∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 是正方形，
∴ ；
③当 时，连接 ，如图；
则 ；
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ 三点共线，
∴ ；
∴ ，
∵ ， ，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
综上， 的长为 或1或 ．
故答案为： 或1或 ．
12．（2023春·河南开封·八年级校考期中）有一面积为 的等腰三角形，它的一个内角是 ，则以它
的腰长为边的正方形的面积为 ．
【答案】20或
【分析】由题意知，分等腰三角形的顶角为 和等腰三角形的底角为 两种情况求解：①当等腰三角形
的顶角为 ，如图1，等腰 中 ， ，过 作 于 ，设 ，则
，由 ， ，可得 ，求解 的值即可；②当等腰三角形的底
角为 ，如图2，等腰 中 ， ，过 作 的延长线于 ，则
， ，设 ，则 ，由勾股定理得
，由 ， ，可得 ，求解 的值即可．
【详解】解：由题意知，分等腰三角形的顶角为 和等腰三角形的底角为 两种情况求解：
①当等腰三角形的顶角为 ，如图1，等腰 中 ， ，过 作 于 ，
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设 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ，
∴以腰长为边的正方形的面积为 ；
②当等腰三角形的底角为 ，如图2，等腰 中 ， ，过 作 的延长
线于 ，则 ，
∴ ，
设 ，则 ，
由勾股定理得 ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ，
∴以腰长为边的正方形的面积为20；
综上所述，以腰长为边的正方形的面积为20或 ．
【点睛】本题考查了含 的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的定义．解题的关键在于分类讨论．
13．（2023·安徽·九年级专题练习）在矩形 中， ， ，点 ， 分别为 ， 上的两
个动点，将 沿 折叠，点 的对应点为 ，若点 落在射线 上，且 恰为直角三角形，
则线段 的长为 ．
【答案】 或
【分析】分两种情况讨论，由勾股定理可得AC=5，通过证明△AFG∽△ABC，由相似三角形的性质可求
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CF的长．
【详解】解：当 为直角三角形时，按两种情况分析：
如图，当 为直角时，设 ．
在 中， ， ， ．由折叠的性质知 ．
， ， ，
，即 ，解得： ，故 的长为 ．
如图，当 为直角时，设 ．
， ， ，
． ，即 ，解得： ，故 的长为 ，
综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，证明△AFG∽△ABC
是本题的关键．
14．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）如图， ，点 在边 上， ，点 为边
上一动点，连接 ， 与 关于 所在的直线对称，点 ， 分别为 ， 的中点，
连接 并延长交 所在直线于点 ，连接 ，当 为直角三角形时， 的长为
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【答案】 或2
【分析】当 为直角三角形时，存在两种情况：①当 时，如图1，根据对称的性质和平行
线可得： ，根据直角三角形斜边中线的性质得： ，最后利用勾股定理可得 的
长；②当 时，如图2，证明 是等腰直角三角形，可得 ．
【详解】解：当 为直角三角形时，存在两种情况：
①当 时，如图1，
与 关于 所在直线对称， ， ，
点 ， 分别为 ， 的中点， 、 是 的中位线，
， ， ，
， ， ， ，
是等边三角形， ， ；
②当 时，如图2， ， ，
与 关于 所在直线对称，
， 是等腰直角三角形， ；
综上所述， 的长为 或2；
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故答案为： 或2．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角
形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
15．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我
们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把
这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1， 是 的“双等腰线”， 、 是
的“三等腰线”．
(1)请在图2三个图中，分别画出 的“双等腰线”，并做必要的标注或说明．
① ；② ， ；③ ，
(2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是________．
(3)如图3， 中， ， ．画出 所有可能的“三等腰线”，使得对 取值范
围内的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补
充）
【答案】(1)见解析
(2) 或 或
(3)见解析
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【分析】本题主要考查三角形综合题和作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质．
（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可；
（2）设底角度数为 ，分三种情况利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可；
（3）根据两种情况、利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【详解】（1）解：如图2，取 的中点 ，则 ，
∴ 和 是等腰三角形；
如图3，取 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 和 是等腰三角形；
如图4，作 的垂直平分线 ，交 于 ，交 于 ，连接 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 和 是等腰三角形；
（2）解：①设 是以 、 为腰的锐角三角形， 为“双等腰线”，如图5，
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当 ， 时，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
②设 是以 、 为腰的钝角三角形， 为“双等腰线”，如图6，
当 ， 时，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
③设 是以 、 为腰的直角三角形， 为“双等腰线”，如图7，
当 ， 时， 为 的垂直平分线，
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设 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： 或 或 ；
（3）解：∵要画出使得对 取值范围内的任意值都成立的“三等腰线”，
∴不能使 等于具体的数值，
∴只需要使分割后的三个等腰三角形的底角成比例即可，
第一种画法：如图8，
∵ ，、
设 ， ，
当 、 将 分成 ， ， 的三个等腰三角形时，
则有 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为 ，
即可使得对 取值范围内的任意值都成立，
第二种画法：
∵ ，
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设 ， ，
当 、 将 分成 ， ， 的三个等腰三角形时，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
因此，“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为 ，即可使得对 取值范围
内的任意值都成立，综上所述，如图所示的两种“三等腰线”可以使得对 取值范围内的任意值都成立．
16．（2024·宁夏银川·校考二模）如图，在平面直角坐标系中有矩形 ， ， ，连接 ，
点 从顶点 出发以1.5个单位/秒的速度在线段 上向 点运动，同时点 从顶点 出发以1个单位/秒
的速度在线段 上向 点运动，只要有一个点先到达终点，两个点就停止运动．过点 作 ，交
于点 ，连接 ，设运动时间为 秒．
（1）当 时， ______．
（2）设 的面积为 ，写出 关于 的函数表达式，并写出 的面积最大时点 的坐标；
（3）直接写出运动过程中， 为等腰三角形时 的值．
【答案】（1） ；（2） ， ；（3） ， ，
【分析】（1）延长 交 于点 ，由四边形AOBC为矩形，可得AC∥OB，AC=OB=8，由 ，
可证四边形 为矩形，当 时，QB=2，由EF∥OA，可证 ，可求 ．由
，可求 即可；
（2）由 ，与 ，可得 与 ，可求 ，利用三角形面积公
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式 ，利用二次函数性质可得当 时，S PCE最大，S PCE =4即可；
最大
△ △
（3）先分别求出 ，CE= ， PE= ，根据 为等腰三角形时可分为三种情
况当 ， ， 时，分别列方程求解即可．
【详解】解：（1）延长 交 于点 ，
∵四边形AOBC为矩形，
∴AC∥OB，AC=OB=8，
∵ ，
∴ ，
∴∠FQB=∠QBC=∠BCF=90°，
∴四边形 为矩形，
当 时，QB=2×1=2
∴ ．
∵EF∥OA，
∴∠EFC=∠OAF，∠FEC=∠AOC，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为 ；
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（2）∵ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴当 时，S PCE最大，S PCE =4．
最大
△ △
∴ ，QE=QF-EF=6-2=4，
∴OQ=OB-QB=
∴ ；
（3）由（2）得 ， ， ，PF=8-AP-CF=8-1.5t-t=8-2.5t
在Rt ECF中，由勾股定理CE= ，
△
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在Rt PFE中由勾股定理PE= ，
△
①如图，当 时，EF⊥PC，
∴PF=CF，即
解得 ；
②当 时，即
解得 ；
③当 时，
整理得 ，
，t=0（舍）．
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∴ 为等腰三角形时 的值为 或 或 ．
【点睛】本题考查锐角三角函数，平面直角坐标系中图形动点问题，三角形面积，二次函数最值问题，矩
形性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，等腰三角形，建构方程与解方程，掌握锐角三角函数，图形
动点的速度，时间与路程关系，三角形面积，二次函数最值问题，矩形性质，勾股定理应用，三角形相似
判定与性质应用，等腰三角形分类思想的运用，建构方程与解方程是解题关键．
17．（2023春·重庆渝中·八年级校考期末）如图， 中，以 ， 为边，分别在各自的上方作等边
三角形 ，等腰三角形 ， ， ，连接 ， ；
(1)如图1，若 ， ，求 的面积
(2)如图2，点 为 中点，求证：
(3)如图3， ， ，点 为直线 上的动点，连接 ，作 关于 所在直线
的对称图形，记作 ，连接 ， ，当 直角三角形时，请直接写出 的度数．
【答案】(1) 的面积为36；
(2)见解析
(3) 的度数为 或 或 或 ．
【分析】（1）作 交 的延长线于点F，求得 ，利用含30度角的直角三角
形的性质以及三角形的面积公式即可求解；
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（2）延长 至点M，使 ，延长 交 于点N，连接 ，先后证明
和 ，推出 是等边三角形，据此即可证明结论成立；
（3）由题意得点 在以D为圆心， 为半径的圆上，分四种情况讨论，画出图形，利用轴对称的性质
即可求解．
【详解】（1）解：作 交 的延长线于点F，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的面积 ；
（2）解：延长 至点M，使 ，延长 交 于点N，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：分四种情况讨论，
由题意得点 在以D为圆心， 为半径的圆上，
①当 时，如图，
；
②当 时，如图，
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同理， ；
③当 时，如图，
同理， ；
④当 时，如图，
同理， ；
综上， 的度数为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直
角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
18．（2023·八年级重庆校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴
交于点 .点 的坐标为 ，点 在 轴上， .
（1）点 在 上，其横坐标为 ，点 、 分别是 轴、 轴上的动点，连接 ，将 沿
翻折得 ，点 是直线 上的一个动点，当 最大时，求 的最小值；
（2）将 绕点 逆时针旋转90°得直线 ，点 、 分别是直线 与直线 上的动点，当
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是以 为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点 的坐标.
【答案】（1） 的最小值为 ；（2）点M的坐标为 或
或 或 ．
【分析】（1）如图1，过E点作EH⊥x轴与点H，连接AC交直线BD与点P，此时 最大，通过
“HL”证明Rt OCD≌Rt OAB，得到D点坐标，进而得到直线CD的解析式，然后求得ED的长，作P关
△ △
于y轴的对称点 ，分别连接 ， ， ，过E作EM⊥ A于点M，则 ，当G， 都在
线段 上时， 最小，即 最小，且最小值为 ，先求得直线AC与BD的解析
式，得到P点坐标，再根据题意进行求解计算即可；（2）①若C点为直角顶点，则∠NCM=90°，且
CN=CM，如图2，延长CD交直线AB于点Q，利用勾股定理与全等三角形的判定与性质等进行求解即可；
若N为直角顶点，则∠CNM=90°，且CN=NM，如图3，过点M作MH⊥ 于点H，求解同①．
【详解】（1）如图1，过E点作EH⊥x轴与点H，连接AC交直线BD与点P，
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则此时 最大，
∵ 是直线BD上的任一点，则 ，∴当 与P重合时， 最大，
在 中，令x=0，得 ；令y=0，得 ，
∴ ， ，∴ ， ，
∵ ，∴OC=OA，∵ ∴Rt OCD≌Rt OAB（HL），
△ △
∴ ，∴ ，设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），
将CD的坐标分别代入y=kx+b得： ，解得 ，
即直线CD的解析式为 ，又∵点 在 上，其横坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ，∴ 为定长，
∴ 点在以E为圆心，ED长为半径的圆上运动，
作P关于y轴的对称点 ，分别连接 ， ， ，过E作EM⊥ A于点M，则 ，
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当G， 都在线段 上时， 最小，即 最小，且最小值为 ，
设直线BD的解析式为y=kx+b，将B，D的坐标分别代入y=kx+b 得：
1 1 1 1
，解得 ，∴直线BD的解析式为 ，
设直线AC的解析为y=kx+b，将A，C的坐标代入y=kx+b 得：
2 2 2 2
，解得 ，∴直线AC的解析式为 ，
联立方程得 ，解得 ，∴ ，∴ ，
∵ 与A的横坐标相同，∴ ⊥x轴，∴ ，
∵EM⊥ ，EH⊥x轴，∴四边形EHAM是矩形，∴ ，
，∵ ，
∴ ，∴ 的最小值为 ；
（2）①若C点为直角顶点，则∠NCM=90°，且CN=CM，如图2，延长CD交直线AB于点Q，
由（1）知Rt OCD≌Rt OAB，∴∠CDO=∠ABO，
△ △
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∵∠DCO=∠QCB，∠DCO+∠CDO=90°，∴∠QCB+∠ABO=90°，
∴DQ⊥AB，∴∠QMC+∠QCM=90°，∵∠NCD+∠QCM=90°，∴∠NCD=∠QMC，
∵∠CDN=∠CQM=90°，∴△CDN≌△MQC（AAS），∴CD=QM，
∵ ，∴ ，
联立方程得： ，解得 ，∴ ，
设 ，则M，Q两点横坐标差的绝对值为 ，
纵坐标差为 ，
由勾股定理得： ，
∴ ，解得： 或 ，
∴ 或 ，∴ 或 ；
②若N为直角顶点，则∠CNM=90°，且CN=NM，如图3，过点M作MH⊥ 于点H，
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∵∠MHN=∠CNM=90°，∴∠MNH+∠NMH=∠MNH+∠CND=90°，∴∠CND=∠NMH，
∵∠CDN=∠MHN=90°，∴△CDN≌NHM（AAS），∴ ，MH=DN，
易证四边形DQMH为矩形，∴QM=DH，MH=DQ，∴MQ=DH=DN+NH=MH+CD=DQ+CD
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，解得： 或 ，
∴ 或 ，∴ 或 ，
综上，点M的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查一次函数的综合问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，最短路径问题等知识
点，综合性较强，属于压轴题，解此题的关键在于熟练掌握熟练掌握各个知识点并灵活运用．
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